高二上寒假作业(答案)

寒假作业一（答案）一、选择题1．A解析 即在A 中把B 中有的元素去掉． 2．C解析 如图，阴影部分表示集合(∁U A )∩B ，而集合A ＝{x |x >12}，∁U A ＝{x |x ≤12}． B ＝{y |－1≤y ≤1}，所以(∁U A )∩B ＝{x |x ≤12}∩{y |－1≤y ≤1}＝{x |－1≤x ≤12}． 3．A 4．B解析 ∵“A ∩{0,1}＝{0}”得不出“A ＝{0}”，而“A ＝{0}”能得出“A ∩{0,1}＝{0}”， ∴“A ∩{0,1}＝{0}”是“A ＝{0}”的必要不充分条件． 5． A解析 由题意可知，p 假q 真． 6．D解析 由⎩⎨⎧x ＋1≥0，x －2≠0可得A ＝[－1,2)∪(2，＋∞)，前三个选项都有可能，对于选项D ，∁R B＝(－∞，a ]，不可能有A ⊆∁R B . 7．D解析 A ＝{}x |x <－1或x >6，∵11∈B ，∴a >|11－5|＝6.又由|x －5|<a ，得5－a <x <5＋a ，而5－a <－1,5＋a >11.画数轴知选D. 8．D解析 A 中原命题的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 错；在B 中，“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 错；C 中命题的否定应为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，故C 错；在D 中，逆否命题与原命题同真假，易知原命题为真，则其逆否命题也为真命题，因此D 正确． 9．A解析 命题“若A ，则B ”的否命题为“若綈A ，则綈B ”，显然“a ＝1或a ＝－1”的否定为“a ≠1且a ≠－1”，“直线l 1与l 2平行”的否定为“直线l 1与l 2不平行”，所以选A. 10．C解析命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．充分不必要12．{x|0≤x<1}解析A＝{x|1x≤1}＝{x|1x－1≤0}＝{x|1－xx≤0}＝{x|x≥1或x<0}，因此∁R A＝{x|0≤x<1}．13．4个14．{2,4,6,8}解析A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．15．必要不充分16．④解析对于①，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tanα＋tanβ，因此选项①是真命题；对于②，注意到lg2x＋lg x＋1＝(lg x＋12)2＋34≥34>0，因此选项B是真命题；对于③，在△ABC中，由A>B⇔a>b⇔2R sin A>2R sin B⇔sin A>sin B(其中R是△ABC的外接圆半径)，因此选项③是真命题；对于④，注意到当φ＝π2时，y＝sin(2x＋φ)＝cos2x是偶函数，∴④是假命题．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解析A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，A∪B＝A，∴B⊆A.①当m＝0时，B＝∅，B⊆A；②当m≠0时，由mx＋1＝0，得x＝－1 m.∵B⊆A，∴－1m∈A.∴－1m＝2或－1m＝3，得m＝－12或－13.∴满足题意的m的集合为{0，－12，－13}．18．解析(1)是特称命题；用符号表示为：∃α∈R，sin2α＋cos2α≠1，是一个假命题．(2)是全称命题；用符号表示为：∀直线l，l存在斜率，是一个假命题．(3)是全称命题；用符号表示为：∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解，是一个假命题．(4)是特称命题；用符号表示为：∃x0∈R，1x20－x0＋1＝2是一个假命题．19．解析 依题意知，对任意x ∈R ，都有|x －a |＋|x ＋1|>2；由于|x －a |＋|x ＋1|≥|(x －a )－(x ＋1)|＝|a ＋1|，因此有|a ＋1|>2，a ＋1<－2或a ＋1>2，即a <－3或a >1. 所以实数a 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．20．解析 (1)当m ＝3时，E ＝{x ||x －1|≥3}＝{x |x ≤－2或x ≥4}，F ＝{x |10x ＋6>1}＝{x |x －4x ＋6<0}＝{x |－6<x <4}．∴E ∩F ＝{x |x ≤－2或x ≥4}∩{x |－6<x <4}＝{x |－6<x ≤－2}． (2)∵E ＝{x ||x －1|≥m }，①当m ≤0时，E ＝R ，E ∪F ＝R ，满足条件． ②当m >0时，E ＝{x |x ≤1－m 或x ≥1＋m }， 由E ∪F ＝R ，F ＝{x |－6<x <4}，∴⎩⎨⎧1－m ≥－6，1＋m ≤4，m >0，解得0<m ≤3. 综上，实数m 的取值范围为m ≤3.21．解析 由题意得B ＝{x |x ≥3或x ≤1}， (1)由A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，可知A ＝∁R B ＝(1,3)， ∴⎩⎨⎧ a ＋1＝3，a －1＝1，∴a ＝2. (2)∵B ＝{x |x ≥3或x ≤1}，∴⌝q ：{x |1<x <3}． ∴⌝q 是p 的必要条件，即p ⇒⌝q . ∴A ⊆∁R B ＝(1,3)．∴⎩⎨⎧a ＋1≤3，a －1≥1，∴2≤a ≤2，∴a ＝2. 22． 解析 (1)P ＝{x |－2≤x ≤10}，S ＝{x |1－m ≤x ≤m ＋1}．若x ∈P 是x ∈S 的充要条件， ∴⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴m 不存在． (2)若存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件， ∴S ⊆P .若m ＜0，即S ＝∅时，满足条件．若S ≠∅，应有⎩⎨⎧m ＋1≥1－m ，1－m ≥－2，m ＋1≤10，解之得 0≤m ≤3.综之得，m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．