湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期第六次周练数学(文)试题 Word版含答案

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学实验班高三（上）选拔考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={0}，B={﹣1，0，1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C 的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．82．（5分）已知复数z在复平面内对应的点在第三象限，则z1=+|z|在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）长郡中学将参加摸底测试的1200名学生编号为1，2，3， (1200)从中抽取一个容量为50的样本进行学习情况调查，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为（）A．68 B．92 C．82 D．1704．（5分）在菱形ABCD中，A（﹣1，2），C（2，1），则•=（）A．5 B．﹣5 C．﹣D．﹣5．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与圆D：x2+y2﹣2ax+a2=0交于A，B两点，若四边形OADB（O为原点）是菱形，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域至于如此简单明了的一个命题为什么能够开辟一个全新的领域，这大概与它其中蕴含的奇偶归一思想有关．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果i 分别为（）A．a是偶数？；6 B．a是偶数？；8 C．a是奇数？；5 D．a是奇数？；77．（5分）已知数列{a n}是等差数列，若T n=na1+（n﹣1）a2+…+2a n﹣1+a n（n≥2），且T2=7，T3=16，则a n=（）A．n+1 B．2n﹣1 C．3n﹣1 D．4n﹣38．（5分）已知函数f（x）=cos（3x+φ）（0＜φ＜π），将f（x）的图象向右平移个单位所得图象关于点（，0）对称，将f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位所得图象关于y轴对称，则θ的值不可能是（）A．B． C． D．9．（5分）若函数f（x）=的图象上存在关于直线y=x对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[0，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）10．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1，若以C1，C2四个顶点为顶点的四边形的面积为S1，以C1，C2四个焦点为顶点的四边形的面积为S2，则取到最大值时，双曲线C1的一条渐近线方程为（）A．y=x B．y=x C．y=x D．y=2x11．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AD=4，AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为（）A．B．2 C．2 D．212．（5分）已知函数f（x）=x2+πcosx+a在（0，π）上有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），给出下列结论：①f'（x1）＜0；②f'（x2）＞0；③x1+x2＜π．其中错误结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知f（x）=ln（e2x+1）+kx是偶函数，则k=．14．（5分）如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为．15．（5分）不等式组表示的平面区域为D，若（x，y）∈D，则（x﹣1）2+y2的最小值为．16．（5分）已知等差数列{a n}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=2ccosA．（Ⅰ）若△ABC的面积S=，求证：a≥；（Ⅱ）如图，在（Ⅰ）的条件下，若M，N分别为AC，AB的中点，且=，求b，c．18．（8分）据了解，大学英语四级改革的一项重要内容就是总分改为710分，每个考生会有﹣个成绩，不再颁发“合格证．这也意味着，不再有“及格”一说．大学英语四级考试425分及以上可以报考大学英语六级考试，英语四级成绩在550分及以上可以报考口语．如图是某大学数学专业的40人2017年7月英语四级成绩中随机抽取的8人成绩的样本茎叶图：（百位为茎，十、个位为叶）（Ⅰ）通过这8人英语四级成绩估计某大学数学专业英语四级成绩的平均数和中位数；（Ⅱ）在样本数据中，从可以报考大学六级考试的学生中任取两人，求这两人都可以报考口语的概率．19．（8分）如图所示，△ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且AB ⊥BC，AB=BC=2，∠BCD=60°，点M为BE的中点，点N在线段AC上．（Ⅰ）若=λ，且DN⊥AC，求λ的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B﹣DMN的体积．20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）及点D（0，﹣），动直线l：y=kx+1与抛物线C交于A、B两点，若直线AD与BD的倾斜角分别为α，β，且α+β=π．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若H为抛物线C上不与原点O重合的一点，点N是线段OH上与点O，H 不重合的任意一点，过点N作x轴的垂线依次交抛物线C和x轴于点P，M，求证：|MN|•|ON|=|MP|•|OH|．21．（12分）设函数f（x）=（1﹣a）lnx+x2﹣x．（Ⅰ）若对任意的实数a，曲线f（x）在x=t处的切线斜率恒为零，求t的值；（Ⅱ）若0＜a＜2﹣，x≥1，求证：f（x）＞．22．（14分）如图，PA、PBC分别是圆O的切线和割线，其中A为切点，M为切线PA的中点，弦AD、BC相交于点E，弦AB延长线上的点F，满足∠FBD=∠FED．求证：P、F、D三点共线的充分必要条件是M、B、D三点共线．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）若曲线C关于直线l对称，求a的值；（Ⅱ）若A，B为曲线C上两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学实验班高三（上）选拔考试数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={0}，B={﹣1，0，1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C 的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：集合A={0}，B={﹣1，0，1}，∵A⊆C，∴C一定有元素：0．又∵C⊆B，∴C可能含有元素：﹣1，或者1，或者﹣1，1．那么：符合条件的集合C的个数为{0}，{0，﹣1}，{0，1}，{0，﹣1，1}．共4个．故选：C．2．（5分）已知复数z在复平面内对应的点在第三象限，则z1=+|z|在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R，x，y＜0）．z1=+|z|=x+﹣yi，∵x+＞0，﹣y＞0，∴在复平面上对应的点（x+，﹣y）在第一象限．故选：A．3．（5分）长郡中学将参加摸底测试的1200名学生编号为1，2，3， (1200)从中抽取一个容量为50的样本进行学习情况调查，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为（）A．68 B．92 C．82 D．170【解答】解：样本间隔为1200÷50=24，第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号20+24×3=92，故选：B．4．（5分）在菱形ABCD中，A（﹣1，2），C（2，1），则•=（）A．5 B．﹣5 C．﹣D．﹣【解答】解：如图所示，菱形ABCD中，A（﹣1，2），C（2，1），则=（3，﹣1），设AC的中点为O，则=，⊥；∴•=（+）•=﹣•﹣•=0﹣=﹣5．故选：B．5．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与圆D：x2+y2﹣2ax+a2=0交于A，B两点，若四边形OADB（O为原点）是菱形，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由x2+y2﹣2ax+a2=0，得，如图，∵四边形OADB（O为原点）是菱形，∴，代入，得，∴B（），把B的坐标代入椭圆+=1，得，得3a2=4b2=4（a2﹣c2），∴a2=4c2，得，∴e=．故选：B．6．（5分）1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域至于如此简单明了的一个命题为什么能够开辟一个全新的领域，这大概与它其中蕴含的奇偶归一思想有关．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果i 分别为（）A．a是偶数？；6 B．a是偶数？；8 C．a是奇数？；5 D．a是奇数？；7【解答】解：由题意，判断框①处应填写的条件为判断a是否为奇数．模拟程序的运行，可得：当a=10时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=5，i=2；当a=5时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值满足“a是奇数”，故a=16，i=3；当a=16时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=8，i=4；当a=8时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=4，i=5；当a=4时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=2，i=6；当a=2时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=1，i=7；满足退出循环的条件，故输出结果为：7，故选：D．7．（5分）已知数列{a n}是等差数列，若T n=na1+（n﹣1）a2+…+2a n﹣1+a n（n≥2），且T2=7，T3=16，则a n=（）A．n+1 B．2n﹣1 C．3n﹣1 D．4n﹣3【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由T n=na1+（n﹣1）a2+…+2a n﹣1+a n（n ≥2），且T2=7，T3=16，得，即，解得．∴a n=2+（n﹣1）×1=n+1．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=cos（3x+φ）（0＜φ＜π），将f（x）的图象向右平移个单位所得图象关于点（，0）对称，将f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位所得图象关于y轴对称，则θ的值不可能是（）A．B． C． D．【解答】解：函数f（x）=cos（3x+φ）（0＜φ＜π），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度，得函数y=f（x﹣）=cos（3x+φ﹣）=sin（3x+φ），由函数y=g（x）的图象点（，0）对称，所以+φ=kπ，k∈Z，可得：φ=kπ﹣，k∈Z，k=1时，φ=，可得：f（x）=cos（3x+），将f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位所得图象解析式为：y=f（x+θ）=cos （3x+3θ+），由其关于y轴对称，可得：3θ+=kπ，k∈Z，解得：θ=﹣，k∈Z，解得：当k=1时，θ=，当k=2时，θ=，当k=3时，θ=，故选：B．9．（5分）若函数f（x）=的图象上存在关于直线y=x对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[0，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【解答】解：由y=lnx的反函数为y=e x，函数y=x+a与y=lnx的图象上存在关于直线y=x对称的点，则函数y=x+a与函数y=e x的图象有交点，即x+a=e x有解，即a=e x﹣x，令h（x）=e x﹣x，x≤0．则h′（x）=e x﹣1当x≥0时，h′（x）＞0，∴h（x）是递增函数，当x=0时，可得h（x）求得的最小值为1．∴实数a取值范围是[1，+∞）．故选：D．10．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1，若以C1，C2四个顶点为顶点的四边形的面积为S1，以C1，C2四个焦点为顶点的四边形的面积为S2，则取到最大值时，双曲线C1的一条渐近线方程为（）A．y=x B．y=x C．y=x D．y=2x【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个顶点为A1（a，0），A2（﹣a，0），焦点坐标为F1（c，0），F2（﹣c，0），双曲线C2：﹣=1的两个顶点为B1（0，2b），B2（0，﹣2b），焦点坐标为F3（，0），F4（﹣，0），则以C1，C2四个顶点为顶点的四边形的面积为S1=2×=4ab，以C1，C2四个焦点为顶点的四边形的面积为S2=2××2c=2c，则==，平方得（）2=（）2===，令t=，则（）2===≤=，当且仅当t2=，即t2=2，t=即=时，取等号，此时=，a=，则双曲线C1的渐近线方程为y=±=x，故双曲线C1的一条渐近线方程为y=x，故选：B11．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AD=4，AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为（）A．B．2 C．2 D．2【解答】解：取PA的中点M，PD的中点N，由中位线定理可得MN AD BC，∴四边形BCNM是平行四边形，∴BM∥CN，∴BM∥平面PCD，又EF∥平面PCD，∴BM∥EF，即F为AM的中点，∵PD与平面CEF交于点H，∴H与N重合，即H为PD的中点，∵PA=AD=4，AB=BC=2，∴PD=4，AC=2，PC=2，由直角梯形知识可知CD=2，∴PC2+CD2=PD2，即PC⊥CD，∴CH=PD=2．故选C．12．（5分）已知函数f（x）=x2+πcosx+a在（0，π）上有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），给出下列结论：①f'（x1）＜0；②f'（x2）＞0；③x1+x2＜π．其中错误结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：f′（x）=2x﹣πsinx，令f′′（x）=0，即，画出函数y=sinx，y=的图象如下：可得x∈（0，）时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0∴f（x）在（0，）递减，在（，π）递增∵函数f（x）=x2+πcosx+a在（0，π）上有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），∴∴f'（x1）＜0，f'（x2）＞0；故①②正确．对于③，构造函数h（x）=f（x）﹣f（π﹣x），xh（x）=2πx+2πcosx﹣π2，h′（x）=2π（1﹣sinx）≥0∴h（x）在（0，）上递增，h（x）即x时，f（x）＜f（π﹣x），∴f（x1）＜f（π﹣x1），又∵f（x）在（）递增，∴f（x1）=f（x2）＜f（π﹣x1）又x2，π﹣x1，∴x2＜π﹣x1∴x1+x2＜π，故③正确故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知f（x）=ln（e2x+1）+kx是偶函数，则k=﹣1．【解答】解：f（﹣x）=ln（e﹣2x+1）﹣kx=ln﹣kx=ln（e2x+1）﹣lne2x﹣kx=ln（e2x+1）﹣2x﹣kx=ln（e2x+1）+（﹣k﹣2）x=ln（e2x+1）+kx，故﹣k﹣2=k，解得：k=﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为13+5+．【解答】解：该几何体是一个以矩形为底面的四棱锥，还原图：可知：ADP是等要直角三角形，面积为：=3；ABP和PDC是两个一样直角三角形，面积为：AP•AB=×2=5．底面是矩形：面积为：5×2=10．PCB是等腰三角形：面积为：∴该几何体的表面积13+5+．故答案为：13+5+．15．（5分）不等式组表示的平面区域为D，若（x，y）∈D，则（x﹣1）2+y2的最小值为．【解答】解：由不等式组作出可行域如图，由图可知，则（x﹣1）2+y2的最小值就是可行域内的点到Q（1，0）的距离的最小值为=，∴（（x﹣1）2+y2）min==，故答案为：．16．（5分）已知等差数列{a n}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=1或2．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}中a1=1，a1，a2，a5成等比数列，∴（1+d）2=1×（1+4d），d≠0，解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，首项为1，公比为3．∴=3n+1．由a n=2n﹣1，得，∴2k n﹣1=3n+1．∴k n=（3n+1+1）∵对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），即≤恒成立，令f（n）=＞0，则≤1．∴当n=1或n=2时，f（n）最大，当n≥2时，f（n）为减函数，则要使对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=1或2．故答案为：1或2．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=2ccosA．（Ⅰ）若△ABC的面积S=，求证：a≥；（Ⅱ）如图，在（Ⅰ）的条件下，若M，N分别为AC，AB的中点，且=，求b，c．【解答】解：（Ⅰ）∵acosB+bcosA=2ccosA．由正弦定理：可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，即sin（A+B）=2sinCcosA，∵A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinC≠0，∴，又A∈（0，π），∴，由可得bc=2．在△ABC中，由余弦定理，可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=2，（当且仅当b=c时取等号）∴．（Ⅱ）（Ⅰ）的条件下，可得bc=2．∵M，N分别为AC，AB的中点，在△ABM中，由余弦定理可得，在△ACN中，由余弦定理可得，由，可得：，整理得（c+8b）（c﹣2b）=0，∴c=2b，由bc=2解得：b=1，c=2．18．（8分）据了解，大学英语四级改革的一项重要内容就是总分改为710分，每个考生会有﹣个成绩，不再颁发“合格证．这也意味着，不再有“及格”一说．大学英语四级考试425分及以上可以报考大学英语六级考试，英语四级成绩在550分及以上可以报考口语．如图是某大学数学专业的40人2017年7月英语四级成绩中随机抽取的8人成绩的样本茎叶图：（百位为茎，十、个位为叶）（Ⅰ）通过这8人英语四级成绩估计某大学数学专业英语四级成绩的平均数和中位数；（Ⅱ）在样本数据中，从可以报考大学六级考试的学生中任取两人，求这两人都可以报考口语的概率．【解答】解：（Ⅰ）这8人英语四级成绩的平均数为：（386+410+450+485+520+564+575+610）÷8=500，这8人英语四级成绩的中位数为（485+520）÷2=502.5，则某大学数学专业英语四级考试成绩的平均数为500，中位数为502.5…（4分）（Ⅱ）设可以报考大学六级考试但不能报考口语的3人成绩为A1，A2，A3，可以报考口语的三人成绩为B1，B2，B3，全部情况列举出来为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共计15种…（6分）这两人都可以报考口语的情况为：（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共计3种，则这两人都可以报考口语的概率为．…（8分）19．（8分）如图所示，△ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且AB ⊥BC，AB=BC=2，∠BCD=60°，点M为BE的中点，点N在线段AC上．（Ⅰ）若=λ，且DN⊥AC，求λ的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B﹣DMN的体积．【解答】解：（Ⅰ）取BC的中点O，连接ON，OD，∵四边形BCDE为菱形，∠BCD=60°，∴DO⊥BC，∵△ABC所在的平面与菱形BCDE所在平面垂直，∴DO⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴DO⊥AC，又DN⊥AC，且DN∩DO=D，∴AC⊥平面DON，∵ON⊂平面DON，∴ON⊥AC，由O为BC的中点，AB=BC，可得，∴，即λ=3；（Ⅱ）由平面ABC⊥平面BCDE，AB⊥BC，可得AB⊥平面BCDE，由，可得点N到平面BCDE的距离为，由菱形BCDE中，∠BCD=60°，点M为BE的中点，可得DM⊥BE，且，∴△BDM的面积，∴三棱锥N﹣BDM的体积．=V B﹣DMN，又V N﹣BDM∴三棱锥B﹣DMN的体积为．20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）及点D（0，﹣），动直线l：y=kx+1与抛物线C交于A、B两点，若直线AD与BD的倾斜角分别为α，β，且α+β=π．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若H为抛物线C上不与原点O重合的一点，点N是线段OH上与点O，H 不重合的任意一点，过点N作x轴的垂线依次交抛物线C和x轴于点P，M，求证：|MN|•|ON|=|MP|•|OH|．【解答】解：（Ⅰ）把直线y=kx+1，代入x2=2py得x2﹣2pkx﹣2p=0，设，则x1+x2=2pk，x1x2=﹣2p，…（2分）由α+β=π可知，直线AD的斜率与BD的斜率之和为零，所以，去分母整理得，即2pk（p2﹣2p）=0，由该式对任意实数k恒成立，可得p=2，抛物线C的方程为x2=4y…（6分）（Ⅱ）证明：设过点N的垂线为x=t（t≠0），联立，得，即点．…（8分）令，则，所以直线ON方程为，联立，得，即点，…（10分）所以，所以，即|MN|•|ON|=|MP|•|OH|．…（12分）21．（12分）设函数f（x）=（1﹣a）lnx+x2﹣x．（Ⅰ）若对任意的实数a，曲线f（x）在x=t处的切线斜率恒为零，求t的值；（Ⅱ）若0＜a＜2﹣，x≥1，求证：f（x）＞．【解答】解：（Ⅰ），由题设知f′（t）=0，即1﹣a+at2﹣t=0，即a（t2﹣1）+1﹣t=0，因为该等式对任意的实数a恒成立．所以，所以t=1；（Ⅱ）证明：，因为，①若，则，当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0，f（x）在上单调递减，在上单调递增．所以；由，可得，所以；②若，则，故当x∈[1，+∞）时，f′（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以，此时，所以；③若，则，所以当x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上单调递增．所以；，因为，所以（a﹣2）2﹣2＞0，故，综上可得．22．（14分）如图，PA、PBC分别是圆O的切线和割线，其中A为切点，M为切线PA的中点，弦AD、BC相交于点E，弦AB延长线上的点F，满足∠FBD=∠FED．求证：P、F、D三点共线的充分必要条件是M、B、D三点共线．【解答】证明：由PA为圆O的切线知，∠PAD+∠ABD=180°．又∠FBD+∠ABD=180°，∴∠PAD=∠FBD=∠FED．∴EF∥AP．（1）若M、B、D三点共线．设直线AB，DP交于点F1．则由塞瓦定理知．∵AM=MP，∴，EF1∥AP．又点F、F1均在直线AB上，因此F、F1重合．∴P、F、D三点共线．（2）若P、F、D三点共线．设直线DB、AP相交于点M1．则由塞瓦定理知，．∵EF∥AP，，∴，AM1=M1P，M1为PA的中点M、M1重合．∴M、B、D三点共线．由（1）、（2）可得，P、F、D三点共线的充分必要条件是M、B、D三点共线．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）若曲线C关于直线l对称，求a的值；（Ⅱ）若A，B为曲线C上两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l普通方程为x+2y﹣2a﹣1=0．曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，因为圆C关于直线l对称，所以圆心（1，0）在直线x+2y﹣2a﹣1=0上，所以a=0．（Ⅱ）由点A，B在圆ρ=2cosθ上，且，不妨设，•则，当，即时取等号，所以OA+OB的最大值为．。

