高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数的乘法和除法学案新人教B版选修1_2

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案1 新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案1 新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、教学目标：1。

知识目标:（1)掌握复数代数形式的乘法与除法的运算法则，会进行乘法与除法运算；（2）理解共轭复数的概念,并会用它及其性质求解相关问题；（3)掌握复数的乘法所满足的运算律，并能应用它们熟练地进行的四则运算．2.能力目标：通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律，得到复数加减运算的法则，同时了解复数加减法运算的几何意义．3。

情感态度价值观：通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比,理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．二、重点难点：重点:复数乘除法运算及其应用．。

难点:复数乘除法运算的几何意义．三、学习新知：阅读课本， 找出疑惑之处，并自主探究下列问题:1。

复数乘除法运算的法则？2.复数乘除满足的运算律?3。

复数乘除法运算的几何意义?四、教学过程：1、课前准备⑴设12i,i z a b z c d =+=+，则12z z =___________,12z z =___________． ⑵对于123,,C z z z ∈有12z z =___________，123()z z z =___________，123()z z z +=___________． ⑶一般地，当两个复数的实部___________，虚部___________时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不为零的两个共轭复数也叫做___________．设i z a b =+，则z =___________． ⑷已知12,z z 是共轭复数，那么①若12,z z 是共轭虚数，在复平面内，12,z z 所对应的点关于___________对称;②12z z =___________．2、学习引领(1）乘法运算的解读复数代数形式的乘法运算也并不繁琐，两个复数相乘,只要按照多项式的乘法进行,并将i 的平方换成1-，最后将结果整理成i(,R)a b a b +∈的形式即可．（2）除法运算的解读复数代数形式的除法运算，要求掌握除法运算的一般规律：分子分母同乘以分母的共轭复数，然后分子运用复数代数形式的乘法运算进行化简,而分母则运用z z =2||z 进行化简,最后将结果整理成i(,R)a b a b +∈的形式即可．(3）共轭复数的解读共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数,应注意它的几何特性：关于是轴对称；代数特性：实部相等，虚部互为相反数．这正是建立方程组的出发点．②实数a 的共轭复数仍然是a 本身,即C z ∈，z z z R =⇔∈，这是判断一个数是否是实数的一个准则．(4）复数运算中i n 的周期性:4414243i 1,i i,i 1,i i n n n n +++===-=-．3、典例导析题型一 复数的乘法基本运算例1计算 ⑴2(1+i)(1i)(1+i)--； ⑵(12i)(34i)(56i)4i +++-．思路导析：解答本题只要熟练运用复数的乘法法则及乘法运算律（乘法公式)即可求解． 解析：⑴2(1+i)(1i)(1+i)--2221i (12i i )=--++22i =-．⑵(12i)(34i)(56i)4i +++-2(34i 6i 8i )(56i)4i =++++-(510i)(56i)4i =-++-22530i 50i 60i 4i =--++-8516i =-+．规律总结：三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算一样；对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便,如平方差公式，完全平方公式等．【变式练习1】计算⑴2(1i)-； ⑵(13i)(34i)-+-;题型二 复数的除法基本运算例2计算 ⑴(2i)(2i)-÷+；⑵i(2i)12i+-． 思路导析：熟练掌握除法运算法则，将分母实数化解决本题． 解析：⑴2i (2i)(2i)2i --÷+=+222(2i)54i 41i 2i55--===--． ⑵解法一：22i(2i)2i 1(2i 1)(12i)5112i 12i 1(2i)5+--+-====----． 解法二:i(2i)2i 1(12i)112i 12i 12i+---===----． 规律总结：进行复数的除法,通常从两方面计算：①运用复数除法法则“分母实数化”;②逆（或正）用乘法运算律，整体处理；如i i(i)i(i)=(i)a b b a b a a b +=-=--+---．【变式练习2】计算⑴i 2i -；⑵1i 1i-+． 题型三 共轭复数及应用例3 已知复数222(32)i()x x x x x R +-+-+∈是420i -的共轭复数，求x 的值．思路导析：利用共轭复数的概念：实部相等,虚部互为相反数，建立方程组求解x 的值．解析：由题意得，2224,3220,x x x x ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩解之得3x =-． 故x 的值为3-．规律总结:对于共轭复数及应用型问题，通常抓住共轭复数的代数特征，建立方程进行求解．【变式练习3】若2i x y -+和3i x -互为共轭复数,则实数,x y 的值为（）（A ）3，3 （B ）5,1 （C ）1,1-- （D ）1,1-题型四 简单的复数方程例4 证明:在复数范围内，方程255i (1i)(1i)2iz z z -+--+=+(i 为虚数单位）无解． 思路导析：利用复数相等将复数方程转化为实数方程组进行证明． 证明：原方程化简为2(1i)(1i)13i z z z +--+=-，设i(,)z x y x y R =+∈，则i z x y =-， 代入上述方程得22(22)i 13i x y x y +-+=-,∴221,(22)3,x y x y ⎧+=⎨-+=-⎩整理得281250x x -+=．因2(12)485160∆=--⨯⨯=-<，∴方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解．规律总结：处理复数方程问题，一般是设出复数z的代数形式，利用四则运算整理方程，然后复数相等的充要条件转化为代数方程组进行求解．【变式练习4】已知C-=+．zz zz∈,解方程3i13i。

