高中数学人教版选修2-1配套课件：3.1.4空间向量的直角坐标运算
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选修2-1(空间向量)页数:28
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课件2：3.1.4空间向量的直角坐标运算
研一研·问题探究、课堂更高效
小结 已知两个向量的坐标，证明这两个向量平行或垂 直，就是根据 a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，c∥d⇔c ＝xd⇔c1＝xd1，c2＝xd2，c3＝xd3 (x∈R，x≠0)来证明．
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 将本例中“若向量 ka＋b 与 ka－2b 互相垂
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3．若 ABCD 为平行四边形，且 A(4,1,3)，B(2，－5,1)，
C(－3,7，－5)，则顶点 D 的坐标为
(D )
A．72，4，－1
B．(2,3,1)
C．(－3,1,5)
研一研·问题探究、课堂更高效
例 2 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设 a ＝A→B，b＝A→C.若向量 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k 的值．
解 a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)， ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)， ∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8， 即 2k2＋k－10＝0，∴k＝－52或 k＝2.
＝(2,1,2)－λ(1,1,2)＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
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则Q→A·Q→B＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ) ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10， ∴当 λ＝43时，Q→A·Q→B取得最小值． 又O→Q＝λO→P＝43(1,1,2)＝43，43，83. 所以，所求点 Q 的坐标为43，43，83.
人教A版高中数学选修2-1课件：3-1-4 3-1-5 空间向量的坐标运算 精品
1.空间直角坐标系与原点: O-xyz 2.坐标向量: i, j, k 3.坐标平面 通过每两个坐标轴的平面，分别称
为xOy平面, yOz平面, zOx平面.
4.右手直角坐标系
空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,已知任一向量a, 根据空间向量分解定理,存在唯一数组 (a1,a2,a3),使
OM=
1 2
(OA+OB)
M
AM=MB
o
y
A(3,3,1)
x
dA,B 1 32 0 32 5 12 29
例4 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求
到A，B两点距离相等的点P(x,y,z)
的坐标x,y,z满足的条件.
解：设点P到A，B的距离相等，则
(x 3)2 y 32 z 12 x 12 y 02 z 52
=(1,1,0)-(0,1,1) =(1,0,-1)，
q=a+2b-c =(1,1,0)+2(0,1,1)- (1,0,1) =(0,3,1)，
p•q=(1,0,-1)•(0,3,1) =10+03+(-1)1 =-1.
例2 已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2), 求向 量n使n⊥a,且n⊥b. 解:设n=(x, y, z,)则
化简，得 4x+6y-8z+7=0.
即到A, B距离相等的点的坐标（x,y,z)满足 的条件是4x+6y-8z+7=0.
思考题：直三棱柱ABC A1B1C1, 底面ABC中，
CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M ,
N分别为A1B1,AA1的中点.
(1)求BN的长； (2)求 cos BA1, CB1 的值； A1 (3)求证：A1B C1M .
为xOy平面, yOz平面, zOx平面.
4.右手直角坐标系
空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,已知任一向量a, 根据空间向量分解定理,存在唯一数组 (a1,a2,a3),使
OM=
1 2
(OA+OB)
M
AM=MB
o
y
A(3,3,1)
x
dA,B 1 32 0 32 5 12 29
例4 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求
到A，B两点距离相等的点P(x,y,z)
的坐标x,y,z满足的条件.
解：设点P到A，B的距离相等，则
(x 3)2 y 32 z 12 x 12 y 02 z 52
=(1,1,0)-(0,1,1) =(1,0,-1)，
q=a+2b-c =(1,1,0)+2(0,1,1)- (1,0,1) =(0,3,1)，
p•q=(1,0,-1)•(0,3,1) =10+03+(-1)1 =-1.
例2 已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2), 求向 量n使n⊥a,且n⊥b. 解:设n=(x, y, z,)则
化简，得 4x+6y-8z+7=0.
即到A, B距离相等的点的坐标（x,y,z)满足 的条件是4x+6y-8z+7=0.
思考题：直三棱柱ABC A1B1C1, 底面ABC中，
CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M ,
N分别为A1B1,AA1的中点.
(1)求BN的长； (2)求 cos BA1, CB1 的值； A1 (3)求证：A1B C1M .
2019-2020学年高中数学人教B版选修2-1课件： 3.1.4 空间向量的直角坐标运算
(2)运算结果:空间向量的加法、减法、数乘坐标运算 结果依然是一个向量;空间向量的数量积坐标运算的结 果是一个实数.
