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角平分线四大辅助线模型角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到角平分线的考点主要是性质、判定以及四大辅助线模型，在初二上期中、期末考试中都是经常考察的方向。
角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．角平分线判定：到角的两边距离相等的点在角的角平分线上．四大模型1、角平分线+平行线，等腰三角形必出现已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．则△ODC为等腰三角形，OD=CD．2、角平分线+两垂线，线等全等必出现已知：OC平分∠AOB．辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、角平分线+一垂线，中点全等必出现已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、角平分线+截长补短线，对称全等必出现已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．【核心考点一】角平分线的性质与判定1．（2016•张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若3PA =，则PQ 的最小值为( )A B ．2 C ．3 D ．【分析】首先过点P 作PB OM ⊥于B ，由OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，根据角平分线的性质，即可求得PB 的值，又由垂线段最短，可求得PQ 的最小值．2．（2016秋•抚宁县期末）如图，在ABC ∆中，AD 是它的角平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ∆∆= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:16【分析】利用角平分线的性质，可得出ABD ∆的边AB 上的高与ACD ∆的AC 上的高相等，估计三角 形的面积公式，即可得出ABD ∆与ACD ∆的面积之比等于对应边之比．3．（2017春•崇仁县校级月考）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )。
数学中构造辅助线的方法
在数学中，构造辅助线是一种常用的解题方法，可以帮助我们更好地理解和解决各种几何问题。
以下是一些常用的构造辅助线的方法：
1.中点、中线段、延长线：如果条件中给出了中点或中线段，可以通过构造延长线来构造辅助线。
例如，过中点作已知线段或直线的平行线，或者过中点作已知线段的垂直平分线等。
2.角平分线、垂直、中线：如果条件中给出了角平分线、垂直或中线，可以通过构造相应的辅助线。
例如，过角平分线上的点作角平分线的垂线，或者过中点作已知直线的垂直平分线等。
3.直角三角形斜边上的中点：如果条件中给出了直角三角形斜边上的中点，可以通过构造辅助线将直角三角形转化为等腰三角形。
例如，过斜边中点作直角边的平行线，或者过斜边中点作斜边的垂线等。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线：如果条件中给出了等腰三角形底边上的垂直平分线，可以通过构造辅助线将等腰三角形转化为直角三角形。
例如，过垂直平分线上的点作底边的平行线，或者过垂直平分线上的点作顶角的角平分线等。
5.等边三角形的高、角平分线、中线：如果条件中给出了等边三角形的高、角平分线或中线，可以通过构造辅助线将等边三角形转化为直角三角形。
例如，过高上的点作底的垂直平分线，或者过角平分线上的点作底边的平行线等。
这些方法都是一些常见的构造辅助线的技巧，对于不同的几何问题，需要灵活运用不同的方法来构造辅助线和解决问题。
专题4 与角平分线有关的辅助线作法知识解读角平分线所在直线是所在角的对称轴，因此角平分线的性质都是以轴对称为基础的，其辅助线作法也应多从轴对称的角度来考虑，其常用的辅助线构造方法有：（1）过角平分线上一点作到角的两边的垂线段，如图1－4－1①.（2）以顶点为圆心，在角两边截取两条相等的线段，构造全等三角形，如图1－4－1②.（3）利用三线合一定理构造等腰三角形，如图1－4－1③.（4）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，如图1－4－1④.培优学案典例示范一、过角平分线上一点作两边的垂线段.例1如图1－4－2，AB//CD，E为AD上一点，且BE，CE分别平分∠ABC，∠BC D.求证：AE＝E D.【提示】由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E是两条角平分线的交点，因此我们可以过点E，分别作AB，BC，CD的垂线段，如图1－4－3.【解答】【技巧点评】过一点作角两边的垂线段，构造的是一对全等的直角三角形，可以得到一些相等的线段和相等的角，但利用角平分线的性质，可以省去证明全等这一环节，直接证得线段相等。
同样由“距离”相等，也能直接得到角平分线.让证明来得更简捷。
跟踪训练1.如图1－4－4，在△ABC中，DC⊥AC，∠1＝∠2，DA＝D B.求证：AB＝2A C.二、角平分线＋高＝全等三角形例2如图1－4－5，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CELBE.求证：CE＝12B D.【提示】由于BE平分∠ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形。
【解答】【技巧点评】当一根线段同时满足“是角平分线”、“是中线”和“是高”中两个时，可考虑将图形补成一个等腰三角形解决问题。
跟踪训练2.如图1－4－6，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD＝∠DAC＋∠C.三、借助角平分线的轴对称性构造全等三角形例3如图1－4－7，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B.求证：AB＝AC＋C D.【提示】可考感以AD 为对称轴构造全等三角形，可在AB 边上截取AE ＝AC ，也可以延长AC 到点E ，使得AE ＝A B. 【解答】【技巧点评】角平分线所在直线是角的对称轴，可以对称着构造全等三角形。
常用辅助线做法➢考点考向1. 与角平分线有关的辅助线2. 与线段长度相关的辅助线3. 与等腰、等边三角形相关的辅助线4. 与中点相关的辅助线5. 构造一线三垂直（等角）6. 等面积法常见辅助线的作法总结1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)构造等腰三角形或作等腰三角形的高利用“三线合一”性质。
7)作三角形的中位线。
8)引平行线构造全等三角形。
9）特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（等面积法）10）构造三垂直模型。
✧考点一：与角平分线有关的辅助线（1）可向两边作垂线。
（2）可构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形【例1】已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由．✧考点二：与线段长度有关的辅助线（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等证明余下的等于另一条线段即可（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等证明延长后的线段等于那一条长线段即可（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
二 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。
图1-1BDBC分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
等边三角形中的常见辅助线等边三角形是一种具有特殊性质的三角形，其三条边都相等。
在解决与等边三角形相关的问题时，使用常见的辅助线可以简化计算并找到解决方案。
1. 高线（Perpendicular Bisector）高线是等边三角形中常见的辅助线之一。
它从等边三角形的顶点垂直地分割底边，并且和底边的中点连线垂直。
等边三角形的高线相互垂直，并且交于三角形的外心。
2. 中线（Median）中线是等边三角形中另一种常见的辅助线。
它连接三角形的顶点和底边的中点，并且与底边垂直。
等边三角形的中线也相互垂直，在三角形的重心交汇。
3. 角平分线（Angle Bisector）角平分线是等边三角形中可以用来解决角度相关问题的辅助线。
它从三角形的顶点分割等边三角形的底角，并且和底边相交于一点。
4. 中垂线（Perpendicular from Vertex to Base）中垂线是等边三角形中另一种常见的辅助线。
它从等边三角形的顶点垂直地连接底边，并且与底边的中点相交。
等边三角形的中垂线相互垂直，并且交于三角形的垂心。
这些常见的辅助线可以帮助我们在等边三角形中解决各种问题。
通过利用这些辅助线的性质，我们能够简化计算，找到解决问题的方法。
在实践中，我们还可以设计不同的问题来加深对这些辅助线的理解和应用。
总结：等边三角形中的常见辅助线包括高线、中线、角平分线和中垂线。
它们在解决等边三角形相关问题时起到了重要的作用，并且具有特殊性质。
通过熟练掌握这些辅助线的性质和用法，我们能够更加灵活地解决等边三角形的各种问题。
钝角三角形中的常用辅助线方法总结钝角三角形是指角度大于90度的三角形。
在解决钝角三角形问题时，使用辅助线可以帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将总结几种常用的辅助线方法。
1. 辅助垂直线辅助垂直线是指从钝角三角形的一个顶点沿着对边作垂直线。
通过画出辅助垂直线，可以将钝角三角形分解为两个直角三角形，从而简化问题的求解过程。
同时，垂直线与直角的关系也可以帮助我们应用几何定理和性质进行推导。
2. 辅助角平分线辅助角平分线是从钝角三角形的一个顶点作出角平分线，将钝角分为两个锐角。
通过画出辅助角平分线，可以将钝角三角形转化为两个锐角三角形，使得问题更加易于处理。
辅助角平分线也有助于发现角度之间的关系，如角度相等或互补等。
3. 辅助高线辅助高线是指从钝角三角形的一个顶点作垂直于底边的线。
