六年级秋季提高班17次课 工程问题(分干合想)

六年级思维拓展之工程问题知识汇总1.一般工程问题都是，已知独做的工作时间（或合作的工作时间），求合作的时间（或独做的工作时间）。

2.从问题入手，确定是求谁来完成哪一部分工作量所需要的时间，就用要完成的那部分工作量除以谁的工作效率。

3.工程问题的基本数量关系式：工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率工作总量÷工作效率=工作时间练习1.用计算机录入一份书稿，甲单独做10天可以完成，乙单独做15天可以完成。

现在由甲乙两人合作，由于乙中途生病休息了若干天，结果一共用了8天才完成任务，那么，乙中途休息了多少天？2.一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。

两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成？3.打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。

如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。

甲、乙两合做需几天完成？4.我们规定两人轮流做一个工程是指，第一个人先做一个小时，第二个人再做一个小时，然后再由第一个人做一个小时，然后又由第二个人做一个小时，如此反复，做完为止。

如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？5.抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的1。

如果3人合抄只需8天就完成了，那工作效率相当甲、乙每天工作效率和的5么乙一人单独抄需要多少天能完成？6.有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成。

现在有由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天。

那么丙休息了多少天？7.一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。

现在甲、乙两队先合做8天，剩下的由丙队单独做了6天完成了此项工程。

如果从开始就由丙队单独做，需要几天？8．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？9．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。

工程问题-北京版六年级数学上册教案一、教学目标1.能够理解并解决工程问题，如计算建筑物面积、容积等。

2.能够在实际生活中应用所学知识，掌握数学解决实际问题的方法。

二、教学重点1.工程问题的概念及解决方法；2.数学运算在工程问题中的应用。

三、教学难点1.工程问题的综合应用；2.学生如何将所学知识应用到实践中去。

四、教学内容及学法建议1. 教学内容(1) 工程问题的概念•工程问题的定义：指与建筑、工程、装修等相关的数学问题；•工程问题的分类：可分为求建筑物面积、体积等多种类型。

(2) 工程问题的解决方法•计算建筑物面积的方法：将建筑物分为多个图形分别计算，再将它们拼接起来得到整个建筑物的面积；•计算建筑物体积的方法：将建筑物分为多个立方体分别计算，再将它们加起来得到整个建筑物的体积。

2. 学法建议(1) 实物教学法在教学中，可引导学生实地观察建筑物，并让他们绘制这些建筑物的平面图，进一步加深对建筑物的面积和体积计算方法的理解。

(2) 问答交互式教学法在讲解完重要概念后，可询问学生相关问题，如建筑物面积的计算方法等，以检验学生的掌握程度，并指导他们进行思考和独立分析。

五、教学过程设计1. 教前准备•确定教学目标并分析学生的知识背景；•准备教学用具，如三角尺等；•准备实地考察建筑物；2. 教学步骤(1) 导入环节引导学生回忆已经学过的内容，并安排简单的热身练习，了解学生对面积、体积、角度等概念的掌握程度，让学生更好地投入到课程中。

