高中数学必修4第三章 三角恒等变换基础训练

第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0 B ．12C ．32D ．－12[答案] A[解析] cos75°cos15°－sin435°sin15° ＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15° ＝cos75cos15°－sin75°sin15° ＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] D[解析] ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0， ∴cos(A ＋B )>0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为锐角， ∴C 为钝角．3．下列结论中，错误的是( )A ．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．对于任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β [答案] B[解析] 当α、β的终边都落在x 轴的正半轴上或都落在x 轴的负半轴上时，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立，故选项B 是错误的．4．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A cos B ，则x 、y 的大小关系是( )A ．x ≥yB ．x ≤yC ．x >yD ．x <y[答案] C[解析] y －x ＝cos(A ＋B )，在锐角三角形中π2<A ＋B <π，y －x <0，即x >y .5．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x D ．－cos2y [答案] B[解析] 原式＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y .6．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365C ．－6365D ．6365[答案] B[解析] 由cos A >0，cos B >0知A 、B 都是锐角， ∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝⎛⎭⎫35×513－45×1213＝3365. 二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.[答案]1－6210[解析] ∵cos α＝15，α∈(0，π2)，∴sin α＝265.∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝15×12－265×32＝1－6210.8．已知cos(π3－α)＝18，则cos α＋3sin α的值为________．[答案] 14[解析] cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝18， ∴cos α＋3sin α＝14.三、解答题 9．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈(0，π2)． 求：cos(2α－β)的值． [解析] ∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，∴sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，∴cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. 10. 已知sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110，求cos(α－β)的值．[解析] 将sin α＋sin β＝310，两边平方得，sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝9100①，将cos α＋cos β＝9110两边平方得，cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝91100②，①＋②得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.一、选择题 1.cos47°＋sin17°sin30°cos17°的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] D [解析]cos47°＋sin17°sin30°cos17°＝cos (30°＋17°)＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°cos17°－sin30°sin17°＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°＝32. 2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] C[解析] ∵sin A ·sin B >cos A ·cos B ， ∴cos A ·cos B －sin A ·sin B <0， 即cos(A ＋B )<0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为钝角，∴C 为锐角． 又∵tan A ·tan B >1， ∴tan A >0，tan B >0，∴A 、B 均为锐角，故△ABC 为锐角三角形．3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( )A ．x ≤yB ．x >yC ．x <yD ．x ≥y[答案] B[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴C 为锐角，∵A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 为钝角， ∴cos(A ＋B )<0，∴y <x .4．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] [答案] B[解析] f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)∈[－3，3]．二、填空题 5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3 cos π6的值是________． [答案] 0[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3cos π6＝cos π3cos π6－sin π3sin π6＝cos(π3＋π6)＝cos π2＝0.6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.[答案] －14[解析] ∵cos(α＋β)＝13，∴cos αcos β－sin αsin β＝13，①∵cos(α－β)＝15，∴cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②得⎩⎨⎧sin αsin β＝－115cos αcos β＝415，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．[解析] ∵30°<α<90°， ∴0°<α－30°<60°. ∵cos(α－30°)＝1517，∴sin(α－30°)＝1－cos 2(α－30°)＝817，∴cos α＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝1517×32－817×12＝153－834.8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．[解析] ∵a·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)， ∴|a |＝2，|b |＝3， 又∵a 与b 的夹角为60°，∴cos60°＝a·b |a|·|b|＝6cos (α－β)2×3＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝12.9. 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．[解析] (1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)得f (x )＝2cos(15x ＋π6)，∵－65＝f (5α＋5π3)＝2cos[15(5α＋5π3)＋π6]＝2cos(α＋π2)＝－2sin α，∴sin α＝35，cos α＝45.∵1617＝f (5β－5π6)＝2cos[15(5β－5π6)＋π6]＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

（数学4必修）第三章 三角恒等变换[基础训练A 组]一、选择题1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ）A .5π B .2πC .πD .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定4．设0sin14cos14a =+，0sin16cos16b =+，c =， 则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b <<5．函数)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ）A .周期为4π的奇函数B .周期为4π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2π的偶函数6．已知cos 2θ=44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．97D ．1- 二、填空题1．求值：0tan 20tan 4020tan 40+=_____________。

2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+= 。

3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。

4．已知sincos223θθ+=那么sin θ的值为 ,cos 2θ的值为 。

5．ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，且这个最大值为 。

三、解答题1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.2．若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。