2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{2|650,|,A x x x B x y A B =-+≤=== （ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5 【答案】D考点：集合的交集运算．2.“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否是（ ） A ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 B ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数 C ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数 D ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数 【答案】D 【解析】试题分析：依据逆否的概念把原中的条件和结论同时“换位”且“换否”，注意“都是”的否定为“不都是”，所以原的逆否应为“若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数”，故选D. 考点：四种的概念.3.若执行右边的程序框图，输出S 的值为6，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．32?k <B ．65?k <C ．64?k <D ．31?k < 【答案】C考点：程序框图中的循环结构. 4.下列函数中在3(,)44ππ上为减函数的是（ ） A ．22cos 1y x =- B ．tan y x =- C ．cos(2)2y x π=-D ．sin 2cos 2y x x =+【答案】C 【解析】试题分析：A ．22cos 1cos2y x x =-=，当3x (,)44ππ∈时，32x ,22ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数不单调；B ．tan y x =-在3(,)44ππ上不连续，也不符合题意；C ．cos(2)sin 2x 2y x π=-=，当3x (,)44ππ∈时，32x ,22ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数单调递减，符合题意；D ．sin 2cos 224y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3x (,)44ππ∈时，372x ,444πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数不单调，也不符合题意，故选C. 考点：三角函数的单调性.5.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ） A ．15 B ．7 C ．9 D ．10 【答案】D考点：随机抽样中的系统抽样法.6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．103πC ．6πD ．83π【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底面半径为1高为6的圆柱按图中的截面截去一半剩下的部分，如图所示，所以几何体的体积21163,2V ππ=⨯⨯=故选A.考点：几何体的三视图与体积.7.若231(2)(1)x x x++-的展开式中的常数项为a ，则20(31)ax dx -⎰的值为（ ）A ．6B ．20C ．8D ．24 【答案】A考点：二项式定理及微积分基本定理的应用.8.若函数2x y =图象上存在点(,)x y 满足约束条件302302x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（ ） A ．1 B ．32 C ．2 D ．12【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，要使函数2xy =图象上存在点(,)x y 满足约束条件，即2xy =图象上存在点(,)x y 在阴影区域内，则必有12m ≤，即实数m 的最大值为12，故选D.考点：简单的线性规划.9.已知数列{}n a 的通项公式5n a n =-，其前n 项和为n S ，将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*m N ∈，使对任意*n N ∈，总有n n S T λ<+恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．2λ≥B ．3λ>C ．3λ≥D ．2λ> 【答案】D考点：等差、等比数列的前n 项和公式及数列的函数特性.10.已知两个不相等的非零向量,a b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排成一列而成．记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =++++ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（ ）A ．22min 22S a a b b =++ B ．22min 23S a b =+C ．若a b ⊥，则min S 与a 无关D ．S 有5个不同的值 【答案】C 【解析】试题分析：S 可能的取值有3种情况：2222222212,S a a b b b S a a b a b b b =++++=++++ ，23S a b a b a b a b b =++++ ．2213232()0,()0S S a b S S a b -=->-=->，所以321S S S <<，若2min 4S b a b =+ ，若a b ⊥，则min S 与a 无关，故选C ．考点：共线向量定理及平面向量数量积的应用.【方法点晴】本题以的形式考查平面向量的数量积及共线向量定理的应用，考查学生推理、运算和分析问题的能力，属于中档题.虽然形式上本题条件复杂给考生一种威慑感，但仔细分析实际上就是考查了平面向量的数量积运算，解答本题的关键是先求出S 的三种结果，通过作差比较123,,S S S 的大小关系，问题就迎刃而解了.11.设a b c x y ===+，若对任意的正实数,x y ，都存在以,,a b c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(]1,2 C ．17(,)22D ．以上均不正确 【答案】A考点：基本不等式的应用.【方法点晴】本题结合三角形的基本性质考查了基本不等式的应用，属于中档题.解答本题应先根据基本不等式求得c a c a ≥≥>，再三角形的性质任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到c a b a c -<<+即得p 的不等式组，再利用基本不等式结合函数的单调性求出p 的取值范围.12.已知,A B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，不同两点,P Q 在椭圆C上，且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，则当21ln ln 2b a m n a b mn++++取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A ．3 B ．3 C ．12 D ．2【答案】D 【解析】考点：椭圆的标准方程、几何性质及基本不等式.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程和几何性质，着重考查了基本不等式和考生分析问题及利用函数思想解决问题的能力，属于难题.解答本题的入手点是消元法，根据椭圆方程把mn 转化为22b a，然后通过换元来构造函数，考查了考生应用函数的意识和能力，把问题转化为求函数在给定区间上的最值点问题，最后再根据椭圆中基本量,,a b c 求得离心率的值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知复数21iz i=-，则z =________．【解析】试题分析：()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+，所以z = 考点：复数模的概念与复数的运算.14.在ABC ∆中，2,BC AC ABC ==∆的面积为4，则AB 的长为_________．【答案】4或【解析】试题分析：1242ABC S C ∆=⨯⨯=，得sin C =，∴cos 5C =±．∴AB =4AB =或考点：利用余弦定理解三角形.15.已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆222(210)2210160x y b x by b b +---+-+=相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+，则b =________． 【答案】53考点：圆与圆的位置关系.【方法点晴】本题形式上考查了圆圆的位置关系，但本质上还要转化为直线与圆的位置关系问题，考查考生利用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题.本题解答的要点有二，一是通过两圆为方程得到它们公共弦所在直线的方程，把问题转化为直线与圆的位置关系；二是对条件“22221122x y x y +=+”的理解和应用，考查考生数形结合的意识，实质上表达了,A B 两点到原点的距离相等，这样通过圆的性质来解答，问题就变得容易了. 16.给出下列：（1）设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若1212()()()()f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数；（2）若12,x x R ∀∈，都有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上递增，则()()f x g x + 在R 上也递增；（3）已知0,1a a >≠，函数,1(),1x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩，若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实 数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（4）存在不同的实数k ，使得关于x 的方程222(1)10x x k ---+=的根的个数为2个、4个、5个、8 个．则所有正确的序号为________． 【答案】（1）（2）（3）考点：函数的单调性、奇偶性及函数的零点等知识的综合应用.【方法点晴】本题以多选题的形式考查了考生对函数单调性、奇偶性、分段函数及函数与方程等知识及分类讨论和数形结合及化归的能力，属于难题.要准确解答多选题，需要考生对每个都要作出准确判断才能得分.解答的（1）、（2）的关键是构造法，根据题目条件构造函数奇偶性和单调性定义的形式来判断；（3）考查了分段函数的单调性和分类讨论，避免思维定势；（4）需要通过数形结合来解答.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设10,100a λ>=，当n 为何值时，数列1lgn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和最大？ 【答案】(1) 若10a =，则0n a =，若10a ≠，则2nn a λ=；(2) 数列1lg n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前6项的和最大. 【解析】试题分析：（1）根据11n n a a S S λ=+，当1n =时，求出1a ，当2n ≥时，写出11,n n a s --的表达式，两式相减消去1,n n S S -得到数列{}n a 的递推式，根据等比数列通项公式求解，注意讨论1a 是否等于0；（2）根据（1）的结论设1lgn nb a =，整理得2lg2nb n =-，判断出{}n b 的单调性和各项的符号，即可求得最大值.考点：数列的递推公式和等差数列通项公式和前n 项和的最值问题. 18.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，//AE DB ，且ABC ∆为等边三角形，1,2AE BD ==，CD 与平面ABCDE （1）若F 是线段CD 的中点，证明：EF ⊥平面DBC ；（2）求二面角D EC B --的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)4（2）解：取AB 的中点O ，连结,OC OD ，则OC ⊥平面ABD ，CDO ∠即是CD 与平面ABDE所成角，4OC CD =，设AB x =4x=2AB =，取DE 的中点为G ，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OG 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，则考点：空间中的垂直关系及空间向量在求解二面角中的应用.19.（本小题满分12分）某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按[)[)[)[)、、、20,3030,4040,5050,60、两项培训，培训结束分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加A B后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[)20,30抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[)20,30和[)30,40内各抽取1人，设这两人中A B 、两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．【答案】（1）14；（2）35；（3）概率分布见解析，数学期望是267392.由题设知X的可能取值为0，1，2．∴15385153153177 (0)(1)(1),(1)(1)(1)498196498498392 P X P X==--===⨯-+-⨯=，15345(2)498392P X==⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴X的概率分布为X的数字期望为8517745267012196392392392EX =⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：用样本的数字特征估计总体及离散型随机变量的分布列和数学期望. 20.（本小题满分12分）已知抛物线方程为22(0)x py p =>，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线与抛物线交于,A B 两点，过,A B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M ．（1）求OA OB；（2）设直线MF 与抛物线交于,C D 两点，且四边形ACBD 的面积为2323p ，求直线AB 的斜率k ．【答案】（1）234p -；（2）k =3k =±.根据1()(0)f x x x x =+>的图象和性质得，23k =或213k =，即k =3k =±．．．．12分考点：直线与抛物线位置关系的应用.【方法点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系问题，考查学生的运算能力及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于难题.本题第一问思维简单，主要考查了考生运用方程思想和韦达定理解决问题的能力，第二问的技巧在于利用导数的几何意义求得切线AM 斜率和方程，代换得到BM 的方程，从而求得点M 坐标，发现直线MF 与AB 相互垂直对于最后表示出四边形的面积十分关键，根据弦长公式求出AB 的长，代换得到CD 的出，最后通过四边形ACBD 的面积得到斜率k 的方程，这一过程考查了考生的逻辑推理能力和运算能力.21.（本小题满分12分）已知函数()(ln 2)x f x e x k -=-（k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直．（1）求()f x 的单调区间； （2）设1(ln 1)()xx x g x e-+=，对任意0x >，证明：2(1)()x x x g x e e -+<+． 【答案】（1）()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞；（2）证明见解析.设1()ln 1k x x x =--，则211()0k x x x'=--<，在(0,)+∞上恒成立，即()k x 在(0,)+∞上是减函数， 由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>，当1x >时()0k x <，从而()0f x '<．综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分考点：导数的几何意义、利用导数研究函数在给定区间上的最值及不等式的证明.【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和通过求给定区间上的最值来证明不等式，考查考生讨论和转化的数学思想，属于难题.本题解答的难点是第二问转化的过程，在第一问解答的基础上，利用不等式的性质把要证明的不等式转化为证明两个不等式，分别构造函数，再利用导数研究其单调性求得其最值，考查了考生应用所学函数、导数、不等式知识解决问题的能力.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）如图，AB 是O 的直径，弦BD CA 、的延长线相交于点E ，EF 垂直于BA 的延长线于点F ．（1）求证：DEA DFA ∠=∠；（2）若030EBA ∠=，2EF EA AC ==，求AF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）1.考点：平面几何中四点共圆及三角形相似证明和应用.23.（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点(,0)P m ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且1PA PB = ，求实数m 的值．【答案】（1）222x y x +=，x m =+；（2）1m =±1m =.（2）把212x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入方程：222x y x +=化为：2220t t m m ++-=，由0∆>，解得 13m -<<，∴2122t t m m =-． ∵121PA PB t t == ，∴221mm -=±， 解得1m =或1m =．又满足0∆>．∴实数1m =±或1m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.24. （本小题满分10分）函数()f x =．（1）求函数()f x 的定义域A ；（2）设{}|12B x x =-<<，当实数()R a b B C A ∈ 、时，证明：124a b ab +<+． 【答案】（1）{}|41A x x x =≤-≥或；（2）证明见解析.考点：绝对值不等式的解法及不等式的证明.。

