趣味数学-幻方

三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。

幻方知识点：1、幻方：在一个正方形中，将其分为n n 个（九个、十六个、二十五个、三十六个……）小方格，填上给定的数（九个、十六个、二十五个、三十六）个数字，使每一横行、每一竖行以及每一斜行上的n 个数相加的和都相等。

像这样的正方形，我们把它叫做n 阶幻方。

在幻方中这个相等的和就叫做幻和。

2、三阶幻方：如果一个3×3的方阵中，每一横行、每一竖列及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为三阶幻方（又叫九宫格或九宫图），这个相等的和叫做幻和，填在幻方中心位置的数称为中间数或中心数。

3、三阶幻方的性质：（1）幻和=中心数×3；中心数=幻和÷3； （2）幻和=填入的所有数总和÷3； （3）“斜T 法”：在三阶幻方中，四个角上的数，等于它对角上相邻两旁两个数的平均数(例如：i 位置的数=（b 位置的数+d 位置的数）÷2；a 和f 、h 位置也有此规律)。

（4）在三阶幻方中，最大与最小的数不能填在对角线上；（5）一个三阶幻方，经过翻折，或者旋转90°以后，仍为幻方.例题1：下面是幻方吗？是的在括号里打“√”，不是在括号里打“×”。

( )123456789( )191817161514131211【答案】×；√；【分析】要求每行、每列、两条对角线上的和都相等。

例题2：在下图中，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。

【答案】如图所示【分析】我们知道幻和是中心数的三倍，因此6+12=18是中心数的2倍，由此可知，中心数为：18÷2=9，幻和为：9×3=27。

接着一一填出各个空格中的数。

例题3：如图，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。

【答案】如图所示 【分析】先根据斜T 法算出右下角（27+15）÷2=21；中心数=（17+21）÷2=19；幻和=19×3=57。

三年级趣味数学（8）九宫格与阵班级姓名1.在1——9这九个数中，取其中3个不同的数相加，使和为15，你能写出哪些三组数？（例如1，5,9。

1+5+9=15）１＋５＋９＝１５ ２＋４＋９＝１５ ３＋４＋８＝１５ １＋６＋８＝１５ ２＋５＋８＝１５ ３＋５＋７＝１５ ２＋６＋７＝１５ ４＋５＋６＝１５3.探索三阶幻方的特点（1）对角线上三个数之间有什么关系？（2）“十”字形中纵列或横行三个数之间有什么关系？ （3）中宫数（最中间的数）与九个数之间有什么关系？ （4）研究特殊的等腰三角形数之间的关系。

4.利用掌握三阶幻方的特点制作三阶幻方。

２ ９ ４ ７ ５ ３ ６ １ ８６ ７ ２ １ ５ ９ ８ ３ ４８ １ ６ ３ ５ ７ ４ ９ ２４ ３ ８ ９ ５ １ ２ ７ ６ ６ １ ８ ７ ５ ３ ２ ９ ４2 7 6 9 5 1 43 87 22 13 22 16 10 19 4 257 8 12 14 9 4 6 10 1110 21 8 11 13 15 18 5 165.九宫阵（俗称数独）。

将1——9这九个数填入每行、每列、每个九宫格的小方格内。

每个数字在每行、每列、每个九宫格内只能出现一次。

13 15 108 11541057 4 13 981 6 92 3 68 2 95 7 46 47 23 1 982 7 1 68 4 532 5 9 7 3165 7342 48 9 1 73 9 16 8 2 4287 9 81 2 54 96 325 68 5 7 6 41 37 5 9294 8 7 637 1 56 5 3 14 298 5 67 74 1 3 9 8 2 56 52 3147 89。

趣味数学之幻方小诀窍在趣味数学的探讨中，重要的题材之一是魔方阵。

魔术方阵是由西方的"Magic square"翻译过来的，当然，东方也有不同的别称。

在中国我们称之为幻方，我国古代则有纵横图之称，而日本则称之为魔方阵。

所谓n阶魔方阵，乃是将1到ｎ2个整数排成一个ｎXｎ阶方阵，使得下面2n+2个和相等：（1）每一列中ｎ个数之和，共得ｎ个和；（2）每一行中ｎ个数之和，共得ｎ个和；（3）每一对角在线ｎ个数之和，共得两个和。

此每一个和称为魔数=2)1(2nn。

（一）由计算机测试的结果知道，二阶幻方不存在，当阶数由三阶增至四阶时，幻方个数由8个增至7040个，可见幻方数目增加得十分快速。

(二)(1)奇数阶幻方的建构法，中西方都有不同的成就，最著名的有杨辉法和达拉卢庇法，以下依序说明：杨辉法：以方阵的中间位置之下一格做为出发点，再向右下方依序填入数字。