（数学4必修）第三章 三角恒等变换[基础训练A 组]一、选择题 1 已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A 247 B 247- C 724 D 724- 2 函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A 5π B 2π C π D 2π 3 在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 无法判定4 设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c =， 则,,a b c 大小关系（ ） A a b c << B b a c << C c b a << D a c b <<5 函数)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ） A 周期为4π的奇函数 B 周期为4π的偶函数 C 周期为2π的奇函数 D 周期为2π的偶函数6 已知cos 2θ=44sin cos θθ+的值为（ ） A 1813 B 1811 C 97 D 1- 二、填空题1 求值：0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________ 2 若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+ 3 函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________4 已知sin cos 223θθ+=那么sin θ的值为 ,cos 2θ的值为 5 ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值，且这个最大值为 三、解答题1 已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值2 若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围3 求值：0010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+--4 已知函数.,2cos 32sin R x x x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象数学4（必修）第三章 三角恒等变换 [基础训练A 组]参考答案一、选择题 1 D (,0)2x π∈-，24332tan 24cos ,sin ,tan ,tan 25541tan 7x x x x x x ==-=-==-- 2 D 25sin()5,21y x T πϕπ=++== 3 C cos cos sin sin cos()0,cos 0,cos 0,A B A B A B C C C -=+>-><为钝角4 D 0a =，061b =，060c =5 C 2cos 242y x x x ==-，为奇函数，242T ππ== 6 B 442222221sin cos (sin cos )2sin cos 1sin 22θθθθθθθ+=+-=- 21111(1c o s 2)218θ=--= 二、填空题1 0000000tan 20tan 40tan 60tan(2040)1tan 20tan 40+=+==-000020tan 40tan 20tan 40=+ 2 200811s i n 21s i n 2t a n 2c o s 2c o s 2c o s 2c o s 2ααααααα++=+= 222(cos sin )cos sin 1tan 2008cos sin cos sin 1tan αααααααααα+++====---3 π ()c o s 23s i n 22c o s (2)3f x x x x π==+，22T ππ== 4 17,3922417(sin cos )1sin ,sin ,cos 212sin 22339θθθθθθ+=+===-= 5 0360,2 2c o s 2c o s c o s 2s i n 12s i n 2s i n 2222B C A A A A A ++=+=-+ 22132sin 2sin 12(sin )22222A A A =-+-=--+ 当1sin 22A =，即060A =时，得max 3(cos 2cos )22BC A ++= 三、解答题 1 解：sin sin sin ,cos cos cos ,βγαβγα+=-+=-22(sin sin )(cos cos )1,βγβγ+++= 122cos()1,cos()2βγβγ+-=-= 2 解：令cos cos t αβ+=，则2221(sin sin )(cos cos ),2t αβαβ+++=+ 221322cos(),2cos()22t t αβαβ+-=+-=-2231722,,22222t t t -≤-≤-≤≤-≤≤ 3 解：原式2000000002cos 10cos5sin 5sin10()4sin10cos10sin 5cos5=-- 000000cos10cos102sin 202cos102sin102sin10-=-= 0000000000cos102sin(3010)cos102sin 30cos102cos30sin102sin102sin10---+==0cos302==4 解：sin 2sin()2223x x x y π=+=+ （1）当2232x k πππ+=+，即4,3x k k Z ππ=+∈时，y 取得最大值 |4,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭为所求 （2）2sin()2sin 2sin 232x x y y y x ππ=+−−−−−→=−−−−−−−→=右移个单位横坐标缩小到原来的2倍3 sin y x −−−−−−−→=纵坐标缩小到原来的2倍。

第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32B ．－32C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2， ∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案 B3．sin15°sin30°sin75°的值等于( ) A.14 B.34 C.18D.38解析 sin15°sin30°sin75° ＝sin15°cos15°sin30° ＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18. 答案 C4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22C.32D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65.答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D 7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°， ∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A ·tan B >1 B. tan A ·tan B <1 C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角． 则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22D.⎣⎡⎦⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝⎛⎭⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22； 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.335 B.45 C ．±35D ．±45解析 由sin(π－θ)＝2425，得sin θ＝2425.∵θ为第二象限的角，∴cos θ＝－725.∴cos θ2＝±1＋cos θ2＝± 1－7252＝±35. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665 B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．若1＋tan α1－tan α＝2012，则1cos2α＋tan2α＝______.解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝(tan α＋1)21－tan 2α＝1＋tan α1－tan α＝2012.答案 201214．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图像向右平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2·⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎡⎦⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数，故③正确． 由④得y ＝2cos2⎝⎛⎭⎫x －π24＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12，故④正确． 答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量， ∴⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169. 又∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3 ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫322－4×12 ＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－73， ∵x ∈R ，cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝－1时，f (x )有最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )有最小值－73.20．(12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解 (1)解法1：∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1， 从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.21．(12分)已知函数 f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6所以f (x )的最小正周期为π.(2)－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π6，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6时，即x ＝－π6，f (x )取得最小值－1.22．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加，得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.。

