江西省赣州市2017-2018学年高一下学期期末考试数学试卷 Word版含答案byfen

赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试高二数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,30A x xB x x x =<=-<，则A B = （）A.{}01x x << B.{}0x x < C.{1x x <或3}x > D.{}3x x <2.已知命题:0,e 1x p x x ∀>≥+，则p ⌝为（）A.0,e 1x x x ∀≤<+B.0,e 1x x x ∀><+C.0,e 1x x x ∃≤<+ D.0,e 1x x x ∃><+3.正项等比数列{}n a 中，24627a a a =，则3137log log a a +=（）A.1B.2C.3D.44.已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，函数()y xf x ='的图象如图，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的增区间是()()2,0,2,∞-+B.函数()f x 的减区间是()(),2,2,∞∞--+C.2x =-是函数的极大值点D.2x =是函数的极大值点5.“1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数tan h 是比较常用的一种，其解析式为()e e tan e ex xx xh x ---=+.关于函数()tan h x ，下列结论错误的是（）A.()tanh 1x ≤-有解B.()tanh x 是奇函数C.()tan h x 不是周期函数D.()tan h x 是单调递增函数7.已如A 是函数()2ln f x x x =-图像上的动点，B 是直线20x y ++=上的动点，则,A B 两点间距离AB的最小值为（）A.B.4C.D.8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为10110,1a d a <<-，则下列结论正确的是（）A.45180a a a ++< B.使得0nS <成立的最小自然数n 是20C.910910S S > D.21222122S S a a >二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.9.已知,a b ∈R ，且a b >，,,a b c 都不为0，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b< B.a c b c+>+C.22a b c c> D.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.已知正数,a b 满足45a b ab ++=，则下列结论正确的是（）A.ab 的最大值为1B.4a b +的最小值为4C.2216a b +的最小值为9D.111a b++的最小值为10911.记方程1x xe =的实数解为Ω（Ω是无理数），Ω被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（）A.lnΩΩ0+=B.11Ω,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C.2Ω2Ω10+->D.函数()1ln e xxf x x+=-的最小值为()Ωf 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，()()1,031,0x f x x g x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()0g g =__________.13.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1πsin 12n n a n n =++，则2024S =__________.14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x -=+，当[)0,3x ∈时，()231exx x f x -+=，则()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为__________个.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()()32f x ax bxx =+∈R 的图象过点()1,2P -，且在点P 处的切线恰好与直线340x y ++=平行.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]4,1-上的最大值和最小值.16.已知等差数列{}n a 的公差41370,5,,,d a a a a >=成等比数列，数列{}n b 的前n 项和公式为()*22n n S b n =-∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .17.已知函数()f x 为二次函数，有()()10,45f f -==，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②函数()1f x +为偶函数，③()23f =-（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()()222log 3log 1g x x x =+-+，若对任意的[]11,2x ∈，总存在(]21,2x ∈-，使得()()211g x f x mx ≤+成立，求实数m 的取值范围.18.已知函数()()2ln ,f x x x ax f x ⋅'=-为()f x 的导函数，记()()g x f x '=，其中a 为常数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，①求a 的取值范围；②求证：121x x a+>.19.若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列1,5,4,7,3：依次构造，第()*n n ∈N 次得到的数列的所有项之和记为n a ，如11438a ++==.（1）求3a ；（2）求{}n a 的通项公式；（3）证明：1231111524n a a a a ++++< .赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试高二数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,30A x xB x x x =<=-<，则A B = （）A.{}01x x << B.{}0x x < C.{1x x <或3}x > D.{}3x x <【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次不等式，求解集合B ，再求交集即可.【详解】因为{}(){}{}2303003B x x x x x x x x =-<=-<=<<，又{}1,A x x =<所以AB = {}01x x <<.故选：A.2.已知命题:0,e 1x p x x ∀>≥+，则p ⌝为（）A.0,e 1x x x ∀≤<+B.0,e 1x x x ∀><+C.0,e 1x x x ∃≤<+D.0,e 1x x x ∃><+【答案】D 【解析】【分析】全称量词命题的否定，首先把全称量词改成存在量词，然后把后面结论改否定即可.【详解】因为命题:0,e 1x p x x ∀>≥+是全称量词命题，则命题p ⌝为存在量词命题，由全称量词命题的否定得，命题p ⌝：0,e 1x x x ∃><+.故选：D.3.正项等比数列{}n a 中，24627a a a =，则3137log log a a +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的性质求出4a 即可得解.【详解】由等比数列性质可知3246427a a a a ==，解得43a =，所以23137317343log log log log 2log 32a a a a a +====，故选：B4.已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，函数()y xf x ='的图象如图，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的增区间是()()2,0,2,∞-+B.函数()f x 的减区间是()(),2,2,∞∞--+C.2x =-是函数的极大值点D.2x =是函数的极大值点【答案】C 【解析】【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值.【详解】根据()y xf x '=的图象可知：当<2x -时，()0f x ¢>；20x -<<时，()0f x '<，当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x ¢>.所以()f x 在()(),2,2,-∞-+∞上单调递增，在()2,2-上单调递减.因此函数()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-取得极大值.故ABD 错误，C 正确.故选：C5.“1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可.【详解】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：要满足函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增，需要21021110m m m ⎧≤⎪⇒≤⎨⎪-⨯-≥⎩，因为01<，所以“1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的必要不充分条件．故选：B ．6.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数tan h 是比较常用的一种，其解析式为()e e tan e ex xx xh x ---=+.关于函数()tan h x ，下列结论错误的是（）A.()tanh 1x ≤-有解B.()tanh x 是奇函数C.()tan h x 不是周期函数D.()tan h x 是单调递增函数【答案】A 【解析】【分析】考虑函数的值域可判断A ，根据函数的奇偶性定义判断B ，由复合函数的单调性分析可判断D ，由D 结合周期定义判断C.【详解】由2e e 2e 2tan ()11e e e e e 1x x x x x x x x h x -----==-=-+++，因2e 11x +>，则2221e 0x<<+，可得2111e 21x -<-<+，即tan ()(1,1)h x ∈-，故A 错误；因为tan ()h x 的定义域为R ，且e e e e tan ()tan ()e e e ex x x xx xx x h x h x -------==-=-++，所以tan ()h x 是奇函数，故B 正确；2e e 2tan ()1e e e 1x x x x x h x ---==-++，因2e x 是增函数，2e 1x+是增函数且恒为正数，则21e 1x+是减函数，故tan ()h x 是增函数，故D 正确；由D 可知函数在R 上单调递增，所以当0T ≠时，()tan tan ()h x h x T +≠，所以函数不是周期函数，故C 正确.故选：A7.已如A 是函数()2ln f x x x =-图像上的动点，B 是直线20x y ++=上的动点，则,A B 两点间距离AB的最小值为（）A. B.4C.D.【答案】C 【解析】【分析】先求函数()f x 斜率为1-的切线，然后切线与直线20x y ++=的距离即为所求.【详解】因为()2ln f x x x =-，（0x >），所以()21f x x'=-，由()1f x '=-，得1x =，又()11f =，所以()f x 过()1,1点的切线为：()11y x -=--即20x y +-=.直线20x y +-=与20x y ++=的距离为：d ==.故选：C8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为10110,1a d a <<-，则下列结论正确的是（）A.45180a a a ++< B.