初中切线长定理教案 切线长定理教案教学反思3篇

《切线长定理》教学设计【课标解读】《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程基本理念”中明确指出：数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程．教师要发挥主导作用，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，体会和运用数学思想与方法，获得基本的活动经验。

《数学课程标准（2011版）》中对其具体的要求为：探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。

【教材分析】切线长定理是鲁教版九年级下册第五章《圆》第七节内容，前一节课已经学习了直线与圆的位置关系，本节课是上节课第四课时三角形内切圆的延伸，既对切线的性质、判定定理进行了巩固，也是他们的应用，又为后面要学习的正多边形与圆提供了理论依据。

【重难点分析】重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．不仅应用切线长定理，还用到方程的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．【教法建议】本节内容需要一个课时．（1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；（2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线开展，在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．【教学支持条件分析】心理学研究表明，初中学生接受知识方面，视听结合效果更佳，所以为了有效的实现教学目标，突破难点，在教学中：1、利用小视频、图片让学生感受来自生活中的数学问题，激发学生兴趣。

2、利用希沃授课助手展示学生的多种解法，以拓展学生的解题思路，进一步培养学生的发散思维能力。

3、利用几何画板让图形动起来，学生轻松的发现图形中的内在联系和规律，从而进行更有效的数学思维。

4、利用微课解决拓展提高中的小难点，既节省时间提高效率又激发了学生的兴趣，一举两得。

苏科版九年级数学上册《切线长定理》教案及教学反思一、教学目标知识目标1.了解切线的概念和性质2.掌握切线长定理的公式及其推导方法3.了解切线长定理在实际中的应用能力目标1.能够运用切线长定理解决实际问题2.能够运用数学知识思考并解决问题二、教学重点1.切线的概念和性质2.切线长定理的公式及其推导方法3.切线长定理在实际中的应用三、教学难点1.切线长定理的公式推导方法2.切线长定理的应用四、教学内容及方法1. 切线的概念和性质教学内容：1.切线和圆的概念2.切线与半径的关系3.切线垂直于半径定理4.与圆相交线段的长度性质教学方法：1.板书呈现切线和圆的图形，引导学生发现切线和圆的性质2.利用图形演示板进行展示3.通过数学作图软件比如 Geogebra 进行实时演示2. 切线长定理的公式及其推导方法教学内容：1.切线长定理的公式2.切线长定理的推导3.切线长定理的运用教学方法：1.讲解切线长定理的公式推导，演示利用相似三角形原理进行公式的推导过程2.小组合作演练，将切线长定理应用到不同的题目中去3.教师分组进行讲解，让部分学生发言与讲解3. 切线长定理在实际中的应用教学内容：1.切线长定理在实际中的应用2.利用切线长定理解决实际问题教学方法：1.教师通过具体问题将切线长定理与实际紧密结合，让学生感受到其重要性并懂得如何运用2.学生们自主寻找小组或个人实际问题，探讨如何运用切线长定理解决，并且进行报告五、教学反思本次教学反思主要分为以下几个方面：1. 教学内容的选择本节课教学内容紧密与圆相关，将活字美化在图形中，让学生获得了较好的视觉体验。

通过图形发现圆的性质以及切线的概念和性质，教师把握了学生的心理感受，在这部分内容中深化学生对切线和圆的认识与理解，高效率地达到了本次教学目标。

2. 教学方法的选择本次教学活动采用了多种教学方法，如板书、演示讲解、DIY 活动、小组合作等，这不仅可以在一定程度上增强了学生的兴趣爱好，还拓展了他们的思维方式，促进了交流合作和自主学习能力的提高。