使用辅助高线可以将钝角三角形分解为一个直角三角形和一个与之相似的三角形。
通过辅助高线，我们可以应用直角三角形的性质和相似三角形的比例关系来解决问题。
4. 辅助中线辅助中线是连接钝角三角形两个锐角顶点与对边中点的线段。
辅助中线有助于将钝角三角形分解为两个等腰三角形。
通过应用等腰三角形的性质，我们可以推导出与钝角三角形相关的尺规定理和角平分定理。
总之，在解决钝角三角形问题时，使用辅助线可以将问题简化并发现隐藏的几何性质。
通过绘制辅助垂直线、辅助角平分线、辅助高线和辅助中线，我们可以更好地理解钝角三角形，并利用几何定理和性质来解决问题。
使用辅助线的过程中，注意选择合适的辅助线来简化问题，并小心确认辅助线与原问题的关系。
同时，结合实际问题要求，运用尺规定理和角平分定理等几何知识，才能得出正确的结论。
以上是钝角三角形中的常用辅助线方法总结。
全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种．1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件．图四图三图二图一QPONMPONM BAAB MNOP PONM BA典型例题精讲【例1】 如图所示，BN 平分∠ABC ，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，2AB BC BD =＋．求证：180BAP BCP ∠∠=︒＋．【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ．∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，BN 平分∠ABC ，∴PE PD =． 在Rt △PBE 和Rt △PBC 中， BP BPPE PD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ），∴BE BD =．∵2AB BC BD +=，BC CD BD =+，AB BE AE =-，∴AE CD =． ∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∴90PEB PDB ∠=∠=︒． 在△P AE 和Rt △PCD 中， ∵PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△P AE ≌Rt △PCD ，∴PCB EAP ∠=∠．∵180BAP EAP ∠+∠=︒，∴180BAP BCP ∠+∠=︒．【答案】见解析．【例2】 如图，已知：90A ∠=︒，AD ∥BC ，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ，求证：CP 平分∠DCB ．【解析】因为已知PD 平分∠ADC ，所以我们过P 点作PE ⊥CD ，垂足为E ，则PA PE =，由P 是AB的中点，得PB PE =，即CP 平分∠DCB ．【答案】作PE ⊥CD ，垂足为E ，∴90PEC A ∠=∠=︒，∵PD 平分∠ADC ，∴PA PE =， 又∵90B PEC ∠=∠=︒，∴PB PE =， ∴点P 在∠DCB 的平分线上， ∴CP 平分∠DCB ．【例3】 已知：90AOB ∠=︒，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA 、OB 交于C 、D ．（1）PC 和PD 有怎样的数量关系是__________． （2）请你证明（1）得出的结论．PDCBA A BCDPE【解析】（1）PC PD =．（2）过P 分别作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OA 于F ， ∴90CFP DEP ∠=∠=︒，∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE PF =，∵190FPD ∠+∠=︒，且90AOB ∠=︒，∴90FPE ∠=︒， ∴290FPD ∠+∠=︒，∴12∠=∠， 在△CFP 和△DEP 中12CPF DEPPF PE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CFP ≌△DEP ，∴PC PD =． 【答案】见解析．【例4】 如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F ，请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系（不需证明）； （2）如图③，在△ABC 中，60B ∠=︒，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解析】如图①所示；（1）FE FD =．（2）如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥BC 于H ，作FK ⊥AC 于K ， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴FG FH FK ==， 在四边形BGFH 中，36060902120GFH ∠=︒-︒-︒⨯=︒， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，60B ∠=︒， ∴()118060602FAC FCA ∠+∠=︒-︒=︒． 在△AFC 中， ()180********AFC FAC FCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， ∴120EFD AFC ∠=∠=︒，∴EFG DFH ∠=∠， 在△EFG 和△DFH 中，EFG DFH EGF DHF FG FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFG ≌△DFH ，∴FE FD = 【答案】见解析．【例5】 已知120MAN ∠=︒，AC 平分∠MAN ，点B 、D 分别在AN 、AM 上．（1）如图1，若90ABC ADC ∠=∠=︒，请你探索线段AD 、AB 、AC 之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【解析】（1）得到30ACD ACB ∠=∠=︒后再可以证得12AD AB AC ==，从而，证得结论； （2）过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ，证得△CED ≌△CFB后即可得到AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+，从而证得结论．【答案】（1）关系是：AD AB AC +=．证明：∵AC 平分∠MAN ，120MAN ∠=︒ ∴60CAD CAB ∠=∠=︒ 又90ADC ABC ∠=∠=︒， ∴30ACD ACB ∠=∠=︒ 则12AD AB AC ==（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半） ∴AD AB AC +=； （2）仍成立．证明：过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ∵AC 平分∠MAN∴CE CF =（角平分线上点到角两边距离相等） ∵180ABC ADC ∠+∠=︒，180ADC CDE ∠+∠=︒ ∴CDE ABC ∠=∠ 又90CED CFB ∠=∠=︒， ∴△CED ≌△CFB （AAS ） ∵ED FB =，∴AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+ 由（1）知AE AF AC +=， ∴AD AB AC +=．【例6】 如图，在△ABC 中，2C B ∠=∠，AD 平分∠BAC ，求证：AB AC CD -=．【解析】在AB 上截取点E ，使得AE AC =．∵AD 平分∠BAC ，∴EAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）．∴AED C ∠=∠，ED CD =． ∵2C B ∠=∠，∴=2AED B ∠∠．∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠，∴BE DE =． ∴CD BE AB AE AB AC ==-=-．【答案】见解析．【例7】 如图，△ABC 中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．【解析】在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠． 在ABD ∆与EBD ∆中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD = ∴ABD EBD ∆∆≌，∴A DEB ∠=∠∵AB AE =， ∴BAD BED ∠=∠，∴72DEC ∠=︒． 又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒，∴72CDE ∠=︒ABCDE DCBAAB CD∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE = ∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+【答案】见解析．【例8】 已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【解析】在BC 上截取一点F 使得BF BE =，易证BOE BOF ∆∆≌，在根据120BOC ∠=︒推出60BOE COF ∠=∠=︒，再证明OCF OCD ∆∆≌即可．【答案】BC BE CD =+．【例9】 如图：已知AD 为△ABC 的中线，且12∠=∠，34∠=∠，求证：BE CF EF +>．【解析】在DA 上截取DN DB =，连接NE ，NF ，则DN DC =，在△DBE 和△DNE 中：E DCB AOED CBAFOED CBA∵12DN DB ED ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBE ≌△DNE （SAS ），∴BE NE = 同理可得：CF NF =在△EFN 中，EN FN EF +>（三角形两边之和大于第三边） ∴BE CF EF +>．【答案】见解析．【例10】 已知：在四边形ABCD 中，BC BA >，180A C ∠+∠=︒，且60C ∠=︒，BD 平分∠ABC ，求证：BC AB DC =+．