寒假作业二（答案）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．A解析 当f (0)＝－1时，f (1)可以是0或1，则有2个映射． 当f (0)＝0时，f (1)＝1，则有1个映射． 2．C解析 由⎩⎨⎧1－x ≠0，1＋x >0，得x >－1且x ≠1，即函数f (x )的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．3．B解析 逐项验证即可． 4．D解析 本题主要考查函数的奇偶性、单调性及利用图像解不等式，根据已知条件可画出f (x )的草图如图所示．不等式3f (－x )－2f (x )5x ≤0⇔－5f (x )5x ≤0⇔f (x )x ≥0⇔⎩⎨⎧ x >0，f (x )≥0或⎩⎨⎧x <0，f (x )≤0.由图可知不等式的解集为[－2,0)∪(0,2]．故选D. 5．C解析 f (x )＝1＋log 2x 的图像可由f (x )＝log 2x 的图像上移1个单位得到，且过点(12，0)、(1,1)，由指数函数性质可知g (x )＝21－x 为减函数，且过点(0,2)，故选C. 6．A解析 (1)当x ≥2时，f (x )＝x 2＋x －3，此时对称轴为x ＝－12，f (x )∈[3，＋∞)． (2)当x <2时，f (x )＝x 2－x ＋1，此时对称轴为x ＝12，f (x )∈[34，＋∞)． 综上知，f (x )的值域为[34，＋∞)．7．C解析 令t ＝3x ，即x ＝log 3t ，则问题转化为函数y ＝t 2－mt ＋m ＋1在(1，＋∞)上的图像恒在x 轴的上方，即Δ＝(－m )2－4(m ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m2<1，1－m ＋1＋m >0，解得m <2＋2 2.8．B解析 f (1)＝－3<0，f (2)＝－32<0，f (3)＝13>0，故选B. 9． D解析 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝2.又0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，可画出函数y ＝f (x )在一个周期内的图像如图． 显然a ＝0时，y ＝x 与y ＝x 2在[0,2]内恰有两不同的公共点．另当直线y ＝x ＋a 与y ＝x 2(0≤x ≤1)相切时也恰有两个公共点，由题意知y ′＝(x 2)′＝2x ＝1，∴x ＝12. ∴A (12，14)，又A 点在y ＝x ＋a 上，∴a ＝－14，∴选D. 10．B解析 (1)对于方程f (g (x ))＝0， 令t ＝g (x )，则由f (t )＝0可得t ＝－1,0,1.g (x )＝－1时，x ＝±1，有2个． g (x )＝0时，有3个解． g (x )＝1时，x ＝±2，有2个． ∴f (g (x ))＝0的实根个数a ＝7. (2)对于方程g (f (x ))＝0，令t ＝f (x )，由g (t )＝0，得t 1∈(－2，－1)，t 2＝0，t 3∈(1,2)． f (x )＝t 1，无解；f (x )＝t 3，无解．f (x )＝0,3个解，即b ＝3. ∴a ＋b ＝10，选B.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 11．12 解析 ∵f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )是奇函数，利用赋值法，∴f (－1)＝－f (1)． ∴－1(－2＋1)(－1－a )＝－1(2＋1)(1－a ).∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.12．10或解析 ＝10，两边取10为底的对数，得(lg a －12)lg a ＝12，解得lg a ＝1或lg a ＝－12，故a ＝10或a ＝.13．1解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，知f (x ＋2)＝f (x )，函数y ＝f (x )是以2为周期的周期函数． 因为log 135∈(－2，－1)，log 135＋2＝log 1359∈(0,1)，又f (x )为偶函数且x ∈[－1,0]，f (x )＝3x ＋49， 所以当x ∈[0,1]时，f (x )＝3－x ＋49. 所以f (log 135)＝f (log 135＋2)＝f (log 1359)＝＋49＝＋49＝59＋49＝1.14．6,10 000解析 由lg1 000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg0.001＝9解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍． 15．|log 2|x －1|| 16．②④解析 易知①错，②对，对于④，由对称性知也对，对于③，在同一坐标系中，分别作出两函数的图像，在直线x ＝1左侧的那个交点十分容易发现，在其右侧有无交点呢？通过图像很难断定，下面我们利用存在零点的条件f (a )·f (b )<0来解决这个问题，两函数图像的交点的横坐标就是函数f (x )＝x 26－|log 2x |的零点，其中f (1)＝16>0，f (2)＝－13<0，f (4)＝23>0，所以在直线x ＝1右侧，函数有两个零点，一个在(1,2)内，一个在(2,4)内，故函数f (x )＝x 26－|log 2x |共有3个零点，即函数y ＝x 26和y ＝|log 2x |的图像有3个交点．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． 解析 (1)当x <0时，f (x )在(－∞，－2]上递减，在(－2,0)上递增；当x >0时，f (x )在(0,2]上递减，在(2，＋∞)上递增．综上，f (x )的单调增区间为(－2,0)，(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－2]，(0,2]． (2)当x <0时，f (x )＝16，即(x ＋2)2＝16，解得x ＝－6；当x >0时，f (x )＝16，即(x －2)2＝16，解得x ＝6. 