最新冀教版初中数学九年级下册解题技巧专题：圆的切线中常见辅助线的作法

圆中常用辅助线的添法圆是初中数学重点内容，属中考必考内容，中考中有关圆的问题，大部分需添辅助线解之，那么圆问题中常用的辅助线有哪些呢？现就圆中常用辅助线的添法作一归纳，以期对同学们的学习有所帮助．1.作弦心距.在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.例1.如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ， 求证：PM •PN=2PO 2.分析：过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 NC=PC ，要证明PM •PN=2PO 2，即证明PM •PC =PO 2，只需证明PM •PC=PO 2，要证明PM •PC=PO 2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO.证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC= 21PN∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°.又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. ∴PO PC PM PO 即∴PO 2= PM •PC. ∴PO 2= PM •21PN ，∴PM •PN=2PO 2. 2.作直径所对的圆周角在解决有关直径的问题时，常常作直径所对的圆周角，以利用直径所对的圆周角是直角的性质。

例2 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．（1） 求证：BA ·BM=BC ·BN ；（2） 如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC=3时，求AB 的值．分析：要证BA ·BM=BC ·BN ，需证△ACB ∽△NMB ，而∠C=90°，所以需要△NMB 中有个直角，而BN 是圆O 的直径，所以连结MN 可得∠BMN=90°。

（1） 证明：连结MN ，则∠BMN=90°=∠ACB∴△ACB ∽△NMB ∴BN AB BM BC ∴AB ·BM=BC ·BN（2） 解：连结OM ，则∠OMC=90°∵N 为OC 中点∴MN=ON=OM ，∴∠MON=60°∵OM=OB ，∴∠B=21∠MON=30°∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=63、连结半径 圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“圆的切线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关，连结半径是常用的方法之一. 例3．已知：如图，△ABC 中，∠B=90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，以OB 为半径的圆切AC 于D 点，交AB 与E 点，AD=2，AE=1.求CD 的长.分析：D 为切点，连结DO ，则∠ODA=90°.根据切线长定理，有CD=CB.DO=EO=半径r ，在Rt △ADO 中根据勾股定理或Rt △ADO~ Rt △ABC ，即可求出CD.证明: 连结DO ∴OD ⊥AC 于D, ∴∠ODA =90°.B∵AB过O点, ∠B=90°. ∴BC为⊙O的切线, ∴CD=CB 设CD=CB=x,DO=EO=y在Rt△ADO中，AO2 =AD2+ DO2，AD=2，AE=1∴2222)1(yy+=+, 解得 y=23在Rt△ABC中，AC2 =AB2+ BC2，即(2+x)2=(1+ y + y)2+x2, ∴x=3 ∴CD=3.4、连结公共弦在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把“钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦.”。

圆中常有的协助线的作法1．碰到弦时（解决相关弦的问题时）经常增添弦心距，或许作垂直于弦的半径（或直径）或再连接过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径构成直角三角形，依据勾股定理求相关量。

【例1】如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。

【例2】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．2．碰到有直径时经常增添（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，获得直角或直角三角形。

【例3】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,B=3．碰到90°的圆周角时经常连接两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可获得直径。

【例4】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半径是4．碰到弦时经常连接圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连接圆周上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

【例5】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.5．碰到有切线时（1）经常增添过切点的半径（连接圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，获得直角或直角三角形。

【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?的延伸线于D，求证：AC=CD．2）经常增添连接圆上一点和切点作用：可构成弦切角，进而利用弦切角定理。

6．碰到证明某向来线是圆的切线时1）若直线和圆的公共点还未确立，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。

例7】如下图，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。

求证：直线L与⊙O相切。

（2）若直线过圆上的某一点，则连接这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。

圆中常见辅助线的作法正文：在学习圆的内容时，很多同学觉得难学，总是找不到解题的突破口。

觉得难学，很大程度是因为不会画辅助线。

辅助线，就是现有图形的基础上，添加一些线条，以便运用所学知识，化繁为简，达到解决问题的目的。

在解决几何问题的时候，当运用题目给出的条件无法解决问题时，可以通过添加辅助线，形成新图形，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这便是辅助线的作用。

一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎刃而解。

在此，对初中几何圆中常见的辅助线的添加思路从以下几个方面进行总结。

一：弦长计算，作弦心距，结合勾股定理和垂径定理。

例：如图，已知⊙O的半径为13，点O到AB的距离是5，则弦AB长是多少？分析：过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=BC=AB在Rt△AOC中，由勾股定理得AC=12.所以AB=24.二：切线的证明：1.连半径，证垂直。

