2018届中考数学《第35课时：解直角三角形》同步练习(含答案)

2018年九年级数学中考专题复习--解直角三角形实际问题培优练习卷1.如图,在△ABC中,∠C=60°,AC=2,BC=3.求tanB的值．2.如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°,求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）3.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B=cos ∠DAC．(1)求证；AC=BD；(2)若sin C=，BC=12，求AD的长．4.如图，长方形广告牌加载楼房顶部，已知CD=2m，经测量得到∠CAH=37°，∠DBH=60°，AB=10m，求GH的长.(参考数据：tan37°≈0.75，,1.732，结果精确到0.1m)5.某班数学兴趣小组为了测量建筑物AB的高度，他们选取了地面上一点E，测得DE的长度为8.65米，并以建筑物CD的顶端点C为观测点，测得点A的仰角为45°，点B的俯角为37°，点E的俯角为30°．（1）求建筑物CD的高度；（2）求建筑物AB的高度．（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.6，tan37°≈0.75）6.如图1，某同学家的一面窗户上安装有遮阳篷，图2和图3是截面示意图，CD是遮阳篷，窗户AB为1.5米，BC为0.5米．该遮阳篷有伸缩功能．如图2，该同学在夏季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为60°，遮阳篷CD正好将进入窗户AB的阳光挡住；如图3，该同学在冬季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为30°，将遮阳篷收缩成CD′时，遮阳篷正好完全不挡进入窗户AB的阳光．（1）计算图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了多少米；（结果保留根号）（2）如果图3中遮阳篷的长度为图2中CD的长度，请计算该遮阳落在窗户AB上的阴影长度为多少米？（请在图3中画图并标出相应字母，然后再计算）7.如图,天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米,小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走.已知山的西端的坡角是45°,东端的坡角是30°,小军的行走速度为米/秒.若小明与小军同时到达山顶C处,则小明的行走速度是多少？8.如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．（1）求出此时点A到岛礁C的距离；（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）9.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求△ABC的周长和面积。

第35课时 解直角三角形(60分)一、选择题(每题6分，共24分)1．[2016·长沙]如图35－1，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30 m 的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为(C) A.30tan αmB ．30sin α mC ．30tan α mD ．30cos α m2．[2016·南充]如图35－2，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB 长是(C) A ．2海里B ．2sin55°海里C ．2cos55°海里D ．2tan55°海里【解析】 根据余弦函数定义“cos A ＝ABPA”得AB ＝PA ×cos A ＝2cos55°.故选C. ＝353．[2016·济宁]如图35－3，斜面AC 的坡度(CD 与AD 的比)为1∶2，AC m ，坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连，若AB ＝10m ，则旗杆BC 的高度为 (A)A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．(3＋5)m 【解析】 设CD ＝x ，则AD ＝2x ，由勾股定理可得，AC ＝5x ，∵AC ＝3 5 m ，∴5x ＝35， ∴x ＝3 m ，∴CD ＝3 m ，∴AD ＝2×3＝6 m ， 在Rt △ABD 中，BD ＝8 m ，∴BC ＝8－3＝5 m.4．[2016·衡阳]如图35－4，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为 1 m 的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m 到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB (单位：m)为(C)图35－1图35－2图35－3图35－4A ．50 3B ．51C ．503＋1D ．101【解析】 由矩形CDFE ，得DF ＝CE ＝100 m ，由矩形EFBG ，得CD ＝GB ＝1 m ，因为∠ACE ＝30°，∠AEG ＝60°，所以∠CAE ＝30°，所以CE ＝AE ＝100 m ．在Rt △AEG 中，AG ＝sin60°·AE ＝32×100＝50 3 m ，所以AB ＝503＋1.故选C. 二、填空题(每题6分，共18分)5．[2016·邵阳]如图35－5，某登山运动员从营地A 沿坡角为30°的斜坡AB 到达山顶B ，如果AB ＝2 000 m ，则他实际上升了__1__000__m. 【解析】 图35－5过点B 作BC ⊥水平面于点C ， 在Rt △ABC 中，∵AB ＝2 000 m ，∠A ＝30°，∴BC ＝AB ·sin30°＝2 000×12＝1 000(m)．6．[2016·宁波]如图35－6，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是__m ．(结果保留根号)【解析】 在Rt △ACD 中，∵tan ∠ACD ＝ADCD， ∴tan30°＝AD9，∴AD ＝3 3 m ，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝45°，∴BD ＝CD ＝9 m ， ∴AB ＝AD ＋BD ＝33＋9(m)．7．[2016·潍坊]观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图35－7，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°.已知楼房高AB 约是45 m ，根据以上观测数据可求观光塔的高CD 是__135__m.【解析】∵爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°，图35－51第5题答图图35－6图35－7∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，tan30°＝AB AD， ∴45AD＝33，∴AD ＝453， ∵在楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°， ∴在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝453×3＝135(m)．三、解答题(共20分)8．(10分)[2016·台州]如图35－8，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知枕头上的点A 到调节器点O 处的距离为80 cm ，AO 与地面垂直．现调节靠背，把OA 绕点O 旋转35°到OA ′处．求调整后点A ′比调整前点A 的高度降低了多少厘米？(结果取整数) (参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)图35－8解：如答图，过点A ′作A ′B ⊥AO ，交AO 于B 点，在Rt △A ′BO 中cos35°＝OBOA ′，OB ＝OA ′·cos35°＝80×0.82＝65.6≈66， ∴AB ＝80－66＝14 cm ， 答：降低了14 cm.9．(10分)[2016·遂宁]如图35－9，一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ，从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10 m 到点D ，再次测得点A 的仰角为30°，求树高．(结果精确到0.1 m ．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图35－9第8题答图解：由题意，∠B ＝90°，∠D ＝30°，∠ACB ＝45°，DC ＝10 m ， 设CB ＝x ，则AB ＝x ，DB ＝3x ， ∵DC ＝10 m ， ∴3x ＝x ＋10， ∴(3－1)x ＝10， 解得x ＝103－1＝53＋5≈5×1.732＋5≈13.7. 答：树高为13.7 m.(24分)10．(12分)[2016·成都]如图35－10，登山缆车从点A 出发，途经点B 后到达终点C ，其中AB 段与BC 段的运行路程均为200 m ，且AB 段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC 段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离．(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)图35－10解：在直角△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，∠BAD ＝30°，AB ＝200 m ， ∴BD ＝12AB ＝100 m ，在直角△CEB 中，∵∠CEB ＝90°，∠CBE ＝42°，CB ＝200 m ， ∴CE ＝BC ·sin42°≈200×0.67＝134 m ， ∴BD ＋CE ≈100＋134＝234 m.答：缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离约为234 m.11．(12分)[2016·泰州]如图35－11，某仓储中心有一斜坡AB ，其坡度为i ＝1∶2，顶部A 处的高AC 为4 m ，B ，C 在同一水平地面上． (1)求斜坡AB 的水平宽度BC ；(2)矩形DEFG 为长方体货柜的侧面图，其中DE ＝2.5 m ，EF ＝2 m ，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF ＝3.5 m 时，求点D 离地面的高．(参考数据：5≈2.236，结果精确到0.1 m)图35－11解：(1)∵坡度为i ＝1∶2，AC ＝4 m ， ∴BC ＝4×2＝8 m ；(2)作DS ⊥BC ，垂足为S ，且与AB 相交于H . ∵∠DGH ＝∠BSH ，∠DHG ＝∠BHS ， ∴∠GDH ＝∠SBH ， ∴GH GD ＝12， ∵DG ＝EF ＝2 m ，∴GH ＝1 m ，∴DH ＝ 5 m ，BH ＝BF ＋FH ＝3.5＋(2.5－1)＝5 m ， 设HS ＝x m ，则BS ＝2x m ， ∴x 2＋(2x )2＝52，∴x ＝ 5 m ， ∴DS ＝5＋5＝25≈4.5 m. ∴点D 离地面的高为4.5 m.(14分)12．(14分)[2017·泸州]如图35－12，海中有两个灯塔A ，B ，其中B 位于A 的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C 处测得灯塔A 在西北方向上，灯塔B 在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继 续向东航行30海里到达点D ，这时测得灯塔A 在北偏西60°方向上，求灯塔A ，B 间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值)解：如答图，作CE ⊥AB 于点E ，AF ⊥CD 于点F ， ∴∠AFC ＝∠AEC ＝90°. ∵∠FCE ＝90°，∠ACE ＝45°， ∴四边形AFCE 是正方形．设AF ＝FC ＝CE ＝AE ＝x ，则FD ＝x ＋30，∵tan D ＝AFFD，∠AFD ＝90°，∠D ＝30°，第11题答图图35－12第12题答图∴33＝x x ＋30，解得x ＝153＋15， ∴AE ＝CE ＝153＋15.∵tan ∠BCE ＝BE CE，∠CEB ＝90°，∠BCE ＝30°， ∴33＝BE 153＋15，解得BE ＝15＋5 3. ∴AB ＝AE ＋BE ＝153＋15＋15＋53＝203＋30. ∴A ，B 间的距离为(203＋30)海里．。