专题07：北师大版必修四第三章三角恒等变换基础巩固检测题一、单选题 1．22cossin 88ππ-=（ ）A ．1B ．12C ．2D 2．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若3a ﹣b ＝3c cos B ，则cos C ＝（ ）A ．13B ．13-C D ．233．已知向量(cos 2sin ,2)a θθ=-，(sin ,1)b θ=，若a //b ，则tan 2θ的值为（ ） A ．14B ．34C ．815D ．4154．已知α终边与单位圆的交点3,-5P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且sin cos 0αα⋅>，则的值等于（ ）A ．95B ．75C ．65D ．35．函数sin 2sin 244y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ）A B ．2-C ．D6．已知cos α=，()sin αβ-=，α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ）A ．2 BC ．2D ．127．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定8．已知3tan()5αβ+=，1tan 42πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．17B ．113C ．1113D ．1179．函数sin cos y x x =⋅的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1B ．π，12C ．2π，1D ．2π，1210．已知tan α，tan β是一元二次方程x 2+2x ﹣5＝0的两实根，则tan(α+β)＝（ ） A ．13B ．12-C ．12D ．13-11．函数()212sin f x x =-是（ ）A ．偶函数且最小正周期为2π B ．奇函数且最小正周期为2π C ．偶函数且最小正周期为πD ．奇函数且最小正周期为π12．函数sin y x x =的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．2πB ．πC ．2,2πD ．,2π二、填空题13．sin80cos 40cos80sin 40+等于______． 14．若cos211sin 25=+x x ，则tan x =________.15．方程sin cos 06⎛⎫+-= ⎪⎝⎭x x π的解集为____________. 16．函数sin 2cos2y x x =+的图象向右平移6π得到函数()y f x =的图象，则()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增区间为______．三、解答题17．已知()()()sin cos cos21f πθπθθθ-+=+（1）化简()fθ；（2）若tan 2θ=，求4f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭值.18．已知<<<,(△)求的值.（△）求.19．已知，．（1）若，且，求的值；（2）设，求的周期及单调减区间．20．已知函数在轴右侧的第一个最高点的横坐标为．（△）求的值；（△）若将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的最大值及单调递减区间．21．已知函数()()22cos 2,f x x x a x R a R =+∈∈ ．（△）求()f x 的周期和单调递增区间； （△）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值． 22．已知函数()()73sin cos 44f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求()f x 的对称轴；（2）在ABC ∆中，已知()()44cos ,cos (0)552B A B A A B π-=+=-<<≤，求()f A .参考答案1．C 【分析】根据二倍角余弦公式有22cos sin cos884πππ-=，即可求值【详解】由二倍角余弦公式知：22cos sin cos8842πππ-==故答案为：C 【点睛】本题考查了利用二倍角余弦公式22cos 2cos sin =-ααα化简求值 2．A 【分析】根据正弦定理边化角后,利用sin sin()A B C =+,以及两角和的正弦公式可得答案. 【详解】因为3a ﹣b ＝3c cos B,由正弦定理得3sin sin 3sin cos A B C B -=, 又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,所以3sin cos 3cos sin sin 3sin cos B C B C B C B +-=, 所以3sin cos sin 0B C B -=, 因为0B π<<,所以sin 0B >, 所以3cos 10C -=,即1cos 3C =. 故选:A 【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化,以及两角和的正弦公式,解题关键是正弦定理边化角以及利用三角形内角和定理将角A 化为B C +,属于基础题. 3．C 【分析】根据向量平行的坐标公式，结合正切的倍角公式，即可化简求得结果. 【详解】因为a //b ，故可得22cos sin sin θθθ-=，故可得14tan θ=， 又22284211tan 15116tan tan θθθ===--. 故选：C 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，以及正切的倍角公式，属综合简单题. 4．A 【分析】先根据三角函数的定义得sin ,cos αα的值，再利用正、余弦二倍角公式化简所求式子，即可求解. 【详解】因为α终边与单位圆的交点3,5P x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且sin cos 0αα⋅>，所以3sin 5α=-，4cos 5α=-，则+==189sin cos 2cos 555ααα=-+=+=.故选：A. 【点睛】本题考查了正弦函数的定义以及二倍角公式进行化简求值，属于较易题. 5．C 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，再根据正弦型函数的最值，即可求得结果. 【详解】原式sin 2sin 244y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2coscos2sinsin 2coscos2sin4444x x x x ππππ=++-2x =，所以函数的最小值为.故选：C 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式以及求函数的最值，属综合基础题. 6．A 【分析】由α、β的范围求出αβ-的范围，由题意，利用平方关系求出sin α和()cos αβ-，由两角和与差的余弦公式求出cos β的值即可. 【详解】 解：α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，∴sin 5α==，,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭()sin 010αβ-=-<， ∴,02παβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.∴()cos 10αβ-==.∴()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=⋅-+⋅-2⎛== ⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题. 7．