第3课时切线长定理【知识与技能】理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.【过程与方法】利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念.【情感态度】经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.【教学重点】切线长定理及其应用.【教学难点】内切圆、内心的概念及运用.一、情境导入，初步认识探究如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？学生动手实验，观察分析，合作交流后，教师抽取几位学生回答问题.分析：OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.二、思考探究，获取新知1.切线长的定义及性质切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线.如右图中，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.由此我们得到切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【教学说明】这个定理要让学生分清题设和结论.题设：过圆外一点作圆的切线.结论：①过圆外的这一点可作该圆的两条切线.②两条切线长相等.③这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.猜想：在上图中连接AB，则OP与AB有怎样的关系？分析：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点.∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴OP⊥AB，且OP平分AB.2.三角形的内切圆思考如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？【教学说明】引导学生分析作图的关键，假设圆已经作出，圆心应满足什么条件，怎样根据这些条件确定圆心？圆心确定后，如何确定半径？教师引导，学生要互相讨论来解决这些问题.假设符合条件的圆已作出，那么这个圆与△ABC的三边都相切，这个圆的圆心到△ABC三边的距离都等于半径.又因为我们在角平分线这节中学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等.因此，在△ABC 中，作∠B，∠C的角平分线BM和CN，它们相交于点I，则点I到AB、BC、AC的距离相等.∴以I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC 三边相切.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形三边的距离相等.【教学说明】要让学生对照图形理解三角形的内切圆的概念，并与三角形的外接圆进行比较.“接”和“切”是说明多边形的顶点和边与圆的关系；多边形的顶点都在圆上叫“接”，多边形的边都与圆相切叫“切”.三、典例精析，掌握新知例1 教材第100页，例2（本题较简单，教师指点，可由学生自主完成）例2 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接OP，交⊙O于C，若PA=6.PC=23.求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角.分析：连接OA，设AO=x，在Rt△AOP中利用勾股定理求出x，由切线长定理知∠APO=12∠APB.求出∠APO就可得∠APB.解：连接AO，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，△PAO为直角三角形.设OA=x，则OC=x，在Rt△PAO中，OA2+PA2=OP2，∴x2+6232，解得3.∴33AOP=60°，∠APO=30°.∴∠APB=2∠APO=2×30°=60°.∴⊙O的半径OA为3PA、PB的夹角为60°.【教学说明】例1、例2是利用切线长定理进行计算，在解题过程中，我们常常用方程来解决几何问题.例3如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC=100°，则∠A=____.分析：∵I是内心.∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线.∴∠ABC+∠ACB=2（∠IBC+∠ICB）.又∵∠BIC=100°，∴∠IBC+∠ICB=80°.∴∠ABC+∠ACB=160°.∴∠A=180°-160°=20°.【教学说明】指导学生利用三角形内心的性质解决问题.四、运用新知，深化理解课本第100页练习1、2题.【教学说明】教师引导学生完成课本练习.五、师生互动，课堂小结这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？【教学说明】学生自主交流并发言总结，教师予以补充和点评，让学生完整地领会本堂课的知识要点.1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.24.2.2直线和圆的位置关系第3课时切线长定理一、新课导入1.导入课题：情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B.问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题).2.学习目标：（1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.（2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.（3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.3.学习重、难点：重点：切线长定理及其运用.难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”之前的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？能作两条.②在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长，如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长.③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而得出结论.④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理.文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B.∴PA = PB,OP平分∠APB .2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明.②差异指导：根据学情确定指导方案.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：（1）切线长定理及它的证明.（2）交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB交OP于点C，则图中有哪些垂直关系？哪些全等三角形？若设线段OP与⊙O的交点为D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O 的半径长吗？解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.设⊙O 的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2.解得r=3. 即⊙O的半径长为3.1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”到第100页的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：阅读，画图，推理，猜想.(4)自学参考提纲：①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I.因为⊙I与BA,BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上；因为⊙I与CA,CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上；所以点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点.a.作∠ABC的平分线，∠ACB的平分线，交于点I；b.过I作ID⊥BC于D，以I 为圆心，ID为半径画圆，则⊙I即为所求.②三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫三角形的内心.它是三角形三条角平分线的交点，它到各条边的距离都相等.③已知：如图，在△ABC中，AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长.设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得x=4.因此AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生是否清楚三角形内切圆的作图思路.②差异指导：注意帮助学生理清前后知识间的联系.（2）生助生：生生互动，交流，研讨.4.强化：(1)三角形内切圆的作图和内心的概念和性质.(2)如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12∠ABC+12∠ACB=12×（50°+75°）＝62.5°.∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB＝117.5°.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题方法？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习的方法、效果及存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分) 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为（C）A.3cmB.4cmC.5cmD.9cm2.(10分) 如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=（C）A.172°B.130°C.133°D.100°3.(10分)如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P、Q为切点，若VP=3cm，则VQ=3cm.3.若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝cm4.(20分)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.解：∵PA是⊙O的切线.∴∠OAP=90°.∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.∵OA＝OB,∴∠OBA=∠OAB=25°.∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP=90°,∴∠ABP=65°.∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.5.(20分)如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=1.65m, 并且x Y⊥WY,这个油桶底面半径是多少?解：设圆心为O，连接OW,O x.∵YW,Y x均是⊙O的切线，∴OW⊥WY,O x⊥x Y，又∵x Y ⊥WY ,∴∠OWY ＝∠O x Y ＝∠WY x ＝90°，∴四边形OWY x 是矩形，又∵OW=O x .∴四边形OWY x 是正方形.∴OW=WY=1.65m.即这个油桶底面半径是1.65m.二、综合应用（15分）6.(15分)△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的周长为l ，求△ABC 的面积.（提示：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ）解：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC.则ABC AOB BOC AOC S S S S =++ ()AB r BC r AC r AB BC AC r lr =++=++=1111122222. 三、拓展延伸（15分）7.(15分)如图，AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，且AB ∥CD ，BO ＝6cm ，CO ＝8cm ，求BC 的长.解：∵AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切，则OB 平分∠EBF ，DC 平分∠FCG .∵AB ∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF=180°-12(∠EBF+∠GCF)=90°.∴在Rt △BOC 中，BC=OB2+OC2=62+82=10（cm ）.。