第35课时 解直角三角形(60分)一、选择题(每题6分，共24分)1．[2015·长沙]如图35－1，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30 m 的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为(C)A.30tan αmB ．30sin α mC ．30tan α mD ．30cos α m2．[2015·南充]如图35－2，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是(C)A ．2海里B ．2sin55°海里C ．2cos55°海里D ．2tan55°海里【解析】 根据余弦函数定义“cos A ＝ABP A ”得AB ＝P A ×cos A ＝2cos55°.故选C.3．[2015·济宁]如图35－3，斜面AC 的坡度(CD 与AD 的比)为1∶2，AC ＝3 5 m ，坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连，若AB ＝10 m ，则旗杆BC 的高度为(A)A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．(3＋5)m【解析】 设CD ＝x ，则AD ＝2x ，由勾股定理可得，AC ＝5x ，∵AC ＝3 5 m ，∴5x ＝35，图35－1图35－2图35－3∴x ＝3 m ，∴CD ＝3 m ，∴AD ＝2×3＝6 m ， 在Rt △ABD 中，BD ＝8 m ，∴BC ＝8－3＝5 m.4．[2015·衡阳]如图35－4，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1 m 的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m 到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB (单位：m)为(C)A ．50 3B ．51C ．503＋1D ．101【解析】 由矩形CDFE ，得DF ＝CE ＝100 m ，由矩形EFBG ，得CD ＝GB ＝1 m ，因为∠ACE ＝30°，∠AEG ＝60°，所以∠CAE ＝30°，所以CE ＝AE ＝100 m ．在Rt △AEG 中，AG ＝sin60°·AE ＝32×100＝50 3 m ，所以AB ＝503＋1.故选C.二、填空题(每题6分，共18分)5．[2015·邵阳]如图35－5，某登山运动员从营地A 沿坡角为30°的斜坡AB 到达山顶B ，如果AB ＝2 000 m ，则他实际上升了__1__000__m.【解析】 图35－5过点B 作BC ⊥水平面于点C ， 在Rt △ABC 中，∵AB ＝2 000 m ，∠A ＝30°，∴BC ＝AB ·sin30°＝2 000×12＝1 000(m)．6．[2015·宁波]如图35－6，在数学活动课中，小敏为了测量校园图35－4图35－51第5题答图 图35－6内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是．(结果保留根号) 【解析】 在Rt △ACD 中， ∵tan ∠ACD ＝ADCD ， ∴tan30°＝AD9， ∴AD ＝3 3 m ，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝45°，∴BD ＝CD ＝9 m ， ∴AB ＝AD ＋BD ＝33＋9(m)．7．[2015·潍坊]观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图35－7，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°.已知楼房高AB 约是45 m ，根据以上观测数据可求观光塔的高CD 是__135__m. 【解析】 ∵爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°， ∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，tan30°＝AB AD ， ∴45AD ＝33，∴AD ＝453，∵在楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°， ∴在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝453×3＝135(m)． 三、解答题(共20分)8．(10分)[2015·台州]如图35－8，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知枕图35－7头上的点A 到调节器点O 处的距离为80 cm ，AO 与地面垂直．现调节靠背，把OA 绕点O 旋转35°到OA ′处．求调整后点A ′比调整前点A 的高度降低了多少厘米？(结果取整数)(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)图35－8解：如答图，过点A ′作A ′B ⊥AO ，交AO 于B 点，在Rt △A ′BO 中cos35°＝OBOA ′，OB ＝OA ′·cos35°＝80×0.82＝65.6≈66，∴AB ＝80－66＝14 cm ， 答：降低了14 cm.9．(10分)[2015·遂宁]如图35－9，一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ，从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10 m 到点D ，再次测得点A 的仰角为30°，求树高．(结果精确到0.1 m ．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图35－9解：由题意，∠B ＝90°，∠D ＝30°，∠ACB ＝45°，DC ＝10 m ， 设CB ＝x ，则AB ＝x ，DB ＝3x ，第8题答图∵DC＝10 m，∴3x＝x＋10，∴(3－1)x＝10，＝53＋5≈5×1.732＋5≈13.7.解得x＝103－1答：树高为13.7 m.(24分)10．(12分)[2015·成都]如图35－10，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200 m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)图35－10解：在直角△ADB中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝200 m，∴BD＝12AB＝100 m，在直角△CEB中，∵∠CEB＝90°，∠CBE＝42°，CB＝200 m，∴CE＝BC·sin42°≈200×0.67＝134 m，∴BD＋CE≈100＋134＝234 m.答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234 m.11．(12分)[2015·泰州]如图35－11，某仓储中心有一斜坡AB ，其坡度为i ＝1∶2，顶部A 处的高AC 为4 m ，B ，C 在同一水平地面上． (1)求斜坡AB 的水平宽度BC ；(2)矩形DEFG 为长方体货柜的侧面图，其中DE ＝2.5 m ，EF ＝2 m ，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF ＝3.5 m 时，求点D 离地面的高．(参考数据：5≈2.236，结果精确到0.1 m)图35－11解：(1)∵坡度为i ＝1∶2，AC ＝4 m ， ∴BC ＝4×2＝8 m ；(2)作DS ⊥BC ，垂足为S ，且与AB 相交于H . ∵∠DGH ＝∠BSH ，∠DHG ＝∠BHS ， ∴∠GDH ＝∠SBH ， ∴GH GD ＝12，∵DG ＝EF ＝2 m ，∴GH ＝1 m ，∴DH ＝ 5 m ，BH ＝BF ＋FH ＝3.5＋(2.5－1)＝5 m ， 设HS ＝x m ，则BS ＝2x m ， ∴x 2＋(2x )2＝52，∴x ＝ 5 m ， ∴DS ＝5＋5＝25≈4.5 m. ∴点D 离地面的高为4.5 m.第11题答图(14分)12．(14分)[2014·泸州]如图35－12，海中有两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值) 解：如答图，作CE⊥AB于点E，AF⊥CD于点F，∴∠AFC＝∠AEC＝90°.∵∠FCE＝90°，∠ACE＝45°，∴四边形AFCE是正方形．设AF＝FC＝CE＝AE＝x，则FD＝x＋30，∵tan D＝AFFD，∠AFD＝90°，∠D＝30°，∴33＝xx＋30，解得x＝153＋15，∴AE＝CE＝153＋15.∵tan∠BCE＝BECE，∠CEB＝90°，∠BCE＝30°，∴33＝BE153＋15，解得BE＝15＋5 3.∴AB＝AE＋BE＝153＋15＋15＋53＝203＋30. ∴A，B间的距离为(203＋30)海里．图35－12第12题答图。