C 【分析】逆用两角和的余弦公式以及诱导公式即可判断出△ABC 的形状． 【详解】依题意可知，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+>，而cos()A B +＝()cos cos 0C C π-=->，即cos 0C <，△C 为钝角． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式以及诱导公式的应用，属于基础题． 8．B 【分析】 把4πα-看成()4παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的正切可求tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【详解】 由3tan()5αβ+=，1tan 42πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，tan tan ()44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦31tan()tan 1452311311tan()tan 524παββπαββ⎛⎫+-+-⎪⎝⎭===⎛⎫+⨯++⋅+ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角. 9．B【分析】利用倍角公式可得1sin cos sin 22y x x x =⋅=，进而求得其最小正周期和最大值. 【详解】解：根据倍角公式可知1sin cos sin 22y x x x =⋅=， 函数sin cos y x x =⋅的最小正周期22T ππ==， 1sin 21x -≤≤，∴111sin 2222x -≤≤，∴sin cos y x x =⋅的最大值为12. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，着重考查倍角公式，考查三角函数的周期性及其求法，属于基础题. 10．D 【分析】利用韦达定理求得,tan tan tan tan αβαβ+，结合正切的和角公式即可求得结果. 【详解】因为tan α，tan β是一元二次方程x 2+2x ﹣5＝0的两实根， 故可得2tan tan αβ+=-；5tan tan αβ=-， 故可得()21tan 1153tan tan tan tan αβαβαβ++==-=--+.故选：D . 【点睛】本题考查正切的和角公式，属简单题. 11．C 【分析】由二倍角的余弦公式及三角函数的性质即可求出答案． 【详解】解：△()212sin cos 2f x x x =-=， △()()cos 2cos2f x x x -=-=， △函数()f x 是偶函数且最小正周期22T ππ==， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式，考查三角函数的性质，属于基础题． 12．C 【分析】利用辅助角公式将原函数化简，可得其最小正周期和最大值. 【详解】解：由函数sin y x x =，可得：12(sin )2(sin cos cos sin )2sin()2333y x x x x x πππ==-=-， 故可得：其最小正周期为2π，最大值为2， 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的辅助角公式及正弦函数的周期性与最值，属于基础题型.13【分析】利用两角和的正弦公式结合诱导公式可求得所求代数式的值. 【详解】()()3sin 80cos 40cos80sin 40sin 8040sin120sin 18060sin 602+=+==-==.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于基础题. 14．23【分析】利用倍角公式化简，弦化切转化成齐次式，求得tan x . 【详解】由cos211sin 25=+x x ，则222cos sin (sin cos )x x x x -+15=，得cos sin 1cos sin 5x x x x -=+， 得1tan 11tan 5x x -=+，得2tan 3x =.故答案为：23【点睛】本题考查了倍角公式，同角三角函数的基本关系式，弦化切技巧，属于容易题. 15．,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】利用三角公式将方程变形为sin 06x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则通过三角函数值即可求出角. 【详解】解：11sin cos cos cos cos 0622x x x x x x x π⎛⎫+-=+-=-= ⎪⎝⎭， 即sin 06x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 得,6x k k Z ππ-=∈，即,6=+∈x k k Z ππ，所以方程的解集为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.故答案为：π{|π,Z}6x x k k =+∈ 【点睛】本题考查三角方程的求解，关键是要将方程变形为()sin x A ωϕ+=的形式，是基础题.16．70,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由用辅导角公式化简函数sin 2cos2y x x =+，再求出向右平移6π后的图象解析式()y f x =，再求其增区间，再求出在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增区间.【详解】sin 2cos 2)4π=+=+y x x x ，将其图像向右平移6π，则())])6412πππ=-+=-f x x x由2222122πππ-+π≤-≤+πk x k ，解之得57()2424ππ-+π≤≤+π∈k x k k z ， 所以()f x 在在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增区间为70,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：70,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了辅助角公式，三角函数的平移变换，三角函数的单调性，属于容易题. 17．（1）()1tan 2f θθ=-；（2）32. 【分析】（1）运用诱导公式化简即可；（2）运用两角和的正切公式展开，带入数值即可. 【详解】 （1）()()()()2sin cos sin cos 1tan cos212cos 2f πθπθθθθθθθ-+-===-+（2）tan 1tan 2,tan 341tan πθθθθ+⎛⎫=+==- ⎪-⎝⎭， 所以13tan 4242f ππθθ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18．(△)（△）【解析】（△）先求出角的正切值，然后利用二倍角的正切公式求解；（△）利用角的拼凑及两角差的余弦公式展开求解即可（△）由，得…1分△，于是………3分（△）由，得又△，△………5分由得：19．，．【解析】解：（1）△，△，……………2分即，……………3分△．……………4分△，△，……………6分△，△．……………7分（2）由，△．…………8分的单调减区间为，△，…………10分△，△ 原函数单调减区间为．…………12分20．（△）（△），【解析】（1）用二倍角公式可将函数化简为，再由在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为,可解得ω=1.(2)平移变换根据左加右减的原则进行变换，伸缩变换，横坐标伸长为原来的倍，x变为，纵坐标伸长为原来的A倍，则y的值变为原来的A倍.解：（1）21．