377.高中数学教案选修2-2《3.3 复数的几何意义》

• §3.3复数的几何意义一． 教学目标 1. 了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；2. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

二． 重点、难点感悟本章两个重要解题思想：1. 数形结合思想：复数与点，复数与向量，模与距离等；2. 化归思想：把复数问题实数化，代数问题几何化。

三． 知识链接回顾向量的相关知识：1．已知向量)2,1(=a1= ；○2在平面直角坐标系中作出该向量 2.○1如图，作出b a +（分别使用三角形法则，平行四边形法则两种作法），b a -○2若)2,1(-=a ,)3,2(=b ,则b a += , b a -=四、学习过程（一）自主学习，合作探究阅读课本第112~114页，完成下列提问：1.复数bi a z +=−−−→←一一对应 −−−→←一一对应2.从几何角度看，复数与向量完全一样吗？3.复平面： ；实轴： ；虚轴： .4.复数模的定义：5.复数bi a z +=，则||z = ，||z =6.作图说明复数加法的几何意义。

7.若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -= ，||21z z -= .8.判断：i i 2323->+（二）数学应用，技能培养例1.在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：例2.已知复数i z i z 51,4321+-=+=，试比较它们模的大小.例3.设C z ∈，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？○1||z =2 ○22<||z <3 五．基础达标高二数学选修2-2 撰写人：张金凤 用案时间： 编号：1.设bi a z +=和复平面内的点Z （b a ,）对应，当b 满足什么条件时，点Z 位于： ○1实轴上？ ○2虚轴上（除原点外）？ ○3实轴的上方？ ○4虚轴的左侧？ 2.已知复数i 56+和i 43+-○1在复平面上作出与这两个复数对应的向量OA 和OB ○2写出向量AB 和BA 表示的复数 3.已知复数i m m z )9()2(2-+-=在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围4.求证：||||||2121z z z z =5.根据复数加法的几何意义证明：||||||||||||212121z z z z z z +≤+≤-6.给出下列四个命题：○1任何复数的模都是非负数； ○2x 轴是复平面上的实轴，y 是虚轴； ○3,2,5,32,54321i z z i z i z -=-=-==则这些复数的对应点共圆；○4|sin cos |θθi +的最大值为2，最小值为0. 其中正确命题是 （写出所有正确命题的序号）。

3.3 复数的几何意义学案（苏教版高中数学选修2-2）3.3复数的几何意义复数的几何意义学习目标1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴.虚轴.模等概念.3.理解向量加法.减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢答案任何一个复数zabi，都和一个有序实数对a，b一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二复数的几何意义1复数与点.向量间的对应关系2复数的模复数zabia，bR，对应的向量为OZ，则向量OZ的模叫做复数zabi 的模或绝对值，记作|z|或|abi|.由模的定义可知|z||abi|a2b2.知识点三复数加.减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗答案如图，设OZ1，OZ2分别与复数abi，cdi对应，且OZ1，OZ2不共线，则OZ1a，b，OZ2c，d，由平面向量的坐标运算，得OZ1OZ2ac，bd，所以OZ1OZ2与复数acbdi对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量答案z1z2可以看作z1z2因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1z2对应的向量如图图中OZ1对应复数z1，OZ2对应复数z2，则Z2Z1对应复数z1z2.梳理1复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数z1z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终点的向量Z2Z1所对应的复数2设z1abi，z2cdia，b，c，dR，则|z1z2|ac2bd2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离1原点是实轴和虚轴的交点2在复平面内，对应于实数的点都在实轴上3在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数4复数的模一定是正实数类型一复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数zx2x6x22x15i对应的点Z在1第三象限；2直线xy30上解因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数1当实数x满足x2x60，x22x150，即当3x0，x22x150，即当2x0，m23m280，解得m5，7m4.即7m3.故当7m3时，复数z的对应点位于第四象限2由题意，知m28m150，m23m280，由得m7或m4.因为m7不适合不等式，m4适合不等式，所以m4.故当m4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上类型二复数模及其几何意义的应用例2已知复数z13i及z21232i.1求|z1|及|z2|的值；2设zC，满足|z2||z||z1|的点z的集合是什么图形解1|z1||3i|32122，|z2|1232i1223221.2由1知1|z|2，因为不等式|z|1的解集是圆|z|1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z|2的解集是圆|z|2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示反思与感悟1在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小2复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离跟踪训练2设z为复数，且|z||z1|1，求|z1|的值考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解设zabia，bRz1a1bi，且|z||z1|1，a2b21，a12b21，即a2b21，a12b21，即a2b21，a2b22a0，解得a12，b234，|z1||abi1|a12b21212343.类型三复数加.减法的几何意义例3如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，32i，24i.求1AO表示的复数；2CA表示的复数；3OB表示的复数解因为A，C对应的复数分别为32i，24i，由复数的几何意义，知OA与OC表示的复数分别为32i，24i.1因为AOOA，所以AO表示的复数为32i.2因为CAOAOC，所以CA表示的复数为32i24i52i.3OBOAOC，所以OB表示的复数为32i24i16i.反思与感悟1常用技巧形转化为数利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理数转化为形对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中2常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形若|z1z2||z1z2|，则四边形OACB为矩形若|z1||z2|，则四边形OACB为菱形若|z1||z2|且|z1z2||z1z2|，则四边形OACB为正方形跟踪训练31已知复平面内的平面向量OA，AB表示的复数分别是2i,32i，则|OB|________.2若z12i，z23ai，复数z2z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是__________答案1102，1解析1OBOAAB，OB表示的复数为2i32i13i，|OB|123210.2z2z11a1i，由题意知a10，即a|xyi||y2i|解析由34ixyi，x3，y4.则|15i|26，|xyi||34i|5，|y2i||42i|25，|15i||xyi||y2i|.4设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于第________象限答案四解析z1z257i，z1z2在复平面内对应的点为5，7，其位于第四象限5设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是32i和24i，则点C对应的复数是__________答案52i解析设AC与BD的交点为E，则E点坐标为52，1，设点C坐标为x，y，则x5，y2，故点C对应的复数为52i.1复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决即数形结合法，增加了解决复数问题的途径1复数zabia，bR 的对应点的坐标为a，b，而不是a，bi2复数zabia，bR的对应向量OZ是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有无数个2复数的模1复数zabia，bR的模|z|a2b2.2从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申|z1z2|表示点Z1和点Z2之间的距离。

