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4.不含任何元素的集合叫做 空集 ，记作 ∅ . 5. 空集 是任何集合的子集，空集 是任何非空集 合的真子集．
对点讲练
知识点一 写出给定集合的子集 例 1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其 中哪些是它的真子集； (2)填写下表，并回答问题. 原集合 ∅ {a} { a，b} { a，b，c} 子集 子集的个数
(2) 子集的 原集合 子集 个数 1 ∅ ∅ { a} 2 ∅，{ a} 4 { a，b} ∅，{ a}，{b}，{a，b} ∅，{ a}，{b}，{c}， { a，b }，{ a, c},{b,c} 8 { a，b，c} { a，b,c } 这样，含 n 个元素的集合{ a1 ,a2，…，an}的所 有子集的个数是 2n，真子集的个数是 2n－1， 非空真子集的个数是 2n－2.
解析
a −1 ≤ 3 ∵A⊇B，∴
a + 2 ≥ 5
∴3≤a≤4.
3．设 B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则 A 与 B 的关 系是 ( D ) B．B⊆A A．A⊆B C．A∈B D．B∈A
解析 ∵B的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅， ∴A＝{x|x⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}， ⊆ ∅ ∴B∈A.
知识点三
集合相等关系的应用
例 3 已知集合 A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2} 且 A＝B，求 x，y 的值．
解 方法一 ∵A＝B
∴集合 A 与集合 B 中的元素相同 x＝2x x＝y2 ∴ ， 2 或 y＝y y＝2x
1 x＝0 x＝0 x＝4 解得 x，y 的值为 或 或 y＝0 y＝1 y＝1 2 验证得，当 x＝0，y＝0 时， A＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛 盾,舍去． 1 x＝0， x＝4， ∴x，y 的取值为 或 y＝1， y＝1. 2
变式迁移 2 已知 A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx ＝1}，若 B⊆ A，求实数 m 所构成的集合 M.
解 由 x2－5x＋6＝0 得 x＝2 或 x＝3. ∴A＝{2,3} 由 B ⊆ 知 B＝∅或 B＝{2}或 B＝{3} A 若 B＝∅，则 m＝0； 1 若 B＝{2}，则 m＝2； 1 若 B＝{3}，则 m＝3. 1 1 ∴M＝0，2，3.
二、填空题 6 ． 设 x ， y∈R ， A ＝ {(x ， y)|y ＝ x} ， B ＝
y (x，y)| ＝1 x
， 则 A 、 B 的 关 系 为
⊆ BA ____________． 解析
A、B都为点集，点(0,0)∈A，但点 (0,0) ∉B.
7． M＝{x|x2－1＝0}， 设 N＝{x| ax－1＝0}， N⊆M， 若
课时作业
一、选择题 1．下列命题 ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若∅A 时，则 A≠∅. 其中正确的个数是 A．0 B．1 C．2 ( B ) D．3
是正确的． 解析 仅④是正确的．
2．已知集合 A＝{x| a －1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}， 则能使 A⊇B 成立的实数 a 的取值范围是 ( B ) A．{ a |3< a≤4} B．{ a|3≤a ≤4} C．{ a|3< a <4} D．∅
2.如果集合 A 是集合 B 的子集(A⊆B)，且
集合B是集合A的子集(B⊆A) ，此时，集合 A 与
集合 B 中的元素是一样的，因此集合 A 与集 合 B 相等，记作 A＝B . 3.如果集合 A⊆B，但存在元素 x∈B，且 x∉A， 我们称集合 A 是集合 B 的 真子集 ，记作
⊆ A B ⊆ (或 B A)．
解得－1≤m<2， 综上得 m≥－1. (2)显然 A≠∅，又 A⊆B，∴B≠∅， 如图所示，
2 m − 1 < m = 1 ∴ 2m − 1 < −3 ，解得 m∈∅. m + 1 > 4
规律方法 (1)分析集合关系时，首先要分析 简化每个集合． (2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各 个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验 证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表 示，不含“=”用空心点表示． (3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱” ，尤其 是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非 空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．
知识点二 集合基本关系的应用 例 2 (1)已知集合 A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m －1<x<m＋1}，且 B⊆A.求实数 m 的取值范 围；(2)本例(1)中，若将“B⊆A”改为“A⊆ B”，其他条件不变，则实数 m 的取值范围 是什么？