2018 年九年级数学中考复习解直角三角形实质问题解答题加强练习1.如图，小山岗的斜坡 AC的坡度是 tan α = ，在与山脚 C距离 200 米的 D处，测得山顶 A的仰角为26.6 °，求小山岗的高 AB（结果取整数：参照数据： sin26.6 ° =0.45 ，cos26.6 ° =0.89 ，tan26.6 ° =0.50 ）．2.如图，以 AB为直径的⊙ O交△ ABC的边 AC于 D、BC于 E，过 D 作⊙ O的切线交 BC于 F，交 BA 延伸线于G，且 DF⊥BC．（1）求证： BA=BC；（2）若 AG=2，cosB=0.6 ，求 DE的长．3.为有效开发大海资源 , 保护大海权益 , 我国对南海诸岛进行了全面检查 . 如图，一丈量船在 A岛测得 B 岛在北偏西 30°方向 ,C岛在北偏东 15°方向，航行 100 海里抵达 B岛 , 在 B岛测得 C岛在北偏东 45° , 求B， C两岛及 A， C两岛的距离 .( 结果保存到整数 ,≈ 1.41,≈ 2.45)4. 如图，为丈量一座山岳CF 的高度，将此山的某侧山坡区分为AB和 BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米， BC=200米，坡角∠ BAF=30°，∠ CBE=45°．（ 1）求 AB段山坡的高度EF；（ 2）求山岳的高度CF．（ 1.414 ， CF结果精准到米）5.如图 , 在两建筑物之间有一旗杆, 高 15 米 , 从 A点经过旗杆极点恰巧看到矮建筑物的墙角C点 , 且俯角α为 60° , 又从 A点测得 D点的俯角β为 30° , 若旗杆底点 G为 BC的中点 , 则矮建筑物的高CD为多少？6.以下图，某数学活动小组要丈量山坡上的电线杆PQ的高度，他们在 A 处测得信号塔顶端P 的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为 31°，沿水平川面向前走100 米到 B 处，测得信号塔顶端 P 的仰角是68°，求信号塔PQ的高度．（结果精准到0.1 米，参照数据： sin68 °≈ 0.93 ，cos68 °≈ 0.37 ，tan68 °≈ 2.48 ，tan31 °≈ 0.60 ， sin31 °≈ 0.52 ， cos31 °≈ 0.86 ）7.如图，已知在△ ABC中 ,AD是BC边上的高 ,E 是 AC边的中点 ,BC=14,AD=12,sinB=0.8.（1）求线段 CD的长；（ 2）求 tan ∠ EDC的值 .8.如图 , 大楼 AB右边有一阻碍物 , 在阻碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端 D 处测得阻碍物边沿点 C 的俯角为 30° , 测得大楼顶端 A 的仰角为45°（点 B， C， E 在同一水平直线上），已知AB=80m,DE=10m,求阻碍物 B， C两点间的距离（结果精准到）（参照数据：≈ ，≈1.732 ）9.如图 , 某大楼的顶部竖有一块广告牌 CD,小李在山坡的坡脚 A处测得广告牌底部 D的仰角为60°，沿坡面 AB向上走到 B处测得广告牌顶部C的仰角为 45° . 已知山坡 AB的坡度为 i=1:，AB=10 米， AE=15 米．（1）求点 B距水平面 AE的高度 BH；（2）求广告牌 CD的高度．（测角器的高度忽视不计，结果精准到0.1 米．参照数据：≈ ，≈ ）10.某型号飞机的机翼形状如图,AB ∥ CD,∠ DAE=37o, ∠ CBE=45o， CD=1.3m,AB、 CD之间的距离为5.1m. 求 AD、AB的长．（参照数据：，，）311. 已知：如图，在△ABC中，∠ A=30°, tanB=，AC=18，求BC、AB的长.4CA B12.一副直角三角板如图搁置，点 C在 FD的延伸线上 ,AB∥ CF,∠ F=∠ ACB=90° , ∠E=30° , ∠A=45°， AC=，试求CD的长.13.如图 , 在△ ABC中， AB=AC,以 AC边为直径作⊙ O交 BC边于点 D, 过点 D 作 DE⊥ AB 于点 E，ED、AC的延伸线交于点 F.（ 1）求证： EF是⊙ O的切线；（ 2）若 BE=1.5, 且 sin ∠CFD=0.6, 求⊙ O的半径与线段AE 的长 .14.如图是我市投入使用的“大鼻子”校车，其安全隐患主假如超速和超载，某中学九年级数学活动小组设计了以下检测公路上行驶汽车速度的实验，先在笔挺的车道l 旁边选用一点A，再在l上确立点 B，使 AB⊥ l ，测得 AB的长为 30 米，又在 l 上选用点 C，D，使∠ CAB=30°，∠DAB=60°，以下图．（ 1）求 CD的长；（精准到0.1 米，参照数据：≈ ，≈ ）（ 2）已知本路段对校车的限速为 40 千米 / 时，若测得某校车从点 C到点 D 用时 3 秒，则这辆校车能否超速？并说明原因．参照答案1.解：∵在直角三角形 ABC中，=tan α = ，∴ BC=∵在直角三角形 ADB中，∴=tan26.6 ° =0.50 即： BD=2AB∵ BD﹣BC=CD=200∴ 2AB﹣ AB=200解得： AB=300米，答：小山岗的高度为300 米．2.（ 1）证明：连接 OD，如图，∵ DF 为切线，∴ OD⊥DF，∵DF⊥BC，∴ OD∥ BC，∴∠ ODA=∠C，而 OA=OD，∴∠ ODA=∠ OAD，∴∠ OAD=∠ C，∴ BA=BC；（ 2）作 DH⊥ AB于 H，如图，设⊙ O的半径为 r ，∵ OD∥BC，∴∠ B=∠ DOG，∴ cos ∠，在 Rt△ ODG中，∵ cos ∠DOG=，即=，∴ r=3，在 Rt△ ODH中，∵ cos ∠DOH= =，∴ OH=，∴ AH=3﹣=，在 Rt△ ADH中， AD==，∵∠ DEC=∠ C，∴ DE=DC，而 OA=OB， OD∥ BC，∴ AD=CD，∴ DE=AD=．3.解：由题意知∠BAC=45°，∠ FBA=30°，∠ EBC=45°， AB=100 海里，过 B点作 BD⊥AC于点D，∵∠ BAC=45°，∴△ BAD为等腰直角三角形，∴BD=AD=50，∠ ABD=45°，∴∠ CBD=180°-30 ° -45 ° -45 ° =60°，∴∠ C=30°，∴在 Rt△ BCD中， BC=100≈141(海里)，CD=50，∴ AC=AD＋ CD=50＋50≈ 193(海里)4.解：（ 1）作 BH⊥ AF 于 H，如图，在 Rt△ ABF中，∵ sin ∠BAH= ，∴ BH=800?sin30 ° =400，∴ EF=BH=400m；（ 2）在 Rt △ CBE中，∵ sin ∠ CBE=，∴ CE=200?sin45° =100≈ ，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（ m）．答： AB段山坡高度为400 米，山 CF 的高度约为541 米．5.GE//AB//CD ， BC=2GC， GE=15米， AB=2GE=30米， AF=BC=AB?cot ∠ ACB=30× cot60 o=10米，DF=AF?tan30 o=10×=10 米， CD=AB-DF=30-10=20米。

DABCEF解直角三角形在实际问题中的运用要点一：锐角三角函数的基本概念1。

(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ,直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ,且CD = 24 m,OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 1213． (1)求半径OD ;（2）根据需要，水面要以每小时0。

5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？2.（綦江中考）如图,在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点,AE BC =，DF AE ⊥,垂足为F ,连接DE ．（1）求证：ABE △DFA ≌△;(2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．3、（宁夏中考）如图,在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54,AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．OECD4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中,∠C = 90°,a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值。

5、(·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠,(1) 求证：AC=BD ； (2）若12sin 13C =，BC =12,求AD 的长．要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.(·钦州中考）sin30°的值为（ ）A 3B 2C ．12D 3 2.（长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,452AOC OC ∠==°，B 的坐标为（ ）A ．(21)，B ．2)，C ．211)， D ．(121)，3.（定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．3 C 83米 D ．433米 4。

宿迁中考）已知α为锐角,且23)10sin(=︒-α，则α等于( ) Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒80 5。

