高中数学-直线的方程的几种形式

直线方程公式大全一、一般式方程直线的一般式方程表示为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。

直线方程大全中的其他形式可以通过一般式方程推导得出。

二、斜截式方程斜截式方程是直线方程的另一种常见形式。

它表示为 y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为截距。

三、截距式方程截距式方程也是直线方程的一种常见形式，表示为 x/a + y/b = 1，其中 a、b 分别为 x 轴和 y 轴的截距。

四、两点式方程两点式方程通过直线上的两个点来表示直线方程。

设直线上的两个点为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则两点式方程表示为 (y - y1) = ((y2 - y1)/(x2 - x1))(x - x1)。

五、点斜式方程点斜式方程利用直线上的一个已知点的坐标和该直线的斜率来表示方程。

设已知点为 (x1, y1)，斜率为 m，则点斜式方程表示为 y - y1 = m(x - x1)。

六、垂直线方程垂直线的特点是斜率不存在，所以其方程可以表示为 x = a，其中 a 为与 y 轴垂直的线在 x 轴上的截距。

七、水平线方程水平线的特点是斜率为零，所以其方程可以表示为 y = a，其中 a 为与 x 轴平行的线在 y 轴上的截距。

八、点式方程点式方程是直线方程中最简单的形式，利用直线上的一个已知点的坐标来表示直线方程。

设已知点为 (x1, y1)，则点式方程表示为 (y - y1) = m(x - x1)，其中 m 为直线的斜率。

九、角平分线方程角平分线是将一个角平分成两个相等的角的线段。

设角的两边斜率分别为 m1 和 m2，角平分线的斜率可表示为 m = (m1 + m2)/2，将平分线上的一个点坐标 (x1, y1) 代入点斜式方程可得到角平分线方程。

十、法线方程直线的法线是与该直线垂直的直线。

设直线的斜率为 m，法线的斜率可表示为-1/m，再通过已知点 (x1, y1) 可以得到法线方程。

高二数学直线及方程知识点直线及方程是高中数学中重要的知识点之一，对于理解几何形状和解决实际问题都具有重要的作用。

本文将介绍高二数学中的直线及方程知识点，包括直线方程的表示形式、直线的性质与判定以及直线与曲线的关系等内容。

希望通过本文的阅读，能够帮助同学们更好地理解和掌握直线及方程的知识。

1. 直线方程的表示形式直线方程的表示形式通常有一般式、截距式和斜截式等。

一般式的直线方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数且A和B不同时为0。

截距式的直线方程形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示x轴和y轴上的截距。

斜截式的直线方程形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。

2. 直线的性质与判定直线具有很多重要的性质，包括平行、垂直、相交等。

两条直线平行的判定条件是它们的斜率相等，两条直线垂直的判定条件是它们的斜率的乘积为-1。

两条直线相交时，它们的交点可以通过联立两条直线的方程求解得到。

此外，对于一条直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，其斜率可以通过Δy/Δx来计算。

3. 直线与曲线的关系直线与曲线之间有时会有特殊的关系，比如切线和法线。

曲线在某一点的切线是曲线在该点处与切线相切，切线的斜率等于曲线在该点的导数。

曲线在某一点的法线是与切线垂直的直线，其斜率等于切线的斜率的相反数。

通过分析曲线的性质及其方程，我们可以画出曲线在不同点处的切线和法线。

4. 直线与线段的关系直线和线段也有一些特殊的关系，比如线段的中垂线和角平分线。

线段的中垂线是线段的中点与线段所在直线的垂线，中垂线会将线段平分成两个相等的部分。

线段的角平分线是线段的两边所在直线的夹角的平分线，角平分线将角分成两个相等的角。

总结：本文介绍了高二数学中的直线及方程知识点，包括直线方程的表示形式、直线的性质与判定以及直线与曲线、线段的关系等内容。

通过对这些知识点的理解和掌握，可以帮助同学们更好地应对数学学习中的问题和挑战，为解决实际问题提供有力的数学工具。

直线的方程1.直线的点斜式方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程和截距式方程4.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.5.直线的一般式方程6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系直线的点斜式方程知识点1 求直线的点斜式方程【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A (－4，3)，斜率k ＝2； (2)经过点B (－1，4)，倾斜角为45°； (3)过点C (－1，2)，且与x 轴平行； (4)过点D (2，1)和E (3，－4)．【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2，5)，斜率是4； (2)经过点B (2，3)，倾斜角是135°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．知识点2 直线的斜截式方程【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是-5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－8；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为8.【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是45°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.知识点3 点斜式、斜截式方程的综合应用(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？【变式训练3-1】求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5?课堂练习1．过点()3,2，斜率是23的直线方程是（ ） A ．243y x =+ B ．223y x =+ C ．230x y -=D ．320x y -=2．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B 直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为13．直线y ＝3(x －3)的斜率与在y 轴上的截距分别是( )A ．3，3B ．3，－3C ．3，3D ．－3，－3 4．直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <05．过点()2,0且与直线25y x =+垂直的直线l 的方程是（ ）A ．24y x =-B ．24y x =-+C ．112y x =- D ．112y x =-+ 6．已知直线l 过点()2,0，且与直线21y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．24y x =-+D ．24y x =--7．直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是________．8．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________．9．与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________．10．斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．11．写出下列直线的斜截式方程：(1)直线的倾斜角为45°且在y 轴上的截距是1； (2)直线过点A (3，1)且在y 轴上的截距是－1.12．(1)求经过点(1，1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的点斜式方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5平行的直线的斜截式方程．直线的两点式方程知识点1 直线的两点式方程【例1-1】已知三角形的顶点是A (1，3)，B (－2，－1)，C (1，－2)，求这个三角形三边所在直线的方程．【变式训练1-1】（开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为 ( ) A ．2x －y －1＝0 B ．x －2y ＋3＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0知识点2 直线的截距式方程【例2-1】（诸暨市校级期中）求过点A (3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程．【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？知识点3 直线的综合应用【例3-1】（沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【变式训练3-1】（天心区校级期末）求过点A(4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．课堂练习1．（锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为()A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1C．y＝x＋2 D．y＝－x－22．（红桥区期中）经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是()A.x4＋y3＝1 B.x3＋y4＝1C.x4－y3＝1 D.x3－y4＝13．（江宁区校级月考）过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条4．（临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为()A．5x＋3y－25＝0 B．5x－3y－25＝0C．3x－5y－25＝0 D．5x－3y＋25＝05．（朝阳区校级月考）已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是() A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或16．（庐江县校级期末）点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则()A．m＝－3，n＝10 B．m＝3，n＝10C．m＝－3，n＝5 D．m＝3，n＝57．（海淀区校级期末）已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为________．8．（红岗区校级期末）过点P(3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________．9．（兴庆区校级期末）求经过点A(－2，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．10．（城关区校级期末）求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．能力提升1．（鼓楼区校级期末）两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()2.（秦州区校级期末）直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞3．（金湖县校级期中）垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．4．（启东市校级月考）已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 5．（杨浦区校级期末）在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．直线的一般式方程知识点1 直线的一般式方程与其他形式的转化【例1-1】（水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A.3B ．－5C.95D ．－33【变式训练1-1】（包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A (5，3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (4)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.知识点2 直线的一般式方程的应用【例2-1】（上虞区期末）(1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． (2)已知方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1表示直线．当m ＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m ＝____________时，直线在x 轴上的截距为1.【例2-2】（柳南区校级期末）已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)过点(－1，3)，且与l 垂直．【变式训练2-1】（佛山校级月考）已知直线l 经过点P (2，1)，且与直线2x －y ＋2＝0平行，那么直线l 的方程是( ) A ．2x －y －3＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．2x －y －4＝0D ．x －2y －4＝0【变式训练2-2】（西湖区校级月考）设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________．课堂练习1．（芜湖校级月考）已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限2．（南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．（辽源期末）若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A ．－1B ．1C.12D ．－124．（宜兴县校级期中）直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )5．（城关区校级期末）直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，则m 的值为( ) A ．－2B ．2C ．－3D ．36．（金凤区校级期末）若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于________． 7．（越秀区校级期末）已知过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0互相垂直，则m ＝________． 8．（凯里市校级期末）已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2，3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．9．（和平区校级期中）若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．(1)求实数m需满足的条件；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．10．（如东县期中）(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？能力提升1．（昌江区校级期末）若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3能构成三角形，则a满足的条件是________．2．（河南校级月考）已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．3．（镜湖区校级期中）已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)．(1)求AB的中垂线方程；(2)求过点P(2，－1)且与直线AB平行的直线l的方程；(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程．11/ 11。