【解析】在BC 上截取BE BA =，∵BD 平分∠ABC ，∴ABD EBD ∠=∠， 在△BAD 和△BED 中， BA BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△BED ，∴AD DE =，A BED ∠=∠． ∵180BED DEC ∠+∠=︒，180A C ∠+∠=︒． ∴C DEC ∠=∠，∴DE DC =．∴DC AD =．∵60∠=︒，∴△CDE是等边三角形，C∴DE CD CE=+=+．==，∴BC BE CE AB CD【答案】见解析．【例11】观察、猜想、探究：在△ABC中，2∠=∠．ACB B（1）如图①，当90=+；C∠=︒，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB AC CD （2）如图②，当90∠≠︒，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量C关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【解析】（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE AC=，A CB B∠=∠，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等∠=∠，由2AED ACB边得到BE DE=+，等量代换即可得证；=，由AB AE EB（2）AB CD AC=+，理由为：在AB上截取AG AC=，如图2所示，由角平分线定义得到=，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同（1）一对角相等，再由AD AD即可得证；（3）AB CD AC=，如图3所示，同（2）即可得证．=-，理由为：在AF上截取AG AC【答案】（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE DC=，在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD AD =，DE DC =， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AC AE =，ACB AED ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠， 又∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠， ∴BE DE DC ==，则AB BE AE CD AC =+=+； （2）AB CD AC =+，理由为： 在AB 上截取AG AC =，如图2所示， ∵AD 为∠BAC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG ACGAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADC （SAS ），∴CD CG =，AGD ACB ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AGD B ∠=∠， 又∵AGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BE DG DC ==，则AB BG AG CD AC =+=+； （3）AB CD AC =-，理由为： 在AF 上截取AG AC =，如图3所示， ∵AD 为∠F AC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△ADC （SAS ）， ∴CD GD =，AGD ACD ∠=∠，即ACB FGD ∠=∠，∵2ACB B ∠=∠，∴2FGD B ∠=∠，又∵FGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BG DG DC ==，则AB BG AG CD AC =-=-．【例12】 如图所示，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F ．求证：()12BE AC AB =-．【解析】延长BE 交AC 于点F ．则AD 为∠BAC 的对称轴，∵BE ⊥AD 于F ，∴点B 和点F 关于AD 对称， ∴12BE EF BF ==，AB AF =，ABF AFB ∠=∠． ∵3ABF FBC ABC C ∠∠=∠=∠＋，ABF AFB FBC C ∠=∠=∠∠＋， ∴3FBC C FBC C ∠∠∠=∠＋＋， ∴FBC C ∠=∠，∴FB FC =，∴()()111222BE FC AC AF AC AB ==-=-，∴()12BE AC AB =-． 【答案】见解析．【例13】 如图，已知：△ABC 中AD 垂直于∠C 的平分线于D ，DE ∥BC 交AB 于E ．求证：EA EB =．【解析】由AD 垂直于∠C 的平分线于D ，可以想到等腰三角形中的三线合一，于是延长AD 交BC 与点F ，得D 是AF 的中点，又因为DE ∥BC ，由三角形中位线定理得EA EB =．【答案】延长AD 交BC 与点F ，∵CD 平分∠ACF ，∴12∠=∠，又AD ⊥CD ， ∴ΔADC ≌ΔFDC ，∴AD FD =， 又∵DE ∥BC ，∴EA EB =．【例14】 已知：如图，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE ⊥AE ．求证：2AC AB BE -=．【解析】延长BE 交AC 于M ，∵BE ⊥AE ，∴90AEB AEM ∠=∠=︒ 在△ABE 中，∵13180AEB ∠+∠+∠=︒， ∴3901∠=︒-∠ 同理，4902∠=︒-∠∵12∠=∠，∴34∠=∠，∴AB AM =∵BE ⊥AE ，∴2BM BE =， ∴AC AB AC AM CM -=-=， ∵∠4是△BCM 的外角，∴45C ∠=∠+∠ ∵3ABC C ∠=∠，∴3545ABC ∠=∠+∠=∠+∠ ∴34525C C ∠=∠+∠=∠+∠，∴5C ∠=∠ ∴CM BM =，∴2AC AB BM BE -==【答案】见解析．【例15】 如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ．∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ， ∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．【答案】见解析．EDCBAFEDCBA课后复习【作业1】如图所示，在△ABC 中，BP 、CP 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：点P 在∠A 的平分线上．【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ．因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ，所以PE PF =． 同理可证PF PG =． 所以PG PE =，又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ，所以P 在∠A 的平分线上，【答案】见解析．【作业2】已知：如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：DC ⊥AC ．PCBAPABCD【解析】在AB 上取中点E ，连接DE ，则12AE BE AB ==． ∵DA DB =，∴DE ⊥AB ，90AED ∠=︒． 又∵2AB AC =，∴AE AC =．∵BAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）． ∴90AED ACD ∠=∠=︒，即DC ⊥AC ．【答案】见解析．【作业3】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【解析】如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，于是32∠=∠，ADF ECD ∠=∠． 又∵12∠=∠，∴13∠=∠，故DF BF =．显然FBCD 是等腰梯形． ∴BF DC =，DF DC =．∵()111218010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，()11802802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒， ∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC ∆∆≌，AD EC =． 又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．【答案】见解析．EDCBAABCD【作业4】如图，已知在△ABC 中，AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线，过顶点B 作BF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ，连接FC 并延长交AE 于M ．求证：AM ME =．【解析】延长AC ，交BF 的延长线于点N ．∵AD 平分∠BAC ，BF ⊥AD ，∴△AFB ≌△AFN ，∴BF NF =． ∵AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线，∴EA ⊥F A ． ∵BF ⊥AF ，∴BF ∥AE ．∴::BF ME CF CM =，::FN AM CF CM =． ∵BF NF =，∴AM ME =．【答案】见解析．ECMF EDCBAN MFEDCBA。