3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.3 复数的几何意义【提出问题】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．这说明了我们研究问题时要学会从代数和几何两个方面考虑问题。

我们知道，z=a+bi （a ，b ∈R ）这种代数形式表示复数。

那么，从几何的角度怎样表示复数呢？【解决问题】根据复数相等的定义，复数z=a+bi 被一个有序实数对（a ，b ）所唯一确定，而每一个有序实数对（a ，b ），在平面直角坐标系中又唯一确定一点Z （a ，b ）（或一个向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ ）。

这就是说每一个复数对应着平面直角坐标系中唯一的一个点（或一个向量）；反过来平面直角坐标系中每一个点（或每一个向量），也对应着唯一的一个有序实数对。

【获得新知】这样我们通过有序实数对，可以建立复数z=a+bi 和点Z （a ，b ）（或向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ ）之间的一一对应关系。

点Z （a ，b ）或向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 是复数z 的几何表示（图一）。

复数z=a+bi 一一对应↔ 有序实数对（a ，b ）一一对应↔ 点Z （a ，b ）图一建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。

在复平面内x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

x 轴的单位是1，y 轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点（0，0）对应复数0。

设复数z=a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度叫做复数a+bi 的模（或绝对值），记作|a+bi|，如果b=0，则|a+bi|=|a|，这表明复数绝对值是实数绝对值概念的推广。

由向量长度的计算公式，|a+bi|=√a 2+b 2.如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数。

