九年级数学上册第3章学习“圆的切线”三步曲(青岛版)

3.4直线与圆的位置关系（4）教学目标【知识与能力】了解切线长的概念.【过程与方法】经历探索切线长性质的过程，并运用这个性质解决问题【情感态度价值观】进一步提高学生的归纳和作图的能力.教学重难点【教学重点】掌握切线长的性质.【教学难点】通过探索切线长的性质，提高逻辑推理能力.课前准备无教学过程复习引入经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？1．点在圆内；2．点在圆上；3．点在圆外．实践探索一：切线长的概念1．在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．2．让学生说说：切线与切线长的区别与联系．实践探索二：切线长的性质操作探究：1．如图，若从⊙O外的一点引两条切线PA、PB，切点分别是A、B，连接OA、OB、O P，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论．2．请你思考一下：切线长有哪些性质？试用文字语言叙述你所发现的结论．例题讲解例1 如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 、AC 分别与小圆相切于点D 、E ．AB 与AC 相等吗？为什么？拓展：如果AB 、AC 是任意两条与小圆相切的弦，那么AB 与AC 相等吗？例2 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为Ｃ，交PA 、PB 于点E 、F ．①已知PA ＝12cm ，求△PEF 的周长；②已知∠P ＝40°，求∠EOF 的度数．练一练1．如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，切点分别为P 、C 、D ．如果AB ＝5，AC ＝3．则BD 的长为．2．如图，P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点C ，PC ＝OC ，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ．如果⊙O 的半径为5，则切线长为，两条切线的夹角为°．F E O P CB A3．如图，如图AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q，则∠POQ的度数为____°；若AP ＝2，BQ＝5，则⊙O的半径为．拓展提升如图，△ABC中，∠C＝90º ，且AC＝6，BC＝8，它的内切圆O分与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，求⊙O的半径r．总结1．这节课你有哪些收获和困惑？2．切线与切线长的区别与联系？FEODCBA。

《切线的性质》（第3课时）教案探究版一、教学目标知识与技能1．理解并掌握切线的性质定理．2．能熟练地运用切线的性质定理解决问题．过程与方法经历探索切线性质的过程，让学生进一步了解和体会说理的基本方法，发展学生的主动探究意识．情感、态度通过学习切线的性质定理，激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生勇于创新的精神．二、教学重点、难点重点：理解并掌握切线的性质定理．难点：切线的性质定理和判定定理的综合应用．三、教学过程设计（一）复习引入上节课我们学习了切线的判定定理和判定直线是圆的切线的3种常用方法，请同学们回忆一下它们的内容分别是什么？师生活动：教师出示问题，学生思考并回答问题．答：切线的判定定理的内容是：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线．判定直线是圆的切线的3种常用方法是：（1）利用定义；（2）判定圆心到直线的距离等于圆的半径；（3）利用切线的判定定理．如果已知一条直线是圆的切线，那么又能得出什么呢？这节课我们就来探究这个问题．设计意图：通过简单回顾上节课所学的知识，引出本节课所学内容．（二）探究新知你能说出切线的判定定理的逆命题吗？这个逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，你能给出证明吗？师生活动：教师出示问题，让学生写出切线判定定理的逆命题并讨论证明方法，教师引导：在不好直接证明的情况下，可以考虑用反证法来证明．答：切线判定定理的逆命题是：圆的切线垂直于经过切点的半径．已知：如图，直线l 与⊙O 相切于点A ．求证：OA ⊥l ．证明：如图，假设l 与半径OA 不垂直．过点O 作OB ⊥直线l ，垂足为点B ．在l 上取BA'=BA ，且使B 点在A 与A'之间，连接OA'．于是OB 垂直平分AA'，OA =OA'． ∵点A 是切点，OA 是⊙O 的半径， ∴OA'也是⊙O 的半径．这就是说，直线l 与⊙O 有两个公共点，即l 与⊙O 相交，这与已知条件“直线l 与⊙O 相切于点A ”矛盾，所以OA ⊥l ．由此得到切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．设计意图：通过探究，让学生经历圆的切线的性质定理的探索过程，培养学生的互助、协作精神，进一步理解圆的切线的性质定理．（三）例题精讲例1 A ，B ，C 是⊙O 上的三点，经过点A ，点B 分别作⊙O 的切线，两切线相交于点P ，如果∠P =42°，求∠ACB 的度数．师生活动：教师出示例题，让学生先画出图形，然后尝试完成本题，教师引导学生分情况讨论并完成本题．解：（1）如图，当点C 在︵AmB 上时，连接OA ，OB ． ∵P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，∴∠OAP =∠OBP =90°．