直线的一般式方程与直线的性质1．直线的一般式方程与直线的性质【直线的一般式方程】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．【知识点的知识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B 不同时为 0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=―퐴퐵x ―퐶퐵，表示斜率为―퐴퐵，y 轴上截距为―퐶퐵的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0 平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0 垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2 的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1 不同时为 0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2 不同时为 0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1 与l2 重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1 与l2 相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．퐴1如果A2B2C2≠0 时，则l1∥l2⇔퐴2=퐵1퐵2≠퐶1퐴1；l1 与l2 重合⇔퐴2=퐶2퐵1퐵2=퐶1퐴1；l1 与l2 相交⇔퐴2≠퐶2퐵1퐵2．1/ 1。

直线方程知识点归纳总结高中直线方程是高中数学学科中重要的知识点之一，它在解析几何和代数中起着重要的作用。

本文将对高中直线方程的相关内容进行归纳总结，包括直线的一般方程、点斜式方程、两点式方程和截距式方程等几种常见形式。

同时，还将对直线的斜率和截距的概念进行解释，并提供相关的例题进行说明。

一、直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。

这种形式的直线方程比较通用，可以表示任意一条直线。

在求解问题时，可以通过已知条件将直线方程转化为一般方程的形式，然后进一步进行计算。

例如，已知直线过点P(2, 3)且斜率为2，我们可以先利用斜率公式求得直线的斜率k=2。

然后，代入点斜式方程y - y₁ = k(x - x₁)中的点P的坐标，得到直线的点斜式方程为y - 3 = 2(x - 2)。

最后，将该点斜式方程转化为一般方程的形式，得到2x - y - 1 = 0。

二、直线的点斜式方程点斜式方程形式为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上一点的坐标，k为直线的斜率。

点斜式方程主要用于确定直线上一点和直线的斜率，通过已知条件和该点斜率可以确定直线方程。

例如，已知直线过点A(-1, 4)且斜率为-3，我们可以直接利用点斜式方程得到直线的方程为y - 4 = -3(x - (-1))，简化后为y = -3x + 1。

三、直线的两点式方程两点式方程形式为(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个点的坐标。

两点式方程可以直接得到直线的方程，适用于已知直线上两个点的坐标的情况。

例如，已知直线上两点A(-2, 1)和B(3, 4)，我们可以通过两点式方程求得直线的方程为(y - 1)/(x - (-2)) = (4 - 1)/(3 - (-2))，简化后为3x - y+ 5 = 0。

