7.1二次根式及其性质第二课时

二次根式的概念与性质二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。

本文将介绍二次根式的概念、计算方法以及其性质。

通过对二次根式的深入理解，读者将能够更好地应用它解决实际问题。

一、二次根式的概念在代数学中，二次根式是指一个被平方的数的根。

普遍形式下，二次根式可以表示为√a，其中a为一个非负实数。

二次根式可以分为有理二次根式和无理二次根式两类。

当a为有理数的平方时，二次根式是一个有理数；当a为无理数的平方时，二次根式是一个无理数。

二、二次根式的计算计算二次根式时，可以运用以下几种常见方法：1. 提取因式法当二次根式的被开方数具有完全平方因式时，可以利用提取因式法进行计算。

例如：√16 = √(4×4) = 42. 合并同类项法当二次根式的被开方数可以分解为多个相同的完全平方数时，可以利用合并同类项法进行计算。

例如：√12 = √(4×3) = 2√33. 分解因式法当二次根式的被开方数不能直接提取完全平方因式时，可以利用分解因式法进行计算。

例如：√20 = √(4×5) = √4×√5 = 2√5三、二次根式的性质二次根式具有以下几个性质：1. 乘法性质：对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a × √b。

2. 除法性质：对于任意非负实数a和b（b≠0），有√(a/b) = √a / √b。

3. 加法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a + √b也是一个二次根式。

例如：√2 + √2 = 2√24. 减法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a - √b也是一个二次根式。

例如：√5 - √25. 乘方性质：对于任意非负实数a和整数n（n为奇数），有（√a）^n = a^(n/2)。

例如：（√2）^3 = 2^（3/2）= 2√2四、应用举例二次根式在几何学中有广泛的应用。

7.1二次根式及其性质山东省诸城市皇华镇郝戈庄初中 杨祖美学习目标1. 了解二次根式的概念；能判断b ax +(a 、b 是已知数，且a ≠0)中，字母x 的取值范围；能利用公式对二次根式进行化简.2. 通过例子的呈现和反复分析比较，总结二次根式的基本性质，并正确利用其对二次根式进行化简；3. 在运用二次根式解决时间问题的过程中，体会二次根式与实际生活的紧密联系，培养学习数学的兴趣.重点：二次根式的意义与性质;难点：利用公式对二次根式进行化简.【学习过程】一、课前延伸1.(1)什么叫平方根？ （2）什么叫算术平方根？2.计算()=22 ()=213 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2713.为什么实数时，下列各式有意义？ （１）a -3 （２）22-+a a （３）a 43- （４）92+a4、计算： （１） （２） （３） （４） 二、探究活动（一）课内探究1.学校有东、西两个正方形花园，已知东花园面积为s 平方米.（1）如果西花园比东花园面积大25平方米，西花园的边长是多少米？（2）如果西花园的面积是东花园面积的2倍，西花园的边长是多少米？()=-23()=232=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2323()=2xy x（3）如果西花园的面积是东花园面积之比为4:9，西花园的边长是多少米？2.归纳二次根式的概念..其中a 为整式或分式，a 叫被开方式，如3，51，0，12+x 等，都是二次根式.特别注意：当a ≥0时，a 是有意义的，它表示a 的算术平方根.（二）合作交流 例题解析1.出示教材例1，自己探索解答.2.尝试练习.（1）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是_________________________________. 10+a ，a ，2a ，12-a ，12+a ，2)1(-a （2）因为16是二次根式，而416=，所以4也是二次根式；1+x 是二次根式；12+a 不是二次根式； 75是二次根式.你认为哪几个是正确的？把序号填在横线上_________.（3）归纳总结：二次根式具体可以分为以下几种，请根据下列问题填空：①被开方数是整式.如52-x 有意义的条件_________. ②被开数是分式.如61-x 有意义的条件是_________. ③分母中含有二次根式.如531-x 有意义的条件是_________.④分子、分母中都含有二次根式.如1312+-x x 有意义的条件是_________.3.出示教材例2，自己探索解答.4. 尝试练习. （1）计算. 2)15( 2)4.0(- 273)( 23- 2)13(-- 2)52(-（2）化简下列各式. 2)7(-；12122+-⋅-x x x （x ＜1）.（3）归纳总结：二次根式性质1：a a =2)(（a ≥0）．二次根式性质2：⎩⎨⎧<-≥==).0(),0(||2a a a a a a2a 与2)(a 的相同点和不同点：三、当堂测试1.在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 （ ）.2.式子x -2是二次根式，则x 能取的非负整数有 ．3.若20x ++=，则xy 的值为（ ） 4.若201020112011+-+-=x x y ，求x y -的值． 5.化简22)3()2(---a a 的结果是（ ）6.阅读下面的材料，你能解答后面的问题吗？材料：将x 2-5分解因式过程如下：x 2-5= x 2-2)5(=(x+5)(x-5).试在实数范围内将x 8-81分解因式.四、小结反思这节课我学会了： ； 我的困惑： 。