2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数的乘法和除法导学案新人教A 版选修1-2【学习目标】熟练掌握复数代数形式的乘除运算法则，熟练进行复数的乘法和除法运算，理解复数乘法的交换律、结合律、分配律，了解互为共轭复数乘积的结论。

【预习案】预习教材59-61页并完成下列问题1. 复数的乘法法则：设z 1=a+bi ，z 2=c+di (a 、b 、c 、d ∈R) ,则（a+bi)(c+di)=__________________2. 复数的乘法法则：设z 1=a+bi ，z 2=c+di (a 、b 、c 、d ∈R) ,则=++di c bi a ___________________3. 共轭复数的性质：_____)1(==⋅z z ____)2(2=z ____)3(21=⋅z z ___)4(=z4.i 的乘方规律:i 1=___,i 2=___,i 3=___,i 4=___;由此归纳：i4n+1=____,i 4n+2=___,i 4n+3=___,i 4n =___5. 两个特殊复数的乘方(1+i)2=____,(1-i)2=_____6.复数模的性质：_______________,______,______,21212121=+=+===⋅z z z z z z z z z n【课中案】例1：计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i)例2例3：例4、 计算3,22ωωω，），（例5、计算： 33)1()31(i i -+-例6、 求复数z ，使z+z 4为实数，且 |z-2|=2 .2 (1)(3+4i)(3-4i); (2)(1+i).计算(1+2i)(3-4i).计算 ÷ii 2321,2321--=+-=ωω【课后案】1.i 为虚数单位，=+++7531111i i i i （ ） A.0 B.2i C.-2i D.4i2.若复数（1+bi ）(2+i)是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则b=( )3.已知复数z=1+i,则12z 2--z z=( )A,2i B.-2i C.2 D.-24.在复平面内，复数2)31(1i i i+++对应的点位于（ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.设a 是实数，且211ii a+++是实数，则a=( ) A.21 B.1 C.23 D.2 11A.-2B.-C.D.2226.复数i i 21121-++-的虚部是（ ） A.51.51.51.51--D i C B i7.设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1=3+4i,z 2=t+i,且21z z ⋅是实数，则实数t=（ ） A.43.34.34.B 43--D C8.设x,y 为实数，且,315211x i i y i -=-+-则x+y=_________9.已知复数z 1=m+(4-m 2)i(R m ∈)和z 2=2cos θ+(λ+2sin θ)i(R ∈λ),若z 1=z 2试求λ取值范围。

（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算本章小结阅读与欣赏聪明在于学习，天才由于积累第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法本章小结阅读与欣赏函数概念的形成与发展第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）本章小结阅读与欣赏对数的发明必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积实习作业1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系本章小结阅读与欣赏散发着数学芳香的碑文第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式本章小结阅读与欣赏笛卡儿必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值、输入和输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例本章小结阅读与欣赏我国古代数学家秦九韶附录1解三元一次方程组的算法、框图和程序附录2Scilab部分函数指令表第二章统计2.1随机抽样2.1.2系统抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关本章小结阅读与欣赏蚂蚁和大象谁的力气更大附录随机数表第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用本章小结阅读与欣赏概率论的起源必修四第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角教学建模活动本章小结阅读与欣赏三角学的发展第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用本章小结阅读与欣赏向量概念的推广与应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积本章小结阅读与欣赏和角公式与旋转对称必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例本章小结阅读与欣赏亚历山大时期的三角测量第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和本章小结阅读与欣赏级数趣题无穷与悖论第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划本章小结选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2.3抛物线2.3.1抛物线级其标准方程2.3.2抛物线的几何性质本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想选修1-2第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析本章小结“回归”一词的由来附表相关性检验的临界值表第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法本章小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想数学证明的机械化——机器证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法3.2.2复数的乘法和除法本章小结复平面与高斯第四章框图4.1流程图4.2结构图本章小结阅读与欣赏冯·诺伊曼选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）本章小结阅读与欣赏向量的叉积及其性质选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常数函数与冥函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例本意小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法本章小节阅读与欣赏复平面与高斯选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角本章小结第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布本章小结阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表选修3-1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3-2暂缺选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2引言第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记选修4-6引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例说明：A版适用于文件生使用，B版适用于理科生使用，B 版比A版略难。

