初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第17讲 解直角三角形

初中数学竞赛辅导2021届人教版初中数学第17章《几何不等式与极值2021年初中数学竞赛辅导专题讲义第17章几何不等式与极值问题17.1.1★一个凸行边形的内角中，恰好有4个钝角，求n的最大值．解析考虑这个凸行边缘的n个外角，n？四角≥ 90?, 为什么？N4.90?? 360? （严格）小于是由于4个钝角的外角和大于0?），因此n?8，n的最大值是7．易构造这样的例子。

如果恰好有k个钝角，则n的最大值是k?3.17.1.2 ★ 在里面△ ABC，AB？AC，P是BC侧的高ad点。

验证：ab？交流电？PB个人计算机apcbd分析易知ab?ac?pb?pc，又是AB2？ac2？bd2？cd2？pb2？pc2故有ab?ac?pb?pc．评论的读者可能希望考虑AD是角平分线和中线的情况。

17.1.3已知四边形abcd，ac、bd交于o，△ado和△bco的面积分别为3、12，求四边形abcd面积的最小值．adobc解析易懂s△abobos△bco??，故s△abo?s△cdo?s△ado?s△bco?36.s△adodos△dco从而s△abo?s△cdo≥2s△abo?s△cdo?12，什么时候△ 阿布？当s时，等号成立△ CDO（此时，四边形ABCD为梯形），因此四边形ABCD面积达到最小值2717.1.4★已知：直角三角形abc中，斜边bc上的高h?6．（1）求证：bc?h?ab?ac；（2）求?bc?h?-?ab?ac?.解析22? 卑诗省？H2.ab？交流电？2?bc2?h2?2bc?h?ab2?ac2?2ab?ac，一2021年初中数学竞赛辅导专题讲义从情况来看，知道2BC吗？H4s△abc？2ab？AC和AB2？ac2？BC2，那么？卑诗省？Hab？交流电？？h2？36注意：这同时解决了（1）和（2）.17.1.5 ★ 设置矩形ABCD，BC=10，CD？7.移动点F和E分别位于BC和CD上，BF？预计起飞时间？4.找出△ AFE区域ade22bfc分析设置BF？十、de?y??4?x?，则11秒△abf？s△艾德？s△ecf？？7x？10岁？？10? 十、7.Y70? xy？？22 by XY≤ 12? 十、Y4.因此△ AEF≥ 70 ℃ 70? 4.332当bf?ed?2时达到最小值．17.1.6 ★ 将P设置为固定角度？在a中的某一点，通过P的驱动直线与M和n中的两侧相交△ amn最小，P是Mn的中点mpαaβn解析如图所示，连接AP并设置？地图打盹从…起s△amp?s△anp?s△man，得是美联社？罪一美联社？罪是安辛又左式≥2ap?am?an≥sin??sin?，故s△amn当达到最小值时，s△ 放大器？s△ 所以p是Mn的中点n、ca、ab上，bm?cn?ap?1，17.1.7★正三角形abc的边长为1，p分别在bc、m、二12ap2sin?sin?。

第十七讲解直角三角形
础上，准确把实际问题抽象为几何图形，进而转化为解直角三角形．
m，BC＝(2
4 )m，则电线杆AB的长为．
2
6
弦，无斜用切，宁乘勿除．
使得求解的直角三角形最终可解．
CD的长．
°．问此时车厢的最高点A距离地面多少米?(精确到1米)
一点C，求BC即可．
每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等．若
．
5°和北偏东15°方向，那么B 处船与小岛M 的距离为( )
q 的值．
地的仰角为60°．已知C 地比A 地高200米，则电缆BC 至少长多少米?(精确到0.1米)
( )
13．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若AD=31
AC ，CE=3
1BC ，则∠1和∠2的大小关系是( )
正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会级，则称为受台风影响．
得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．；如果测角，用α、β、γ等表示．测角器高度不计)．。

课 题：第十七讲 解直角三角形教学目标：1.熟记特殊角（30,45,60︒︒︒）的三角函数值，在理解三角函数定义的基础上进行有关的计算和解答．2.能够利用直角三角形的边角关系，解决测量、航行、工程技术等生活中的实际问题，提高应用知识的能力． 重点与难点：重点：熟记特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值，进行有关的计算和解答． 难点：利用直角三角形的边角关系，解决生活中的实际问题，提高应用知识的能力． 课前准备：老师：多媒体课件、完成指导丛书第十七讲 学生：课前预习 教学过程： 一、 创设情境，导入课程问题：条件允许，我们每天都跑步、跳绳和跳远，找到我们班级了吗？哪一个是你呢？在操场上，我们还升旗呢！这就涉及到如何测量旗杆的高度呢？处理方式：由学生口答完成.设计意图：利用学生几乎每天都进行的体验锻炼的实例：现实生活所熟视的场景提出问题，调动学生的积极性，利用学过直角三角形的知识，回答出问题, 从而快速进入本节课的学习.