复数z 的共轭复数z̅表示。

当z=a+bi 时，则z̅=a-bi 。

当复数z=a+bi 的虚部b=0时有z=z̅。

也就是说，任意实数的共轭复数仍是它本身。

复数的几何意义【教学目标】明白得复数与从原点动身的向量的对应关系，把握复数的向量表示 ，复数模的概念及求法，复数模的几何意义；体会数形结合的思想在数学中的重要意义；体会事物间的普遍联系.【教学重点】复数的几何意义 【教学难点】复数的模一、课前预习：（阅读教材86--87页，完成知识点填空）1.试探：实数与数轴上的点是一一对应的，实数能够用数轴上的点来表示，那么复数可否也能用点来表示呢？2.复平面、实轴、虚轴．．．．．．．．．：复数),(R b a bi a z ∈+=与有序实数对),(b a 是 对应关系这是因为关于任何一个复数),(R b a bi a z ∈+=，由复数相等的概念可知，能够由一个有序实数对),(b a 惟一确信，如i z 23+=能够由有序实数对 （ ） 确信，又如i z +=2能够由有序实数对( )来确信；又因为有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，成立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间能够成立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数),(R b a bi a z ∈+=可用点),(b a Z 表示，那个成立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，也叫高斯平面，x 轴叫做 ，y 轴叫做 .实轴上的点都表示 ，关于虚轴上的点要除 外，因为原点对应的有序实数对为 ，它确信的复数是 ，表示是实数.故除原点外，虚轴上的点都表示 .在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数 ，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数 ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是 ，i z 35--=对应的点( )在第 象限.3.复数的模．．．．：设复数),(R b a bi a z ∈+=对应的点为Z ，那么复数z 对应的向量为 ， 向量的 叫做复数),(R b a bi a z ∈+=的模（或 ），记作 .则=+||bi a .当0=b 时=||z ，为实数意义上的绝对值，4.共轭复数．．．．： . ),(R b a bi a z ∈+=的共轭复数记作复平面中，两个互为共轭复数对应的点关于 对称.二、课上学习：（参照教材87页例题，探讨完成）例1.已知复数z 1=3+4i,z 2=-1+5i,求它们的模和共轭复数.例2.设C Z ∈，知足以下条件的点Z 的集合是什么图形？（1）|z|=1 ； (2)2||≥z ； （3） 2<|z |<3三、课后练习：页练习A,89页练习B2.以下命题中的假命题是（ ）(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

复数的几何意义的教学设计授课教师：葫芦岛市实验高中刘梅Ⅰ、设计理念已知复数的几何意义的学习主要是使学生更加深刻地认识复数与点及向量的关系；培养学生运用数学结合的思想直观地解决数学问题的能力，因此在学习和教学过程中应发挥学生在学习中的主动性和创造性。

通过探究性的学习方法，培养学生在探究学习的过程中的积极参与意识和独立思考能力。

Ⅱ、教学背景分析1教学内容解析《复数的几何意义》是选修2-2人教版第三章第一节《数系的扩充与复数的概念》的第3节的内容，在前面已经学习了实数系，复数的概念，本节课的内容包括复平面、实轴、虚轴等概念，研究了复数的几何意义及应用问题。

本节课的研究有助于学生完善数系体系，形成知识网络，还将为进一步大学学习，提供解决问题的方法和手段。

学好这部分内容，对理顺学生的知识架构体系、提高学生的综合能力起着重要作用。

2学生学情分析学生通过学习实数系，复数的概念，这对学生学习复数的几何意义的打下了良好的基础，同时，学生已获得了平面向量的模的概念借助于多媒体认识复数的模，因而会比较轻松地融入对本课的探究．【学法指导】在探究活动中，学生亲历从类比方法获取新知的过程，培养学生积极参与的主体的意识，体验探索的乐趣，培养学习数学的兴趣。

通过独立思考和合作交流，发展思维，养成良好思维习惯，提升自主学习能力．培养学生运用数形结合、类比的思想直观地解决数学问题。

Ⅲ．教学目标设置【教学目标】1知识与技能1理解复平面、实轴、虚轴等概念。

（2）掌握复数的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系，并能适当应用．（3）掌握复数模的定义及求模公式，理解共轭复数的概念2过程与方法1通过问题引导，探究学习，提高学生数学探究能力；2渗透转化、数形结合等思想方法提高分析和解决问题的能力。