23直线方程的几种形式教材分析这节内容介绍了直线方程的几种要紧形式：点歪式、两点式和一般式，并简单介绍了歪截式和截距式．直线方程的点歪式是其他直线方程形式的本源，因此它是本节学习的重点．在推导直线方程的点歪式时，要使学生理解：〔1〕建立点歪式的要紧依据是，通过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的，其歪率等于k．〔2〕在得出方程后，要把它变成方程y－y1＝k〔x－x1〕．因为前者表示的直线缺少一个点P1〔x1，y1〕，而后者才是这条直线的方程．〔3〕当直线的歪率不存在时，不能用点歪式求它的方程，这时的直线方程为x＝x1．在学习了点歪式的本源上，进一步介绍直线方程的其他几种形式：歪截式、两点式、截距式和一般式，并探究它们的适用范围和相互联系与区不．通过研究直线方程的几种形式，指出它们基本上关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方程，都能够写成关于x，y的一次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后接着学习“曲曲折折线和方程〞打下本源．因为这局限内容较为抽象，因此它是本节学习的难点．教学目标1.在“直线与方程〞和直线的歪率本源上，引导学生探究由一个点和歪率推导出直线方程，初步体会直线方程建立的方法．2.理解和把握直线方程的点歪式，并在此本源上研究直线方程的其他几种形式，把握它们之间的联系与区不，并能依据条件熟练地求出直线方程．3.理解直线和二元一次方程的关系，并能用直线方程解决和研究有关咨询题．4.通过直线方程几种形式的学习，初步体会知识发生、开发和运用的过程，培养学生多向思维的能力．任务分析这节内容是在学习了直线方程的概念与直线的歪率本源上，具体地研究直线方程的几种形式，而这几种形式的要害是推导点歪式方程．因此，在推导点歪式方程时，要使学生理解：明确直线的歪率和直线上的一个点，这条直线就确定了，进而直线方程也就确定了．求直线方程确实是基本把直线上任一点用歪率和直线上明确点来表示，如此由两点的歪率公式即可推出直线的点歪式方程．在直线的点歪式方程本源上，由学生推出直线方程的其他几种形式，并使学生明确直线方程各种形式的使用范围，以及它们之间的联系与区不．关于直线和方程的一一对应关系是本节课的难点，在论证直线和方程的关系时，一方面分歪率存在与歪率不存在两类，另一方面又分B≠0与B＝0两类．这种“两分法〞的分类，科学严密，可培养学生全面系统和周密地讨论咨询题的能力．教学设计一、咨询题情境飞逝的流星形成了一条漂亮的弧线，这条弧线能够瞧作满足某种条件的点的集合．在平面直角坐标系中，直线也能够瞧作满足某种条件的点的集合．为研究直线咨询题，须要建立直线的方程．直线可由两点唯一确定，也可由一个点和一个方一直确定．假如明确直线上一个点的坐标和歪率，那么如何建立这条直线的方程呢？二、建立模型1.教师提出一个具体的咨询题假如直线l通过点A〔－1，3〕，歪率为－2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标满足什么条件？设点P的坐标为〔x，y〕，那么当P在直线l上运动时〔除点A外〕，点P与定点A 确定的直线确实是基本l，它的歪率恒为－2，因此＝－2，即2x＋y－1＝0．显然，点A〔－1，3〕满足此方程，因此，当点P在直线l上运动时，其坐标〔x，y〕满足方程2x＋y－1＝0．2.教师明晰一般地，设直线l通过点P1〔x1，y1〕，且歪率为k，关于直线l上任意一点P〔x，y〕〔不同于点P1〕，当点P在直线l上运动时，PP1的歪率始终为k，因此，即y－y1＝k〔x－x1〕．能够验证：直线l上的每个点〔包括点P1〕的坐标基本上那个方程的解；反过来，以那个方程的解为坐标的点都在直线l上，那个方程确实是基本过点P1、歪率为k的方程，我们把那个方程喊作直线的点歪式方程．当直线l与x轴垂直时，歪率不存在，其方程不能用点歪式表示，但因为直线l上每一点的横坐标都等于x1，因此它的方程是x＝x1．考虑：〔1〕方程与方程y－y1＝k〔x－x1〕表示同一图形吗？〔2〕每一条直线都可用点歪式方程表示吗？［例题］求满足以下条件的直线方程．〔1〕直线l1：过点〔2，5〕，k＝－1．〔2〕直线l2：过点〔0，1〕，k＝－.〔3〕直线l3：过点〔2，1〕和点〔3，4〕．〔4〕直线l4：过点〔2，3〕平行于y轴．〔5〕直线l5：过点〔2，3〕平行于x轴．参考答案：〔1〕x＋y－7＝0．〔2〕y＝－x＋1．〔3〕3x－y－5＝0．〔4〕x＝2．〔5〕y＝3．［练习］求以下直线方程．〔1〕明确直线l的歪率为k，与y轴的交点P〔0，b〕．〔假如直线l的方程为y＝kx＋b，因此称b是直线l在y轴上的截距，那个方程喊直线的歪截式方程〕〔2〕明确直线l通过两点P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕．〔假如直线l的方程为y－y1＝〔x－x1〕，〔x1≠x2〕，因此那个方程喊直线的两点式方程〕〔3〕明确直线l通过两点A〔ａ，0〕，B〔0，b〕，其中ab≠0．〔假如直线l的方程为，〔ab≠0〕，因此a，b分不称为直线l在x轴、y轴上的截距，那个方程喊直线的截距式方程〕进一步考虑讨论：前面所学的直线方程的几种形式基本上关于x，y的二元一次方程，那么任何一条直线的方程是否为关于x，y的二元一次方程？反过来，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？通过学生讨论后，师生共同明晰：在平面直角坐标系中，每一条直线的方程基本上关于x，y的二元一次方程．事实上，当直线歪率存在时，它的方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，假如设A＝k，B＝－1，C＝b，它的方程可化为Ax＋By＋C＝0；当直线歪率不存在时，它的方程可写成x＝x1，即x－x1＝0，设A＝1，B＝0，C＝－x1，它的方程可化为Ax＋By＋C ＝0．即任何一条直线的方程都能够表示为Ax＋By＋C＝0；反过来，关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0，〔A，B不全为0〕的图像是一条直线．事实上，关于方程Ax＋By＋C＝0，〔A，B不全为0〕，当B≠0时，方程可化为y＝－x－，它表示歪率为－，在y轴上截距为－的直线；当B＝0时，A≠0，方程可化为x＝－，它表示一条与ｙ轴平行或重合的直线．综上可知：在平面直角坐标系中，直线与关于x，y的二元一次方程是一一对应的．我们把方程Ax＋By＋C＝0，〔A，B不全为0〕喊作直线的一般式方程．三、解释应用［例题］1.明确直线l通过点〔－2，5〕，且歪率为－．〔1〕求直线的一般式方程．〔2〕求直线在x轴、y轴上的截距．〔3〕试画出直线l．解答过程由学生讨论回复，教师适时点拨．2.求直线l：2x－3y＋6＝0的歪率及在x轴与y轴上的截距．解：明确直线方程可化为y＝x＋2，因此直线l的歪率为，在y轴上的截距为2．在方程2x－3y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－3，即直线在x轴上的截距为－3．［练习］1.求满足以下条件的直线方程，并画出图形．〔1〕过原点，歪率为－2．〔2〕过点〔0，3〕，〔2，1〕．〔3〕过点〔－2，1〕，平行于x轴．〔4〕歪率为－1，在y轴上的截距为5．〔5〕在x轴、y轴上的截距分不为3，－5．2.求过点〔3，－4〕，且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程．3.设直线l的方程为〔m2－2m－3〕x＋〔2m2＋m－1〕y＝2m－6，依据以下条件确定m 的值．〔1〕直线l在x轴上的截距为－3．〔2〕直线l的歪率为1．〔3〕直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为10．四、拓展延伸1.在直线方程y－1＝k〔x－1〕中，k取所有实数，可得到很多条直线，这很多条直线具有什么共同特点？2.在直线方程Ax＋By＋C＝0中，当A，B，C分不满足什么条件时，直线有如下性质：〔1〕过坐标原点．〔2〕与两坐标轴都相交．〔3〕只与x轴相交．〔4〕只与y轴相交．〔5〕与x轴重合．〔6〕与y轴重合．3.直线方程的一般式与几种特不形式有什么区不与联系？你能讲明它们的适用范围以及相互转化的条件吗？参考答案：1.直线过点〔1，1〕，它不包括直线x＝1．2.〔1〕C＝0．A，B不全为0；〔2〕A，B都不为0．〔3〕A≠0，B＝0，C≠0．〔4〕A＝0，B≠0，C≠0．〔5〕A＝0，B≠0，C＝0．〔6〕A≠0，B＝0，C＝0．3.略．点评这篇案例在直线与方程和直线的歪率本源上，通过实例探究出过一点且歪率明确的直线的方程，然后按照由特不到一般的方程建立了直线的点歪式方程，在点歪式方程的本源上由学生自主的探究出直线方程的其他形式，并研究了几种直线方程的联系与区不以及它们的适用范围．在案例的设计上注重了知识的发生、开发和适用的过程．在例题与练习的设计上，注重了层次性和知识的完整性的结合，在培养学生的能力上，注重了数学的实质是数学思维过程的教学，显示了数形结合、化回、转化、抽象、概括以及函数与方程的思想．在培养学生创新意识、探究研究、分析解决咨询题的能力等方面，做了一些尝试，显示了新课程的教学理念，能够较好地完本钱节的教育教学任务．。