初中数学必须掌握的几何辅助线技巧01几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行线，等腰三角形来添角平分线加垂线，三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连线段和差及倍半，延长缩短可试验线段和差不等式，移到同一三角去三角形中两中点，连接则成中位线三角形中有中线，倍长中线得全等四边形平行四边形出现，对称中心等分点梯形问题巧转换，变为三角或平四平移腰，移对角，两腰延长作出高如果出现腰中点，细心连上中位线上述方法不奏效，过腰中点全等造证相似，比线段，添线平行成习惯等积式子比例换，寻找线段很关键直接证明有困难，等量代换少麻烦斜边上面作高线，比例中项一大片圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站圆上若有一切线，切点圆心半径连切线长度的计算，勾股定理最方便要想证明是切线，半径垂线仔细辨是直径，成半圆，想成直角径连弦弧有中点圆心连，垂径定理要记全圆周角边两条弦，直径和弦端点连弦切角边切线弦，同弧对角等找完要想作个外接圆，各边作出中垂线还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦内外相切的两圆，经过切点公切线若是添上连心线，切点肯定在上面要作等角添个圆，证明题目少困难02由角平分线想到的辅助线一、截取构全等如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。
自己试一试。
二、角分线上点向两边作垂线构全等如图，已知AB>AD，∠BAC=∠FAC，CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180°。
分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC与∠B之和为平角。
三、三线合一构造等腰三角形如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE。
由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律， 在解决几何问题中大 胆地去猜想， 按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所 涉及到的辅助线作以介绍。
如图 1-1 ，∠∠，如取，并连接、 ，则有△≌△，从而为我们 证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图 1-2 ，，平分∠，平分∠， 点 E 在上，求证：。
分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形， 对称图形， 同时此题也是证明线段的和差倍分问题， 在证明线段 的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明， 延长 短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论 延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等， 进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明 的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全 等自已证明。
此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证 明。
自已试一试。
例2． 已知：如图 1-3 ，2，∠∠，，求证⊥即利用解平分线来构造轴 图1-2分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明。
和角平分线有关的辅助线未命名一、单选题1．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足．下列结论：①△ABD ≌△EBC ；②∠BCE +∠BCD =180°；③AD=AE ；④BA +BC =2BF ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④ 2．如图，ABC ∆中，135ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，若6AD =，20BD =，则CD 的长为（ ）A ．22B ．32C ．72D ．4 3．如图，Rt ACB 中，90ACB ︒∠=，ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：①135APB ︒∠=；②PF PA =；③AH BD AB +=；④S 四边形23ABDE S ABP =，其中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、解答题4．如图，ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ．（1）求证：BD ＝CE ；（2）若AB ＝6cm ，AC ＝10cm ，求AD 的长．5．（特例感知）（1）如图（1），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，3CD =，4BD =，求点D 到直线AB 的距离．（类比迁移）（2）如图（2），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，探索线段AB ，BE ，BC 之间的数量关系，并说明理由．（问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，72BD =，6AB =，求ABC 的内心与外心之间的距离．6．如图，在ABC 中，AB AC =，100A ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至点E ，DE AD =，试求ECA ∠的度数．7．在平面直角坐标系中，点()5,0A -，()0,5B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为（3，0），试求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：OD 平分ADC ∠（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当2OCB DAO ∠=∠时，试探索线段AD 、OC 、DC 的数量关系，并证明．8．如图，∠D ＝∠C ＝90°，点E 是DC 的中点，AE 平分∠DAB ，∠DEA ＝28°，求∠ABE 的大小．9．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，且AE 、BE 交CD 于点E ．试说明AD ＝AB ﹣BC 的理由．10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE ＝AD ，求证：∠ECA ＝40°．11．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．12．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．∠和13．如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN//PQ．NAB ABQ∠的平分线交于点C．⊥；（1）求证：BC AC（2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合），交PQ于点E,+=；①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD BE AB②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．14．在平面直角坐标中，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，A（0，a），B（b，0）．-+（a-2）2=0，求△ABO的面积；（1）如图12a b（2）如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：∠ADB=∠CDE；（3）如图3，在（1）的条件下，若以P（0，-6）为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ．15．如图，已知B (-1, 0)，C (1, 0)，A 为y 轴正半轴上一点，AB =AC ，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC . （1）求证：∠ABD =∠ACD ；（2）求证：AD 平分∠CDE ；（3）若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？16．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD。
求证：BE=AD。
17．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC 的数量关系，并证明你的猜想.18．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，AD+AB=2AE ， 求证：∠ADC+∠B=180º19．如图，已知BC 是⊙O 的弦，A 是⊙O 外一点，△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，M 为⊙O 上一点．（1）若AB 是⊙O 的切线，求∠BMC ；（2）在（1）的条件下，若E ，F 分别是AB ，AC 上的两个动点，且∠EDF =120︒，⊙O 的半径为2，试问BE +CF 的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．20．如图所示，ABC ∆中，D 为BC 的中点ED BC ⊥交BAC ∠的平分线于,E EF AC ⊥于F ，求证：()12AF AB AC =+．21．如图所示，在ABC ∆中，=60ACB ∠，,AE BD 是ABC ∆的角平分线，,AE BD 交于点G ，求证：GD GE =．22．如图所示，90B C ∠=∠=，E 是BC 的中点，DE 平分ADC ∠．（1）求证：AE 是DAB ∠的平分线；（2）若2cm,BAD=60CD =∠，求AD 的长．23．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分,DAB CD CB ∠=，求证：180B D ∠+∠=．24．已知：ABC ∆中，D 为BC 的中点，AG 平分,BAC CG AG ∠⊥于G ，连结DG ，若6,4AB AC ==，求DG 的长．25．如图，在ABO ∆中，OA OB =，90AOB ∠=︒，AD 平分OAB ∠，OE AD ⊥于E ，交AB 于F .