使得0nS <成立的最小自然数n 是20C.910910S S > D.21222122S S a a >【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知数列单调递减且101110110,0,0a a a a ><+>，由通项公式化简可判断A ，由等差数列的性质及求和公式结合条件可判断B ，根据n S n ⎧⎫⎨⎩⎭为递减数列即可判断C ，由,n n a S 的关系及20,22S S 的符号可判断D.【详解】由公差为10110,1a d a <<-可知，等差数列{}n a 为递减数列且101110110,0,0a a a a ><+>，对A ，45181932430a a a a a d =+++=>，故A 错误；对B ，因为10110a a +>，所以12010110a a a a +=+>，所以1202020()20a a S +>=，故B 错误；对C ，因为11(1)222nn n na dS d n a n n d -==+-+，且02d <，所以由一次函数单调性知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递减数列，所以910910S S >，故C 正确；对D ，由B 知200S >，且2111210S a =<，所以2221220S S a =+<，因为2121212120S S a S S =-，1222222222S S a S S -=，若21222122S S a a >，则212221202221S S S S S S >--，且()()212022210S S S S -->，即()()212221222120S S S S S S ->-，即2212220S S S <，而200S >，220S <，显然矛盾，故21222122S S a a >不成立，故D 错误.故选：C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.9.已知,a b ∈R ，且a b >，,,a b c 都不为0，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b< B.a c b c+>+C.22a b c c> D.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】由不等式的性质和函数单调性，判断选项中的不等式是否成立.【详解】当0a b >>时，有11a b>，A 选项错误；a b >，则()()0a c b c a b +-+=->，得a c b c +>+，B 选项正确；a b >，2220a b a bc c c --=>，得22a bc c>，C 选项正确；函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，a b >，则1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项错误.故选：BC10.已知正数,a b 满足45a b ab ++=，则下列结论正确的是（）A.ab 的最大值为1B.4a b +的最小值为4C.2216a b +的最小值为9D.111a b++的最小值为109【答案】ABD 【解析】【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB ，先变形2216a b +为关于ab 的二次函数求最值判断C ，利用条件变形可得()1(4)9a b ++=，转化111a b++为关于b 的式子由均值不等式判断D.【详解】由正数,a b 满足45a b ab ++=，可得45a b ab +=-≥，解得01<≤，即1ab ≤，当且仅当4a b =，即1,22a b ==时等号成立，故A 正确；由正数,a b 满足45a b ab ++=，可得2114454442a b a b ab +⎛⎫+-=-⨯≥-⨯ ⎪⎝⎭，解得44a b +≥或420a b +≤-（舍去），当且仅当4a b =，即1,22a b ==时等号成立，故B 正确；()()2222216(4)858956a b a b ab ab ab ab +=+-=--=--，由A 知1ab ≤，由二次函数的单调性知()22956(19)568ab --≥--=，即1ab =时，2216a b +的最小值为8，故C 错误；由45a b ab ++=可得449a b ab +++=，即()1(4)9a b ++=，所以1441999b b a +==++，所以144109999111b b a b +=+≥=++，当且仅当19b b =，即3b =，27a =时等号成立，故D 正确.故选：ABD11.记方程1x xe =的实数解为Ω（Ω是无理数），Ω被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（）A.lnΩΩ0+=B.11Ω,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C.2Ω2Ω10+->D.函数()1ln e xxf x x+=-的最小值为()Ωf 【答案】ACD 【解析】【分析】构建()e 1xg x x =-，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断B 选项，对于A ：对e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，取对数整理即可；对于C ：根据二次函数单调性判断；对于D ：结合不等式ln 10x x --≥分析可知()1f x ≥，当且仅当1x xe =时，等号成立.【详解】构建()e 1xg x x =-，则Ω为()g x 的零点，因为()()1e xg x x +'=，若1x <-，则()0g x '<，可知()g x 在(),1∞--内单调递减，且()0g x <，所以()g x 在(),1∞--内无零点；若1x >-，则()0g x '>，可知()g x 在()1,∞-+内单调递增，()e0.5102g =-<且()1e 10g =->，所以()g x 在()1,∞-+内存在唯一零点()Ω0.5,1∈；对于选项A ：因为e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，即1e Ω=Ω，两边取对数可得：1lnlne Ω==ΩΩ，lnΩΩ0+=，故A 正确；对于选项B ：由上可知()Ω0.5,1∈，故B 不正确；对于选项C ：2Ω2Ω1y =+-对称轴为Ω1=-，而()Ω0.5,1∈，故2Ω2Ω1y =+-单调递增，当Ω0.5=，2Ω2Ω1y =+-最小值为0.25，所以2Ω2Ω10+->，故C 正确；对于选项D ：构建()ln 1,0h x x x x =-->，则()11h x x'=-，令()0h x '>，解得1x >；令()0h x '<，解得01x <<；可知()h x 在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，则()()10h x h ≥=，可得ln 10x x --≥，当且仅当1x =时，等号成立，0t >可得ln 10t t --≥，令e x t x =，()()e ln e 10,e ln ln e 10,e ln 10,e ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x --≥-+-≥---≥--≥则()e -ln 11x x x xf x x x-=≥=，当且仅当1x xe =，即1e xx=时，等号成立，所以()f x 的最小值为(Ω)f ，故D 正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，()()1,031,0x f x x g x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()0g g =__________.【答案】2【解析】【分析】根据奇函数的定义得出(0)0f =，再由()g x 解析式得解.【详解】因为函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以()()()()001(1)312g g g f g =+==-=，故答案为：213.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1πsin 12n n a n n =++，则2024S =__________.【答案】20242025【解析】【分析】先按通项进行分组求和，再由分式数列用裂项法求和，而数列πsin 2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是周期为4的数列，所以按每4个数一组求和即可.【详解】由()1π11πsin sin 1212n n n a n n n n =+=-+++得：20241111111111101001223344520242025S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++--+-+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111111111112024101001122334452024202520252025⎛⎫=-+-+-+-+⋅⋅⋅+++-++⋅⋅⋅+=-= ⎪⎝⎭，故答案为：20242025.14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x -=+，当[)0,3x ∈时，()231exx x f x -+=，则()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为__________个.【答案】1350【解析】【分析】由题意可得函数为周期函数，再由一个周期内[)0,3内有两个零点，且一个零点小于1，一个大于2，即可得出在[]1012,1012-上的零点个数.【详解】由()()12f x f x -=+可得()(3)f x f x =+，所以周期3T =，当[)0,3x ∈时，()231exx x f x -+=，令()0f x =，解得()()210,1,2,33322x x =∈=∈，即一个周期内有2个零点，因为(1012)(33731)f f =⨯+，所以()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为()2233711350⨯⨯+=.故答案为：1350四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()()32f x ax bxx =+∈R 的图象过点()1,2P -，且在点P 处的切线恰好与直线340x y ++=平行.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]4,1-上的最大值和最小值.【答案】（1）()323f x x x=+（2）最大值为4；最小值为：16-【解析】【分析】（1）根据函数的图象过点P ，得到关于,a b 的一个关系式，再根据函数在=1x -处的导数为3-，又得到关于,a b 的一个关系式，可求,a b 的值.（2）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最大、最小值.【小问1详解】因为函数()32f x ax bx =+的图象过点()1,2P -，所以2a b -+=.又因为()232f x ax bx '=+，且()f x 在点P 处的切线恰好与直线340x y ++=平行，所以()1323f a b -=-=-'，由2323a b a b -+=⎧⎨-=-⎩得：13a b =⎧⎨=⎩，所以()323f x x x =+.【小问2详解】由（1）知：()()23632f x x x x x '=+=+，由()0f x '<⇒20x -<<，由()0f x ¢>⇒<2x -或0x >.所以()f x 在()4,2--上单调递增，在()2,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，又()416f -=-，()24f -=，()00f =，()14f =，所以()f x 在[]4,1-上的最大值为4，最小值为16-.16.已知等差数列{}n a 的公差41370,5,,,d a a a a >=成等比数列，数列{}n b 的前n 项和公式为()*22n n S b n =-∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+，2n n b =（2）12n n T n +=⋅【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式求等差数列的通项公式，根据数列的前n 项和，求数列{}n b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求数列的前n 项和.