(2) 讲解工程问题的概念及解决方法•讲解工程问题的定义及其分类；•讲解计算建筑物面积的方法；•讲解计算建筑物体积的方法。

(3) 学生练习将学生分为若干小组，发放相关练习题目，在团队中互相交流，解决问题。

(4) 学生答疑对学生在练习中出现的问题进行解答。

(5) 实地讲解带领学生到实地进行考察，并讲解相关建筑物的面积、体积的计算方法。

(6) 总结简要总结本节课学习的重点及难点，强调工程问题的应用及其在生活中的实际意义。

六年级数学工程问题(附例题答案)一、知识要点在日常生活中；做某一件事；制造某种产品；完成某项任务；完成某项工程等等；都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量；它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效率×工作时间.在小学数学中；探讨这三个数量之间关系的应用题；我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子：一件工作；甲做10天可完成；乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体；因此可以把工作量算作1.所谓工作效率；就是单位时间内完成的工作量；我们用的时间单位是“天”；1天就是一个单位；因此甲的工作效率是101；乙的工作效率是151；我们想求两人合作所需时间；就要先求两人合作的工作效率151101+；再根据基本数量关系式；得到所需时间=工作量÷工作效率 =6（天）.两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题；这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行计算）；可把工作量多设份额.如上题；10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份；乙每天完成2份.两人合作所需天数是30÷（3+ 2）= 6（天） 实际上我们把111()1015÷+这个算式；先用30乘了一下；都变成整数计算；就方便些. 10天与15天；体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系11:3:21015=.或者说“工作量固定；工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比；从比例角度考虑问题；也是非常实用的.根据3:2；两人合作时；甲应完成全部工作的33325=+；所需时间是31065⨯=（天）. 因此；在下面例题的讲述中；我们可以采用 “把工作量设为整体1”的做法；也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等；这样会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例1. 一件工作；甲做9天可以完成；乙做6天可以完成.现在甲先做了3天；余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？解析： 甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3余下的工作：1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天）例2. 有一工程；甲队单独做24天完成；乙队单独做30天完成；甲、乙两队合做8天后；余下的由丙队做；又做了6天才完成.这个工程由丙队单独做需几天完成？解析：1-（1/24+1/30）×8=2/5 6÷2/5=15天例3. 某工程先由甲单独做63天；再由乙单独做28天即可完成；若由甲乙两人合作；需48天完成；现在甲先单独做42天；然后由乙来单独完成；那么还需要多少天？解析：某工程先由甲单独做63天；再由乙单独做28天可以完成,可看成甲乙合作28天；甲再另外做了35天所以甲的工效为(1-28/48)/35=1/84；乙的工效为1/48-1/84=1/112甲先单独做42天；然后由乙接着做；还需(1-42*1/84)/(1/112)=56天另一个方法：令甲每天做工程的百分比为x；乙每天做工程的百分比为y则63x+28y=1 48(x+y)=1求得x=1/84 y=1/112若甲独做42天；则完成工程的42/84；即1/2；剩下1/2由乙完成；需要1/2÷1/112=56天例4.一项工程；甲乙两人合作4天后；再由乙单独做5天完成；已知甲比乙每天多完成这项工程的130；甲乙单独做这项工程各需要多少天？甲单独做需X天；乙单独做需y天4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10 Y=15甲单独做需10天；乙单独做需15天设甲单独做需X天；那么甲平均每天完成工程的1/X；因为甲比乙每天多完成这项工程的30分之一；就是说；乙平均每天完成1/X-1/30；按照已知条件；甲乙合作4天；4/X+4*(1/x-1/30)；随后；乙单独做了5天；5*(1/x-1/30)；加在一起；完成了这项工程；即；4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1x=10乙每天完成1/10-1/30=1/15；即；乙单独做需15天例5. 一项工程；甲队单独做20天完成；乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做；其间甲队休息了3天；乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？16天中甲实际休息了16-3=13天甲完成了13/20乙完成了1-13/20=7/20需要时间：7/20÷1/30=10.5天所以乙休息了16-10.5=5.5天例6. 有甲、乙两项工作；张单独完成甲工作要10天；单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天；单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作；那么这两项工作都完成最少需要多少天？解析1：先让张某单独完成乙；李某单独完成甲.乙还剩1-8/15=7/15两人合作时间为：7/15/（1/15+1/20)=4 所以至少要工作：8+4=12（天）解析2：小李做甲工效高小李先做甲,小张先做乙,小李完成甲以后再和小张一起做乙至少需要:(1-8/15)÷(1/15+1/20)+8=12天例7.甲、乙合做一件工作要15天才能完成；现在甲、乙合做10天后；再由乙独做6天；还剩下这件工作的1/10；甲单独完成这件工作要多少天？解析：甲乙合作10天；完成了：10×1/15＝2/3 乙独做6天完成了：1－2/3－1/10＝7/30 乙每天完成：7/30÷6＝7/180 甲独做需要：1÷（1/15－7/180）＝36（天）例8. 一项工程甲队单独做15天可以完成；乙队独坐10天可以完成.现在开始两队合作；但中间乙队因另有任务调走；从开始到完成任务；甲队工作了9天；乙队比甲队少工作了多少天？解析：甲独做一天的工效为1/15；乙独做一天的工效为1/10.合做分想：这项工程甲做了9天；剩下的都是由乙队完成的.可以用工作总量减去甲队9天的工作量；求出乙队工作量；再根据乙队的工作量和工效求出乙队的工作时间：（1－1/15×9）÷1/10＝4（天）.所以乙队比甲队少工作天数为：9－4＝5例9. 甲、乙合做一件工作；合作8天后；乙又独做5天；还剩下这件工作的1/6.已知乙单独完成这件工作要30天；那么甲单独完成这件工作要多少天？解析：1-1/30×（8+5）-1/6=12/30=2/5 2/5÷8=1/20 所以需要20天例10. 甲、乙合做一件工作；每天能完成全部工作的1/12；甲单独做6天；乙又单独做10天后；还剩下全部工作的11/30没有完成；甲单独完成全部工作要多少天？解析：6*1/12=1/2 1-11/30-1/2=2/15 (2/15)/(10-6)=1/30 1/(1/12-1/30)=20例11..一项工程；甲单独完成需12天；乙单独完成需9天.若甲先做若干天后乙接着做；共用10天完成；问甲做了几天？解析1：当做鸡兔同笼问题处理；如果10天都是乙做；能完成：1/9×10=10/9；超出了：10/9-1=1/9；每天；甲比乙少做：1/9-1/12=1/36；甲做了：1/9÷1/36=4天解析2：设甲做了X天X×1/12＋(10-X)×1/9＝1；得出X＝4甲做了4天例12. 一件工作；甲独做要12天；乙独做要18天；丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天；然后由乙接着做；乙做的天数是甲做的天数的3倍；再由丙接着做；丙做的天数是乙做的天数的2倍；终于做完了这件工作.问总共用了多少天？解析：设甲做了x天；则乙做了3x天；丙做了6x天；所以x/12+3x/18+6x/24=1；x/2=1x=2；所以总共用了2+3*2+6*2=20天例13. 一份稿件；甲、乙、丙三人单独打字需要的时间分别是20小时、24小时、30小时；现在三人合打；但甲因中途另有任务提前撤出；结果用12小时完成；甲只打了多少小时？解析1：甲、乙、丙每小时单独打出稿件的1/20,1/24,1/30；打了12小时；则乙和丙分别打了全部稿件的12/24,12/30；12/24+12/30=9/10；则甲打了稿件的十分之一；(1/10)除以（1/20)=2甲打了2小时解析2：方程法：设甲打x小时.则：x/20+12*（1/24+1/30）=1；可解出X=2例14. 一项工程甲单独完成要30天；乙单独完成要45天；丙单独完成要90天.现在由甲、乙、丙合作完成此工程；在工作过程中甲休息了2天；乙休息了3天；丙没有休息；最后把工程完成了；问完成这项工程前后一共用了多少天？解析1：方程法设是第x天完成的；(x-2)/30 +(x-3)/45 +x/90=1整理；得x=17解析2：(1+2/30+3/45)/(1/30+1/45+1/90)=17(天)解释：假若甲、乙没休息；那么应该完成总工程的1+2/30 +3/45例15.一项工程；甲、乙两人合做4天后；再由甲单独做6天才完成全部任务.已知甲比乙每天多完成这项工程的1/80,则甲、乙单独完成各需多少天？解析1：思路同第四题；设乙每天完成的工作占整个工作的x；4(x+x+1/80)+6(x+1/80)=1x=1/16；x+1/80=3/40；所以甲40/3天完成；乙16天完成解析2：甲比乙多完成全部任务的：1/80*（4＋6）＝1/8（4＋6表示甲一共做了10天）1-1/8＝7/8（相当于两人均以乙的工效完成的工作量）4＋4＋6＝14（天）乙每天完成：7/8÷14＝1/16；甲每天完成：1/16＋1/80＝3/40；单独完成甲要：1÷3/40＝13又1/3（天）例16. 一件工作；甲、乙两人合作36天完成；乙、丙两人合作45天完成；甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？解析：甲乙合作的效率=1÷36=1/36；乙丙合作的效率=1÷45=1/45；甲丙合作的效率=1÷60=1/60；甲乙丙三人合作的效率=(1/36+1/45+1/60)÷2=1/30甲工作的效率=1/30-1/45=1/90三、练习题1. 某工程甲单独干10天完成；乙单独干15天完成；他们合干多少天才可完成工程的一半？解：3)151101(21=+÷天 2. 某工程甲队单独做需48天；乙队单独做需36天.甲队先干了6天后转交给乙队干；后来甲队重新回来与乙队一起干了10天；将工程做完.求乙队在中间单独工作的天数.3. 一条水渠；甲、乙两队合挖需30天完工.现在合挖12天后；剩下的乙队单独又挖了24天挖完.这条水渠由甲队单独挖需多少天？4. 单独干某项工程；甲队需100天完成；乙队需150天完成.甲、乙两队合干50天后；剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1.甲队单独干需100天；甲的工作效5. 某项工程；甲单独做需36天完成；乙单独做需45天完成.如果开工时甲、乙两队合做；中途甲队退出转做新的工程；那么乙队又做了18天才完成任务.问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想；变为“乙队先干18天；后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来；问题就简单多了.答：甲队干了12天.6. 制作一批零件；甲车间要10天完成；如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做；需要8天才能完成.现在三个车间一起做；完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？解一：仍设总工作量为1.甲每天比乙多完成因此这批零件的总数是丙车间制作的零件数目是答：丙车间制作了4200个零件.解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份；甲、乙一起每天完成5份；由此得出乙每天完成2份.乙、丙一起；8天完成.乙完成8×2=16（份）；丙完成30-16=14（份）；就知乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.已知甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.综合一起；甲、乙、丙三人工作效率之比是12∶8∶7.当三个车间一起做时；丙制作的零件个数是2400÷（12- 8） × 7= 4200（个）.7. 搬运一个仓库的货物；甲需要10小时；乙需要12小时；丙需要15小时.有同样的仓库A 和B ；甲在A 仓库、乙在B 仓库同时开始搬运货物；丙开始帮助甲搬运；中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2；所需时间是答：丙帮助甲搬运3小时；帮助乙搬运5小时.解本题的关键；是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化；设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6；乙每小时搬运 5；丙每小时搬运4.三人共同搬完；需要60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）.甲需丙帮助搬运（60- 6×8）÷4= 3（小时）.乙需丙帮助搬运（60- 5×8）÷4= 5（小时）.8.一件工作；甲独做12天完成；乙独做18天完成；丙独做24天完成.这件工作先由甲做了若干天；然后乙接着做；乙做的天数是甲做的天数的3倍；再由丙接着做；丙做的天数是乙做的天数的2倍；终于做完了这件工作；求这件工作做完共用了多少天？【解析】：解法一：列方程解答.设甲先做了X天；则乙接着做了3 X天；丙做了（2×3）X天；由题意可得：X×1/12＋3X×1/18＋（2×3）X×1/24＝1解得：X＝2所以这件工作做完共用时间：2×（1＋3＋2×3）＝20（天）.解法二：把甲的工效（一天的工作量）、乙工效的3倍、丙工效的6倍合起来的工作量看作一份；总工作量里有这样的几份；甲就工作了几天；可以求出甲工作的天数为：1÷（1/12＋3×1/18＋2×3×1/24）＝2（天）所以这件工作做完共用时间：2×（1＋3＋2×3）＝20（天）.。