问题：我们在生活中会遇到或用到涉及解直角三角形的知识,以及在观测一些高大的建筑物等的仰角、俯角的概念还记得吗？方向角呢？能和解直角三角形的知识联系起来吗？ 这便是我们要学习的内容：解直角三角形 二、出示目标，确定学习内容多媒体出示： 今天需要掌握的内容和要求是：考试要求： 1.熟记特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值，在理解三角函数定义的基础上进行 有关的计算和解答． 2.能够利用直角三角形的边角关系，解决测量、航行、工程技术等生活中的实际问题， 提高应用知识的能力．处理方式:给学生一分钟时间，各自了解本课时所要学习的内容.设计意图：明确目标，利于学生集中精力学习重点内容，学会抓住关键，提高自主学习效果，培养自学能力．三、自主学习，知识梳理活动内容1：请用五分钟时间看新课程初中复习指导丛书P86—87的内容. 1.锐角三角函数: ⑴正弦、余弦、正切的概念.;⑵性质. 2.30°, 45°, 60°的三角函数值.3.解直角三角形: ⑴概念;⑵直角三角形的边角关系:①角之间的关系;②边之间的关系 ③角与边之间的关系.4.锐角三角函数应用中的相关概念: ①仰角、俯角；②坡度、坡角；③方向角.处理方式:留给学生五分钟看课本，学生各自静静地看书、标注、思考并完成新课程初中复习指导丛书的知识梳理；教师巡视，看到没有集中精力看书的学生，悄悄地提醒一下;对于同学提出的问题及时解答.设计意图：本课时的概念、性质、边角关系比较多，适于学生自己复习、归纳与总结，因而留出时间，让学生自己完成知识梳理，教师给出具体的自学要求，让学生在自学要求的引导下，少浪费时间，迅速总结出所要掌握的本课时知识点.活动内容2：完成知识梳理： 1.锐角三角函数定义⑴在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c . sin A ＝∠A 的对边斜边＝________；cos A ＝∠A 的邻边斜边＝________；tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝________.⑵性质：①若∠A 为锐角，则有sin(90°-A )= ________；cos(90°-A )= ________； sin 2A +cos 2A =________ . ②当角度在0°90°之间变化时，sin α、tan α随着角度的增大而________；cos α随着角度的增大而________. 2.特殊角的三角函数值角α sin α cos α tan α 30° 45° 60°师:它们统称为∠A 的锐角三角函数．锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形．3、解直角三角形⑴由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)⑵直角三角形的边角关系：在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c . ①角之间的关系：____________；② 边之间的关系：____________(勾股定理)；③边角之间的关系：sin A ＝_______，cos A ＝_______，tan A ＝_______. 4、锐角三角函数应用中的相关概念看新课程初中复习指导丛书P86的内容，结合下列图形理解以下概念： ⑴仰角与俯角;⑵坡角与坡度; ⑶方向角处理方式:学生看完新课程初中复习指导丛书后，立刻用多媒体出示知识梳理，让学生先独立思考得出自己的答案，然后再出示正确答案，让学生比较、思考，并回顾、理解与应用有关知识点.设计意图：本活动的设计意图在于引导学生通过自主学习后，对定义、概念从感性认识上升到理性认识，帮助学生加深理解基本概念，而不是浮于表面文字的机械记忆，引导学生掌握锐角三角函数的定义、性质及增减性.参考答案： 1.⑴sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b⑵①sin(90°-A )= cos A _；cos(90°-A )= _sin A _；sin 2A +cos 2A =1②sin α、tan α随着角度的增大而_增大_；cos α随着角度的增大而__减小__. 2.特殊角的三角函数值12、3、3；22、22、1；3、12、33.①角之间的关系：∠A +∠B =∠C ；② 边之间的关系：a 2+b 2= c 2(勾股定理)； ③边角之间的关系：sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b. 4. ⑴上方；下方 ⑵铅直高度；水平线 活动内容3：完成以下题目： 1．在△ABC 中，∠C =90°．若sin A =12，则tan A = ．2．1-cos 234°- cos 256°=__________．处理方式:问题1由一名学生在黑板上板书，其余学生在本子上完成, 问题2由学生口答，.注意先由学生纠正出现的问题，再由老师补充解决这类题目的方法与技巧.