专题01 二次根式及其性质【考点剖析】1、二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫二次根式.2、二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数.（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．3、二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①；②；③（2）与要注意区别与联系：①a的取值范围不同，中a≥0，中为任意值；②a≥0时，；a＜0时，无意义，二次根式的定义【典例】例1．下列式子：，，，，，，中，一定是二次根式的是（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B【解析】解：在所列式子中，一定是二次根式的是，，，这4个，故选：B．【点睛】根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，逐一判断．本题考查了二次根式的定义．理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．【巩固练习】1．、、、、中二次根式有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】C【解析】解：、、是二次根式，、的被开方数不一定为非负数，故不一定是二次根式．故选：C．2．下列各式中①；②；③；④；⑤；是二次根式的有（ ）个．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】解：①、②的被开方数是负数，不是二次根式；③；④符合二次根式的定义；⑤当﹣1＜x＜1时，被开方数是负数，不是二次根式．综上所述，二次根式的个数是2．故选：A．3．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】解：①；②；③；④．二次根式的只有①，故选：A．二次根式有意义的条件【典例】例1．式子中x的取值范围是（ ）A．x≥1且x≠2B．x＞1且x≠2C．x≠2D．x＞1【答案】A【解析】解：由题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．故选：A．【点睛】根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，再根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解出x的值．此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．例2．若已知a、b为实数，且2b+4，则a+b＝______．【答案】1【解析】解：由题意得，a﹣5≥0，5﹣a≥0，解得，a＝5，则b＝﹣4，则a+b＝1，故答案为：1．【点睛】根据二次根式中的被开方数必须是非负数解答即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．【巩固练习】1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）A．x B．x C．x D．x≤5【答案】B【解析】解：由题意得，5x﹣1≥0，解得，x，故选：B．2．代数式有意义，则x应满足的条件是（ ）A．x≠3B．x C．x且x≠3D．x且x≠3【答案】C【解析】解：由题意得，1+3x≥0，x﹣3≠0，解得，x且x≠3，故选：C．3．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（ ）A．x≥0B．x≠1C．x＞1D．x≥0且x≠1【答案】C【解析】解：由题意得，x≥0，x﹣1＞0，解得，x＞1，故选：C．4．如果y3，那么y x的算术平方根是（ ）A．2B．3C．9D．±3【答案】B【解析】解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0，解得，x＝2，∴y＝3，则y x＝9，9的算术平方根是3．故选：B．5．若|2017﹣m|m，则m﹣20172＝____________．【答案】2018【解析】解：∵|2017﹣m|m，∴m﹣2018≥0，m≥2018，由题意，得m﹣2017m．化简，得2017，平方，得m﹣2018＝20172，m﹣20172＝2018．故答案为：20186．已知a满足|2017﹣a|a，则a﹣20172的值是____________．【答案】2018【解析】解：∵|2017﹣a|a，∴a﹣2018≥0，故a≥2018，则原式可变为：a﹣2017a，故a﹣2018＝20172，则a﹣20172＝2018．故答案为：2018．二次根式的性质【典例】例1．下列各式中，一定能成立的是（ ）A．B．（）2C．x﹣1D．•【答案】A【解析】解：A、，所以A选项正确；B、（）2当a为负数是不成立，所以B选项错误；C、x﹣1当x＜1时不成立，所以C选项错误；D、•当x＜3时不成立，所以D选项错误．故选：A．例2．实数a，b在数轴上的位置如图，则化简|a﹣b|的结果为（ ）A．2a B．﹣2a C．2b D．﹣2b 【答案】B【解析】解：由题意得：a＞b，|a|＜|b|，a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，a+b＜0，∴|a﹣b|＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a，故选：B．例3．阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．已知m为实数，化简：解：原式．【答案】见解析【解析】解：不正确，根据题意，m成立，则m为负数，＝m＝m＝（m+1）．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质的灵活运用，关键是根据成立，则m为负数，要求熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．【巩固练习】1．下列各式成立的是（ ）A．2B．（）2＝2C．a D．3【答案】D【解析】解：A、2，故此选项错误；B、（）2＝4，故此选项错误；C、|a|，故此选项错误；D、3，正确．故选：D．2．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）A．8B．﹣8C．2a﹣18D．无法确定【答案】A【解析】解：由题意可知6＜a＜12，∴a﹣5＞0、a﹣13＜0．∴|a﹣5|+|a﹣13|＝a﹣5+13﹣a＝8．故选：A．3．如图所示，实数a、b在数轴上的位置化简的结果是（ ）A．﹣2a B．﹣2b C．0D．2a﹣2b 【答案】A【解析】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a﹣b＜0，∴原式＝﹣a﹣b﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a故选：A．4．把x根号外的因数移到根号内，结果是（ ）A．B．C．D．【答案】C。