2017-2018学年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|A x y ==，{|1}B x a x a =≤≤+，若A B A = ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,3][2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．[2,1]-D ．[2,)+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：{}{||22A x y x x ===-≤≤，又因为A B A = 即B A ⊆，所以122a a +≤⎧⎨≥-⎩，解之得21a -≤≤，故选C. 考点：1.集合的表示；2.集合的运算.2. 设复数2()1a i z i+=+，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为（ ） A ．12- B ．12i - C ．32- D ． 32i -【答案】C考点：1.复数数的概念；2.复数的运算.3. “0a <”是“函数()|(1)|f x x ax =+在区间(,0)-∞内单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】试题分析：当0a <时，在区间(,0)-∞上，1()|(1)|()f x x ax ax x a=+=--单调递减，但()|(1)|f x x ax =+区间(,0)-∞上单调递减时，0a ≤，所以“0a <”是“函数()|(1)|f x x ax =+在区间(,0)-∞内单调递减”的,故选A.考点：1.函数的单调性；2.充分条件与必要条件.4. 设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围为（ ） A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24eD ．3[,1)2e【答案】D考点：函数与不等式.【名师点睛】本题考查函数与不等式,中档题；函数与不等式是高考考查的重要内容，数形结合是解决函数与不等式的重要途径，通常可把所有的数学表达式移到不等式的一边，构造一个函数作图解决不等式问题，也可象本题这样把变量放在不等式的两边，构造两个函数，在同一坐标系内作出两个函数的图象，通过图象求解. 5. 将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ） A ．54π-B ．4π-C ．4π D ．34π【答案】C考点：1.三角函数的图象与性质；2.函数图象平移变换.6. 已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ∙= ，则MA BA ∙ 的取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[1,9]C ．2[,9]3D ． 【答案】C 【解析】试题分析:设1122(,),(,)A x y B x y ，则11221212(1,),(1,),(,)MA x y MB x y BA x x y y =-=-=--，由题意有1212(1)(1)0MA MB x x y y ∙=--+=，所以21121121112112(1)()()(1)(1)MA BA x x x y y y x x x x y y y ∙=--+-=---+-[]22221111212111111(1)(1)(1)114x x y x x y y x x x x x =-+---++-=-+--+ 221111334222(),[2,2]4433x x x x =-+=-+∈- 所以，当2x =-时，MA BA ∙ 有最大值9，当43x =时，MA BA ∙ 有最小值23，故选C.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.向量的运算. 7. 如图所示程序框图中，输出S =（ ） A ．45 B ．-55 C ．-66 D ．66【答案】B【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为：222222222212345678910(12345678910)55 S=-+-+-+-+-=-+++++++++=-，故选B.考点：程序框图.8. 如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数1(0)y xx=>图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A．ln22B．1ln22-C．1ln22+D．2ln22-【答案】C 【解析】试题分析：如下图所示，四边形OABC 的面积122S =⨯=，阴影部分的面积可分为两部分，一部分是四边形OEDC 的面积11212S =⨯=，另一部分是曲边梯形的面积11121221ln ln 2S dx x x ===⎰，所以点M 来自E 内的概率为121ln 22S S P S ++==，故选C.考点：1.几何概型；2.积分的几何意义.【名师点睛】本题考查几何概型、积分的几何意义，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过积分运算来完成的，把积分运算与几何概型有机的结合在一起是本本题的亮点.9. 在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，P 在线段1BD 上，且112BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ）A ．1B ．32C ．92D ．与M 点的位置有关 【答案】B 【解析】考点：1.正方体的性质；2.多面体的体积.10. 已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,10)M 为圆心，||OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则P 的值是（ ） A ．52 B ．53 C ．56 D ．59【答案】C 【解析】试题分析：由抛物线的性质及题意可知，,A B 两点关于y 轴对称，所以可设1111(,),(,)A x y B x y -，则2222211111(10)4x y x y x +=+-=，解之得2112535x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，又因为点A 在抛物线上，所以25253p =⨯，解得56p =，故选C. 考点：抛物线的标准方程与几何性质.11. 设,x y 满足约束条件1210,0y x y x x y ≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，则目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为11，则a b +的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B 【解析】试题分析：在直角坐标系中作出可行域，如下图所示，因为0,0a b >>，所以目标函数z abx y =+取得最大值时的最优解为(2,3)B ，所以1123ab =⨯+，即4ab =，所以4a b +≥=，当且仅当2a b ==时取等号，故选B.考点：1.线性规划；2.基本不等式.12.设函数61(),0()0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，则当0x >时，[()]f f x 表达式的展开式中常数项为（ ）A ．-20B ．20C ．-15D ．15 【答案】A考点：1.分段函数的表示；2.二项式定理.【名师点睛】本题考查分段函数的表示与二项式定理，属中档题；分段函数的表示与二项式定理是最近高考的常考内容，但两者很少在同一个题目中出现，本题在考查分段函数的同时，考查二项式定理的应用，可谓立意新颖、思维独特.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则013||||||a a a ++等于 . 【答案】41 【解析】试题分析： 4234(12)18243216x x x x x -=-+-+，所以0131,8,32a a a ==-=-，013||||||41a a a ++=.考点：二项式定理.14.给定双曲线22:1C x -=，若直线l 过C 的中心，且与C 交于,M N 两点，P 为曲线C 上任意一点，若直线,PM PN 的斜率均存在且分别记为,PM PN k k ，则PM PN k k ∙= .【解析】试题分析：设直线l 的方程为y k x =，1122(,),(,)M x y N x y ，00(,)P x y ，则01020102,,PM PNy y y y k k x x x x --==--由221x y kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩得，222)1)0k x -=,所以有12120,x x x x +==， 2220102001212001212220102001212001212()()()()PM PNy y y y y y y y y y y ky x x k x x k k x x x x x x x x x x x x x x x x ---++-++⋅=⨯==---++-++2012x +===. 考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.斜率公式.15. 已知点(,)P x y的坐标满足0200y x y -<+<⎨⎪≥⎪⎩的取值范围为 .【答案】[ 【解析】0y +=，如下图所示，过点P 作PF ⊥直0y +=于点F ，表示可行域内的点(,)P x y0y +=的距离PF表示可行域内的点P到原点O的距离PO，所以sinPFPOFPO==∠，当点Py+=上时，222sin0POF===∠=，当点Py+=r222sin POF===∠的取值范围为，当点Py+=r在左下方时，222sin POF==-=-∠的取值范围为[的取值范围为[.考点：1.线性规划；2.点到直线距离、两点间的距离；3.直角三角形中正弦函数定义.【名师点睛】本题考查线性规划、两点间的距离公式、点到直线距离公式、直角三角形中正弦函数定义，属难题；对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.本题利用两个距离的比构成了一个角的三角函数值，再数形结合求解，可谓是匠心独运，视角独特.16. 在数列{}na中，11a=，122133232(2)n n nn na a n----=-∙+≥，nS是数列1{}nan+的前n 项和，当不等式*1(31)()1()3()m n mn S m m N S m ++-<∈-恒成立时，mn 的所有可能取值为 . 【答案】1或2或4 【解析】试题分析：由122133232(2)n n n n n a a n ----=-∙+≥得1212213(1)3(1)33232(2)n n n n n n n a a n ------+=++--∙+≥，即1213(1)3(1)2(2)n n n n a a n ---+=++≥，所以数列{}13(1)n n a -+是以1113(1)2a -+=为首项、2为公比的等比数列，所以13(1)2n n a n -+=，由1123n n a n -+=，12(1)133(1)1313nn nS ⨯-==--，所以1111(31)[3(1)](31)()(3)33(3)33(3)323331113()(3)33(3)333[3(1)]3m mm n m n n m n n m m n m m n mmn n m S m m m m S m m m m +++++++--+---+----⋅-===+<-------即(3)32330(3)33n m m n mm m +--⋅-<--，当3m =时，该不等式不成立，当3m ≠时有233330133m nn m m⋅+--<--恒成立，当1m =时，19322n<<，1n =，这时1mn =，当2m =时，1321n <<，1,2n =，这时2mn =或4mn =，当4m ≥时，233330133m nn m m⋅+--<--不成立，所以mn 的所有可能取值为1或2或4. 考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题. 【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列{}13(1)n n a -+是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知函数2()2sin (0)2xf x x ωωω=->的最小正周期为3π.（1）求函数()f x 在区间3[,]4ππ-上的最大值和最小值；（2）已知,,a b c 分别为锐角三角形ABC 中角,,A B C 的对边，且满足2,()1b f A ==，2sin b A =，求ABC ∆的面积.【答案】(1)min ()1f x =，max ()1f x =；. 【解析】试题分析：(1)利用三角恒等变换相关公式化简函数解析式得()2sin()16f x x πω=+-，由周期为3π，可求ω的值，由三角函数性质可求函数的最值.(2)2sin b A =及正弦定理可求得sin 2B =，从而是求出解B 的值，由()1f A =可求出角4A π=及角51246C πππ==+，由正弦定理求出边a ，即可求三角形面积. 考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质；3.正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、正弦定理与余弦定理,属中档题；此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数解析式从而达到求最值的目的，三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.18. （本小题满分12分）某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015年的统计数据：（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程y bx a =+；（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量.参考公式：^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^^a yb x =-.【答案】(1) 13(2013)260.2y x =-+ ；(2)351.2万吨. 【解析】试题分析：(1)由公式先求出,x y ，再利用公式求出 ,ba 即可求回归方程；(2)将2020x =代入所求回归方程求出y 的值即可. 试题解析：（1）解法一：容易算得：2013,260.2x y ==，121()()13()niii nii x x y y b x x ==--==-∑∑，260.2132013a y bx =-=-⨯，故所求的回归直线方程为13260.213201313(2013)260.2y x x =+-⨯=-+解法二：由所给数据可以看出，年需求量与年份之间的是近似值直线上升，为此时数据预处理如下表：对预处理后的数据，容易算得：110n i i x x n ===∑，11 3.2ni i y y n ===∑，12211301310()ni ii nii x y nx yb xn x ==-===-∑∑， 3.2a y bx =-= 所求的回归直线方程为257(2013)13(2013) 3.2y b x a x -=-+=-+， 即13(2013)260.2y x =-+.（2）根据题意，该城市2023年的居民生活用水量与该城市2020年的居民生活用水量相当， 当2020x =时，满足（1）中所求的回归直线方程，此时13(2013)260.2351.2y x =-+=（万吨）考点：线性回归方程及其应用. 19. （本小题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠= ，四边形ACFE为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =. （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为(90)θθ≤ ，试求cos θ的取值范围.【答案】（1）由余弦定理求出2AC ，由勾股定理的逆定理证明BC AC ⊥即可；（2）分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立所示空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤,求出平面MAB 与平面FCB 的法向量(用λ表示)即可求cos θ的范围. 【解析】 试题分析：试题解析：（1）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，∴2AB =，∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-∙∙=，∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥，∴平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACFE .（2）由（1）分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴发建立如图所示空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤，则(0,0,0),(0,1,0),(,0,1)C A B M λ，∴(,0),(,1,1)AB BM λ==-.设1(,,)n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n BM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 取1x =，则1(1)n λ=，∵2(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量，∴1212||cos ||||n n n n θ∙=== .∵0λ≤≤0λ=时，cos θ，当λ=cos θ有最大值12，∴1cos ]2θ∈. 考点：1.空间直线与直线垂直的判定；2.空间向量的应用. 20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F，2F ，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M . （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，设直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ，问12k k +是否为定值？并证明你的结论.【答案】(1) 2213x y += ;(2) 12k k +为定值2.试题解析：（1）由已知得：222c a b -=，由已知易得||1b OM ==，解得a =椭圆C 的方程为2213x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1,x y ==，设(1,A B，122233222k k +=+=. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=，依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 所以12122112121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k k x x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++ 2212(21)26(21)k k +==+ 综上得：12k k +为定值2.（说明：若假设直线l 为1x my =+，按相应步骤给分） 考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系,属难题；高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.21. （本小题满分12分）设1()1xxa f x a +=-（0a >且1a ≠），()g x 是()f x 的反函数.（1）设关于x 的方程2log ()(1)(7)atg x x x =--在区间[2,6]上有实数解，求t 的取值范围；（2）当a e =（e为自然对数的底数）时，证明：22()nk g k =>∑（3）当102a <≤时，试比较1|()|nk f k n =-∑与4的大小，并说明理由.【答案】(1) [5,32] ；(2)见解析；(3) 1|()|4nk f k n =-<∑.【解析】试题分析：(1) 由反函数的定义先求出()g x 的解析式，代入已知条件可得2(1)(7)t x x =--，[2,6]x ∈，求导，研究函数2(1)(7)t x x =--的单调性，即可求t 的取值范围；(2)21231(1)()ln ln ln ln ln 34512nk n n n g k n =-+=++++=-+∑ ,构造函数2211()ln 2ln ,0z u z z z z z z z-=--=-+->，求导研究其单调性可得()u z 在(0,)+∞上是增函数，从而(1)0u u >=，即(1)12ln 0(1)n n n n +->+,可证结论成立；(3)当1n =时易得2|(1)1|24f p-=≤<，当2n ≥时，由122(1)122()11(1)1(1)1k k k k kk k k p f k p p C p C p C p ++==+=++-+-+++ 可得1224441()111(1)1k k f k C C k k k k <≤+===+-+++，求和可得1()(1)14nk n f k f n n =<<++≤+∑，即可得到1|()|4nk f k n =-<∑.试题解析：（1）由题意，得101xy a y -=>+， 故1()log 1a x g x x -=+，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ ， 由21log log (1)(7)1aa t x x x x -=--+，得2(1)(7)t x x =--，[2,6]x ∈. 则'2318153(1)(5)t x x x x =-+-=---，令'0t >，得25x ≤<，知2(1)(7)t x x =--在区间[2,5)上递增； 令'0t <，得56x <≤，知2(1)(7)t x x =--在区间(5,6]上递减，所以当5t =时，32t =最大值，有当2x =时，5t =；6x =时，25t =，所以5t =最小值， 所以t 的取值范围为[5,32].（2）212311231(1)()ln ln ln ln ln()ln 345134512nk n n n n g k n n =--+=++++=⨯⨯⨯⨯=-++∑ 令2211()ln 2ln ,0z u z z z z z z z-=--=-+->则'22211()1(1)0u z z z z=-++=-≥，所以()u z 在(0,)+∞上是增函数， 又因为当2n ≥10>>，所以(1)0u u >=即(1)12ln0(1)n n n n +->+，即22()nk g k =>∑（3）设11a p=+，则1p ≥，121(1)131a f a p +<==+≤-当1n =时，2|(1)1|24f p-=≤<， 当2n ≥时，设*2,k k N ≥∈时，则122(1)122()11(1)1(1)1k k k k kk k k p f k p p C p C p C p ++==+=++-+-+++ ， 所以1224441()111(1)1k k f k C C k k k k <≤+===+-+++ 从而24441()111211nk n f k n n n n n =-<≤-+-=+-<+++∑ 所以1()(1)14nk n f k f n n =<<++≤+∑，综上所述，总有1|()|4nk f k n =-<∑.考点：1.反函数的定义与求法；2.导数与函数的单调性；3.函数与不等式. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交ABC ∆的外接圆于点F ，连接,FB FC . （1）求证：FB FC =；（2）若AB 是ABC ∆外接圆的直径，120EAC ∠=，BC =AD 的长.【答案】(1)见解析；(2)6.试题解析：（1）证明：∵AD 平分EAC ∠，∴EAD DAC ∠=∠，因为四边形AFBC 内接于圆，∴DAC FBC ∠=∠，又∵EAD FAB FCB ∠=∠=∠，∴FBC FCB ∠=∠，∴FB FC =. （2）∵AB 是圆的直径，∴90ACD ACB ∠=∠=，∵120EAC ∠=，∴60DAC BAC ∠=∠= ，∴30D ∠= ，在Rt ACB ∆中，∵BC =60BAC ∠= ，∴3AC =，又在Rt ACD ∆中，30D ∠= ，3AC =，∴6AD =.考点：1.三角形外角平分线性质；2.圆的性质. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为31x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹； （2）若直线的极坐标方程为1sin cos θθρ-=，求直线被曲线C 截得的弦长.【答案】(1) C 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+,表示圆；【解析】试题分析：(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式进行转换即可; (2)将1sin cos θθρ-=转换为直角坐标方程，求出圆心C 到直线的距离，由勾股定理求弦长即可.（2）∵直线的直角坐标方程为1y x -=∴圆心C到直线的距离为2d ==. 考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直线坐标与极坐标的互化；3.直线与圆的位置关系. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1()||||f x x a x a=+++(0)a >. （1）当2a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）证明：1()()4f m f m +-≥. 【答案】(1) 111{|}44x x x <->或;(2)见解析.【解析】试题分析：(1)当2a =时，分区间去绝对值，分别解不等式即可；(2)由绝对值不等式的性质及基本不等式可得111111()()||||||||2||4f m f m a a m m m m a m a m+-=++-++++-+≥+≥. 试题解析： （1）当2a =时，1()|2|||2f x x x =+++，原不等式等价于21232x x x <-⎧⎪⎨---->⎪⎩或1221232x x x ⎧-≤≤-⎪⎪⎨⎪+-->⎪⎩或121232x x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪+++>⎪⎩ 解得：114x <-或φ或14x >. 不等式的解集为111{|}44x x x <->或.考点：1.绝对值不等式的解法；2.绝对值不等式的性质.。