故所求x 的值为－6或6.18． 解析 (1)由⎩⎨⎧2－2x >0，x ＋1>0，得－1<x <1.由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1<1，得1<2－2xx ＋1<10.因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得－23<x <13. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13，得－23<x <13.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )． 19． 解析 (1)∵f (－1)＝－f (1)＝f (－1＋5)＝f (4)， ∴f (1)＋f (4)＝0. (2)设x ∈[1,4]，f (x )＝a (x －2)2－5，由(1)得a ＝2，此时f (x )＝2(x －2)2－5，且f (1)＝－3. 设f (1)＝－3，f (0)＝0，可得x ∈[－1,1]，f (x )＝－3x . 故f (x )＝⎩⎨⎧－3x ， x ∈[－1，1]，2x 2－8x ＋3， x ∈[1，4].(3)f (x )＝⎩⎨⎧－3x ＋15， x ∈[4，6]，2(x －7)2－5， x ∈[6，9]. 得f (x )max ＝3，f (x )min ＝－5. 20． 解析 (1)∵f (x )＝b ·a x 图像过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎨⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24，又a >0且a ≠1， ∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0即为(12)x ＋(13)x －m ≥0. ∴问题转化成当x ∈(－∞，1]时m ≤(12)x ＋(13)x 恒成立． 令g (x )＝(12)x ＋(13)x ，易知g (x )在(－∞，1]上为减函数．∴g (x )≥g (1)＝12＋13＝56. ∴m ≤56.21．解析 (1)依题意有y ＝⎩⎨⎧100x －575(x ≤10)，[100－(x －10)×3]x －575(x >10)，且x ∈N *，因为y >0，x ∈N *，由⎩⎨⎧100x －575>0，x ≤10，得6≤x ≤10，x ∈N *.由⎩⎨⎧x >10，[100－(x －10)×3]x －575>0，得10<x ≤38，x ∈N *. 所以函数为y ＝⎩⎨⎧100x －575(x ∈N *，且6≤x ≤10)，－3x 2＋130x －575(x ∈N *，且10<x ≤38)，定义域为{x |6≤x ≤38，x ∈N *}． (2)当x ＝10时，y ＝100x －575(6≤x ≤10，x ∈N *)取得最大值425元． 当x >10时，y ＝－3x 2＋130x －575，当且仅当x ＝－1302×(－3)＝653时，y 取最大值．但x ∈N *，所以当x ＝22时，y ＝－3x 2＋130x －575(10<x ≤38，x ∈N *)取得最大值833元，比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多． 22．解析 (1)方法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ， 等号成立的条件是x ＝e. 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)． 因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有实根．方法二 作出g (x )＝x ＋e 2x 的图像如图．可知若使g (x )＝m 有实根，则只需m ≥2e.方法三 解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0，Δ＝m 2－4e 2≥0，等价于⎩⎨⎧m >0，m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图像有两个不同的交点．作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的图像．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2， 其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2. 故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点， 即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．寒假作业三（答案）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．B解析由等差中项的定义结合已知条件可知2a4＝a5＋a3，∴2d＝a7－a5＝－1，即d＝－12.故选B.2．D解析由等比数列性质可知a3a5a7a9a11＝a57＝243，所以得a7＝3，又a29a11＝a7a11a11＝a7，故选D.3．D解析∵S5＝a1＋a52×5，又∵12S5＝a1＋a5，∴a1＋a5＝0.∴a3＝0，∴S11＝a1＋a112×11＝a3＋a92×11＝0＋202×11＝110，故选D.4．D解析各项均不为零的等差数列{a n}，由于a2n－a n－1－a n＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则a2n－2a n＝0，a n＝2，S2 009＝4 018，故选D.5．A解析由于a2a4＝a23，a4a6＝a25，所以a2·a4＋2a3·a5＋a4·a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝25.所以a3＋a5＝±5.又a n>0，所以a3＋a5＝5.所以选A.6．B解析24a＝a3·a6⇒(1＋3d)2＝(1＋2d)·(1＋5d)⇒d(d＋1)＝0⇒d＝－1，∴a3＝－1，a4＝－2，∴q＝2.