设计意图：考察锐角三角函数的定义与特殊角三角函数值、互余两角的三角函数关系，学生在动手计算的过程中形成、比较、总结位置与数量的对应关系，自主探究、合作交流，感受数与形结合的关系.参考答案： 1．332. 0活动内容3：变式训练 1. （2014•泰州）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）O 铅垂线水平线观测点目的地西东北南A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，2．（2014•新疆）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC= ．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）处理方式:学生通过独立计算、比较，完成题目设计意图：考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．通过此题的练习，使学生学习到解决此类问题的方法：运用直角三角形的边角关系.参考答案：1．选：D． 2. 24四、例题解析，应用知识例题1 （2014•济宁）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为．例题2（2014•益阳）益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．参考答案：例题1解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+．故答案为：3+．例题2解：设AD =x 米，则AC =（x +82）米．在Rt △ABC 中，tan ∠BCA =，∴AB =AC •tan ∠BCA =2.5（x +82）． 在Rt △ABD 中，tan ∠BDA =，∴AB =AD •tan ∠BDA =4x ． ∴2.5（x +82）=4x ， 解得x =．∴AB =4x =4×≈546.7．答：AB 的长约为546.7米．处理方式:学生先读题找思路，然后写出过程，不会的就近找援助相互商量，最后由一名学生在黑板上板书自己的思路，其余学生在本子上完成.教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．设计意图：加强训练本课时的重点与难点，帮助学生强化解题方法技能，同时强调解题过程的规范性、逻辑性. 例题3如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A 和海岛B ，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C 处时测得正前方一海岛顶端A 的俯角是600，然后：沿平行于AB 的方向水平飞行1.99×104米到达点D 处，在D 处测得正前方 另一海岛顶端B 的俯角是450， 求两海岛间的距离AB ．参考答案： 例题3解：如图，过点A 作AE⊥CD 于点E ，过点B 作BF 上CD ，交CD 的延长线于点F ，则四边形ABFE 为矩形， 所以AB=EF ， AE=BF ， 由题意 可知AE=BF=1100—200=900， CD=19900．∴在Rt△AEC 中，∠C=600, AE=900,∴09003003tan tan 60AE CE C ===∠在Rt△BFD 中，∠BDF=450，BF=900，BF=900 ∴900DF BF ==∴ AB=EF=CD-CE+DF=19900-30033003答：两海岛之间的距离AB是(20800-3003）米处理方式:由学生自己独立读题、作辅助线，然后小组间比较，统一答案；然后师生共同完成，同时强调答题要规范.设计意图：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．通过此题的练习，深化学生对解直角三角形知识的理解，也了解常用方法；也通过例题的应用，了解学生掌握所学知识的状况，发现问题，及时点拨、巩固．五、同学提问，老师讲解1．由同学们提出新课程初中复习指导丛书上需要讲解的题目，老师重点讲解.2．预设讲解指导丛书上的题目P89—90的第11题、12题和13题.先初步预设讲解指导丛书P90的第13题：13．为迎接国庆，市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）．（1）若修建的斜坡BE的坡比为：1，求休闲平台DE的长是多少米？（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG=33米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？解：（1）∵FM∥CG，∴∠BDF=∠BAC=45°，∵斜坡AB长60米，D是AB的中点，∴BD=30米，∴DF=BD•cos∠BDF=30×=30（米），BF=DF=30米，∵斜坡BE的坡比为：1，∴=，解得：EF=10（米），∴DE=DF﹣EF=30﹣10（米）；答：休闲平台DE的长是（30﹣10）米；（2）设GH=x米，则MH=GH﹣GM=x﹣30（米），DM=AG+AP=33+30=63（米），在Rt△DMH中，tan30°=，即=，解得：x=30+21，答：建筑物GH的高为（30+21）米．