3情感、态度与价值观引导学生观察现象，发现问题，提出观点，验证结论，培养良好的思维品质。

通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育．【教学重点】：复数的几何意义及应用。

3.3复数的几何意义一、高考要求1、 了解复数的代数表示法及其几何意义，2、了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.二、基础知识梳理1、 复数的几何表示2、 复数的模3、 复数加法的几何意义4、 复数减法的几何意义5、若z ＝a ＋bi, (a, b ∈R), 则 | z |＝ ； z z ⋅＝ .6、设z 1=a+bi ，z 2=c+di ，则|z 1-z 2|=．三、课前热身 1、数i z i z -=+=1,321，则21z z z ⋅=在复平面内的对应点位于第 象限2、复平面内若复数i i m i m z 6)1()1(2-+-+= 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是 3、a 为正实数，i 为虚数单位，2a i i +=，则a=4. 若12z i =+，则||z =5、复数ii i )1)(1(+-在复平面内对应点到原点的距离为 ． 典型例题例题1、如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3+2i,-2+4i ， 试求：（1）AO 、BC 所表示的复数；（2）对角线CA 所表示的复数;（3)求B 点对应的复数.例2 、设z ∈C ，求满足z+z1∈R 且|z －2|=2的复数z例3．已知复数z 满足|z – (4 – 5i)| = 1，求|z + i|的最大值与最小值．巩固练习1．已知复数134z i =-和24z i =-在复平面内所对应的向量分别为12,OZ OZ （其中O 为坐标原点），记向量12Z Z 所对应的复数为z ，则z 的共轭复数为_____________．2、 已知复数z 满足11z i --=，则z 的最小值是3、i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=4.复数z 1，z 2满足|z 1|=|z 2|=|z 2-z 1|=2，则|z 1+z 2|= ▲ .5、已知复数22(6)(2)()z m m m m i m R =+-++-∈在复平面内所对应的点为A ．（1）若复数4z m +为纯虚数，求实数m 的值；（2）若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围；（3）求z 的最小值及此时实数m 的值．6、 已知z 1=x 2+12 x i ，z 2=(x 2+a)i 对于任意x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围7、已知z ∈C ，2z i 和2z i 都是实数． （１）求复数z ；（２）若复数2()zai 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．8．已知虚数z 满足44z z i -=-，且141z z z -+-为实数，求z ．9、已知复数3||,121=-=z i z ，那么||21z z -的最大值是 。

教学目标：1．了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．2．通过建立复平面上的点与复数的一一对应关系，自主探索复数加减法的几何意义．教学重点：复数的几何意义,复数加减法的几何意义．教学难点：复数加减法的几何意义．教学过程：一、问题情境我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示．那么，复数是否也能用点来表示呢？二、学生活动问题1任何一个复数a＋b i都可以由一个有序实数对（a，b）惟一确定，而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么我们怎样用平面上的点来表示复数呢？问题2平面直角坐标系中的点A与以原点O为起点，A为终点的向量OA是一一对应的，那么复数能用平面向量表示吗？问题3任何一个实数都有绝对值，它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离．任何一个向量都有模，它表示向量的长度，那么相应的，我们可以给出复数的模（绝对值）的概念吗？它又有什么几何意义呢？问题4复数可以用复平面的向量来表示，那么，复数的加减法有什么几何意义呢？它能像向量加减法一样，用作图的方法得到吗？两个复数差的模有什么几何意义？三、建构数学1．复数的几何意义：在平面直角坐标系中，以复数a＋b i的实部a为横坐标，虚部b为纵坐标就确定了点Z（a，b），我们可以用点Z（a，b）来表示复数a＋b i，这就是复数的几何意义．2．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面．其中x轴为实轴，y轴为虚轴．实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．因为复平面上的点Z（a，b）与以原点O为起点、Z为终点的向量一一对应，所以我们也可以用向量OZ来表示复数z＝a＋b i，这也是复数的几何意义．6．复数加减法的几何意义可由向量加减法的平行四边形法则得到，两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．同时，复数加减法的法则与平面向量加减法的坐标形式也是完全一致的．四、数学应用例1在复平面内，分别用点和向量表示下列复数4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．练习课本P123练习第3，4题（口答）．思考1．复平面内，表示一对共轭虚数的两个点具有怎样的位置关系？2．如果复平面内表示两个虚数的点关于原点对称，那么它们的实部和虚部分别满足什么关系？3．“a＝0”是“复数a＋b i(a，b∈R)是纯虚数”的__________条件．4．“a＝0”是“复数a＋b i(a，b∈R)所对应的点在虚轴上”的_____条件．例2已知复数z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围．例3已知复数z1＝3＋4i，z2＝－1＋5i，试比较它们模的大小．思考任意两个复数都可以比较大小吗？例4设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）│z│＝2；（2）2＜│z│＜3．变式：课本P124习题3．3第6题．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．复数的几何意义．2．复数加减法的几何意义．3．数形结合的思想方法．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

复数的几何意义
一、教材分析
复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要根底，故学好本节内容至关重要。

然而，在之前学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。

二、学情分析
学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，可以通过类比让学生自主和合作探究复数的几何意义相关知识。