∴a6＝a4·q＝－4，第四项为a6·q＝－8.7．B解析f(n＋1)＝f(n)＋n2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f(20)＝f(19)＋192，f(19)＝f(18)＋182，……f(2)＝f(1)＋12.累加，得f(20)＝f(1)＋(12＋22＋…＋192)＝f(1)＋19×204＝97.8．D解析∵成等比，∴(a y)2＝a x－1·a－x＋1.即2y＝x－1－x＋1，x－1>0，∴x>1．x－1<x＋1，∴y<0，∴位于第四象限．9．A解析 a 9S 8－a 8S 9＝a 9a 1(1－q 8)1－q －a 8a 1(1－q 9)1－q ＝a 8a 1(q －q 9－1＋q 9)1－q＝－a 1a 8＝－a 21q 7，因为a 21>0，q <0，所以－a 21q 7>0，即a 9S 8>a 8S 9，故选A.10．C解析 方法一 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意可得， ⎩⎪⎨⎪⎧S 2 011＝2 011a 1＋2 011×(2 011－1)2d ＝－2 011，a 1 007＝a 1＋1 006d ＝3，即⎩⎨⎧ a 1＋1 005d ＝－1，a 1＋1 006d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝－4 021，d ＝4. 所以，S 2 012＝2 012a 1＋2 012×(2 012－1)2d＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2＝2 012×(4 022－4 021)＝2012. 方法二 由S 2 011＝2 011(a 1＋a 2 011)2＝2 011a 1 006＝－2 011，解得a 1 006＝－1，则S 2 012＝2 012(a 1＋a 2 012)2＝2 012(a 1 006＋a 1 007)2＝2 012×(－1＋3)2＝2 012.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 11．22解析 由题意知2n ＝m ＋m ＋n ， ∴n ＝2m .又n 2＝m ·m ·n ，∴n ＝m 2，∴m 2＝2m .∴m ＝2，∴n ＝4，∴a 2＝4，b 2＝2，c 2＝2. ∴e ＝c a ＝22.12．199299解析 a 100b 100＝a 1＋a 1992b 1＋b 1992＝S 199T 199＝199299.13．2解析 ∵S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4， ∴a 1＝0. ∴d ＝a 3－a 12＝2.14．1 223.4解析 应为1 200＋0.3×12＋0.3×11＋…＋0.3＝1 200＋0.3×12×132＝1 223.4(元)．15．4解析 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4.又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n ＋2＝29－3n .由于2－3＝18>19，因此要使29－3n >19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为4. 16．－12解析 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝－12.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解析 ∵a n ，a n ＋1是x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两根， ∴a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，a n ·a n ＋1＝1b n.∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋3. ∴a n ＋2－a n ＝2. ∴a 3－a 1＝2，a 5－a 3＝2，……，a 2n －1－a 2n －3＝2. ∴a 2n －1－a 1＝2(n －1)．∴a 2n －1＝2n －1，∴当n 为奇数时，a n ＝n . 同理可得当n 为偶数时a n ＝n . ∴a n ＝n .∴b n ＝1a n ·a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.18．解析 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3. (2)数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n)1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2. 所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．19．解析 (1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又x 4＝24p ＋4q ， x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得 3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1.(2)S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.20．解析 (1)设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1. 由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4，化简，得⎩⎨⎧a 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1>0，故q ＝2，a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝a 2n ＋1a 2n＋2＝4n －1＋14n －1＋2.