第七讲工程问题之老阳三干创作一、知识要点在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效率×工作时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作 1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，间=工作量÷工作效率=6（天）.两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展发生的.30÷（3+ 2）= 6（天）30乘了一下，都酿成整数计算，就方便些.10天与15或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3.因此，在下面例题的讲述中，我们可以采取“把工作量设为整体1”的做法，也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？解析：甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3余下的工作：1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天）例2.有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。

这个工程由丙队单独做需几天完成？解析：1-（1/24+1/30）×8=2/5 6÷2/5=15天例3.某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，若由甲乙两人合作，需48天完成，现在甲先单独做42天，然后由乙来单独完成，那么还需要多少天？解析：某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天可以完成,可看成甲乙合作28天，甲再另外做了35天所以甲的工效为(1-28/48)/35=1/84，乙的工效为1/48-1/84=1/112甲先单独做42天，然后由乙接着做，还需(1-42*1/84)/(1/112)=56天另一个方法：令甲每天做工程的百分比为x，乙每天做工程的百分比为y则63x+28y=1 48(x+y)=1求得x=1/84 y=1/112若甲独做42天，则完成工程的42/84，即1/2，剩下1/2由乙完成，需要1/2÷1/112=56天例4.一项工程，甲乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比甲单独做需X天，乙单独做需y天4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10 Y=15甲单独做需10天，乙单独做需15天设甲单独做需X天，那么甲平均每天完成工程的1/X；因为甲比乙每天多完成这项工程的30分之一，就是说，乙平均每天完成1/X-1/30；依照已知条件，甲乙合作4天，4/X+4*(1/x-1/30)，随后，乙单独做了5天，5*(1/x-1/30)，加在一起，完成了这项工程，即，4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1x=10乙每天完成 1/10-1/30=1/15，即，乙单独做需15天例5. 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？16天中甲实际休息了16-3=13天甲完成了13/20乙完成了1-13/20=7/20需要时间：7/20÷例 6. 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？解析1：先让张某单独完成乙，李某单独完成甲。

一、 基本概念（1） 工作总量完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示.（2） 工作时间（3） 工作效率单位时间内所完成的工作量二、 基本关系工作量 = 工作效率×工作时间【提示】三者之间的关系，可以类比路程、速度和时间的关系.三、 常用工具和方法（1） 基本关系（2） 整体化归思想（3） 对比分析的方法（1） 重点：利用整体化归思想和对比分析方法解决较为复杂的工程问题（2） 难点：复杂问题中整体化归思想、比例思想、方程思想与对比分析方法的综合运用重难点知识框架工程问题一、 根据基本关系解题【例 1】 一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？【巩固】 一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？【例 2】 一项工程，甲队单独完成需40天。

若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成. 如果乙队单独完成此工程，则需______天.【巩固】 一项工程，甲队单独做20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？二、 运用整体化归思想解题【例 3】 有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时。

甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物。

开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完。

则丙帮甲 小时，帮乙 小时。

例题精讲【巩固】一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？【例4】一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的112倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有712的人去甲工地．其他工人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有多少人？【巩固】甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量是A工程工作量再增加14，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A工程所需要的时间分别是20天，24天，30天．现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？【例5】一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【巩固】蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有16的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？三、运用对比分析方法解题【例6】一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙单独做需要30天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？【巩固】一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙单独做需要36天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？【例7】一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【巩固】一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？【例8】一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天. 问这项工程由甲独做需要多少天？【巩固】抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的15．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？【例9】放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？【例10】某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？【例11】规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？【巩固】公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．【例12】一项工程，甲、乙合作3125小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；若第1小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多13小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？【巩固】甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用12天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用13天．已知甲单独完成这件工作需10.75天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？四、综合运用多种思想解题【例13】一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作5小时，共完成这批零件的23。

工程问题工程问题属于分数应用题。

分数工程问题和整数工作问题基本一样，都是反映工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

在具体解工程问题时要注意如下几点。

1．工作总量通常以“l ”表示，而工作效率用工作总量的几分之几表示，但也有些问题中这个单位“1”是可以求出具体值来的。

2．两人合作的工程问题，一般都应设法确定各自的工作效率。

3．蓄水池中进水管、出水管问题是工程问题的一种特殊情况。

4．解答方法要根据题目具体特点，灵活选用。

例1 一段布，可做30。

件上衣，也可做48条裤子，如果先做20件上衣后，还可以做多少条裤子?[分析解答一] 把“一段布”看作“一项工程”，“做30件上衣”可理解成甲独做30天完成，“做48条裤子可理解成乙独做48天完成”，“先做上衣20件”可理解成甲先工作20天，这样此题就可变为一道基本工程问题。

11120163048⎛⎫-⨯÷= ⎪⎝⎭(条) 答：还可以做16条裤子。

[分析解答二] 同一段布，可做30件上衣，也可做48条裤子，则做一件上衣的布可换成做裤子48÷30=1．6(条)(即一件上衣的布是一条裤子用布的1．6倍)，那么做20件上衣的布可换成做裤子1．6 ×20=32(条)，还可以做裤子48—32=16(条) 48—48÷32×20=16(条)[分析解答三] 用比例方法解答。

解：设还可以做x条裤子，则：3030204816xx-==例2 一项工程，甲乙合做6小时可以完成，同时开工，中途甲停工了2．5小时，因此，经过7．5小时完工，如果这项工程由甲单独完成需要多少小时?[分析解答一] 甲停工2．5小时所做的工作量，甲乙两人合做7．5—6=1．5(小时)可以完成。

这项工程甲乙合做6小时完成，是两人合做1．5小时工作量的6÷1．5=4倍，也是甲2．5小时工作量的4倍，这项工程甲单独做要2．5×4=10(小时)才能完成。

第十八讲工程问题工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。

然而其内容已不仅是工程方面的，还包括水管注水、行路等许多方面。

工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式：工作量=工作效率×工作时间工作时间=工作量÷工作效率工作效率=工作量÷工作时间工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用单位“1”表示；也可是部分工作量，常用分数表示。

例如，工程的一半表示成12，工程的三分之一表示成13。

工作效率指工作的快慢，也就是单位时间里所干的工作量。

工作效率的单位是一个复合单位，用“工作量／天”或“工作量／时”等表示。

但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量，另一类是未给具体工作量。

在解答工程问题时，我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位“1”；二是由于工作总量为“1”，那么，参与这项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此人（队）单独做的工作时间的倒数表示。

解题过程中，我们会发现，解答工程问题，常常是围绕找工作效率进行中，有些工作效率可以通过工作时间得到，而有些则要根据“工程”进程变化规律得到。

在解题时，我们要弄清原来的、现在的之间的关系，以两者关系为突破口解答问题。

由于工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者间关系的问题。

因此我们就要从题目中发掘出三者之中的两者，特别是找出工作效率，这往往是解题的关键，也是本讲的重点内容。

例1：甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现领工资共180元，按工作量分配，甲、乙、丙应各领多少元？例2：一项工程，甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天。

现由甲、乙、丙三个合作完成此工程。

在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把这项工程完成了。

工程问题工程问题属于分数应用题.分数工程问题和整数工作问题基本一样,都是反映工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