第35课时 解直角三角形(60分)一、选择题(每题6分.共24分)1、[2016·长沙]如图35－1.为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度.在距离树的底端30 m 的B 处.测得树顶A 的仰角∠ABO 为α.则树OA 的高度为(C)A.30tan αmB 、30sin α mC 、30tan α mD 、30cos α m2、[2016·南充]如图35－2.一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向.距离灯塔为2海里的点A 处、如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向.海轮航行的距离AB 长是(C) A 、2海里B 、2sin55°海里C 、2cos55°海里D 、2tan55°海里【解析】 根据余弦函数定义“cos A ＝AB PA”得AB ＝PA ×cos A ＝2cos55°.故选C. 3、[2016·济宁]如图35－3.斜面AC 的坡度(CD 与AD 的比)为1∶2.AC ＝3 5 m.坡顶有一旗杆BC .旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连.若AB ＝10 m.则旗杆BC 的高度为(A)A 、5 mB 、6 mC 、8 mD 、(3＋5)m 【解析】 设CD ＝x .则AD ＝2x .由勾股定理可得.AC ＝5x .∵AC ＝3 5 m.∴5x ＝3 5. ∴x ＝3 m.∴CD ＝3 m.∴AD ＝2×3＝6 m. 在Rt △ABD 中.BD ＝8 m.∴BC ＝8－3＝5 m.4、[2016·衡阳]如图35－4.为了测得电视塔的高度AB .在D 处用高为1 m 的测角仪CD .测得电视塔顶端A 的仰角为30°.再向电视塔方向图35－1图35－2图35－3前进100 m 到达F 处.又测得电视塔顶端A 的仰角为60°.则这个电视塔的高度AB (单位：m)为(C)A 、50 3B 、51C 、503＋1D 、101【解析】 由矩形CDFE .得DF ＝CE ＝100 m.由矩形EFBG .得CD ＝GB ＝1 m.因为∠ACE ＝30°.∠AEG ＝60°.所以∠CAE ＝30°.所以CE ＝AE ＝100 m 、在Rt △AEG 中.AG ＝sin60°·AE ＝32×100＝50 3 m.所以AB ＝503＋1.故选C. 二、填空题(每题6分.共18分)5、[2016·邵阳]如图35－5.某登山运动员从营地A 沿坡角为30°的斜坡AB 到达山顶B .如果AB ＝2 000 m.则他实际上升了__1__000__m.【解析】 图35－5过点B 作BC ⊥水平面于点C . 在Rt △ABC 中.∵AB ＝2 000 m.∠A ＝30°.∴BC ＝AB ·sin30°＝2 000×12＝1 000(m)、6、[2016·宁波]如图35－6.在数学活动课中.小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度.站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°.测得旗杆顶端A 的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9 m.则旗杆AB 的高度是3__m 、(结果保留根号)【解析】 在Rt △ACD 中. ∵tan ∠ACD ＝AD CD. ∴tan30°＝AD9.∴AD ＝3 3 m.在Rt △BCD 中.∵∠BCD ＝45°.∴BD ＝CD ＝9 m. ∴AB ＝AD ＋BD ＝33＋9(m)、7、[2016·潍坊]观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度.如图图35－51第5题答图图35－635－7.一人先在附近一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°.然后爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°.已知楼房高AB 约是45 m.根据以上观测数据可求观光塔的高CD 是__135__m.【解析】 ∵爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°. ∴∠ADB ＝30°.在Rt △ABD 中.tan30°＝AB AD. ∴45AD ＝33.∴AD ＝45 3. ∵在楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°. ∴在Rt △ACD 中.CD ＝AD ·tan60°＝453×3＝135(m)、三、解答题(共20分)8、(10分)[2016·台州]如图35－8.这是一把可调节座椅的侧面示意图.已知枕头上的点A 到调节器点O 处的距离为80 cm.AO 与地面垂直、现调节靠背.把OA 绕点O 旋转35°到OA ′处、求调整后点A ′比调整前点A 的高度降低了多少厘米？(结果取整数)(参考数据：sin35°≈0.57.cos35°≈0.82.tan35°≈0.70)图35－8解：如答图.过点A ′作A ′B ⊥AO .交AO 于B 点.在Rt △A ′BO 中 cos35°＝OBOA ′.OB ＝OA ′·cos35°＝80×0.82＝65.6≈66. ∴AB ＝80－66＝14 cm. 答：降低了14 cm.9、(10分)[2016·遂宁]如图35－9.一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高.在河岸边选择一点C .从C 处测得树梢A 的仰角为45°.沿BC 方向后退10 m第8题答图到点D .再次测得点A 的仰角为30°.求树高、(结果精确到0.1 m 、参考数据：2≈1.414.3≈1.732)图35－9解：由题意.∠B ＝90°.∠D ＝30°.∠ACB ＝45°.DC ＝10 m. 设CB ＝x .则AB ＝x .DB ＝3x . ∵DC ＝10 m. ∴3x ＝x ＋10. ∴(3－1)x ＝10. 解得x ＝103－1＝53＋5≈5×1.732＋5≈13.7.答：树高为13.7 m.(24分)10、(12分)[2016·成都]如图35－10.登山缆车从点A 出发.途经点B 后到达终点C .其中AB 段与BC 段的运行路程均为200 m.且AB 段的运行路线与水平面的夹角为30°.BC 段的运行路线与水平面的夹角为42°.求缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离、(参考数据：sin42°≈0.67.cos42°≈0.74.tan42°≈0.90)图35－10解：在直角△ADB 中.∵∠ADB ＝90°.∠BAD ＝30°.AB ＝200 m. ∴BD ＝12AB ＝100 m.在直角△CEB 中.∵∠CEB ＝90°.∠CBE ＝42°.CB ＝200 m. ∴CE ＝BC ·sin42°≈200×0.67＝134 m.∴BD ＋CE ≈100＋134＝234 m.答：缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离约为234 m.11、(12分)[2016·泰州]如图35－11.某仓储中心有一斜坡AB .其坡度为i ＝1∶2.顶部A 处的高AC 为4 m.B .C 在同一水平地面上、 (1)求斜坡AB 的水平宽度BC ；(2)矩形DEFG 为长方体货柜的侧面图.其中DE ＝2.5 m.EF ＝2 m.将该货柜沿斜坡向上运送.当BF ＝3.5 m 时.求点D 离地面的高、(参考数据：5≈2.236.结果精确到0.1 m)图35－11解：(1)∵坡度为i ＝1∶2.AC ＝4 m. ∴BC ＝4×2＝8 m ；(2)作DS ⊥BC .垂足为S .且与AB 相交于H . ∵∠DGH ＝∠BSH .∠DHG ＝∠BHS . ∴∠GDH ＝∠SBH .∴GH GD ＝12. ∵DG ＝EF ＝2 m.∴GH ＝1 m.∴DH ＝ 5 m.BH ＝BF ＋FH ＝3.5＋(2.5－1)＝5 m. 设HS ＝x m.则BS ＝2x m. ∴x 2＋(2x )2＝52.∴x ＝ 5 m. ∴DS ＝5＋5＝25≈4.5 m. ∴点D 离地面的高为4.5 m.(14分)12、(14分)[2017·泸州]如图35－12.海中有两个灯塔A .B .其中B 位于A 的正东方向上.渔船跟踪鱼群由西向东航行.在点C 处测得灯塔第11题答图A 在西北方向上.灯塔B 在北偏东30°方向上.渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D .这时测得灯塔A 在北偏西60°方向上.求灯塔A .B 间的距离、(计算结果用根号表示.不取近似值)解：如答图.作CE ⊥AB 于点E .AF ⊥CD 于点F . ∴∠AFC ＝∠AEC ＝90°. ∵∠FCE ＝90°.∠ACE ＝45°. ∴四边形AFCE 是正方形、设AF ＝FC ＝CE ＝AE ＝x .则FD ＝x ＋30. ∵tan D ＝AF FD.∠AFD ＝90°.∠D ＝30°. ∴33＝x x ＋30.解得x ＝153＋15. ∴AE ＝CE ＝153＋15.∵tan ∠BCE ＝BE CE.∠CEB ＝90°.∠BCE ＝30°. ∴33＝BE 153＋15.解得BE ＝15＋5 3. ∴AB ＝AE ＋BE ＝153＋15＋15＋53＝203＋30. ∴A .B 间的距离为(203＋30)海里、第12题答图。