【小问1详解】由题意：14353a a d d =-=-，345a a d d =-=-，74353a a d d =+=+，因为137,,a a a 成等比数列，所以2317a a a =⋅⇒()()()255353d d d -=-+⇒0d =或1d =，又0d >，所以1d =，所以1532a d =-=.所以1n a n =+.对数列{}n b ：当1n =时，1122b b =-⇒120b =≠，当2n ≥时，22=-n n S b ，1122--=-n n S b ，两式相减得：122n n n b b b -=-⇒12n n b b -=，所以{}n b 是以2为首项，2为公比得等比数列，所以2nn b =.【小问2详解】由（1）知：()12nn c n =+⋅，所以：()12322324212nn T n =⨯+⨯+⨯+++⋅ ，()23412223242212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⋅++⋅ ，两式相减得：()()231422212nn n T n +-=++++-+⋅ ()()21121241212n n n -+-=+-+⋅-12n n +=-⋅，所以12n n T n +=⋅.17.已知函数()f x 为二次函数，有()()10,45f f -==，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②函数()1f x +为偶函数，③()23f =-（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()()222log 3log 1g x x x =+-+，若对任意的[]11,2x ∈，总存在(]21,2x ∈-，使得()()211g x f x mx ≤+成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()223f x x x =--（2）[)5,+∞【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式.（2）分别求函数的值域，根据两个函数值域之间的关系求参数.【小问1详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，由题意：01645a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，两式相减的：31a b +=若选①，则：抛物线的对称轴为：1x =，即12ba-=⇒20a b +=.所以123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以()223f x x x =--；若选②，则：抛物线的对称轴为：1x =，同上；若选③，则：423a b c -+=-，由01645423a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以()223f x x x =--.综上：()223f x x x =--【小问2详解】对()g x ：()()()22l 1n 221ln 3x g x x x '=-++()()()()222213l 1n 3x x x x x +-+=++()()223ln 2231x x x x =+++-()()()()2ln 23131x x x x +-=++当(]1,2x ∈-时，由()0g x '>⇒12x <≤；由()0g x '<⇒11x -<<；所以()g x 在()1,1-上单调递减，在()1,2上单调递增，所以(]1,2x ∈-时，()()221log 4log 21g x g ≥=-=.当[]1,2x ∈时，()()2231f x mx x m x +=+--≥恒成立，所以2442x m x x x--≥=-在[]1,2上恒成立.观察可知，函数4y x x =-在[]1,2上单调递减，所以max4413x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，由23m -≥⇒5m ≥.所以实数m 的取值范围是：[)5,+∞18.已知函数()()2ln ,f x x x ax f x ⋅'=-为()f x 的导函数，记()()g x f x '=，其中a 为常数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，①求a 的取值范围；②求证：121x x a+>.【答案】（1）见解析（2）①10,2⎛⎫⎪⎝⎭；②证明见解析【解析】【分析】（1）求出()g x '，分类讨论，利用()0g x '>，()0g x '<解不等式即可得解；（2）①先分析0a ≤不合题意，再求出0a >时函数()f x 在有两个极值点()1212,x x x x <的必要条件，再此条件下分析即可得解；②对结论进行转化，只需证()1212122ln x x x x x x -<+，换元后利用导数确定函数单调性，得出函数最值，即可得证.【小问1详解】定义域为(0,)+∞.()ln 12f x x ax '=+- ，()ln 12g x x ax =+-∴，()1122axg x a x x-=-=' ，当0a ≤时，′(p >0恒成立，()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，令()0g x '>，则120ax ->，解得12x a<，令()0g x '<，则120ax -<，解得12x a>，()g x ∴在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减.综上，当0a ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减.【小问2详解】由（1）知，0a ≤时，()0f x '= 最多一个根，不符合题意，故0a >，函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，()0g x ∴=在()0,∞+有两个不同零点的必要条件是=ln12>0，解得102a <<，当102a <<，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，=ln 12>0,=−2e<0,→+∞,→−∞，∴由零点存在性定理得：()f x 在11,e 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭各有1个零点，a ∴的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.② 函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，11ln 120x ax ∴+-=①22ln 120x ax +-=②①-②得：()1212ln ln 2x x a x x -=-，要证121x x a+>，即证1+2>12()1212122ln ln x x x x x x --<+，即证()1212122lnx x x x x x -<+，令()1201x t t x =<<，则()21ln 1t t t -<+，令()()21ln 1t R t t t -=-+，则′=1=K12r1>0，()y R t ∴=在(0,1)上单调递增，()()10R t R ∴<=，∴()21ln 01t t t --<+在(0,1)上成立，121x x a∴+>，得证.【点睛】关键点点睛：要证明不等式121x x a+>，关键点之一在于消去a 后对结论进行恰当变形，转化为证明()1212122lnx x x x x x -<+成立，其次关键点在于令()1201x t t x =<<换元，转化为证明()21ln 1t t t -<+成立.19.若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列1,5,4,7,3：依次构造，第()*n n ∈N 次得到的数列的所有项之和记为n a ，如11438a ++==.（1）求3a ；（2）求{}n a 的通项公式；（3）证明：1231111524n a a a a ++++< .【答案】（1）356a =（2）223nn a =+⨯（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出第三次得到数列再求和即可；（2）设出第n 次构造后得到的数列求出n a ，则得到第1n +次构造后得到的数列求出1n a +，可得1n a +与n a 关系，再利用构造法求通项即可；（3）利用放缩法求等比数列和可得答案.【小问1详解】因为第二次得到数列1,5,4,7,3，所以第三次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3所以31659411710356++++++++==a ；【小问2详解】设第n 次构造后得的数列为121,,,,,3 k x x x ，则1213n k a x x x =+++++ ，则第1n +次构造后得到的数列为1112211,1,,,,,,,3,3-++++ k k k k x x x x x x x x x ，则11112211133+-=+++++++++++++ n k k k k a x x x x x x x x x ()12183131243k k n x x x x a -=+++++++-=-+ ，()1232n n a a +-=-，可得1322n n a a +-=-，126a -=，所以{}2n a -是以3为公比，6为首项的等比数列，所以1263n n a --=⨯，即223nn a =+⨯；【小问3详解】由（2）得111111163223123-==⨯<⨯⨯++n nn n a ，所以当1n =时，1115824=<a ，当2n ≥时，所以2312311111111182333n n a a a a ⎛⎫++++=++++ ⎪⎝⎭21111111511533182241232413n n --⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=-⋅<-，综上所述，1231111524n a a a a ++++< .【点睛】关键点点睛：（2）问中解题关键点是已知相邻两项关系构造等比数列，进而得到数列的通项公式；（3）问中根据的通项公式，应用放缩变成等比数列的前项和，应用公式计算即可.。

2017—2018学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考高二数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}{}|44,,|5A =-≤≤∈B =-≤≤x x x R x x a ，则“A ⊆B ”是“4>a ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.复数()2421-=+i i （ ）A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --3.若曲线()()==a f x g x x 在(1,1)P 处的切线分别为12,,l l 且12⊥l l ，则a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．12 D ．12-4.已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直,体积为94,若P为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A .512π B.3π C. 4π D. 6π 5.设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图，则导函数'()y f x =的图象可能为 （ ）6. 已知函数)(x f 在0x x =处可导，若1)()3(lim 000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则0()f x '=（ ）A ．1B ．0C ．3D ．317.已知1F 、2F 是双曲()2222:10,0-=>>x y E a b a b线的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x轴垂直，211sin 4∠=MF F ，则双曲线E 的离心率为（ ）A B ．53 C. 2 D ．38.下列图象中，有一个是函数3221()(1)1(,0)3=++-+∈≠f x x ax a x a R a 的导数'()f x 的图象，则(1)-f 的值为（ ）A.13B.13-C.73D. 13-或539.