（△）π，,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（△）1，6π【分析】（△）利用降幂公式和辅助角公式化简后再利用公式求周期，最后利用同增异减的方法求单调增区间. （2）先求出72666x πππ≤+≤，再根据正弦函数的性质求函数的最大值即可得到a 的值及何时取最大值. 【详解】（△）()1cos22f x x x a =++，进一步化简有()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭. 故()f x 的周期为22T ππ== . 令222262k x k πππππ-≤+≤+，解得36k x k ππππ-≤≤+，所以函数的单调增区间为：,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （△）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故72666x πππ≤+≤，故1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以()3a f x a ≤≤+，故()max 34f x a =+=，所以1a =，此时262x ππ+=即6x π=.【点睛】形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等． 22．（1）()34x k k Z ππ=+∈（2）() 5f A = 【分析】（1）运用两角和差的正弦和余弦公式，化简f （x ）得到2sin 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再求出其对称轴方程；（2）利用两角和与差余弦公式可得cos cos 0A B =，从而得到△B ，进而得到结果. 【详解】 解：()737733sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin 444444f x x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=++-=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭7373cos sinsin sin cos cos 2sin 44444x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）()f x 的对称轴为()3424x k x k k Z πππππ-=+⇒=+∈ （2）△4cos()cos cos sin sin 5cos cos 042cos()cos cos sin sin 5B A A B A B A B B B A A B A B π⎧-=+=⎪⎪⇒=⇒=⎨⎪+=-=-⎪⎩ 43sin ,cos 55A A ∴==，()2sin 45f A A A A π⎛⎫∴=-==⎪⎝⎭. 【点睛】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及三角函数的对称性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．cos 75°cos 30°＋sin 75°sin 30°等于( ) A .22B ．－22C .2D ．－2解析： 原式＝cos (75°－30°) ＝cos 45°＝22. 答案： A2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos (α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365C .6365D .3365解析： ∵α为锐角，且cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513.∵β为第三象限角，且sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365.故选A .答案： A3．设向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，b ＝(cos 53°，cos 37°)，则a ·b 等于( ) A .32 B .12 C ．－32D ．－12解析： a ·b ＝(cos 23°，cos 67°)·(cos 53°，cos 37°) ＝cos 23°cos 53°＋cos 67°cos 37° ＝cos 23°cos 53°＋sin 23°sin 53° ＝cos (23°－53°) ＝cos (－30°) ＝32. 故选A . 答案： A4．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若a ＝(cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，sin B )且a ·b ＝1，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析： 因为a ·b ＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos (A －B )＝1，且A ，B ，C 是三角形的内角， 所以A ＝B ，即△ABC 一定是等腰三角形． 答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5．cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°＝________． 解析： cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15° ＝cos 75°cos 15°－sin (180°＋75°)sin 15° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos (75°－15°)＝cos 60°＝12.答案： 126．化简cos (α－55°)·cos (α＋5°)＋sin (α－55°)·sin (α＋5°)＝________. 解析： 原式＝cos [(α－55°)－(α＋5°)]＝cos (－60°)＝12.答案： 127．已知sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________．解析： ∵sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫15172＝－817， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－817＋22×1517＝7234.答案：7234三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知α，β为锐角，且cos α＝45，cos (α＋β)＝－1665，求cos β的值．解析： 因为0＜α，β＜π2，所以0＜α＋β＜π.由cos (α＋β)＝－1665，得sin (α＋β)＝6365.又因为cos α＝45，所以sin α＝35.所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1665×45＋6365×35＝513. 9．若x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，且sin x ＝45，求2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x 的值．解析： ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，sin x ＝45，∴cos x ＝－35.∴2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x＝2⎝⎛⎭⎫cos x cos 2π3＋sin x sin 2π3＋2cos x＝2⎝⎛⎭⎫－12cos x ＋32sin x ＋2cos x＝3sin x ＋cos x ＝435－35＝43－35.。