例：如图， AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F．求证：EF是⊙O的切线；分析：连接OD ，先证OD∥AE，再证OD⊥EF，直线EF经过半径OD的外端点D，并与OD 垂直。

从而可以证明EF是⊙O的切线.2.作垂直，证半径例：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．求证：CD与⊙O相切；分析：过点O作OG⊥DC，垂足为G．证明△ADO≌△GDO后可以得到OA=OG．从而OG是⊙O的半径，CD经过半径OG的外端点并与半径OG垂直，根据切线的判定可以证明CD与⊙O相切。

三：有直径，作直径所对圆周角。

例：如图，是的外接圆⊙O的直径，若，则．分析：连接，如图，因为AD为的外接圆⊙O的直径，所以∠ABD＝90°,从而可得∠ACB＝∠D＝50°四.弧有中点，连中点圆心，结合垂径定理。

例：如图，在扇形中，已知，，过弧AB的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（）分析：连接OC,因为点C为弧AB的中点，所以∠AOC＝∠BOC,从而可以证明△CDO≌△CEO,于是四边形CDOE为正方形，面积等于1，由扇形面积公式得，故选B。

几何证明一般都离不开作辅助线，能否迅速、准确地作出所需的辅助线，往往成为成败的关键。

本文就圆中常见辅助线的作法归纳如下，供参考。

一、作弦心距证明圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的在于利用垂径定理来沟通弦、弦、弦心距之间的关系，或构造半径、弦心距、弦为边的直角三角形。

例1：求证：经过相交两圆的一个交点的那些直线，被两圆所截得的线段中，平行于连心线的那一条线段最长。

分析：如图1，PQ ∥OO′，要证明PQ 最长，只须证明PQ 大于过A 点的任意一条不平行于OO ′的割线P′Q′，这是证明与圆的弦有关的问题，因此过O 、O′分别作PQ 、P′Q′的垂线，垂足分别为C 、D ；C′、D′。

由垂径定理知AC= AP 、AD= AQ ，所以CD=PQ 。

同理C′D′= P′Q′，又OO′=CD ，于是问题转化为证明OO′> C′D′，而OO′D′C′为直角梯形，显然有OO′> C′D′。

从而问题可证。

图1二、作过切点的半径或弦当所证问题含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径或弦，利用该半径与切线垂直或弦切角定理来沟通题设与结论之间的联系。

例2：已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥MN ，BD ⊥MN ，MN 切⊙O 于K ，求证：（1）AC+BD=AB（2）BK2=AB·BD分析：（1）AC 、BD 为直角梯形的上、下底边，其和必与梯形的中位线有关，由MN切⊙O 于K ，想到需连结OK ，则OK 为梯形的中位线且OK= （AC+BD ），而AB=2OK ，所以有AC+BD=AB 。

（2）要证BK =AB·BD ，即AB ：BK=BK ：BD ，所以需连结AK ，由弦切角定理知∠KAB=∠BKD ，又∠AKB=∠KDB=90°，所以△AKB ∽△KDB，故问题可以获证。