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堂探究新人教B版选修1—2探究一复数的乘、除运算两个复数的积和商仍为复数，运算过程中乘法运算可类比多项式的乘法运算规则；对于除法运算要格外注意,复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分化简，得出结论，但复数的除法因为分母为复数一般不能直接约分化简．【典型例题1】（1）（2014课标全国卷Ⅱ高考）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1＝2＋i，则z1z2＝( )A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i解析：由题意知：z2＝－2＋i。

又z1＝2＋i，所以z1z2＝(2＋i）(－2＋i)＝i2－4＝－5.故选A。

答案：A（2）(2014新课标全国卷Ⅰ高考）错误!＝( ）A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i解析：错误!＝错误!＝错误!＝－1－i.故选D.答案：D点评对于复数的运算，除应用四则运算法则之外,对于一些简单的算式要知道其结果,这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速、简捷、出错少的效果．比如下列结论，要记住：①错误!＝－i；②错误!＝i;③错误!＝－i;④a＋b i＝i(b－a i)；⑤错误!3＝1;⑥错误!3＝－1。

探究二共轭复数性质的应用1．共轭复数常用的性质有：①错误!＝z.②z·错误!＝|z｜2＝｜错误!｜2。

《复数的概念》教学设计第1课时1.了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．2.理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．3.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．教学重点：理解数系的扩充的必要性，明白复数及其相关概念，掌握复数的几种类．．教学难点：复数的分类及相关概念的辨析一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本章将要研究哪类问题？（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容.预设的答案：（1）本章将要研究数系的扩充.（2）数系的扩充，一方面是解决人类生活生产实际问题的需要，另一方面也是解决数学自身发展所遇到矛盾的需要.（3）起点是“数”的认识过程，目标是通过研究复数，明确复数的概念，了解复数的运用.设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.★资源名称： 【情景演示】复数的概念节首引入★使用说明：本资源为《复数的概念》节前引入视频，通过视频引入，激发学生学习的兴趣．本资源适合于讲解复数的概念课前引入教学使用，通过视频介绍演示，使学生更加形象生动的了解知识应用情况，为新知识的学习做好铺垫．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．二、问题导入问题2：类似=1的方程，在实数范围内无解，那么能否向前面一样引入一种新的数，使得这个方程有解，并将实数进行扩充呢？师生活动：学生先回忆初中学过的有理数集、实数集等．【想一想】是否可以引入一个新的单位使得类似=－1的方程有解？师生活动：引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：（1）i 2= -1；（2）实数与i 可以进行加法和乘法运算：实数a 与数i 相加记为：a +i实数b 与数i 相乘记为：b i ，并规定0• i =0 实数a 与 b i 相加记为：a +b i引语：要解决这个问题，就需要进一步学习复数的概念.（板书：复数的概念）【新知探究】1．分析实例，感知复数的概念，逐步分析出实数与 i 的四则运算．问题3：规定i 的平方等于1-，即2i 1=-，称i 为虚数单位．（1）你认为可以怎样表示2与的和？又该怎样表示3减去 ？（2）你认为5与的乘积可以怎样表示？ 预设的答案：（1）2,3i i +-；（2）5i追问：这些还表示实数吗？如何定义复数集，复数集中原有的加法、乘法运算律仍然成立吗？（让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评.）预设的答案： 全体复数组成的集合叫做复数集，记作C ，记作(,)z a bi a R b R =+∈∈ ，其中 i 为虚数单位，a 实部； b 虚部．复数集中原有的加法、乘法运算律仍然成立．设计意图：感知复数的概念，分析出实数与 i 的四则运算2.在大量实例感知的基础上，总结出复数的概念．问题4：下列数32,2,6i i +-，分别有什么特点？预设的答案：32i +的实部是3，虚部是2；－2的实部是－2，虚部是0；6i 的实部是0，虚部是6.追问：根据实数a 和b 的取值不同，我们可以将复数分成哪几类？师生活动：当且仅当 时，Z =a +b i 表示实数；当 时，Z =a +b i 叫做虚数；特别的，当 时，Z =a +b i 叫做纯虚数．预设的答案：0b = 0b ≠ 0,0a b =≠即：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题5：两个实数可以相等，两个复数可以相等吗？师生活动：两个复数12,z z ，如果实部与虚部都对应相等，我们就说着两个复数相等，记作12z z =．★资源名称：【知识点解析】复数相等★使用说明：本资源为《复数相等》的知识讲解，帮助学生体会知识的形成过程，并会简单应用．同时对该知识相关重难点进行了归纳小结，带领学生梳理知识脉络，加深理解．本资源适用于《复数相等》知识讲解时的教学，供教师备课和授课时参考使用．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．追问：两个复数可以比较大小吗？预设的答案：两个复数当且仅当都是实数时，可以比较大小．设计意图：进一步理解复数的概念【巩固练习】例1. (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0B．1 C．2 D．3(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是a＝________，b＝________.(3)下列命题正确的是__________(填序号)．①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；②若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；③实数集的补集是虚数集．