处理方式:学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：此题考查了坡度坡角问题以及俯角仰角的定义．此题难度较大，引导学生注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．六、巩固反思，提炼升华师：同学们，中考接近，好习惯之一必做小结，做到者必有收获.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．处理方式: 学生之间相互畅谈自己的收获，再由个别学生总结发言，最后看黑板上的提示内容. 设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学内容进行梳理、分类，融入自己的知识系统；养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．七、布置作业，课堂延伸1．必做题，复习指导丛书P89 第7、13题2．选做题，复习指导丛书P90 第11题（学有余力的做完）.3．预习单元测试（四）.。

知识清单17：解直角三角形1. 锐角三角函数的定义2. 特殊三角函数值3. 解直角三角形4. 锐角三角函数的应用1.锐角三角函数正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab .2.特殊角的三角函数值3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角， 由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解 直角三角形．4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°；(3)边角之间的关系：sin A ＝=cosB=a c ，cos A ＝sinB=b c ，tan A ＝ab .名师点睛：（1）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.（2）科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便； 已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少； 已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC 中，已知a=5，sinA=30°，则c=10,b=5.（3）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： ①共边模型；②矩形模型解决这些模型的基本套路通常有两种：①在一个直角三角形中设未知数，把能表示的边全部表示完毕，在另一个直角三角形中解方程；②直接将未知的两条边设成两个未知数，在两个直角三角形中列出一个二元一次方程组解方程组.。

九年级数学竞赛解直角三角形教案【例题求解】【例1】如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面cD和地面Bc上，如果cD与地面成45°，∠A＝60°，cD＝4，Bc＝，则电线杆AB的长为．思路点拨延长AD交Bc于E，作DF⊥Bc于F，为解直角三角形创造条件．【例2】如图，在四边形ABcD中，AB=，Bc-1，cD=，∠B=135°，∠c＝90°，则∠D等于A．60°B．67．5°c．75°D．无法确定思路点拨通过对内分割或向外补形，构造直角三角形．注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除．在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解．【例3】如图，在△ABc中，∠=90°，∠BAc=30°，Bc=l，D为Bc边上一点，tan∠ADc是方程的一个较大的根?求cD的长．求出ABc△Rt的值，解ADc∠tan思路点拨解方程求出Ac值，为解Rt△ADc创造条件．【例4】如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABcD，AB=3米，Bc=0．5米，车厢底部距离地面1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A距离地面多少米?思路点拨作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图形，展开空间想象，就能得到不同的解题寻路【例5】如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米?思路点拨设甲楼最高处A点的影子落在乙楼的c处，则图中cD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；设点A的影子落在地面上某一点c，求Bc即可．注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等．