三角恒等变换(时间：120分钟 满分：150分）学号：______ 班级:______ 姓名：______ 得分：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1。

函数y =1—2sin 2（x -4π）是( ） A 。

最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数 D 。

最小正周期为2π的奇函数2. cos 75°－cos 15°等于( ）A 。

错误!B ．－错误!C ．错误!D ．－错误!3. 化简22cos 5sin 5sin 40cos 40-=( ） A. 1 B.2 C 。

12D.1- 4. 已知函数f (x )=cos 2x -4sinx 则函数f （x ）的最大值是（ ） A ．4 B ．3 C ．5 D 17 5. 在错误!sinx ＋cosx ＝2a －3中，a 的取值范围是（ ） A 。

错误!≤a ≤错误! B ．a ≤错误! C ．a >错误! D ．－错误!≤a ≤－错误!6。

化简22sin(2)cos(2)63cos sin x x x xππ-+--的结果是 （ ） A ．1- B ．1 C ．12 D ．12-7. 已知tanα，tanβ是方程x 2＋3错误!x ＋4＝0的两根，且α，β∈（－错误!，错误!），则α＋β等于( ）A ．－错误!πB ．－错误!π或错误!C ．－错误!或错误!πD ．错误!8。

已知cosα＝错误!，cosβ＝错误!,β∈（错误!，2π），且0<α〈π，则sin (α＋β)的值为( ）A 。

1B 。

－1C 。

－725D 。

－1或－错误!9. 在△ABC 中,tan A ＋tan B ＋错误!＝错误!tan Atan B ，且sin A·cos A ＝错误!，则此三角形为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形10. 已知53)4cos(=-x π，那么sin 2x =( ）A ．2518 B ．2524±C ．257-D ．257 11。

3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式课时过关·能力提升1.已知α为第二象限的角,sin α=35,则sin 2α等于( ) A .-2425 B .-1225 C .1225 D .2425cos α=-√1-sin 2α=-45,于是sin 2α=2sin αcos α=2×35×(-45)=-2425.2.√1+cos100°等于( )A .-√2sin 50°B .√2sin 50°C .-√2cos 50°D .√2cos 50° √1+cos100°=√1+2cos 250°-1=√2cos 250°=√2cos 50°.3.已知向量a =(3,-2),b =(cos α,sin α),若a ∥b ,则tan 2α的值为( ) A .125 B .-125 C .1213 D .-1213a ∥b 得3sin α=-2cos α,于是tan α=-23,从而tan 2α=2tanα1-tan 2α=-431-49=-125.4.已知sin (α+π4)=√55,则sin 2α等于( )A.-45B.45C.-35D.35sin αcos π4+cos αsin π4=√55,于是√22(sin α+cos α)=√55,sin α+cos α=√105,从而(sin α+cos α)2=25,即1+sin 2α=25,故sin 2α=-35.5.函数y=2sin x (sin x+cos x )的最大值为( )A.1+√2B.√2-1C.√2D.22sin x (sin x+cos x )=2sin 2x+2sin x cos x=1-cos 2x+sin 2x=√2sin (2x -π4)+1,因此当sin (2x -π4)=1时,函数取最大值√2+1.★6.已知√2sin (α+π4)=√52,则tan α+1tanα=( )A.-8B.8C.18D.-18 ∵√2sin (α+π4)=22√2(22sinα+22cosα) =cos α-sin α=√52,∴1-2sin αcos α=54,即sin αcos α=-18.则tan α+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=sin 2α+cos 2αsinαcosα=1-18=-8.故选A .7.已知sin α=√5-12,则sin [2(α-π4)]= .[2(α-π4)]=sin (2α-π2)=-cos 2α =-(1-2sin 2α)=2×(√5-12)2-1=2-√5.-√58.sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值等于 .sin 50°sin 70°=sin20°sin50°sin70°2cos10° =sin20°cos20°sin50°2cos10°=sin40°sin50°4cos10°=sin40°cos40°4cos10°=sin80°8cos10°=18.故sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=116.9.已知2sinθ+cosθsinθ-3cosθ=-5,则3cos 2θ+sin 2θ= .由2sinθ+cosθsinθ-3cosθ=-5,得2sin θ+cos θ=-5sin θ+15cos θ,∴7sin θ=14cos θ.∴tan θ=2.∴3cos 2θ+sin 2θ=3(cos 2θ-sin 2θ)+2sin θcos θ =3(cos 2θ-sin 2θ)cos 2θ+sin 2θ+2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=3·1-tan 2θ1+tan 2θ+2tanθ1+tan 2θ=3-3tan 2θ+2tanθ1+tan 2θ=-1.110.已知α为锐角,且sin α=45.(1)求sin 2α+sin2αcos 2α+cos2α的值;(2)求tan (α-5π4)的值.∵α为锐角,且sin α=45,∴cos α=√1-sin 2α=35.∴sin 2α+sin2αcos 2α+cos2α=sin 2α+2sinαcosα3cos 2α-1=(45)2+2×45×353×(35)2-1=20.(2)由(1),得tan α=sinαcosα=43,故tan (α-5π4)=tanα-tan 5π41+tanαtan 5π4=tanα-11+tanα=17. ★11.已知向量m =(sin x ,-1),向量n =(√3cosx ,-12),函数f (x )=(m+n )·m . (1)求f (x )的最小正周期T ;(2)已知f (A )恰是f (x )在[0,π2]上的最大值,求锐角A.f (x )=(m+n )·m =sin 2x+√3sin x cos x+3=1-cos2x +√3sin 2x+3=√3sin 2x-1cos 2x+2=sin (2x -π)+2, 所以函数f (x )的最小正周期T=2π2=π. (2)由(1),知f (x )=sin (2x -π6)+2.当x ∈[0,π2]时,-π6≤2x-π6≤5π6.由正弦函数的图象可知,当2x-π6=π2时,f (x )取得最大值3,即f (A )=3,此时2A-π6=π2, 所以A=π3.。