课题：_直线的方程___教学任务教学目标知识与技能目标理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程。

过程与方法目标学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中，理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程。

情感,态度与价值观目标在探究活动中，培养学生的观察、分析的思维能力。

重点掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程。

难点理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法教学流程说明活动流程图活动内容和目的活动1课前热身－练习重温概念领会新知活动2 概念性质－反思掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程。

活动3提高探究－实践理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法活动4归纳小结－感知让学生在合作交流的过程总结知识和方法活动5巩固提高－作业巩固教学、个体发展、全面提高教学过程设计问题与情境设计意图活动1课前热身（资源如下）1、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按__________________________________________________________,那么角就叫做直线的倾斜角。

规定：当直线和x轴平行或重合时其倾斜角为：_ __，所以直线的倾斜角的取值范围是：_______________.2、直线的斜率是指：_____________________________________________.3、经过两面点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线的斜率公式为：k=_______________.4、直线方程的五种形式及其应用范围：方程名称方程形式应用条件点斜式斜截式点方向式一般式点法向量式重温概念领会新知活动2概念性质1、直线方程的各种形式点斜式斜截式形式：)(xxkyy-=-形式：bkxy+=截距式形式：1=+byax一般式=++cByAx★特殊的直线方程2、直线的斜率1、定义：倾斜角的正切值，)90(≠α90=α斜率不存在。

一 直线系方程直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用。

直线系方程的定义：具有某种共同性质的所有直线的集合。

直线系方程的几种类型：一、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（其中C C '≠， C '为待定系数）.【例1】求平行于直线02=--y x 且与它的距离为22的直线方程。

二、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=. 其中C '为待定系数。

【例2】求经过两条直线01032=+-y x 和0242=-+y x 的交点，且垂直于直线0423=+-y x 的直线方程。

三、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）.【例3】求过点(14)P -，的直线且与点(2,3)的距离为1的直线方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.四、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线1l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与直线2l ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.【例4】 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.五、求直线系方程过定点问题【例5】 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.【例6】 已知m 为实数，直线0)11()3()12(=--+--m y m x m 恒过定点，求出定点坐标。

高中直线方程的五种形式直线方程是高中数学中的重要内容之一，掌握不同形式的直线方程将有助于我们更好地理解和应用直线的性质。

在高中数学中，直线方程通常有五种形式：一般式、点斜式、斜截式、截距式和两点式。

这些形式各有特点，下面将一一介绍这五种形式的直线方程。

一、一般式直线的一般式方程为：Ax + By + C = 0。

其中，A、B和C分别代表直线方程的系数，是常数。

在一般式中，直线的方程可以表达为一条线性方程，且A、B和C的取值可以为正数、负数或零。

一般式的优点在于它可以表示任意一条直线，且方程的系数可以通过数学运算来得到。

然而，一般式的缺点在于不容易直接从方程中获得直线的斜率和截距等信息。

二、点斜式点斜式方程是一种比较常用的直线表达形式，它的方程形式为：y - y₁ = m(x -x₁)。

其中，(x₁, y₁)是直线上的一个已知点坐标，m是直线的斜率。

点斜式方程的优点在于通过已知点和斜率可以很容易地确定直线方程。

斜率可以通过两个点之间的纵向变化和横向变化的比值来计算。

然而，点斜式方程的缺点在于当直线垂直于x轴时，斜率不存在。

三、斜截式斜截式方程是一种常用的直线表达形式，也是最常见的一种形式。

它的方程形式为：y = mx + b。

其中，m是直线的斜率，b是直线与y轴相交的截距。

斜截式方程的优点在于它可以直接获得直线的斜率和截距信息，方程简洁明了。

斜截式的缺点在于当直线与x轴平行时，斜率不存在，此时斜截式方程无法表示直线方程。

四、截距式截距式方程是一种常用的直线表达形式，也是最方便使用的一种形式。

它的方程形式为：x/a + y/b =1。

其中，a和b分别是直线与x轴和y轴相交的截距。

截距式方程的优点在于它可以直接获得直线与坐标轴的截距，方程形式简洁。

然而，截距式方程的缺点在于当直线平行于坐标轴时，截距不存在。

五、两点式两点式方程是一种确定直线方程的常用形式，它的方程形式为：(y - y₁)/(y₂ -y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)。

第三章 3.2 直线的五种形式的方程 【学习目标】1.熟练掌握直线方程的五种形式的特点和适用范围. 2.体会一般式与直线的其他方程形式之间的关系. 3.会应用五种形式求直线的方程，提高运算求解的能力. 【学习重点】重点：各种直线方程的的形式特点和适用范围难点：各种直线方程的局限性，把握求直线方程的灵活性【基础知识】1.直线的点斜式方程 过点P （0x ,0y ）,斜率为k 的直线l 的方程为：()00x x k y y -=- 斜率存在的直线方程为()00x x k y y -=-；斜率不存在的直线方程为0x x =或0-0=x x2.直线的斜截式方程 斜率为k ，且与y 轴的交点为()b ，0的直线l 的方程为：b kx y += 。