用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)”时由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时左边应增加的项数是（ ）A ．k ＋1B ．kC ．2kD ．2k ＋1 10.已知函数))((R x x f ∈满足(1)1=f ，且)(x f 的导函数21)('<x f ，则212)(<-x x f 的解集为（ ）A.{}|11-<<x x B.{}|1<-x xC.{}11>-<x x x 或 D.{}|1>x x11.已知,+∈a b R ，且115+++=a b a b，则a b +的取值范围是（ ） A.()2,4 B.[)2,+∞ C.[]1,4 D.()4,+∞ 12.若直线=+y kx b 是曲线ln 2=+y x 的切线，也是曲线ln(1)=+y x 的切线，则b = （ ）A.1ln 2--B.1ln 2-+C.1ln 2+D.1ln 2-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13.已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()()2'1ln=+f x xf x ，则()f x 在点()(1,1)M f 处的切线方程为14.有6位同学站成一排，其中A,B 两位必须相邻，C,D 两位不能相邻的排法有 种（数字作答）15．下列有关命题正确的序号是（1）若P 且q 为假命题，则P ，q 均为假命题（2）若 P ⌝是q 的必要条件，则P 是 q ⌝的充分条件（3）命题“x x R x -∈∀2,≥0”的否定是“0,2<-∈∃x x R x ” （4）“2>x ”是“211<x ”的充分不必要条件16. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 三、解答题17.（共10分） （1） 求函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-+=20, cos ,01,1)(πx x x x x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积（2）求由曲线3=y x与=y 18.（共12分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队（1）若要求服务队中至少有1名女生，共有多少种不同的选法．（2）若要求服务队中队长或副队长至少有1名女生，共有多少种不同的选法．19.（共12分）如图，在四棱柱1111-ABCD A BC D 中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，2AB =,1BC CD ==顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C ．（1）求证：1⊥AD BC ；（2）若直线1DD 与直线AB 所成的角为3π,求平面11ABC D 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值．20.（共12分）某工厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据以 往的经验知道，其次品率P 与日产量x （件）之间近似满足关系：⎪⎩⎪⎨⎧∈>∈≤≤-=++N x c x N x c x x P ,,32,1,961（其中c 为小于96的正整常数）（注：次品率P=总生产量次品数，如P=0.1表示每生产10件产品,有1件次品,其余为合格品.）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损A/2元，故厂方希 望定出合适的日产量。

江西省赣州一中2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷（解析版）一、选择题1．下列能构成集合的是（ ）A.中央电视台著名节目主持人B.我市跑得快的汽车C.赣州市所有的中学生D.赣州的高楼 【答案】C 【解析】试题分析：构成集合的元素必须是确定的，根据这一点可知：C 是正确的，而A 、B 、D 中所涉及到的对象都是模糊的、不确定的，故不能构成集合，故选择C. 考点：集合的性质.2．若{}|110C x N x =∈≤<，则（ ）A.5C ∉B.5C ⊆C.5C ⊂≠D.5C ∈【答案】D 【解析】试题分析：对于元素与集合的关系应从“属于”和“不属于”考虑，对于集合与集合的关系应从“包含”和“不包含”考虑，将集合C 用列举法表示{1,2,3,4,5,6,7,8,9}C =，则不难发现选择D 正确.考点：元素与集合的关系.3．函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是（ ）A. 0、2、3B. {|03}y y ≤≤C. }3,2,0{D. ]3,0[【答案】C 【解析】试题分析：函数的值域必须是所有函数值的全体，定义域和值域必须用集合或区间表示，计算(1)110,(1)112,(3)213f f f -=-+==+==+=，所以函数值分别为0,2,3，所以值域为{0,2,3}，故选择C.考点：函数的值域.4．下列函数是幂函数的是（ ）A.22y x =B.3y x x =+C.3xy = D.12y x = 【答案】D 【解析】试题分析：形如y x α=的函数称为幂函数，据此只有12y x =才符合幂函数的定义，故选择D.考点：幂函数的概念.5．方程260x px -+=的解集为M ，方程260x x q +-=的解集为N ，且{2}M N =I ，那么p q +=（ ）A. 21B. 8C. 6D. 7【答案】A 【解析】试题分析：由{2}M N =I 可知，2是方程260x px -+=和方程260x x q +-=的唯一的公共解，所以4260p -+=且4120q +-=，解得5,16p q ==，此时{2,3}M =，{8,2}N =-，符合题意，所以21p q +=.考点：一元二次方程与集合的运算交集.6．设全集为R ，集合2{|90}A x x =-<，{|15}B x x =-<≤，则()R A C B I （ ） A.(3,0)- B.(3,1)-- C.(3,1]-- D.(3,3)- 【答案】C 【解析】试题分析：先化简集合2{|90}{|33}A x x x x =-<=-<<，{|1R C B x x =≤-或5}x >，因此(){|31}(3,1]R A C B x x =-<≤-=--I ，故选择C. 考点：集合的运算交集与补集及一元二次不等式.7．已知函数2(31)32f x x x +=++，则(4)f =（ ）A.30B.6C.210D.9 【答案】B 【解析】试题分析：令314x +=，则1x =，代入2(31)32f x x x +=++得2(4)13126f =+⨯+=，故选择B.考点：复合函数的求值.8．已知53()4f x ax bx cx =++-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于（ ）A.2-B.4-C.6-D.10-【答案】D 【解析】试题分析：53(2)(2)(2)(2)42f a b c -=⋅-+⋅-+⋅--=，得532226a b c ++=-，所以53(2)22246410f a b c =⋅+⋅+⋅-=--=-，故选择D.考点：奇函数性质的应用.9．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且()f x 在),0[+∞上是减函数，若()(2)f a f ≥-， 则a 的取值范围是（ ）A.2-≤aB.2≥aC.2a ≤-或2a ≥D.22≤≤-a 【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()y f x =是R 上的偶函数，且()f x 在),0[+∞上是减函数，所以()f x 在(,0]-∞上是增函数，函数的图象关于y 轴对称，由()(2)f a f ≥-，得|||2|a ≤-，解得22a -≤≤，故选择D.考点：： 偶函数性质的应用.10．设,A B 是两个集合，①A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；②{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →= ③}21|{≤≤=x x A ，}41|{≤≤=y y B ，23:-=→x y x f . 则上述对应法则f 中，能构成A 到B 的映射的个数为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【解析】试题分析：①不是映射，因为当0x =时，应对应于0y =，但集合B 中没有0，所以构成不了映射；②也不是映射，因为对于任意一个0x >的取值，都有两个函数值与之对应，不满足映射定义中的唯一性，所以构成不了映射；③满足映射的定义，当[1,2]x ∈时，按照法则23:-=→x y x f ，在集合B 中有唯一的一个元素y 与之对应，故选择C. 考点：映射的概念.二、填空题11．幂函数()f x 的图象过点，则()f x 的解析式是___________________.【答案】()f x =【解析】试题分析：设幂函数为()f x x α=，将点代入得3α=，解得12α=，所以12()f x x =，即()f x =考点：幂函数的概念 12．若函数232++=x x y 的值域是___________________. 【答案】(,2)(2,)-∞+∞.【解析】试题分析：因为2312222x y x x +==-≠++，所以函数的值域为{|y y R ∈且2}y ≠或(,2)(2,)-∞+∞考点：分式函数的值域.13．函数2()42f x x a x =++在区间(,6)-∞上递减，则实数a 的取值范围是___________________. 【答案】3a ≤-. 【解析】试题分析：222()42(2)22f x x ax x a a =++=++-的减区间为(,2)a -∞-，增区间为(2,)a -+∞，现在()f x 在区间(,6)-∞上递减，所以26a -≥，即3a ≤-.考点：二次函数的单调性.14．已知函数22 (0)() (0)x x x f x ax bx x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩为奇函数，则a b +=___________________.【答案】0【解析】试题分析：当0x >时，有0x -<，则22()()()f x x x x x -=-+-=-，因为()f x 为奇函数，所以2()()f x f x x x =--=-+，即当0x >时，有2()f x x x =-+，依题意又有2()f x ax bx =+，所以1,1a b =-=，即有0a b +=.考点：分段函数的奇偶性.15．已知函数22 1 (0)() 3 (0)ax x x f x ax x ⎧++≤=⎨->⎩有3个零点，求实数a 的取值范围是________________. 【答案】01a <<. 【解析】试题分析：因为()f x 有3个零点，这就要求当0x >，有一个零点；当0x ≤时，有两个零点.当0x >时，必须有零点30x a=>，得0a >，当0x ≤时，方程2210ax x ++=要有两个相异负实根，所以121204402010a a x x a x x a ≠⎧⎪∆=->⎪⎪⎨+=-<⎪⎪=>⎪⎩，解得01a <<，综上01a <<.考点：分段函数的图像与x 轴交点的个数.三、解答题16．（本小题满分12分）设集合}023|{2=+-=x x x A ，}0)5()1(2|{22=-+++=a x a x x B .（1）若}2{=B A ，求实数a 的值； （2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）实数a 的值1-或3-；（2）实数a 的取值范围是(,3]-∞-. 【解析】试题分析：（1）因为}2{=B A ，所以2是它们的公共元素，即2是方程222(1)(5)0x a x a +++-=的根，代入解得a 的值，这里还需检验，这一点往往会被学生忽略，是易错点，原因是刚才的解题只用了2是它们的公共元素，没有用2是它们的唯一的公共元素；（2）首先要将集合的运算结果转化为集合之间的关系，即有由A B A = ，得B A ⊆，然后分情况讨论，同样这里也有易错的地方，即易忽略B =∅的情形.试题解析：（1）化简集合{1,2}A =，∵}2{=B A ，∴2B ∈，代入B 中方程，得2430a a ++=，所以1a =-或3a =-.