第4课时切线长定理祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。

《老子·五十八章》涵亚学校陈冠宇一、基本目标【知识与技能】1．了解切线长的概念，并理解切线长定理．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．3．理解和灵活运用切线长定理以及应用内切圆知识发展解决实际问题的能力．【过程与方法】经历探索切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，从而渗透转化思想和方程思想．【情感态度与价值观】了解数学的价值，培养对数学的好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．二、重难点目标【教学重点】切线长定理．【教学难点】应用切线长定理解决问题．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P99～P100的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间线段的长叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线__平分__两条切线的夹角．3．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，若PA＝4，则PB＝__4__.4．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．5．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线__的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__.环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生对学)【例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长是__________.【互动探索】(引发学生思考)AB、AC、BD是⊙O的切线，由切线长定理可以得到哪些线段相等？求BD的长可以转化为求哪条线段的长？【分析】∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP.∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB－AP＝5－3＝2.【答案】2【互动总结】(学生总结，老师点评)切线长定理提了另一种证明线段相等的方法，注意在解题过程中的等量代换．【例2】如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝________.【互动探索】(引发学生思考)三角形内切圆有哪些性质？要求∠DOE的度数，在四边形BDOE中，能否运用四边形内角和定理求解？【分析】∵∠BAC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠B＝180°－50°－60°＝70°.∵E、F是切点，∴∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠OE＝180°－∠B＝110°.【答案】110°【互动总结】(学生总结，老师点评)三角形内切圆问题中，连结各边的切点与圆心，结合切线的性质能产生直角，进而根据问题进行求解．【活动2】巩固练习(学生独学)1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝__2__.2．如图，AD、DCBC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝__90°__.3．如图，AB、AC与⊙O相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是优弧BC上异于B、C的一动点，则∠BPC＝ __65°__.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例3】如图，PA、PB切⊙O于A、两点，若∠APB＝6°，⊙O半径为3，求阴影部分的面积．【互动探索】(引发学生思考)阴影部分是不规则图形，要求阴影部分的面积，可以通过规则图形怎样来“割补”？分别连结切点与圆心、交点与圆心，得到直角三角形，如何求得阴影部分的面积？【解答】连结PO 、AO .∵PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，∠APB ＝60°，∴A ⊥PA ，∠APO ＝12∠APB ＝30°， ∴∠AOP ＝60°.∵⊙O 半径为3，∴OA ＝3，PO ＝6，∴PA ＝PO 2－AO 2＝33，∴S △PAO ＝12AO ·PA ＝12×3×33＝932， S 扇形AOC ＝60π×32360＝32π， ∴S 阴影＝2(S △PAO －S 扇形AOC )＝2×⎝⎛⎭⎪⎫932－32π＝93－3π. 【互动总结】(学生总结，老师点评)由切线，作辅助线易得直角三角形，求不规则图形面积时，经常通过规则图形“割补”求得，注意其中数形结合思想的运用．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！【素材积累】司马迁写《史记》汉朝司马迁继承父业，立志著述史书。