求证：（1）OD BF =；（2）2AD OF DE -=.三、填空题26．如图所示，ABC 的外角ACD ∠的平分线CP 与ABC ∠的平分线相交于点P ，若36BPC ∠=︒，则CAP ∠=_______．27．（香坊名师原创）如图，四边形ABCD 中2120D B ∠=∠=︒，AB AD =，E 为BC 上一点，连接AE ，2BE =，7CD =，若4120BAE BCD ∠+∠=︒，则线段CE 的长为_______．28．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝50︒，∠CAP ＝______．29．如图，在ABC ∆中，BAC ∠、BCA ∠的角平分线相交于点I ，①若40B ∠=︒，则AIC ∠=__________，②若35B ∠=︒，BC AI AC =+，则BAC ∠=___________.30．如图，BP 平分∠ABC ，PD BC ⊥，E 、F 分别是角两边上点，现有四个结论知其一定能得其余结论的有①ABC EPF 180∠∠+=︒；②BEP PFC ∠∠=；③PE PF =；④2D BF BE B =+，_____.参考答案1．D【分析】根据SAS证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，结合∠BCD＝∠BDC可得①②正确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正确；过E作EG⊥BC于G点，证明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用线段和差即可得到④正确．【详解】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，BD BCABD CBD BE BA⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE．③正确；④过E作EG⊥BC于G点，∵E 是∠ABC 的角平分线BD 上的点，且EF ⊥AB ，∴EF ＝EG （角平分线上的点到角的两边的距离相等），∵在Rt △BEG 和Rt △BEF 中，BE BE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BEG ≌Rt △BEF （HL ），∴BG ＝BF ，∵在Rt △CEG 和Rt △AFE 中，AE CE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CEG ≌Rt △AEF （HL ），∴AF ＝CG ，∴BA ＋BC ＝BF ＋FA ＋BG−CG ＝BF ＋BG ＝2BF ，④正确．故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，等腰三角形的判定与性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等的性质是解题的关键．2．D【分析】做,ACD BCD ∆∆分别关于,AC BC 的对称图形,ACE BCF ∆∆延长,AE BF 交于点G ，连接CG ,构造正方形，再根据等量关系用勾股定理计算．【详解】做,ACD BCD ∆∆分别关于,AC BC 的轴对称图形,ACE BCF ∆∆延长,AE BF 交于点G ，连接CG ，如图：∵,ACE BCF ∆∆是,ACD BCD ∆∆的对称三角形∴6,20,AE AD BF BD CE CD CF ======,,,AEC ADC BFC BDC ACE ACD BCF BCD ∠=∠∠=∠=∠∠=∠∵CD AB ⊥∴90ADC BDC AEC BFC ∠=∠=∠=∠=︒又∵135ACB ∠=︒∴135ACE BCF ∠+∠=︒∴36013513590ECF ∠=︒-︒-︒=︒∴四边形CEGF 是正方形设CD CF GF CE GE x =====，在Rt GAB ∆ 中：222AG +BG AB =即：()()22262026x x +++= 解得：124,30x x ==-（舍）∴CD 的长为4．【点睛】 本题是一道综合性较强的题目，整体图形的对称构造正方形是解决本题的关键．3．B【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD 、BE 分别平分∠BAC 、∠ABC ， ∴∠BAD=12CAB ∠，∠ABE=12ABC ∠∴∠BAD+∠ABE=111+=()45222CAB ABC CAB ABC ∠∠∠+∠=︒ ∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE ）=135°，故①正确；∴∠BPD=45°，又∵PF ⊥AD ，∴∠FPB=90°+45°=135° ∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP ≌△FBP （ASA ）∴∠BAP=∠BFP ，AB=AB ，PA=PF ，故②正确；在△APH 与△FPD 中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH ≌△FPD （ASA ），∴AH=FD ，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD ，故③正确；连接HD ，ED ，∵△APH ≌△FPD ，△ABP ≌△FBP∴APH FPD S S =，ABP FBP S S =，PH=PD ，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD ∴HD ∥EP ，∴EPH EPD S S =∵ABP BDP AEP EPD ABDE S S SS S =+++四边形 ()ABP AEP EPH PBD S S S S =+++ABP APH PBD SS S =++ ABP FPD PBD SS S =++ ABP FBP S S=+ 2ABPS = 故④错误，∴正确的有①②③，故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ，注意AAA 和SAS 不能判定两个三角形全等．4．（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）连接BP 、CP ，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP CP =，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DP EP =，然后利用“HL ”证明Rt BDP ∆和Rt CEP 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“HL ”证明Rt ADP ∆和Rt AEP 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD AE =，再根据AB 、AC 的长度表示出AD 、CE ，然后解方程即可．【详解】（1）证明：连接BP 、CP ，点P 在BC 的垂直平分线上，BP CP ∴=，AP 是DAC ∠的平分线，DP EP ，在Rt BDP ∆和Rt CEP 中，BPCP DP EP ，Rt BDPRt CEP(HL)， BD CE ∴=；（2）解：在Rt ADP ∆和Rt AEP 中，APAP DP EP ，Rt ADPRt AEP(HL)， AD AE ∴=，6AB cm =，10AC cm =，610AD AE ，即610AD AD ， 解得AD 2cm =．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．5．（1）125；（2）2AB BC BE +=，理由见解析；（35 【分析】（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ，再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题；（2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．只要证明()DFA DEC ASA ∆≅∆，推出AF CE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆，推出AF BE =即可解决问题；（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．由切线长定理可知：610842AN +-==，推出541ON =-=，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt OMN ∆中，理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．图①BD 平分ABC ∠，DF AB ⊥，DE BC ⊥，DF DE ∴=，BC 是直径，90BDC ∴∠=︒，2222435BC BD CD ∴=+=+=，1122BC DE BD DC =， 125DE ∴=， 125DF DE =∴=． 故答案为125（2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．图②理由：作DF BA ⊥于F ，连接AD ，DC ．BD 平分ABC ∠，DE BC ⊥，DF BA ⊥，DF DE ∴=，90DFB DEB ∠=∠=︒，180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC EDF ∠+∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，FDA CDE ∴∠=∠，90DFA DEC ∠=∠=︒，()DFA DEC ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，BD BD =，DF DE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆，BF BE ∴=，2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．图③72BD =，∴正方形BEDF 的边长为7，由（2）可知：28BC BE AB =-=，226810AC ∴+=，由切线长定理可知：610842AN +-==， 541ON ∴=-=，设内切圆的半径为r ，则11111068682222r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯ 解得2r ，即2MN =，在Rt OMN ∆中，OM ==【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6．