当1a =-时，{2,2}B =-，满足条件；当3a =-时，{2}B =，也满足条件，综上得a的值为1-或3-.6分（2）∵A B A = ，∴B A ⊆，即集合B 为集合{1,2}A =的子集.①当224(1)4(5)8(3)0a a a ∆=+--=+<，即3a <-时，B =∅满足条件； ②当8(3)0a ∆=+=，即3a =-时，{2}B =，满足要求；③当8(3)0a ∆=+>，即3a >-时，{1,2}B A ==才能满足要求，因此1和2是方程222(1)(5)0x a x a +++-=的两个根，由根与系数的关系得122(1)a +=-+且2125a ⨯=-，此时a 无解.综上a的取值范围是3a ≤-.12分考点：一元二次方程及集合的子集与交、并集.17．（本小题满分12分）已知函数2()243f x x ax =-- (03)x ≤≤.（1）当1a =时，作出函数的图象并求函数的最值（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[0,3]上是单调函数.【答案】（1）图象详见解析，min ()(1)5f x f ==-，max ()(3)3f x f ==；（2）(,0][3,)a ∈-∞+∞.【解析】 试题分析：（1）作一个具体的二次函数的图形一定要特出它的对称轴、顶点、以及与它与两坐标轴的交点，对照图象不难发现函数在区间[0,3]上的最值；（2）二次函数以对称轴为界，一边增，一边减，如果它在区间[0,3]上单调，则[0,3]一定是在对称轴的某一侧，据此可求得实数a 的取值范围.试题解析：（1）∵1a = ∴这个函数的图象是抛物线2243y x x =--介于03x ≤<之间的一段弧（如图）min ()(1)5f x f ==-，max ()(3)3f x f ==；6分（2）函数222()2432()23f x x ax x a a =--=---图象的对称轴为x a =，因为()y f x =在区间[0,3上是单调函数，则0a ≤或3a ≥，即(,0][3,a ∈-∞+∞.12分考点：二次函数的最值与单调性.18．（本小题满分12分）设集合}5312|{-≤≤+=a x a x A ，}223|{≤≤=x x B ，求能使()A AB ⊆成立的a 值的集合.【答案】{|9}a a ≤. 【解析】试题分析：首先将()A AB ⊆转化为A B ⊆，即集合A 是集合B 的子集，然后分情况讨论，不要忘记A =∅的情形. 试题解析：由()A AB ⊆，得A B ⊆，则（1）当A =∅时，满足B A ⊆，此时5312->+a a ，∴6<a 5分（2）当A ≠∅时，若B A ⊆，则21352133522a a a a +-⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≥，≤， 8分解得69a ≤≤11分综合（1）（2）使()A AB ⊆成立的a 值的集合为{|9}a a ≤ 12分考点：一次不等式及集合的子集与交集.19．（本小题满分12分）设22 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩.（1）在下列直角坐标系中画出()f x 的图象；（2）若()3f t =，求t 的值；（3）用单调性定义证明在[2,)+∞时单调递增.【答案】（1）图象详见解析；（2）t =（3）证明详见解析.【解析】 试题分析：（1）作分段函数的图象，必须在同一坐标系中作出各段的图象，并注意分割点处的是否能衔接，若不能衔接，注意虚实；（2）若充分利用作好的图象，就能很快求出满足()3f t =的t 的值，可回避讨论；（3）必须从定义出发证明单调性，步骤是：取值、作差、判断符号、对照定义下结论. 试题解析：（1）如图：（2）由函数的图象可得()3f t =，即23t =，且12t -<< ∴t = 8分（3）设122x x ≤<，则121212()()222()f x f x x x x x -=-=-12x x < 120x x ∴-< 12()()f x f x ∴<，()f x 在[2,)+∞时单调递增12分考点：分函数的图像与求值及用函数的定义证明单调性. 20．(本小题满分13分) 已知函数2()21f x x ax a =-++-. （1）若2a =，求()f x 在区间[0,3]上的最小值； （2）若()f x 在区间[0,1]上有最大值3，求实数a 的值. 【答案】（1）min ()(0)1f x f ==-；（2）2a =-或3a =. 【解析】试题分析：（1）利用数形结合的思想作出()f x 在区间[0,3]上的简图，依据图象即可判断在何处取得最小值，最小值为多少；（2）这是定区间，动对称轴问题，需对它们的关系进行讨论，分对称轴在区间的左、中、右三种情形讨论，确定实数a 的值.试题解析：（1）若2a =，则22()41(2)3f x x x x =-+-=--+函数图像开口向下，对称轴为2x =所以函数()f x 在区间[0,2]上是递增的，在区间[2,3]上是递减的，有又(0)1f =-，(3)2f =min ()(0)1f x f ∴==-3分（2）对称轴为x a =当0a ≤时，函数在()f x 在区间[0,1]上是递减函数，则max ()(0)13f x f a ==-=，即2a =-； 6分当01a <<时，函数()f x 在区间[0,]a 上是递增函数，在区间[,1]a 上是递减函数，则2max ()()13f x f a a a ==-+=，解得21a =-或，不符合；9分当1a ≥时，函数()f x 在区间[0,1]上是递增函数，则max ()(1)1213f x f a a ==-++-=， 解得3a =；12分 综上所述，2a =-或3a =13分考点：含参数的二次函数给定区间求最值.21．（本小题满分14分）已知()()()f xy f x f y =+. （1）若,x y R ∈，求(1)f ，(1)f -的值； （2）若,x y R ∈，判断()y f x =的奇偶性；（3）若函数()f x 在其定义域(0,)+∞上是增函数，(2)1f =，()(2)3f x f x +-≤，求x 的取值范围.【答案】（1）(1)0f =，(1)0f -=；（2）函数()f x 为偶函数；（3）{|24}x x <≤. 【解析】 试题分析：（1）对于抽象函数，可对其中的变量赋予特殊值或特殊关系，这里可都赋1和都赋1-；（2）可赋1y =-，即可得到偶函数；（3）解抽象不等式，一定要用好函数的单调性，但不能忽略函数的定义域，否则会犯错误.试题解析：（1）令1==y x ，则(1)(1)(1)f f f =+，所以(1)0f = 2分又令1-==y x ，则(1)(1)(1)f f f =-+-，所以(1)0f -= 3分 （2）令1-=y ，则()()(1)f x f x f -=+-，由（1）知(1)0f -=，所以()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数， 6分 （3）因为(4)(2)(2)112f f f =+=+= 7分 所以(8)(2)(4)123f f f =+=+= 8分因为()(2)3f x f x +-≤所以[(2)](8)f x x f -≤ 10分又因为()f x 在其定义域(0,)+∞上是增函数所以020(2)8x x x x >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，即0224x x x >⎧⎪>⎨⎪-≤≤⎩ 13分所以{|24}x x <≤，所以不等式的解集为{|24}x x <≤ 14分 考点：抽象函数的求值；判断抽象函数的奇偶性及解抽象函数不等式.。

重庆一中2017-2018学年高一下期期末考试数 学 试 题 卷数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{|(2)(3)0}A x x x =+-<，{1,0,1,2,3}B =-错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（A ）{0,1} （B ）{0,1,2}（C ）{1,0,1}- （D ）{1,0,1,2}-（2）设a ＝(2,)k k +，b ＝(3,1)，若a ⊥b ，则实数k 的值等于（A ）－32 （B ）－53 （C ）53 （D ）32（3）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＋a 14＝10，则S 18等于（A ）20 （B ）60 （C ）90 （D ）100（4）圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（A ）内切 （B ）相交 （C ）外切 （D ）相离（5）已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则z =3x +y 的最大值为（A ）12 （B ）11 （C ）3 （D ）－1（6）已知等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为（A ）1－14n （B ）1－12n （C ）23(1－14n )（D ）23(1－12n )（7）“m =1”是“直线20mx y +-=与直线10x my m ++-=平行”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为 （A ）15（B ）105 （C ）245（D ）945（9）现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机 抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上 的数字，差为负数的概率为（A ）13 （B ）49 （C ）59 （D ）23（10）在平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AD →BE →＝1，则AB 的长为（A ） 6 （B ）4 （C ）5 （D ）6（11）（原创）已知函数21()221,1x f x x mx m x ≤=-+-+>⎪⎩，且对于任意实数(0,1)a ∈关于x 的方程()0f x a -=都有四个不相等的实根1234x x x x ，，，，则1234+x x x x ++的取值范围是 （A ）(2,4]（B ）(,0][4,)-∞+∞ （C ）[4+∞，）（D ）(2+)∞，（12）（原创）已知集合{(,)|240}M x y x y =+-=，22{(,)|220}N x y x y mx ny =+++=，若MN φ≠，则22m n +的最小值（A ）45 （B ）34 （C ）(6－25) （D ）54第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取 名学生．（14）（原创）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若3,,c o s64a B A π===， 则b =___________．（15）已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |<6，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为__________ ．（16）（原创）点C 是线段．．AB 上任意一点，O 是直线AB 外一点，OC xOA yOB =+， 不等式22(1)(2)(2)(1)x y y x k x y +++>++对满足条件的x ，y 恒成立， 则实数k 的取值范围＿＿＿＿＿＿＿．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）已知ABC ∆的面积是3，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，4cos 5A =． (Ⅰ)求AB AC ； (Ⅱ)若2b =，求a 的值．（18）（本小题满分12分）已知圆C ：4)4()3(22=-+-y x ，直线l 过定点(1,0)A ． （Ⅰ）若l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（Ⅱ）若l 与圆C 相交于P 、Q 两点，且PQ =l 的方程．（19）（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若该校高一年级共有学生640名，试估计 该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（Ⅱ）若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数 段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学 成绩之差的绝对值不大于10的概率．