提公因式法(提高)知识讲解

（完整版）提公因式法分解因式典型例题因式分解（1）⼀知识点讲解知识点⼀：因式分解概念：把⼀个多项式化为⼏个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

1.因式分解特征：因式分解的结果是⼏个整式的乘积。

2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反⽅向的变形知识点⼆：寻找公因式1、⼩学阶段我们学过求⼀组数字的最⼤公因（约）数⽅法：（短除法）例如：求20,36,80的最⼤公（约）数？最⼤公倍数？2、寻找公因式的⽅法：（⼀）因式分解的第⼀种⽅法（提公因式法）（重点）：1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外⾯，把多项式转化成公因式与另⼀个多项式的积的形，这种因式分解的⽅法叫做提公因式法。

2.符号语⾔：)(c b a m mc mb ma ++=++ 3.提公因式的步骤：（1）确定公因式（2）提出公因式并确定另⼀个因式（依据多项式除以单项式）公因式原多项式另⼀个因式=4.注意事项：因式分解⼀定要彻底⼆、例题讲解模块1：考察因式分解的概念1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（） A 、x x x x x 6)3)(3(692+-+=+- B 、103)2)(5(2-+=-+x x x x C 、22)4(168-=+-x x x D 、b a ab 326?=2. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（） A 、2)1(3222++=++x x x B 、22))((y x y x y x -=-+ C 、222)(y x y xy x -=+- D 、)(222y x y x -=- 3. （2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（） A 、1)1(21222+-=+-a a a a B 、22))((y x y x y x -=+- C 、22)13(169-=+-x x x D 、xy y x y x 2)(222+-=+4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（） A 、15123-=-+x y x B 、2 249)23)(23(b a b a b a -=-+C 、)11(22xx x x +=+ D 、)2)(2(28222y x y x y x -+=-5. （2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（） A 、ab a b a a -=-2)( B 、1)2(122+-=+-a a a a C 、)1(2-=-x x x x D 、)(222xy y x y x xy -=-6. （2016秋濮阳期末）下列式⼦中，从左到右的变形是因式分解的是（） A 、23)2)(1(2+-=--x x x x B 、)2)(1(232--=+-x x x x C 、4)4(442+-=++x x x x D 、))((22y x y x y x -+=+模块2：考察公因式1. （2017春抚宁县期末）多项式3222320515n m n m n m -+的公因式是（） A 、mn 5 B 、225n m C 、n m 25 D 、25mn 2.（2017春东平县期中）把多项式332223224168bc a c b a c b a -+-分解因式，应提的公因式是（）A 、bc a 28-B 、3222c b aC 、abc 4-D 、33324c b a 3.（2017秋凉州区末）多项式92-a 与a a 32-的公因式是（） A 、3+a C 、3-a B 、1+a D 、1-a 4.（2017春邵阳县期中）多项式n m n my x y x 31128--的公因式是（）A 、nmy x B 、1-n myx C 、nmy x 4 D 、14-n myx5.（2016春深圳校级期中）多项式mx mx mx 1025523-+-各项的公因式是（）A 、25mxB 、35mx - C 、mx D 、mx 5- 6.下列各组代数式中没有公因式的是（） A 、)(5b a m -与a b - B 、2 )(b a +与b a -- C 、y mx +与y x + D 、ab a +-2与22ab b a -7.观察下列各组式⼦：①b a +2和b a +；②)(5b a m -和b a +-；③)(3b a +和b a --；④22y x -和22y x +。

学习提公因式五注意提取公因式法不仅是一种重要的分解因式的方法，也是把一个多项式分解因式时首要考虑的步骤，即分解因式时，首先要看多项式中是否有公因式可提。

有公因式的一定要先提公因式。

在提公因式时应注意以下五点：一、注意提系数例1 、把多项式4x2+4y-36分解因式.分析：通过观察多项式可知各项的系数有最大的公约数4，提出公约数4可将多项式分解因式。