40°【分析】在BC 上截取BF AB =，连接DF ，通过证明()ABD FBD SAS ≌，可得18080DFC A ︒∠=-∠=︒，再通过证明()DCE DCF SAS ≌，即可求得40ECA DCB ∠=∠=︒【详解】解：如图，在BC 上截取BF AB =，连接DF ， BD 是ABC ∠的平分线，ABD FBD ∴∠=∠，在ABD △和FBD 中，,,,AB FB ABD FBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD FBD SAS ∴△≌△，BFD A ∴∠=∠，AD DF =，∴DE=DF ，18080DFC A ∴∠=︒-∠=︒，又40ABC ACB ∠=∠=︒，60FDC ∴∠=︒，18060EDC ADB ABD A ∠=∠=︒-∠-∠=︒，EDC FDC∴∠=∠，在DCE和DCF中，,,,DE DFEDC FDCDC DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DCE DCF SAS∴△≌△，故40ECA DCB∠=∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．7．（1）（0，3）；（2）详见解析；（3）AD=OC+CD【分析】（1）先根据AAS判定△AOE≌△BOC，得出OE=OC，再根据点C的坐标为（3，0），得到OC=2=OE，进而得到点E的坐标；（2）先过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，根据△AOE≌△BOC，得到S△AOE=S△BOC，且AE=BC，再根据OM⊥AE，ON⊥BC，得出OM=ON，进而得到OD平分∠ADC；（3）在DA上截取DP=DC，连接OP，根据三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OCB=60°，根据SAS判定△OPD≌△OCD，得OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，再根据三角形外角性质得PA=PO=OC，故AD=PA+PD=OC+CD．【详解】（1）如图①，∵AD⊥BC，BO⊥AO，∴∠AOE=∠BDE，又∵∠AEO=∠BED，∴∠OAE=∠OBC，∵A（-5，0），B（0，5），∴OA=OB=5，∴△AOE ≌△BOC ，∴OE=OC ，又∵点C 的坐标为（3，0），∴OC=3=OE ，∴点E 的坐标为（0，3）；（2）如图②，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵△AOE ≌△BOC ，∴S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，∴OM=ON ，∴OD 平分∠ADC ；（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵2OCB DAO ∠=∠，∠ADC=90°∴∠PAO+∠OCD=90°，∴∠DAC=903︒=30°，∠DCA=2903⨯︒=60° ∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD=60°，∴∠POA=∠PAO=30°∴PA=PO=OC∴AD=PA+PD=OC+CD即：AD=OC+CD．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．8．28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°-∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°．【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．9．见解析【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题．【详解】证明：在AB上找到F使得AF＝AD，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD＝∠EAF，∵在△AEF和△AED中，AD AFEAD EAFAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AED，（SAS）∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∵∠AFE＋∠BFE＝180°∴∠C＝∠BFE，∵BE平分∠BAD，∴∠FBE＝∠C，∵在△BEC和△BEF中，BFE CFBE CBEBE BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC≌△BEF，（AAS）∴BF＝BC，∵AB＝AF＋BF，∴AB＝AD＋BC，即AD＝AB﹣BC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF≌△AED和△BEC≌△BEF是解题的关键．10．见解析【分析】在BC上截取BF＝AB，连DF，根据SAS可证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，证明△DCE≌△DCF，故∠ECA＝∠DCB＝40°．【详解】证明：在BC上截取BF＝AB，连DF，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠FBD，在△ABD和△ＦBD中，AB FBABD FBDBD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DF＝DA＝DE，又∵∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°，∴∠FDC＝60°，∴∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°，在△DCE和△DCF中，DF DEFDC EDCDC DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴∠ECA＝∠DCB＝40°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．见解析【分析】在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．则只需证明CD＝CE即可．结合角度证明∠CDE＝∠CED．【详解】证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD12=∠ABC．在△ABD和△EBD中，BE BAABD EBDBD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△EBD．（SAS）∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC12=⨯（180°﹣108°）＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°．∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE＝∠DEC．∴CD＝CE．∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键．12．见解析【分析】作BF的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，由BD 平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，从而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC≌△AEB推出BE＝CD，从而得到结论．【详解】解：取BF的中点E，连接AE，AD，∵∠BAC＝90°，∴AE＝BE＝EF，∴∠ABD ＝∠BAE ，∵CD ⊥BD ，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠DAC ＝∠DBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠DAC ＝∠BAE ，∴∠EAD ＝90°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝∠DBC ＝22.5°，∴∠AED ＝45°，∴AE ＝AD ，在△ABE 与△ADC 中，ABE DAC BAE ACD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADC ，∴BE ＝CD ，∴BF ＝2CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．（1）见解析；（2）见解析；（3）BE AD AB =+【分析】(1) 由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得11,22∠=∠∠=∠BAC NAB CBA ABQ ,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC ⊥AC;(2) ①延长AC 交PQ 点F ，先证明AC=FC,再证明△ACD ≌△FCE,即可得AD+BE=AB; ②方法与①相同．【详解】解：（1）∵MN∥PQ∴∠NAB+∠ABQ=180°∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ∴11,22∠=∠∠=∠BAC NAB CBA ABQ∴∠BAC+∠ABC=12180⨯︒=90°在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90°∴BC⊥AC;（2）①延长AC交PQ于点F∵BC⊥AC∴∠ACB=∠FCB=90°∵BC平分∠ABF∴∠ABC=∠FBC∴BC=BC∴△ABC≌△FBC∴AC=CF，AB=BF∵MN∥BQ∴∠DAC=∠EFC∵∠ACD=∠FCE∴△ACD≌△FCE∴AD=EF∴AB=BF=BE+EF=BE+AD即：AB=AD+BE②线段AD ，BE ，AB 数量关系是：AD+AB=BE如图3，延长AC 交PQ 点F,∵MN//PQ ．