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)对于①，当z ∈R 时，z 2≥0成立，否则不成立，如z ＝i ，z 2＝－1＜0，所以①为假命题；对于②，2i －1＝－1＋2i ，其虚部为2，不是2 i ，所以②为假命题；对于③，2 i ＝0＋2i ，其实部是0，所以③为真命题(2)由题意，得a 2＝2，－(2－b )＝3，所以a ＝±2，b ＝5.(3)①由于x ，y 都是复数，故x ＋y i 不一定是代数形式．因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．②当a ＝0时，a i ＝0为实数，故②为假命题．③由复数集的分类知，③正确，是真命题．设计意图：通过类比理解复数的表示方法，让学生经历抽象过程、发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．例2. 已知m ∈R ，复数z ＝(2)1m m m +-＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时． ①z 为实数？ ②z 为虚数？ ③z 为纯虚数？师生活动：依据复数的分类列出方程(不等式)组求解．预设的答案：①要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且(2)1m m m +-有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.②要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且(2)1m m m +-有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.③要使z 为纯虚数，需满足(2)1m m m +-＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.设计意图：通过例题，进一步明确复数的分类，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养．例3. (1)若(x ＋y )＋y i ＝(x ＋1) i ，求实数x ，y 的值；(2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值． 师生活动：根据复数相等的充要条件求解．预设的答案：(1)由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧ x ＝－12，y ＝12.(2)设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ． 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，a ＝11，或⎩⎨⎧ m ＝－52，a ＝－715，所以实数a 的值为a ＝11或－715. 设计意图：根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理的核心素养．【课堂小结】1． 板书设计：10.1.1复数的概念1.复数的概念 例12.复数的分类 例23.复数相等 例3练习与作业： 2．总结概括：问题：1．复数的概念是什么，如何分类的？2. 如何运用两复数相等的充要条件？3. 两个复数能比较大小的充要条件是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数b i(b ≠0，b ∈R )不要只记形式，要注意b ≠0.2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．设计意图：通过梳理本节课的内容，体会虚数引入的必要性，并让学生类比理解复数的表示方法，让学生经历虚数产生及复数表示过程，发展学生数学抽象、逻辑推理等核心素养．布置作业：【目标检测】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( )(3)b i 是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) 设计意图：巩固复数的概念．2．设i 为虚数单位，若2i 3i a b +=-，a ，b ∈R ，则a+bi =( )A ．23i +B ．32i -+C ．32i -D ．32i -- 设计意图：巩固运用复数相等的充要条件．3．下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1) i 是纯虚数；②若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i(x ∈R )是纯虚数，则x ＝±1；③两个复数不能比较大小．其中错误命题的序号是__________．设计意图：巩固纯虚数的概念．4．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9) i ＜0，则实数m ＝________.设计意图：巩固运用复数的分类．5．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0. 设计意图：巩固运用复数的分类．参考答案：1． (1)× (2)√ (3)× (4)√2． B 【详解】由23ai b i +=-，a ，b ∈R ，得3a=-，2b =，则32a bi i +=-+.故选：B.3． ①②③ 当a ＝－1时，(a ＋1) i ＝0，故①错误；若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2) i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，即x ＝1，故②错；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，③中忽视了这 一特殊情况，故③错．4．－3 ∵z ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0m ＋1＜0，∴m ＝－3. 5．由m 2＋5 m ＋6＝0得，m ＝－2或m ＝－3，由m 2－2 m －15＝0得m ＝5或m ＝－3.(1)当m 2－2 m －15＝0时，复数z 为实数，∴m ＝5或m=－3.(2)当m 2－2 m －15≠0时，复数z 为虚数，∴m ≠5且m ≠－3.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是纯虚数，∴m ＝－2. (4)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －15＝0 ，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是0，∴m ＝－3.。