在具体解工程问题时要注意如下几点.1．工作总量通常以“l ”表示,而工作效率用工作总量的几分之几表示，但也有些问题中这个单位“1”是可以求出具体值来的。

2．两人合作的工程问题，一般都应设法确定各自的工作效率。

3．蓄水池中进水管、出水管问题是工程问题的一种特殊情况。

4．解答方法要根据题目具体特点，灵活选用.例1 一段布,可做30。

件上衣，也可做48条裤子，如果先做20件上衣后，还可以做多少条裤子?［分析解答一］ 把“一段布”看作“一项工程"，“做30件上衣”可理解成甲独做30天完成，“做48条裤子可理解成乙独做48天完成”，“先做上衣20件”可理解成甲先工作20天，这样此题就可变为一道基本工程问题。

11120163048⎛⎫-⨯÷= ⎪⎝⎭(条） 答：还可以做16条裤子。

[分析解答二] 同一段布，可做30件上衣，也可做48条裤子,则做一件上衣的布可换成做裤子48÷30=1．6(条)(即一件上衣的布是一条裤子用布的1．6倍），那么做20件上衣的布可换成做裤子1．6 ×20=32（条），还可以做裤子48—32=16（条） 48-48÷32×20=16（条)［分析解答三] 用比例方法解答。

解：设还可以做x 条裤子,则:3030204816x x -==例2 一项工程,甲乙合做6小时可以完成,同时开工，中途甲停工了2．5小时，因此,经过7．5小时完工，如果这项工程由甲单独完成需要多少小时？［分析解答一] 甲停工2．5小时所做的工作量，甲乙两人合做7．5—6=1．5（小时)可以完成。

这项工程甲乙合做6小时完成，是两人合做1．5小时工作量的6÷1．5=4倍，也是甲2．5小时工作量的4倍，这项工程甲单独做要2．5×4=10(小时）才能完成。

第十八讲工程咨询题工程咨询题指的是与工程建筑有关的数学咨询题。

然而其内容已不只是工程方面的，还包含水管灌水、行路等很多方面。

工程咨询题常触及到任务量、任务效力跟任务时刻，且这三者之间存在如下关联式：任务量=任务效力×任务时刻任务时刻=任务量÷任务效力任务效力=任务量÷任务时刻任务量指任务的几多，它能够是全部任务量，普通用单元“1〞表现；也然而局部任务量，常用分数表现。

比方，工程的一半表现成，工程的三分之一表现成。

任务效力指任务的快慢，也确实是单元时刻里所干的任务量。

任务效力的单元是一个复合单元，用“任务量／天〞或“任务量／时〞等表现。

但在不惹起误解的状况下，普通不写任务效力的单元。

工程咨询题可分为两类：一类是曾经明白详细任务量，另一类是未给详细任务量。

在解答工程咨询题时，咱们要遵照以下原那么：一是任务量不详细给出的，可设任务量为单元“1〞；二是因为任务总量为“1〞，那么，参加这项任务的每团体〔队〕独自做的任务效力可用此人〔队〕独自做的任务时刻的倒数表现。

解题过程中，咱们会发觉，解答工程咨询题，经常是缭绕寻任务效力进展中，有些任务效力能够经过任务时刻失失落，而有些那么要依照“工程〞过程变更法则失失落。

在解题时，咱们要弄清本来的、如今的之间的关联，以两者关联为打破口解答咨询题。

因为工程咨询题是研讨任务量、任务效力跟任务时刻三者间关联的咨询题。

因而咱们就要从标题中开掘出三者之中的两者，特不是寻出任务效力，这每每是解题的要害，也是本讲的重点内容。

例1：甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天实现了，乙、丙合修2天实现余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天实现，现领人为共180元，按任务量调配，甲、乙、丙应各领几多元？思绪剖析此题看上去有点庞杂，现实上咨询题的要害在于求出甲、乙、丙三个各自的任务效力。

由曾经明白前提，甲、乙协作6天实现了，故可求出甲、乙两人的任务效力跟，即，异样可求出乙、丙两人任务效力以及甲、乙、丙三人任务效力的跟。

工程问题学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。

工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

在教学中，让学生建立正确概念是工程应用题的关键。

本节课从始至终都以工程问题的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概念。

知识梳理1.工程问题在主要概念定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间的相互关系的问题。

在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。

工程问题是小升初的常见考题，题型复杂多变，但是核心不变， 即：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间， 工作时间=工作总量÷工作效率；在分数应用题中，经常将工作总量抽象成单位“1”；例如：一项工程，甲5天完成，则甲每天完成全部的几分之几？分析：这道题中，我们将一项工程抽象成单位“1”，5为工作时间，所以每天完成整个工程的1÷5=51，即为所求，同时51也是甲完成这项工作的速度，所以51就是这道题中甲的工作效率。

在解决工程问题时，对于题中已知条件给出的每一个数字或字母表示的具体含义必须在读完题后，清晰明了，然后通过所求与已知的逻辑关系，再进一步求解。

常用方法：列表法，条件转换法，整体法；每一种方法的使用要在具体题目中用心体会。

2.解决工程问题的基本思路(1)工作量看作“1”，用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作总量除以工作效率和，就可以求出完成这项工程所需的时间。

工程问题一般采用这种方法求解。

(2)先求出独做的队或个人的工作效率，然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率，就可以求出一个队或个人独做的工作时间。