图2 三、过已知点作圆的切线过已知点作圆的切线是圆中常作的辅助线之一，其目的在于利用切线的性质来沟通题中各元素间的联系。

小专题（五）圆中常见辅助线的作法圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站．圆上若有一切线，切点圆心半径连．要想证明是切线，半径垂线仔细辨．是直径，成半圆，想成直角径连弦．弧有中点圆心连，垂径定理要记全．圆周角边两条弦，直径和弦端点连．还要作个内切圆，内角平分线梦圆．三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算．一、连半径——构造等腰三角形1．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD.求证：△OCD是等腰三角形．二、半径与弦长计算，弦心距来中间站方法归纳：在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个．2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，求排水管内水的深度．三、见到直径——构造直径所对的圆周角方法归纳：构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质．3．如图，AB为⊙O的直径，弦C D与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径方法归纳：已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F.切点为G，连接AG交CD于点K.求证：KE＝GE.五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切方法归纳：证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．5．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.求证：AP是⊙O的切线．6．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．六、内切圆，连接内角平分线把梦圆方法归纳：利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换．7．如图，△ABC 中，E 是内心，AE 延长线交△ABC 的外接圆于点D.求证：DE ＝DB.七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积方法归纳：通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化．8．如图，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA，连接AC ，求阴影部分的面积．参考答案1．证明：连接OA ，OB.∵OA ，OB 是⊙O 的半径，∴OA ＝OB.∴∠OAB ＝∠OBA.∴∠OAC＝∠OBD.在△AOC 和△BOD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，∠OAC ＝∠OBD，AC ＝BD ，∴△AOC ≌△BOD(SAS)．∴OC ＝OD ，即△OCD 是等腰三角形．2．过O 点作OC⊥AB，点C 为垂足，交⊙O 于点D ，E ，连接OA.OA ＝0.5 m ，AB ＝0.8 m ．∵OC ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝0.4 m ．在Rt △AOC 中，OA 2＝AC 2＋OC 2，∴OC ＝0.3 m ，则CE ＝0.3＋0.5＝0.8(m)．3．连接BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ADC＝50°，∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝40°.∵∠CDB与∠CAB是同弧所对的圆周角，∴∠CDB＝∠CAB＝40°.∴∠CEB＝∠CAB＋∠ACD＝40°＋60°＝100°.4．证明：连接OG.∵FE切⊙O于点G，∴∠OGE＝90°，∠OGA＋∠AGE＝90°.∵CD⊥AB，∴∠OAK＋∠AKH＝90°.又∵∠AKH＝∠GKE，∴∠OAK＋∠GKE＝90°.∵OG＝OA，∴∠OGA＝∠OAG.∴∠KGE＝∠GKE.∴KE＝GE.5．证明：连接OA.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠ACP＝∠CAO＝30°.∴∠AOP＝60°.又∵AC＝AP，∴∠P＝∠ACP＝30°.∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP.∴AP是⊙O的切线．6．证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于点E，则∠OEC＝90°.∵AB切⊙O于点D，∴OD⊥AB.∴∠ODB＝90°.∴∠ODB＝∠OEC.又∵O是BC的中点，∴OB＝OC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴△OBD≌△OCE(AAS)．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．∴AC与⊙O相切．7．证明：连接BE.∵E为△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC.∵∠DEB＝∠ABE＋∠BAD，∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，而∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠DBE，∴DE＝DB.8．连接OB，OC.∵BC∥OA，∴△OBC 和△ABC 同底等高． ∴S △ABC ＝S △OBC .∴S 阴影＝S 扇形OBC .∵AB 是⊙O 的切线， ∴OB ⊥AB.∵OA ＝4，OB ＝2， ∴∠AOB ＝60°.∵BC ∥OA ，∴∠AOB ＝∠OBC＝60°. ∵OB ＝OC ，∴△OBC 为正三角形． ∴∠OCB＝60°.∴S 阴影＝S 扇形OBC ＝60π×22360＝2π3.。

..圆中常有的辅助线的作法1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常增加弦心距，也许作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径构成直角三角形，依据勾股定理求有关量。

【例 1】如图，已知△ABC内接于⊙ O，∠ A=45°， BC=2，求⊙ O的面积。

AOB C【例 2】如图，⊙O的直径为10，弦 AB＝ 8，P 是弦 AB上一个动点，那么 OP的长的取值范围是 _________．2．遇到有直径时常常增加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，获取直角或直角三角形。

C【例 3】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,A BO∠ B=3．遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可获取直径。

【例 4】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙ O的半径是AC BO4．遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

【例 5】如图，弦AB的长等于⊙ O的半径，点 C在弧 AMB上，则∠ C的度数是 ________.5．遇到有切线时（ 1）常常增加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥ AB，获取直角或直角三角形。

【例 6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与 AB成 30°角， CD与⊙ O切于 C，交 AB?的延长线于D，求证： AC=CD．（2）常常增加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

6．遇到证明某向来线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确立，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。