3.2.3 复数的除法1．掌握复数的除法法则,并能运用复数的除法法则进行计算.复数的除法( 1 )已知z ＝a ＋b i( a ,b ∈R ),如果存在一个复数z ′,使z ·z ′＝1,则z ′叫做z 的______,记作1z. ( 2 )我们规定两个复数除法的运算法则如下: ( a ＋b i )÷( c ＋d i )＝iia b c d ＋＋=1(i)()i a b c d ＋＋=22i (i)()c d a b c d -＋＋=()()22iac bd bc ad c d ++-＋=2222i ac bd bc ad c d c d +-+＋＋其中a ,b ,c ,d ∈R .上述复数除法的运算法则不必死记.在实际运算时,我们把商iia b c d ++看作分数,分子、分母同乘以分母的____________,把分母变为实数,化简后,就可以得到运算结果.[做一做]复数2i12im z -+＝( m ∈R )在复平面内对应的点不可能位于( ). A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限复数的模有哪些性质？ 剖析:( 1 )z z ＝ ( 2 )|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2| ( 3 )11222||= (0)||z z z z z ≠ ( 4 )|z n|＝|z |n题型一 复数的除法[典型例题1]计算下列各式的值:( 1 )2i 1－i ；( 2 )2＋i 7＋4i ；( 3 )1(9＋2i)2；( 4 )2＋3i 3－2i. 分析:直接利用复数除法的运算法则,分子、分母同时乘分母的共轭复数来计算．反思:在复数的除法中,除直接利用分子、分母同时乘分母的共轭复数外,形如a ＋b ib －a i或a －b i b ＋a i 的复数,还可以直接化简,即a ＋b i b －a i ＝－a i 2＋b i b －a i ＝i,a －b i b ＋a i ＝－a i 2－b ib ＋a i＝－i.题型二 复数运算的综合应用[典型例题2]设z 是虚数,ω＝z ＋1z是实数,且－1＜ω＜2.( 1 )求|z |的值及z 的实部的取值范围；( 2 )设u ＝1－z1＋z ,求证:u 为纯虚数；( 3 )求ω－u 2的最小值．分析:( 1 )按常规解法,设z ＝a ＋b i( a ,b ∈R ),化简ω＝z ＋1z,找出实部、虚部列出等量关系式求解；( 2 )证明u 为纯虚数,可按定义证明实部为零,虚部不为零．或证明u ＋u ＝0,且u ≠0； ( 3 )要求ω－u 2的最小值,由( 1 ),( 2 ),知ω与u 2均为实数,所以可先建立ω－u 2的函数关系,再设法求出最小值．反思:该题涉及到复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识．只要概念清楚,运算熟练,按常规思路顺其自然不难求解．注意:解决后面的问题时,可以使用前面已经得到的结论．题型三 易错辨析易错点:在求解过程中因忽视有关条件而导致错误．[典型例题3]已知zz －1是纯虚数,求z 在复平面内对应的点的轨迹． 错解:设z ＝x ＋y i( x ,y ∈R ),则z z －1＝x ＋y i (x －1)＋y i ＝(x ＋y i)[(x －1)－y i](x －1)2＋y 2＝x 2＋y 2－x (x －1)2＋y 2－y (x －1)2＋y 2i. ∵z z －1是纯虚数, ∴x 2＋y 2－x ＝0,即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14,∴z 在复平面上对应点的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心,12为半径的圆．1复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )． A ．15i B ．15 C ．－15i D ．－152复数⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1i 3等于( )．A ．8B ．－8C ．8iD ．－8i 3已知复数z 1＝m ＋2i,z 2＝3－4i,若z 1z 2为实数,则实数m 的值为( )． A ．83 B ．32 C ．－83 D ．－324设i 为虚数单位,则复数(1＋i)21－i＝________.5设复数z 1＝2－i,z 2＝1－3i,则复数iz 1＋z 25的虚部等于__________．正确答案:基础知识·梳理( 1 )倒数 ( 2 )共轭复数c －d i [做一做]A z ＝m －2i 1＋2i ＝15[( m －2i )( 1－2i )]＝15[( m －4 )－2( m ＋1 )i],在复平面上对应的点若在第一象限内,则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＞0，－2m ＋1＞0无解,即该点不可能在第一象限．典型典型例题·领悟 [典型例题1]解:( 1 )2i1－i ＝2i 1＋i1－i 1＋i＝i( 1＋i )＝－1＋i.( 2 )2＋i 7＋4i ＝2＋i7－4i 7＋4i7－4i ＝2×7－i·4i＋i·7－2·4i 72＋42＝14＋4－i 65＝1865－165i. ( 3 )19＋2i2＝9－2i 2[9＋2i 9－2i ]2＝81－4－36i 92＋222＝777 225－367 225i. ( 4 )方法一:2＋3i3－2i＝2＋3i 3＋2i 9＋4＝6＋4i ＋9i ＋6i 213＝13i13＝i.方法二:2＋3i 3－2i ＝－2i 2＋3i 3－2i ＝i 3－2i3－2i ＝i.[典型例题2]( 1 )解:∵z 是虚数,∴可设z ＝x ＋y i,x ,y R ,且y ≠0.∴ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.∵ω是实数,且y ≠0,∴y －yx 2＋y 2＝0,∴x 2＋y 2＝1,即|z |＝1.此时ω＝2x .∵－1＜ω＜2,∴－1＜2x ＜2,从而有－12＜x ＜1.即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. ( 2 )证明:u ＝1－z 1＋z ＝1－x ＋y i 1＋x ＋y i ＝1－x －y i 1＋x －y i 1＋x 2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i1＋x 2＋y2＝－y1＋xi. ∵x ( －12,1 ),y ≠0,∴y1＋x≠0. ∴u 为纯虚数．( 3 )解:ω－u 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 21＋x 2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x ＝2( x ＋1 )＋21＋x－3. ∵－12＜x ＜1,∴1＋x ＞0.于是ω－u 2＝2( x ＋1 )＋21＋x－3≥22x ＋1·21＋x－3＝1. 当且仅当2( x ＋1 )＝21＋x ,即x ＝0时等号成立．∴ω－u 2的最小值为1,此时z ＝±i. [典型例题3]错因分析:由zz －1为纯虚数,得x 2＋y 2－x ＝0,且y ≠0,错解中忽略了y ≠0. 正解:设z ＝x ＋y i( x ,y R ),则z z －1＝x ＋y i x －1＋y i ＝x ＋y i [x －1－y i]x －12＋y 2＝x 2＋y 2－x －y i x －12＋y 2. ∵zz －1是纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＝0，y ≠0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14( y ≠0 )．∴z 在复平面内对应的点的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心,12为半径的圆,并去掉点( 0,0 )和点( 1,0 )．随堂练习·巩固1．B1－2＋i ＋11－2i ＝－2－i 4＋1＋1＋2i 1＋4＝－1＋i5＝－15＋15i.故选B.2．D ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1i 3＝( i ＋i )3＝( 2i )3＝－8i.故选D.3．Dz 1z 2＝m ＋2i 3＋4i 3－4i 3＋4i ＝3m －8＋6＋4m i25R ,∴6＋4m ＝0,∴m ＝－32.4．－1＋i1＋i 21－i＝2i1＋i2＝－1＋i.5．i ∵iz 1＋z 25＝i 2－i ＋1＋3i 5＝i 2＋i 5＋15＋35i ＝－15＋25i ＋15＋35i ＝i.。