《解直角三角形》整章测试一、选择题（每小题3分，共24分）1.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则cos A 的值是（ ）（A ）154(B)14(C)15 (D)４2.计算：2)130(tan -︒＝（ ）(Ａ)331-(B)13- (Ｃ)133- （D ）１－3 3.在ABC ∆中，,A B ∠∠都是锐角，且sinA ＝21， cosB ＝23，则ABC ∆的形状（ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）不能确定4.如图，在Rt ABC △中，3tan 2B =，23BC =，则AC 等于（ ） （A ）3（B ）4（C ）43（D ）65.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的 眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） (A)（53332+）m (B)（3532+）m (C)533m (D)4m 6．因为1sin 302=，1sin 2102=-， 所以sin 210sin(18030)sin30=+=-；因为2sin 452=，2sin 2252=-，所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240=（ ）（A ）12-(B)22-(C)32-(D)3-7．如图，客轮在海上以30km/h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得 灯塔A 的方位角为北偏东80，测得C 处的方位角为南偏东25，航 行1小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北偏东20，则C 到A 的距离是（ ）北东ABC(A)156km (B)152km (C)15(62)+km (D)5(632)+km8.如图，在Rt ABC △中，906cm A AC ∠==，，8cm AB =，把AB 边翻折，使AB 边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则sin DBE ∠的值为（ ）(A)13 (B)310(C)37373(D)1010二、填空题（每小题3分，共24分） 9．计算sin 60tan 45cos30-的值是 ．10. 用“>”或“<”号填空：1sin 50cos 402-0．（可用计算器计算） 11.在Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4BC AC =，则cos A = ． 12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为 米．13.如图，一轮船由南向北航行到O 处时，发现与轮船相距40海里的A 岛在北偏东33方向．已知A 岛周围20海里水域有暗礁， 如果不改变航向，轮船 （填“有”或“没有”）触暗礁 的危险．（可使用科学计算器）14. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE=6cm ，3sin 5A =，则菱形ABCD 的面积是__________2cm ． 15.根据指令[s,A]（s ≥0,0°≤A ＜360°）机器人在平面上能完成如下动作：先在原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ．现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y 轴的负方向，为使其移动到点（－3，3），应下的指令是 ． 16. 有古诗“葭生池中”今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问： 水深、葭长各几何？（1丈=10尺）回答：水深 ，葭长 .17.（本题8分）计算：242(2cos 45sin 60)4︒-︒+． 18.（本题10分）某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上A B ，两点间的距离时用了以下三种测量方法，如下图所示．图中a b c ，，表示长度，β表示角度．请你分别求出AB 的长度（用含有a b c β，，，字母的式子表示）．A bAAC B a Db A BCD EA BC（1）______AB = （2）______AB = （3） ______AB =19.（本题10分）小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）．20.（本题12分）海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．21.（本题12分）如图，AC 是某市环城路的一段，AE ，BF ，CD 都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A ，B ，C ．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向、点B 的北偏东30°方向上，AB ＝2km ，∠DAC＝15°． （1）求B ，D 之间的距离； （2）求C ，D 之间的距离．四、附加题（本题20分）22. 现代家居设计的“推拉式”钢窗，运用了轨道滑行技术，纱窗装卸时利用了平行四边形的不稳定性，操作步骤如下：（1）将矩形纱窗转化成平行四边形纱窗后，纱窗上边框嵌入窗框的上轨道槽（如图1）． （2）将平行四边形纱窗的下边框对准窗框的下轨道槽（如图2）．（3）将平行四边形纱窗还原成矩形纱窗，同时下边框嵌入窗框的下轨道槽（如图3）．在装卸纱窗的过程中，如图所示α∠的值不得小于81，否则纱窗受损．现将高96cm 的矩形纱窗恰好安装在上、下槽深分别为0.9cm ，高96cm （上、下槽底间的距离）的窗框上．试求合理安装纱窗时α∠的最大整数值．（下表提供的数据可供使用）sin810.987= sin820.990= sin830.993= sin840.995= cos90.987=cos80.990=cos70.993=cos60.995=AB C 中山路文化路D和平路45° 15°30° 环城路EF第25章《解直角三角形》整章测试答案： 一、1～8 BABA ACDD 二、9.0 10. > 11.3512. 4 13.没有 14. 6015.225⎡⎤⎣⎦16. 12尺，13尺三、17.解：原式222=-+2=18.解：（1）AB = （2）tan AB a β= （3）ac AB b=． 19．解：分两种情况： （1）当ACB ∠为钝角时， BD 是高，90ADB ∴∠=．在Rt BCD △中，40BC =，30BD =∴CD ==在Rt ABD △中，50AB =，∴40AD ==．40AC AD CD ∴=-=-，新课标第一网∴211(4030(600)22ABC S AC BD ==-⨯=-△． （2）当ACB ∠为锐角时， BD 是高，90ADB BDC ∴∠=∠=，在Rt ABD △中，5030AB BD ==，，40AD ∴==．同理CD ==∴(40AC AD CD =+=+，∴211(4030(600)22ABC S AC BD ==+⨯=+△．综上所述：2(600)ABC S =±△.20．解：有触礁危险．理由： 过点P 作PD ⊥AC 于D ．设PD 为x ，在Rt △PBD 中，∠PBD=90°－45°＝45°． ∴BD ＝PD ＝x ．在Rt △PAD 中，∵∠PAD ＝90°－60°＝30°，∴x ．xAD 330tan =︒=∵BD ，AB AD +=∴x ．x +=123 ∴)13(61312+=-=x ．∵，＜18)13(6+∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．21. 解：（1）由题意得，∠EA D =45°，∠FBD=30°． ∴ ∠EAC=∠EA D +∠DA C =45°+15°=60°． ∵ AE∥BF∥CD，∴ ∠FBC=∠EAC =60°． ∴ ∠DBC=30°．又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB， ∴ ∠ADB=15°．∴ ∠DAB=∠ADB． ∴ BD=AB=2． 即B ，D 之间的距离为2km ．（2）过B 作BO⊥DC，交其延长线于点O ， 在Rt△DBO 中，BD=2，∠DBO=60°． ∴ DO=2×sin60°=2×323=,BO =2×cos60°=1．在Rt△CBO 中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=33， ∴ CD=DO－CO=332333=-（km ）． 即C ，D 之间的距离为332km ． 22. 解：能够合理装上平行四边形纱窗时的最大高度：960.995.1-=（cm ）能够合理装上平行四边形纱窗时的高：96sin α∠或96cos(90)α-∠·° 当81α∠=°时，纱窗高：96sin 81960.98794.75295.1=⨯=<°∴此时纱窗能装进去，当82α∠=°时，纱窗高：96sin82960.99095.0495.1=⨯=<° ∴此时纱窗能装进去．当83α∠=°时，纱窗高：96sin 83960.99395.32895.1=⨯=>° ∴此时纱窗装不进去．因此能合理装上纱窗时α∠的最大值是82°.。

解直角三角形
一、选择题
1．（2018?山东淄博?4 分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100米，其铅直高度上升了 15米．在
用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；T6：计算器—三角函数．
【分析】先利用正弦的定义得到 sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．
【解答】解：sinA= = =0.15，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知
三角函数值求角需要用第二功能键．
2．（2018年湖北省宜昌市 3分）如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A的距离，可以在小河边取 PA的垂线 PB上的一点 C，测得 PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽 PA等于（）
米
米D．100tan55°
A．100sin35°
米C．100tan35°
米B．100sin55°
【分析】根据正切函数可求小河宽 PA的长度．。

解直角三角形1.△ABC 中,a ，b ,c 分别是∠A ,∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2,那么下列结论正确的是（ A ）A.c sin A ＝a B 。

b cos B ＝cC.a tan A ＝b D 。

c tan B ＝b2。

在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,若tan A ＝错误!,c ＝2，则b 的值等于( D ）A 、错误!B 、错误!C 、错误!D 、错误!【解析】 ∵tan A ＝错误!＝错误!,∴a ＝错误!，又∵a 2＋b 2＝c 2,∴错误!错误!＋b 2＝4,∴错误!＝4，∴b ＝错误!错误!、3.如图28－2－1,小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离,沿着与AB 垂直的方向走了m 米,到达点C ，测得∠ACB ＝α,那么AB 等于( B )A 。

m ·sin α米B 。

m ·tan α米C.m ·cos α米 D 、错误!米图28－2－1 图28－2－24.如图28－2－2,△ABC 中，cos B ＝错误!,sin C ＝错误!，AC ＝5,则△ABC 的面积是( A ）A 、错误!B 。

12 C.14 D.215.已知:在△ABC 中，AB ＝AC ,∠BAC ＝120°，AD 为BC 边上的高。

则下列结论中，正确的是（ B ）A.AD ＝错误!AB B 。

AD ＝错误!ABC 。

AD ＝BD D.AD ＝错误!BD6.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,a ＝6，b ＝2错误!，则∠B ＝__30°__。

【解析】 本题是已知两直角边解直角三角形,由tan B ＝错误!＝错误!＝错误!，得∠B ＝30°、7.已知Rt △ABC 中,∠C ＝90°，c ＝8错误!,∠A ＝60°，则a ＝__12__,b ＝__4错误!__.【解析】 本题是已知一锐角和斜边解直角三角形,由sin A ＝错误!，得a ＝sin A ·c ＝错误!×8错误!＝12、由∠A ＝60°,得∠B ＝30°,所以b ＝错误!c ＝4错误!、8.等腰三角形底边长为2错误!，底边上的高为3错误!,则底角为__60°__.【解析】 底边上的高将等腰三角形分割成两个直角三角形,通过解直角三角形即可求底角.9.在△ABC 中,∠C ＝90°,由下列条件解直角三角形。