若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力．学历训练．如图，在△ABc中，∠A=30°，tanB=，Bc=，则AB的长为．．如图，在矩形ABcD中．E、F、G、H分别为AB、Bc、cD、DA的中点，若tan∠AEH=，四边形EFGH的周长为40c，则矩形ABcD的面积为．．如图，旗杆AB，在c处测得旗杆顶A的仰角为30°，向旗杆前北进10，达到D，在D处测得A的仰角为45°，则旗杆的高为．．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A、B两处分别测得小岛在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B处船与小岛的距离为A．20海里B．20海里c．海里D．．已知a、b、c分别为△ABc中∠A、∠B、∠c的对边，若关于的方程有两个相等的实根，且sinB?cosA—cosB?sinA＝0，则△ABc的形状为A．直角三角形B．等腰三角形c．等边三角形D．等腰直角三角形．如图，在四边形ABcD中，∠A＝135°，∠B=∠D=90°，Bc=，AD=2，则四边形ABcD的面积是A．B．c．4D．6．如图，在△ABc中，∠AcB=90°，cD⊥AB于D，cD=1，已知AD、BD的长是关于的方程的两根，且tanA—tanB=2，求、的值．．如图，某电信部门计划修建一条连结B、c两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、c两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得c地的仰角为60°．已知c地比A地高200米，则电缆Bc至少长多少米?．如图，在等腰Rt△ABc中，∠c=90°，∠cBD＝30，则=． 0．如图，正方形ABcD中，N是Dc的中点．是AD上异于D的点，且∠NB=∠Bc，则tan∠AB＝．1．在△ABc中，AB=，Bc=2，△ABc的面积为l，若∠B是锐角，则∠c的度数是．．已知等腰三角形的三边长为a、b、c，且，若关于的一元二次方程的两根之差为，则等腰三角形的一个底角是A．15°B．30°c．45°D．60°3．如图，△ABc为等腰直角三角形，若AD=Ac，cE=Bc，则∠1和∠2的大小关系是．无法确定2D＝∠1．∠2c∠1<．∠2B∠1>．∠A．如图，在正方形ABcD中，F是cD上一点，AE⊥AF，点E在cB的延长线上，EF交AB于点G．求证：DF×Fc＝BG×Ec；当tan∠DAF=时，△AEF的面积为10，问当tan∠DAF=时，△AEF的面积是多少?．在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别为10和9，求三角形中此边所对的角的正切值．．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往c处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?该城市受到台风影响的最大风力为几级?．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABcD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度Dc都可直接测得，从A、D、c三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上．根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG．。

1 B 初中数学解直角三角形综合讲义一、理解概念1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系2 明确概念：解直角三角形阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形定对象：特殊的求解过程定角度：已知元素新事物：求出未知元素举例：在△举例：在△ABC ABC 中，∠中，∠C C 为直角，∠为直角，∠A A ，∠，∠B B ，∠，∠C C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4c=287.4，，∠B=42B=42°°6′，解这个直角三角形。