甘肃省永昌县高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（甘肃省永昌县高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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复数代数形式的乘除运算教学目标1．掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点)2．理解共轭复数的概念,并能解决相关问题．（易混点）教学重点掌握复数代数形式的乘、除运算．教学难点复数除法的运算法则．教学方法启发诱导式、讲练结合式教具多媒体教学环节设计意图一、目标展示: 1．掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点) 2．理解共轭复数的概念，并能解决相关问题．（易混点）二、自主学习阅读教材P58～P60内容,完成下列练习:(1)、若x－2＋y i和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________,y＝________.(2）计算：(1）（2＋i）（2－i）； (2) （1+i）2； (3)（1-2i)(3+4i）(4）错误!；（5）错误!；三、合作探究:问题1 怎样进行复数的乘法？问题2 共轭复数是如何定义的？问题3 怎样进行复数的除法?计算:（1）错误!错误!(1＋i）；（2） (错误!)6＋错误!学生自主学习，初步掌握复数乘除法运算法则，理解共轭复数的概念。

培养学生自主学习能力。

检测学生自学情况,了解学生自学中存在的问题。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学过程一、推进新课1.复数的加法探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设bi a z +=1,di c z +=2是任意两个复数，那么()()()()i d b c a di c bi a +++=+++提出问题问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？活动设计:学生独立思考，口答。