三、教学目标
1知识与技能目标
理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模
2过程与方法目标
通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力
3情感与态度价值观目标
通过复数的几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣
四、重点与难点
重点：复数的几何意义以及复数的模；
难点：复数的几何意义及模的综合应用
五、教法与学法
教法：本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式
六、教学过程
七、作业布置
讲义——复数的几何性质八、板书设计。

复数的几何意义
教学目标
1．了解复数的几何意义．
2．会用复平面内的点和向量来表示复数． 3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
教学重点 复数的几何意义．
教学难点
复数与向量的关系,复数模的几何意义．
教学过程
活动一 复习引入
问题1 在数轴上描出以下实数所对应的点： 2,4,1,3--．
问题2 请作出与复数12z i =+所对应的点． 活动二 知识生成
1．复平面
问题 ①是不是任何一个复数都可以和复平面内的一个点相对应？
②是不是复平面内的任何一个点都可以和一个复数相对应？
2．复数的三种表示形式
3． 复数的模
例1 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数,并比较这些复数的模的大小．
5,5,34,43,43i i i i -+-+-
活动三 复数的模的几何意义
例2 1满足2z =的复数z 对应的点在复平面上的轨迹是什么图形？
2满足23z <<的复数z 对应的点在复平面上的轨迹是什么图形？
问题 复数
12,z a bi z =+在
复平面上分别与点12,Z Z 相对应．
1．写出与复数12z z +相对应的点Z 的坐标．
2．已知复数12,z a bi z c di =+=+相对应的点12,Z Z ，作出12z z +对应的点Z ．
变式 满足下列条件的复数对应的点的轨迹是什么？
活动四 课堂小结
活动五 课后作业
1． 教材第123页练习4,5,6．
Z 2
Z 1
(1)15;
(2)(12)3z z i -=-+=。

复数的几何意义【教学目标】掌握复平面、复数的模的定义，理解复数的两种几何意义，会求复数的模并掌握复数模的几何意义。

【教学重点】复平面与复数的模的定义、复数的两种几何意义。

【教学难点】复数的两种几何意义、复数的模及其几何意义的应用。

【教学过程】一、情境导入1 实数与________________________对应；2 有序数对),(y x 与________________________对应。

类比上面两种情况，则复数),(R b a bi a z ∈+=是否可以用点来表示呢？二、自主学习，探究新知探究1：怎样用平面内的点来表示复数呢？探究2：复数能用平面向量来表示吗？探究3：任何实数都有绝对值，任何向量都有模（绝对值），类比它们，可以给出复数),(R b a bi a z ∈+=的模的概念吗？它又有什么几何意义呢？探究4：既然复数可以用复平面内向量来表示，则复数的加法有什么几何意义呢？能用作图的方法得到吗？探究5：类比向量的减法，你能发现复数减法的几何意义吗？两个复数的差的模又有什么几何意义？三、例题讲解例1．在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：i i 31,,42,4+--+，i i 23,23+-。

例2．已知复数i z 431+=，i z 512+-=，试比较它们模的大小？例3设C Z ∈，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ 12=Z 232<<Z例4．已知复数z 对应点A ，说明下列各式所表示的几何意义。

1 |)21(|i z ++2 |2|i z +四、随堂练习：1．已知i z 561+=，i z 432+-=，则||21z z +=________。

2．设C z z ∈21,，1||||21==z z 且2||12=+z z ，则||12z z -=_____。

3．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 。

4已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，则复数z =5．设复数满足i i z 46)32(+=-⋅（其中i 为虚数单位），则的模为 。

第二课时3.1.2 复数的几何意义教学要求：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学过程：一、复习准备1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。

14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---2．复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时为实数、虚数、纯虚数？3. 若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值，（(4)(3)2x y i ++-≥呢？）二、讲授新课：1. 复数的几何意义：① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？ （分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标） 结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。

②复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。

复数与复平面内的点一一对应。

③例1：在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---分别对应的点。

（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是b 而不是bi ）观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。

思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？⑤Z a bi =+↔一一对应复数复平面内的点(a,b)，Z a bi =+↔一一对应复数平面向量OZ ，↔一一对应复平面内的点(a,b)平面向量OZ注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，规定相等的向量表示同一复数。