(3)求剩余部分的工作量完成的时间。

工程问题工程问题属于分数应用题;分数工程问题和整数工作问题基本一样,都是反映工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系;在具体解工程问题时要注意如下几点; 1．工作总量通常以“l ”表示,而工作效率用工作总量的几分之几表示,但也有些问题中这个单位“1”是可以求出具体值来的;2．两人合作的工程问题,一般都应设法确定各自的工作效率; 3．蓄水池中进水管、出水管问题是工程问题的一种特殊情况; 4．解答方法要根据题目具体特点,灵活选用;例1 一段布,可做30;件上衣,也可做48条裤子,如果先做20件上衣后,还可以做多少条裤子分析解答一 把“一段布”看作“一项工程”,“做30件上衣”可理解成甲独做30天完成,“做48条裤子可理解成乙独做48天完成”,“先做上衣20件”可理解成甲先工作20天,这样此题就可变为一道基本工程问题;11120163048⎛⎫-⨯÷= ⎪⎝⎭条 答：还可以做16条裤子;分析解答二 同一段布,可做30件上衣,也可做48条裤子,则做一件上衣的布可换成做裤子48÷30=1．6条即一件上衣的布是一条裤子用布的1．6倍,那么做20件上衣的布可换成做裤子1．6 ×20=32条,还可以做裤子48—32=16条 48—48÷32×20=16条分析解答三 用比例方法解答; 解：设还可以做x 条裤子,则：例2 一项工程,甲乙合做6小时可以完成,同时开工,中途甲停工了2．5小时,因此,经过7．5小时完工,如果这项工程由甲单独完成需要多少小时分析解答一 甲停工2．5小时所做的工作量,甲乙两人合做7．5—6=1．5小时可以完成;这项工程甲乙合做6小时完成,是两人合做1．5小时工作量的6÷1．5=4倍,也是甲2．5小时工作量的4倍,这项工程甲单独做要2．5×4=10小时才能完成;2．5 ×6÷7．5—6=10小时答：这项工程由甲单独完成需要10小时;分析解答二假设合做小时能完成工程的16×7．5=54超过“1”的54一l=14,14就是甲2．5小时所做的工作,因此甲独做需要的时间为2．5÷14=l0小时2．5÷16×7．5一1=l0小时分析解答三 根据题意可知甲、乙两人实际合做了5小时,乙又独做了2．5小时,乙的工作效率为1一16×5÷2．5=115,则甲的工作效率为16一115=110甲独做该工程需1÷110=lO 小时 7．5—2．5=5小时11115 2.51066⎡⎤⎛⎫÷--⨯÷= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦小时例3 师徒二人合做一批零件,12天可以完成;师傅先做了3天,因事外出,由徒弟接着做l 天,共完成任务的320;如果让师傅单独做多少天可以完成分析解答一用“分干合想”的思路,将条件中“师傅先做了3天,徒弟接着做1天”转化为“师徒合做一天,师傅又做2天”可以求出师傅2天做了这批零件的311201215-=;再把完成这批零件的总时间比作单位“1”,2天就占其中的115;那么,师傅单独做所用的天数是2÷115=30天3—1÷312012-=30天答：师傅单独做30天可以完成;分析解答二 同样先求出师傅2天做了这批零件的311201215-=,再求出师傅的工作效率115÷2=130,最后求出所求天数;L 312012-÷3—1=30天例4一项工程,甲、乙合做8天完成,如果先让甲独做6天,然后乙再独做,完成任务时发现比甲多用3天,乙独做这项工程要多少天完成分析解答一 用“分干合想”的思路,根据题意可知甲、乙合做了6天,然后乙再独做3天完成;乙3天的工作量是l 一18×6=14,则乙独做这项工程的时间是3÷14=12天3÷1一18×6=12天答：乙独做这项工程要12天完成;分析解答二 根据解答一的分析,乙独做3大的工作总量为l-18×6=14,乙的工作效率为14÷3=112,乙独做该工程需1÷112=12天 1÷1一18×6÷3=12天分析解答三假设甲、乙合做9天,工作量是18×9=118,超过总工程1 18-l=18,18就是甲3天所做的,那么,甲的工作效率是18÷3=124,乙完成全工程用的时间l÷18—124=12天1÷18-18×9一1÷3=12天例5 一件工作,甲单独做2小时完成,现在甲、乙合做4小时后,乙又用6小时才完成;乙单独做这件212作多少小时完成分析解答一可用“合干分想”的思路,将条件“甲乙合做4小时后,乙又用6小时才完成”转化成“甲先做4小时,再由乙做4+6=l0小时;那么,可以知道甲4小时独做工作的412,乙10小时做的工作量为l一412=812,最后求出乙单独做这件工作所用的时间10÷812=15小时4+6÷1-412=15小时答：乙单独做这件工作15小时完成;分析解答二根据解答一的分析,先求出乙的工效,再求出他独做的时间;1÷1一412÷4+6=15小时例6 一项工程,甲、乙两人合做12天可以完成,中途甲因事停工5天,因此用了15天才完成;甲单独做这项工程要用多少天分析解答一用假设法进行思考;假设甲中途没有停工,甲乙合做15天可以完成的工作是112×15=114,超过这项工程的l14-1=14,14就是甲5天能做的工作,甲单独完成工程需用天数是5÷14=20天5÷112×15一1=20天答：甲单独做这项工程要用20天;分析解答二根据条件可知甲5天的工作量等于甲乙合做15-12=3天的工作量,甲乙合做12天的工作让甲单独做需用的天数是5×12÷3=20天5 ×12÷15—12=20天分析解答三甲停工5天,也就是乙独做了5天,然后甲乙合做15—5=10天完成这项工程,乙单独做5天的工作是1一112×15—5=16,乙队的工作效率是16÷5=130则甲单独做这项工程需用时间是1÷112-130=20天1一112×15—5÷5=1301÷112一130=20天例7 一批零件,甲独做8天完成,乙独做10天完成,现在由两人合做这批零件,中途甲因事请假一天,完成这批零件共用多少天分析解答一假设中途甲没有请假．照常工作．那么完成的总工作量应为l+18=118,两人完成这批零件共用118÷18+110=5天1+18÷18+110=5天答：完成这批零件共用5天;分析解答二根据条件“中途甲因事请假一天”可知在T作过程中乙单独做了1天,完成110,两人同时合做的工作量为l—110=910;那么,合做的时间为910÷18+110=4天,完成任务共用时间为4+1=5天1一110÷18+110+1=5天分析解答三设完成这批零件共用x天1 8×x一1+110x=1x=5例8 放满一个水池的水,若同时打开1,2,3号阀门,则20分钟可以完成,若同时打开2,3,4号阀门,则21分钟可以完成；若同时打开1,3,4号阀门,则28分钟可以完成；若同时打开1,2,4号阀门,则30分钟可以完成;问：如果同时打开1,2,3,4号阀门,那么多少分钟可以完成分析解答同时打开1,2,3号阀门1分钟,再同时打开2,3,4号阀门1分钟,再同时打开1,3,4号阀门1分钟,再同时打开1,2,4号阀门1分钟,这样,1,2,3,4号阀门各打开了3分钟,放水量等于一池水的111120212830+++;所以同时打开1,2,3,4号阀门,放满一池水需1÷111120212830+++÷3=18分例9 某工程由一、二、三,队合干,需要8天完成,由二、三、四小队合干,需要10天完成；由一、四小队合干,需15天完成;如果按一、二、三、四、一、二、三、四……的顺序,每个小队干一天,再轮流干,那么工程由哪个队最后完成分析解答与例8类似,可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是111 81015 ++÷2=748,四个小队各干了6天即24天后,还剩下工程量的1一748×6=18;又因为一、二、三小队合干需8天,即一、二、三小队各干1天完成工程量的18,所以工程由三小队最后完成;例10 师徒两人加工相同数量的零件,师傅每小时加工自己任务的110,徒弟每小时加工自己任务的115;现在同时开始加工自己的零件,师傅完成任务后立即去帮助徒弟加工,等两人都完成任务时,一共用多少小时分析解答一假设工作时师徒均没有休息,如果把每个人的任务都看作“1”,就相当于两个人共同完成“2”,则所用时间是：2÷110+115=12时分析解答二改变一下工作的顺序,师徒先共同做完师傅的任务,再共同做徒弟的任务,则所用时间是：1÷110+115×2=12小时分析解答三如果把师徒两人的任务合起来看作“1”,那么师傅单独完成就需10×2小时,徒弟单独完成就需15×2小时,他们共同工作．则所用时间是：1÷1102⨯+1152⨯=12时分析解答四当师傅完成任务时,师徒都干了10小时,师傅去帮助徒弟,同徒弟合干剩下部分,则完成任务所用时间是：10+1一115×10÷110+115=12小时例11 甲、乙两人加工同样多的零件,甲需要12小时完成,乙需要15小时完成;现在甲乙两人同时加工,当甲完成任务时,又帮乙做;又过了几小时,甲乙将所有的任务完成分析解答一甲完成任务时用了12小时,这时乙也做了12小时,乙完成了工作量的1215,乙还剩下l一1215=15,甲乙合做15还需用1 5÷112+115=l13小时1一1215÷112+115=l13小时答：又过了l 13小时,甲乙将所有的任务完成;分析解答二把甲、乙两人共同加工的任务看作“2”,两人合做要用的时间是2÷112+115=1313小时,已经用了12小时,则又用的时间是1313—12=113小时2÷112+115一12=l13小时例12 维修一条下水道,甲、乙两队合修10天可以完成;两队合修4天后,余下的由乙队单独修还需12天,由乙队单独维修这条下水道需要多天分析解答一根据“甲、乙两队合修10天完成”把10天的工作量平均分成10份,两队合修4份后余下6份乙需用12天,则完成l份要126=2天．完成总任务乙需用2×10=20天12÷10—4×10=20天答：由乙队单独维修这条下水道需要20天;分析解答二两队合修4天后还余下1一410=610,乙用12天完成余下任务,则乙队单独做全部工作所用时间12÷6=20天12÷1一110×4=20天分析解答三根据解答二的分析,可以先求出乙队的工效,再求出乙队独修的天数;1÷1一110×4÷12=20天例13 某修路队24天修完一条路的78;照这样计算剩下的又修了3天4小时,这个修路队每天工作多少小时分析解答一修完这条公路所用总天数看作8份,24天修了其中的7份,每份所用时问为24÷7=337天,剩下的工作正好是18,即一份所用时间为3天4小时,337—3=37天就是4时占每天工作时间的37,每天工作的时间为4÷37=913小时;4÷24÷7—3=9 13小时答：这个修路队每天工作9了1小时;．分析解答二修完这条路所用总天数为24÷78=2737天,剩下所用天数是2737—24=337天,4小时占每天工作时间的337—3=37天,则每天工作时间是4÷37=913小时4÷24÷78—24—3=913小时例14 一项工程,甲单独完成所用的时间是乙的34,现在甲先做1天,然后甲、乙合做2天完成了任务;如果由乙单独完成这项工程需要多少天分析解答一根据条件“甲先做1天,然后甲乙合做2天完成了任务”,可知完成这项工程实际甲用了1+2=3天,乙用了2天;甲3天的工作量乙要做3÷34=4天,这项工程乙独做的天数需4+2=6天;1+2÷34+2=6天答：乙单独完成这项工程需要6天;分析解答二先算出甲独做共用时间,再算出乙共用的时间;完成这项工程甲共需用1+2+2×÷=4．5天,乙则需4．