解：（1）∠）∠A=90A=90A=90°°- 42- 42°°6′=47=47°°5454′′（2）∵）∵ cosB= cosB=c a, , ∴∴a=c cosB=287.4a=c cosB=287.4××0.74200.7420≈≈213.3 （3）∵）∵ sinB= sinB=cb, , ∴∴b=c sinB=287.4b=c sinB=287.4××0.67040.6704≈≈192.7二、研究概念1.1.条件：条件：直角三角形2.2.构成和本质构成和本质 [ [边边] ] 两条直角边两条直角边 [ [角角] ] 有一个直角有一个直角 [ [角角]] 两锐角互余两锐角互余3.3.特征：特征： [[角角] ] 两锐角互余，∠两锐角互余，∠两锐角互余，∠A+A+A+∠∠B=90B=90°°[边] ] 勾股定理，勾股定理，勾股定理，a a 2+b 2=c2[等式的性质等式的性质] a ] a 2 =c 2—b2b 2=c 2—a2勾股定理逆定理[ [边、角边、角边、角] ] ] 锐角三角函数锐角三角函数 [ [重要线段重要线段重要线段] ] ] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半[圆] ] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [ [特殊角特殊角特殊角] 30] 30] 30°角所对的直角边是斜边的一半°角所对的直角边是斜边的一半 45 45°角所对的直角边是斜边的°角所对的直角边是斜边的22倍4.4.下位下位无5.5.应用：应用：三、例题讲解1、在R t R t△△ABC 中，中，AD AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a BC= a，∠，∠，∠B=B=α，那么AD 等于等于 （（ ）） （（A 级）级） A A、、 asin 2α B B、、acos 2α C C、、asin αcos α D D、、asin αtan α 对象：对象：对象：R t R t R t△△ABC 中，中，AD AD AD 角度：角度：角度： 三角函数三角函数三角函数分析：分析：R t R t R t△△ABC cosB=BC AB cos α= aAB AB= a AB= a··cos αR t R t△△ABD sin α=ABADAD= sin α·AB AD= asin αcos α2、 正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是，则正方形的边长是 ，BD=对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P P 角度：角度：角度： 直角三角形直角三角形 分析：设P 到边的距离为PE PE。

解三角形一、内容提要1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形.2. 解直角三角形所根据的定理 (在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠).边与边的关系： 勾股定理－－－－――c 2=a 2+b 2.角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=Rt ∠边与角的关系：（锐角三角函数定义）SinA=c a ， CosA=c b , tanA=b a , CotA=ab.互余的两个角的三角函数的关系：Sin(90－A)= CosA ， Cos(90－A)= SinA ， tan(90 －A)= CotA, Cot(90 －A)= tanA.特殊角的三角函数值：锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.3. 解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中)正弦定理：SinCcSinB b SinA a ===2R. (R 是△ABC 外接圆半径).② 余弦定理： c 2=a 2+b 2－2abCosC ； b 2=c 2+a 2－2ca CosB ； a 2=c 2+b 2－2cbCosA.③ 互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180－A)= sinA ， Cos(180－A)= － cosA ， tan(180－A)=－cotA ， cotA(180－A)=－tanA.④ S △ABC ＝21absinC=21bcsinA=21casinB.4. 与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，方位角等.二、例题例1.已知：四边形ABCD中，∠A＝60 ，CB⊥AB，CD⊥AD，CB＝2，CD＝1.求：AC的长.例2. 已知：如图，要测量山AB的高，在和B同一直线上的C，D处,分别测得对A的仰角的度数为n和m，CD=a.试写出表示AB的算式.B例3. 已知：四边形ABCD中，∠ABC＝135 ，∠BCD＝120 ，CD＝6，AB＝6，BC＝5－3.求：AD的长.解：例4.如图，要测量河对岸C，D两个目标之间的距离，在A，B两个测站，测得平面角∠CAB＝30 ，∠CAD＝45 ，∠DBC＝75 ，∠DBA＝45 ，AB＝3.试求C，D的距离.例5. 已知：O 是凸五边形ABCDE 内的一点且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8. 求证：∠9和∠10相等或互补例6. 已知：二次方程mx 2－(m －2)x+41(m －1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值.