《切线长定理》教学设计与反思一、课题：切线长定理二、教学目标1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。

三、重点：理解切线长定理。

四、难点：灵活应用切线长定理解决问题。

五、教法学法指导：：观察、实验、讨论、合作研究教学过程：一、复习引入：1．切线的判定定理和性质定理．2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？（通过复习切线的判定定理和性质定理．引出课题）二、合作探究1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理（1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。

OB是⊙O 的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？（学生大胆的操作，大胆尝试，并用文字叙述出来，培养学生的语言表达能力和动手操作能力。

）从上面的操作及圆的对称性可得：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．（2）几何证明．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3、三角形的内切圆思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆的面积尽可能大呢？（学生积极思考，踊跃发言，说出自己的不同见解。

）三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内心：三角形内切圆的圆心,即三角形三条角平分线的交点叫做内心。

（1）图中共有几对相等的线段（2）若AF=4、BD=5、CE=9，则△ABC周长为____例如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, 且AB=9cm BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。

2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。

本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。

三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。

2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。

四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。

2.运用切线长定理解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。

2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。

3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。

4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.圆规、直尺、彩色粉笔。

3.练习题和实例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。

然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。

同时，解释切线长定理的意义和应用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。

教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。

5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。

例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。

2.5.3切线长定理祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。

《老子·五十八章》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！【知识与技能】掌握切线长定理及其运用.【过程与方法】通过对圆的切线长及切线长定理的学习,培养学生分析,归纳及解决问题的能力.【情感态度】通过学生自己的实践发现定理,培养学生学习的积极性和主动性.【教学重点】切线长定理及运用.【教学难点】切线长定理的推导.一、情境导入，初步认识活动1:如图,过⊙O外一点P作⊙O的切线,回答问题:(1)可作几条切线?(2)作切线的依据是什么?学生回答,教师归纳展示作法:(1)①连OP.②以OP为直径作圆，交⊙O于点A、B.③作直线PA，PB.即直线PA、PB为所求作的圆的两条直线.(2)由OP为直径,可得OA⊥PA,OB⊥PB,由切线判定定理知:PA、PB为⊙O的两条切线.【教学说明】该活动中作圆的切线实际上是个难点,教师展示后应放手让学生自己再动手作一次,让学生体会运用知识的成功感.二、思考探究，获取新知1.切线长定理(1)切线长定义:从圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.(2)如图,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B.求证:PA=PB,∠APO=∠BPO.学生完成:由此得出切线长定理.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.2.切线长定理的运用例1如图,AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD.求证:CO∥BD.【分析】连接AB,因为AD为直径,那么∠ABD=90°,即BD⊥AB.因此要证CO∥BD.只要证CO⊥AB即可.证明:连接AB.∵CA,CB是⊙O的切线,点A,B为切点,∴CA=CB,∠ACO=∠BCO,∴CO⊥AB.∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°,即BD⊥AB,∴CO∥BD.例2如图,PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E,已知PA=6,求△PCD的周长.【教学说明】图中有三个分别从点P、C、D出发的切线基本图形,因此可以用切线长定理实现线段的等量转化.解:∵CA、CE与⊙O分别相切于点A、E,∴CA=CE.∵DE、DB与⊙O分别切于点E、B,∴DE=DB.∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B,∴PA=PB.∴△PCD的周长C△PCD=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA=12.四、运用新知，深化理解1.如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=40°,则∠BAC的度数是_____.第1题图第2题图2.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，如果∠APB=60°,PA=8，那么弦AB的长是_____..如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,直线OP交⊙O于点D,E,交BC于C,图中互相垂直的直线共有____对.第3题图第4题图4.如图,AD,DC,BC都与⊙O相切,且AD∥BC,则∠DOC=______.5.如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C,F是CD的中点,连接OF.(1)求证:OD∥BE;()猜想:OF与CD有何数量关系?并说明理由.【教学说明】学生自主完成,加深对切线长定理的理解.【答案】1.20 2.8 3.3 4.90°5.解：（1）证明：连接OE，∵AM，DE是⊙O的切线.OA，OE是⊙O的半径，∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°,∴∠AOD=∠EOD=12∠AOE,∵∠BE=错误!未指定书签。