活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。

2．一致。

3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。

设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比，了解规定的合理性。

提出问题:实数加法有交换律、结合律，复数满足吗?并试着证明。

活动设计：学生先独立思考，然后小组交流.活动成果：满足,对任意的,,,321C z z z ∈有交换律:1221z z z z +=+结合律：()()321321z z z z z z ++=++证明:设bi a z +=1，di c z +=2,()()i d b c a z z +++=+21x O y()b a Z ,1 ()d c Z ,2 Z ()()i b d a c z z +++=+12显然，1221z z z z +=+同理可得，()()321321z z z z z z ++=++设计意图:引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算导学案新人教A版选修新知导学1、复数的乘法、乘方复数的乘法与多项式的乘法是类似的，运算过程中把____看作一个字母，但必须在所得的结果中把i2换成_____，并且把实部与虚部分别________、在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立、正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立、须特别注意：|z|2≠z2(z为虚数) 设z1＝a＋bi、z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a ＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝________(a、b、c、d∈R)、2、复数乘法的运算律对于任意z1、z2、z3∈C，有交换律z1z2＝__________结合律(z1z2)z3＝__________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝__________3、 (1i)2＝__________、牛刀小试11）、(1－i)2i＝()A、2－2iB、2＋2iC、2D、－22）、已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝()A、5－5iB、7－5iC、5＋5iD、7＋5i3、共轭复数1）、共轭复数的概念：一般地，当两个复数的实部_______，虚部____________时，这两个复数叫做互为共轭复数、通常记复数z的共轭复数为、2）、由复数的模及共轭复数的定义知，|z|与||_______，z＋是_______，z－是纯虚数的充要条件是z为_______、3）、在复平面内，互为共轭复数的两个复数对应的点关于__________对称、牛刀小试21）、(xx)若复数z 满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A、1－iB、1＋iC、－1－iD、－1＋i2）、若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，实数y＝________、4、复数的除法复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，再化简、即(a＋bi)(c＋di)＝＝_________＝_________，复数除法运算的实质是__________、牛刀小试3、1） i是虚数单位，等于()A、1＋iB、－1＋iC、1－iD、－1－i2）复数＋i3的值是()A、0B、1C、－1D、i命题方向（一）复数的乘法与乘方【例一】XXXXX：计算：(1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i； (2)(1－i)2(1＋i)2＋4、跟踪训练１：(1)复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a 的值为()A、1B、2C、D、(2)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝_______命题方向（二）复数的除法【例二】计算(1)(1＋2i)(3－4i)；跟踪训练21)(15全国Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝()A、－2－iB、－2＋iC、2－iD、2＋i (2)设z＝＋i ，则|z|＝()A、B、C、D、2命题方向（三）共轭复数【例三复数的共轭复数是()A、－iB、iC、－iD、i跟踪训练3：(xx广东理)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z的共轭复数为()A、2－3iB、2＋3iC、3＋2iD、3－2i（四）准确掌握复数模的几何意义【例四】已知z2＝8＋6i，求z3－16z－、跟踪训练4已知关于x的方程＋＝1，其中a，b为实数、若x＝1－i是该方程的根，求a，b 的值；课时小结：课后作业1、(xx云南景洪市一中期末)复数的实部为()A、0B、1C、－1D、22、设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()A、－1＋iB、－1－iC、1＋iD、1－i3、(xx全国卷Ⅱ文)若a为实数，且＝3＋i，则a＝()A、－4B、－3C、3D、44、(xx郑州六校质量检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在()A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限5、复数等于()A、iB、－iC、2－iD、－2－i答案：牛刀小试1 1）、C2）、C ；牛刀小试21）、A ；2）、-1,1牛刀小试31)C2)A例一：1）5＋5i、 (2)8、跟踪训练 (1)C (2)5－5i例二跟踪训练2、(1)C (2)B 例三C 跟踪训练3: A 例四跟踪训练4(1)将x＝1－i代入＋＝1，化简得(＋)＋(b－)i＝1，∴解得a＝b＝2、课后作业1、A2、A3、D4、 A5、D课堂随笔:后记与感悟:。