∴∠AFB=∠FAN ，∠DAC=∠EFC∵AC 平分∠NAB∴∠BAF=∠FAN∴∠BAF=∠AFB∴AB=FB∵BC ⊥AC∴C 是AF 的中点∴AC=FC在△ACD 与△FCE 中DAC EFC AC FCACD FCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴()ACD FCE ASA ≅∴AD=EF∵AB=FB=BE-EF∴AD+AB=BE【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形．14．（1）△ABO的面积=4；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b，根据三角形的面积公式计算；（2）作AF平分∠BAC交BD于F点，分别证明△ACE≌△BAF，△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质证明；（3）过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，证明△ACM≌△BAO，根据全等三角形的性质得到CM=AO=2，AM=BO=4，证明四边形ONQB为平行四边形，得到答案．【详解】解：（1）∵2a b+（a-2）2=0，∴2a-b=0，a-2=0，解得，a=2，b=4，∴A（0，2），B（4，0），∴OA=2，OB=4，∴△ABO的面积=12×2×4=4；（2）作AF平分∠BAC交BD于F点，∵AB=AC，∠CAB=90°，∴∠C=∠ABC=∠DAF=∠BAF=45°，∵∠CAE+∠BAO=∠ABF+∠BAO=90°，∴∠CAE=∠ABF ，在△ACE 和△BAF 中，CAE ABF AC AB ACE BAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACE ≌△BAF （ASA ），∴CE=AF ，在△CED 和△AFD 中，CD AD C DAF CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CED ≌△AFD （SAS ）∴∠CDE=∠ADB ；（3）过C 点作CM ⊥y 轴于M 点，过D 点作DN ⊥y 轴于N 点，则∠AMC=∠BOA=90°，∵∠CAM+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CAM=∠ABO ，在△ACM 和△BAO 中，CAM ABO CMA AOB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACM ≌△BAO （AAS ），∴CM=AO=2，AM=BO=4，∵A （0，2），P （0，-6），∴AP=8，∴PM=AP-AM=4，在△PCM 和△QPN 中，CPM PQN PMC QNP PC PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△PCM≌△QPN（AAS），∴NQ=PM=4，∴四边形ONQB为平行四边形，∴AP∥BQ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，非负数的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC的度数不变化．∠BAC=60°．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，证明△ACM≌△ABN即可；（3）用截长补短法在CD上截取CP=BD，连接AP，证明△ABD≌△ACP，由全等性质可知△ADP是等边三角形，易知 BAC 的度数.【详解】（1）∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN （AAS）∴AM=AN．∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，∴AD=PD．∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP．∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性质，等腰等边三角形的性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 16．见解析.【解析】【分析】延长AC、BE交于F，首先由ASA证明△AEF≌△AEB，得到BE=BF，然后再次通过ASA 证明△ACD≌△BCF，得到AD=BF，问题得解.【详解】证明：延长AC、BE交于F，∵∠1=∠3，BE⊥AE，在△AEF和△AEB中，，∴△AEF≌△AEB(ASA)，∴FE=BE，∴BE=BF，∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，∴∠1=∠2，在△ACD和△BCF中，，∴△ACD≌△BCF（ASA），∴AD=BF，∴BE=AD.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，两次证明全等是解题关键，也考查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度．17．（1）CD=AD；（2）CD=AD；（3）BC=AD+BD.【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC 可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论．【详解】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DE=AD，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE=AD，故答案为：CD=AD（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，∴CD=DE=AD.（3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，∴∠DFA=∠DGE=90°．∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，∴DF=DG．∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∴∠DBC=20°，∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE=80°，∴∠FAD=∠BED．在△DAF和△DEG中，，∴△DAF≌△DEG（AAS），∴AD=ED．∵∠BED=∠C+∠EDC，∴80°=40+∠EDC，∴∠EDC=40°，∴∠EDC=∠C，∴DE=CE，∴AD=CE．∵BC=BE+CE，∴BC=BD+AD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．18．见解析.【分析】延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AD＋AB＝2AE可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠B＝∠FDC，问题得证．【详解】证明：延长AD过C作CF垂直AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，∴△AFC≌△AEC(AAS)，∴AF＝AE，CF＝CE，∵AD+AB=2AE，又∵AD＝AF−DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，∴2AE＝AE＋BE＋AE−DF，∴BE＝DF，在△CDF和△CBE中，CF CECFD CEBDF BE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠FDC，∵∠ADC＋∠FDC＝180°，∴∠ADC+∠B=180º．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理．19．（1）60°；（2）BE+CF的值是定值，BE+CF=3.【分析】（1）连接BO，由AB是切线可以得到∠ABO的度数，由△ABC为等边三角形，得到∠OBC 的度数，然后得到∠BOC，根据圆心角与圆周角的关系得到∠BMC的度数.（2）作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD ，OD，如图2，根据等边三角形三角形的性质得AD平分∠BAC，∠BAC=60°，则利用角平分线性质得DH=DN，根据四边形内角和得∠HDN=120°，由于∠EDF=120°，所以∠HDE=∠NDF，接着证明△DHE≌△DNF得到HE=NF，于是BE+CF=BH+CN，再计算出BH=12BD，CN=12DC，则BE+CF=12BC，于是可判断BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半，再计算BC的长即可．【详解】（1）解：如图，连接BO，∵AB是圆的切线，∴∠ABO=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠CBO=90°-60°=30°，∵BO=CO，∴∠BCO=∠CBO=30°，∴∠BOC=120°，∴∠BMC=1BOC602∠=︒（2）解：BE+CF的值是为定值．理由：作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，OD，如图2，∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴DH=DN，∠HDN=120°，∵∠EDF=120°，∴∠HDE=∠NDF，在△DHE和△DNF中，∴DHE DNFDH DNHDE NDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DHE≌△DNF，∴HE=NF，∴BE+CF=BH-EH+CN+NF=BH+CN，在Rt△DHB中，∵∠DBH=60°，∴BH=12BD，同理可得CN=12OC，∴BE+CF=12DB+12DC=12BC，∵BD=3，∴BC=23，∴BE+CF=3，∴BE+CF的值是定值，为：3．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质．20．