长沙市2018届高三期末统一模拟考试文科数学本试题卷共7页，全卷满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.己知集合A = {x|x-1>0}，B={x| 2-x<0}，则下列结论正确的是 A.A∩B=AB.AUB=BC.“x∈A ”是“x∈B”的充分条件D.“x∈A ”是“x∈B”的必要条件 2.己知复数iz -=12，则下列结论正确的是 A. z 的虚部为i B.|z|=2C. 2z 为纯虚数 D. z 的共轭复数i z +-=13.己知a ，b 为单位向量，且a 丄(a+2b)，则向量a 与b 的夹角为 A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°4.设首项为1，公比为32的等比数列{a}的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是 A. Sn = 4-3a n B. Sn = 3-2a n C. Sn = 3a n -2 D. Sn = 2a n -15.己知/(x )是定义在R 上的偶函数，且当x 彡0时，/(x)=x 2—x ，则不等式/(x+2)<6 的解集是A.{x|—5<x<1}B.{x|—4<x<0}C.{x|—1<x<5}D.{x| 0<x<4}6.己知某几何体的正视图和俯视图是如图所示的两个全等的矩形，给出下列4个图形：其中可以作为该几何体的侧视图的图形序号是 A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④7.若正整数N 除以正整数m 后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。

下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的 “中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i 等于 A. 3B. 9C.27D.818.函数 )12)(++=x xx f x 的图象大致为9.设点A （1，0)，B(-1，0)，M 为动点，己知直线AM 与直线BM 的斜率之积为定值 m(m≠0)，若点M 的轨迹是焦距为4的双曲线（除去点A 、B)，则m =A. 15B. 3C.15D. 310.设函数 )2<||0,>,0>)(sin()(πϕωϕωA x A x f +=的部分图象如图所示，则)0(f = A. 3 B.23 C.2 D. 111. 11.己知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-00320y y x y x ，若z=ax+y 的最大值为4，则a=A.2B.21 C.-2 D.21- 12.设平行于x 轴的直线l 分别与函数xy 2=和12+=x y 的图象相交于点A,B,若函数x y 2=的图象上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则这样的直线lA.不存在B.有且只有一条C.至少有两条D.有无数条二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

湖南省长沙市长郡中学2018届高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x∈R|x2﹣6x﹣7＜0}，集合B={﹣2，1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{2} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）复数1﹣等于（）A．﹣i B．+i C．+i D．﹣i3．（5分）长郡中学高三学生小明利用暑假期间进行体育锻炼．一次他骑ofo共享单车时，骑的同一辆车第二次开锁（密码为四位数字）时忘记了密码的中间两位，只记得第二位数字是偶数，第三位数字非零且是3的倍数，则小明该输入一次密码能够成功开锁的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+1=0相交于A，B两点，若弦AB恰好被点（0，1）平分，则直线l的方程为（）A．2x+3y﹣3=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣1=0 D．x﹣y+1=0 5．（5分）函数f（x）=sin2x的图象与函数的图象关于直线x=m对称，则m的值不可能是（）A．B．C．D．6．（5分）已知，，则的值为（）A．B．C．D．7．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．b＞c＞a8．（5分）如图所示，边长为1的正方形网格中粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．8 D．129．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i=（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）函数的图象可能为（）A．B．C．D．11．（5分）定义：F：（x，y）=x+y2，若∃x∈[0，1]，满足不等于F（x+k，2x）+F（2x，x+k）≥6，则实数k的取值范围为（）A．k≤﹣3或k≥2 B．k≤﹣2或k≥﹣1C．k≤﹣2或k≥2 D．k≤﹣3或k≥﹣112．（5分）已知函数f（x）=ln x+2x，过点（2，5）可作曲线y=f（x）切线的条数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分）13．（5分）已知x，y满足则的最大值是．14．（5分）已知点P是抛物线y2=4x上的点，且点P到原点的距离为，则点P到该抛物线焦点的距离为．15．（5分）数列{a n}满足：，则a1+a2+…+a30=．16．（5分）已知边长为4的正方形ABCD中，AC与BD交于点E，且F、G分别是线段EC 和线段EB的中点，则（+）•=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S n+1=3S n+1，n∈N*，c n=log3a2n．（Ⅰ）求数列{c n}的通项公式；（Ⅱ），记数列{b n}的前n项和为T n，求证：．18．（12分）如图，已知多面体ABCDEF中，△ABD、△ADE均为正三角形，平面ADE⊥平面ABCD，AB∥CD∥EF，AD：EF：CD=2：3：4．（Ⅰ）求证：BD⊥平面BFC；（Ⅱ）若AD=2，求该多面体的体积．19．（12分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，长郡中学高三兴趣研究小组利用暑假空闲期间做了一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查，共调查了120人，其中女性70人，男性50人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：（Ⅰ）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系；（Ⅱ）根据统计数据建立一个2×2列联表；（Ⅲ）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系．附：20．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0），A，B，C，D是椭圆上的四个动点，且AB∥CD，，线段AC与BD交于椭圆E内一点P（m，n）．当点P的坐标为（0，0），且A，B分别为椭圆E的上顶点和右顶点重合时，四边形ABCD的面积为4．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）证明：当点A，B，C，D在椭圆上运动时，（n≠0）是定值．21．（12分）已知函数（a≠0）．（Ⅰ）若f（x）在点x=e处的切线与x轴平行，且f（x）在区间（0，+∞）上存在最大值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=b=1时，求不等式xf（x）﹣m≤0恒成立时m的最小整数值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：ρ=（ρ•cosθ+4）•cosθ．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求C1，C2的直角坐标方程；（Ⅱ）C与C1，C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺次为H，I，J，K，求||HI|﹣|JK||的值．【参考答案】一、选择题1．D【解析】根据题意，x2﹣6x﹣7＜0⇒﹣1＜x＜7，即A={x∈R|x2﹣6x﹣7＜0}={x|﹣1＜x＜7}，又由B={﹣2，1，0，1，2}，则A∩B={1，0，1，2}；故选：D．2．A【解析】1﹣=1﹣=1﹣=．故选：A．3．A【解析】∵密码为四位数字，忘记了密码的中间两位，只记得第二位数字是偶数，第三位数字非零且是3的倍数，∴基本事件总数n=5×3=15，∴小明该输入一次密码能够成功开锁的概率是p=．故选：A．4．D【解答】当直线l斜率不存在时，x=0带入圆方程，此时AB的中点不在F点，∴直线l的斜率存在，设直线方程为y=kx+1，带入圆的方程得，（k2+1）x2+（2﹣2k）x﹣2=0，∵弦AB的中点F坐标为（0，1），x1+x2=∴k=1，∴直线l的方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．故选：D．5．B【解析】由题意，令f（x）=g（x）即sin2x=cos（2x﹣），可得：cos（﹣2x）=cos（2x﹣），即﹣2x+2kπ=2x﹣．∴x=kπ，k∈Z．当k=﹣1时，可得x=，当k=0时，可得x=当k=1时，可得x=，∴m的值不可能．故选：B．6．D【解析】∵已知，，∴为锐角，cos（﹣θ）==，∴sin（﹣2θ）=2sin（﹣θ）cos（﹣θ）==cos2θ，cos（﹣2θ）=2﹣1==sin2θ，则=sin2θcos+cos2θsin=+=，故选：D．7．A【解析】∵＞（）0=1，=＞=＞20=1，＜=1．a，b，c的大小关系为a＞b＞c．故选：A．8．B【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P﹣ABCD，四个侧面三角形P AB、P AD、PBC、PCD全等，底面四边形ABCD为菱形，侧面积S=4×，底面积S=2×．∴该几何体的表面积为．故选：B．9．C【解析】第一次执行循环体后：S==，i=2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后：S=+=，i=3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后：S=++=1，i=4，不满足退出循环的条件，第一次执行循环体后：S=+++=，i=5，满足退出循环的条件，故输出的i值为5，故选：C10．A【解析】f（﹣x）===﹣f（x），∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除D，∵﹣1≤sin x≤1，∴当x＞1时，f（x）＜0，排除B，当x→+∞时，sin x﹣x→﹣∞，∴f（x）→0，且f（x）＜0，排除C，故选：A．11．C【解析】由题意，∃x∈[0，1]，满足不等于F（x+k，2x）+F（2x，x+k）≥6，∴x+k+（2x）2+2x+（x+k）2≥6，即5x2+x（3+2k）+k2+k﹣6≥0令g（x）=5x2+x（3+2k）+k2+k﹣6，∵∃x∈[0，1]，根据根的分布，函数g（x）≥0有解即可．可得：g（0）≥0．解得：k≤﹣3或k≥2，或g（1）≥0．可得k2+3k+2≥0，解得：k≤﹣2或k≥﹣1．综上可得：k≤﹣2或k≥﹣1．故选：C．12．C【解析】设切点为P（x0，ln x0+2x0），f（x）=ln x+2x的导数为f′（x）=+2，则f′（x0）=+2，则切线方程y﹣ln x0﹣2x0=（+2）（x﹣x0），代入（2，5）得，5﹣ln x0﹣2x0=（+2）（2﹣x0），即有2﹣ln x0=，方程的一个根x0=1，令y=2﹣ln x0﹣，函数在x＞2时是减函数，f（e）=1﹣＞0，f（e2）=﹣＜0，函数存在另一个零点，所以切线有两条．故选：C．二、填空题13．2【解析】x，y满足，对应的平面区域如下图示：由于=1+2×，其中表示平面上一定点（4，1）与可行域内任一点连线斜率，由图易得当该点为B（﹣3，﹣）时，的最大值是：=，则的最大值是1+2×=2．故答案为：2．14．3【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标（1，0），点P是抛物线y2=4x上的点，且点P到原点的距离为，设P（x，y），可得，解得x=2，y=±2，点P到该抛物线焦点的距离为：=3．故答案为：315．﹣840【解析】当n=1时，a1cos=1，可得a1=﹣2，当n=2时，a1cos+a2cos=4，可得a2=﹣6，当n=3时，a1cos+a2cos+a3cos=9，可得a3=5，则a1+a2+...+a30=（﹣2﹣6+5）+（﹣14﹣18+11）+...+（﹣110﹣114+59）=（﹣2﹣14﹣...﹣110）+（﹣6﹣18﹣...﹣114）+（5+11+ (59)=﹣20+×10×9×（﹣12）﹣60+×10×9×（﹣12）+50+×10×9×6 =﹣560﹣600+320=﹣840．故答案为：﹣840．16．﹣16【解析】以AB为所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，则A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），E（2，2）∴F（3，3），G（3，1）∴=（﹣3，1），=（﹣2，﹣2），=（3，1），∴+=（﹣3，1）+（﹣2，﹣2）=（﹣5，﹣1），∴（+）•=（﹣5，﹣1）•（3，1）=﹣16故答案为：﹣16三、解答题17．（Ⅰ）解：当n≥2时，a n+1=S n+1﹣S n=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，两式相减得：a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，∴．∵a1=1，∴a2=2S1+1=2a1+1=3，即．∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而，则c n=log3a2n=log332n﹣1=2n﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）有：=，∴==，由于T n随着n的增大而增大，∴T n最小值为．∴，∴．18．解：（Ⅰ）因为AB∥CD，所以∠ADC=120°，△ABD为正三角形，所以∠BDC=60°．设AD=a，因为AD：CD=2：4=1：2，所以CD=2a，在△BDC中，由余弦定理，得，所以BD2+BC2=CD2，所以BD⊥BC．取AD的中点O，连接EO，因为△ADE为正三角形，所以EO⊥AD，因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD．取BC的中点G，连接FG，OG，则，且EF∥OG，所以四边形OEFG为平行四边形，所以FG∥EO，所以FG⊥平面ABCD，所以FG⊥BD．因为FG∩BC=G，所以BD⊥平面BFC．（Ⅱ）过G作直线MN∥AD，延长AB与MN交于点M，MN与CD交于点N，连接FM，FN．因为G为BC的中点，所以MG=OA且MG∥OA，所以四边形AOGM为平行四边形，所以AM=OG．同理DN=OG，所以AM=OG=DN=EF=3．又AB∥CD，所以AM∥DN，所以AM∥DN∥EF，所以多面体MNF﹣ADE为三棱柱．过M作MH⊥AD于H点，因为平面ADE⊥平面ABCD，所以MH⊥平面ADE，所以线段MH的长即三棱柱MNF﹣ADE的高，在△AMH中，，所以三棱柱MNF﹣ADE的体积为．因为三棱锥F﹣BMG与F﹣CNG的体积相等，所以所求多面体的体积为．19．解：（Ⅰ）在等高条形图中，两个深颜色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深颜色条的高可以发现，女性中雾霾天外出戴口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出戴口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系；（Ⅱ）2×2列联表如下：（Ⅲ）由（Ⅱ）中数据，计算得：，所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系．20．解：（Ⅰ）由题可知：，解得a=2，b=1，所以椭圆E的标准方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），将点A，B的坐标代入椭圆方程得：，．两式相减得：（x1+x2）（x1﹣x2）=﹣4（y1+y2）（y1﹣y2），∵，∴（x1+x2）﹣2（y1+y2）=0，①将点C，D的坐标代入椭圆方程，同理可得：（x3+x4）﹣2（y3+y4）=0，∵AB∥CD，∴由AP=λPC（λ＞0），得（m﹣x1，n﹣y1）=λ（x3﹣m，y3﹣n），即，即x1=m（λ+1）﹣λx3，y1=n（λ+1）﹣λy3，②由BP=λPD，同理可得：x2=m（λ+1）﹣λx4，y2=n（λ+1）﹣λy4，③由①②③得：2m（λ+1）﹣λ（x3+x4）﹣2[2n（λ+1）﹣λ（y3+y4）]=0，整理得：2m（λ+1）﹣4n（λ+1）﹣λ[（x3+x4）﹣2（y3+y4）]=0，即2m（λ+1）﹣4n（λ+1）=0，∵λ+1≠0，n≠0，∴，所以是定值．21．解：（Ⅰ）=．∵f（x）在点x=e处的切线与x轴平行，∴f'（e）=0，∴b=0．因此，当a＞0时，在区间（0，e）上为正，在区间（e，+∞）上为负，因此f（x）在区间（0，e）上为增函数，在区间（e，+∞）上为减函数，即函数f（x）在x=e处取得唯一的极大值，即为最大值；当a＜0时，f（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）为增函数，即函数f（x）有最小值，无最大值．因此实数a的取值范围是（0，+∞）．（Ⅱ）当a=b=1时，设g（x）=xf（x）=ln x﹣e x，在区间（0，+∞）上为减函数，又g'（1）=1﹣e＜0，，因此存在唯一实数，使，由此得到，x0=﹣ln x0；此时g（x）在区间（0，x0）上为增函数，在区间（x0，+∞）上为减函数，由单调性知=，又，故，因此xf（x）﹣m≤0恒成立时m≥﹣2，即m的最小整数值为﹣2．22．解：（Ⅰ）∵曲线C1：ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1．∵曲线C2：ρ=（ρ•cosθ+4）•cosθ．∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．（Ⅱ）不妨设四点在C上的排列顺次至上而下为H，I，J，K，它们对应的参数分别为t1，t2，t3，t4，如图，连结C1，J，则△C1IJ为正三角形，∴|IJ|=1，||HI|﹣|JK||=||HI|﹣|IK|+|IJ||=||t1|﹣|t4|+1|=|﹣（t1+t4）+1|，把曲线C的参数方程为（t为参数）代入y2=4x，得：，即3t2+8t﹣32=0，故，∴||HI|﹣|JK||=．。

湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A、{1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，则实数m是（）A．1B．2C．3D．42．（5分）过点（2，）且平行于极轴的直线的坐标方程为（）A．ρsinθ=B．ρcosθ=C．ρsinθ=2 D．ρcosθ=23．（5分）设两个p、q，其中p：∀x∈R，不等式x2+2x﹣1＞0恒成立；q：当＜a＜1时，函数f（x）=（4a﹣3）x在R上为减函数，则下列为真的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q4．（5分）设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x，y）满足，则取得最小值时，点B的个数是（）A．1B．2C．3D．无数个5．（5分）若一个空间几何体的三个视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个空间几何体的外接球的表面积（）A．3B．3πC．9D．9π6．（5分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，把∠APB=θ，则tanθ的值是（）A．8B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列{}的前n项和为S2015的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，设=m+n （m，n∈R），则=（）A．B．C．D．19．（5分）已知直线y=kx（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有三个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）其中x1＜x2＜x3，则有（）A．s inx3=1 B．s inx3=x3cosx3C．s inx3=x3tanx3D．s inx3=kcosx310．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A（3，t）（t＞0）为抛物线C上一点，过点A的直线l交x轴的正半轴于点D，且△ADF为正三角形，则p=（）A．2B．18 C．2或18 D．4或36二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）复数的虚部是．12．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．13．（5分）图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是．14．（5分）设F1、F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率是．15．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈，若存在常数m∈R，满足：对任意的x1∈，都存在x2∈，使得=m，则常数m的值是．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表．优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为．（1）请完成上面的联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班10优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号．试求抽到6号或10号的概率．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．概率表P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63517．（12分）如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求BF与平面ABCD所成的角的正弦值．18．（12分）已知等差数列{a n}中，a1+a3+a5=21，a2+a4+a6=27，数列{b n}前n项和为S n，且4S n=3b n﹣a1．（1）求a n，b n；（2）当n∈N*时，求c n=的最小值与最大值．19．（13分）长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．20．（13分）已知椭圆C：+=1和圆M：（x+3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）交于A，B两点．（1）若A，B两点关于原点对称，求圆M的方程；（2）若点A的坐标为（0，2），O为坐标原点，求△OAB的面积．21．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A、{1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，则实数m是（）A．1B．2C．3D．4考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由A，B，以及A与B的并集，确定出m的值即可．解答：解：∵A={1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，∴m=2，故选：B．点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（5分）过点（2，）且平行于极轴的直线的坐标方程为（）A．ρsinθ=B．ρcosθ=C．ρsinθ=2 D．ρcosθ=2考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由点（2，）可得直角坐标．设P（ρ，θ）为所求直线上的任意一点，则，即可得出．解答：解：由点（2，）可得直角坐标为，即．设P（ρ，θ）为所求直线上的任意一点，则，即．故选：A．点评：本题考查了直线的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）设两个p、q，其中p：∀x∈R，不等式x2+2x﹣1＞0恒成立；q：当＜a＜1时，函数f（x）=（4a﹣3）x在R上为减函数，则下列为真的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：先判断出p，q的真假，再判断出复合的真假，从而得到答案．解答：解：p：∀x∈R，不等式x2+2x﹣1＞0不恒成立，∴p是假，q：当＜a＜1时，0＜4a﹣3＜1，函数f（x）=（4a﹣3）x在R上为减函数，∴q是真，∴￢p∧q是真，故选：C．点评：本题考查了复合的判断，考查了不等式以及指数函数的性质，是一道基础题．4．（5分）设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x，y）满足，则取得最小值时，点B的个数是（）A．1B．2C．3D．无数个考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：先画出点B（x，y）满足的平面区域，再把所求问题转化为求，x+y的最小值，借助于图象以及线性规划知识即可求得结论．解答：解：先画出点B（x，y）满足的平面区域如图，又因为=x+y．所以当在点A（0，1）和点B（1，0）处时，x+y最小．即满足要求的点有两个．故选B．点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用，是对基础知识的综合考查，属于基础题．5．（5分）若一个空间几何体的三个视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个空间几何体的外接球的表面积（）A．3B．3πC．9D．9π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，如图所示，AB=AC=AD=1，且AB，AC，AD两两垂直．把此三棱锥补成正方体，则这个空间几何体的外接球的直径为此正方体的对角线，即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，如图所示，AB=AC=AD=1，且AB，AC，AD两两垂直．把此三棱锥补成正方体，则这个空间几何体的外接球的直径为此正方体的对角线，因此这个空间几何体的外接球的表面积S==3π．故选：B．点评：本题考查了三棱锥的三视图、正方体的外接球的表面积计算，考查了计算能力，属于基础题．6．（5分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，把∠APB=θ，则tanθ的值是（）A．8B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意求出函数的周期与最值，过点P作PD⊥x轴于D，解出∠APD与∠BPD的正切值，利用两角和的正切函数求出tanθ．解答：解：由题意可知T==2，最大值为1；过P作PD⊥x轴于D，则AD==，DB=，DP=1，所以tan∠APD=与tan∠BPD=，所以tanθ=tan（∠APD+∠BPD）==8．故选：A．点评：本题考查三角函数的图象与两角和的正切函数公式的应用，题目新，考查理解能力、计算能力．7．（5分）已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列{}的前n项和为S2015的值为（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质；数列的求和．专题：函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据导数的定义求出函数f（x）的解析式，然后求出数列的通项公式，从而得到答案．解答：由题可知函数f（x）的图象在点A处的切线l的斜率为1，又f′（x）=2x+2b，故f′（0）=2b=1，即b=，从而f（x）=x2+x．故．所以=．故选：D．点评：本题主要考察导数的意义及数列的前n项和求法．8．（5分）已知||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，设=m+n （m，n∈R），则=（）A．B．C．D．1考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：依题意建立直角坐标系，加上点C在∠AOB内的限制，可得点C的坐标，在直角三角形中由正切函数的定义可求解．解答：解：因为•=0，所以⊥，故可建立直角坐标系，则=（1，0），=（0，），故=m+n=m（1，0）+n（0，）=（m，n），又点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，所以tan60°=，所以=1故选：D．点评：本题为向量的基本运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是一种非常有效的方法，属基础题．9．（5分）已知直线y=kx（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有三个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）其中x1＜x2＜x3，则有（）A．s inx3=1 B．s inx3=x3cosx3C．s inx3=x3tanx3D．s inx3=kcosx3考点：正弦函数的图象；同角三角函数间的基本关系．专题：数形结合．分析：由题意画出函数的图象，利用导函数的函数值就是直线的斜率，求出关系式，即可得到选项．解答：解：因为直线y=kx（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有三个公共点，如图所以函数y=|sinx|在x∈（π，2π）时函数为y=﹣sinx，它的导数为：y′=﹣cosx，即切点C（x3，y3）的导函数值就是直线的斜率k，所以k=，因为x∈（π，2π）∴，即，sinx3=x3cosx3故选B．点评：本题是中档题，考查导数的应用，函数的作图能力，分析问题解决问题的能力，考查数形结合的思想．10．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A（3，t）（t＞0）为抛物线C上一点，过点A的直线l交x轴的正半轴于点D，且△ADF为正三角形，则p=（）A．2B．18 C．2或18 D．4或36考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值．解答：解：当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，|AF|=3+，∴|FD|=|AF|=3+．∵△ADF为正三角形，∴|FG|=|FD|=+．又∵|FG|=|OG|﹣|OF|=3﹣，∴3﹣=+∴p=2．故选：A．点评：本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，比较基础．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）复数的虚部是﹣1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，∴复数的虚部是﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．12．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．解答：解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故答案为：．点评：本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．13．（5分）图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是10．考点：茎叶图；循环结构．专题：阅读型．分析：根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个故答案为：10点评：本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．14．（5分）设F1、F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率是．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理可知|PF1|=2=4b，根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=，∴e=═．故答案为：．点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．15．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈，若存在常数m∈R，满足：对任意的x1∈，都存在x2∈，使得=m，则常数m的值是．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式化简化简解析式，由x的范围求出的范围，由正弦函数的性质求出f（x）的值域，再由题意求出m的值即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=sinx+cosx=，因为x∈，所以∈，则当x=π时，即=时，函数f（x）取最小值是=﹣1，当x=时，即=时，函数f（x）取最大值是，所以函数f（x）的值域是，根据题意可得，m=，故答案为：．点评：本题考查正弦函数的性质，两角和的正弦公式，熟练掌握公式和定义是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表．优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为．（1）请完成上面的联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班10优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号．试求抽到6号或10号的概率．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．概率表P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验．专题：应用题．分析：（Ⅰ）由全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为，我们可以计算出优秀人数为30，我们易得到表中各项数据的值．（2）我们可以根据列联表中的数据，代入公式K2=计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案（3）本小题考查的知识点是古典概型，关键是要找出满足条件抽到6或10号的基本事件个数，及总的基本事件的个数，再代入古典概型公式进行计算求解．解答：解：（1）优秀非优秀总计甲班10 45 55乙班20 30 50合计30 75 105（2）根据列联表中的数据，得到k2=≈6.109＞3.841因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．（3）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（6，6），共36个．事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个∴P（A）==．点评：独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式K2=计算出k2值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．17．（12分）如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求BF与平面ABCD所成的角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由线面垂直得BF⊥AE，从而平面ABCD⊥平面ABE，由BC⊥AB，得BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE，由此能证明AE⊥平面BCE．（2）取AB的中点O，连结OC、OE，过F作FG∥OE，交OC于G，由已知得∠FBG为BF 与平面ABCD所成的角，由此能求出BF与平面ABCD所成的角的正弦值．解答：（1）证明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角，∴平面ABCD⊥平面ABE，又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE，又BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE．（2）解：取AB的中点O，连结OC、OE，过F作FG∥OE，交OC于G，∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角，∴平面ABCD⊥平面ABE，∴OE⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，∴∠FBG为BF与平面ABCD所成的角，由（1）知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，EO=1，在直角三角形BCE中，CE==，BF===，FC=，∴FG=，在直角三角形BGF中，sin==，∴BF与平面ABCD所成的角的正弦值为．点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．18．（12分）已知等差数列{a n}中，a1+a3+a5=21，a2+a4+a6=27，数列{b n}前n项和为S n，且4S n=3b n﹣a1．（1）求a n，b n；（2）当n∈N*时，求c n=的最小值与最大值．考点：数列递推式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列通项的性质，求出公差，可求等差数列{a n}的通项，利用再写一式，两式相减，可得数列{b n}是以﹣3为首项，﹣3为公比的等比数列，可求数列{b n}的通项；（2）分类讨论，求出c n=的最小值与最大值．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∴a1+a3+a5=21，a2+a4+a6=27，∴3a3=21，3a4=27，∴a3=7，a4=9，∴d=2，∴a n=a3+2（n﹣3）=2n+1，∴a1=3，∴4S n=3b n﹣3，①n=1时，4S1=3b1﹣3，∴b1=﹣3，n≥2时，4S n﹣1=3b n﹣1﹣3②，∴①﹣②整理得b n=﹣3b n﹣1，∴数列{b n}是以﹣3为首项，﹣3为公比的等比数列，∴b n=（﹣3）n；（2）c n==，n为奇数时，c n=4﹣，∵3n+1≥4，（n=1时取等号）∴≤4﹣＜4，n为偶数时，c n=4+，∵3n﹣1≥8，（n=2时取等号）∴4＜4+≤，综上，≤c n≤，c n≠4，∴c n=的最小值，最大值是．点评：本题考查等差数列于等比数列的定义，通项公式，考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（13分）长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；综合题．分析：（1）连接AC，根据余弦定理求得cos∠ABC的值，进而求得∠ABC，然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积，二者相加即可求得四边形ABCD的面积，在△ABC中，由余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得外接圆的半径．（2）设AP=x，CP=y．根据余弦定理求得x和y的关系式，进而根据均值不等式求得xy的最大值，进而求得△APC的面积的最大值，与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值．解答：解：（1）因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：AC2=42+62﹣2×4×6×cos∠ABC=42+22﹣2×2×4cos∠ADC、所以cos∠ABC=，∵∠ABC∈（0，π），故∠ABC=60°．S四边形ABCD=×4×6×sin60°+×2×4×sin120°=8（万平方米）．在△ABC中，由余弦定理：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=16+36﹣2×4×6×．AC=2．由正弦定理==2R，∴2R===，∴R=（万米）．（2）∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC，又S△ADC=AD•CD•sin120°=2，设AP=x，CP=y．则S△APC=xy•sin60°=xy．又由余弦定理AC2=x2+y2﹣2xycos60°=x2+y2﹣xy=28．∴x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy=xy．∴xy≤28，当且仅当x=y时取等号∴S四边形APCD=2+xy≤2+×28=9，∴最大面积为9万平方米．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用以及基本不等式求最值．考查了基础知识的综合运用．20．（13分）已知椭圆C：+=1和圆M：（x+3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）交于A，B两点．（1）若A，B两点关于原点对称，求圆M的方程；（2）若点A的坐标为（0，2），O为坐标原点，求△OAB的面积．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得OM⊥AB，求出OM以及OM的斜率，再求出直线AB的斜率和方程，与椭圆的方程联立求出A、B的坐标，再求出|AB|和半径r，即可求出圆M的方程；（2）设直线AB的方程是y=kx+2，分别和椭圆、圆的方程联立求出A、B的坐标和直线AB 的方程，再由点到直线的距离公式和三角形的面积公式，求出△OAB的面积．解答：解：（1）∵A，B两点关于原点对称，∴圆M的弦AB中点是O，则OM⊥AB，由圆M：（x+3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）得，M（﹣3，2），则点M到直线AB的距离是OM==，且k OM=，则，∴直线AB的方程是3x﹣2y=0，由得，A、B的坐标是，，∴弦|AB|==，∴r2==，所以圆M的方程是：（x+3）2+（y﹣2）2=；（2）由题意设直线AB的方程是y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（1+3k2）x2+12kx=0，∴x1=0，x2=，把点A（0，2）代入（x+3）2+（y﹣2）2=r2，解得r2=9，由得，（1+k2）x2+6x=0，∴x1=0，x2=，由=得，2k3﹣3k2+2k﹣1=0，则（k﹣1）（2k2﹣k+1）=0，解得k=1，∴A（0，2），B（﹣3，﹣1），直线AB的方程是y=x+2，则|AB|=3，点O到直线AB的距离d==，∴△OAB的面积S==3．点评：本题考查直线与圆、椭圆的位置关系，以及圆的弦的性质，考查化简、计算能力．21．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）利用导数求函数的单调区间，注意对参数a的分类讨论；（2）背景为指数函数y=e x与对数函数y=lnx关于直线y=x对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y=x对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；（3）考查利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题e x≥x+1这个结论，考查学生对课本知识的掌握程度．解答：（1）解：依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导，得．①若a≤0，对一切x＞0有f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．②若a＞0，当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0．所以函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是．（3分）（2）解：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，，所以x2=1，y2=e，则．由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则，所以，．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得．（6分）令，则，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．若x1∈（0，1），因为，，所以，而在上单调递减，所以．若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以（舍去）．综上可知，．（9分）（3）证明：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）﹣ax+e x，．①当a≤2时，因为e x≥x+1，所以，h（x）在．（14分）点评：本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题及研究不等式恒成立问题．。