因此，T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n ＝1－4n 1－4＋1－14n 1－14＋2n ＝13(4n －41－n)＋2n ＋21．解析 (1)依题意知，A n 是一个以480为首项，－20为公差的等差数列的前n 项和， 所以A n ＝480n ＋n (n －1)2×(－20)＝490n －10n 2， B n ＝500(1＋12)＋500(1＋122)＋…＋500(1＋12n )－600＝500n ＋500(12＋122＋…＋12n )－600＝500n ＋500×12[1－(12)n ]1－12－600＝500n －5002n －100. (2)依题意得，B n >A n ，即500n －5002n －100>490n －10n 2， 可化简得502n <n 2＋n －10. ∴可设f (n )＝502n ，g (n )＝n 2＋n －10. 又∵n ∈N *，∴可知f (n )是减函数，g (n )是增函数． 又f (3)＝508>g (3)＝2，f (4)＝5016<g (4)＝10. 则当n ＝4时不等式成立，即4年．22．解析 (1)因为S n ＋n ＝2a n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)． 两式相减，得a n ＝2a n －1＋1.所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n ＋1}为等比数列． 因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1得a 1＝1. a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，所以b n ＝(2n ＋1)·2n .所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，① 2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1， ②①－②，得－T n ＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1.所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.若T n －22n －1>2 010，则2＋(2n －1)·2n ＋12n －1>2 010，即2n ＋1>2 010. 由于210＝1 024,211＝2 048，所以n ＋1≥11，即n ≥10. 所以满足不等式T n －22n －1>2 010的n 的最小值是10.寒假作业四（答案）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．D解析 由题意，得⎩⎨⎧2x ＋1≥0，2x 2－x －1≠0，解此不等式组，得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12且x ≠1.故选D . 2．D3．A解析 b ≤0时，f (x )在(1，e)上为增函数，b >0时，当x >0时，x ＋b x ≥2b ， 当且仅当x ＝bx 即x ＝b 取等号． 若使f (x )在(1，e)上为单调函数， 则b ≤1或b ≥e ，∴0<b ≤1或b ≥e 2. 综上b 的取值范围是b ≤1或b ≥e 2，故选A. 4．C解析 规律：71的末位为7,72末位为9,73的末位为3,74末位为1,75的末位为7，…，的末位为7,9,3,1,7,9,3,1，…，而2 013＝4×503＋1，∴2 013的末位是7. 5．D解析 正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列． 6．B解析 根据f (x )是偶函数，可得f (x )＝f (|x |)＝|x |－1.因此f (x 2－1)＝|x 2－1|－1. 解不等式|x 2－1|－1<0，得0<x 2<2，因此x ∈(－2，0)∪(0，2)． 7．D解析 画出可行域，如图中阴影部分所示．要使ax ＋y ≤3恒成立，即可行域必须在直线ax ＋y －3＝0的下方，故分三种情况进行讨论：①当a >0且3a ≥1，即0<a ≤3时，恒有ax ＋y ≤3成立； ②当a ＝0时，y ≤3成立； ③当a <0时，恒有ax ＋y ≤3成立．综上可知，a ≤3. 8．C解析 ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立． 9．B解析 根据勾股定理以及正方形的面积公式并结合解题探究可知，经过n 次“生长”后，所得图形中所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的(n ＋1)倍，即为n ＋1.故选B. 10．C解析 设AD ＝x ，S ＝x (16－x )≤(x ＋16－x 2)2＝64. 当且仅当x ＝8时成立．∵树围在花圃内，∴0<a ≤8时，x ＝8能满足条件，即f (a )＝64. 当8<a <12时，S ＝x (16－x )最大值为a (16－a )． ∴f (a )＝⎩⎨⎧64， 0<a ≤8，a (16－a )，8<a <12， 选C.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 11．－4,1 12．4解析 依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2y 2x ×x 2y ＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号． 13．cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n ，n ∈N *解析 从已知等式的左边来看，余弦的个数从1逐个增加，分子上从π开始也是逐个增加，分母分别是3,5,7，…，可以看出分母的通项为2n ＋1，等式的右边是通项为12n 的等比数列，由以上分析可以猜想出的结论为cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n ，n ∈N *.14．