详见解析【解析】【分析】连接EB、EC，过点E作EG AB⊥交AB延长线于G，根据线段垂直平分线求出BE=CE，根据角平分线性质求出EF=EG，证出Rt△BGE≌Rt△CFE即可得BG=CF，求出△AFE≌△AGE，推出AF=AG，即可得出答案．【详解】证明：连接EB、EC，过点E作EG AB⊥交AB延长线于G，∵D为BC的中点∴DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EF⊥AC，∴∠BGE=∠EFC=90°，EF=EG，在Rt△BGE和Rt△CFE中EG=EF BE=CE ⎧⎨⎩∴Rt △BGE ≌Rt △CFE （HL ），∴BG=CF ，∵AE 平分∠BAC ，EG ⊥AB ，EF ⊥AC ，∴∠AFE=∠AGE=90°，∠FAE=∠GAE ，在△AFE 和△AGE 中AFE=AGE FAE=GAE AE=AE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AFE ≌△AGE ，∴AF=AG ，∵BG=CF ， ∴12（AB+AC ）=12（AG-BG+AF+CF ） =12（AF+AF ） =AF ，即AF=12（AB+AC ）． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解题的关键，题目比较典型，难度适中．21．详见解析【解析】【分析】在AB 上截AF AD =，连接FG ，根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可得AGD=120AGB ∠︒∠=︒60，，证明ADG AFG ∆∆≌，得GD=GF ，AGD AGF ∠=∠=60°，可证得BGF BGE ∆∆≌，即可得GF=GE=GD.【详解】证明：在AB 上截AF AD =，连接FG ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC=∠EAB ，又∵AG=AG ，∴ADG AFG ∆∆≌，GD GF ∴=，AGD AGF ∠=∠ ，∵60ACB ∠=︒，AE,BD 是ΔABC 的角平分线，∴()111802211802120AGB CAB CBA CAB CBA ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒， ∴60AGD AGF BGF BGE ∠=∠=∠=∠=︒，∵BGF BGE BG BGGBF GBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BGF BGE ASA ∴∆∆≌，∴GF GE = ，∴GD=GE.【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键．22．（1）详见解析；（2）8cm.【解析】【分析】（1）过点E 分别作EF AD ⊥于F ，由角平分线的性质就可以得出EF=EC ，根据HL 得AEB AEF ∆∆≌，即可得出结论；（2）根据角平分线和平行线的性质求出30CED DAE ∠=∠=︒ ，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.【详解】（1）证明：过点E 分别作EF AD ⊥于F ，∴∠DFE=∠AFE=90°．∵∠B=∠C=90°，∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．∴CB ⊥AB ，CB ⊥CD ．∵DE 平分∠ADC ．∴∠EDC=∠EDF ，CE=EF ．∵E 是BC 的中点，∴CE=BE ，∴BE=EF ．在Rt △AEB 和Rt △AEF 中，EB=EF AE=AE ⎧⎨⎩， ∴Rt △AEB ≌Rt △AEF （HL ），∴∠EAB=∠EAF ，∴AE 是∠DAB 的平分线；（2）解：∵∠B=∠C=90°，∴AB ∥CD ，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵∠BAD=60°，DE 平分ADC ∠，AE 是∠DAB 的平分线，60ADE CDE ∠=∠=︒∴ ，30DAE ∠=︒ ，A 90DE =︒∠，∵∠C=90°∴ A 30D E =︒∠，C 30DE =︒∠ ，248AD DE CD cm ∴===.故答案为（1）详见解析；（2）8cm.【点睛】本题考查角平分线的性质，线段中点的定义，全等三角形的判定与性质的运用，含30°角的直角三角形，证明三角形全等是解（1）题的关键，掌握含30°角的直角三角形的性质是解（2）题的关键．23．详见解析【解析】【分析】过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，由条件可得出△CDF ≌△CEB ，可得∠B=∠FDC ，进而可证明∠B+∠ADC=180°．【详解】证明：过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF AD ⊥于F ，∴CF=CE ，在Rt △CDF 与Rt △CEB 中，CF=CE CD=CB⎧⎨⎩ ∴CBE CDF ∆∆≌， CBE CDF ∴∠=∠，180ADC CDF ∠+∠=︒，A C 180B D ∴∠+∠=︒ .【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明△CDF ≌△CEB 进而得出∠B=∠FDC ．24．1DG =【分析】延长CG 交AB 于点E. 根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG ，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=12BE=12（AB-AC ），从而得出DG 的长． 【详解】解：延长CG 交AB 于点E ．AG 平分BAC ∠，CG AG ⊥于G ，CG EG ∴=，4AE AC ==，2BE AB AC ∴=-=，∵CG EG ，D 为BC 的中点，112DG BE ∴==． 故答案为1DG =.【点睛】本题考查 等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理求解是解题的关键．25．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)连接DF ，证△FAE ≌△OAE ，推出AF=AO ，∠AFO=∠AOF ，求出OD=DF ，求出BF=DF ，即可得出答案；(2)在AD 上截AG=OF ，连接OG ，证△AGO ≌△OFB ，推出GO=BF=OD ，求出DE=GE ，AD-OF=DG=2DE 即可．【详解】(1)连接DF ，∵OE ⊥AD ，∴∠AEF=∠AEO=90°，∵AD 平分∠FAO ，∴∠EAF=∠OAE ，又∵AF=AF，∴△EAF≌△OAF(ASA)，∴AF=AO，∠AFO=∠AOF，∵AD⊥OF，∴EF=EO，∴DF=DO，∴∠DFO=∠DOF，∵∠AFO=∠AOF，∴∠AFD=∠AOB=90°，∵∠AOB=90°，AO=BO，∴∠B=45°，∴∠FDB=∠AFO-∠B=45°=∠B，∴BF=DF，∴OD=BF；(2)在AD上截AG=OF，连接OG，∵∠OAB=∠B=45°，AD平分∠OAB，∴∠OAG=22.5°，∵OD=DF，∴∠DFO=∠DOF，∵∠FDB=45°=∠DFO+∠DOF，∴∠FOB=22.5°=∠OAG，∴△AGO≌△OFB(SAS)，∴GO=BF=OD，∵OE⊥AD，∴DE=GE，∴AD-OF=DG=2DE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.26．54︒【分析】如图（见解析），设CBP x ∠=，从而可得2ABC x ∠=，先根据三角形的外角性质可求出72BAC =︒∠，再根据角平分线的性质可得,PM PN PM PE ==，从而可得PN PE =，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得PAN PAE ∠=∠，最后根据平角的定义即可得．【详解】如图，过点P 分别作PM BD ⊥于点M ，PN BA ⊥于点N ，PE AC ⊥于点E ，设CBP x ∠=，则2ABC x ∠=，36BPC ∠=︒，36DCP BP CBP C x ∠+∴∠=∠=+︒，CP 是ACD ∠的平分线，2272ACD DCP x ∴∠=∠=+︒，272272BAC ACD ABC x x ∴∠=∠-∠=+︒-=︒，BP 是ABC ∠的平分线，PM BD ⊥，PN BA ⊥，PM PN ∴=，同理可得：PM PE =，PN PE ∴=，在Rt ANP 和Rt AEP △中，PN PE PA PA =⎧⎨=⎩， ()Rt ANP Rt AEP HL ∴≅，PAN PAE ∴∠=∠，即PAN CAP ∠=∠，又180PAN CAP BAC ∠+∠+∠=︒，272180CAP ∴∠+︒=︒，解得54CAP ∠=︒，故答案为：54︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键．27．13【分析】如下图，先构造并证明AMB AND ∆≅∆，从而得出ACM ACN ∆≅∆，再根据4120BAE BCD ∠+∠=︒可推导出AC CE =，最后在Rt △ACM 中求解．【详解】解析：连接AC ，过点A 作AM BC ⊥于点M ，AN CD ⊥于点N ，2120ADC B ∠=∠=︒，60ADN B ∴∠=∠=︒，AB AD =，90AMB AND ∠=∠=︒，AMB AND ∆≅∆，AM AN ∴=，BM DN =，Rt ACM Rt ACN ∴∆≅∆ACB ACD ∠=∠∴，CM CN =．设BAE α∠=，则60AEC α∠=︒+，4120BAE BCD ∠+∠=︒602ACE α∴∠=︒-．60CAE α∴∠=︒+AC CE ∴=．设EM a =，则2BM DN a ==+，9CM CN a ==+92AC CE a ∴==+，3(2)AM a =+，在Rt ACM ∆中，由勾股定理得AM CM AC 222+=解得2a =． 13CE ∴=．【点睛】本题考查了构造并证明全等三角形、勾股定理的运用，解题关键是利用4120BAE BCD ∠+∠=︒进行角度转化，得到边AC CE =．28．40°【分析】过点P 作PF ⊥AB 于F ，PM ⊥AC 于M ，PN ⊥CD 于N ，根据三角形的外角性质和内角和定理，得到∠BAC 度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP ，即可得到答案．【详解】解：过点P 作PF ⊥AB 于F ，PM ⊥AC 于M ，PN ⊥CD 于N ，如图：设∠PCD=x ，。