若右下格已有数字则往下退两格，再继续往下填数字，直到填完为止，若超出格子便跳到方阵的另一头。

达拉卢庇法：以方阵中间一行最上方的一格为出发点，再向右上方依序填入数字，若右上格已有数字则往下退一格，再继续往下填数字，直到填完为止，若超出格子便跳到方阵的另一头。

(2)由杨辉法与达拉卢庇法的推广可以得到两对正交的拉丁方阵(两个方阵之中的符号两两配对后，没有重复的配对，称为正交)，可以推出许多不同的幻方，但仍受制于对角线，若改以正交对角线拉丁方阵构做，应可产生更多种幻方。

（二）由四阶幻方造法推广得到偶数阶幻方的造法，因为偶数阶自然方阵中各行、各列之和成等差关系，由于n是偶数故可得一个左右对称的和（若以上下各数之和来讨论，也可以得到上下对称的结果），且两对角线的和恰等于魔数，所以可以利用行与行、列与列（对称于中心轴）的互换而造出幻方。

在我十来年的数学教育教学中，每当学生接触到幻方时，他们都对幻方近乎着迷，为大千数学世界中的这些毫不起眼的数字而折服。

于是通过我自己的教学不断总结，下面对幻方的小诀窍予以说明。

三年级趣味数学（8）
九宫格与阵
班级姓名
1.在1——9这九个数中，取其中3个不同的数相加，使和为15，你能写出哪些三组数？（例如1，5,9。

1+5+9=15）
2.如右图把一个正方形划分为3行3列9个方格，我们俗称“九宫
格”。

每个方格填一个数，使横行、数列以及对角线上三个数的和相
等。

这样的九宫格成为三阶幻方。

把上面的1——9这九个数填入格子中，使横行、数列以及对角线上
三个数相加的和为15，怎样填呢？
3.探索三阶幻方的特点
（1）对角线上三个数之间有什么关系？
（2）“十”字形中纵列或横行三个数之间有什么关系？（3）中宫数（最中间的数）与九个数之间有什么关系？（4）研究特殊的等腰三角形数之间的关系。

4.利用掌握三阶幻方的特点制作三阶幻方。

5.九宫阵（俗称数独）。

将1——9这九个数填入每行、每列、每个九宫格的小方格内。

每个数字在每行、每列、每个九宫格内只能出现一次。

幻方的故事前面，在“《射雕英雄传》里的数学故事”一文中，曾经谈到了“洛书”，它有三行三列，每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等。

后来，人们逐步把具有类似性质的数阵扩展到四行四列、五行五列……通称为“纵横图”。

宋代数学家杨辉对纵横图做了深入的研究，取得了辉煌的成就，并且打破常规，把幻方从正方形推广到多边形和圆。

15世纪，西方数学家摩索普拉把我国的纵横图介绍到欧洲，并取名为“魔幻正方形”简称“幻方”。

“幻”含有梦幻、神奇、美妙、理想的意思。

由于幻方有着变幻莫测的性质，所以幻方一词逐渐为大众所接受。

占星家还将其作为护身符，至今仍有许多印度少女把“洛书”佩在胸前。

下面这个幻方被称为“魔鬼幻方”，因为它除了每行、每列、每条对角线上四个数的和相等以外，四个角上，以及任意由四个方格或九个方格组成的正方形四个角上四个数的和竟然也都相等, 真是妙不可言！现存欧洲最古老的幻方，是公元1514年德国画家丢勒在他著名的铜板画《忧郁》上刻的图. 有趣的是，他还把创作年份1514也塞了进去。

下图是印度太苏神庙石碑上的幻方，刻于十一世纪。

这个幻方也是一个魔鬼幻方。

更为奇特的是。

如果把幻方边上的行或列，挪到另一边去，所得到的仍是幻方。

一百年前的1910年，一位叫阿当斯的青年人，对六角幻方产生了浓厚兴趣。

他先去填简单的一层六角幻方（每边两个数），没有成功。

经过研究，这种幻方是不存在的。

于是，阿当斯便将精力集中在两层的六角幻方上（每边3个数）。

他趁着在铁路公司阅览室当职员之便，利用一些空闲时间，去摆弄从1到19这19个数。

冬去春来，度过了漫长的47个年头。

经过了无数次的挫折、失败，使他由一个英俊少年，变成了白发苍苍的老头，但是他仍然不甘心失败，这就是兴趣的魔力。

1957年的一天，病中的阿当斯，在病床上无意中将六角幻方排列成功了。

他惊喜万分，连忙找纸记录下来，了却了他多年的宿愿。

几天后，他病愈出院。

到家后却不幸地发现，他填的宝图不见了。