（20）（本小题满分12分）已知数列{a n }满足111,n n a a a n -=-=（其中2n n N ≥∈且）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设24nn na b n =⨯，其前n 项和是T n ，求证：T n<79 ．（21）（原创）（本小题满分12分） 已知动点(,)P x y 满足方程1(0)xy x =>．（Ⅰ）求动点P到直线:20l x y +=距离的最小值；（Ⅱ）设定点(,)A a a ，若点P A ，之间的最短距离为22,求满足条件的实数a 的取值．（22）（本小题满分12分）已知函数2()ax bf x x +=为奇函数，且(1)1f =．（Ⅰ）求实数a 与b 的值；（Ⅱ）若函数1()()f x g x x-=，设{}n a 为正项数列，且当2n ≥时，2112211[()()]n n n n n n n a a g a g a a q a a ---+-⋅+⋅=⋅，（其中2016q ≥），{}n a 的前n 项和为n S ， 11ni n i iSb S +==∑，若2017n b n ≥恒成立，求q 的最小值．人：付 彦审题人：邹发明2016年重庆一中高2018级高一下期期末考试数 学 答 案 2016.7一、 选择题：1—5 DACBB 6—10 CCBDD 11—12 CA二、 填空题：15，2，925，1()4-∞，三、 解答题：（17）解：由4cos 5A =，得3sin 5A =.又1sin 302bc A =，1sin 32bc A =∴10bc = （Ⅰ）cos 8AB AC bc A ==（Ⅱ）2,5b c =∴=，2222cos a b c bc A =+-=13∴a =.（18） 解：（Ⅰ）当斜率不存在时，方程x=1满足条件； 当L 1斜率存在时，设其方程是y=k(x-1),则214k 32=+--k k ，解得43=k ， 所以所求方程是x =1和3x -4y -3=0;（Ⅱ）由题意，直线斜率存在且不为0，设其方程是y =k (x -1),则圆心到直线的距离d=14k 22+-k ，224d d -=∴=k =1或k =7， 所以所求直线方程是10x y --=或770x y --=.（19）解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544.（Ⅱ）成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在[40,50)分数段的两名同学为A 1，A 2，在[90,100]分数段内的同学为B 1，B 2，B 3，B 4.若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法有(A 1，A 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)共7种取法，所以所求概率为P ＝715.（20）解：（Ⅰ）解：121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-(1)1232n n n +=++++=（Ⅱ）证明：(1)144n nn n n n b n ++==⨯， 其前n 项和T n ＝24＋342＋…＋n ＋14n ，14T n ＝242＋343＋…＋n 4n ＋n ＋14n ＋1， ∴T n －14T n ＝24＋142＋143＋…＋14n －n ＋14n ＋1＝14＋14(1－14n )1－14－n ＋14n ＋1＝712－3n ＋73×4n ＋1， ∴T n ＝79－3n ＋79×4n <79.（21）解：（Ⅰ）2|x d +==≥当且仅当x =（Ⅱ）设点)1,(xx P (0>x ),则222222)1(2)1()1()(a x x a x x a x a x d ++-+=-+-=设t x x =+1(2≥t ),则21222-=+t xx 2)(22-+-=a a t d ,设2)()(22-+-=a a t t f (2≥t )对称轴为a t = 分两种情况:(1)2≤a 时,)(t f 在区间[)+∞,2上是单调增函数,故2=t 时,)(t f 取最小值 ∴222)2(22min =-+-=a a d ,∴0322=--a a ,∴1-=a (3=a 舍) (2)a >2时,∵)(t f 在区间[]a ,2上是单调减,在区间[)+∞,a 上是单调增, ∴a t =时,)(t f 取最小值∴222)(22min =-+-=a a a d ,∴10=a (10-=a 舍) 综上所述,1-=a 或10（22）解：（Ⅰ）因为()f x 为奇函数，22ax b ax bx x -++=-， 得0b =，又(1)1f =，得1a =（Ⅱ）由1()f x x =，得21()x g x x -=，且2112211[()()]n n n n n n n a a g a g a a q a a ---+-⋅+⋅=⋅，∴1(2)nn a q n a -=≥1(1)1n n a q S q -∴=-，∴1111n n n n S q S q ++-=- 。

江西省赣州市2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是的边上的中点，记，则向量( )A. B. C. D.2. 如果且，那么以下不等式正确的个数是 ( )①；②；③；④A. 1B. 2C. 3D. 43. 若直线与平行，则实数的值等于 ( )A. 1或B. 1C.D. 不存在4. 已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是 ( )A. B. C. 或 D.5. 在中，，则的面积等于 ( )A. B. 或 C. D. 或6. 已知等差数列的前项和为，且，数列满足，则数列的前9项和为 ( )A. 20B. 80C. 166D. 1807. 已知函数，则不等式的解集是( )A. B. C. D.8. 已知点和在直线的两侧，则直线的倾斜角的取值范围是 ( )A. B. C. D.9. 数列的前项和为( )A. B. C. D. 10. 已知直线和圆相交于两点，是坐标原点，向量满足，则实数的值是 ( )A. 2B.C. 2或D. 或11. 已知点，点在圆上，则使得点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3 12. 已知函数是定义在上的增函数，实数使得对于任都成立，则实数的取值范围是( ) A.B.C.D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 中，已知，则边上的高所在直线的方程为__________．14. 设满足约束条件，则的取值范围为__________．15. 所在平面上有一点，满足，则与的面积的比值为__________．16. 的三个内角的对边长分别为，是的外接圆半径，则下列四个条件（1）； （2）；（3）； （4）.有两个结论：甲：是等边三角形； 乙：是等腰直角三角形. 请你选出给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量.(1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量与平行，求的值.18. 已知关于的不等式的解集为.(1)求实数的值；(2)解关于的不等式：（为常数）.19. 设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆与直线相交的弦长为，求圆的方程.20. 已知的三个内角所对的边分别为，向量，且.(1)求角的大小；(2)若，求周长的取值范围.21. 已知直线的方程为，其中.(1)求证：直线恒过定点；(2)当变化时，求点到直线的距离的最大值；(3)若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.22. 已知等比数列满足，数列满足.(1)求数列，的通项公式；(2)令，求数列的前项和；(3)若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是的边上的中点，记，则向量( )A. B. C. D.【答案】D【解析】本题选择D选项.2. 如果且，那么以下不等式正确的个数是 ( )①；②；③；④A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】由题意可得：，，②正确；，③错误；,④正确；综上可得不等式正确的个数是3个。

第一章 1.1 1.1.2 1.1.3 第1课时A 级 基础巩固一、选择题1．任何一种算法都离不开的基本结构为导学号 95064050( D ) A ．逻辑结构 B ．条件结构 C ．循环结构D ．顺序结构[解析] 任何一种算法都离不开顺序结构．2．如图所示程序框图中，其中不含有的程序框是导学号 95064051( C )A ．终端框B ．输入、输出框C ．判断框D ．处理框[解析] 含有终端框，输入、输出框和处理框，不含有判断框． 3．如图所示的程序框图的运行结果是导学号 95064052( B )A ．2B ．2.5C ．3.5D ．4[解析] ∵a ＝2，b ＝4，∴S ＝a b ＋b a ＝12＋2＝2.5.二、填空题4．在如图所示的程序框图中，若输出的z 的值等于3，那么输入的x 的值为 19.导学号 95064053[解析] 当输出的z 的值为3时，z ＝y ＝3，∴y ＝9，由1x ＝9，得x ＝19，故输入的x 的值为19.5．如图是求一个数的百分之几的程序框图，则(1)处应填__n ＝n ×m __.导学号 95064054[解析] 因为程序框图的作用是求一个数的百分之几，故(1)处应填输入的数n 与百分比m 的乘积所得数，再让它赋值给n .三、解答题6．已知球的半径为1，求其表面积和体积，画出其算法的程序框图.导学号 95064055 [解析] 如图所示：7．已知x ＝10，y ＝2，画出计算w ＝5x ＋8y 值的程序框图.导学号 95064056 [解析] 算法如下：S1令x＝10，y＝2.S2计算w＝5x＋8y.S3输出w的值．其程序框图如图所示：B级素养提升一、选择题1．如图所示的程序框图中，要想使输入的值与输出的值相等，输入的a值应为导学号95064057(D)A．1 B．3C．1或3 D．0或3[解析]本题实质是解方程a＝－a2＋4a，解得a＝0或a＝3.2．阅读如图所示的程序框图，若输入的a、b、c的值分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是导学号95064058(A)A．75,21,32 B．21,32,75C．32,21,75 D．75,32,21[解析]输入21,32,75后，该程序框图的执行过程是：输入21,32,75.x＝21.a＝75.c＝32.b＝21.输出75,21,32.二、填空题3．如图所示的程序框图，输出的结果是S＝7，则输入的A值为__3__.导学号95064059[解析]该程序框图的功能是输入A，计算2A＋1的值．由2A＋1＝7，解得A＝3.4．如下图，程序框图的功能是__求五个数的和以及这五个数的平均数__. 导学号95064060[解析]该程序框图表示的算法是首先输入5个数，然后计算这5个数的和，再求这5个数的算术平均数，最后输出它们的和与平均数.三、解答题5．已知一个圆柱的底面半径为R，高为h，求圆柱的体积．设计解决该问题的一个算法，并画出相应的程序框图.导学号95064061[解析]算法如下：S1输入R，h，S2计算V＝πR2h.S3输出V.程序框图如图所示：6．已知两个单元分别存放了变量x 和y ，试变换两个变量的值，并输出x 和y ，请写出算法并画出程序框图.导学号 95064062[解析] 算法如下： S1 输入x ，y . S2 把x 的值赋给p . S3 把y 的值域给x . S4 把p 的值赋给y . S5 输出x ，y . 程序框图如下：C 级 能力拔高1．已知一个直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，写出它的外接圆和内切圆面积的算法，并画出程序框图.导学号 95064063[解析] 算法步骤如下： S1 输入a ，b . S2 计算c ＝a 2＋b 2.S3 计算r ＝12(a ＋b ＋c )，R ＝c2.S4 计算内切圆面积S 1＝πr 2，外接圆面积S 2＝πR 2. S5 输出S 1、S 2，结束． 程序框图如图．2．已知函数y＝2x＋3，若给出函数图象上任一点的横坐标x(由键盘输入)，设计一个算法，求该点到坐标原点的距离，并画出程序框图.导学号95064064[解析]算法如下：S1输入横坐标的值；S2计算y＝2x＋3；S3计算d＝x2＋y2；S4输出d.程序框图如图：。

2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。