数与代数中的二次根式与其运算二次根式是数学中重要的概念之一，它在数与代数中具有广泛的运用。

本文将探讨二次根式及其运算，并介绍其在实际生活和学术研究中的应用。

一、二次根式的定义与性质二次根式是指形如√a的代数表达式，其中a为非负实数。

二次根式的定义有以下几个重要性质：1. 非负实数的二次根式是唯一存在的，即√a表示的是非负实数。

2. 二次根式可以通过乘法和除法进行运算。

例如，√a * √b = √(ab)。

3. 二次根式可以通过加法和减法进行运算。

例如，√a + √b 和√a - √b 不能进行简化。

4. 二次根式可以与有理数相加减，但无法与有理数相乘除。

例如，√a + b 和√a - b 可以进行简化。

二、二次根式的运算二次根式的运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面以具体的例子进行说明：例1：计算√2 + √3。

解：这个二次根式无法进行简化，所以结果为√2 + √3。

例2：计算√5 - √2。

解：这个二次根式也无法进行简化，所以结果为√5 - √2。

例3：计算(√3 + √2) * (√3 - √2)。

解：利用公式(a + b)(a - b) = a^2 - b^2，可将运算式转化为(√3)^2 - (√2)^2，即3 - 2，结果为1。

例4：计算(√5 + √2) / (√5 - √2)。

解：为了简化运算，可将分子和分母同时乘以(√5 + √2)，得到(√5 + √2)^2 / (√5 - √2)(√5 + √2)。

利用公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，将分子展开得到5 + 2√10 + 2，将分母展开得到5 - 2，最终结果为(7 + 2√10) / 3。

三、二次根式的应用领域二次根式在数学和实际生活中有广泛的应用。

以下是几个常见的应用领域：1. 几何学：二次根式在几何学中用于计算图形的周长、面积和体积。

例如，计算一个边长为2的正方形的对角线长度可以使用√2。

2. 物理学：二次根式在物理学中用于描述运动的速度、加速度以及能量的传递和转化。

2.7.1二次根式及其性质一、学生起点分析七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．二、教材任务分析本节分为三个课时。

第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．为此，确定本节课教学目标是：1.认识二次根式和最简二次根式的概念.2.探索二次根式的性质．3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：明晰概念问题1 ：5，11，2.7，12149，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。

介绍二次根式的概念。

一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。

a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ．问题2：二次根式怎样进行运算呢？答：这是我们本节课要解决的新问题．意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．第二环节：探究性质（一）内容：通过探究得出b a b a •=⋅，b a b a =．具体过程如下：（1）94⨯＝ ，94⨯＝ ；2516⨯＝ ，2516⨯＝ ； 94＝ ，94＝ ； 2516＝ ，2516＝ ． （2）用计算器计算：76⨯＝ ，76⨯＝ ；76＝ ，76＝ ． 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？意图：最终归纳出b a b a •=⋅（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0， b ＞0）．说明：公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．第三环节：知识巩固例1 化简（1）6481⨯；（2）625⨯；（3）95。