1解析 由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x 的图像与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x ＝3－x ，即x ＝1＝m . 15．916解析 依题意得2＋b 2ab ＝1ab ＋12a ＝12a ＋1a (1－1a )＝－(1a )2＋32a ＝－(1a －34)2＋916的最大值是916(当1a －34＝0，即1a ＝34，1b ＝14时取得最大值)． 16．12解析 设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题可得a ＋b ＝1，且13≤a ，b ≤23，S ＝a 2＋b 2≥2×(a ＋b 2)2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解析 (1)∵OP →＝(1，cos x )，OQ →＝(cos x,1)， ∴OP →·OQ →＝2cos x ，|OP →|·|OQ →|＝1＋cos 2x . ∴f (x )＝cos<OP →，OQ →>＝2cos x 1＋cos 2x.(2)∵x ∈[－π4，π4]， ∴f (x )＝cos<OP →，OQ →>＝2cos x1＋cos 2x＝2cos x ＋1cos x，cos x ∈[22，1]．∵2≤cos x ＋1cos x ≤322， ∴223≤f (x )≤1，即223≤cos<OP →，OQ →>≤1. 18．解析 (1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.(2)构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ，因为对一切x ∈R ，都有f (x )≥0，所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0，从而证得：a 21＋a 22＋…＋a 2n≥1n .19．解析 (1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，要使f (x )在(0,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(0,2)上恒成立． ∵f ′(x )是开口向下的抛物线， ∴⎩⎨⎧f ′(0)≥0，f ′(2)＝－12＋4a ≥0，∴a ≥3. (2)∵0≤θ≤π4，∴tan θ＝－3x 2＋2ax ∈[0,1]． 根据题意0≤－3x 2＋2ax ≤1在(0,1]上恒成立，由－3x 2＋2ax ≥0，得a ≥32x ，a ≥32. 由－3x 2＋2ax ≤1，得a ≤32x ＋12x .又32x ＋12x ≥3(当且仅当x ＝33时取“＝”)， ∴a ≤ 3. 综上，a 的取值范围是32≤a ≤ 3. 20．解析 (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2. 故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q 、b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾． 所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．21． 解析 (1)第n 次投入后，产量为10＋n 万件，销售价格为100元， 固定成本为80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元， 所以，年利润为f (n )＝(10＋n )(100－80n ＋1)－100n (n ∈N *)． (2)由(1)知f (n )＝(10＋n )(100－80n ＋1)－100n ＝1 000－80(n ＋1＋9n ＋1)≤520(万元)． 当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元． 答：从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元． 22．解析 (1) f (5)＝41.(2) 因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，……由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12(1n －1－1n )， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12·(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝1＋12(1－1n )＝32－12n .寒假作业五（答案）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．A解析 由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1或a ＝－2，故选A. 2．A解析 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0. 3．A解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，直线3x －2y ＝0的斜率是32，∴直线l 的方程是y ＝32(x －1)，即3x －2y －3＝0，故选A. 4．D解析 设圆心C (a,0)(a >0)，由3a ＋45＝2得，a ＝2，故圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0. 5．B解析 由等比中项的性质得到a ，c 的一个方程，进一步转化为关于e 的方程，解之即得所求． 6．B解析 设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝c a ，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.选B.7．B解析 F 1(－10，0)，F 2(10，0)，2c ＝210，2a ＝2. ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝40.∴(PF 1→＋PF 2→)2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝40. ∴|PF 1→＋PF 2→|＝210. 8．A解析 特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设M (x 1，14x 21)，N (x 2，14x 22)，则过M 、N 的切线方程分别为y －14x 21＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．将(0，－1)代入得x 21＝x 22＝4，∴MN 的方程为y ＝1，恒过(0,1)点． 9．D解析 |AB →|＝|AF |－p ＝y A ，|CD →|＝|DF |－p ＝y B ，|AB →|·|CD →|＝y A y B ＝p 2.因为AB →，CD →的方向相同，所以AB →·CD →＝|AB →|·|CD →|＝y A y B ＝p 2. 10．D 解析 设P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)，∴k AP ＝x 21－1x 1＋1＝x 1－1，k PQ ＝x 22－x 21x 2－x 1＝x 2＋x 1.由题意得k P A ·k PQ ＝(x 1－1)(x 2＋x 1)＝－1， ∴x 2＝11－x 1－x 1＝1(1－x 1)＋(1－x 1)－1.利用函数性质知x 2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D. 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 11．2x －y ＋8＝0解析 ∵l 1⊥l 3， ∴k 1＝tan α＝2，k 2＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. ∵l 2的纵截距为－2，∴l 2的方程为y ＝－43x －2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，∴P (－3,2)，l 1过P 点． ∴l 1的方程为2x －y ＋8＝0.12．(x ＋135)2＋(y －65)2＝45解析 因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，得交点A (－115，25)，B (－3,2)． 因为AB 为直径，其中点为圆心，即为(－135，65)，r ＝12|AB |＝255， 所以圆的方程为(x ＋135)2＋(y －65)2＝45. 13． 43解析 设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max＝43. 14．x 24＋y 22＝1解析 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝ 2.∵b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝2， ∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1. 15．3解析 因为M (－3,0)，N (3,0)，所以MN →＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y )，NP →＝(x －3，y )． 由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得6(x ＋3)2＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x .所以点A 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到A 的距离的最小值就是原点到A (－3,0)的距离，所以d ＝3. 16．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12解析 依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，所以0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤a c ＝1e .又双曲线的渐近线方程y ＝±3x ，则b a ＝ 3.因此e ＝ca ＝2，故0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤12.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解析 (1)依题意知直线l 的斜率存在，因为直线l 过点M (－2,0)，故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以|OP →|＝|OQ →|＝1. 因为OP →·OQ →＝－12，即|OP →|·|OQ →|·cos ∠POQ ＝－12. 所以∠POQ ＝120°，所以点O 到直线l 的距离等于12. 所以|2k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1515.所以直线l 的方程为x －15y ＋2＝0或x ＋15y ＋2＝0.(2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以MP ＝PQ ，即P 为MQ 的中点，所以MQ →＝2MP →. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以MQ →＝(x 2＋2，y 2)，MP →＝(x 1＋2，y 1)． 所以⎩⎨⎧ x 2＋2＝2(x 1＋2)，y 2＝2y 1，即⎩⎨⎧x 2＝2(x 1＋1)，y 2＝2y 1.①因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以⎩⎨⎧x 21＋y 21＝1，x 22＋y 22＝1.