3.2.2 复数的乘法1．能运用复数的乘法运算法则进行简单的计算．2．掌握虚数单位“i”的幂的规律进行化简求值．复数的乘法(1)两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是在遇到i2时，要把______换成______，并把最后的结果写成a＋b i(a，b∈R)的形式．(2)两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的______．(1)两个复数的积仍为复数．(2)复数的乘法运算满足：①交换律：z1·z2＝z2·z1；②结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；③乘法对加法的分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.(3)对复数z1，z2，z和自然数m，n有：z m·z n＝z m＋n，(z m)n＝z m·n，(z1·z2)n＝z n1·z n2.实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立．【做一做1－1】计算(1－i)4得( )．A．4 B．－4C．4i D．－4i【做一做1－2】(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)的运算结果是________．共轭复数有哪些运算性质？剖析：(1)z·z＝|z|2＝|z|2；(2)z2＝(z)2；(3)z1·z2＝z1·z2；(4)z1±z2＝z1±z2.题型一复数乘法运算【例题1】计算：(2－3i)(3＋2i)分析：根据运算法则计算即可．反思：复数的乘法与多项式乘法类似，在计算两个复数相乘时，先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，最后合并同类项即可．题型二i的幂的运算【例题2】已知等比数列z1，z2，z3，…，z n，其中z1＝1，z2＝x＋y i，z3＝y＋x i(x，y∈R，且x＞0)．(1)求x，y的值；(2)试求使z1＋z2＋z3＋…＋z n＝0的最小正整数n；(3)对(2)中的正整数n，求z1·z2·z3·…·z n的值．分析：借助等比数列建立等式关系，利用复数相等的充要条件，将复数问题转化成实数问题来求解，进而得到数列通项公式，然后便使问题逐步得以解决．反思：(1)1,i,i 1,i,n⎧⎪⎪⎨-⎪⎪-⎩＝4414243.n k k n k k n k k n k k ∈∈∈∈Z Z Z Z ＝，，＝＋，，＝＋，，＝＋，(2)i n＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0，n ∈Z .题型三 共轭复数的性质【例题3】若z ，z 0∈C ，z ≠z 0，且|z |＝2，求4z z zz --的值.分析：要用z 表示004z z zz --比较困难，z 0没有具体给出，要想求04z z zz --的值，必须充分利用|z |＝2，为此要考虑用|z |的性质|z |2＝2z zz = 反思：22z z zz ==是在求解复数问题时常用的一个公式.题型四 易错辨析易错点：有些同学总认为只要是复数式子就不能比较大小，这种观点是错误的.错误原因是：若两复数经化简后为实数，则能比较大小，因此要注意运算时式子中的隐含条件. 【例题4】已知z 1，z 2∈C ，且z 1·z 2≠0，1212,A z z z z =⋅+⋅1122·B z z z z +⋅＝，问A ，B 可否比较大小？并说明理由.错解：因为z 1，z 2∈C ，且z 1·z 2≠0，所以A ∈C ，而B ＝|z 1|2＋|z 2|2∈R ，所以A ，B 不能比较大小.1设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2∈R ，则x 等于( ). A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．22设复数1z =+则z 2－2z 等于( ).A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i3设z ∈C ，2212i z z z ＝－,2z z z =⋅,则复数z 1与z 2的关系是( ).A ．z 1≤z 2B ．z 1≥z 2C ．z 1＝z 2D ．不能比较大小4已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z ＝________. 5已知复数z 1＝cos θ－i ，z 2＝sin θ＋i ，则z 1·z 2的实部的最大值为________，虚部的最大值为________. 答案：基础知识·梳理1．(1)i 2－1 (2)平方【做一做1－1】B (1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝－4.【做一做1－2】－20＋15i (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.典型例题·领悟【例题1】解：(2－3i)(3＋2i)＝6＋4i －9i －6i 2＝6＋4i －9i ＋6＝12－5i.【例题2】解：(1)由z 1z 3＝z 2，得(x ＋y i)2＝y ＋x i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x2－y2＝y ，2xy ＝x(x ＞0)．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12.(2)z 1＝1，z 2＝32＋12i ，q ＝32＋12i ，则z n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i n －1，于是z 1＋z 2＋…＋z n ＝1＋q ＋q 2＋…＋qn －1＝1－qn 1－q ＝0，则q n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i n ＝1，即n 既是3的倍数又是4的倍数． 故n 为12的倍数，所求最小的正整数n 为12.(3)z 1·z 2·…·z 12＝1·⎝⎛⎭⎪⎫32＋12i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 1＋2＋…＋11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 66＝(－i)66⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 66＝－1.【例题3】解法一：∵|z |＝2，|z |2＝z z ＝4，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －z04－z z0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －z0z z －z z0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －z0z －＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1z ＝12. 解法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －z04－z z02＝z －z04－z z0·z －z04－z z0＝|z|2＋|z0|2－z z0－z z016＋|z|2|z0|2－4z z0－4z z0＝4＋|z0|2－z z0－z z0＋|z0|2－z z0－z＝14， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －z04－z z0＝12. 【例题4】错因分析：错解中直接由z 1C ，z 2C 得A C 是不严密的，事实上只要求出A 就能发现A 为实数．正解：因为A ＝z 1·z2＋z1·z 2，故A ＝z 2·z1＋z 1·z2＝A ，即A R ，而B ＝z 1·z1＋z 2·z2＝|z 1|2＋|z 2|2R ，所以A ，B 可以比较大小，且有A －B ＝z 1·z2＋z 2·z1－(z 1·z1＋z 2·z2)＝z 1(z2－z1)＋z 2(z1－z2)＝－(z 1－z 2)(z1－z2)＝－|z 1－z 2|2≤0，故有A －B ≤0，即A ≤B . 随堂练习·巩固1．A ∵z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i R ，∴x ＋2＝0，∴x ＝－2. 2．A z 2－2z ＝(1＋2i)2－2(1＋2i)＝－1＋22i －2－22i ＝－3.3．A 设z ＝a ＋b i(a ，b R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，z2＝a 2－b 2－2ab i ，z 2－z2＝4ab i ，所以2i z 1＝4ab i ，∴z 1＝2ab ，z 2＝z ·z ＝a 2＋b 2≥2ab .4．－2i 设z ＝b i(b R ，且b ≠0)，则(b i ＋2)2－8i ＝(4－b 2)＋(4b －8)i 为纯虚数．所以⎩⎪⎨⎪⎧4－b2＝0，4b －8≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝±2，b≠2.即b ＝－2.5．322 z 1·z 2＝(cos θ·sin θ＋1)＋(cos θ－sin θ)i ，实部为cos θsinθ＋1＝1＋12sin 2θ≤32，故实部的最大值为32，虚部为－sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ≤2，故虚部的最大值为 2.。