【例 7】以下列图，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算;弦心距来中间站..圆上若有一切线;切点圆心半径连..要想证明是切线;半径垂线仔细辨..是直径;成半圆;想成直角径连弦..弧有中点圆心连;垂径定理要记全..圆周角边两条弦;直径和弦端点连..要想作个外接圆;各边作出中垂线..还要作个内切圆;内角平分线梦园..如果遇到相交圆;不要忘作公共弦..若是添上连心线;切点肯定在上面..二：圆中常见辅助线的添加：1、遇到弦时解决有关弦的问题时1、常常添加弦心距;或者作垂直于弦的半径或直径或再连结过弦的端点的半径..作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形;根据勾股定理求有关量..2、常常连结圆心和弦的两个端点;构成等腰三角形;还可连结圆周上一点和弦的两个端点..作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角..2、遇到有直径时常常添加画直径所对的圆周角..作用：利用圆周角的性质;得到直角或直角三角形3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点..作用：利用圆周角的性质;可得到直径..4、遇到有切线时1常常添加过切点的半径见切点连半径得垂直作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB;得到直角或直角三角形..5、遇到证明某一直线是圆的切线时1若直线和圆的公共点还未确定;则常过圆心作直线的垂线段;再证垂足到圆心的距离等于半径..2若直线过圆上的某一点;则连结这点和圆心即作半径;再证其与直线垂直..6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点;或过内心作三角形各边的垂线段..作用：利用内心的性质;可得：1内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 2内心到三角形三条边的距离相等7、遇到三角形的外接圆时;连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等..例题1、如图;已知△ABC内接于⊙O;∠A=45°;BC=2;求⊙O的面积..例题2、如图;弦AB的长等于⊙O的半径;点C在弧AMB上;则∠C的度数是________.例题3、如图;AB是⊙O的直径;AB=4;弦BC=2;∠B=例题4、如图;AB、AC是⊙O的的两条弦;∠BAC=90°;AB=6;AC=8;⊙O的半径是例题5、如图所示;已知AB是⊙O的直径;AC⊥L于C;BD⊥L于D;且AC+BD=AB..求证：直线L与⊙O相切..例题6、如图;P是⊙O外一点;PA、PB分别和⊙O切于A、B;C是弧AB上任意一点;过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E;若△PDE的周长为12;则PA长为______________例题7、如图;△ABC中;∠A=45°;I是内心;则∠BIC=例题8、如图;Rt△ABC中;AC=8;BC=6;∠C=90°;⊙I分别切AC;BC;AB于D;E;F;求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．课后练习1、已知：P是⊙O外一点;PB;PD分别交⊙O于A、B和C、D且AB=CD.求证：PO平分∠BPD．2、如图;ΔABC中;∠C=90°;圆O分别与AC、BC相切于M、N;点O在AB 上;如果AO=15㎝;BO=10㎝;求圆O的半径.3、已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点;BC切⊙O于E点.求证：AD 也和⊙O相切.4、如图;学校A附近有一公路MN;一拖拉机从P点出发向PN方向行驶;已知∠NPA=30°;AP=160米;假使拖拉机行使时;A周围100米以内受到噪音影响;问：当拖拉机向PN方向行驶时;学校是否会受到噪音影响请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时;则受噪音影响的时间是多少秒总结:弦心距、半径、直径是圆中常见的辅助线..圆中辅助线添加的常用方法圆是初中几何中比较重要的内容之一;与圆有关的问题;汇集了初中几何的各种图形概念和性质;其知识面广;综合性强;随着新课程的实施;园的考察主要以填空题;选择题的形式出现;不会有比较繁杂的证明题;取而代之的是简单的计算..圆中常见的辅助线有：1作半径;利用同圆或等圆的半径相等； 2涉及弦的问题时;常作垂直于弦的直径弦心距;利用垂径定理进行计算和推理； 3作半径和弦心距;构造直角三角形利用勾股定理进行计算； 4 作直径构造直径所对的圆周角； 5 构造同弧或等弧所对的圆周角； 6遇到三角形的外心时;常连接外心与三角形的各个顶点； 7 已知圆的切线时;常连接圆心和切点半径； 8 证明直线和园相切时;有两种情况：1已知直线与圆有公共点时;连接圆心与公共点;证此半径与已知直线垂直 ;简称“有点连线证垂直;”2已知直线与圆无公共点时;过圆心作已知直线的垂线段;证它与半径相等;简称“无点做线证相等”此外;两解问题是圆中经常出现的问题;涉及弧;弦;与圆有关的角;点与圆;直线与圆;圆与圆的位置关系等知识;着重考察思维的完备性和严谨性;应特别引起重视。