5÷34=6天,2×34+1+2÷34=6天例15 一项工程,甲队单独做要用8天,乙队要用12天完成;现在由两队合做2天后,余下的由乙队独做;完成任务时,乙队共做了多少天分析解答一根据题意可知：在完成这项工程过程中,甲队用了2天,完成的工作是18×2=14;那么乙队做的工作量则是l一1 4=34,34里包含几个112就是乙所用的天数,34÷112=9天;1一18×2÷112=9天答：完成任务时,乙一共做了9天;分析解答二先求出两队合做2天后余下的工作量,再求出乙队独做的天数;1一18+112×2÷112+2=9天例16 一项工程甲乙合做5天完成,甲队独做12天完成;现在两队合做,中途乙因故休息了3天;在完成这项工程中,甲乙合做了多少天分析解答一这题跟上题解法类似;因为工作过程中乙因故休息3天,实际是甲单独做了3天,其他的任务是合做的;甲3天的工作量是112×3=14,甲乙合做的是l一1 4=34,34里包含几个112就得到合做的天数,34÷112=334天1一112×3÷112=334天答：甲乙合做了334天;分析解答二用方程解答;设甲乙合做x天;例17 甲、乙、丙三人做一件工作,原计划按甲、乙、丙的顺序,每人一天轮流去做,恰好整天做完,并且结束工作的是乙;若按乙、丙、甲的顺序轮流去做,则比计划多用1 2天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做,则比原计划多用13天;已知甲单独做完这件工作需要9天,那么甲、乙、丙三人一起做这件工作,要用多少天才能完成分析解答把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮;在一轮中,无论谁先谁后,完成的总工作量都相同;所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同见下面虚线左边,相差的就是最后一轮见下图虚线右边;由最后一轮完成的工作量相同,得到甲+乙=乙+丙+12甲, ①乙+丙+12甲=丙+甲+13乙②由①式得到：丙=12甲；由②式得到：乙=13甲;甲、乙、丙三人合做一天等于甲做l+34+12=94天,推知三人合做需用9÷94=4天例18 完成一项工程,甲队独做正好可以按计划天数完成,乙队独做要超过计划312天才能完成;如果甲乙两队先合做225天后,再由乙队独做,也可以按计划天数完成;完成这项工程计划用多少天分析解答一由题意可知,甲做225天的工作乙需要用312天才能完成,完成同一项工程乙的天数是甲的312÷225=11124倍;又因为完成这项工程乙比甲多用312天,则甲完成工程所用天数是312÷11124—1=7711天,也就是完成工程计划所用的天数.312÷312÷225一1=7711天答：完成这项工程计划用7青天;分析解答二根据甲25天完成的工作乙需用312天,可得到甲乙完成相同工作量所用时间比225：312=24：35,又可以列式：312÷35—24×24=7711天例19 甲、乙、丙三人每天工作量的比是3：2：1,现有一件工作3人合作5天完成了全部工作的13;然后,甲休息4天后继续工作,乙休息3天后继续工作,丙没休息;完成这件工作共经过多少天分析解答解：设丙单独做需x天,则1 x ×3+2+1=13解得x=90;甲、乙、丙合做一天能完成工作的1 90×3+2+1=115丙比甲多干4天,乙比甲多干1天,甲干了1一190×4—290×1÷115=14天丙干的天数,即完成这件工作共经过14+4=18天例20 某项工程,由甲乙两队承包,225天可以完成,需支付1800元；由乙、丙两队承包,334天可以完成,需支付1500元；由甲、丙两队承包,2要天可以完成,需支付1600元;在保证一星期内完成的前提下,选择哪个队单独承包费用最少分析解答从两方面考虑：如果不管“钱数”,只看“天数”,就可以求得甲、乙、丙单独干分别需要4,6,10天;如果不管“天数”,只看“钱数”,可求得甲、乙、丙队的工资每天分别为455,295．105元;所以,单独承包这项工程,甲队需4天,应付1820元；乙队需6天,应付1770元；丙队需10天,后付1050元;可以看出：选择乙队单独承包费用最少;例21 修一条路,甲、乙两队合作需12天完成,现在由甲队先工作8天,然后由乙队工作6天,还剩下这条路的25未完成;剩下的路由甲队修还需多少天分析解答题目条件可变为“两队合作6天,甲队又修2天,完成35;”甲队的工作效率为25一112×6÷2=120,剩下的25甲队还需25÷120=8天例22 制作一批零件,甲车间要10天完成,甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成,乙车间与丙车间一起做需8天才能完成;现在3个车间一起做,完工时发现甲车间比乙车间多做1000个零件;这批零件共有多少个分析解答甲的工作效率是110,乙的工作效率是16-110=115;3个车间一起做,完成这批零件的制作需 1÷18+110=409天这批零件共有l0000÷110一115×409=13500个例23 师傅与徒弟共同加工750个零件;师傅先做6天,再由徒弟做3天可以完成任务；如果徒弟先做5天,则师傅再做5天可以完成任务;那么徒弟每天加工多少个零件分析解答一根据题意可知,师傅1天的工作量徒弟要2天完成;故而进行代换：将师傅6天完成的工作量由徒弟来做则要12天完成,那么师傅6天和徒弟3天共同加工750个零件,可视为徒弟15天可加工750个零件;因此,徒弟每天加工750÷15=50个750÷6×2+3=50个分析解答二由“徒弟先做5天后,师傅接着做5天完成加工任务”可知师徒工作效率之和为15,又因为“师傅先做6天后,徒弟再做3天完成加工任务”可视为师、徒合做3天,师傅再做3天完成任务;故合做3天完成这批零件的15×3=35,余下的1一35=25由师傅3天完成;则师傅工作效率为25÷3=215,徒弟工作效率为15一215=115;即徒弟每天做750×115=50个750×15一1一15×3÷3=50个例24 甲、乙两队同时各抢修一段同样长的铁路;开工12天后两队完成的工作量正好等于甲队的总工作量,开工20天后乙队完成了任务,甲队还需再修400米才能完成任务;两段抢修的铁路共长多少米分析解答把一段铁路的长作为单位“1”,两队一天完成112,乙队一天完成120,所以甲队一天完成112一120=130,所求列式为：400÷1一130×20×2=2400米例25 甲、乙二人各加工一批零件,乙完成任务比甲少用2小时,如果甲先做200个,乙再开始生产,当甲完成时,乙还剩90个;乙的工作效率是甲的34,甲每小时做多少个分析解答因为乙的工作效率是甲的34,所以乙做90个零件的时间甲能做90÷34=120个,也就是如果甲先做200—120=80个,乙再开始生产,二人能够同时完成;甲做80个所用时间是2小时,因而每小时能做80÷2=40个200—90÷34÷2=40个答：甲每小时做40个;例26 完成某项工作,甲、乙合做需5小时,乙、丙合做或甲、丁合做都需4小时;问：丙、丁合做这项工作需多少小时分析解答l÷310=103小时=313小时例27 一批零件平均分给甲、乙两人加工,当甲完成任务的34时,乙完成了任务的45;这时甲比乙少做60个;这批零件一共有多少个分析解答一把两人各自加工的任务看作单位“1”,当甲完成任务的34时,乙比甲多做了45一34=120,根据甲比乙少做60个,就可以求出各自的任务数60÷120=1200个,则这批零件一共的个数是1200×2=2400个60÷45一34×2=2400个答：这批零件一共2400个;分析解答二把这批零件看作单位“1”,两人同时加工各完成了这批零件的4 5×12=25和34×12=38,这批零件的总个数是60÷25一38=2400个60÷45×12一34×12=2400个分析解答三设甲和乙的各自任务为x个’4 5x一34x=60x=12001200×2=2400个例28 一批零件,单独加工甲要20小时完成,乙要30小时;现在甲、乙共同加工,完成任务时,甲比乙多加工180个零件;这批零件共有多少个分析解答一甲、乙两人的工作效率比为120：130=3：2,同一时间内,两人加工的工作量的比是3：2,则这批零件共有的个数是：180×3232+-=900个答：这批零件共有900个;分析解答二先求出同时加工完成任务所用时间1120+130=12小时,甲比乙多加工这批零件的120-130×12=15,那么这批零件总数为180÷15=900个1÷120+130=12小时180÷120-130×12=900个分析解答三根据解答二的分析,甲比乙每小时多加工180÷1÷120+130=15个;180÷1÷120+130÷120-130=900个例29 一批零件,甲、乙两组合做15小时完成,完成时,甲组比乙组少做零件450个;已知甲组每小时做零件105个,这批零件共有多少个分析解答一假设乙每小时也做105个,则甲乙两组15小时共做105×15×2=3150个,但实际完成时乙组比甲组多做450个,用3150+450=3600个,就是零件总数;105×15×2+450=3600个答：这批零件共有3600个;分析解答二由条件可知,甲组15小时可做的零件是105×15=1575个,那么乙做的个数是1575+450=2025个,这批零件总数是105×15+450+105×15=3600个分析解答三“完成任务时,甲组比乙组少做零件450个”,得出甲组每小时比乙组少做450÷15=30个,乙组的工作效率是105+30=135个,这批零件总数135+105×15=3600个450÷15+105+105× 15=3600个例30 师徒二人加工同一种机器零件,徒弟工作4小时,师傅工作7小时,师傅每小时比徒弟多做10个,徒弟做的零件是师傅的1021;师傅加工了多少个零件分析解答一如果徒弟每小时多做10个就变为师徒二人的工作效率相等,这时徒弟做的零件就正好是师傅的47,徒弟做的总数比原来4小时的个数要多出40个,可见,40个对应着师傅所做零件个数的47一1021=221;解：10×4÷47一1021=420个答：师傅加工了420个零件;分析解答二设师傅每小时加工x个;x×7×1021=x－10×4x=6060×7=420个例31 一项工程,甲、乙、丙3人合做需13天完成,如果丙休息2天,那么乙就要多傲4天,或者甲、乙合作再多做1天;这项工程由甲单独去做需要多少天分析解答丙做2天等于甲做4天,丙的工作效率是乙的2倍；由乙做4天等于甲、乙合做1天,推知甲的工作效率是乙的3倍;甲、乙、丙合做13天,等于乙做13×3+13+13×2=13×3+1+2=78天所以甲独做需78÷3=26天例32 有一个工作小组,当每个工人在各自的工作岗位上工作时,7小时可生产一批零件;如果交换工人甲、乙的岗位,其他人不变,那么可提前1小时完成这批零件；如果交换工人丙、丁的岗位,其他人不变,也可提前1小时完成这批零件;问：如果同时交换甲与乙,丙与丁的岗位,其他人不变,那么完成这批零件需多长时间分析解答原来每小时可完成17,交换甲、乙后,每小时可完成16,每小时多完成16一17=142;同时交换甲与乙,丙与丁,每小时多完成142×2=121,一小时完成17+121=421,所以需211544小时=5时15分例33 师徒二人各自完成自己零件加工任务,师傅每小时加工50个,徒弟每小时加工40个,二人同时开始生产,恰好能同时完成任务；如果徒弟比师傅提前1小时生产,师傅每小时加工60个,也能同时完成任务;徒弟一共要加工多少个零件分析解答根据条件可知,师傅每小时做60个完成自己的任务比每小时做50个完成任务少用1小时,从而可以求出师傅的任务数l 115060-=300个,而师徒工作效率比为50：40,即同一时间完成的工作数量比也是50：40,那么徒弟完成的任务数是300×4050=240个l÷115060-×4050=240个答：徒弟一共要加工240个零件;例34 一组割草人要把两块草地的草割掉,大的一块草地比小的大一倍;全体组员用半天时间割大的一块草地,下午他们便对半分开,一半仍留在大草地上,到傍晚时把草割完了;另一半就到小草地割草,到傍晚时还剩下一块;剩下的一块由一个割草人又用一天的时间才割完;这组割草人共有多少人分析解答一设大块草地的面积为l,则小块草地的面积为12;由于全组人半天与半组人半天才割完大块草地,因此半组人半天可割去大块草地面积的13如图;故得1人1天的工作量图中阴影部分相当于大块草地面积的12一13=16,所以这组割草人的人数为：1+13÷12一13=8人答：这组割草人共有8人;分析解答二设全组割草人一天的工作量为1;由题意可知,大块草地的工作量为12+14=34,小块草地的工作量为14,再加上1人1天的工作量;又由于大块草地面积是小块草地面积的2倍,用小块草地的工作量乘以2,得到大块草地的工作量相当于12再加上2人1天的工作量;所以这组割草人的人数为：2÷34一12=8人分析解答三设大块草地的面积为3份,则小块草地的面积为1．5份;由全组人半天与半组人半天可割完大块草地,推知半组人半的工作量天的工作量为1份;又由于半组人半天与1人1天可割完小块草地,故得1人1天为1．5—1=0．5份;又因为全组人1天的工作量是3+1=4份,所以这组割草人的人数为：3+1÷0．5=8人分析解答四设全组人数为x人;若1天割完大块草地,则需人数为12x+12×12x；若l天割完小块草地,则需人数为12×12x+1,故得：1 2x+12×12x=12×12x+1×2x=8练习六1．筑路队计划修筑一条长2400米的公路,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成,如果两队同时开工共同修筑,多少天可以完成2．小东从家到校步行要45分,如果骑自行车只要15分,小东从家出发,骑车9分后,再步行,还要多少分可以到校3．一项工程,甲乙合做4天后,余下的甲独做6天才完成,已知甲5天的工作量等于乙4天的工作量,甲独做这项工程要多少天完成4．抄写一份稿件,小张和小王合抄6天可以完成;现在两人同时抄写,中途小张因外出开会停了8天,结果这份稿件12天抄完;这份稿件由小张独抄需要多少天完成5．一项工程,甲独做75天完成,乙独做50天完成,在合做的过程中,甲中途因事离开了几天,结果整个工程40天才完工;甲中途离开几天6．甲、乙二人同时开始加工一批零件,每人加工零件总数的一半;甲完成任务的1 3时乙加工了45个零件,甲完成23时乙完成了一半;问：这批零件共有多少个7．加工一批零件,张师傅独做需36小时完成,李师傅独做需45小时完成;如果开工时两人合做,中途张师傅退出转做新的工作,那么李师傅又做了18小时才完成;张师傅做了多少小时8．一项工程,如果甲先做5天,那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天,那么乙接着做8天可完成;如果甲、乙合做多少天可以完成9．一项工程,甲、乙两人合做4天后,再由乙单独做5天完成;已知甲比乙每天多完成这项工程的130;甲单独做这项工程需要多少天完成lO．王明与陈玲抄一份稿件,先由王明抄12小时,然后两人合抄还要9小时可以完成；如果先由陈玲抄12小时,然后二人合抄还要7小时可以完成,现在由两人同时合抄这份稿件,需要几小时完成11．甲、乙、丙三人合修一围墙,甲、乙合修5天修好围墙的13,乙、丙合修2天修好余下的14,剩下的甲、丙又合修了5天才完成;问：甲、乙、丙单独修各需几天。

