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2.2.2向量减法运算及其几何意义1•了解相反向量的概念 : 2 •掌握向量的减法运算•并理解其儿何意义 ]3 •理解向量加法与减法的联系•能将向量的减法运算转化为加法=I 运算i重点:向星的减法及具儿何意义 难点:向量减法的简单应用 易错学习导引 知识衔接湿暮提示如果您在观石木"件旳辻 莎中漬吳 用幷右幻灯片.*覇打并 可iEtfiU:・学习目标核心提示1. 向量加法的平行四边形法则:以（）为起点皿』为邻边 作平行四边形（1\CB •则以（）为起点的对角线加即 为a 与的和2. 向量加法的三角形法则:在平面上任取一点A,作习｝=a.BC=b.则向量加即为（I 与D 的和点:作两个向量的差向量时易忽略同•起点这•前提条件==课前自主学习主题向量减法及其几何意义1.实数Q的相反数是-爼,的相反数是a, 0的相反数是0, 若把实数a换成向量a,结论还成立吗？提示:成立•向量a的相反向量是-a, -a的相反向量是a, 0的相反向量是0・2.我们知道,在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数,向量的减法是否也有类似的法则?如何理解向量的减法呢？提示:向量的减法有类似的法则，即a-b可理解为向量a 加上向量b的相反向量.3.由于a-b=a+ (-b).因此要作出a与b的差向量a-b,可以转化为作a与-b的和向量.已知向量a, b如图所示,你能利用平行四边形法则作出差向量a-b吗?提示:利用平行四边形法则•在平面内任取一点0,作uuw=a, UUI OA OB =1）作=-b,以为邻迸作uuw uum uuu平行魏形OAEcW^ =a-bUULOE结论：1.相反向量及性质(1)定义与a长度_____ ,方向 ____ 的向量，叫做a的相反向量，记作：相等相反■(2)性质①- (-a)二_・a②如果a, b是互为相反的向量，那么a+b=_0 ®a-b=a+ ( ).④零向量的肅反向量仍是零向量.2.向量的减法及几何意义(1)向量的减法向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差,即a-—=a+ (-b),即为两个向量差的运算. b(2)向量减法的几何意义如图，设uum =a, UUL =b,OA OB则=a-b,即a-buum—魏终点的向量.A勺终点—指向被减向量b BU4UUM. V4UUH V4V4UX U4UUU UM3LB MUUUAB-DC-CB=AB+CEH-BCumu uuu uuiu uuui uuu 童鏈+BC)+CD=AC+CD=AD 口 5^： L4MLB AD2.在四边形ABCD 中, UtMIU ututu*. UUIU —AB —DC —CB 【解析】 umu==课堂合作探究类型一向量的减法运算【典例1】化简下列各式:(1)UU1 UUlt UUL UUUUUl UUUX UUU1AB_AD_DC(2) (AB+MB)+(-OB-MO)【解题指南】(1)通过相反向量，把减法变为加法.(2)有相同起点的向量的减法用三角形法则.UUL uuux UUU UUlt(AB^BO)+(OM+MB)UULUUUX UUUX UULDB — DC=CB【解析］⑴原式= UUJLuuit uum uuu AB+MB+BCHOM UU U U B=AB(2【方法总结】向量减法运算的常用方法运算转化为加法运算运用向量减法的三角形法则，此时、要注意两个向量要有共同的起点‘【拓展延伸】非零向量的差的三角不等式(1)当a, b不共线时，根据三角形边长的不等关系知|a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.⑵当a, b共线且同向时，若|a|>|b|,贝!Ja-b与a,b同向，且|a-b| = |a|-1b| ; 若 | a |〈 | b |,贝！Ja-b与a, b反向，且 | a-b | = | b | -1 a |.⑶当a, b共线且反向时,a-b与a同向，与b反向，且| a-b| 二|a| + |b|・综上所述,对于任意两个非零向量，总有下列向量不等式成立：| | a | -1 b | | W | a-b | W | a | +1 b | •【跟踪训练】下列式子不能化简为_的是AD A.UUL UUUl UULD (AB+CD)+BCD.UUUX UUUL UUL UUUc. (AEH-MB)+(BC+CM)n UUUl UUUl UUUlD・ OC - 0A+CDuum uuui uuuMB+AD-BM()UU1 UUL uum UUUI AB+BC+CNAD+(MB+BC)+CM=AD+(MC+CM)=AD (OC _ OA) ；只有D 无法化简为. uum ucu uum uum +CD=AC+CD=AD UUUL UUL UUU UUUX UUltUUU uum ；对于G 有 uuui uum 【解析］选D ・对于；对于B,有諾 uu mAD【补偿训练】如图，己知向量a, b, c,求作向量a-b-c.【解析】在平面内任取一点0,作向量左=a，，则向量a-b二uum ,再作向量nut二c,则向量uum=a-b-c.BA BC CAB0 a%类型二用已知向量表示其他向量【典例2】如图所示,四边形ACDE 是平行四边形,B是该平行四边形夕卜一点，且=a, =b,二c试UUl UUU UUL用向量a, b胡表示向量AEuum UUL uumCD,BC,BD法几何意义的应用.【解析】因为四边形ACDE 是平行四边形, 所以 二C,=b-a fUUUl UU1 UUL UUUA UU1故 CD 二鵠.a +匹二 AC-ABuum uui uuuiBD = BC + CD【解题指南】【延伸探究】1.本例条件不变，试用向量a, b, c表示叫与皿• BECE 【解析】二c-a, =c-b.UUL UU1 UU1 UUL UUL UUUlBE = AE-AB CE 二AE_AC2.本例中的条件“点B是该平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？【解析］因为四边形ACDE是平行四边形所以 3 nt€f UUL whra”uiCD = AE BC 二AC-AB=b-a+c<UUIU UUI UUIUBD=BC+CD【方法总结】1.