其中我们把直线l 与y 轴的交点()b ，0的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距。

也称纵截距。

纵截距不是距离，它是直线与y 轴交点的纵坐标，所以可以取一切实数。

直线方程的斜截式其实是点斜式在00=x 时的特殊情况。

对于直线1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y +=有①1l //2l ⇔21k k =，且21b b ≠②1l ⊥2l ⇔121-=k k3.直线的两点式方程 经过两点1P ()11y x ，，2P ()22y x ，（其中21x x ≠，21y y ≠）直线l 方程为：121121x x x x y y y y --=--若21x x =，21P P 与x 轴垂直，此时的直线l 的方程为1x x =；若21y y =，1P 2P 与y 轴垂直，此时的直线l 的方程为1y y =4.直线的截距式方程 经过点A ()0，a ，B ()b ，0的直线l 方程为：1=+by a x ，其中a 、b 分别为直线在x 、y 轴上不为零的截距。

注意：1x x =，1y y =和kx y =的直线不能用截距式方程表示。

a y x =+表达的是在两坐标轴上截距相等均为a 且a 不为零的直线方程。

2.2 直线的方程1、直线方程的五种形式名称 几何条件 方程 适用条件斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b与x 轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y －y 0＝k (x －x 0) 两点式 过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线2、直线与x 轴的交点),(0a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，与y 轴的交点),(b 0的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距。