文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{|1}U x x =>，集合{|2}A x x =>，则U C A =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|12}x x << C ．{|2}x x > D ．{|2}x x ≤2.设i 是虚数单位，则复数25()2i i-+=+（ ） A ．22i - B ．1i - C ．3i - D ．115i - 3.已知(cos,sin )66a ππ=，55(cos ,sin )66b ππ=，则||a b -=（ ） A ．1 B ．62 C ．3 D ．1024.分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为（ ） A ．710 B ．310 C ．35 D ．255.在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．15 6.将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ）7.某棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该棱锥的体积等于（ ） A ．310cm B ．320cm C ．330cm D ．340cm8.已知点(1,2)-和33在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ） A ．(,)43ππB ．3(0,)(,)34πππC ．35(,)46ππD ．23(,)34ππ9.若不等式组1010102x y x y y ⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩表示的区域Ω，不等式2211()24x y -+≤表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻约为（ ） A ．114 B ．10 C ．150 D ．5010.已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点F 也是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，1C 与2C 的一个交点为P ，若PF x ⊥轴，则双曲线1C 的离心率为（ ）A 21B 2C 21D 3111.已知函数22()()()n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数且()(1)n a f n f n =++，则12350a a a a ++++=（ ）A ．50B ．60C ．70D ．80 12.若函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间上单调递增的是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(2,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，'()f x 为()f x 的导函数，'(1)2f =，则a = .14.若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为 .15.抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .16.若定义在区间D 上的函数()y f x =满足：对,x D M R ∀∈∃∈，使得|()|f x M ≤恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上有界，则下列函数中有界的是 .①sin y x =；②1y x x=+；③tan y x =；④x x x xe e y e e ---=+；⑤321(44)y x ax bx x =+++-≤≤，其中,a b R ∈.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分） 已知函数2()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取最小值.（1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知31,2,()2a b f A ===，求角C . 18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD AB ，2AB BC CP BP ====，1CD =. （1）求点B 到平面DCP 的距离；（2）点M 为线段AB 上一点（含端点），设直线MP 与平面DCP 所成角为α，求sin α的取值范围.19. （本小题满分12分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中,n p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[10,15)的概率. 20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上的左、右顶点分别为,A B ，1F 为左焦点，且1||2AF =，又椭圆C 过点(0,23).（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2216x y +=上（点,A B 除外），设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若1234k k =，证明：,,A P Q 三点共线. 21. （本小题满分12分） 已知函数()ln f x x x =.（1）求函数()y f x =的单调区间和最小值； （2）若函数()()f x a F x x -=在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； （3）若k Z ∈，且()(1)0f x x k x +-->对任意1x >恒成立，求k 的最大值. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（1）求证：//BC DE ；（2）若,,,D E C F 四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线112:3x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）设l 与1C 相交于,A B 两点，求||AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的123倍，得到曲线2C ，设点P是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|2|2f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|64}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围.详细答案1.A【解析】本题主要考查集合的基本运算.由补集的定义可知,,故选A.2.B【解析】本题主要考查复数的基本运算.=,故选B.3.C【解析】本题主要考查平面向量的线性运算和向量的模. ,=====,故选C.4.A【解析】本题主要考查几何概型.根据题意,,所以点所在的平面区域是一个面积为15的长方形,而满足的点所在的平面区域是一个面积为的直角梯形,所以的概率为,故选A.5.B【解析】本题主要考查流程图.由流程图可知,,故选B.6.D【解析】本题主要考查余弦函数的图象. 将函数的图象向左平移个单位后得到,故选D.7.B【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由三视图可知,该几何体为四棱锥,其底面是边长为5的正方形,高为,所以体积为,故选B.8.D【解析】本题主要考查二元一次不等式表示的平面区域、直线的倾斜角和斜率.因为点和在直线的同侧,所以,解得,所以直线斜率,所以直线倾斜角的取值范围是,故选D.【解析】本题主要考查几何概型. 不等式组表示的区域是一个三角形,其面积为,不等式表示的区域的面积即为圆的面积,等于,区域和区域的相交部分是一个整圆去掉一个弓形,其面积为,所以落入区域中的概率为,所以向区域均匀随机撒360颗芝麻,则落在区域中芝麻约为,故选A.10.A【解析】本题主要考查双曲线和抛物线的性质.根据题意,,设双曲线的另一个焦点为,则,因为为直角三角形,所以,根据双曲线的定义,,所以,所以双曲线的离心率为=,故选A.11.A【解析】本题主要考查数列求和.由条件可知,当时,,当时,,所以===,故选A.12.D【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.由题意知,因为函数的导函数在区间上有零点,所以令则,又,所以,令,解得,即函数的单调递增区间为,因为所以与题意相符,故选D.13.2【解析】本题主要考查导数运算.,所以,故答案为2.【解析】本题主要考查简单的线性规划.先画出不等式组所表示的平面区域,由图象可知,当直线过的交点时取得最大值,代入可得最大值为4,所故答案为4.15.【解析】本题主要考查抛物线和双曲线的方程和性质.设与轴的交点为D,则=, ,所以点的坐标为,又点在双曲线上,所以,解得,故答案为.16.①④⑤【解析】本题主要考查函数的性质.对于①,显然存在对,使得恒成立,所以①是有界的;对于②,该函数为奇函数,定义域为,当时,,故不存在,使得恒成立,所以②不是有界的;对于③,由于其值域为,故不存在,使得恒成立,所以③不是有界的;对于④,设,则,故存在对,使得恒成立,所以④是有界的;对于⑤,其中,由于函数是闭区间上的连续函数,故必存在,对,使得恒成立,所以⑤,其中是有界的,故答案为①④⑤.17.(Ⅰ)f(x)=2sin x·+cos xsin φ-sin x=sin x+sin xcosφ+cos xsin φ-sin x=sin xcosφ+cos xsin φ=sin(x+φ).因为f(x)在x=π处取最小值,所以sin(π+φ)=-1,故sin φ=1.又0<φ<π,所以φ=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=sin(x+)=cos x.因为f(A)=cos A=,且A为△ABC的内角,所以A=.由正弦定理得sin B==,所以B=或B=.当B=时,C=π-A-B=π--=,当B=时,C=π-A-B=π--=.综上所述,C=或C=.【解析】本题考查三角函数的性质、三角恒等变换、正弦定理等基础知识,考查考生的运算求解能力,考查分类与整合的数学思想.第一问实际上就是通过三角恒等变换把函数转化为一个角的三角函数,然后根据三角函数的性质即可解决;第二问在第一问的基础上根据给出的条件可以求出角A或角A的一个三角函数值,这样就把问题转化为在三角形中已知两边及一边的对角,解这个三角形.18.(1)过点作,由平面平面可知,即点到面的距离,在正中,,即点到平面的距离为.(2)∵,所以点到平面的距离即点到平面的距离,而,所以.【解析】本题主要考查空间中垂直的证明和距离的求解. (1) 过点作,由平面平面可知,即点到面的距离;(2)确定点到平面的距离即点到平面的距离,利用的范围即可求出的取值范围.19.(1)因,所以,所以,,.中位数位于区间,设中位数为,则,所以,所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次.(2)由题意知样本服务次数在有20人,样本服务次数在有4人,如果用分层抽样的方法从样本服务次数在和的人中共抽取6人,则抽取的服务次数在和的人数分别为:和.记服务次数在为,在的为.从已抽取的6人任选两人的所有可能为:,,,共15种,设“2人服务次数都在”为事件,则事件包括共10种,所有.【解析】本题主要考查频率分布表、频率分布直方图、分层抽样、古典概型. (1)先根据频率分布表的第一行求出的值,接着就可以依次求出的值,再根据频率分布直方图中中位数两边的面积相等就可求出中位数;(2)根据分层抽样的原则,先求出样本服务次数在和的人数,再求出从这6人中选2人的方法总数和2人服务次数都在的方法数,进而就可求出从这6人中选2人,2人服务次数都在的概率.20.(1)由已知可得,又,解得,故所求椭圆的方程为.(2)由(1)知,,设,所以,因为在椭圆上,所以,即,所以.又因为,所以.()由已知点在圆上,为圆的直径,所以,所以)由()()可得,因为直线有共同点,所以三点共线.【解析】本题主要考查直线和圆锥曲线. (1)由椭圆性质和求得,即可得到椭圆的方程;(2)要证三点共线,只需证直线斜率相等.设,求得,根据的关系证明结论即可.21.(1)因为,令,即,所以,同理,令,可得,所以的单调递增区间为,单调减区间为.(2),Ⅰ．当时,在上单调递增,,所以,舍去. Ⅱ．当时,在上单调递减,在上单调递增,①若在上单调递增,,所以,舍去,②若在上单调递减,在上单调递增,所以,解得.③若在上单调递减,,所以,舍去,综上所述,.(3)由题意得:对任意恒成立,即对任意恒成立.令,则,令,则,所以函数在上单调递增,因为方程在上存在唯一的实根,且,当时,,即,当时,,即.所以函数在上递减,在上单调递增.所以所以,又因为,故整数的最大值为3.【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用. (1)先求出函数的导函数,令求出增区间,令求出减区间,进而就可得到函数的最小值;(2)求出函数的导函数,通过对和分别讨论得到函数的单调性从而求出函数在上的最小值,然后令其等于即可求出的值;(3)先将不等式变形为,令,对其求导,得到其单调性,求出其最小值,从而就可求出的取值范围,进而得到的最大值.22.(1)∵的平分线与圆交于点∴,∵,∴,∴,∴.(2)因为四点共圆,所以,由(1)知,,所以.设,因为,所以,所以,在等腰三角形中,,则,所以.【解析】本题主要考查直线和直线平行的证明、圆内接四边形的性质. (1)通过证明内错角相等得到;(2)由四点共圆可得,然后利用三角形内角和为计算出的值.23.(1)直线的普通方程为的普通方程为,联立方程组,解得与的交点为,则.(2)曲线为为参数),故点的坐标是,从而点到直线的距离是,由此当时,取得最小值,且最小值为.【解析】本题主要考查参数方程. (1)将直线和曲线的参数方程都化为普通方程,并联立两个方程,求出交点坐标,利用两点间的距离公式便可求出;(2)根据坐标变换得出曲线的方程,利用点到直线的距离公式,结合三角函数的最值便可得到点到直线的距离的最小值.24.(1),∴,∴,.(2)由(1)知,,的图象如图:要使解集非空,或,∴.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法. (1)由解得,结合不等式的解集即可得到的值; (2)不等式整理可得,令画出的图象,结合图象,要使解集非空,需满足或,解之得到的取值范围.参考答案一、选择题 ABCAB ABDAA AD 二、填空题13. 2 14. 4 15. 23 16.①④⑤ 三、解答题17.（1）1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=•+- sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++- sin cos cos sin sin()x x x ϕϕϕ=+=+（2）因为3()2f A =，所以3cos 2A =，因为角A 为ABC ∆的内角，所以6A π=. 又因为1,2a b ==，所以由正弦定理，得sin sin a bA B=， 也就是sin 12sin 222b A B a ===， 因为b a >，所以4B π=或34B π=.当4B π=时，76412C ππππ=--=；当34B π=时，36412C ππππ=--=. 18．（1）过点B 作BF PC ⊥，由平面DCP ⊥平面BCP 可知，BF 即点B 到面DCP 的距离，在正PBC ∆中，3BF =B 到平面DCP 3（2）∵//CD AB ，所以点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离，而[2,MP ∈，所以sin BF MP α=∈. 19．（1）因200.25M ÷=，所以80M =，所以500.62580n ==， 310.250.6250.050.07540p =---==， 10.12558n a ===. 中位数位于区间[15,20)，设中位数为(15)x +，则0.1250.25x =，所以2x =，所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次. （2）由题意知样本服务次数在[10,15)有20人，样本服务次数在[25,30)有4人，如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在[10,15)和[25,30)的人数分别为：206524⨯=和46124⨯=. 记服务次数在[10,15)为12345,,,,a a a a a ，在[25,30)的为b . 从已抽取的6人任选两人的所有可能为：121314151232425234(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a b a a a a a a a b a a 3534545(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a a a b a b 共15种，设“2人服务次数都在[10,15)”为事件A ，则事件A 包括1213141523242534(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a a a a a a a a 3545(,),(,)a a a a共10种， 所有102()153P A ==.20．（1）由已知可得2,a c b -==22212b a c =-=，解得4a =，故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以2111121114416PA y y y k k x x x •=•=+--，因为11(,)P x y 在椭圆C 上，所以221111612x y +=，即22113124y x =-，所以2112131234164PA x k k x -•==--. 又因为1234k k =，所以21PA k k •=-.（a ） 由已知点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径， 所以QA QB ⊥，所以21QA k k •=-（b ）由（a ）（b ）可得PA QA k k =，因为直线,PA QA 有共同点A ， 所以,,A P Q 三点共线.21.（1）因为'()ln 1(0)f x x x =+>，令'()0f x ≥，即1ln 1ln x e -≥-=，所以1x e≥， 同理，令'()0f x ≤，可得1(0,]x e∈，所以()f x 的单调递增区间为1[,)e+∞，单调减区间为1(0,]e.（2）()ln a F x x x =-，'2()x a F x x+=， Ⅰ．当0a ≥时，'()0F x >，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去.Ⅱ．当0a <时，()F x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增， ①若(1,0)a ∈-，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去， ②若[,1]a e ∈--，()F x 在[1,]a -上单调递减，在[,]a e -上单调递增，所以min 3()(1)ln()2F x F a a ==-+=，解得[,1]a e =--. ③若(,)a e ∈-∞-，()F x 在[1,]e 上单调递减，min 3()()12a F x F e e ==-=，所以(,)2ea e =-∉-∞-，舍去，综上所述，a =（3）由题意得：(1)ln k x x x x -<+对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立.令ln ()1x x x h x x +=-，则'2ln 2()(1)x x h x x --=-，令()ln 2(1)x x x x ϕ=-->，则'11()10x x x xϕ-=-=>，所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，因为方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈，当01x x <<时，()0x ϕ<，即'()0h x <，当0x x >时，()0x ϕ>，即'()0h x >.所以函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增. 所以0000min 0000(1ln )(12)()()(3,4)11x x x x h x h x x x x ++-====∈--所以min 0()k g x x <=，又因为0(3,4)x ∈，故整数k 的最大值为3. 22.（1）∵BAC ∠的平分线与圆交于点D ∴EDC DAC ∠=∠，DAC DAB ∠=∠，∵BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∴EDC DCB ∠=∠， ∴//BC DE .（2）因此,,,D E C F 四点共圆，所以CFA CED ∠=∠， 由（1）知，ACF CED ∠=∠， 所以CFA ACF ∠=∠. 设DAC DAB x ∠=∠=，因为AC BC =，所以2CBA BAC x ∠=∠=，所以3CFA FBA FAB x ∠=∠+∠=，在等腰三角形ACF 中，7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=， 则7x π=，所以227BAC x π∠==.23.（1）直线l 的普通方程为3(1)y x =-，1C 的普通方程为221x y +=，联立方程组223(1)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得l 与1C 的交点为13(1,0),(,2A B ，则||1AB =.（2）曲线2C 为1cos 23sin 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P 的坐标是13(cos ,sin )22θθ，从而点P 到直线l 的距离是33|cos sin 3|322[2sin()2]244d θθπθ--==-+，由此当sin()14πθ-=-时，d 取得最小值，且最小值为6(21)4-. 24.（1）|2|62x a a -≤-，∴26262a x a a -≤-≤-， ∴333322a x a -≤≤- 3362a -=-，2a =-. （2）由（1）知，2|22|1(1)x k x ++≤-，23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩，()g x 的图象如图：要使解集非空，212k ->或211k -≤-， ∴{|330}k k k k ><=或或.。