利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1) 一个关键: 一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.(2)三点注意:①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系;②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;③注意在封闭图形中利用多边形法则.2.用已知向量表示其他向量的一般步骤(1)观察待表示的向量位置.(2)寻找相应的平行四边形或三角形.(3)运用法则找关系,化简得结果.【跟踪训练】已知|a| = |b| = |a-b|=18,则|a+b| =【解析】如图，由向量加法■减法的平行四边形法则和三角形法则,可知在平行四边形ABCD中,BUVUU LUJU. LU4U1 ULUHAB = a,AD = b,AC = a + b,DB = a-b因为|a| = |b| = |a-b| = 18,所以三角形ABD是等边三角形■高AO=9 , 所以对角线AC的长度为18 JP|a+b|A8・答案:18 书弟【知识思维导图】进行向量的加减运算时.常用变形⑵运用AB+BA=Q 或花+花二花化简(3)AB=0B^0A"类比”实数的减法运算得出向量的减法运算法则（核心量养'3.运用法则找关系4•化简结果1 •平行四边形法则表示向量加法、减法 平行四边形/BCD 中，AC=AB^-AD, N BD =AD -A T D C2.向量形式的三角不等式||a 卜 |b||W|a ・b|W|a|+| 方 | a 与6方向相同，|a ・61=|| a|- b || a 与b 方向相反,\a-b\=\a\^\b\用已知向量表示其他向量的步骤： 1•观察各向量的位置2•寻找（或作）相应的平行四边形或三角形 课时分层作业 知识深化 、方法总结/点击进入Word版可编辑套题3.运用法则找关系4•化简结果。
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义【教学目标】1.通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.2.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量.【重点难点】教学重点:向量的减法运算及其几何意义.教学难点:对向量减法定义的理解.课时安排：1课时【教学过程】一、导入新课思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则呢? 引导学生进一步探究,由此展开新课.思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算，本节课，我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.提出问题1（1）向量是否有减法？（2）向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？（3）如何理解向量的减法？（4）向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?引导学生思考,相反向量有哪些性质?由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.于是-(-a)=a.我们规定：零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四边形法则图1如图1，设向量AB=b，=a，则=-b，由向量减法的定义知=a+(-b)=a-b.如图2，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义.讨论结果:（1）向量也有减法运算.（2）定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.与数x的相反数是-x类似，我们规定,与a长度相等,方向相反的量，叫做a的相反向量，记作：-a. （3）向量减法的定义. 我们定义：a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.规定：零向量的相反向量是零向量.（4）向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.提出问题2（1）上图中，如果从a的终点到b的终点作向量，那么所得向量是什么?（2）改变上图中向量a、b的方向使a∥b，怎样作出a-b呢?讨论结果: （1）AB=b-a. （2）略.则BA=a-b，DC=c-d.变式训练在ABCD中，下列结论中错误的是( )A.=B.AD+=C.-AD=BDD.AD+=0分析: A显然正确,由平行四边形法则可知B正确，C中，AB-AD=BD错误，D中，AD+BC=AD+DA=0正确.【例2】如图4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB吗?图4活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.解:由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC=a+b,同样，由向量的减法,知DB=AB-AD=a-b.变式训练1.已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c图5解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2.若AC=a+b,DB=a-b.①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角？④a+b与a-b可能是相等向量吗？图6解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量、恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此问题就可转换为:①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)点评:灵活的构想，独特巧妙,数形结合思想得到充分体现，由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题，这就是数形结合解题的威力与魅力，教师引导学生注意领悟.