3.对空间两个向量平行与垂直的两点说明 (1)类比平面向量平行、垂直:空间两个向量平行、垂 直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样,但实质 是一致的. (2)转化:判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线 对应的方向向量是否平行或垂直.
3.空间向量平行和垂直的条件
(1)a∥b(b≠0)⇔a=λb,用坐标表示为:
_a_1____b_1_,
a∥b(b3____b_3_,
a1 a2 a3
当b与三个坐标平面都不平行时,a∥b⇔_b_1___b_2 __b_3__.
(2)a⊥b⇔a·b=0.用坐标表示为: a⊥b⇔_a_1_b_1+_a_2_b_2_+_a_3b_3_=_0_.
(2)空间向量的坐标与点的坐标的联系 ①起点在原点的向量,坐标与终点坐标相同; ②起点不在原点的向量,坐标是终点坐标减去起点对应 坐标.
2.对空间向量坐标运算的两点说明 (1)类比平面向量坐标运算:空间向量的加法、减法、 数乘和数量积与平面向量的类似,学习中可以类比推广. 推广时注意利用向量的坐标表示,即向量在平面上是用 唯一确定的有序实数对表示,即a=(x,y).而在空间中则 表示为a=(x,y,z).
(2)若向量 AB =(x1,y1,z1),则点B的坐标是(x1,y1,z1) 吗?
提示:不一定.由向量的坐标表示知,若向量 AB的起点 A与原点重合,则B点坐标为(x1,y1,z1),若向量 AB 的起 点A不与原点重合,则B点坐标就不是(x1,y1,z1).
【自我总结】 1.对空间向量的坐标的两点说明 (1)空间向量坐标的本质 a=(x,y,z)的本质是a=xi+yj+zk,其中{i,j,k}是单位正 交基底.
高中数学选修2-1精品课件12：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
那么对于空间任意一个向量 p＝O→P，可以沿三条坐标 轴的方向进行分解(如图所示)，即存在一个有序实数组 {x，y，z}，使得 p＝xi＋yj＋zk，这样的分解称为空间 向量的正交分解．
(3)空间向量的坐标表示：空间任一向量 p 作正交分解可得 p＝xi＋yj＋zk，则 x，y，z 称作向量 p 在单位正交基底{i，j， k}下的坐标，记作 p＝(x，y，z)．
因为{a，b，c}为基底．所以 a，b，c 不共面． 1＝μ，
所以1＝λ， 此方程组无解， 0＝λ＋μ.
所以 a＋b，b＋c，c＋a 不共面．
所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
归纳升华 1．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底， 关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手， 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、 四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的 向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的 判断．
A．0
B．1
C．2
【解析】①④错误，②③正确．
【CD-A1B1C1D1 中，可以作为空间向量的 一个基底的是( )
A.A→B，A→C，A→D
B.A→B，A→A1，A→B1
C.D→1A1，D→1C1，D→1D D.A→C1，A→1C，C→C1
【解析】在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，只有 C 中的三 个向量D→1A1，D→1C1，D→1D不共面，可以作为空间向量的 一个基底． 【答案】C
变式训练 已知a，b，c是不共面的三个向量，
则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
人教B版高中数学选修2-1课件 3.1空间向量的直角坐标运算课件1
面积 S； S 7 3
⑵ 若向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直，且| a |＝ 3 ，求向量 a 的坐标。
a (1,1,1)或a (1, 1, 1)
【课堂小结】
今天你学到了什么呢？ 1.基本知识：
（1）向量的加减、数乘和数量积运算的坐标 表示；
（2）两个向量的夹角公式和垂直、平行判定 的坐标表示。 2.思想方法：用向量坐标法计算或证明几何问题
所以 所以
DA1 EF
(1 , 0 DA1
, 1) ( 1
2
,
1 2
,
1 2
)
(1
,
0
,
1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
课本第
92.93.94页练习题、习题
能力培养
则点 B、E1、D、F1 的坐标分别为 B(1,1,0)，
E1(1,
3 4
,1)，D(0,0,0)，
1 F1(0, 4 ,1)
∴
BE1
＝(1,
3 4
,1)－(1,1,0)＝(0,－
1 4
,1)，
DF1
＝(0, 1
4
,1)－(0,0,0)＝(0,
1 4
,1)．
∴ | BE1 |
17 4
，|
DF1
|
BE1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1，
分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ，
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
⑵ 若向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直，且| a |＝ 3 ，求向量 a 的坐标。
a (1,1,1)或a (1, 1, 1)
【课堂小结】
今天你学到了什么呢？ 1.基本知识：
（1）向量的加减、数乘和数量积运算的坐标 表示；
（2）两个向量的夹角公式和垂直、平行判定 的坐标表示。 2.思想方法：用向量坐标法计算或证明几何问题
所以 所以
DA1 EF
(1 , 0 DA1