最新六年级数学⼯程问题（附例题答案）六年级数学⼯程问题(附例题答案)⼀、知识要点在⽇常⽣活中,做某⼀件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项⼯程等等,都要涉及到⼯作总量、⼯作效率、⼯作时间这三个量,它们之间的基本数量关系是⼯作总量=⼯作效率×⼯作时间.在⼩学数学中,探讨这三个数量之间关系的应⽤题,我们都叫做“⼯程问题”.举⼀个简单例⼦：⼀件⼯作,甲做10天可完成,⼄做15天可完成.问两⼈合作⼏天可以完成？⼀件⼯作看成1个整体,因此可以把⼯作量算作1.所谓⼯作效率,就是单位时间内完成的⼯作量,我们⽤的时间单位是“天”,1天就是⼀个单位,因此甲的⼯作效率是101,⼄的⼯作效率是151,我们想求两⼈合作所需时间,就要先求两⼈合作的⼯作效率151101+,再根据基本数量关系式,得到所需时间=⼯作量÷⼯作效率=6（天）.两⼈合作需要6天.这是⼯程问题中最基本的问题,这⼀讲介绍的许多例⼦都是从这⼀问题发展产⽣的.为了计算整数化（尽可能⽤整数进⾏计算）,可把⼯作量多设份额.如上题,10与15的最⼩公倍数是30.设全部⼯作量为30份.那么甲每天完成3份,⼄每天完成2份.两⼈合作所需天数是30÷（3+ 2）= 6（天）实际上我们把111()1015÷+这个算式,先⽤30乘了⼀下,都变成整数计算,就⽅便些. 10天与15天,体现了甲、⼄两⼈⼯作效率之间⽐例关系11:3:21015=.或者说“⼯作量固定,⼯作效率与时间成反⽐例”.甲、⼄⼯作效率的⽐是15∶10=3∶2.当知道了两者⼯作效率之⽐,从⽐例⾓度考虑问题,也是⾮常实⽤的.根据3:2,两⼈合作时,甲应完成全部⼯作的33325=+,所需时间是31065=（天）. 因此,在下⾯例题的讲述中,我们可以采⽤ “把⼯作量设为整体1”的做法,也可以“整数化”或“从⽐例⾓度出发”、“列⽅程”等,这样会使我们的解题思路更灵活⼀些.⼆、典型例题例1. ⼀件⼯作,甲做9天可以完成,⼄做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的⼯作由⼄继续完成.⼄需要做⼏天可以完成全部⼯作？解析：甲的⼯效：1÷9＝1/9 ⼄的⼯效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3余下的⼯作：1 － 1/3 ＝2/3 ⼄需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天）例2. 有⼀⼯程,甲队单独做24天完成,⼄队单独做30天完成,甲、⼄两队合做8天后,余下的由丙队做,⼜做了6天才完成。