在四边形OAPB 中，∵∠P =42°，∴∠AOB =360°-∠OAP -∠OBP -∠P =360°-90°-90°-42°=138°． ∴∠ACB =12∠AOB =12×138°=69°．（2）如图，当点C 在劣弧︵AB 上时，在优弧︵AmB 上任取一点C'，连接AC'，BC'．由（1）知，∠AC'B =69°，在圆内接四边形ACBC'中，∵∠ACB +∠AC'B =180°， ∴∠ACB =180°-∠AC'B =180°-69°=111°．总结 在解决有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径．因为切点A ，B 把⊙O 分成了一条优弧和一条劣弧，所以本题分了两种情况来讨论．设计意图：让学生体会分类讨论思想在解题中的应用，培养学生的逻辑思维能力和应用新知解决问题的能力．例2 如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 平分∠BAC ，过点D 的切线交AC 于点E ．DE 与AC 有怎样的位置关系？为什么？PP师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析：由于切线过⊙O 上的点D ，因此，可以考虑连接OD ，应用圆的切线的性质定理，又由于AD 平分∠BAC ，可以考虑应用平行线的性质来解决问题．解：DE 与AC 互相垂直．如图，连接OD ．∵OD =OA ，∴∠ODA =∠OAD ．又∵弦AD 平分∠BAC ，∴∠OAD =∠CAD ． ∴∠ODA =∠CAD ．∴OD ∥AC ．∵DE 是⊙O 的切线，∴DE ⊥OD （圆的切线垂直于经过切点的半径），即∠ODE =90°．于是，∠DEA =90°，即DE ⊥AC ．设计意图：让学生应用切线的性质定理来解决问题． （四）挑战自我如图，AB 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点P ，点Q 是AC 的中点．求证：PQ 是⊙O 的切线． 参考答案证明：如下图所示，连接OP ，AP ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB =90°．∴∠APC =90°．∵点Q 是AC 的中点，∴AQ =PQ ．∴∠APQ =∠P AQ ．∵OA =OP ，CB∴∠OP A =∠OAP ．∵AC 是⊙O 的切线，∴∠BAC =90°．∴∠OAP +∠P AQ =90°．∴∠OP A +∠APQ =90°，即∠OPQ =90°．∴PQ 是⊙O 的切线． 设计意图：通过本环节让教师查看学生对刚刚学过的知识的掌握情况． （五）课堂练习1．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，直线BE 切⊙O 于点B ．求证：∠A =∠CBE ．2．如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长线交过点B 的⊙O 的切线于C ，如果∠A =20°，求∠C 的度数．师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题． 参考答案1．解：∵AB 为直径，∴∠ACB =90°．∴∠A +∠ABC =90°．又∵BE 是⊙O 的切线，∴∠ABC +∠CBE =∠ABE =90°．∴∠A =∠CBE ． 2．解：连接OB ．∵∠A =20°，∴∠BOC =2∠A =40°． ∵CB 切⊙O 于点B ，∴BC ⊥OB ．∴∠OBC =90°．∴∠C =90°-∠BOC =90°-40°=50°． 设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． （六）课堂小结 这节课我们主要学习了：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．注意：在解决有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径，然后利用切线的性质ACA定理解决问题．师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容． 四、课堂检测设计1．下列说法中正确的是（ ）．A ．垂直于半径的直线是圆的切线B ．圆的切线垂直于半径C ．经过半径外端的直线是圆的切线D ．圆的切线垂直于过切点的半径 2．如图，△ABC 的边AC 与⊙O 相交于C ，D 两点，且经过圆心O ，边AB 与⊙O 相切，切点为B ．若∠A =30°，则∠C 的大小是（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．40°3．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 与⊙O 交于点C ．若∠BAO =40°，则∠OCB 的度数为___________．4．如图，⊙M 与x 轴相交于点A (2，0)，B (10，0)，与y 轴相切于点C ，则圆心M 的坐标是_______．5．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，AC 交⊙O 于点E ，D 为AC 上一点，∠AOD =∠C ．A（1）求证：OD ⊥AC ； （2）若AE =8，tan A =34，求OD 的长． 参考答案1．D ．2．A ．3．65°．4．（6，．5．（1）证明：∵BC 为⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴∠ABC =90°，∠A +∠C =90°．又∵∠AOD =∠C ， ∴∠AOD +∠A =90°．∴∠ADO =90°，即OD ⊥AC ． （2）解：∵OD ⊥AE ，O 为圆心， ∴D 为AE 的中点．∴AD =12AE =4． 又∵tan A =34，∴OD =3．。