2017-2018学年江西传媒职业学院高考数学单招试卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，]C．[，+∞）D．ϕ2．“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”是“﹣16≤a≤0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知0＜a＜1，函数f（x）=a x﹣|log a x|的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．2或3或44．设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a5．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣36．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C． D．﹣27．函数f（x）=ln（4+3x﹣x2）的单调递减区间是（）A．B．C．D．8．由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）A．2ln2 B．C．D．9．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a10．对任意的实数a、b，记．若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=l时有极小值﹣2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示．则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（）A．y=F（x）为奇函数B．y=F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）C．y=F（x）在（﹣3，0）上为增函数D．y=F（x）的最小值为﹣2且最大值为211．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f （t），则函数s=f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．12．对于函数f（x）与g（x）和区间E，如果存在x0∈E，使|f（x0）﹣g（x0）|＜1，则我们称函数f（x）与g（x）在区间E上“互相接近”．那么下列所给的两个函数在区间（0，+∞）上“互相接近”的是（）A．f（x）=x2．g（x）=2x﹣3 B．（x）=，g（x）=x+2C．f（x）=e﹣x，g（x）=﹣D．f（x）=lnx，g（x）=x二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上相应位置．13．幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）在（0，+∞）上为增函数，则m=．14．若函数f（x）=alog2x+blog3x+2，且，则f已知函数在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是．16．已知函数，若对∀x1∈[﹣1，3]，∃x2∈[0，2]，f （x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；q：不等式x2+ax+2＜0有解．若p是真，q是假，求a的取值范围．18．求抛物线y2=x与直线x﹣2y﹣3=0所围成的平面图形的面积．19．已知f（x）=x2+2（a﹣2）x+4，（1）如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（2）如果对x∈[﹣3，1]，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．20．若f（x）对一切实数x都有f（x+8）=﹣f（﹣2﹣x），且x＞3时，f（x）=x2﹣7x+4．（1）求f（x）在R上的解析式；（2）若，当x＜3时，求h（x）的单调递增区间．21．已知函数．（1）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式；（2）若b∈[﹣2，2]时，函数h（x）=f（x）+g（x）﹣（2a+b）x在（0，4）上为单调增函数，求a的取值范围．22．已知a∈R，函数，g（x）=（lnx﹣1）e x+x（其中e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．2016年江西传媒职业学院高考数学单招试卷参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，]C．[，+∞）D．ϕ【考点】交集及其运算．【分析】由题意求出集合M与集合N，然后求出M∩N．【解答】解：集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，对于，2﹣x2≥0，解得，N={x|}，则M∩N=[﹣1，+∞）∩[]=．故选B．2．“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”是“﹣16≤a≤0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；特称．【分析】“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”，等价于“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真”，故△=a2+16a≤0，由此得到﹣16≤a≤0；由﹣16≤a≤0，知△=a2+16a≤0，故“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真”，所以“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”．由此得到“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”是“﹣16≤a≤0”的充要条件．【解答】解：∵“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”，∴“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真”，∴△=a2+16a≤0，∴﹣16≤a≤0，即“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”⇒“﹣16≤a≤0”；∵﹣16≤a≤0，∴△=a2+16a≤0，∴“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真”，∴“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”，即“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”⇒“﹣16≤a≤0”．故“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”是“﹣16≤a≤0”的充要条件．故选C．3．已知0＜a＜1，函数f（x）=a x﹣|log a x|的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．2或3或4【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】函数f（x）=a x﹣|log a x|的零点个数等于函数y=a x 和函数y=|log a x|的图象的交点个数，结合图象得出结论．【解答】解：函数f（x）=a x﹣|log a x|的零点个数，等于函数y=a x 和函数y=|log a x|的图象的交点个数，如图所示：数形结合可得，函数y=a x 和函数y=|log a x|的图象的交点个数为2，故0＜a＜1时，函数f（x）=a x﹣|log a x|的零点个数为2，故选：A．4．设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】幂函数图象及其与指数的关系．【分析】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．【解答】解：∵在x＞0时是增函数∴a＞c又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b故答案选A5．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】据函数为奇函数知f（0）=0，代入函数的解析式求出b，求出f（1）的值，利用函数为奇函数，求出f（﹣1）．【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选D．6．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C． D．﹣2【考点】导数的几何意义．【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．7．函数f（x）=ln（4+3x﹣x2）的单调递减区间是（）A．B．C．D．【考点】复合函数的单调性．【分析】求出函数的定义域，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：要使函数有意义，则4+3x﹣x2＞0，即x2﹣3x﹣4＜0解得﹣1＜x＜4，设t=4+3x﹣x2，则函数在（﹣1，]上单调递增，在[，4）上单调递减．因为函数y=lnt，在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是[，4）．故选：D8．由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）A．2ln2 B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积可用定积分计算，先求出图形横坐标范围，再求定积分即可．【解答】解：如图，由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积：S=∫dx=lnx=ln2﹣ln=2ln2．故选A．9．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．【分析】根据f（x）=f（2﹣x）求出（x）的图象关于x=1对称，又当x∈（﹣∞，1）时，（x ﹣1）f′（x）＜0，x﹣1＜0，得到f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，根据增函数性质得到即可．【解答】解：由f（x）=f（2﹣x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，根据题意又知x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，所以f（3）=f（﹣1）＜f（0）＜f（），即c＜a＜b，故选B．10．对任意的实数a、b，记．若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=l时有极小值﹣2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示．则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（）A．y=F（x）为奇函数B．y=F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）C．y=F（x）在（﹣3，0）上为增函数D．y=F（x）的最小值为﹣2且最大值为2【考点】函数在某点取得极值的条件；函数奇偶性的判断．【分析】在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否．【解答】解：∵f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，∴f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}的定义域为R，f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，画出其图象如图中实线部分，由图象可知：y=F（x）的图象不关于原点对称，不为奇函数；故A不正确y=F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）；故B正确y=F（x）在（﹣3，0）上不为单调函数；故C不正确y=F（x）的没有最小值和最大值，故D不正确故选B．