专训2圆中常用的作辅助线的八种方法名师点金：在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等．作半径，巧用同圆的半径相等1．如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为4 cm，求该半圆的半径．(第1题)连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足为H.求证：AP＝BH.(第2题)作直径，巧用直径所对的圆周角是直角3．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．(第3题)证切线时辅助线作法的应用4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD 与⊙O的位置关系，并说明理由．(第4题)遇弦加弦心距或半径5．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为()A．3 B．4 C．3 2 D．4 2(第5题)(第6题)6．【中考·贵港】如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB ＝23，OH＝1，则∠APB＝________.遇直径巧加直径所对的圆周角7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形．(2)求DE的长．(第7题)遇切线巧作过切点的半径8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)已知PA＝3，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．(第8题)巧添辅助线计算阴影部分的面积9．【中考·自贡】如图，点B ，C ，D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 的延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB ＝∠OBD ＝30°，DB ＝6 3 cm .(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)求由弦CD ，BD 与BC ︵所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．【导学号：89274011】(第9题)答案1．解：如图，连接OA，OF.设OA＝OF＝r cm，AB＝a cm.(第1题)在Rt △OAB 中，r 2＝⎝⎛⎭⎫a 22＋a 2， 在Rt △OEF 中，r 2＝42＋⎝⎛⎭⎫4＋a 22， ∴a 24＋a 2＝16＋16＋4a ＋a 24. 解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)．∴r 2＝⎝⎛⎭⎫822＋82＝80.∴r 1＝45，r 2＝－45(舍去)．即该半圆的半径为4 5 cm .点拨：在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题．2．证明：如图，连接AD ，BD.∵∠DAC ，∠DBC 都是DC ︵所对的圆周角．∴∠DAC ＝∠DBC.∵CD 平分∠ACM ，DP ⊥AC ，DH ⊥CM ，∴DP ＝DH.在△ADP 和△BDH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAP ＝∠DBH ，∠DPA ＝∠DHB ＝90°，DP ＝DH.∴△ADP ≌△BDH.∴AP ＝BH.点拨：本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC ＝∠DBC ，为证两三角形全等创造了条件．(第2题)3．(1)证明：如图，过点D 作⊙O 的直径DE ，连接AE ，EC ，AC.(第3题)∵DE 是⊙O 的直径，∴∠ECD ＝∠EAD ＝90°.又∵CD ⊥AB ，∴EC ∥AB.∴∠BAC ＝∠ACE.∴BC ︵＝AE ︵.∴BC ＝AE.在Rt △AED 中，AD 2＋AE 2＝DE 2，∴AD 2＋BC 2＝4R 2.(2)解：如图，过点O 作OF ⊥AD 于点F.∵弦AD ，BC 的长是方程x 2－6x ＋5＝0的两个根(AD>BC)，∴AD＝5，BC＝1.由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，∴52＋12＝4R2.∴R＝26 2.∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，∴OF∥EA.又∵O为DE的中点，∴OF＝12AE＝12BC＝12，即点O到AD的距离为12.点拨：本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便．4．解：CD与⊙O相切，理由如下：如图，作⊙O的直径CE，连接AE.(第4题) ∵CE是⊙O的直径，∴∠EAC＝90°.∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∴∠B＝∠ACD.又∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E.∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.又∵OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．5．C 6.60°(第7题)7．(1)证明：如图，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵点D 是BC 的中点，∴AD 是线段BC 的垂直平分线．∴AB ＝AC.又∵AB ＝BC ，∴AB ＝BC ＝AC.∴△ABC 为等边三角形．(2)解：如图，连接BE.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.∴BE ⊥AC.∵△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，即E 为AC 的中点．又∵D 是BC 的中点，故DE 为△ABC 的中位线．∴DE ＝12AB ＝12×2＝1. 8．(1)证明：如图，连接OB ，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA.∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA.∴∠OAB ＋∠PAB ＝∠OBA ＋∠PBA ，即∠PAO ＝∠PBO.又∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO ＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．(第8题) (2)解：如图，连接OP，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．∴OP为线段AB的垂直平分线．又∵BC⊥AB，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.由(1)知∠PAO＝90°.∴∠APO＝30°.∴PO＝2AO.∵在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，∴AO2＋3＝(2AO)2.又∵AO＞0，∴AO＝1.∴⊙O的半径为1.9．(1)证明：如图，连接CO，交DB于点E，∴∠O＝2∠CDB＝60°. 又∵∠OBE＝30°，∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°，即OC⊥AC.又∵点C在⊙O上，∴AC 是⊙O 的切线．(2)解：∵OE ⊥DB ，∴EB ＝12DB ＝3 3 cm . 在Rt △EOB 中，∵∠OBE ＝30°，∴OE ＝12OB. ∵EB ＝3 3 cm ，∴由勾股定理可求得OB ＝6 cm .∵∠CDB ＝∠DBO ，DE ＝BE ，∠CED ＝∠OEB ， ∴△CDE ≌△OBE.∴S △CDE ＝S △OBE .∴S 阴影＝S 扇形OCB ＝60360π·62＝6π(cm 2)．(第9题)。