华东师大初中数学九年级上册直角三角形(基础)知识讲解(精选)

直角三角形（基础）【学习目标】1．认识直角三角形, 学会用符号和字母表示直角三角形．2．掌握直角三角形的性质定理,并能灵活的应用性质定理解答和证明相关问题.3. 掌握直角三角形的判定定理，并能灵活应用.【要点梳理】要点一、直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.要点诠释：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.要点二、直角三角形的性质定理定理1：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.定理3：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则证明：取AB中点D，连接CD则CD=BD=AD=，∵在Rt△ ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°∴∠B=60°，∴△BCD为等边三角形∴要点三、直角三角形的判定定理定理1：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.定理2：在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．证明：∵AD=CD，∴∠A=∠1．同理∠2=∠B．∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，即2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°，即：∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．【典型例题】类型一、直角三角形两锐角互余性质的应用1、（2015春•秦淮区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：CD⊥AB．【思路点拨】根据∠ACB=90°，得出∠A+∠B=90°，根据∠ACD=∠B，得出∠A+∠ACD=90°，再根据两锐角互余的三角形是直角三角形即可得出答案．【解析】证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB．【总结升华】此题考查了直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出∠A+∠B=90°．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C.类型二、含有30°角的直角三角形2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，求AB的长．【思路点拨】根据直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半，得出AB与BC 的数量关系．【答案与解析】解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=2BC=12．【总结升华】本题考查了含30°的直角三角形．含30°的直角三角形中，斜边等于30°角的对边的2倍.3、如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使∠ACB=15°．然后朝着旗杆方向前进到点D，测得∠ADB=30°，量得CD=13m，求旗杆AB的高．【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD，再根据等角对等边的性质可得AD=CD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．【答案与解析】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，∠A=30°，求△ABC的面积．【答案】类型三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、（2016•丰台区二模）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，E为BC的中点，连接DE．求证：DE=DC．【思路点拨】根据等边三角形的性质得到AC=BC，CD=AC，∠BDC=90°，根据直角三角形的性质得到DE=BC，于是得到结论．【答案与解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∵BD⊥AC于点D，∴CD=AC，∠BDC=90°，∵E为BC的中点，∴DE=BC，∴DE=DC．【总结升华】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：EC∥AB．【答案】证明：∵CD是AB边上的中线，且∠ACB=90°，∴CD=AD．∴∠CAD=∠ACD．又∵△ACE是由△ADC沿AC边所在的直线折叠而成的，∴∠ECA=∠ACD．∴∠ECA=∠CAD．∴EC∥AB．【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=AB．求证：∠B=30°．请填空完成下列证明．证明：如图，作Rt△ABC的斜边上的中线CD，则 CD=AB=AD （）．∵A C=AB，∴AC=CD=AD 即△ACD是等边三角形．∴∠A=°．∴∠B=90°﹣∠A=30°．【答案】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；60；证明：如图，作Rt△ABC的斜边上的中线CD，则CD=AB=AD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．∵AC=AB，∴AC=CD=AD 即△ACD是等边三角形．∴∠A=60°．∴∠B=90°﹣∠A=30°．故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；60．类型四、直角三角形的判定5、一个三角形，它的一个内角占内角和的，其余两个角按剩下的度数2：3来分配，这个三角形是什么三角形？【思路点拨】三角形的内角度数和是180°，用“180°×”求出三角形一个内角的度数，然后求出另两个内角度数和，进而根据三角形的分类判断三角形的类别．【答案与解析】解：180×=30°，180°﹣30°=150°，150°×=60°，150°×=90°，答：该三角形是直角三角形．【总结升华】此题考查了三角形的内角和定理，按比例分配应用题和三角形的分类的方法．举一反三：【变式】等腰三角形的一个底角与顶角度数之比是1：2，这个三角形是三角形．【答案】等腰直角；等腰三角形中，一个底角与顶角度数的比是1：2，即三个角的比为2：1：1；进而根据按比例分配知识分别求出最大角为：80°×=90°，得出该三角形为等腰直角三角形．。

华东师大版九年级数学上《解直角三角形》全章知识点精讲与练习精讲与练习【效果探求】普通地，假设锐角A 的大小确定，我们可以作出有数个以A 为一个锐角直角三形〔如图〕，那么图中：⋯===222111AC C B AC C B AC BC〔1〕当∠A 变化时，下面等式依然成立吗？ 〔2〕下面等式的值随∠A 的变化而变化吗？【新课引入】由前面的探求可以看出：假设一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。

这个比值反映了斜边相关于这角的邻边的倾斜水平，它与这个锐角的大小有着亲密的关系。

1、在直角三角形中，我们将∠A 的对边与它的邻边的比称为∠A 的正切，记作 tanA 即：ba A A A =∠∠=的邻边的对边tan同理：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。

C 1 22、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即：sinA ＝________=________.3、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。

〔你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？〕试试看____________________. 思索：你能区分说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？并填写下表：30° 45° 60° sinθcosθ tanθ【总结归结】1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键；2、特殊角的三角函数值，只需记住两个三角板的各边比值〔如图〕，严厉依照三角函数的定义，即可心算推出。