11．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f （t），则函数s=f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由f（t）表示位于直线l左侧阴影部分的面积，结合已知条件我们可以得到函数s=f （t）是一个分段函数，而且分为两段，分段点为t=，分析函数在两段上的数量关系，不难求出函数的解析式，根据解析式不难得到函数的图象．【解答】解：依题意得s=f（t）=，分段画出函数的图象可得图象如C所示故选C．12．对于函数f（x）与g（x）和区间E，如果存在x0∈E，使|f（x0）﹣g（x0）|＜1，则我们称函数f（x）与g（x）在区间E上“互相接近”．那么下列所给的两个函数在区间（0，+∞）上“互相接近”的是（）A．f（x）=x2．g（x）=2x﹣3 B．（x）=，g（x）=x+2C．f（x）=e﹣x，g（x）=﹣D．f（x）=lnx，g（x）=x【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．【分析】对照新定义，利用配方法、导数法可确定函数的值域，由此，就可以得出结论．【解答】解：对于A，f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2≥2，∴不存在x0∈（0，+∞），使|f（x0）﹣g（x0）|＜1，∴A不满足；对于B，，∴不存在x0∈（0，+∞），使|f（x0）﹣g（x0）|＜1，∴B不满足；对于C，h（x）=，h′（x）=＜0，∴函数在（0，+∞）上单调减，∴x→0，h（x）→1，∴存在x0∈（0，+∞），使|f（x0）﹣g（x0）|＜1，∴C满足；对于D，h（x）=g（x）﹣f（x）=x﹣lnx（x＞0），h′（x）=，令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，∴x=1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为h（1）=1，∴g（x）﹣f（x）≥1，∴不存在x0∈（0，+∞），使|f（x0）﹣g（x0）|＜1，∴D不满足；故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上相应位置．13．幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）在（0，+∞）上为增函数，则m=2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义，列出方程m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再验证函数是否为增函数即可．【解答】解：∵函数f（x）=（m2﹣m﹣1）为幂函数，且在（0，+∞）是偶函数，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1．当m=﹣1时，幂函数f（x）=x﹣1在（0，+∞）上是减函数，不满足题意，应舍去；当m=2时，幂函数f（x）=x3在（0，+∞）上是增函数，满足题意；∴实数m的值为2．故答案为：214．若函数f（x）=alog2x+blog3x+2，且，则f的值．【解答】解：由函数f（x）=alog2x+blog3x+2，得f（）=alog2+blog3+2=﹣alog2x﹣blog3x+2=4﹣（alog2x+blog3x+2），因此f（x）+f（）=4再令x=2012得f=4所以f已知函数在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是a≥0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求导函数可得（x＞0），函数在[1，+∞）上单调递增，转化为≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数可得a≥﹣2x2+，求出右边函数的最大值，即可得到结论．【解答】解：求导函数可得（x＞0）∵函数在[1，+∞）上单调递增，∴≥0在[1，+∞）上恒成立∴a≥﹣2x2+令g（x）=﹣2x2+，则g′（x）=﹣4x﹣≤0在[1，+∞）上恒成立∴函数g（x）=﹣2x2+在[1，+∞）上单调减∴x=1时，函数g（x）=﹣2x2+取得最大值0∴a≥0故答案为：a≥016．已知函数，若对∀x1∈[﹣1，3]，∃x2∈[0，2]，f （x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【分析】先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m 的取值范围．【解答】解：由题意，当x1∈[﹣1，3]时，f（x1）∈[m，9+m]；x2∈[0，2]时，g（x2）∈[﹣m，1﹣m]．∵对∀x1∈[﹣1，3]，∃x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2），∴只需m≥﹣m∴．故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；q：不等式x2+ax+2＜0有解．若p是真，q是假，求a的取值范围．【考点】的真假判断与应用；一元二次不等式的应用．【分析】由已知可得∈[2，3]，而由不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立可得a2﹣5a﹣3≥3，解不等式可求a的范围，即P的范围；由不等式x2+ax+2＜0有解，可得△=a2﹣8＞0，可求q的范围，结合p真，q假可求【解答】解：∵m∈[﹣1，1]，∴∈[2，3]．∵对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，可得a2﹣5a﹣3≥3，∴a≥6或a≤﹣1．故p为真时，a≥6或a≤﹣1．又q：不等式x2+ax+2＜0有解，∴△=a2﹣8＞0，∴a＞2或a＜﹣2．从而q为假时，﹣2≤a≤2，∴p为真，q为假时，a的取值范围为﹣2≤a≤﹣1．18．求抛物线y2=x与直线x﹣2y﹣3=0所围成的平面图形的面积．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由题设条件，需要先求出抛物线y2=2x与直线y=4﹣x的交点坐标，积分时以y作为积分变量，计算出两曲线所围成的图形的面积【解答】解：由解得，y=﹣1或3．故两个交点纵坐标分别为﹣1，3，则围成的平面图形面积．19．已知f（x）=x2+2（a﹣2）x+4，（1）如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（2）如果对x∈[﹣3，1]，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，只需开口向上和判别式恒小于零建立关系式即可；（2）对x∈[﹣3，1]，f（x）＞0恒成立，需讨论对称轴与区间[﹣3，1]的位置关系，以及端点的函数值和判别式进行建立关系式，解之即可．【解答】解：（1）∵对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，根据二次函数的图象和性质可得△=4（a﹣2）2﹣16＜0⇒0＜a＜4；（2）∵对x∈[﹣3，1]，f（x）＞0恒成立，∴讨论对称轴与区间[﹣3，1]的位置关系得或或，解得a∈ϕ或1≤a＜4或，∴a的取值范围为．20．若f（x）对一切实数x都有f（x+8）=﹣f（﹣2﹣x），且x＞3时，f（x）=x2﹣7x+4．（1）求f（x）在R上的解析式；（2）若，当x＜3时，求h（x）的单调递增区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（1）根据f（x+8）=﹣f（﹣2﹣x），可得f（x）=﹣f（6﹣x），当x=3时，f（3）=0，当x＜3时，6﹣x＞3，f（x）=﹣f（6﹣x）=﹣[（6﹣x）2﹣7（6﹣x）+4]=﹣x2+5x+2，从而可得函数的解析式；（2）当x＜3时，，求导函数可得h′（x）=，定义域为（0，3），利用导数的正负可得结论．【解答】解：（1）f（x+8）=﹣f（﹣2﹣x），∴以x+8代x可得f（x）=﹣f（6﹣x），当x=3时，f（3）=﹣f（3），∴f（3）=0当x＜3时，6﹣x＞3，∴f（x）=﹣f（6﹣x）=﹣[（6﹣x）2﹣7（6﹣x）+4]=﹣x2+5x+2，综上：（2）当x＜3时，，求导函数可得h′（x）=，定义域为（0，3）当a＜0时，h′（x）＞0恒成立，当时，由h′（x）＞0得0＜x＜2a；当时，x∈（0，3），恒有h′（x）＞0综上：当a＜0或时，h（x）的增区间为（0，3）；当时，h（x）的增区间为（0，2a）．21．已知函数．（1）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式；（2）若b∈[﹣2，2]时，函数h（x）=f（x）+g（x）﹣（2a+b）x在（0，4）上为单调增函数，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）设公共点（x0，y0），根据题意得到f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），解出b 关于a的函数关系式；（2）根据已知h（x）为单调增函数，则h′（x）≥0在（0，4）上恒成立，再转化为对x∈（0，4）恒成立，解出a的取值范围即可．【解答】解：（1）设两曲线y=f（x）与y=g（x）在公共点（x0，y0）处的切线相同，由于f′（x）=x+2a，g′（x）=，由题意知f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），即解得x0=a或x0=﹣3a （舍去），将x0=a代入上述方程组中的第一个方程，得b=﹣3a2lna，∴b关于a的函数关系式为：b=﹣3a2lna（a＞0）．（2）h（x）=f（x）+g（x）﹣（2a+b）x=．∵h（x）在（0，4）上恒为单调增函数，所以恒成立，在b∈[﹣2，2]时恒成立，即对x∈（0，4）恒成立．∴3a2≥﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1对x∈（0，4）恒成立，∴3a2≥1，∴或．综上，a的取值范围是：或．22．已知a∈R，函数，g（x）=（lnx﹣1）e x+x（其中e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值；（2）将曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直转化成方程g'（x0）=0有实数解，只需研究导函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵，∴令f'（x）=0，得x=a．①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（0，e]上单调递增，此时函数f（x）无最小值．②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，当x∈（a，e]时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增，所以当x=a时，函数f（x）取得最小值lna③若a≥e，则f'（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，所以当x=e时，函数f（x）取得最小值．．综上可知，当a≤0时，函数f（x）在区间（0，e]上无最小值；当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为lna；当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为．（2）∵g（x）=（lnx﹣1）e x+x，x∈（0，e]，∴g'（x）=（lnx﹣1）′e x+（lnx﹣1）（e x）′+1=．由（1）可知，当a=1时，．此时f（x）在区间（0，e]上的最小值为ln1=0，即．当x0∈（0，e]，，，∴．曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g'（x0）=0有实数解．而g'（x0）＞0，即方程g'（x0）=0无实数解．、故不存在x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直．2016年6月29日。