著名机构六年级数学秋季班讲义第5讲 工程问题与繁分数(教师版)

5工程问题(二)小学六年级数学奥数讲座共30讲含答案-(5)小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共30讲第5讲工程问题（二）上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。

在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。

例1 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。

如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。

于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24（天）甲、乙合做这一工程，需用的时间为例2 一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后么还要几天才能完成？分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作们把“乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天，乙再单独例3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。

如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。

问：甲、乙二人合做需多少天完成？分析与解：乙单独做要超过3天，甲、乙合做2天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的，乙需要10+5=15（天）。

甲、乙合作需要件工作，要用多少天才能完成？分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。

在一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。

所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。

由最后一轮完成的工作量相同，得到练习51.甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。

第5课时 分数的乘除法1.同一个分数代表意义不一定相同1、一桶水重5千克，倒去它的53，再加入53千克，则下列列式正确的是（ C ） A.53535+- B.53535+⨯ C.535355+⨯- D.53535⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛- 2.分数乘除运算中的方法技巧例 计算：（1）374544⨯；（2）818181182182218218181818⨯. 解析：（1）45836453737374511374544=-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯； （2）98118281218182181010181100118210012181010118818181182182218218181818=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯. 3.找准标准量2、如果某班男生的人数是女生人数的32，那么男生是全班人数的（ D ） A.35 B.83 C.53 D.52 解析：这道题中也可以将女生的人数看作单位“1”，则男生的人数为32，全班的人数为35，可求出男生人数是全班人数的52。

3、某校小学六年级三个班参加植树，一班植树48棵，二班植树的棵数是一班的65，三班植树的棵数是二班的87多4棵，问：三班植树多少棵？ 解析：二班植树的棵数为406548=⨯（棵）；三班植树的棵数为3948740=+⨯（棵）. 4.巧用乘法分配律3、先观察再模仿：434043404163410416310416310=+=⨯+⨯=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯. 求：（1）419425⨯；（2）54910⨯；（3）111199⨯；（4）99989999⨯. 解析：（1）191610019161004194425419425419425=+=⨯+⨯=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯；（2）9889054109105491054910=+=⨯+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⨯； （3）10899911119119111199111199=+=⨯+⨯=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯； （4）98991990099199100999911009999989999=-=⨯-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⨯. 备选例题例题1：某个同学在做分数乘除法练习时，把除以32错写成除以23，得到的答案是125，这道题的正确答案应该是多少？ 解：方法一：设被除数为x ，得x ÷23=125 x =85 正确答案是85÷32=1615 方法二：设正确答案为x ，得32x =125×23 x =1615例题2：小王在学校参加手工比赛，43小时内完成了24只纸盒，问： （1）小王平均完成一只纸盒需要多少时间？（2）小王一小时可以完成多少只纸盒？解：（1）43÷24=321（小时） （2）24÷43=32（只）例题3：阅读材料，回答问题：38可理解为方程3x =8的解，将3x =8两边乘以5，得15x =40，即38=1540，若38与52相加，设38=x ，52=y ，可得3x =8，5y =2，由3x =8化为15x =40，由5y =2化为15y =6，则15x +15y =40+6，15（x +y ）=46，x +y =1546，即38+52=1546，用上述方法求出34和715的和，并用异分母分数相加减的方法验证结果。

第5课时 分数的乘除法知识精要一、分数乘法1、概念：两个分数相乘，就是将分子与分子相乘的积作为积的分子，分母与分母相乘的积作为积的分母。

对于带分数，一般先化成假分数后再相乘。

2、意义：一般的，由于分数qp 的意义是将一个总体分为q 份，而取其中p 份，于是我们把两个分数相乘n m q p ⨯的意义规定为:在分数q p 的基础上，以qp 为总体，“再”分为n 份，而取其中m 份，其结果是n q m p ⨯⨯，即n m q p ⨯=nq m p ⨯⨯。

3、 分数乘以整数，可以用整数与分数的分子的乘积作分子，分母不变。

二、分数的除法：1、倒数：a 的倒数是)0(1≠a a ，q p 的倒数是)0,0(≠≠q p p q 。

2、两个互为倒数的数的积等于__1__。

3、分数的除法：甲数除以乙数，__0_除外，等于_甲数乘以乙数的倒数_，用字母表示就是：)0,0,0(≠≠≠⨯=÷q p n pq n m q p n m 。

三、分数与小数的互化：1、小数化为分数的方法：小数可以直接写成分母是10，100，1000，…的分数，原来有几位小数，就在1后面写几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，化成分数后，能约分的要约分。