二次根式的性质及其应用资料编号:202208180656一、二次根式的性质二次根式具有三条非常重要的性质:双重非负性、转化性和自身性.（1）双重非负性 对于二次根式a ,：①a ≥0; ②a ≥0.（2）转化性a a =2.可以理解为:二次根号下面的平方可以转化为底数的绝对值.（3）自身性()a a =2（a ≥0）.一、二次根式性质的应用双重非负性的应用二次根式的双重非负性主要用于求参数的值或取值范围.目前,我们在初中阶段先后共学习了三类非负数:绝对值、偶次幂和二次根式a （a ≥0）,它们都具有非负性.如果几个非负数的和等于0,那么这几个非负数分别等于0.已知二次根式求解参数的值或取值范围时,根据被开方数的非负性列出不等式进行求解.这里要求同学们要熟练掌握不等式或不等式组的解法.我们会遇到一些化简问题,问题中含有二次根式,而化简问题往往需要用到参数的取值范围,这个范围有时就来自于二次根式中被开方数的非负性,学生应充分挖掘这个条件. 例1. 若代数式10+x x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是__________.分析 该代数式中含有二次根式,其被开方数为非负数,又考虑到二次根式处于分母的位置,故其被开方数只能大于零,据此列出关于x 的一个不等式.本题中还出现了零指数幂,根据其底数不等于列出关于x 的另一个不等式.两个不等式组成的不等式组的解集即为x 的取值范围.解:由题意可得:⎩⎨⎧≠>+001x x ,解之得:1->x 且0≠x∴x 的取值范围是1->x 且0≠x .例2. 已知b a ,都是实数,且满足21221--+-=a a b ,则=b a _________.分析 根据二次根式被开方数的非负性可以说明这样一个事实:如果二次根式B A -与A B -都有意义,那么B A =.解:由题意可知:⎩⎨⎧≥-≥-012021a a ,解之得:21=a . ∴2-=b ∴4212=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a .例3. 已知c b a ,,均为实数,且()012112=++++-c b a ,求c b a ,,的值.分析 本题考查非负数的性质,二次根式a 是我们在初中阶段学习的第三类非负数.此类问题要注意过程的书写规范.解: ∵()012112=++++-c b a 1-a ≥0,1+b ≥0,()212+c ≥0 ∴012,01,01=+=+=-c b a∴12,1,1-=-==c b a .例4. 已知实数a 满足a a a =-+-20232022,求22022-a 的值.分析 本题难度较高,学生不知道该从哪里下手,实际上,根据二次根式的非负性,可以求出a 的取值范围,由此范围去掉绝对值,并对等式条件进行整理,可以发现解决问题的途径. 解:由题意可得:2023-a ≥0解之得:a ≥2023 ∴a a a =-+-20232022 ∴20222023=-a ∴()2220222023=-a∴220222023=-a∴202320222=-a .例5. 关于代数式43+-x 的说法正确的是【 】（A ）当0=x 时有最大值 （B ）当0=x 时有最小值（C ）当4-=x 时有最大值 （D ）当4-=x 时有最小值分析 本题考查二次根式的非负性,可利用不等分析法解决问题.解法一: 显然,二次根式4+x 有最小值0,此时4-=x ,且43+-x 有最大值,最大值为3.∴当4-=x 时,该代数式有最大值3,选择答案【 C 】.解法二: ∵4+x ≥0,当4-=x 时取等号 ∴4+-x ≤0 ∴43+-x ≤3∴当4-=x 时,该代数式有最大值3.转化性的应用二次根式的转化性常用于二次根式的化简.二次根式的转化性告诉我们,二次根号下面的平方可以转化为底数的绝对值,具体如下:()()⎩⎨⎧≤-≥==002a a a a a a . 在对二次根式2a 进行化简时,先转化为a ,再根据a 的符号去掉绝对值,以达到最终化简二次根式的目的.例6. 实数b a ,在数轴上的对应点A 、B 的位置如图,化简()22b a b b a ---+.解:由数轴可知:a b <<0,且0<+b a . ∴()22b a b b a ---+()b a b b a ---+-=()()ba ba b b a b a b b a +-=+-+--=------=2 例7. 已知01<<-a ,则=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-414122a a a a __________. 解: ∵01<<-a ∴a aa a <<+1,01 ∴414122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a 1111111122-+--=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a2-=. 点评 两个重要的结论:①当01<<-a 时,01<<a a ;②当10<<a 时,a a 10<<. 例8. 已知x 为任意实数,化简961222++++-x x x x .分析 在利用转化性对二次根式进行化简时,需要用到参数的取值范围,必要时需对参数的取值范围进行分类讨论.解:961222++++-x x x x ()()()31313122--+-=++-=++-=x x x x x x 分为三种情况:①当x ≤3-时原式()2231--=--+-=x x x ;②当13<<-x 时原式()431=--+-=x x ;③当x ≥1时原式()2231+=--+-=x x x .自身性的应用二次根式的自身性常用于二次根式的运算. 例9. 计算:()()222121323-++- 解:原式121318-++=43121318=++= 例10. 下列结论正确的是【 】（A ）()662-=--（B ）()932=- （C ）()16162±=- （D ）251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 解:对于（A ）,()6662-=--=--,故（A ）正确; 对于（B ）,()332=-,故（B ）错误; 对于（C ）,()1616162=-=-,故（C ）错误;对于（D ）,251625162-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--,故（D ）错误. ∴选择答案【 A 】.。