解：4x2+4y-36=4（x2+y-9）说明：当一个多项式各项的系数有公约数时，应先提出最大公约数，然后再考虑提字母。

此题通过提系数的最大公约数可将多项式分解因式。

二、注意提字母例2、把多项式3x4y2-6x2y3+12x3y分解因式分析：通过观察发现多项式各项的系数有最大的公约数3，我们还发现各项都含有字母x，y，且字母的x的最低指数是2，y的最低指数是1，所以公因式是3x2y.解：3x4y2-6x2y3+12x3y=3x2y（x2y-2y2+4x）说明：当一个多项式提取最大公约数后，还应注意看各项的字母是否有相同的.相同的字母是各项的公因式，这时一起提出来.当字母含有指数时，应注意提取字母的最低次数.三、注意提多项式例3、分解因式3(x-y)2-(y-x)3.分析：观察多项式中的每一项都含有多项式x-y，且(x-y)的最低次数是2，所以多项式的公因式是(x-y)2. 还要注意(y-x)3=-(x-y)3的变形.解：3(x-y)2+(x-y)3=(x-y)2·[3+(x-y)]=(x-y)2·(3+x-y).说明：当一个多项式的公因式是以多项式的形式出现的，应将多项式作为一个整体提出. 四、注意提负号例4、分解因式-x-x2+2xz.分析：本题的多项式的第一项的系数是-1，在提公因式时，应注意将负号一并提出.解：-x-x2+2xz=-x(1+x-2z)说明：当多项式的首项系数是负数时，这时可以把负号同时提出，提负号时应注意多项式的各项都要变号.五、注意提彻底例5、分解因式3a(x+y)2+6a(y+x)3.分析：这个多项式的两项的系数有公约数5，含有字母a，并且含有多项式x+y.所以此多项式的公因式是3a(x+y)2.解：3a(x+y)2+6a(y+x)3=3a(x+y)2[1+2(x+y)]=3a(x+y)2(1+2x+2y).说明：当一个多项式中既有系数又含有字母时,应注意综合考虑多项式的公因式.做到三看：一看系数，二看字母，三看指数.。

西安乐童教育中心八年级数学 因式分解常见方法讲解和经典题型常见方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

提取公因式法 教学目的： 使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系。 使学生了解公因式的概念和提公因式的方法。 会用提公因式法分解因式。 教学重点：会用提取公因式法分解因式。 教学难点：如何确定公因式；以及提出公因式后的另外一个因式。 教学过程： 一、复习提问: 计算: )(cbam；))((nmba；))((baba；))((bxax。 二、新课讲解: 由上面各题的计算结果，可以知道: mcmbmacbam)( ①

bnbmanamnmba))(( ②

22))((bababa

③

把上面各式反过来写，就是 )(cbammcmbma ④

))((nmbabnbmanam ⑤

))((22bababa ⑥

定义：一般地，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。 从以上的例子可看出，因式分解与整式的乘法正好相反。 课堂练习：P8：练习1。 引入提取公因式法： )(cbammcmbma的左边mcmbma的各项ma、mb、mc都含有

一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式。 由上式可以看出：可以把多项式mcmbma写成m与cba的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式mcmbma的一个因式，把m从多项式mcmbma各项中提出后所成的多项式cba，作为多项式mcmbma的另一个因式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。 例1：把cabba323128分解因式。 分析：首先要确定各项的公因式。不难看出这个公因式是一个单项式，因此要从系数与字母两部分来考虑:(1)公因式的系数取各项系数的最大公约数；(2)公因式中的字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取次数最低的。所以各项的公因式是24ab，其中(1)4是8与12

的最大公约数。(2)a是各项相同的字母，其指数最低是1，即为a；b也是各项相同的字母，其指数最低是2，即为2b；而c不是各项相同的字母。 解：)32(434241282222323bcaabbcabaabcabba 例2：把xxyx632分解因式。 解：)163(163632yxxxyxxxxxyx 注意：不要漏项。这里把x写成1x,可知提出一个因式x后,另一个因式是1。所以原式分解因式应防止出现)63(yxx的错误。 因为分解因式与整式乘法相反，所以可以用整式乘法检查因式分解的结果对不对。 课堂练习：P8：练习2，3。 例3：把 mmm2616423分解因式。 解：)1382(2)26164(2616422323mmmmmmmmm 注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的。在提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 课堂练习：P8：练习4。 三、课堂小结： 通过本课的学习，我们要知道什么叫做因式分解，什么叫做提取公因式，并会用提取公因式法分解因式。 提取公因法的难点在于如何确定公因式以及确定另一个因式。 公因式的确定： 系数——各项系数的最大公因数，首项含有“-”号应先提取； 字母——相同字母的较低次幂。 另一个因式的确定：用原式分别除以公因式所得的商式。 要注意分解结果不要漏项。防止漏项的方法有二：一是另一个因式的项数是否与原式的项数相符；二是应用因式分解与整式的乘法的关系，用整式乘法来检查因式分解的结果对不对。

提公因式法优秀教案一、教材分析本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．二、学生知识状况分析学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生基本上了解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．三、教学目标知识与技能1、经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中能确定多项式的公因式。

2、会用提公因式法把多项式分解因式。

3、培养学生解决问题的能力。

过程与方法在探索过程中培养学生解决问题的主动性，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想。

情感、态度与价值观在数学活动中培养学生的合作意识和创新精神，体会数学知识间的整体联系。

教学重点：会用提公因式法分解因式。

教学难点：正确找出多项式中各项的公因式，并注意各项变形的符号问题。

四、教学过程设计（一）温故知新活动内容：计算：采用什么方法？依据是什么？活动目的：旨在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔。