《切线长定理》教学反思
育才中学孙军喜
本节课是直线与圆的位置关系中的第三课时，是直线与圆的位置关系中的重点内容。

是在学习了切线的性质和判定的基础上继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。

体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。

在教学过程中，我通过复习切线的性质与判定定理引出问题：过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？
进而让学生开始动手操作自己画图并探究，过圆外的一点所能够引的两条切线长有何关系，在学生利用并结合圆的轴对称有了一定的感性认识的基础上，丢出问题可否从理论上进行证明，引导学生从具体的情景和实践操作中找出条件，并挖掘出基本图形，尝试寻找解决问题的关键和方法。

个人认为对本课的重点学习内容，能组织学生自主观察探究证明并能提炼基本图形，对重要的结论及时总结。

为了更好的贯彻落实本课的重难点我设计了几组填空题，用这个简单的题型力争多角度的呈现相关知识点。

从课堂的效果来看学生对基本图形的提炼、基本结论的掌握还是比较到位。

另外，通过设置一定的变式解答题目，拓展学生的发散思维及创新能力，激发学生的兴趣，真正体验成功的快乐。

通过本节课，使我更进一步的认识到教师在教学过程中不能闭门造车，以自己的固有知识与过往教学经验来权衡学生，更应该注重学生的实际水平与认知能力，在今后的练习中更加注重双基，设置适当的难度与梯度。

3.7切线长定理【教学内容】切线长定理 【教学目标】知识与技能 理解切线长的概念，掌握切线长定理，会应用切线长定理解决问题；过程与方法 学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意切线与切线长、切线的性质与切线长定理的对比，培养学生分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学中相关定义的区别与联系。

从而发现事物之间的相互联系。

【教学重难点】重点：切线长定理及其应用。

难点：切线长定理及其应用 【导学过程】【知识回顾】1.什么是切线？切线的判定和性质是什么？2.什么是三角形的内切圆？什么是内心？它是什么的交点？ 【情景导入】过圆上一点作圆的切线如何做？如果我们过圆外一点画圆的切线，能画几条？试试看？ 【新知探究】 探究一、经过圆外一点可作圆的 ，这点和切点之间的 ，叫做这点到圆的 . 如图1，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，点A ，B 为切点，把线段 PA ，PB 的长叫做点P 到⊙O 的（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）找出图形中相等的线段，并说明理由。

注意：切线和切线长的区别：切线是 线，不可度量，而切线长是线段， 度量.探究二：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分_______________． 几何语言：PA PB 、是⊙O 的两条切线_____________,________________ .（2）如何证明切线长定理呢？已知：如图2，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB． 证明：（3）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形.（图2）AB OA BO探究二、四边形的四边都与⊙O 相切，则它相对的两边有何关系？与同伴进行交流。

3.7切线长定理教学目标：（1）. 知识目标：了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。

（2）.能力目标：经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。

（3）.素质目标：初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。

在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。

（4）.情感与态度目标：了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

教学重点：理解切线长定理教学难点：应用切线长定理解决问题教学方法：教学方法采用引导发现法，辅之以讨论法。

教学过程：第一环节温故知新1.切线的性质定理和判定定理的内容分别是什么？2.填空：直径(或半圆)所对的圆周角是__________;90°的圆周角所对的弦是_____________.设计意图：回忆切线的判定定理和性质定理，为继续研究切线的有关性质做铺垫。