九年级数学解直角三角形同步练习题（含答案）一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.若角α的余角是30∘，则cosα的值是()A. 12B. √32C. √22D. √332.在Rt▵ABC中，∠C=90∘，sinA=35，则cosB的值是()A. 45B. 35C. 34D. 433.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4，cosA=45，则BD的长度为()A. 94B. 125C. 154D. 44.已知a，b，c是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，且a：b：c=1：√2：√3，则cos B的值为()A. √63B. √33C. √22D. √245.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，⊙B与AC的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定6.如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是()A. tan55°=B. tan55°=C. sin55°=D. cos55°=7.如图，已知点A、点B是同一幢楼上的两个不同位置，从A点观测标志物C的俯角是65°，从B点观测标志物C的俯角是35°，则∠ACB的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 65°8.在Rt△ABC中，已知∠C=90∘.若AC=2BC，则sin∠A的值是()A. 12B. 2 C. √55D. √529.△ABC中，∠C=90°，若∠A=2∠B，则cosB等于()A. √3B. √33C. √32D. 1210.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=2√3，∠B=30°，S△ABC=10√3，则tanC的值为()A. 13B. 12C. √33D. √3211.在Rt△ABC中，∠C=90，AC=12，cosA=1213，则tanA等于()A. 513B. 1312C. 125D. 51212.如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为()A. 12B. √22C. 1D. √213.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是()A. 42√3米B. 14√3米C. 21米D. 42米14.如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为()A. 13B. √1010C. 12D. √2215.把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值()A. 不变B. 缩小为原来的13C. 扩大为原来的3倍D. 扩大为原来的9倍二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）16.计算：√27+(13)−2−3tan60°+(π−√2)0=______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.如图，在A的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A沿着北偏东55°方向巡逻，到达C时接到命令，立刻从C沿南偏东60°方向以20海里/小时的速度航行，从C到B航行了3小时．求A，B间的距离(结果保留整数).(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，√3≈1.73)四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）18.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC.测得BC=221m，∠ACB=45°，∠ABC=58°.根据测得的数据，求AB的长(结果取整数)．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．19.如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10,0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA=．(1)求点B的坐标；(2)求tan∠BAO的值．)−1+√18−6sin45°．20.计算：(1221.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度(√3取1.7)．22.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE=6，cosA=3．5(1)求CD的长；(2)求tan∠DBC的值．1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题．先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．【解答】解：因为角α的余角是30∘，所以α=90°−30°=60°，则．故选A．2.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA=，故选：B．3.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，AC=4，cosA=45，∴AB=ACcosA=5，∴BC=√AB2−AC2=3，∵∠DBC=∠A．∴cos∠DBC=cosA=BCBD =45，∴BD=3×54=154，故选：C．在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．4.【答案】B【解析】解：∵，∴△ABC为直角三角形．cosB==．故选：B．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，∴ACAB =AC5=45，∴AC=4，∴BC=√AB2−AC2=3，∵r=3，∴⊙B与AC的位置关系是相切，故选：B．6.【答案】B【解析】【解析】解：∵在Rt△ADE中，DE=6，AE=AB−BE=AB−CD=x−1，∠ADE=55°，∴sin55°=，cos55°=，tan55°=，故选：B．7.【答案】B【解析】【解析】解：根据题意可知：∠ACD=65°，∠BCD=35°，∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=30°．故选：B．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了锐角三角函数的求法，属于基础题．可先求出斜边AB，然后根据正弦的定义求出角A的正弦即可．【答案】解：∵AC=2BC，由勾股定理可得：AB=√AC2+BC2=√(2BC)2+BC2=√5BC，∴sin∠A=BCAB =√5=√55，故选C．9.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A=2∠B，∴∠B=30°，∴cosB=cos30°=√32，故选：C．根据直角三角形的性质求出∠B，根据30°的余弦值是√32解答．本题考查的是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵在△ABD中，∠ADB=90°，AD=2√3，∠B=30°，∴BD=ADtanB =√3√33=6．∵S△ABC=12BC⋅AD=10√3，∴12BC⋅2√3=10√3，∴BC=10，∴CD=BC−BD=10−6=4，∴tanC=ADCD =2√34=√32．故选：D．首先解直角△ABD，求得BD，再根据S△ABC=10√3，求出BC，那么CD=BC−BD，然后在直角△ACD中利用正切函数定义即可求得tanC的值．本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数定义，解题的关键是求出CD的长．【解析】解：∵cosA=ACAB =1213，AC=12，∴AB=13，BC=√AB2−AC2=5，∴tanA=BCAC =512．故选：D．根据cosA=1213求出第三边长的表达式，求出tanA即可．本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．12.【答案】B【解析】解：连接BC，∵每个小正方形的边长均为1，∴AB=√5，BC=√5，AC=√10，∵(√5)2+(√5)2=(√10)2，∴△ABC是直角三角形，∴cos∠BAC=ABAC =√5√10=√22，故选：B．根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求得cos∠BAC的值．本题考查解直角三角形、勾股定理与逆定理，解答本题的关键是明确题意，判断出△ABC 的形状，利用锐角三角函数解答．13.【答案】A【解析】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42√3(米)故选：A．在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．本题考查解直角三角形的应用−仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．【解析】【分析】本题主要考查正切值的求法，解题的关键是构造直角三角形．作AH⊥CB，交CB延长线于H点，∠ACB的正切值是AH与CH的比值．【解答】解：如图，作AH⊥CB，交CB延长线于H点，则tan∠ACB=AHHC =26=13．故选A．15.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．根据相似三角形的性质解答．【解答】解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．16.【答案】10【解析】解：原式=3√3+9−3√3+1=10．故答案为：10．直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意可知：∠ACD=55°，∠BCD=60°，BC=20×3=60(海里)，BC=30(海里)，BD=30√3(海里)，在Rt△BCD中，CD=12在Rt△ADC中，AD=CD⋅tan55°=30×1.43≈42.90(海里)，∴AB=AD+BD=42.90+30√3≈95(海里)．答：A，B间的距离为95海里．【解析】过点C作CD⊥AB于点D，根据三角函数分别求出CD、BD、AD的长，进而可求出A、B间的距离．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角的定义．18.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵∠ACB=45°，∴AD=CD，设AB=x，在Rt△ADB中，AD=AB⋅sin58°≈0.85x，BD=AB⋅cos58°≈0.53x，又∵BC=221，即CD+BD=221，∴0.85x+0.53x=221，解得，x≈160，答：AB的长约为160m．【解析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．19.【答案】解：(1)如图，过点B作BH⊥OA于点H，∵OB=5，sin∠BOA=，∴BH=3，OH=4，∴点B的坐标为(4,3)，(2)∵OA=10，∴AH=OA−OH=10−4=6，∴在Rt△AHB中，tan∠BAO===．【解析】解答案20.【答案】解：(12)−1+√18−6sin45°=2+3√2−6×√2 2=2+3√2−3√2=2．【解析】首先计算负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．21.【答案】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABEC为矩形．∴CE=AB=12m．在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE，CE∴BE=CE⋅cot30°=12×√3=12√3．在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得DE=BE=12√3．∴CD=CE+DE=12(√3+1)≈32.4．答：楼房CD的高度约为32.4m．【解析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．22.【答案】解：(1)在Rt△ADE中，∠AED=90°，AE=6，cosA=3，5∴AD=AE=10，cosA∴DE=√AD2−AE2=√102−62=8．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD=DE=8；(2)由(1)AD=10，DC=8，∴AC=AD+DC=18，在△ADE与△ABC中，∵∠A=∠A，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，即8BC=618,BC=24，∴tan∠DBC=CDBC =824=13．【解析】(1)在Rt△ADE中，根据余弦函数的定义求出AD，利用勾股定理求出DE，再由角平分线的性质可得DC=DE=8；(2)由AD=10，DC=8，得AC=AD+DC=18.由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形对应边成比例可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC=13．本题考查了解直角三角形，角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，求出DE是解第(1)小题的关键；求出BC是解第(2)小题的关键．。

2018年中考数学精选题作业本解直角三角形一、选择题:1.已知tanα=，则锐角α的取值范围是（）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°2.如图,在四边形ABCD中,E、F分別是AB、AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于（）A．0.75 B．C．0.6 D．0.83.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（）A．B．C．D．4.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.45.如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．下列说法正确的是（）A．AB的长为400米；B．AF的长为10米；C.填充的土石方为19200立方米；D．填充的土石方为384立方米6.把锐角△ABC的各边都扩大2倍得△A′B′C′,那么∠A．∠A′的余弦值关系是（）A．cosA=cosA′B．cosA=2cosA′C．2cosA=cosA′D．不确定的7.如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.638.在Rt△ABC中,∠C＝90°,sinB=,则tanA的值为( )A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题0分，共0分）9.如图，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）10.如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB= ．11.如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________m.12.如图，为测量某物体AB的高度，在在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为米.13.网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．14.如图，为测量某塔AB的高度，在离塔底部10米处目测其塔顶A，仰角为60°，目高1.5米，则求该塔的高度为米.（参考数据：≈1.41，≈1.73）15.在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图,河岸EF∥MN,小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米,到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向,此时,其他同学测得CD=10米.请根据这些数据求出河的宽度为米．（结果保留根号）16.如图,等腰△ABC中,AB=AC，tan∠B=，BC=30,D为BC中点,射线DE⊥AC.将△ABC绕点C顺时针旋转（点A的对应点为A′,点B的对应点为B′）,射线A′B′分别交射线DA．DE于M、N.当DM=DN 时,DM长为．三、解答题（本大题共4小题，共0分）17.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．18.如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．（1）求证：AE•BC=AD•AB；（2）若半圆O的直径为10，sin∠BAC=，求AF的长．19.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD长为1．6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0．8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）20.小明是个爱动脑筋的学生，在学习了解直角三角形以后，一天他去测量学校的旗杆DF的高度，此时过旗杆的顶点F的阳光刚好过身高DE为1.6米的小明的头顶且在他身后形成的影长DC=2米。