, 1) ( 1
2
,
1 2
,
1 2
)
(1
,
0
,
1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
课本第
92.93.94页练习题、习题
能力培养
则点 B、E1、D、F1 的坐标分别为 B(1,1,0)，
E1(1,
3 4
,1)，D(0,0,0)，
1 F1(0, 4 ,1)
∴
BE1
＝(1,
3 4
,1)－(1,1,0)＝(0,－
1 4
,1)，
DF1
＝(0, 1
4
,1)－(0,0,0)＝(0,
1 4
,1)．
∴ | BE1 |
17 4
，|
DF1
|
BE1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1，
分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ，
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
高中数学选修2-1精品课件1：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
典例讲练
[例 1] 若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b ＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①{a，b，c}是空间的一个基底； ②判断{a＋b，b＋c，c＋a}是否也可作为该空间的一个基 底．解答本题可先用反证法，判断 a＋b，b＋c，c＋a 是否共 面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基 底．
[解析] 由 G 为△BCD 的重心易知 E 为 BC 的中点， ∴B→E＝12(B→A＋B→C)＝ 12[(O→A－O→B)＋(O→C－O→B)] ＝21[(a－b)＋(c－b)]＝12(a＋c－2b)， O→G＝O→B＋B→G＝b＋23B→E＝b＋13(a＋c－2b)＝13(a＋b＋c)．
[例 3] 棱长为 1 的正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G 分别为棱 DD′、D′C′、BC 的中点，以{A→B，A→D，A→A′}为基底， 求下列向量的坐标．
起点 与原点 O 重合，得到向量O→P＝p，由空间向量基本定理 可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xe1＋ye2＋ze3 . 我们把 x、y、z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的 坐标，记作 p＝ (x，y，z)．
要点点拨
1．用空间三个不共面的已知向量 a，b，c 可以线性表示出空间任 意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 2．空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的一个基 底． 3．由于 0 可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是 0. 要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个 向量，二者是相关联的不同概念．
第三章 空间向量与立体几何 §3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
2019版数学人教B版选修2-1课件：3.1.4空间向量的直角坐标运算
b1,b2,b3
都不为
0
时,a∥b⇔������������11
=
������2 ������2
=
������3 ������3
;
(2)a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.
【做一做3】 设a=(1,2,3),b=(1,-1,x),若a⊥b,则x=
.
答案:13
-6-
目标导航
知识梳理
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
-1-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1.了解空间向量坐标的定义. 2.掌握空间向量的坐标运算. 3.会利用向量的坐标关系,判定两个向量共线或垂直. 4.会计算向量的长度及两向量的夹角.
-2-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
1.空间向量的坐标表示
2,-12-16)=(5,13,-28);a+b=(3,5,-4)+(2,1,8)=(3+2,5+1,-
4+8)=(5,6,4);a-b=(3,5,-4)-(2,1,8)=(3-2,5-1,-4-8)=(1,4,-12), (a+b)·(a-b)=(5,6,4)·(1,4,-12)=5×1+6×4+4×(-12)=5+24-48=-
.
答案:3
-3-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
(2)空间向量的坐标表示.
在空间直角坐标系中,已知任一向量a,根据空间向量分解定理,存
在唯一实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k,a1i,a2j,a3k分别为向量a在
人教版数学选修2-1(B版)3.1空间向量的直角坐标运算 (共26张PPT)
z
1
P
1
•
y
1
P点坐标为
x
x
1
• o
y
(x,y,z)
•P
0
1、在空间直角坐标系中描出下列各点， 并说明这些点的位置 A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0） D（1,0,3） E（2,2,0） F（1,0,0）
a
A(a1 , a2 , a3 )
O j
y
k
有序数组(a1, a2 , a3 )叫做a在空间的坐标. 向量a可以用坐标表示为a (a1, a2 , a3 ).
a a1i a2 j a3 k.