解 (1)∵B⊆A， ①当 B＝∅时， m＋1≤2m－1， 解得 m≥2. －3≤2m－1 ②当 B≠∅时，有m＋1≤4 2m－1<m＋1 ，
10．已知集合 A＝{x|－2k＋3<x<k－2}，B＝{x| －k<x<k}，若 A⊆ B，求实数 k 的取值范围．
解
∵AB，①若 A＝∅，且 B≠∅， ⊆ 5 则 k>0，且－2k＋3≥k－2⇒0<k≤3； k>0 －2k＋3<k－2 ②若 A≠∅，且 B≠∅，则 －k≤－2k＋3 k≥k－2 且－k＝－2k＋3 与 k＝k－2 不同时成立， 5 解得3<k≤3. 由①②可得实数 k 的取值范围为{k|0<k≤3}．
1．1.2
集合间的基本关系 自主学案
学习目标 了解子集、 真子集、 空集的概念， 掌握用 Venn 图表示集合的方法，通过子集理解两集合相 等的意义． 自学导引 1．一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中 任意一个 元素都是集合 B 中的元素， 我们 就说这两个集合有包含关系， 称集合 A 为集 合 B 的子集， 记作 A⊆B (或 B⊇A )， 读作 “ A含于B ”(或“ B包含A ”)．
规律方法
(1)分类讨论是写出所有子集的有效
方法， 一般按集合中元素个数的多少来划分， 遵 循由少到多的原则，做到不重不漏．(2)集合 A 中有 n 个元素，则集合 A 有 2n 个子集，有(2n－ 1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空 真子集．
变 式 迁 移 1 已 知 集 合 M 满 足 {1,2} ⊆ M ⊆ {1,2,3,4,5}，写出集合 M. 解 由已知条件知所求 M 为：{1,2}，{1,2,3}， {1,2,4}， {1,2,5}， {1,2,3,4}， {1,2,3,5}， {1,2,4,5}， {1,2,3,4,5}．
方法二
∵A＝B，∴A、B 中元素分别对应相同． x＋y＝2x＋y2， ∴ x·y＝2x·y2，
① ② ∵集合中元素互异，∴x、y 不能同时为 0. 1 ∴y≠0.由②得 x＝0 或 y＝2. 当 x＝0 时，由①知 y＝1 或 y＝0(舍去)； 1 1 当 y＝2时，由①得 x＝4. 1 x＝0， x＝4， ∴ 或 y＝1， y＝1. 2
x＋y(y－1)＝0， 即 xy(2y－1)＝0.
集合相等则元素相同， 规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中 元素的互异性，防止错解． 元素的互异性，防止错解．
变式迁移 3 含有三个实数的集合可表示为
b {a， ，}，也可表示为{ a2， a＋b,0}，求 a，b. 1 a b 1 解 由集合相等得：0∈ {a， ，} ，易知 a≠0， 0 0 a b ∴ ＝0，即 b＝0，∴ a2＝1 且 a2≠a，∴ a＝－1. a
1 n 11．已知集合 M＝{x|x＝m＋6，m∈Z}，N＝{x|x＝2 1 p 1 －3，n∈Z}，P＝{x|x＝2＋6，p∈Z}，请探求集 合 M、N、P 之间的关系．
1 解 M＝{x|x＝m＋6，m∈Z} 6m＋1 ＝{x|x＝ 6 ，m∈Z}． n 1 N＝{x|x＝2－3，n∈N} 3n－2 ＝{x|x＝ 6 ，n∈Z}． p 1 P＝{x|x＝2＋6，p∈Z} 3p＋1 ＝{x|x＝ 6 ，p∈Z}．
∵3n－2＝3(n－1)＋1，n∈Z， ∴3n－2,3p＋1 都是 3 的整数倍加 1，从而 N＝P. 而 6m＋1＝3×2m＋1 是 3 的偶数倍加 1， ∴MN＝P. ⊆
由此猜想：含 n 个元素的集合{ a1， a2，…，an}的 所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子 集的个数呢？ 解 (1)不含任何元素的集合：∅； 含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}； 含有两个元素的集合：{0,1}，{0,2}，{1,2}； 含有三个元素的集合：{0,1,2}． 故集合{0,1,2}的所有子集为∅， {0}， {1}， {2}， {0,1}， {0,2}，{1,2}，{0,1,2}． 其中除去集合{0,1,2}， 剩下的都是{0,1,2}的真子集．
4．若集合 A＝{x|x＝n，n∈N}，集合 B＝ n x|x＝ ，n∈Z，则 A 与 B 的关系是( A ) 2 A．AB B．AB C．A＝B D．A∈B
5． 在以下六个写法中： ①{0}∈{0,1}； ②∅{0}； ③{0， －1,1}⊆{－1,0,1}； ④0∈∅； ⑤Z＝{正 整数}；⑥{(0,0)}＝{0}，其中错误写法的个 数是 A．3 个 C．5 个 B．4 个 D．6 个 ( B )
±1或0 则 a 的值为________．
8．若{x|2x－a＝0， a∈N}⊆{x|－1<x<的所有取值组成的集合为____________．
三、解答题 9．设集合 A＝{1，a，b}，B＝{ a ，a2 ，ab}， 且 A＝B，求实数 a、b 的值．
解∵A＝B 且 1∈A，∴1∈B.若 a＝1，则 a2 ＝1，这与元素互异性矛盾，∴ a≠1. 若 a2＝1，则 a＝－1 或 a＝1(舍)． ∴A＝{1，－1，b}，∴b＝ab＝－b，即 b＝0. 若 ab＝1，则 a2＝b，得 a3＝1，即 a＝1(舍去)． 故 a＝－1，b＝0 即为所求．