2017-2018学年 数学（文史类）第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设i 为虚数单位，则复数3i -的虚部是（ ） A ．3 B ．i - C ．1 D ．-12.记集合{}{}|20,|sin ,A x x B y y x x R =+>==∈，则A B =（ ）A ．()2,-+∞B ．[]1,1-C ．[][)1,12,-+∞ D ．(]2,1-3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱4.已知向量()()cos ,sin ,sin ,cos a b αβαβ==，若//a b ，则,αβ的值可以是（ ） A ．,33ππαβ==- B ．2,33ππαβ==C ．7,310ππαβ==- D ．,36ππαβ==-5.已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ）A ．()111n n a -=-+ B ．2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数C ．2sin 2n n a π= D ．()cos 11n a n π=-+ 6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且()1,101,01x f x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩，则下列函数值为1的是（ ） A ．()2,5f B ．()()2.5ff C ．()()1.5f f D ．()2f7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算210K =，则下列选项正确的是：（ ） A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 8.函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和 C ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．28y x =B ．28x y =C ．24y x =D ．24x y =10.非负实数x y 、满足()ln 10x y +-≤，则关于x y -的最大值和最小值分别为（ ） A ．2和1 B ．2和-1 C ．1和-1 D ．2和-211.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.912.已知函数()(),1xf x eg x x ==+，则关于()(),f x g x 的语句为假的是（ ）A ．()(),x R f x g x ∀∈>B ．()()1212,,x x R f x g x ∃∈<C ．()()000,x R f x g x ∃∈=D ．0x R ∃∈，使得()()()()00,x R f x g x f x g x ∀∈-≤- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在空间直角坐标系中，已知点()()1,0,1,1,1,2A B -，则线段AB 的长度为__________． 14.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3352,15S a S ==，则2015a = _________． 15. ABC ∆的周长等于()2sin sin sin A B C ++，则其外接圆半径等于____________．16. M N 、分别为双曲线22143x y -=左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则MN v 的最小值为___________．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ． （1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．18.（本小题满分12分）空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，050为优；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300>为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天 的AQI 的茎叶图如右．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI ≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本中的空气质量不佳（100AQI >）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求这该两天的空气质量等级恰好不同的概率． 19.（本小题满分12分）如图，矩形BDEF 垂直于正方形,ABCD GC 垂直于平面ABCD ．且22AB DE CG ===．（1）求三棱锥A FGC -的体积； （2）求证：面GEF ⊥面AEF ．20.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的顶点到直线1:l y x =2．（1）求1C 的标准方程；（2）设平行于1l 的直线l 交1C 于A B 、两点，若以AB 为直径的圆恰过坐标原点，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分） 已知函数()2af x x x=+（a 为常数）． （1）若()f x 在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）判断是否存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点，并证明你的结论． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，C D 、是以AB 为直径的半圆上两点，且AD CD =．（1）若//CD AB ，证明：直线AC 平分DAB ∠；（2）作DE AB ⊥交AC 于E ．证明：2CD AE AC =．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为[)24cos 30,0,2ρρθθπ-+=∈．（1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线 2C 的参数方程为cos 6sin 6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设,,αβγ均为实数．（1）证明：()()cos cos sin ;sin cos cos αβαβαβαβ+≤++≤+． （2）若0αβγ++=，证明：cos cos cos 1αβγ++≥．参考答案一、选择题二、填空题三、解答题 17.【解析】（1）11sin sin 22POC ODC S S S OP OC POC OQ OC QOC ∆∆=+=∠+∠．．．．．．．．．3分2sin 2sin 0,33ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分2sin 0,33ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 因为0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 故当且仅当32ππθ+=，即6πθ=时，S 最大，且最大值为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分18．【解析】（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，．．．．． 2分故该样本中空气质量优良的频率为42105=，．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 估计该月空气质量优良的频率25，从而估计该月空气质量优良的天数为230125⨯=．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）该样本中轻度污染共4天，分别记为1234,,,a a a a ； 中度污染1天，记为b ；重度污染1天，记为c ，从中随机抽取两天的所有可能结果表示为：()()()()()()()()()()()()()()()12131411232422343344,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a c a a a a a b a c a a a b a c a b a c b c共15个．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 其中空气质量等级恰好不同的结果有()()()()()()()()()11223344,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a b a c a b a c a b a c b c 共9个．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为93155=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.【解析】（1）因为面BDEF ⊥面ABCD ， 面BDEF面,ABCD BD FB BD =⊥，所以FB ABCD ⊥面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又因为CG ⊥面ABCD ，故//CG FB ，112PGC BGC S S BC GC ∆∆==⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 因数,AB FB AB BC ⊥⊥， 所以AB 即三棱锥A FGC -的高， 因此三棱锥A FGC -的体积121233V =⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）如图，设EF 的中点为M ，连结AM GM AG 、、． 在RT ACG ∆中可求得3AG =；在直角梯形FBCG EDCG 、中可求得FG EG ==在RT ABF RT ADE ∆∆、中可求得AF AE ==；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 从而在等腰AEF ∆，等腰GEF ∆中分别求得AM GM = 此时在AMG ∆中有222=AM GM AG +，所以AM GM ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 因为M 是等腰AEF ∆底边中点，所以AM EF ⊥， 所以AM GEF ⊥平面，因此面GEF ⊥面AEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.【解析】（1）由直线1l 的方程知，直线1l 与两坐标轴的夹角均为45°， 故长轴端点到直线1l的距离为2，短轴端点到直线1l的距离为2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分求得2,1a b ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以1C 的标准方程为2214x y +=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）依题设直线():0l y x t t =+≠，由2214y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2258440x tx t ++-=， 判别式()226416510t t ∆=-⨯->解得t <．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设()()1122,,,A x y B x y ，则1221285445t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故()()()221212121245t y y x t x t x x x x t t -=++=+++=， 设原点为O ，以AB 为直径的圆恰过坐标原点，故OA OB ⊥，所以0OA OB =，即221212444055t t x x y y --+=+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分解得：5t =±，满足t <0t ≠， 故所求直线l的方程为y x =y x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.【解析】（1）()32222a x af x x x x -'=-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为()f x 在()0,+∞上单调递增所以320x a -≥即32a x ≤在()0,+∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分而32y x =在()0,+∞上单调递增，故32x 的值域为()0,+∞，所以0a ≤，即a 的取值范围为(]0,+∞；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）不存在这样的直线l ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分证明：假设存在这样的直线l ，设两切点分别为()()()()1122,,,x f x x f x ，其中12x x ≠， 依题意有()()()()211221f x f x f x f x x x -''==-，由()()12f x f x ''=得：12221222a a x x x x -=-， 即()()()21211222122a x x x x x x x x -+-=，显然12120,0x x x x +≠-≠．．．．．．．．．．．．．．8分故2212122x x a x x =-+；而()()()2221212111211222121112122a ax x f x f x x x a a af x x x x x x x x x x x x x +---'-=-+=+--+--212221121222x x x x x x x x x =-+-++ ()22112x x x x -=-+0≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分即()()()()211221f x f x f x f x x x -''=≠-，故不存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.【解析】（1）由题设//CD AB 可知，DCA BAC ∠=∠， 因为AD DC =，所以DAC DCA ∠=∠，从而DAC BAC ∠=∠，因此，AC 平分DAB ∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）连结BD ，由DE AB ⊥知，090ADE DAB ∠+∠=，因为AB 为直径，所以090DBA DAB ∠+∠=， 从而ADE ABD ∠=∠，又因为ABD DCA ∠=∠， 所以ADE ACD ∠=∠， 因此ADEACD ∆∆，所以2AD AE AC =，而AD DC =，所以2CD AE AC =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.【解析】（1）将222c os x y xρρθ⎧=+⎨=⎩代入24cos 30ρρθ-+=得：()2221x y -+=．．．．．．．．4分（2）由题设可知，2C 是过坐标原点，倾斜角为6π的直线， 因此2C 的极坐标方程为6πθ=或76πθ=，0ρ>，将6πθ=代入21:30C ρ-+=，解得：ρ=同理，将76πθ=代入1C 得：ρ=故12,C C 公共点的极坐标为6π⎫⎪⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24.【解析】（1）()cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβαβαβ+=-≤+≤+； ()sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβαβαβ+=+≤+≤+．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知，()()()cos cos sin cos cos cos αβγαβγαβγ++≤++≤++， 而0αβγ++=，故cos cos cos 1αβγ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

2017届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学（文）试题一、选择题1．设全集{|1}U x x =>，集合{|2}A x x =>，则U C A =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|12}x x << C ．{|2}x x > D ．{|2}x x ≤ 【答案】A【解析】试题分析：{|12}U C A x x =<≤,故选A. 【考点】集合的运算.2．设i 是虚数单位，则复数25()2i i-+=+（ ） A ．22i - B ．1i - C ．3i - D ．115i -【答案】B【解析】试题分析：255(2)()11212(2)(2)i i i i i i i --+=-+=-+-=-++-,故选B. 【考点】复数的运算.3．已知(cos ,sin )66a ππ= ，55(cos,sin )66b ππ= ，则||a b -= （ ） A ．1 B【答案】C【解析】试题分析：因为55(cos cos,sin sin )6666a b ππππ-=--=，所以||a b -C.【考点】向量的坐标运算.4．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为（ ） A ．710 B ．310 C ．35 D ．25【答案】A【解析】试题分析：分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则点(,)P m n 构成的平面区域为一矩形ABCD ，在矩形内且m n >的区域为梯形ABCE ，如下图所示，所以所求概率21721510ABCE ABCDS P S ===梯形矩形，故选A.【考点】几何概型.5．在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．15 【答案】D【解析】试题分析：此程序框图所表示的算法功能为1234515S =++++=，故选D.【考点】程序框图. 6．将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ）【答案】D.【解析】试题分析：将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的函数解析式为cos[3()]cos(3)sin 31832y x x x πππ=++=+=-，故选D. 【考点】1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.7．某棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该棱锥的体积等于（ ）A ．310cm B ．320cm C ．330cm D ．340cm【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，所以其体积1543203V =⨯⨯⨯=，故选B.【考点】1.三视图；2.多面体的体积. 8．已知点(1,2)-和在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ） A ．(,)43ππB ．3(0,)(,)34πππC ．35(,)46ππD ．23(,)34ππ【答案】D【解析】试题分析：因为点(1,2)-和(3在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧,所以(201)0a --+-+>，即(1)(0a a +<，所以1a <<-，又直线l 的斜率k a=，即1k <<-，所以倾斜角的范围为23(,)34ππ，故选D. 【考点】1.直线的倾斜角与斜率；2.线性规划.9．若不等式组1010102x y x y y ⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩表示的区域Ω，不等式2211()24x y -+≤表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻约为（ ）A ．114B ．10C ．150D ．50 【答案】A【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示，其中芝麻落在区域Γ内的概率为23111132422221336322P ππ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯ ⎪+⎝⎭==⨯⨯，所以落在区域Γ中芝麻约为3236011436π+⨯≈,故选A.【考点】1.线性规划；2.几何概型.【名师点睛】本题考查几何概型与线性规划，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过线性规划相关知识来完成的，把线性规划与几何概型有机的结合在一起是本题的亮点.10．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 也是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，1C 与2C 的一个交点为P ，若PF x ⊥轴，则双曲线1C 的离心率为（ ）A1 B1 D1 【答案】A【解析】试题分析：由题意可知22,22p b c p a ==，所以224b c a=，即222c a ac -=，所以2210e e --=，解之得1e =，故选A.【考点】1.双曲线的标准方程与几何性质；2.抛物线的标准方程与几何性质. 11．已知函数22()()()n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数且()(1)n a f n f n =++，则1235a a a a ++++= （ ）A ．50B ．60C ．70D ．80【答案】A【解析】试题分析：由题意可知221123a =-=-，222235a =-+=，223347a =-=-，224459a =-+=，4950,99,101a a =-= ，所以1235012344950()()()25250a a a a a a a a a a ++++=+++++=⨯= ，故选A.【考点】1.数列的表示；2.数列求和.【名师点睛】本题考查数列的表示以及数列求和，属中档题；数列求和问题是高考常考内容之一，数列求和的主要方法有：1.公式法；2.分组求和法；3.倒序相加法；4.错位相减法；5.裂项相消法.其中错位相减法与裂项相消法是考试的重点内容，本题主要采用的是分组求和法. 12．若函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间上单调递增的是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(2,)+∞ 【答案】D【解析】试题分析：函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点,由22()10b x bf x x x-'=-==得2x b =，所以1b <<且函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，所以函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，故选D. 