2．应用例2，在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。

§3．3复数的几何意义教学目标：知识与技能：理解复数与平面坐标系内的点及从原点出发的向量的对应关系；理解复数的模的定义，能利用定义求复数的模；过程与方法：了解复数加减法运算的几何意义；能类比点与向量知识理解模的相关内容；情感、态度与价值观：数与形的关系，看图得结论，不是论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用．教学重点：复数与的几何表示，直角坐标系内的点与从原点出发的向量．教学难点：复数加减法运算的几何意义及模的意义．教学过程：一、问题导引实数与数轴上的点是一一对应的，即实数可以用数轴上的点来表示；类比实数的表示，复数能否也用平面内的点来表示？二、数学建构一复数的点表示1、复数的几何表示：平面内的点指导学生阅读课本然后交流对“复平面〞、“实轴〞、“虚轴〞相关概念的理解．复平面、实轴、虚轴：复数=abia、b∈R与有序实数对a，b是一一对应关系这是因为对于任何一个复数=abia、b∈R，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对a，b惟一确定，如=32i可以由有序实数对3，2确定，又如=－2i可以由有序实数对－2，1来确定；又因为有序实数对a，b与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对3，2它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系．点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数=abia、b∈R可用点Za，b表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0，0，它所确定的复数是=00i=0表示是实数．故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点0，0表示实数0，实轴上的点2，0表示实数2，虚轴上的点0，－1表示纯虚数－i，虚轴上的点0，5表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点－2，3表示的复数是－23i，=－5－3i对应的点－5，－3在第三象限等等．复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应．这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．2、完成概念辨析：以下说法错误的选项是：〔1〕在复平面内，任意一点都对应于唯一复数；〔2〕在复平面内，假设两点关于实轴对称，那么这两点对应的复数共轭；〔3〕在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；〔4〕在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．此题组的目的，加强对复平面、实轴、虚轴的概念的理解，注意虚轴上的点未必都是纯虚数．3、复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围．三、数学建构二复数的向量表示回忆：在直角坐标系内，点Z与向量是一一对应，那么复数与向量的关系如何？１．复平面内的点平面向量2．复数平面向量3．向量的模，即为复数的模，类比向量模的定义，给出练一练：求以下复数对应的点及它的模：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕思考：〔1〕，与之间有什么关系？〔2〕满足的的值有多少个？这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？〔3〕那么满足的对应的点在复平面上构成怎样的图形？〔4〕那么满足的对应的点在复平面上构成怎样的图形？四、数学应用：复数加减法的几何意义1．复数的加减法abi±cdi=a±cb±di．与多项式加减法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚局部别相加减．2．复数加法的几何意义：设复数1=abi，2=cdi，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=a，b，=c，d以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，那么对角线OZ对应的向量是，∴= =a，bc，d=ac，bd＝acbdi3．复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设=a－cb－di，所以－1=2，21=，由复数加法几何意义，以为一条对角线，为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量就与复数－1的差a－cb－di对应由于，所以，两个复数的差－1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．探究：表示的几何意义是什么？练一练：1．复数对应点A，说明以下各式所表示的几何意义：〔1〕〔2〕〔3〕方程表示〔4〕方程表示〔5〕表示2．复数，假设复数满足等式，那么复数所对应的点的集合是什么图形？继续研究：此题中的最大值与最小值如何求？此类问题与所学的知识中哪局部相类似？五、课堂回忆知识层面方法层面学生层面。

