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§4.2随机变量序列的两种收敛性在上一节中，我们从频率的稳定性出发，引入了n η=∑=n i i n 11ξ−→−p a （n ∞→） 即随机变量序列{}n η依概率收敛于常数a 这么一个概念。
我们自然可以把所讨论的问题推广到a 不是一个常数，而是一个随机变量这样的情形，于是需要引入下面的定义。
定义4.2 设有一列随机变量1η，2η，3η，…，n η，如果对任意的ε>0,都有 lim ∞→n P ()εηη<-n （4.6）则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，并记作lim ∞→n r η−→−p η 或n η−→−p η （n ∞→） 由此可知，前一节中讨论过的大数定律只是上述依概率收敛的一种特殊情况。
我们已经知道分布函数全面地描述了随机变量的统计规律，如果已知n η−→−p η（n ∞→），那么它们相应的分布函数n F （x ）与F （x ）之间的关系会有什么样的关系呢?一个猜测是,对所有的x ，都有n F （x ）→ F （x ）（n ∞→）成立，这个猜测对不对呢?让我们看一个很简单的例子。
例4.2 设η，n η都是服从退化分布的随机变量，且P （η=0）=1,P （n η=-n 1）=1，n=1,2,… 于是对任给的ε>0，当n>ε1时有 P （ηη-n ≥ε）=P （n η≥ε）=0所以n η−→−p η （n ∞→） 成立。
又设η，n η的分布函数分别为F （x ），n F （x ），则F （x ）=⎩⎨⎧≤>0,20,1x xF （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧-≤->n x n x 1,21,1 显然,当x ≠0时，lim ∞→n n F （x ）= F （x ）成立，当x=0时，lim ∞→n n F （0）=lim ∞→n 1=1≠0= F （0） 这个简单的例子表明，一个随机变量序列依概率收敛于某一个随机变量，相应的分布函数列不一定是在每一点上都收敛于这个随机变量的分布函数的。
第4章 随机变量的收敛性Two forms of approximation are of central importance in statistical application. In one form, a given random variable is approximated by another random variable. In the other, a given distribution is approximated by another distribution function.4.1 Convergence with probability 1（以概率1收敛）假设 ),(),(21ωωX X 和)(ωX 是同一个概率空间),,(P F Ω上的随机变量，当固定Ω∈ω时，),(),(21ωωX X 是一个普通的数列，)(ωX 是一个数；因此，对于固定的Ω∈0ω，表达式（只要相应的极限存在）)()(lim 00ωωX X n n =∞→ （4.1.1）有明确的意义，此时，称随机变量序列 ),(),(21ωωX X 在点0ω收敛于)(ωX 。
现在考虑-ω集合Ω⊂A ：∞=∞=∞=<-=11}1|)()(:|{m N Nn n mX X A ωωω （4.1.2） 这里，“A ∈0ω”表示“对于任意0>m （或m /1=ε），存在一个正整数00>N ，使得对一切0N n ≥，有m X X n /1|)()(|<-ωω”；因此，当A ∈0ω时，由极限定义可知， )()(lim 00ωωX X n n =→∞（4.1.3）这样，A 是一切满足)()(lim ωωX X n n =→∞的点ω构成的集合，而A 是一切使)(ωn X 不收敛于)(ωX 的点ω构成的集合；于是，有∞=∞=∞=→∞<-===11}1|)()(:|{} )()(lim :{m N Nn n n n mX X X X A ωωωωωω （4.1.4） 其次，A 是一个事件，即F ∈A ；因为对于任意固定的1≥n ，|)()(|ωωX X n -是一个随机变量，故对一任意1≥m ，F ∈<-}/1|)()(:|{m X X n ωωω，从而F ∈A 。
概率空间•几乎必然收敛(almost sure convergence)–随机变量序列收敛到，同时}{n X X {li – a.s. 1}{lim ==∞→X X P n n X X =lim XX −→−.s .a 表示为或者n n ∞→n →)}()(lim :{ςςςX X n n =∞→•依概率收敛(convergence in probability)–随机变量序列以及满足对任意}{n X X li ε–p. 0}||{lim=>-∞→εX X P n n X X =lim XX −→−.p 表示为p 或者n n ∞→n →也有可能的数值极大|X X n -|•均方收敛(mean square convergence)–随机变量序列以及满足,同时}{n X X li ∞<}{2nX E –m.s. 0}){(lim2=-∞→X X E n n X X =lim XX −→−m.s.表示为或者n n ∞→n →•均方收敛(mean square convergence)–随机变量序列以及满足,同时}{n X X li ∞<}{2nX E –m.s. 0}){(lim2=-∞→X X E n n X X =lim XX −→−m.s.表示为或者则n n ∞→n →m s •若，则X X n −→−m.s.∞<}{2X E 几乎必然收敛或依概率收敛都不能确保均方收敛•以概率分布收敛(convergence in distribution)–随机变量序列以及满足在任意连续的x}{n X X li )()(limx F x F X X n n =∞→–表示为 d. 或者X X n n =∞→lim XX n −→−d.•依据特征函数判断收敛–XX n −→−d.––)}({)}({X f E X f E n →)t ()t (XX nΦ→Φ.s .a ⇒XX −→−.p(Cauthy criteria)在不知道极限的情况下，判定随机变量序列收敛随机变量序列的收敛特性。
论文摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。
概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。
主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。
给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。
本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：一、随机变量的几种收敛的概念理论；二、随机变量的几种收敛之间的关系；从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。
关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。
AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is asequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship. This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows: 1. Convergence of random variables the concept of theory; 2. the convergence of several random variables between; From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目录引言： 41 几种收敛性定义 42 依概率收敛与依分布收敛的关系 53 r阶收敛与几乎处处收敛的关系 114 依概率收敛与r阶收敛的关系 135 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 17总结 19四种收敛性 19四种收敛蕴涵关系 19致谢 21参考文献 22引言：概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