截距不是距离3、两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0).4、两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.知识梳理题型一 直线方程例 1 求适合下列条件的直线方程：()1经过点()1,3A --，倾斜角等于直线3y x =的倾斜角的2倍； ()2经过点()3,4B ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【答案】（1）3330x y -+-=（2）10x y -+=或70.x y +-= 【分析】（1）根据倾斜角等于直线3y x =的倾斜角的2倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线． （2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为±1. 【详解】 （1）已知3tan =α，22tan tan 231tan k ααα===- 直线方程为33(1)y x +=+化简得3330x y -+-= （2）由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点()3,4，由点斜式得()43y x -=±-， 所求直线的方程为10x y -+=或70.x y +-=求下列直线方程：(1)求过点()1,3A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程. (2)求经过点()5,2A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. (3)求过()2,1A ，(),3B m 两点的直线l 的方程.知识典例巩固练习【答案】（1）43130x y +-=；（2）250x y +=或210x y ++=；（3）2(2)60x m y m --+-=. 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式方程即可得解；（2）按照直线是否经过原点分类，结合截距式方程即可得解； （3）按照2m =、2m ≠分类，结合两点式方程即可得解. 【详解】（1）设所求直线的斜率为k ，依题意14433k =-⨯=-， 又直线经过点(1,3)A ，∴所求直线方程为43(1)3y x -=--，即43130x y +-=； （2）当直线不过原点时，设所求直线方程为12x ya a+=， 将(5,2)-代入可得5212a a -+=，解得12a =-， ∴直线方程为210x y ++=；当直线过原点时，设直线方程为y kx =， 则52k -=，解得25k =-， ∴直线方程为25y x =-，即250x y +=； 故所求直线方程为250x y +=或210x y ++=； （3）①当2m =时，直线l 的方程为2x =； ②当2m ≠时，直线l 的方程为12312y x m --=--，即2(2)60x m y m --+-=， ∵2m =时，代入方程2(2)60x m y m --+-=，即为2x =， ∴直线l 的方程为2(2)60x m y m --+-=.题型二 截距例 2 已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1 B ．1-C ．2-或1D ．2或1【答案】D根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选D ．直线10x y --=与两坐标轴所围成的三角形的面积为 【答案】21 【分析】分别计算出直线的横截距和纵截距后可求三角形的面积. 【详解】令0x =可得1y =-； 令0y =可得1x =， 故所求三角形的面积为111122⨯⨯=题型三 两直线位置关系例 3 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求下列直线l ′的方程，l ′满足： （1）过点(－1,3)，且与l 平行； （2）过点(－1,3)，且与l 垂直；【答案】(1)3x ＋4y －9＝0; （2）4x -3y +13＝0.巩固练习（1）由直线平行可得直线斜率，进而由点斜式即可得解；（2）由两直线垂直可得斜率之积为-1，从而得斜率，进而利用点斜式即可得解. 【详解】(1)∵l ∥l ′，∴l ′的斜率为－34∴直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0. （2）l ′的斜率为43， ∴直线l′的方程为：y －3＝43(x ＋1)，即4x-3y+13＝0.已知点()4,2P －和直线370l x y --=：．求： (1)过点P 与直线l 平行的直线方程； (2)过点P 与直线l 垂直的直线方程．【答案】（1）3140x y -+=； （2）320x y +-=. 【分析】(1) 由所求直线与直线l 平行，先设所求直线的方程是30x y m -+=，再将点P 坐标代入即可求出结果； (2)由所求直线与直线l 垂直，先设出所求直线方程为30x y n ++=，再将点P 坐标代入即可求出结果. 【详解】(1)设所求直线的方程是()307x y m m -+=≠-，点()4,2P －在直线上，()342m 0∴⨯-+－＝，m 14∴=，即所求直线方程是3140x y -+=．(2)设所求直线的方程是30x y n ++=，点()4,2P －在直线上， ∴432n 0+⨯+=－，巩固练习n 2∴=－，即所求直线方程是320x y +-=．题型四 中线所在的直线例 4 已知ABC 的三个顶点分别为()2,8A ，()4,0B -，()6,0C ，则过点B 将ABC ∆的面积平分的直线方程为（ ）． A ．240x y -+= B ．240x y ++= C ．240x y +-= D ．240x y -+=【答案】D 【分析】由中点坐标公式先求,A C 的中点坐标为()44D ,，再利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：由()2,8A ，()6,0C，则,A C 的中点坐标为()44D ,，则过点B 将ABC ∆的面积平分的直线过点()44D ,， 则所求直线方程为40(4)4(4)y x -=+--，即 240x y -+=， 故选D.已知ABC 的三个顶点(1,1)A ，(2,0)B ，(4,4)C .（1）求AB 边所在直线的方程；巩固练习（2）求BC 边上中线所在直线的方程. 【答案】（1）20x y +-= （2）210x y -+= 【分析】（1）由直线的两点式方程求解即可；（2）先由中点坐标公式求出BC 中点D 的坐标，再结合直线的两点式方程求解即可. 【详解】（1）因为(1,1)A ，(2,0)B ，由直线的两点式方程可得：AB 边所在直线的方程021012y x --=--， 化简可得20x y +-=； （2）由(2,0)B ，(4,4)C ， 则BC 中点2404(,)22D ++，即(3,2)D ， 则BC 边上中线AD 所在直线的方程为231213y x --=--， 化简可得210x y -+=.题型五 定点问题例 5 直线方程kx －y +2－3k =0恒过定点（ ） A ．（3，2） B ．（2，3）C ．（－3，2）D ．（－2，3）【答案】A 【分析】将直线方程kx －y +2－3 k =0，转化为()320k x y --+= 求解. 【详解】因为直线方程kx －y +2－3 k =0， 即为()320k x y --+=所以3020x y -=⎧⎨-+=⎩ ，解得32 xy=⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点（3，2）.故选：A直线kx－y＋1－3k＝0当k 变化时，所有的直线恒过定点【答案】),(13【解析】【分析】先分离参数得到（x-3）k+1-y=0，再解方程组3010xy-=⎧⎨-=⎩即得直线所经过的定点.【详解】由题得（x-3）k+1-y=0，所以3010xy-=⎧⎨-=⎩，解之得x=3,y=1,所以直线过定点（3,1）.题型六对称问题例6已知直线l：x＋y－2＝0，一束光线从点P(0,1＋3)以120°的倾斜角投射到直线l上，经l反射，求反射光线所在的直线方程．【答案】x＋3y－(1＋3)＝0【分析】根据题意求出入射光线所在直线的方程，解方程组可得入射光线与直线l的交点坐标Q(1,1)，然后根据反射原理得到点P关于直线y＝x（过Q与直线l垂直的直线）的对称点P′(3＋1,0)在反射光线所在直线上，最后根据两点式方程可得所求．【详解】如图，设入射光线与l交于点Q，反射光线与x轴交于点P′，巩固练习由入射光线倾斜角为120°可得入射光线所在直线的斜率为－3 ， 又入射光线过点P(0,1＋3)，∴入射光线所在的直线方程为()133y x -+=－， 即3x ＋y －(1＋3)＝0．解方程组()313020x y x y ⎧+-+=⎪⎨+-=⎪⎩得11x y =⎧⎨=⎩,所以点Q 的坐标为(1,1)． 过点Q 作垂直于l 的直线l′， 显然l′的方程为y ＝x ．由反射原理知，点P(0,1＋3)关于l′的对称点P′(3＋1,0)必在反射光线所在的直线上． 所以反射光线所在直线P Q '的方程为0(31)101(31)y x --+=--+， 即x ＋3y －(1＋3)＝0．一束光线从0(1)A ，点处射到y 轴上一点(0)B ，2后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程是（ ） A ．220x y +-= B ．220x y -+= C ．220x yD ．220x y +-=【答案】B 【分析】由反射定律得点A 关于y 轴的对称点，又因为B 点也在直线上，根据截距式可得直线方程． 【详解】由题得点(1,0)A 关于y 轴的对称点(1,0)A '-在反射光线所在的直线上，再根据点(0,2)B 也在反射光线所巩固练习在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为112x y+=-，即220x y -+=，故选B.1、若直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，则a =（）A ．1a =-B ．2a =C ．1a =-或2D ．1a =或2-【答案】B 【分析】因为两直线平行，所以斜率相等，从而求出a 的取值，再根据取值情况，检验是否重合. 【详解】解：因为直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，所以22a a -=，解得：2a =或1a =-，检验：当1a =-时，两直线重合，不成立，所以2a =. 故答案为B.2、经过点（3-，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ） A ．23)y x +=-B ．2(3)3y x -=+ C ．23)y x -=+ D ．23)3y x +=- 【答案】C 【分析】求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点()32-，，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可 【详解】由直线的倾斜角为60︒，得到直线的斜率tan60k =︒=又直线过点()32-，则直线的方程为)23y x -=+ 故选C3、设直线53150x y +-=在x 轴上截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（ ）巩固提升A ．5,3a b ==B ．3,5a b ==C ．3,5a b =-=D ．3,5a b =-=-【答案】B【分析】 由截距的定义，分别求出直线在x 轴和y 轴的截距即可.【详解】由直线53150x y +-=令0,3y x ==令0,5x y ==即3,5a b ==故选B4、下面说法正确的是（ ）.A ．经过定点()00,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示B ．不经过原点的直线都可以用方程1x y a b+=表示 C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D ．经过任意两个不同的点()()1122,,,P x y Q x y 的直线都可以用方程()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示【答案】D【分析】根据点斜式、截距式、斜截式法、两点式方程特征逐一分析判断.【详解】经过定点()00,P x y 且斜率存在的直线才可用方程()00y y k x x -=-表示，所以A 错； 不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程1x y a b+=表示，所以B 错； 经过定点(0,)A b 且斜率存在的直线才可用方程y kx b =+表示，所以C 错；当12x x ≠时，经过点()()1122,,,P x y Q x y 的直线可以用方程()211121y y y y x x x x --=--，即()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，当12x x =时，经过点()()1122,,,P x y Q x y 的直线可以用方程1x x =，即()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，因此经过任意两个不同的点()()1122,,,P x y Q x y 的直线都可以用方程()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，所以D 对；故选：D5、若直线(1)30kx k y +--=和直线(1)(23)20k x k y -++-=互相垂直，则k =( )A ．3-或1-B ．3或1C ．3-或1D ．1-或3【答案】C【分析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为直线(1)30kx k y +--=和直线(1)(23)20k x k y -++-=互相垂直，所以(1)(1)(23)0k k k k -+-+=，解方程可得1k =或3k =-，故选C.6、（多选）下列说法正确的是（ ）A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=【答案】ABD【分析】将方程化为点斜式，即可判断A ；令0x =，得出在y 轴上的截距，进而判断B ；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C ；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D .【详解】 32()y ax a a R =-+∈可化为()23y a x -=-，则直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确；令0x =，则2y =-，即直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确； 310x y ++=可化为31y x =--，则该直线的斜率为3-，即倾斜角为120︒，故C 错误；设过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的斜率为k因为直线230x y -+=的斜率为12，所以112k ⋅=-，解得2k =- 则过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故D 正确； 故选：ABD7、若直线20x y m -+=与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则实数m 的取值范围为________．【答案】2m ≥，或2m ≤-【分析】先求出直线的横纵截距，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】解：令0x =,得2y m =，令0y =,得2x m =-，由直线20x y m -+=与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则2216m m ⨯-≥，解得2m ≥或2m ≤-，故实数m 的取值范围为2m ≥或2m ≤-.8、倾斜角为直线31y x =-+的倾斜角的一半且经过点(4,1)-的直线方程为_____．【答案】13(4)y x -=+【分析】由直线的斜率可知倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，由点斜式可求得直线方程．【详解】直线y ＝－x ＋1的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率为．又直线过定点（-4，1），由点斜式可得直线方程为)134y x -=+9、已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点__________【答案】21(,)77.【分析】利用（ax+by+c ）+λ（mx+ny+p ）=0 过定点即ax+by+c =0和mx+ny+p =0的交点，解方程组求得定点的坐标．【详解】直线（3k ﹣1）x +（k+2）y ﹣k=0即﹣x +2y+k （3x+y ﹣1）=0， 由20310x y x y -+=⎧⎨+-=⎩， 得 x=27，y=17， 故定点的坐标为（27，17）， 故答案为：（27，17）．10、直线320x y k -+=在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k =______.【答案】12【分析】求出横截距和纵截距，根据题设条件得到关于k 的方程，解方程后可得实数k 的值.【详解】令0x =，则2k y =；令0y =，则3k x =-， 故223k k ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得12k =. 故答案为：12.11、设光线l 从点(A -出发，经过x 轴反射后经过点0,3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则光线l 与x 轴交点的横坐标为______，若该入射光线l 经x 轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为______．【答案】()1,0-【分析】首先，根据光线从点(A -射向x 轴，得到其关于x 轴的对称点(4,A '-，然后根据反射光线的反向延长线经过(4,A '-和B ⎛⎝⎭，得到直线A B '，即得光线与x 轴的交点.由入射角是60°可得折射角是30°，且光线经过()1,0-，由直线的点斜式可得直线方程，以此得出纵截距.【详解】点(A -关于x轴的对称点为(4,A '-，则直线A B ':33y x =+ 与x 轴交于点(1,0)- ，所以光线与x 轴的交点为()1,0-;由入射角是60,得折射角是30，且光线经过(1,0)-,得出折射光线所在直线方程为y =12、根据下列条件，求直线的一般方程：（1）过点()2,1且与直线230x y +=平行；（2）与直线y x =垂直，且在两坐标轴上的截距之和为4-.【答案】（1）2370x y +-=（2）20x y ++=【分析】（1）根据平行关系可设直线为：230x y c ++=，代入点()2,1可求得结果；（2）假设直线的截距式方程，根据垂直关系和截距之和可求得截距，整理可得直线一般式方程.【详解】（1）设所求直线方程为：230x y c ++=则430c ++= 7c ∴=-∴所求直线方程为：2370x y +-=（2）设直线方程为：1x y a b+= 由题意可得：41a b b a+=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得：22a b =-⎧⎨=-⎩ ∴所求直线方程为：122x y +=--，即：20x y ++=。

