切线长定理第一学时

数学教案－切线长定理数学教案-切线长定理1、教材分析(1)知识结构(2)重点、难点分析重点：切线长定理及其应用.因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点.难点：与切线长定理有关的证明和计算问题.如120页练习题中第3题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来.2、教法建议本节内容需要一个课时.(1)在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形;对重要的结论及时总结;(2)在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学.教学目标1.理解切线长的概念，掌握切线长定理;2.通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想.3.通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度.教学重点:切线长定理是教学重点教学难点 :切线长定理的灵活运用是教学难点教学过程设计:(一)观察、猜想、证明，形成定理1、切线长的概念.如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长.引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量;切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.2、观察利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系.3、猜想引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB. PA=PB.4、证明猜想，形成定理.猜想是否正确，数学教案-切线长定理。

需要证明.组织学生分析证明方法.关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA=PB.想一想：根据图形，你还可以得到什么结论?OPA=OPB(如图)等.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.5、归纳：把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质6、切线长定理的基本图形研究如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点.直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C(1)写出图中所有的垂直关系;(2)写出图中所有的全等三角形;(3)写出图中所有的相似三角形;(4)写出图中所有的等腰三角形.说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础.(二)应用、归纳、反思例1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径.求证：AC∥OP.分析：从条件想，由P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A，B是切点可得PA=PB，APO=BPO，又由条件BC是直径，可得OB=OC，由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等.于是想到可能作辅助线AB.从结论想，要证AC∥OP，如果连结AB交OP于O，转化为证CAAB，OP AB，或从OD为△ABC的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法.证法一.如图.连结AB.PA，PB分别切⊙O于A，BPA=PBAPO=BPOOP AB又∵BC为⊙O直径ACABAC∥OP (学生板书)证法二.连结AB，交OP于DPA，PB分别切⊙O于A、BPA=PBAPO=BPOAD=BD又∵BO=DOOD是△ABC的中位线AC∥OP证法三.连结AB，设OP与AB弧交于点EPA，PB分别切⊙O于A、BPA=PBOP AB=C=POBAC∥OP反思：教师引导学生比较以上证法，激发学生的学习兴趣，培养学生灵活应用知识的能力.例2、圆的外切四边形的两组对边的和相等.(分析和解题略)反思：(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记住结论.(2)圆内接四边形的性质：对角互补.P120练习：练习1 填空如图,已知⊙O的半径为3厘米，PO=6厘米，PA，PB分别切⊙O于A，B，则PA=_______，APB=________练习2 已知：在△ABC中，BC=14厘米，AC=9厘米，AB=13厘米，它的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，求AF，AD和CE的长.分析：设各切线长AF，BD和CE分别为x厘米，y厘米，z厘米.后列出关于x , y，z的方程组，解方程组便可求出结果.(解略)反思：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程组的知识，是一道综合性较强的计算题.通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力.(三)小结1、提出问题学生归纳(1)这节课学习的具体内容;(2)学习用的数学思想方法;(3)应注意哪些概念之间的区别?2、归纳基本图形的结论3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.(四)作业教材P131习题7.4A组1.(1)，2，3，4.B组1题.探究活动图中找错你能找出(图1)与(图2)的错误所在吗?在图2中，P1A为⊙O1和⊙O3的切线、P1B为⊙O1和⊙O2的切线、P2C为⊙O2和⊙O3的切线.提示：在图1中，连结PC、PD，则PC、PD都是圆的直径，从圆上一点只能作一条直径，所以此图是一张错图，点O应在圆上.在图2中，设P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A=P3C=c，则有a=P1A=P1P3+P3A=P1P3+ c ①c=P3C=P2P3+P3A=P2P3+ b ②a=P1B=P1P2+P2B=P1P2+ b ③将②代人①式得a =P1P3+(P2P3+ b)=P1P3+P2P3+ b，a-b=P1P3+P2P3由③得a-b=P1P2得P1P2=P2P3+ P1P3P1、P 2 、P3应重合，故图2是错误的.。

第一讲：切线长定理、弦切角定理、圆幂定理 （2012-3-4）【定理的介绍】第1课一、切线长定理：（教材要求）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO 平分APB ∠．对定理的理解：（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

经验总结：圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．二、弦切角定理：（补充内容,可用于在圆中找相似三角形）1．弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半． 3．弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等．解题经验：.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