（二）想一想活动内容：多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 3x2+x呢？多项式mb2+nb–b呢？结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．活动目的：在学生能顺利地寻找数的公因数之后，再引导学生采用类比的方法在多项式中寻找相同的因式．（三）议一议活动内容：多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？那多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．活动目的：公因式由简单到复杂，由于第一个多项式提供的比较简单，寻找的公因式不具备归纳的条件，而后面所提供的寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式只是多了含字母y的因式，对比前一个公因式，通过寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式，可顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力具备了归纳出怎样寻找多项式各项公因式的条件，培养学生的初步归纳能力．（四）试一试活动内容：将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：（1）ab+ac （2）x2+4x （3）mb2+nb–b如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．活动目的：让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备．（五）做一做活动内容：将下列多项式进行分解因式：（1）3x+ （2）7x –21 （3） 8a3b2–12ab3c+ab （4）–24x3+12x2－28x先让学生思考这些问题，然后教师在教学中注意讲清确定公因式的具体步骤，从系数、字母和字母的次数3个方面进行分析；讲完后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式，另一个因式是否还有公因式？从而把提取公因式的“提”的具体含意深刻化。

一、提公因式法【知识要点】知识点1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【注】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形. (2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.知识点2 公因式：一个多项式中各项都含有的相同的因式,叫做这个多项式的公因式.知识点3 提公因式法：把一个多项式中的公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.【知识点总结】1. 方法规律：一个多项式各项的公因式必须由三部分组成：(1)各项整数系数的最大公约数；(2)各项相同的字母；(3)相同因式的指数取最小次数. 2. 解题方法：(1)用提公因式法分解因式后，剩下因式不能再有公因式；(2)公因式提出后，剩下的因式的求法：用公因式去除多项式各项，所得商即为另一个因式.3. 方法技巧：(1)、用提公因式法分解因式的一般步骤：○1 确定公因式○2 把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.(2)为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验.二、公式法3．公式法：（1）常用公式 平 方 差： )b a )(b a (b a 22-+=-完全平方： 222)b a (b 2ab a ±=+±（2）常见的两个二项式幂的变号规律：①22()()n n a b b a -=-； ②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）三、十字相乘、分组分解【知识要点】1.十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2xpx q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22（2）二次项系数不为1的二次三项式2ax bx c ++中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数12,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数12,c c 的积，并且1221a c a c +等于一次项系数b 的值，那么它就可以把二次三项式2ax bx c ++分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++.2．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-，既没有公因式，又不能直接利用公式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

初中数学因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏初中数学|因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏 -一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法（一）分组后能直接提公因式比如，从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

（二）分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式，主要是通过对题目当中各因式的观察，进行分组后，能够进行提公因式分解，直到分解的最后能够变成几个多项式或单项式与多项式的乘积为止。

综合练习：四、十字相乘法.十字相乘法是因式分解当中比较难的一种分解方式。

在运用过程当中，对同学们的思维提出了更高的要求，等大家都熟练了这种方法以后，其实对于因式分解是非常简单的，而且比较方便。

对于十字相乘法，我们分为四种类型。

给大家做详细的讲解。

针对每一种方法都有经典的例题解析，通过例题解析的方式让大家明白因式分解时该如何操作，遵循怎样的分解步骤，才能比较顺利的解决和掌握十字相乘法。

讲解详细讲解代数式的化简方法和注意事项解答学生提出的疑问代数式的化简是解决代数问题的基本技能，也是数学学习的重要内容之一。

本文将详细讲解代数式的化简方法和注意事项，并解答学生提出的一些常见疑问。

一、化简方法1. 提取公因式法提取公因式是化简代数式的常见方法之一。

当一个代数式中的每一项都有一个公因式时，可以将公因式提取出来，得到一个简化的代数式。

例如：对于代数式2x + 4xy，可以提取公因式2x，得到2x(1 + 2y)。

2. 合并同类项法合并同类项是将代数式中相同的项合并成一个项的方法。

同类项是指具有相同的字母和相同的指数的项。

例如：对于代数式3x + 2x - 5x，可以合并同类项得到3x - 3x，再将-3x合并得到0。

所以，简化后的代数式为0。

3. 去括号法去括号是将代数式中的括号进行展开的方法。

需要按照“先内后外”的原则进行展开。

例如：对于代数式2(x + 3)，先将括号内的表达式展开得到2x + 6。

4. 平方公式法平方公式是指将平方差、平方和、完全平方三种形式的代数式进行化简的方法。

例如：对于代数式(x + 2)(x - 2)，可以应用平方差公式(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4，得到化简后的代数式x^2 - 4。

5. 特殊因式法特殊因式是指一些特殊形式的代数式，例如“差平方”、“和平方”、“立方差”等形式。

对于这些特殊因式，可以利用相应的公式进行化简。

例如：对于代数式a^2 - b^2，可以应用差平方公式进行化简，得到(a + b)(a - b)。

二、注意事项1. 对乘法运算的理解在化简代数式时，需要正确理解乘法运算的规则。

例如，在展开括号时，需要将括号内的每一项与括号外的每一项进行乘法运算。

2. 注意符号的运算在化简代数式时，需要注意正数、负数的运算。

可以运用正数加正数、负数加负数等运算法则。

3. 注意指数的运算在化简代数式时，需要注意指数的运算。

例如，指数相同的项可以合并，指数相加的项可以化简。