高一直线方程知识点直线方程是高中数学中的重要内容之一，它在几何图形的研究以及解决实际问题中起着重要的作用。

本文将介绍高一阶段涉及的直线方程知识点，涵盖了一元一次方程、点斜式、两点式和截距式四种形式。

一、一元一次方程一元一次方程是最简单的直线方程形式，也是了解直线方程的基础。

一元一次方程的一般形式为y = kx + b，其中k和b为实数常数。

其中，k表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。

通过给定的斜率k和截距b，我们可以画出对应的直线。

例如，当k = 2，b = 3时，直线的方程为y = 2x + 3。

这条直线的斜率为2，截距为3，表示一种矢量在平面上的运动轨迹。

二、点斜式点斜式是一种常用的直线方程形式，它利用直线上的一个点和直线的斜率来确定直线方程。

点斜式的一般形式为y - y₁ = k(x -x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率。

通过给定的点(x₁, y₁)和斜率k，我们可以构造出直线的方程。

例如，当直线上的一点为(2, 4)，斜率为3时，直线的方程为y - 4= 3(x - 2)。

这条直线通过点(2, 4)，斜率为3。

三、两点式两点式是利用直线上的两个点来确定直线方程的形式。

两点式的一般形式为(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个点的坐标。

通过已知的两个点的坐标(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，我们可以建立直线的方程。

例如，当直线上的两个点为(3, 1)和(5, 4)时，直线的方程为(y - 1)/(4 - 1) = (x - 3)/(5 - 3)。

这条直线通过点(3, 1)和(5, 4)。

四、截距式截距式是直线方程的另一种表示形式，它利用直线与x轴和y 轴的截距值来确定直线方程。

截距式的一般形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别为直线与x轴和y轴的截距。

通过给定的截距值a和b，我们可以写出直线的方程。

《直线方程的几种形式》教学设计课程分析:本节课是在学习了直线斜率和倾斜角基础上，对直线方程几种形式的探究。

直线方程的几种形式是以后研究直线与圆、直线与圆锥曲线的基础，是今后学习整个解析几何的基础，因此，本节课必须重视基础知识、基本方法的学习和掌握，在激发学生学习兴趣、提高学生学习能力上下功夫。

教学重点：各种直线方程的推导，直线的点斜式方程是直线方程的重中之重；教学难点：理解各种直线方程形式的局限性，求直线方程的灵活性，理解直线方程与二元一次方程的对应关系。

学情分析：通过前面内容的学习，学生已经对解析几何这一数学学科有了基本的了解，知道了解析几何是用代数方法研究几何问题。

由于这一节学生基础不是很好，但学习积极性较高，思维活跃，所以教学中既要放手给学生，又要注意引导学生，让学生始终是课堂的主人。

设计理念：本节课的课型为“新授课”，采用“问题探究式”的教学方法。

遵循“探索---研究---运用”的三个层次，提出问题，采用多角度、不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中，让学生动脑思、动口议、动手做，充分发挥学生的主体地位，而且教师要启发的恰到好处。

采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。

学习目标：掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程，并能根据条件熟练地求出直线的方程。

通过由一点和斜率导出直线方程的方法的研究，体会数形结合思想，锻炼用代数方法解决几何问题的能力；通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创新的历程。