第24章 解直角三角形考点一、直角三角形的性质1. 直角三角形的两个锐角互余．可表示如下：∠C =90°⇒∠A +∠B =90°2. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．301902A BCD AB C ∠=︒⎫⇒=⎬∠=︒⎭ 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．9012ACB CD AB BD AD D AB ∠=︒⎫⇒===⎬⎭为的中点 4. 勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+．5. 摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项．22290CD AD BD ACB AC AD AB CD AB BC BD AB⎧=•∠=︒⎫⎪⇒=•⎬⎨⊥⎭⎪=•⎩ 6. 常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD =AC •BC考点二、直角三角形的判定1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形．2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．3. 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形． 考点三、锐角三角函数的概念1. 如图，在△ABC 中，∠C =90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即A a sin A c∠==的对边斜边 ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cos A ，即A b cos A c∠==的邻边斜边 ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tan A ，即A a tan A A b ∠==∠的对边的邻边 ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cot A ，即A b cot A A a∠==∠的邻边的对边 2. 锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数．3. 各锐角三角函数之间的关系〔1〕互余关系：sin A =cos(90°—A )，cos A =sin(90°—A )tan A =cot(90°—A )，cot A =tan(90°—A )〔2〕平方关系：1cos sin 22=+A A〔3〕倒数关系：tan A •cot A =1〔4〕弦切关系：tan A =A A cos sin ；cot A =cos sin A A4. 锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时，〔1〕正弦值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕〔2〕余弦值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕〔3〕正切值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕〔4〕余切值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕5. 一些特殊角的三角函数值三角函数0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 23 1 cosα 1 23 22 21 0 tanα 0 33 1 3 不存在 cotα不存在 3 1 33 01. 解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2. 解直角三角形的理论依据在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c〔1〕三边之间的关系：222c b a =+〔勾股定理〕〔2〕锐角之间的关系：∠A +∠B =90°〔3〕边角之间的关系：sin ,cos ,tan ,cot sin ,cos ,tan ,cot a b a b A A A A c cb a b a b a B B B Bc c a b========。

《解直角三角形》全章复习与巩固（基础） 知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA 、cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的三角函数值，并能由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、直角三角形的性质 （1） 直角三角形的两个锐角互余.（2） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.（3） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点二、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt △ABC 中，∠C=900，如果锐角A 确定：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cotA ＝ ∠A 的邻边∠A 的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个整体符号，即表示∠A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin ·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin ∠BAC ，而不能写出sinBAC. (3)sin 2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA 2. (4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数. 要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA 、tanA 、cotA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA 、cosA 、tanA 、cotA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围是0°＜∠A ＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0，cotA ＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB, cotA=tanB.同角三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A=1；sin cos 1tanA=,cot ,tan .cos sin cot A A A A A A A==3.30°、45°、60°角的三角函数值在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.30°、45°、60°角的三角函数值和解含30°、60°角的直角三角形、含45°角的直角三角形为本章的重中之重，是几何计算题的基本工具.要点三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即sin ,cos ,tan ,cot a bab A A A Ac c b a ==== sin ,cos ,tan ,cot b aba B B B B c c a b==== 要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边． (3)解直角三角形的常见类型及解法：求∠，，要点四、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见的应用问题类型(1) 仰角与俯角：(2)坡度：；坡角:.(3)方向角：要点诠释：1．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．2．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

解直角三角形知识解读解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的根底上，根据条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。

1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。

因此，锐角三角函数的定义本质提醒了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的根底。

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c〔以下字母同〕，那么解直角三角形的主要依据是〔1〕边角之间的关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tgA＝ctgB＝，ctgA＝tgB＝。

〔2〕两锐角之间的关系：A＋B＝90°。

〔3〕三条边之间的关系：。

以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根据条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。

2、解直角三角形的根本类型和方法我们知道，由直角三角形中的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果两个锐角能否解直角三角形呢？事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为两个元素〔至少有一个是边〕可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。

由于两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。

所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。

这样，解直角三角形就分为两大类，即一条边及一个锐角或两条边解直角三角形。

四种根本类型和解法列表如下：条件解法一边及一锐角直角边a及锐角AB＝90°－A，b＝a·ctgA，斜边c及锐角A B＝90°－A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°－A，直角边a和斜边c，B＝90°－A，例1、如图2，假设图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1，求AB的长。

解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a＝4； (2)a＝1，3b=．【答案与解析】(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°．由tanbBa=知，tan4tan6043b a B==⨯=°．由cosaBc=知，48cos cos60acB===°．(2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°． ∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=252．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin ∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt △ACE 中，CE=AC •cosC=1， ∴AE=CE=1，在Rt △ABE 中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3， ∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD 是△ABC 的中线， ∴CD=BC=2， ∴DE=CD ﹣CE=1， ∵AE ⊥BC ，DE=AE ， ∴∠ADC=45°， ∴sin ∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．（2016•盐城）已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．【答案】8或24．【解析】解：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•AD=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用高清ID号：395952关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】 （2015•河南模拟）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=，则AD 的长为多少?【答案与解析】解：作DE ⊥AB 于E ，如图， ∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC=6， ∴∠A=45°，在Rt △ADE 中，设AE=x ，则DE=x ，AD=x ， 在Rt △BED 中，tan ∠DBE==，∴BE=5x ，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==．(2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°． 又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AGAFG FG∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52， CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30°＝532，在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°， ∴ 5553(31)222AB AE BE =+=+=+≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。