2、分数化成小数：任何一个分数都可以通过分子除以分母化成小数或整数，当分母是10，100，1000，…的分数化成小数，可以直接去掉分母，看分母中1后面有几个零，就在分子中从最后一位起向左数出几位，点上小数点。

3、能化成有限小数的分数：一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数，否则就不能化成有限小数。

热身练习1、判断题：（1）真分数的倒数都是假分数。

（√）（2）假分数的倒数都小于1。

（×）（3）任何数都有倒数。

（×）（4）一个数一定不等于它的倒数。

（×）（5）m 的倒数是m1。

（×） 2、一根绳子长213米，用去它的32，还剩多少米？ 解：213×（1-32）=67（米）3、将下列小数分别化成最简分数；（1）0.35 （2）0.02 （3）2.135 （4）0.875 解：87)4(;200272)3(;501)2(;207)1(4、 将下列分数化成小数，不能化成有限小数的保留二位小数： 43,93,1862,409,653,163 解：从左到右依次是：0.1875；3.83；0.225；2.33；0.33；0.755、三个同学跳绳，小丽跳了144下，小蕾跳的是小丽跳的85，小佳跳的是小蕾跳的321.小佳跳了多少下？150358514432185144=⨯⨯=⨯⨯(下) 精解名题例题1：计算：999999998999⨯ 解：原式=999)99911000(⨯- =999000-1=998999例题2：世界上最高的动物是长颈鹿，有一只长颈鹿高10096米，比一只大象还要高138，长颈鹿比大象高多少米？分析：本题把大象的高看做“单位1” 解：10096÷（1+138）=100773（米） 10096-100773=2582（米）例题3：下列数轴上的点A 表示的数是521，请你不通过计算，画出521的72所表示的点B 的位置。

小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。

比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子”。

当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。

3.先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比较大小。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。

2013年 六秋培优 第5讲 第一名并不难 第 1页，共 13页【前铺1】 一种混凝土由水、水泥、黄沙和碎石搅拌而成，这四种原料的重量分别是175千克、250千克、500千克、1175千克，求水、水泥、黄沙和碎石的重量之比的最简整数比。

解：【前铺2】 求长与宽之比为4:1，且周长为40厘米的长方形的面积。

【例题1】 （1）小明第一天看了一本书的27，第二天看了剩余部分的13，数了数第二天看 了60页。

求这本书共有多少页？第5讲量率对应和工程问题(2)小华录入一份稿子，第一个小时录入了总稿子的17，第二个小时录入余下稿子的16，第三个小时录入再余下稿子的15，第四个小时录入余下稿子的1 4，第五个小时录入余下稿子的13，第六个小时录入余下稿子的12，这时还剩下5页稿子，那么他第三小时和第四小时录入了多少页稿子？(3)妈妈买了一些苹果，第一天吃去1/3又1/3个，第二天吃去剩下的1/4又1/4个，第三天吃去再剩下的1/3又1/3个，这时剩下3个苹果。

问妈妈买了多少苹果？每天各吃了几个苹果？解：【例题2】【提高】两只蜡烛长度相同，但粗细不同，第一支能点5小时，第二支能点3小时，同时点燃这两支蜡烛多少小时后，第一支蜡烛剩下的长度是第二支的3倍？2013年六秋培优第5讲第一名并不难第2页，共13页2013年 六秋培优 第5讲 第一名并不难 第 3页，共 13页【尖子】如图，甲、乙、丙三根木棒插在水中，三根木棒的长度之和是360厘米，甲木棒有34露在水面外，乙木棒有47漏在水面外，丙木棒有25漏在水面外。

求三根木棒中最 长的木棒的长度。

【例题3】 【提高】袋子里红球与白球数量之比是19:13，放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5:3，再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13:11，已知放入的红球比白球少80只，那么原来袋子里共用多少只球？【尖子】甲乙两人合伙开设一家公司，甲的股份是乙的股份的1.5倍。

小学六年级奥数教案—05工程问题一小学六年级奥数教案—05工程问题一本教程共30讲工程问题(一)顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。

其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。

在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是:工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量?工作效率，工作效率=工作量?工作时间。

工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。

单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。

工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。

但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

例1 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。

甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天,分析与解:以全部工程量为单位1。

甲队单独干需100天，甲的工作效例2 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。

如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。

问:甲队干了多少天,分析:将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天,”这样一来，问题就简单多了。

答:甲队干了12天。

例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。

开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。

问:甲队实际工作了几天,分析与解:乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。

如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。

这批零件共有多少个, 分析与解:这道题可以分三步。

首先求出两人合作完成需要的时间，例5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。