第35课时 解直角三角形(70分)一、选择题(每题6分，共30分)1．如图35－1，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上) ( B )图35－1A.h sin αB.h cos αC.h tan α D ．h ·cos α【解析】 ∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCD ，在Rt △BCD 中，∵cos ∠BCD ＝CD BC ，∴BC ＝CDcos ∠BCD ＝hcos α.2．如图35－2，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔60海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处，这时，B 处与灯塔P 的距离为( B )A ．603海里B ．602海里C ．303海里D ．302海里图35－2 第2题答图【解析】 如答图，作PE ⊥AB 于E .在Rt △P AE 中，∵∠P AE ＝45°，P A ＝60海里，∴PE ＝AE ＝ 22×60＝30 2(海里)，在Rt △PBE 中，∵∠B ＝30°，∴PB ＝2PE ＝602(海里)．3．如图35－3，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD 的高度，在水平地面A 处安置测倾器测得楼房CD 顶部点D 的仰角为45°，向前走20 m 到达A ′处，测得点D 的仰角为67.5°，已知测倾器AB 的高度为1.6 m ，则楼房CD 的高度约为(结果精确到0.1 m ，2≈1.414，tan67.5°＝1＋2)( C ) A ．34.14 mB ．34.1 mC ．35.7 mD ．35.74 m图35－3 第3题答图 【解析】 如答图，过B 作BF ⊥CD 于F ，∴AB ＝A ′B ′＝CF ＝1.6 m ，在 Rt △DFB ′中，B ′F ＝ DF tan67.5°，在Rt △DFB 中，BF ＝DF ，∵BB ′＝AA ′＝20 m ，∴BF －B ′F ＝DF －DF tan67.5° ＝20，∴DF ≈34.1 m ，∴CD ＝DF ＋CF ≈35.7 m ，即楼房CD 的高度约为35.7 m.4．如图35－4，在距离铁轨200 m 的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10 s 后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是 ( A )图35－4A．20(3＋1)m/s B．20(3－1)m/s C．200 m/s D．300 m/s【解析】如答图，作BD⊥AC于点D.∵在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，∴AD＝BD·tan∠ABD＝200 3(m)，同理，CD＝BD＝200(m)．则AC＝(200＋200 3)m.∴动车平均速度是200＋200310＝20( 3 ＋1)m/s.第4题答图5．卷]如图35－5，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3 m，CE＝2 m，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10 m，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84) (A)A．5.1 m B.6.3 mC．7.1 m D.9.2 m图35－5 第5题答图【解析】如答图，过点C作CG⊥AB，垂足为点G，∵i＝1∶0.75，∴CGBG＝10.75，即BG＝34CG，∵坡长BC＝10 m，BG2＋CG2＝BC2，916CG2＋CG2＝100，解得CG＝8，∴BG＝6.过点E作EF⊥AB，垂足为点F，易知EF∥CG，又∵CE∥AB，∴四边形CEFG为平行四边形，又∵EF⊥AB，∴▱CEFG为矩形，∴EF＝CG＝8，CE＝GF＝2，又∵DE＝3，∴DF＝11，在Rt△ADF中，∠A＝40°，∴tan40°＝DFAF，即11AF＝0.84，解得AF≈13.10，∴AB＝13.10－6－2≈5.1(m)．二、填空题(每题6分，共18分)6．如图35－6，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是结果保留根号)．【解析】在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝ADCD，∴tan30°＝ADCD，又∵CD＝9 m，∴AD＝3 3 m，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝9 m，∴AB＝AD＋BD＝()33＋9m.7．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图35－7，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB＝12 m，背水坡面CD＝12 3 m，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝3 133，则CE的长为__8__m.图35－7 第7题答图【解析】分别过A，D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F，G，如答图所示．∵在Rt△ABF中，AB＝12 m，∠B＝60°，∴sin∠B＝AFAB，∴AF＝12×32＝图35－66 3，∴DG ＝6 3.∵在Rt △DGC 中，CD ＝12 3，DG ＝6 3 m ，∴GC ＝CD 2－DG 2＝18.∵在Rt △DEG 中，tan E ＝3133，∴63GE ＝3133，解得GE ＝26，∴CE ＝GE －CG ＝26－18＝8，即CE 的长为8 m.8．如图35－8，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A ，小明在岸边点B 处测得点A 在点B 的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m 后到达点C ，测得点A 在点C 的北偏西60°方向上，则点A 到河岸BC 的距离为图35－8 第8题答图 【解析】 如答图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .根据题意，得∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝30°，在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD BD ，∴BD ＝AD tan60°，同理，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan30°，∵BD ＋CD ＝BC ＝80， ∴AD tan60°＋AD tan30°＝80，解得AD ＝203，即点A 到河岸BC 的距离为20 3 m. 三、解答题(共22分)9．(10分)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm ，如图35－9①是一位同学的坐姿，把她的眼睛B ，肘关节C 和笔端A 的位置关系抽象成图②的△ABC .已知BC ＝30 cm ，AC ＝22 cm ，∠ACB ＝53°，她的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)图35－9解：该同学的这种坐姿不符合保护视力的要求．理由：如答图，过点B 作BD ⊥AC 于点D .在Rt △BDC 中，BD ＝BC ·sin53°≈24，CD ＝BC ·cos53°≈18，AD ＝AC －CD ≈4，在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2≈592(cm)＜30 cm. 答：该同学的这种坐姿不符合保护视力的要求．10．(12分)图35－10是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC ＝0.60 m ，底座BC 与支架AC 所形成的∠ACB ＝75°，支架AF 的长为2.50 m ，篮板顶端F 点到篮筐D 的距离FD ＝1.35 m ，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的∠FHE ＝60°，求篮筐D 到地面的距离．(精确到0.01 m ，参考数据：cos75°≈0.258 8，sin75°≈0.965 9，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)图35－10 【解析】过A 点作FE 的垂线交FE 的延长线于M ，则篮板顶端F 点到地面的距离是FM 和AB 的和，再减去FD即可得到篮筐D 到地面的距离．解：如答图，过点A 作AM ⊥FE 交FE 的延长线于M ，∵∠FHE ＝60°，∴∠F ＝30°.在Rt △AFM 中，FM ＝AF ·cos F ＝ AF ·cos 30°＝2.50× 32≈2.165 m.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝ BC ·tan75°≈0.60×3.732≈2.239 m. ∴篮筐D 到地面的距离为FM ＋AB －FD ＝2.165＋2.239－1.35＝3.05 m.(14分)11．(14分)如图35－11，海中一渔船在A 处且与小岛C 相距70海里，若该渔船由西向东航行30海里到达B 处，此时测得小岛C 位于B 的北偏东30°方向上．求该渔船此时与小岛C 之间的距离．图35－11第11题答图 【解析】 过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设BC ＝x ，在Rt △BCD 中用x 表示BD ，CD ，在Rt △ACD 中根据勾股定理列方程求解．解：如答图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意得∠BCD ＝30°，设BC ＝x ，则在Rt △BCD 中，BD ＝BC sin30°＝12x ，CD ＝BC cos30°＝ 32x .∴AD ＝30＋12x ，在Rt △ACD 中，AD 2＋CD 2＝AC 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32 x 2＝702，解得x 1＝50，x 2＝－80(舍去)．答：渔船此时与C 岛之间的距离为50海里．(16分)12．(16分)如图35－12是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD＝80 cm，宽AB＝48 cm，小强身高166 cm，下半身FG＝100 cm，洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK＝80°)，身体前倾成125°(∠EFG＝125°)，脚与洗漱台距离GC＝15 cm(点D，C，G，K在同一直线上)．(1)此时小强头部E点与地面DK相距多少？(2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB中点O的正上方，他应向前或后退多少？(sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，2≈1.41，结果精确到0.1)图35－12 第12题答图【解析】(1)作FN⊥KD于点N，EM⊥FN于点M，由上半身及下半身的长，利用三角函数计算出MF与FN的长，其和MN即小强头部E与地面DK的距离；(2)作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H，分别计算PH，EM，GN，OB，OH的长，根据图形作答．解：(1)如答图，过点F作FN⊥KD于点N，过点E作EM⊥FN于点M.∵EF＋FG＝166，FG＝100，∴EF＝66，∵∠FGK＝80°，∴FN＝100sin80°≈98，又∵∠EFG＝125°，∴∠EFM＝180°－125°－10°＝45°，∴FM＝66cos45°＝33 2≈46.53，∴MN＝FN＋FM≈144.5.∴他头部E点与地面DK相距144.5 cm；(2)过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H.∵AB＝48，O为AB的中点，∴AO＝BO＝24，∵EM＝66sin45°≈46.53，即PH≈46.53，GN＝100cos80°≈17，CG＝15，∴OH＝24＋15＋17＝56，∴OP＝OH－PH＝56－46.53＝9.47≈9.5.∴他应向前9.5 cm.。