工程问题（休息、分干合想）月 日 姓名：【热身训练】1．有一份稿件，甲先单独抄写5小时，完成了41，乙接着单独抄写6小时，完成了余下的32，再余下的由两人合抄，尚需几小时完成？2.一项工程，甲单独做要142小时完成，乙单独做所需时间比甲少13，丙单独做所需时间比甲多12小时。

如果甲、乙、丙3人合做，多少小时可以 完成这项工程？【典型例题】例1 师徒两人合作生产一批零件，6天可以完成任务。

师傅先做5天后， 因事外出，由徒弟接着做3天。

共完成任务的107。

如果每人单独做这批零 件各需几天？例2 某工程由甲单独做63天后，再由乙单独做28天即可完成。

如果由甲、 乙合做，48天就可完成。

现在甲先单独做42天，然后再由乙单独完成，那么还要多少天？例3 一条公路，甲队单独修需10天，乙队单独修需12天，丙队单独修需15天，现让三个队合修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完。

当甲队撤出后，乙丙两队又共同合修了几天才完成？例4 一项工程，甲、乙合做6小时可以完成。

现两人合做来完成任务，中途甲停工了2.5小时，这样共经过7.5小时完工。

如果这项工程由甲单独完成要多少小时？例5 一件工作，甲、乙、丙三人合作需要1小时，甲、乙合作需要1小时20分。

甲、丙合作需要1小时30分。

问甲独做需要多少时间？课堂小测姓名： 成绩：1.一项工作甲、乙合做要12天完成，若甲先做3天后，再由乙工作8天， 共完成了这件工作的125。

如果这件工作由甲、乙单独做，各需要多少天？2.一项工程，甲、乙合做8天完成。

如果让甲先独做6天，然后乙再独做9天完成任务。

乙独做这项工程要多少天完成？3.制作一批零件，阿华田和冷彬彬两人合做8天完成。

如果阿华田单独 做12天可以完成。

实际先由冷彬彬做了若干天后，再由阿华田继续做，全部完成时共用了15天。

求阿华田和冷彬彬各工作了多少天？4．完成一件工作，甲单独做要10天，乙单独做要15天，丙单独做要 20天。

知识纵横在日常生活中，做某一件事、制造某种产品、完成某项任务、完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量。

探讨这三个数量之间关系的应用题叫做“工程问题”。

工作总量、工作时间、工作效率之间的数量关系是：工作总量＝工作效率×工作时间。

工程问题是分数应用题的引申与补充，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，把工作总量看成单位“1”，根据工作总量、工作时间、工作效率之间的数量关系解决具体问题。

甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独乙、做时提高1/10，乙的工作效率比单独做时提高1/5，甲、乙合作6小时完成了这项工作。

如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要几小时？例1工程问题（二）试一试1有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小时，丙需要9小时。

甲、乙在A仓库，丙在B仓库，同时开始搬运。

中途甲又转向帮助丙搬运。

最后，两个仓库同时搬完。

甲帮助乙、丙各多少小时？例2一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成，如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天。

问这项工程由甲独做需要多少天？试一试2搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。

有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。

丙帮助甲、乙各搬运了几小时？例3完成某项工程，甲单独工作需要18小时，乙单独工作需要24小时。

现甲、乙按如下顺序工作：甲先工作，每人工作一小时换班，直到工程完成。

问：当工程完成时，甲、乙各干了多少小时？试一试3一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成。

若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？例4有一批资料需要复印，甲复印机单独复印要10小时，乙复印机单独复印要15小时。