【例3】判断题:(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)△A BC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.活动: 根据向量的加、减法及其几何意义.解:(1)a与b方向相同，则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反，则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量，所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,而此时构不成三角形.(4)当a与b不共线时，|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时，同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;当a、b中有零向量时，|a+b|=|a-b|.综上所述：只有(2)正确.【例4】若|AB|=8,|AC|=5，则|BC|的取值范围是( )A.[3，8]B.(3，8)C.[3，13]D.(3，13)解析: =-.(1)当、同向时，||=8-5=3;(2)当、AC反向时，|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时，3<|BC|<13.综上可知：3≤||≤13.答案:C点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.。
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
1.知识与技能
(1)了解相反向量的概念.
(2)掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义.
2.过程与方法
通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.
3.情感、态度与价值观
通过本节学习,使学生利用类比的方法探究向量减法的运算法则,培养学生的探索精神与创新
意识.
重点:向量减法的概念和向量减法的作图法.
难点:减法运算时方向的确定.
重难点突破:向量的减法运算是加法运算的逆运算.在进行减法运算时,有时可转化为加法运算.向量的减法满足三角形法则:连接两个向量的终点,箭头指向被减向量,所得的向量即为差向量.要
注意在用三角形法则时两向量必须是同一个起点.
非零向量a,b的差向量的三角不等式:(1)当a,b不共线时,如图①,作=a,=b,则a-b=.
(2)当a,b共线且同向时,若|a|>|b|,则a-b与a,b同向(如图②),
于是|a-b|=|a|-|b|;
若|a|<|b|,则a-b与a,b反向(如图③),
于是|a-b|=|b|-|a|.
(3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向.于是|a-b|=|a|+|b|(如图④).
可见,对任意两个向量,总有下列向量不等式成立:
||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
说明:若a,b至少有一个零向量时,向量不等式的等号成立.。
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：1、 了解相反向量的概念；2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教 具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律： 例：在四边形中，CB+BA+BC= .解：CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD .二、 提出课题：向量的减法1． 用“相反向量”定义向量的减法 （1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b =-a ， a + b = 0（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差.即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2． 用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ，作= a ， AB = b则= a - b A B D CO a b B a ba -b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒AB 表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？三、 例题：例1、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d .解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作， ， 则= a -b ， = c -d例2、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量、.O AaB’b-b b Ba + (-b )a b A BD CA B C b a dcD O a -b A ABBB’ O a -b a a b b O A O B a -ba -bB A O -b解：由平行四边形法则得：= a + b，= = a-b变式一：当a，b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a| = |b|）变式二：当a，b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？（a，b互相垂直）变式三：a+b与a-b可能是相当向量吗？（不可能，∵练习：Ｐ98四、小结：向量减法的定义、作图法|五、作业：P103第4、５题六、板书设计（略）。