i x
则 a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )， a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )
若A x1 , y1 , B x2 , y2 , 则AB x2 x1 , y2 y1
复习回顾：
2 2 2 2 2 1 设 a x , y , 则 a x y 或 a x y
3、向量模长的坐标运算和平面内两点间距离公式：
i
z k
O
x
j
y
3、作空间直角坐标系 Oxyz 时
z
一般使 xOy 135 (或 45 ), yOz 90
Z
k
i
O
j
y
x
三、空间中向量的直角坐标表示
给定一个空间直角坐标系和向量 a ,且设 i, j , k为坐标向量，由空z 间向量基本定理，存在唯一的有 序实数组 (a1 , a2 , a3 ) ,使
五、空间中任意一点的直角坐标：
1
P
1
•
y
1
P点坐标为
x
x
1
• o
y
(x,y,z)
•P
0
1、在空间直角坐标系中描出下列各点， 并说明这些点的位置 A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0） D（1,0,3） E（2,2,0） F（1,0,0）
a
A(a1 , a2 , a3 )
O j
y
k
有序数组(a1, a2 , a3 )叫做a在空间的坐标. 向量a可以用坐标表示为a (a1, a2 , a3 ).
a a1i a2 j a3 k.
i x
则 a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )， a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )
若A x1 , y1 , B x2 , y2 , 则AB x2 x1 , y2 y1
复习回顾：
2 2 2 2 2 1 设 a x , y , 则 a x y 或 a x y
3、向量模长的坐标运算和平面内两点间距离公式：
i
z k
O
x
j
y
3、作空间直角坐标系 Oxyz 时
z
一般使 xOy 135 (或 45 ), yOz 90
Z
k
i
O
j
y
x
三、空间中向量的直角坐标表示
给定一个空间直角坐标系和向量 a ,且设 i, j , k为坐标向量，由空z 间向量基本定理，存在唯一的有 序实数组 (a1 , a2 , a3 ) ,使
五、空间中任意一点的直角坐标：
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第三章 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
栏 目 链 接
(x，y，z) 位正交基底 e1， e2， e3 下的坐标， 记作 p＝________.
自 测 自 评
1．下列命题中真命题的个数是( C )
①空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示 ②空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示
栏 目 链 接
③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示
栏 目 链 接
→＝ → 解析：AN AB＋→ BN 2→ → → ＝(OB－OA)＋ BC 3 2 → → → → ＝(OB－OA)＋ (OC－OB) 3 1 → 2→ → ＝－OA＋ OB＋ OC 3 3 1 2 ＝－a＋ b＋ c. 3 3 → →－AM → MN＝AN 1→ → ＝AN－ AO 4
z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
基 础 梳 理
原点 O 重合， 得到向量→ OP＝p.由空间 向量基本定理可知，存在有序实数组 {x，y，z}，
x，y，z 称作向量 p 在单 使得 p＝xe1＋ye2＋ze3.把________
变 式 训 练
2．如图所示，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥AC，D，E 分 → ＝a ，→ →1＝c，则→ 别为 AA1，B1C 的中点，若记AB AC＝b，AA DE＝ ________(用 a，b，c 表示)．
④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
自 测 自 评 2．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以 与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( D ) A．a B．b D．a＋2c
栏 目 链 接
C．a＋2b
3．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，
(x，y，z) 位正交基底 e1， e2， e3 下的坐标， 记作 p＝________.
自 测 自 评
1．下列命题中真命题的个数是( C )
①空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示 ②空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示
栏 目 链 接
③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示
栏 目 链 接
→＝ → 解析：AN AB＋→ BN 2→ → → ＝(OB－OA)＋ BC 3 2 → → → → ＝(OB－OA)＋ (OC－OB) 3 1 → 2→ → ＝－OA＋ OB＋ OC 3 3 1 2 ＝－a＋ b＋ c. 3 3 → →－AM → MN＝AN 1→ → ＝AN－ AO 4
z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
基 础 梳 理
原点 O 重合， 得到向量→ OP＝p.由空间 向量基本定理可知，存在有序实数组 {x，y，z}，
x，y，z 称作向量 p 在单 使得 p＝xe1＋ye2＋ze3.把________
变 式 训 练
2．如图所示，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥AC，D，E 分 → ＝a ，→ →1＝c，则→ 别为 AA1，B1C 的中点，若记AB AC＝b，AA DE＝ ________(用 a，b，c 表示)．
④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
自 测 自 评 2．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以 与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( D ) A．a B．b D．a＋2c
栏 目 链 接
C．a＋2b
3．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习课件(共24张PPT)
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2பைடு நூலகம்
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
(2)解 AC→′＝－a＋c，C→E＝b＋1c， 2
∴|AC→′|＝ 2|a|，|C→E|＝ 5|a|. 2
AC→′·C→E＝(－a＋c)·（b＋1c）＝1c2＝1|a|2， 2 22
∴cos〈A→C′，C→E〉＝
1|a|2 2
＝ 10.