发扬学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，增强学习数学的兴趣和信心。

教学过程：一、复习引入问题1：什么叫做直线的方程？方程的直线？问题2、A(x1,y1)、B(x2,y2)是直线l上任意两点，其中x1x2，则直线l的斜率k=__________;垂直于x轴的直线，斜率k________，平行于x轴或与x轴重合的直线，斜率k_______。

高考数学直线方程知识点总结1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点(0，)的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3.⑴两条直线平行：∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线.②在和的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且)推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.(即是垂直的充要条件)4.直线的交角：⑴直线到的角(方向角);直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.5.过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内)____点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：1.两点P1(____1,y1)、P2(____2,y2)的距离公式：.特例：点P(____,y)到原点O的距离：2.定比分点坐标分式。

【知识要点】一、直线的方程有5种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式.二、两点确定一条直线，所以写出直线的方程，必须知道两个独立的几何条件.求直线方程，一般用待定系数法，先定式（形式）后定量.三、直线方程的点斜式（1）点斜式方程 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）点斜式方程必须知道直线上的一个点的坐标和直线的斜率.（3）直线方程的点斜式不能表示没有斜率的直线，所以过定点11(,)P x y 的直线应设为11()y y k x x -=-或1x x =，不能遗漏了没有斜率的那条直线1x x =.四、直线方程的斜截式（1）斜截式方程 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（2）斜截式方程必须知道直线的斜率和纵截距.截距不是距离，是一个实数，可以正，可以负，也可以为零.（3）直线方程的斜截式不能表示没有斜率的直线，要使用它，必须对斜率分两种情况讨论. 五、直线方程的两点式 （1）两点式方程112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).（2）两点式方程必须知道直线上两个点的坐标.（3）当两个点的横坐标相等或纵坐标相等时，两点式方程不能表示，直接写出直线的方程即可. （4）两点式方程的化简形式121121()()()()y y x x x x y y --=--可以表示过任意两点的直线的方程. （5）直线方程的两点式比较复杂，很少用，一般先根据两点的坐标求出直线的斜率，再利用直线方程的点斜式写出直线的方程.六、直线方程的截距式 (1)截距式方程1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （2）截距式方程必须知道直线方程的横截距和纵截距.（3）截距式方程不能表示横截距为零或纵截距为零的直线，即不能表示和坐标轴平行或垂直或过坐标原点的直线.七、直线方程的一般式 0Ax By C ++=(其中A B 、不同时为0).（1）直线方程必须知道直线的两个独立条件；（2）我们求出的直线方程，一般要化成一般式. 八、涉及到直线的斜率时候，一定要对斜率存在不存在进行讨论，一般先讨论斜率不存在的情况. 九、设直线方程时，一定要考虑到该方程所不能表示的直线是否满足题意，以免漏解. 十、求直线的方程，最后一般要写成直线方程的一般式. 十一、直线的方程【方法讲评】【例1 】已知点1P （2，3），2P （﹣4，5）和A （﹣1，2），求过点A 且与点1P ，2P 距离相等的直线方程．【点评】本题用到了直线方程的点斜式方程，所以必须要分斜率存在或不存在两种情况讨论.否则容易漏解. 学科#网【反馈检测1】过点)0,3(P 作一直线l ，使它被两直线022:1=--y x l 和03:2=++y x l 所截的线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程．【例2】求斜率为43，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线L 的方程. 【解析】设直线L 的方程为b x y +=43令0x =得y b =；令0y =得bx 34-=. ∴|b|+12||||54=+-b b ，∴b=±4,∴直线L 的方程为43±=x y .【点评】在斜率已知的情况下，直线方程的斜截式有点类似于一次函数的形式，其中的b 表示直线在y 轴上的截距.【反馈检测2】直线13y x =-+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值.【例3】求过点(4,3)P 并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.【点评】由于直线方程的截距式不能表示没有截距或截距为零的直线，所以在求该直线的方程时，要分类讨论.否则容易漏解.【反馈检测3】直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为 .【例4】过点M （0，1）作直线L ，使它被两条已知直线1:3100L x y -+=和2:280L x y +-=所截得的线段AB 被点M 平分.求直线L 的方程.【解析】设点(,)A a b 在1L 上，由题设知，点(,2)B a b --必在2L 上，∴⎩⎨⎧=--+-=+-08)2(20103b a b a ∴⎩⎨⎧=-=24b a 即(4,2)(4,0)A B -、根据两点式可得，直线AB 方程为：440x y +-=.【点评】以上用设点法借助直线方程的两点式而获得了简解.【 反馈检测4】三角形的顶点是A (－5，0)、B (3，－3)、C (0，2)，求这个三角形三边所在的直线方程.【例5】求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.【点评】与直线0ax by c ++=平行的直线可以设为0ax by d ++=的形式，与直线0ax by c ++=垂直的直线可以设为0bx ay d -+=.【反馈检测5】与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第70讲：直线方程的求法参考答案【反馈检测1答案】8240x y --=【反馈检测1详细解析】（1）当k 不存在时，l ：3=x 不满足题意； （2）当k 存在时，设直线l ：)3(-=x k y ， 可得)24,232(k k k k A ----，)16,133(+-+-k kk k B ， 由中点坐标公式得8=k ∴直线方程为8240x y --=. 【反馈检测2答案】m =#网 【反馈检测2详细解析】由已知可得直线//CP AB ，设CP的方程为,(1)3y x c c =-+>，则3AB c ===，因为3y x =+过1(,)2P m得13,2m =+=【反馈检测3答案】230x y -=或50x y ++=【反馈检测4答案】直线AB 的方程为38150x y ++=，直线BC 的方程为5360x y +-=，直线AC 的方程为25100x y -+=.【反馈检测4详细解答】（用两点式求AB 所在直线的方程） 直线AB 经过点A (－5，0)、B (3，－3)，由两点式得5335y x +=-+，整理得38150x y ++=，这就是直线AB 的方程.（用斜截式求BC 所在直线方程） 因为B (3，－3)、C (0，2)，所以23533BC k +==--，截距b =2，由斜截式得523y x =-+， 整理得5360x y +-=，这就是直线BC 的方程.（用截距式求AC 所在直线的方程）因为A (－5，0)、C (0，2)，所以直线在,x y 轴上的截距分别是－5与2，有截距式得152x y+=-，整理得 25100x y -+=，这就是直线AC 的方程.【反馈检测5答案】724700x y ++=或724800x y +-=。