②由①及②得⎩⎨⎧x 21＋y 21＝1，4(x 1＋1)2＋4y 21＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－78，y 1＝±158.故直线l 的斜率k ＝k MP ＝±159.18．解析(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2. 所以，椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1. 19．解析 (1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b 2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a. 由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)方法一依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k 2，代入②，整理得 (1＋k 2)2＝4k 2(ab )2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4.因此k 2>3，所以|k |> 3. 方法二 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a1＋k 2.代入③，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.20. 解析 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )， 则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )． 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，x ＝32或x ＝－6.∵点P 位于x 轴上方，∴x ＝－6舍去，只能取x ＝32. 由于y >0，于是y ＝523. ∴点P 的坐标是(32，523)． (2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M 的坐标是(m,0)(－6≤m ≤6)，则M 到直线AP 的距离是m ＋62. 于是m ＋62＝6－m ，解得m ＝2. 椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15. 由于－6≤x ≤6，∴当x ＝92时，d 取得最小值15.21．解析 (1)由题意，知m ＋1>1，即m >0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x2m ＋1＋y 2＝1，得(m ＋2)x 2＋4(m ＋1)x ＋3(m ＋1)＝0.又由Δ＝16(m ＋1)2－12(m ＋2)(m ＋1)＝4(m ＋1)(m －2)≥0， 解得m ≥2或m ≤－1(舍去)，∴m ≥2. 此时|EF 1|＋|EF 2|＝2m ＋1≥2 3.当且仅当m ＝2时，|EF 1|＋|EF 2|取得最小值23， 此时椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由方程组⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0. ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，∴Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)(3t 2－3)>0，即t 2<1＋3k 2.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x Q ，y Q )，则x 1＋x 2＝－6kt1＋3k 2. 由AQ →＝QB →，得Q 为线段的AB 的中点， 则x Q ＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y Q ＝kx Q ＋t ＝t1＋3k 2.∵NQ →·AB →＝0，∴直线AB 的斜率k AB 与直线QN 的斜率k QN 乘积为－1，即k QN ·k AB ＝－1，∴t1＋3k 2＋1－3kt 1＋3k 2·k ＝－1. 化简得1＋3k 2＝2t ，代入①式得t 2<2t ，解得0<t <2.又k ≠0，即3k 2>0，故2t ＝1＋3k 2>1，得t >12.综上，直线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是(12，2)．22． 解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )． 由题意知，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎨⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2. 故k ·2m ＝1. 所以直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )． 即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎨⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x ，消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0. 所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m 2.设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝|1－2(m －m 2)|·m －m 2. 由Δ＝4m －4m 2>0，得0<m <1.令u ＝m －m 2，0<u ≤12，则S ＝u (1－2u 2)． 设S (u )＝u (1－2u 2)，0<u ≤12，则S ′(u )＝1－6u 2.由S ′(u )＝0，得u ＝66∈(0，12]． 所以[S (u )]max ＝S (66)＝69. 故△ABP 面积的最大值为69.。