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2018 初三数学中考复习直角三角形的性质专项复习练习题1。

如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1。

2km，则M、C两点间的距离为( ）A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km2．如图,在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点,EF＝6,BC ＝15，则△EFM的周长是（）A．21 B．18 C。

15 D．133．如图，△ABC中,∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5 B．4。

2 C。

5。

8 D．74．在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D为BC上一点，且∠BAD＝15°，AD＝8，则CD等于（ )A．4 B．3 C。

2 D．55. 如图所示，在△ABC中，BD、CE是高,G、F分别是BD、DE的中点,则下列结论中错误的是（ )A．GE＝GD B．GF⊥DE C．GF平分∠DGE D．∠DGE＝60°6。

如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°，D、E分别为BC、AB的中点,且AC ＝6cm，AB＝8cm，则△ADE的周长为( ）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm7．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AB的长度是（ )A．2cm B．4cm C.8cm D．16cm8。

第十一单元 解直角三角形第34课时 锐角三角函数(60分)一、选择题(每题3分，共21分)1．[2017·杭州]在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝(D)A ．3sin40°B ．3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50°2．[2016·山西]如图34－1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是 (D)A ．2B.255C.55D.12【解析】 如答图，连结AC ，由勾股定理，得AC ＝2，AB ＝22，BC ＝10，AB 2＋AC 2＝BC 2，AC ⊥AB . 则tan ∠B ＝AC AB ＝12.3．[2016·丽水]如图34－2，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是(C)A.BD BCB.BC ABC.AD ACD.CD AC4．[2017·汕尾]在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝35，则cos B 的值是(B)A.45B.35C.34D.435．[2017·湖州]如图34－3，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是(A) A ．2B ．3C ．4D ．86．[2016·扬州]如图34－4，若锐角△ABC 内接于⊙O ，点D 在⊙O 外(与点C第2题答图图34－1图34－2图34－3在AB 同侧)，则下列三个结论：①sin ∠C >sin ∠D ；②cos ∠C >cos ∠D ；③tan ∠C >tan ∠D 中，正确的结论为 (D)A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①③7．[2016·日照]如图34－5，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC ＝12BD ，连结AC ，若tan B ＝53，则tan ∠CAD 的值为(D)A.33B.35C.13D.15图34－5【解析】 过点D 作DE ∥AB 交AC 于点E . ∵∠BAD ＝90°，DE ∥AB ， ∴∠ADE ＝90°，∵tan B ＝53，设AD ＝5k ，AB ＝3k ，∵DE ∥AB ，∴DE AB ＝CD BC ，DE ＝13AB ＝k ， ∴tan ∠CAD ＝DE AD ＝k 5k ＝15.第7题答图二、填空题(每题4分，共20分)8．[2016·成都模拟]如图34－6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为2． 【解析】 ∵AB ＝2BC ， ∴AC ＝（2BC ）2－BC 2＝3BC ， ∴sin B ＝AC AB ＝3BC 2BC ＝32. 9．[2016·杭州模拟]已知∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －322＝0，则∠C 的度数是__90°__．【解析】 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －322＝0，∴sin A ＝32，cos B ＝32， ∴∠A ＝60°，∠B ＝30°，∴∠C 的度数是90°.10．如图34－7，在⊙O 中，过直径AB 延长线上的点C 作⊙O 的一条切线，切点为D ，若AC ＝7，AB ＝4，则sinC 的值为__25__．图34－711．[2017·黄石]如图34－8，圆O 的直径CD ＝10 cm ，且AB ⊥CD ，垂足为P ，AB ＝8 cm ，则sin ∠OAP ＝__35__.12．[2016·广州]如图34－9，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连结BE ，若BE ＝9，BC ＝12，则cos C ＝__23__．【解析】 在Rt △EDC 中，只要求出EC 和DC 即可求出cos C 的值．DE 是BC 的垂直平分线，所以BE ＝EC ＝9，BD＝DC ＝6.三、解答题(共19分)图34－6图34－8图34－913．(9分)如图34－10，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，sin A ＝25，求BC 的长和tan B的值．图34－10解：∵sin A ＝BC AB ＝25，又∵AB ＝10，∴BC ＝4. 又∵AC ＝AB 2－BC 2＝221， ∴tan B ＝AC BC ＝212. 14．(10分)计算：(1)[2016·永州]cos30°－124＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2；(2)[2016·绵阳]||1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2－1cos45°＋3－8. 解：(1)原式＝32－234＋22＝32－32＋4 ＝4；(2)原式＝－(1－2)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－122＋3（－2）3 ＝2－1＋114－22＋(－2)＝2－1＋4－2－2＝1.(28分)15．(8分)[2017·重庆]如图34－11，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．图34－11解：∵AD ⊥BC ， ∴tan ∠BAD ＝BD AD， ∵tan ∠BAD ＝34，AD ＝12，∴BD ＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5，∴在Rt △ADC 中，AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213.16．(10分)[2016·酒泉]如图34－12①，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D ，E ，F ，G ，已知∠CGD ＝42°.图34－12(1)求∠CEF 的度数；(2)将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点B ，交AC 边于点H ，如图②所示，点H ，B 在直尺上的度数分别为4，13.4，求BC 的长(结果保留两位小数)． (参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90) 解：(1)∵∠CGD ＝42°，∠C ＝90°， ∴∠CDG ＝90°－42°＝48°， ∵DG ∥EF ，∴∠CEF ＝∠CDG ＝48°； (2)∵点H ，B 的读数分别为4，13.4， ∴HB ＝13.4－4＝9.4，∴BC ＝HB ·cos42°≈9.4×0.74≈6.96.∴BC 的长为6.96.17．(10分)[2017·长沙]如图34－13，四边形ABCD 是矩形，把矩形沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，CE 与AD 相交于点O . (1)求证：△AOE ≌COD ；(2)若∠OCD ＝30°，AB ＝3，求△AOC 的面积．解：(1)证明：由折叠的性质可得：AE ＝AB ，∠E ＝∠B ＝90°， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴CD ＝AB ，∠D ＝90°， ∴AE ＝CD ，∠E ＝∠D ＝90°， 又∵∠AOE ＝∠COD ， ∴△AOE ≌△COD (AAS )；(2)∵∠OCD ＝30°，AB ＝3＝CD ， ∴OD ＝CD ·tan ∠OCD ＝3·tan30°＝3×33＝1，OC ＝2， 由折叠知∠BCA ＝∠ACO ， ∵AD ∥BC ，∴∠OAC ＝∠BCA ， ∴∠OAC ＝∠ACO ，∴OA ＝OC ＝2， ∴S △AOC ＝12·OA ·CD ＝12×2×3＝ 3.(12分)18．(12分)[2017·遂宁]如图34－14，根据图中数据完成填空，再按要求答题：图34－14(1)sin 2A 1＋sin 2B 1＝__1__；sin 2A 2＋sin 2B 2＝__1__；sin 2A 3＋sin 2B 3＝__1__； (2)观察上述等式，猜想：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.都有：sin 2A ＋sin 2B ＝__1__； (3)如图④，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ；利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；图34－13(4)已知：∠A ＋∠B ＝90°，且sin A ＝513，求sin B .解：(3)证明：∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c，a 2＋b 2＝c 2，sin 2A ＋sin 2B ＝a 2c 2＋b 2c 2＝a 2＋b 2c2＝1；(4)∵sin A ＝513，sin 2A ＋sin 2B ＝1，∴sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213.。