第三章 三角恒等变换P1461， 已知βα,都是锐角，()135cos ,54sin =+=βαα，求βsin 的值,2， 已知⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,0,43,4,131245sin ,534cos πβππαβπαπ，求()s i n αβ+=3， 已知βα,都是锐角，1010sin ,71tan ==βα，求()=+βα2tan4， 证明()()βαβαβαβα+-+=+tan tan tan tan tan tan 求000040tan 20tan 340tan 20tan ++的值 若43πβα=+，求()()βαtan 1tan 1--的值 求000040tan 20tan 120tan 40tan 20tan 0++的值5， 化简0010cos 310sin 1-()()310tan 40sin 00-()120tan 310cos 70tan 000-()0010tan 3150sin +6， 已知23,53cos πθπθ<<-=，求22cos 2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-θθ的值 已知512cos 2sin =-θθ，求θsin 的值 已知95cos sin 44=+θθ，求θ2sin 的值 已知532cos =θ，=+θθ44cos sin7已知()()53cos ,51cos =-=+βαβα，求tan tan αβ的值 8证明 ()()A AA A A 424tan 4cos 2cos 434cos 2cos 43sin sin cos 2sin 2sin 21tan 212sin cos 22sin 1cos 832cos 44cos =+++-=+-++=++=++αββααβαααααααα 9，已知函数()x x x y 22cos 2cos sin ++= 求它的递减区间求它的最大值和最小值10.已知函数x x x x y 44sin cos sin 2cos --=求y 的最小正周期 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求y 的最小值以及取得最小值时的x 的集合 11，已知函数)cos (sin sin 2x x x y +=求y 的最小正周期和最大值画出函数y 在区.2,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ上的图形 12已知函数a x x x y ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos 6sin 6sin ππ的最大值为1 求常数a 的值 求使y ≥0成立的x 的取值范围13已知直线21//l l ，A 是21,l l 之间的一个定点，且A 点到21,l l 的距离分别为21,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AB AC ⊥，且使AC 与直线1l 交于点C ，求三角形ABC 面积的最小值B 组 已知πααα≤≤=-051cos sin ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-42sin πα的值 已知11sin sin ,cos cos 23αβαβ+=+=，求()βα-cos 的值 已知02,534sin 3sin <<--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπα，求αcos 的值 已知471217,534cos πππ<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值 已知βθθαθθ2sin cos sin ,sin 2cos sin ==+，求证βα2cos 2cos 422= 若函数m x x y ++=2cos 22sin 3在区间⎥⎦⎥⎢⎣⎢2.0π的最大值为6，求常数m 的值及函数当R x ∈时的最小值，并求相应的x 的值的集合在正方形ABCD 的边长为1，P,Q 分别为边AB,DA 上的点，当三角形APQ 的周长为2时，求角PCO 的大小已知()π,0,51cos sin ∈=+x x x ，求=x tan P139用αcos 表示2tan 2cos ,2sin222ααα 求证P A Q DCBA P C Q D OB ()()[]2cos 2sin 2sin sin sin sin 21sin sin φθφθφθβαβαβα++=+-++=求函数x x y cos 3sin +=的周期及最大值和最小值例题4、如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形。