3．3复数的几何意义[对应学生用书P43]复平面的定义问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．问题1：在复平面内作出复数z 所对应的点Z . 提示：如图所示．问题2：向量OZ u u u r和点Z 有何关系？提示：有一一对应关系．问题3：复数z ＝a ＋b i 与OZ u u u r有何关系？提示：也是一一对应．1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ u u u r ，则OZ u u u r的模叫做复数z 的模(或绝对值)，记作|z |，且|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.复数加减法的几何意义如图1OZ u u u r 、2OZ u u u u r分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．问题1：试写出1OZ u u u r 、2OZ u u u u r 及1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r 、1OZ u u u r －2OZ u u u u r的坐标． 提示：1OZ u u u r ＝(a ，b )，2OZ u u u u r＝(c ，d )，1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ u u u r －2OZ u u u u r＝(a －c ，b －d )． 问题2：向量1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r 及1OZ u u u r －2OZ u u u u r所对应的复数分别是什么？提示：(a ＋c )＋(b ＋d )i 及(a －c )＋(b －d )i.1．复数加法的几何意义设向量1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且1OZ u u u r 和2OZ u u u u r不共线．如图，以1OZ u u u r ，2OZ u u u u r为邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则其对角线OZ所表示的向量OZ u u u r OZ u u u r就是复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应，且1OZ u u u r，2OZ u u u u r不共线，如图．则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ u u u r －2OZ u u u u r (等于21Z Z u u u u r)对应，这就是复数减法的几何意义．3．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．[对应学生用书P44]复数的几何意义[例1] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x －y －3＝0上？[思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则当a <0且b <0时，复数z 对应的点在第三象限；当a >0且b <0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．[精解详析] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数． 若已知复数z ＝a ＋b i ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限； 当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限； 当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限．解析：z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i ＋1的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)在第四象限．答案：四2．求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上．解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0 ①m 2＋3m －28＝0 ②由②得m ＝－7或m ＝4. 因m ＝－7不适合不等式①， m ＝4适合不等式①， 所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．复数模及其几何意义的应用[例2] 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形．[思路点拨] 由复数的模长公式求出|z 1|及|z 2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形．[精解详析] (1)|z 1|＝|3－i|＝(3)2＋(－1)2＝2， |z 2|＝⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，所以|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．[一点通] (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．3．(辽宁高考改编)复数z ＝1i －1的模为________． 解析：∵z ＝1－1＋i ＝－1－i (－1＋i )(－1－i )＝－1－i2＝－12－12i ，∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22. 答案：224．已知z ＝3＋a i ，且|z －2|＜2，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵z ＝3＋a i ，∴z －2＝1＋a i ， ∴|z －2|＝1＋a 2<2，即1＋a 2<4，∴a 2<3，即－3<a < 3. 答案：(－3，3)5．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？ 解：法一：由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ u u u r的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以5为半径的圆． 法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25，∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．[例3] 已知▱OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) AO u u u r 表示的复数；(2) CA u u r表示的复数；(3)点B 对应的复数．[思路点拨] 点O ，A ，C 对应的复数――――――→向量的坐标表示AO u u u r ，CA u u r ，OBu u u r的坐标形式――――――→复数在复平面上与向量一一对应AO u u u r ，CA u u r ，OBu u u r 对应的复数[精解详析] (1)AO u u u r ＝－OA u u r ，故AO u u u r表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)CA u u r ＝OA u u r －OC u u u r ，故CA u u r表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB u u u r ＝OA u u r ＋AB u u u r ＝OA u u r ＋OC u u ur ，故OB u u u r 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即点B 对应的复数为1＋6i.[一点通] (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．6．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB u u u r对应的复数z ，z 在平面内对应的点在第几象限？解：z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ， ∵z 的实部－1<0，虚部1>0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内．7．在复平面内，点A 、B 、C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i.以AB 、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．解：如图，由复数加减法的几何意义， AD u u u r ＝AB u u u r ＋AC u u ur ，即z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)． 所以z 4＝z 2＋z 3－z 1＝7＋3i.|AD |＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ u u u r是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ u u u r相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．[对应学生用书P45]一、填空题1．若OA u u r 、OB u u u r 对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB u u u r|＝________.解析：∵OA u u r ＝(7,1)，OB u u u r＝(3，－2)， ∴AB u u u r ＝OB u uu r －OA u u r ＝(－4，－3)，∴|AB u u u r|＝5.答案：52．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限． 解析：i(1－2i)＝2＋i 对应的点为(2,1)，位于第一象限． 答案：一3．若z ＋|z |＝2＋8i ，则z ＝________. 解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8，所以z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部． 于是|z |＝(2－|z |)2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 答案：－15＋8i4．已知z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，若z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________. 解析：z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝5＋(a ＋1)i ，由z 1＋z 2所对应的点在实轴上可知a ＋1＝0，即a ＝－1. 答案：－15．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝________.解析：11＋i ＋i ＝1－i(1＋i )·(1－i )＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22. 答案：22二、解答题6．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．解：由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32. 7．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB u u u r ，BC u u ur ，AC u u u r 对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解：(1)AB u u u r对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i. BC u u u r对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.AC u u u r对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB u u u r|＝|1＋i|＝2，|BC u u u r |＝|－3＋i|＝10，|AC u u u r |＝|－2＋2i|＝22， ∴|AB u u u r|2＋|AC u u u r |2＝|BC u u u r |2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB u uu r |·|AC u u u r |＝12×2×22＝2.8．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解：已知|z－(－2＋2i)|＝1中，z的对应点轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，|z－(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3.。