2· 5|a|2 10
2
即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10. 10
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴C→E＝b＋1c，A→′D＝－c＋1b－1a，
2
22
∴C→E·A→′D＝－1c2＋1b2＝0. 22
∴C→E⊥A→′D，即 CE⊥A′D．
空间向量的数量积及其应用
【训练 3】 如图，在直三棱柱 ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′， ∠ACB＝90°，D，E 分别为 AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．
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4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)则
2 2 a· a＝ a1 ＋a2 2＋a3 |a|＝________________________________， 2 2 2 b · b ＝ b ＋ b ＋ b 1 2 3 |b|＝_____________________________ ， a1b1＋a2b2＋a3b3 2 2 2 2 2 2 a· b a ＋ a ＋ a b ＋ b ＋ b 1 2 3 1 2 3 cos<a，b>＝ ＝_____________________________. |a||b|
第三章 3.1 3.1.4
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则容易得到 a＋b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) ； (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) ； ＝______________________ a－b＝______________________
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
2 2 2 x － x ＋ y － y ＋ z － z 2 1 2 1 2 1 → |AB|＝________________________________.
第三章 3.1 3.1.4
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第三章
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
第三章
空间向量与立体几何
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课前自主预习
课堂典例讲练
方法警示探究 思想方法技巧
易错疑难辨析
课后强化作业
第三章 3.1 3.1.4
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名 师 点 拨 ： (1) 空 间 向 量 的 坐 标 是 空 间 向 量 的 一 种 形 式．在坐标形式下的模长公式，夹角公式，向量平行和垂直 的条件与在普通基底下相同，仅仅是形式不同；
(2)空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)，夹
角，证明垂直和平行关系等．
第三章 3.1 3.1.4
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第三章 3.1 3.1.4
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第三章 3.1 3.1.4
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1.空间向量的坐标表示
(1)单位正交基底
建立空间直角坐标系 Oxyz，分别沿x 轴，y 轴，z轴的正方 单位 向量 i ， j ， k ，这三个互相 ________ 垂直 的单位向量 向引 ________ 构成空间向量的一个基底 {i ， j ， k} ，这个基底叫做单位正交 基底． 坐标向量 单位向量i，j，k都叫做_______________ ．
第三章 3.1 3.1.4
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3．空间向量平行和垂直的条件 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a＝λb ⇔ (1)a∥b(b≠0)⇔__________ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 _____________________________ ， a
(λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 λa＝____________________ ；a· b＝_______________________.
(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设 A(x1，y1， z1)，B(x2，y2，z2)， → → → 则 AB＝ OB －OA ＝ (x2 ， y2 ， z2)－ (x1， y1，z1) ＝(x2 － x1， y2 －y1，z2－z1)．
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第三章
空间向量与立体几何
第三章
空间向量与立体几何
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第三章
3.1 空间向量及其运算
第三章
空间向量与立体几何
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a2 a3 ＝b ＝b b 当b1，b2，b3都不为0时，a∥b⇔_____________. 1 2 3
1
a· b＝0 ⇔_______________________. a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (2)a⊥b⇔________
第三章 3.1 3.1.4
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课前自主预习
第三章 3.1 3.1.4
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众所周知，地球上的每一点都对应着唯一的经度和纬
度，如山东省的省会济南市就位于北纬 36度40分，东经117度
00分，而我们的首都北京的经度是东经 116度42分，纬度是北 纬 39 度 54 分．经度和纬度是地球上任意点的“坐标”，无独 有偶，在数学上我们用到的很多量(包括向量)也有坐标，今天 我们要学习的就是空间向量的坐标及其运算问题.
第三章 3.1 3.1.4
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(2)空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分 唯一 实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2 j＋ 解定理，存在________ a3k，a1i，a2 j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有 (a1，a2，a3) 叫 做 向量 a 在 此 直角 坐 标 系中 的 坐 序 实 数 组 _____________ (a1，a2，a3) 标．上式可简记作a＝___________________. 名师点拨： 向量的坐标与点的坐标表示方法不同，如向 量a＝(x，y，z)，点A(x，y，z)．