【典型例题】例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13㎝，PED ∆的周长为24㎝，40APB ∠=︒， 求：①⊙O 的半径；②EOD ∠的度数．P例2 如图，⊙O 分别切ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若,,BC a AC b AB c ===． （1）求AD 、BE 、CF 的长；（2）当90C ∠=︒，求内切圆半径r ．例3 如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，ACB ∠的平分线CE交AB 于D ，交⊙O 于E ，⊙O 的切线EF 交CB 的延长线于F ．求证：2AEAD EF =⋅例4 如图，AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，AC CD ⊥于C ，BD CD ⊥于D ，PQ AB ⊥于Q ． 求证：2PQ AC BD =⋅EB【课堂专练】1．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，OP 与⊙O 相交于点M ,以下结论，错误的是（ ） A 、OP AB ⊥ B 、C 、APO BPO ∠=∠D 、M 是PAB ∆的外心2．若⊙O 的切线长和半径相等，则两条切线所夹的角的度数为：（ ）A 、30︒B 、45︒C 、60︒ D 、90︒ 4．如图，直线BC 切⊙O 于点A ，则图中的弦切角共有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、6个5．如图，AB 为⊙O 的直径，DB 、DC 分别切⊙O 于B 、C ，若25ACE ∠=︒，则D ∠为（ ） A 、50︒ B 、55︒ C 、60︒ D 、65︒ 6．圆的外切平行四形一定是 形．7．圆外切梯形的周长为24cm ，则它的中位线的长是 ㎝． 8．如图，AB 是⊙O 的直径，CE 切⊙O 于C ，CD AB ⊥于D ．若60,3ECB CD ∠=︒=，则sin A = ，BD = ． 9．如图，⊙O 是ABC ∆的内切圆，D 、E 、F 为切点，::4:3:2A B C ∠∠∠=，则DEF ∠= °．FEC ∠= °．10．直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝， 则此直角三角形的外接圆半径为 ㎝， 内切圆半径为 ㎝．11．如图，直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 、G ， 且AB ∥CD ，若OB=6㎝，OC=8㎝，则BOC ∠= ， ⊙O 的半径= ㎝，BE+CG= ㎝． 12．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AB 交OP 于点M ， 若2,OM cm AB PB ==，则⊙O 的半径是 ㎝．AM DM =P13．如图，四边形ABCD 是直角梯形，以垂直于底的腰AB 为直径 的⊙O 与腰CD 相切于E ，若此圆半径为6㎝，梯形ABCD 的周长为38㎝， 求梯形的上、下底AD 、BC 的长．14．如图，AB 为⊙O 的直径，过B 作⊙O 的切线，C 为切线上一点，连OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于D ．（1）求证：2CE CD CB =⋅．（2）若2AB BC ==，求CD 的长．三．圆幂定理（补充内容）第2课定理 图形 已知 结论证法相 交 弦 定 理⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于PPA ·PB ＝PC ·PD 连结AC 、BD ，证：△APC ∽△DPB相的 交推 弦论 定 理⊙O 中，AB 为直径，CD ⊥AB 于P PC 2＝PA ·PB (此处可补充射影定理) 用相交弦定理 切 割 线 定 理⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2＝PA ·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB ∽△PAT 切割线定理推论PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、CPA ·PB ＝PC ·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理，等量代换可得。

中考数学几何复习第七章圆第19课时切线长定理教案第一篇：中考数学几何复习第七章圆第19课时切线长定理教案第七章切线长定理教学目标：1、使学生理解切线长定义．2、使学生掌握切线长定理，并能初步运用．教学重点：切线长定理，它在以后的证明中经常使用．教学难点：切线长定理的归纳．学生在观察后可以叙述内容，但语言可能是不规范的．教学过程:一、新课引入：我们已经学习了圆的切线的性质，今天我们继续来学习圆的切线的其它性质．经过平面上的已知点作已知圆的切线，会有怎样的情形呢？请同学们打开练习本画一画．学生动手画，教师巡视．当学生把可能的位置情况画完后，教师指导全班同学交流并得到结论：1．经过圆内已知点不能作圆的切线；2．经过圆上已知点可作圆的唯一一条切线；3．经过圆外一已知点可作圆的两条切线．二、新课讲解：观察从圆外一点所引圆的切线上，有一条线段，线段的端点一边是已知点，一边是切点．务必使学生清楚，我们是把这样的一条线段的长度定义为切线长．提醒学生注意，直线是没有长度的事实．然后让学生观察从圆外一点引圆的两条切线会产生什么样的结论？开始不要害怕学生的语言不简炼，教师最终指导学生把握“从”、“引”、“它们”、“连线平分”、“夹角”，完成切线长定理．1．在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．练习一，已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．提示，如图7-66，连结OE，由切线的性质定理得Rt△POE，已知OE=3，OP=6，勾股定理求出PE后，再求∠1，然后2倍的∠1．练习二，如图7-67，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于D、E，交AB于e．(1)写出图中所有的垂直关系．(2)写出图中所有的全等三角形．例1 P．119例1已知：如图7-68，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：AC∥OP．分析：欲证AC∥OP．题中已知BC为⊙O的直径，可想到CA⊥AB，若能证出OP⊥AB，问题便得到解决．可指导学生考虑切线长定理，证三角形PAB为等腰三角形，再根据“三线合一”的性质，证得OP⊥AB，证法参考教材P．119例1．在证明AC∥OP时，除了上面的方法，还可以从角的相等关系来证．例2 P．119，圆外切四边形的两组对边的和相等．已知：如图7-69，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O 分别相切于L、M、N，P．求证：AB+CD=AD+BC．分析：这是本书中唯一在今后可做为定理使用的例题．首先教师指导学生根据文字命题正确地使用已知，求证的形式把命题具体化．然后指导学生完成证明，证明过程参照教材．练习三，P．120中3．已知：如图7-70，在△ABC中，BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB 切于点D、E、F，求AF、BD、CE的长．分析：这是一道利用几何图形的性质，采用代数的解题方法的一道计算题．教学中教师要注意引导学生通过解三元一次方程组来得到切线长．解：∵AB、AC分别切⊙O于F、E，∴AF=AE．同理：BF=BD，CD=CE．设AF=x，BD=y，CE=z．答：切线长AF=4厘米，BD=9厘米，CE=5厘米．三、课堂小结：让学生阅读教材P．118至P．120，并总结归纳出本课的主要内容． 1．切线长定义．2．切线长定理及其应用．提醒学生注意由切线长可得到一个等腰三角形．这一点和圆心的连线不但平分两切线的夹角，还垂直平分两切点间的线段．四、布置作业：1．教材P．131习题7．4 2、3、4． 2．教材P．133B组3．第二篇：切线长定理教案《切线长定理》教案学习目标1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．教学重点:切线长定理教学难点:切线长定理的灵活运用教学过程:（一）1、切线长的概念．如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.2、观察利用PPT来展示P 的位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系．3、猜想引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB． PA＝PB．4、证明猜想，形成定理．猜想是否正确。