【考点】1.导数与函数的单调性；2.函数与方程【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与方程，属中档题；导数与函数的单调性是高考的必考内容，也是难点，导数与单调性关系：()0()f x f x '>⇒单调递增，()0()f x f x '<⇒单调递减；反之，当()f x 在某个区间上单调递增()0f x '⇒≥，当()f x 在某个区间上单调递减()0f x '⇒≤.二、填空题13．已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，'()f x 为()f x 的导函数，'(1)2f =，则a = . 【答案】2【解析】试题分析：因为1()l n (l n 1)f x a xa x a x x'=+⨯=+,所以(1)(ln11)2f a a '=+==.【考点】导数的运算.14．若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为 .【答案】4【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示的三角形区域，由图可知，目标函数3z x y =+取得最大值时的最优解为(1,1)B ，此时max 3114z =⨯+=.【考点】线性规划.15．抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .【答案】【解析】试题分析：抛物线22(0)x py p =>的焦点为(,0)2p F ,准线方程为2p x =-，与双曲线221x y -=的交点为((,22p pA B --，又若ABF ∆为等边三角形，所以0222AF k p p -===--p =【考点】1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质与双曲线的标准方程与几何性质，属中档题；高考对圆锥曲线的考查主要是考查定义、标准方程、几何性质，小题和大题中均有.本题主要考查双曲线与抛物线的对称性的应用.16．若定义在区间D 上的函数()y f x =满足：对,x D M R ∀∈∃∈，使得|()|f x M ≤恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上有界，则下列函数中有界的是 .①sin y x =；②1y x x=+；③t a n y x =；④x xxxe e y e e ---=+；⑤321(44)y x ax bx x =+++-≤≤，其中,a b R ∈.【答案】①④⑤【解析】试题分析：因为sin 1x ≤，所以sin y x =为有界函数；12x x+≥，无上界，所以②不是有界函数；tan y x =的值域为(,)-∞+∞，是无界函数；22212111x x x x x x x e e e y e e e e ----===-+++,因为22021xe <<+，所以221111x e -<-<+，即1y <，所以x xx x e e y e e---=+是有界函数；对于⑤，函数321y x ax bx =+++ 为实数上连续函数，所以在区间[4,4]-上一定有最大值和最小值，所以是有界函数，故应填①④⑤.【考点】1.新定义问题；2.值域及求法.【名师点睛】本题主要考查新定义问题、值域及求法.函数值域的求解是难点，主要方法有：配方法、单调性法、数形结合法、换元法、基本不等式法、导数法、利用已知函数的有界性法等方法. 三、解答题17．已知函数2()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取最小值.（1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知1,()2a b f A ===求角C . 【答案】（1）2π；（2）712π或12π【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式得()sin()f x x ϕ=+，由在x π=处取最小值及0ϕπ<<查求得2πϕ=；（2）由()2f A =可得6A π=，再由正弦定理求出sin B ，从而求出角B 的值，即可求角C . 试题解析：（1）1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=∙+- sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++-sin cos cos sin sin()x x x ϕϕϕ=+=+因为函数()f x 在x π=处取最小值，所以sin()1πϕ+=-， 由诱导公式知sin 1ϕ=，因为0ϕπ<<，所以2πϕ=.所以()sin()cos 2f x x x π=+=.（2）因为()f A =，所以cos A =A 为ABC ∆的内角，所以6A π=.又因为1,a b ==sin sin a bA B=，也就是sin 1sin 2b A B a ===， 因为b a >，所以4B π=或34B π=.当4B π=时，76412C ππππ=--=；当34B π=时，36412C ππππ=--=. 【考点】1.三角恒等变换；2.正弦定理；3.三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、三角函数的图象与性质，属中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面B C P ，//CD AB ，2AB BC CP BP ====，1CD =.（1）求点B 到平面DCP 的距离；（2）点M 为线段AB 上一点（含端点），设直线MP 与平面DCP 所成角为α，求si n α的取值范围.【答案】（1（2） 【解析】试题分析：（1） 要求点B 到平面DCP 的距离,只要能过点B 作出平面DCP 的垂线即可，由题意可知CD ⊥平面CPB ，所以CD ⊥平面CPB 内的任意一条直线，因此只要在平面CPB 内过点B 作BF PC ⊥即可得到BF ⊥平面DCP ，求出BF 的长即可；（2）由（1）可知点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离,所以sin BF MP α=，即只要求出BFMP的取值范围即可. 试题解析：（1）过点B 作BF PC ⊥，由平面DCP ⊥平面BCP 可知，BF 即点B 到面DCP 的距离，在正PBC ∆中，BF =B 到平面DCP （2）∵//CD AB ，所以点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离，而MP ∈，所以sin BF MP α=∈. 【考点】1.线面垂直的判定与性质；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，属中档题；文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.19．某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中,n p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[10,15)的概率. 【答案】（1）0.625,0.075n p ==,0.125a =，中位数为17；（2）23【解析】试题分析：（1）由第一组内频数为20，频率为0.25可求出总人数为20800.25M ==，由此可求出第二组的频率为500.62580n ==，并可求频率直方图中0.1255na ==，由频率之和为1可求出p ，频率分布直方图求出面积的一半处求出中位数即可；（2）分分层抽样的原则先求出共抽取6人时在[10,15)和[25,30)的人数，再列出所有基本事件，可求2人服务次数都在[10,15)的概率. 试题解析：（1）因200.25M ÷=，所以80M =，所以500.62580n ==， 310.250.6250.050.07540p =---==， 10.12558n a ===. 中位数位于区间[15,20)，设中位数为(15)x +，则0.1250.25x =，所以2x =，所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次. （2）由题意知样本服务次数在[10,15)有20人，样本服务次数在[25,30)有4人， 如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在[10,15)和[25,30)的人数分别为：206524⨯=和46124⨯=. 记服务次数在[10,15)为12345,,,,a a a a a ，在[25,30)的为b . 从已抽取的6人任选两人的所有可能为：121314151232425234(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a b a a a a a a a b a a 3534545(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a a a b a b 共15种，设“2人服务次数都在[10,15)”为事件A ，则事件A 包括1213141523242534(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a a a a a a a a 3545(,),(,)a a a a共10种， 所有102()153P A ==. 【考点】1.频率分布表；2.频率分布直方图；3.古典概型.20．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上的左、右顶点分别为,A B ，1F 为左焦点，且1||2AF =，又椭圆C 过点. （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2216x y +=上（点,A B 除外），设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若1234k k =，证明：,,A P Q 三点共线. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）见解析【解析】试题分析：（1）1||2AF a c ==-,由椭圆C过点可得b =椭圆中,,a b c 关系求出,,a b c 的值即可；（2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ， 由此可得2111121114416PA y y y k k x x x ∙=∙=+--，又因为22113124y x =-，1234k k =，由此可得21PA k k ∙=-，同理可得21QA k k ∙=-，所以PA QA k k =，即可证,,A P Q 三点共线.试题解析：（1）由已知可得2,a c b -==22212b a c =-=，解得4a =，故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以2111121114416PA y y y k k x x x ∙=∙=+--，因为11(,)P x y 在椭圆C 上， 所以221111612x y +=，即22113124y x =-，所以2112131234164PA x k k x -∙==--.又因为1234k k =，所以21PA k k ∙=-.（a ） 由已知点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径， 所以QA QB ⊥，所以21QA k k ∙=-（b ）由（a ）（b ）可得PA QA k k =，因为直线,PA QA 有共同点A ， 所以,,A P Q 三点共线.【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21．已知函数()ln f x x x =.（1）求函数()y f x =的单调区间和最小值； （2）若函数()()f x a F x x -=在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； （3）若k Z ∈，且()(1)0f x x k x +-->对任意1x >恒成立，求k 的最大值. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为1[,)e +∞，单调减区间为1(0,]e ,min 1()f x e=-.（2）a =（3）3【解析】试题分析：（1）求导'()ln 1(0)f x x x =+>，解不等式'()0f x ≥与'()0f x ≤可得函数()f x 的单调区间；（2）求函数()ln a F x x x =-的导数'2()x a F x x+=，分0a ≥与0a <讨论函数()ln a F x x x =-在区间[1,]e 的单调性与最小值，由min 3()2f x =求之即可；（3）由题意分离参数得ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立，构造函数ln ()1x x x h x x +=-，求导'2ln 2()(1)x x h x x --=-，'2ln 2()(1)x x h x x --=-的符号由分子()ln 2(1)x x x x ϕ=-->确定，且函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈,由此可知函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增,所以min 0()k g x x <=，可证结论成立.试题解析：（1）因为'()ln 1(0)f x x x =+>，令'()0f x ≥，即1ln 1ln x e -≥-=，所以1x e≥， 同理，令'()0f x ≤，可得1(0,]x e∈，所以()f x 的单调递增区间为1[,)e+∞，单调减区间为1(0,]e.所以min 1111()()ln f x f ee e e ===-. （2）()ln a F x x x =-，'2()x a F x x+=， Ⅰ．当0a ≥时，'()0F x >，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去. Ⅱ．当0a <时，()F x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增，①若(1,0)a ∈-，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去，②若[,1]a e ∈--，()F x 在[1,]a -上单调递减，在[,]a e -上单调递增，所以min 3()(1)ln()2F x F a a ==-+=，解得[,1]a e =--. ③若(,)a e ∈-∞-，()F x 在[1,]e 上单调递减，min 3()()12a F x F e e ==-=，所以(,)2ea e =-∉-∞-，舍去，综上所述，a =（3）由题意得：(1)ln k x x x x -<+对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立. 令ln ()1x x x h x x +=-，则'2l n 2()(1)x x h x x --=-，令()l n 2(1x x x x ϕ=-->，则'11()10x x x xϕ-=-=>， 所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，因为方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈，当01x x <<时，()0x ϕ<，即'()0h x <，当0x x >时，()0x ϕ>，即'()0h x >.所以函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增. 所以0000min 0000(1ln )(12)()()(3,4)11x x x x h x h x x x x ++-====∈--所以min 0()k g x x <=，又因为0(3,4)x ∈，故整数k 的最大值为3.【考点】1.导数与函数的单调性、最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的单调性、最值；函数与不等式,属难题.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.22．如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（1）求证：//BC DE ；（2）若,,,D E C F 四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠.【答案】（1）见解析；（2）27π 【解析】试题分析：（1）要证//BC DE ，只要证EDC DCB ∠=∠即可，由弦切角和圆周角关系可得EDC DAC ∠=∠，由角平分线性质得EDC DAC ∠=∠，又同弧上的圆周角相等，所以DAB DCB ∠=∠，即可证得EDC DCB ∠=∠；（2）由,,,D E C F 四点共圆及（1）得CFA ACF ∠=∠，设DAC DAB x ∠=∠=，在等腰三角形ACF 中，列出方程7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=，解之即可. 试题解析： （1）∵BAC ∠的平分线与圆交于点D ∴EDC DAC ∠=∠，DAC DAB ∠=∠，∵BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∴EDC DCB ∠=∠， ∴//BC DE .（2）因为,,,D E C F 四点共圆，所以CFA CED ∠=∠， 由（1）知，ACF CED ∠=∠， 所以CFA ACF ∠=∠. 设DAC DAB x ∠=∠=，因为AC BC =，所以2CBA BAC x ∠=∠=， 所以3CFA FBA FAB x ∠=∠+∠=，在等腰三角形ACF 中，7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=， 则7x π=，所以227BAC x π∠==.【考点】1.圆的性质；2.等腰三角形性质；3.圆内接四边形性质.23．已知直线112:x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）设l 与1C 相交于,A B 两点，求||AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的2倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）1;（2）1)4【解析】试题分析：（1）将直线与圆的参数方程化为普通方程，求出交点坐标，即可求AB ；（2）先由伸缩与平移变换规律求出曲线2C 的参数方程，交用参数表示点P 的坐标，用参数θ表示点P到直线l的距离|22)2]24d θθπθ==-+，即可求最小值.试题解析：（1）直线l的普通方程为1)y x =-，1C 的普通方程为221x y +=，联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得l 与1C 的交点为1(1,0),(,)22A B -，则||1AB =. （2）曲线2C为1cos 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P的坐标是1(cos )2θθ，从而点P 到直线l的距离是|22)2]24d θθπθ==-+，由此当sin()14πθ-=-时，d取得最小值，且最小值为1)4. 【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.椭圆参数方程的应用. 24．设函数()|2|2f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|64}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2-;（2）{|0}k k k k <=. 【解析】试题分析：（1）|2|62x a a -≤-333322a x a ⇔-≤≤-,由3362a -=-可求出a ；（2）由（1）2()(1)5f x k x ≤--可转化为2|22|1(1)x k x ++≤-，作出函数23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩的图象，数形结合可求k 的范围. 试题解析：（1）|2|62x a a -≤-，∴26262a x a a -≤-≤-， ∴333322a x a -≤≤- 3362a -=-，2a =-.（2）由（1）知，2|22|1(1)x k x ++≤-，23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩，()g x 的图象如图：要使解集非空，212k ->或211k -≤-，∴{|0}k k k k ><=.【考点】1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示及应用.。

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第六次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}2．设i是虚数单位，则复数i3+=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．下列有关说法正确的是（）A．p：“∃x∈R，sinx+cosx=”，则¬p是真B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．“∃x∈R，使得x2+x+1＜0“的否定是：“∀x∈R，x2+x+1＜0”D．“a＞l”是“y=log a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件4．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．50 B．40 C．25 D．205．设S n为等比数列{a n}的前n项和，2a3+a4=0，则=（）A．2 B． 3 C． 4 D． 56．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．4π B．C．4π D．7．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）A．B．C．D．8．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元9．已知椭圆的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（）A．B．C．D．10．当x∈[﹣1，2]时，不等式ax3﹣x2﹣4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[，6] B．[2，6] C．[3，4] D．[3，5]二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．在平面直角坐标系中，已知直线C：（t是参数）被圆C：（θ是参数）截得的弦长为．12．阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为．13．如图，OA为圆C的直径，有向线段OB与圆C交于点P，且=，若||=1，则•=．15．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣a|恰有两个零点，则实数a的取值集合为．三、解答题：本大题共7小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。