第二环节提出问题如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？1.用直角三角板过⊙O外一点P画出⊙O的切线.（学生操作并演示）2.如何用圆规和直尺过⊙O外一点P画出⊙O的切线呢？学生先独立思考，小组之间再讨论尺规作图的方法，并用尺规完成作图.设计意图：学生通过动手操作，让他们经历一个自主探究的过程，从而激发学生的学习兴趣。

第三环节探究新知活动1：观察图形中所得的切线，哪一部分是切线长，明确切线长的定义。

板书切线长定义，明确切线和切线长是两个不同的概念。

练一练1：分析下列命题是否正确，对的打“√”，错的打“×”1. 圆的切线长就是圆的切线的长度。

（）2. 过任意一点总可以作圆的两条切线。

（）设计意图：通过学生思考得出结论，再次加深学生对概念的理解，通过练习使学生了解切线长与切线的关系。

《切线长定理》教案一、教学目标：知识目标：进一步理解切线的性质和判定，了解切线长的定义，掌握切线长定理；能力目标：培养学生从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。

情感与态度目标：了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

二、教学重难点教学重点：理解切线长定理。

教学难点：应用切线长定理解决问题。

三、教学过程（1）复习提问：切线的性质，切线的判定方法。

（2）观察、猜想、证明，形成定理1、提出问题过圆外的一点作圆的切线，可以作出几条切线？（学生独立思考，动手去画）2、切线长的定义如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长。

注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.3、观察变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系．4、猜想引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB? (PA ＝PB)．5、证明猜想，形成定理．学生大胆猜想是否正确．组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？∠OPA＝∠OPB(如图)等．选一名学生板演证明过程切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

6、若连结两切点A 、B ，AB 交OP 于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP 垂直平分AB 。

组织学生分析证明方法，选一名学生板演证明过程（二） 应用、归纳、反思例1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=10， BC=24， ⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ， F ，求⊙O 的半径.学生大胆的猜想，用切线长定理来解决这个问题。

例2.四边形ABCD 的各边分别与⊙O 相切于点 E ，F ，G ，H ，由切线长定理大家能得到哪些结论？A FB C EF C圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等。

教案切线长定理教案一、教学目标1.让学生理解切线长定理的概念和意义，掌握切线长定理的证明和应用方法。

2.培养学生的几何思维能力，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。

3.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。

二、教学内容1.切线长定理的概念和意义2.切线长定理的证明方法3.切线长定理的应用三、教学重点与难点1.教学重点：切线长定理的概念、证明和应用。

2.教学难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。

四、教学方法1.采用启发式教学方法，引导学生自主探究切线长定理的证明和应用。

2.利用多媒体教学手段，展示切线长定理的直观图形，帮助学生理解定理。

3.设计丰富的例题和练习题，让学生在实践操作中掌握切线长定理的应用。

五、教学过程1.导入新课通过生活中的实例，如圆规作图等，引出切线长定理的概念，激发学生的学习兴趣。

2.讲解切线长定理的概念和意义（1）切线的定义：与圆相切，且与圆的半径垂直的直线。

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。

3.证明切线长定理（1）构造图形，连接圆心与切点，利用圆的半径相等，证明切线长相等。

（2）通过几何画板演示证明过程，让学生直观感受定理的正确性。

4.切线长定理的应用（1）讲解切线长定理在几何作图中的应用，如求圆的切线、等分弦等。

（2）讲解切线长定理在解决实际问题中的应用，如求圆的直径、周长等。

5.课堂练习设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固切线长定理的应用。

6.总结与拓展（1）总结切线长定理的概念、证明和应用方法。

（2）拓展切线长定理的相关知识，如圆的切线方程、切线长定理的推广等。

7.课后作业布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六、教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和讨论情况，了解学生的学习兴趣和积极性。

2.作业完成情况：检查学生的作业，了解学生对切线长定理的掌握程度。

3.单元测试：通过测试，评价学生对切线长定理的理解和应用能力。