求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比. 解：三、练习 1. 填空：① 如果从点A 对着点B 测得仰角是60 ，那么从点B 对着点A 测得的俯角是＿＿度. ② 点C 在点D 的南偏东25，那么点D 在C 的方向是＿＿＿＿＿＿. ③ 斜坡AB 的坡角是30 ，那么AB 的坡度i=1∶＿＿＿. ④ 锐角A ＞45 ，那么下列函数的取值范围是：SinA_____， CosA_____， tanA_______，cotA________. ⑤ 已知：30 ＜∠A ＜60 ，那么如下的函数的取值范围是∠A 的余弦＿＿＿＿＿＿＿＿，∠A 的正切＿＿＿＿＿＿＿.2. 已知：△ABC 中，∠B ＝45 ，AC ＝7，点D 在BC 上，CD ＝3， D ＝5. 求AB 的长.3. 如图观测塔AB 的高为a 米，从塔顶A 测得地面上 同一方向上的两个目标C ，D 的俯角分别是30和45，求CD 的距离.4. 船A 在船B 的正北，它们同时向东航行，时速分别是15和20海里，3小时后，船B 在船A 的东南，问这时两船相距多远？j3045A BD5. 一只船向南航行，出发前在灯塔A 的北偏东30 ，相距15海里，2小时后，灯塔在船的北偏西60 ，求船的航行速度.6. 如图要测量建筑物AB 的高，先在楼下C 测得对顶端A 的 仰角为45 ，然后在楼上D 测得对A 的仰角为30 ，已知 楼高CD=m 米，求AB.7. 已知：△ABC 中，a=21, b=17, c=10. 求：S △ABC .8. 已知：△ABC 中，SinA ∶ SinB ∶SinC=3∶5∶7.求：△ABC 的最大角的度数.9. 船B 在艇A 的方位角120，相距24海里处，发出呼救，报告说：它沿着方位角240的方向前进，速度是每小时9海里. A 艇以最快的时速21海里赶去营救，问应沿什么方向，要经过几小时才能靠近船B ？BC10. 已知：锐角三角形ABC 的外接圆直径AE 交BC 于D. 求证：tanB ×tanC=AD ∶DE提示：作BC 边的高AF(h)并延长交圆于G,连结GE11. 已知：△ABC 中，∠A=45 ，AB=6，BC=2，不用正弦定理能解答这个三角形吗？如不能，说明理由；如能请解这个三角形.12. 如图已知：ABCD 为圆内接四边形，过AB 上一点M 引MP ，MQ ，MR 分别垂直于BC ，CD ，AD ，连结PR 和MQ 交于N.求证：MABMNR PN.13. 如图已知：锐角△ABC 中，AC=1，AB=c ，△ABC 的外接圆半径R ≤1.求证： Cos<c ≤CosA+3SinA .解三角形答案一、内容提要1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形.2. 解直角三角形所根据的定理 (在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠).边与边的关系： 勾股定理－－－－――c 2=a 2+b 2.角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=Rt ∠边与角的关系：（锐角三角函数定义）SinA=c a ， CosA=c b , tanA=b a , CotA=ab.互余的两个角的三角函数的关系：Sin(90－A)= CosA ， Cos(90－A)= SinA ， tan(90 －A)= CotA, Cot(90 －A)= tanA.特殊角的三角函数值：锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.3. 解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中)正弦定理：SinCcSinB b SinA a ===2R. (R 是△ABC 外接圆半径).② 余弦定理： c 2=a 2+b 2－2abCosC ； b 2=c 2+a 2－2ca CosB ； a 2=c 2+b 2－2cbCosA.③ 互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180－A)= sinA ， Cos(180－A)= － cosA ， tan(180－A)=－cotA ， cotA(180－A)=－tanA.④ S △ABC ＝21absinC=21bcsinA=21casinB.4. 与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，方位角等.二、例题例1. 已知：四边形ABCD 中，∠A ＝60 ，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，CB ＝2，CD ＝1.求：AC 的长.解：延长AD 和BC 相交于E ，则∠E ＝30 .在Rt △ECD 中，∵sinE=CECD, ∴CE=30sin 1=1÷21＝2. EB ＝4.在Rt △EAB 中， ∵tanE=EBAB,∴AB=EBtan30。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。