一、 填空题1. 若cos 2α2sin （α＋135°）＝－12，则sin α＋cos α的值为__________．2. 已知sin 2α＝35⎝⎛⎭⎫π2＜2α＜π，tan (α－β)＝12，则tan (α＋β)＝________．3. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4的值为__________．4. 已知tan (3π－α)＝2，则2cos 2α2－sin α－1sin α＋cos α＝________．5. 若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝__________．6. 如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，那么sin θ2的值是__________．7. 若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝__________．8. 函数f(x)＝cos 2x －3sin x ＋1(0<x<2π)的零点是__________．9. 已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(cos θ，－2)，θ为第二象限角．若a ∥b ，则5－cos 2θ1－cos 2θ＋3tan 2θ＝________．10. 已知α，β均为锐角，且cos (α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．二、 解答题 11. 求值：(1) (tan 10°－3)cos 10°sin 50°；(2) ⎝⎛⎭⎫1cos 280°—3cos 210°·1cos 20°.12已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－3，求2sin αcos αsin 2α－sin αcos α＋1的值．13已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22·sin 2x.(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；(3) 当0≤x ≤π2时，求函数f(x)的最大、最小值．1. －12解析：由已知得cos 2α－sin 2α－sin α＋cos α＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）－sin α＋cos α＝cos α＋sin α＝－12.2. －2 解析：由题意，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－34，tan (α＋β)＝tan [2α－(α－β)]＝tan 2α－tan （α－β）1＋tan 2αtan （α－β）＝－2.3. 210 解析：由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin (2θ＋π4)＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×(45－35)＝210.4. －3 解析：由诱导公式得tan (3π－α)＝－tan α＝2，故2cos 2α2－sin α－1sin α＋cos α＝cos α－sin αsin α＋cos α＝1－tan αtan α＋1＝－3.5. 3 解析：sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3.6. －155 解析：∵ 5π2<θ<3π，|cos θ|＝15，∴ cos θ<0，cos θ＝－15.∵ 5π4<θ2<32π，∴ sin θ2<0.又sin 2θ2＝1－cos θ2＝35，∴ sin θ2＝－155.7. －12 解析：∵ α是第三象限角，cos α＝－45，∴ sin α＝－35.∴ 1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2＝⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.8. π6或5π6解析：令f(x)＝0，得1－2sin 2x －3sin x ＋1＝0，2sin 2x ＋3sin x －2＝0，(sin x ＋2)(2sin x －1)＝0，∵ －1≤sin x ≤1，sin x ＋2≠0，∴ 2sin x －1＝0，即sin x ＝12.又0<x<2π，∴ x ＝π6或5π6.9. 7 解析：∵ a ∥b ，∴ －2sin θ－cos θ＝0，∴ tan θ＝－12.又5－cos 2θ1－cos 2θ＋3tan 2θ＝2＋sin 2θsin 2θ＋6tan θ1－tan 2θ＝3sin 2θ＋2cos 2θsin 2θ－4＝3＋2tan 2θ－4＝7. 10. 24解析：由已知得sin α＝cos (α＋β)sin β＝cos αcos βsin β－sin αsin βsin β，两边同除以cos α，并整理得tan α＝sin βcos β1＋sin 2β＝sin 2β3－cos 2β＝0－（－sin 2β）3－cos 2β，∵ α，β均为锐角，∴ 0－（－sin 2β）3－cos 2β可以看成是单位圆的下半圆上的动点(cos 2β，－sin 2β)与定点(3，0)连线的斜率，其最大斜率为132－1＝24.11. 解：(1) 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－3cos 10°sin 50°＝sin 10°－3cos 10°cos 10°·cos 10°sin 50°＝－2cos 40°sin 50°＝－2.(2) ∵ 1cos 280°－3cos 210°＝cos 210°－3cos 280°cos 280°cos 210°＝（cos 10°＋3sin 10°）（cos 10°－3sin 10°）cos 210°sin 210°＝4（sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°）（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）cos 210°sin 210°＝4sin 40°sin 20°14sin 220°＝16sin 40°sin 20°＝32cos 20°，∴ 原式＝32.12. 解：∵ tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4－11＋tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，∴ 2sin αcos αsin 2α－sin αcos α＋1＝2sin αcos αsin 2α－sin αcos α＋sin 2α＋cos 2α＝2tan α2tan 2α－tan α＋1＝47. 13. 解：f(x)＝22sin 2x －22cos 2x －22·1－cos 2x 2＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－ 2.(1) 函数f(x)的最小正周期为π.(2) 令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝12k π＋π8，所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝12k π＋π8(k ∈Z )． 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝12k π－π8，所以函数f(x)图象的对称中心的坐标是(12k π－π8，－2)(k ∈Z )． (3) 当0≤x ≤π2时，π4≤2x ＋π4≤5π4，－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，所以当x ＝π2时，f(x)取最小值－322，当x ＝π8时，f(x)取最大值为1－ 2.。