(完整版)大连理工大学高等数值分析偏微分方程数值解(双曲方程书稿)

1. 课本2p 有证明2. 课本812,p p 有说明3. 课本1520,p p 有说明4. Rit2法，设n u 是u 的n 维子空间，12,...n ϕϕϕ是n u 的一组基底，n u 中的任一元素n u 可表为1nn i i i u c ϕ==∑，则,1111()(,)(,)(,)(,)22j nnn n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ϕϕϕ===-=-∑∑是12,...n c c c 的二次函数，(,)(,)i j j i a a ϕϕϕϕ=，令()0n jJ u c ∂=∂，从而得到12,...n c c c 满足1(,)(,),1,2...niji j i a c f j n ϕϕϕ===∑，通过解线性方程组，求的i c ，代入1nn i i i u c ϕ==∑，从而得到近似解n u 的过程称为Rit2法简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，1nn i ii u c ϕ==∑，利用,1111()(,)(,)(,)(,)22j nnn n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ϕϕϕ===-=-∑∑确定i c ，求得近似解n u 的过程Galerkin 法：为求得1nn i ii u c ϕ==∑形式的近似解，在系数i c 使n u 关于n V u ∈，满足(,)(,)n a u V f V =，对任意nV u ∈或（取,1j V j nϕ=≤≤）1(,)(,),1,2...nijij i a cf j n ϕϕϕ===∑的情况下确定i c ，从而得到近似解1nn i i i u c ϕ==∑的过程称Galerkin 法为 Rit2-Galerkin 法方程：1(,)(,)nijij i a cf ϕϕϕ==∑5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。

偏微分方程的数值解法和应用偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是数学中的一个重要研究领域，它是数学建模和物理学、工程学中的重要工具之一。

通常情况下，我们可以通过一些解析方法求得偏微分方程的解析解，但是这种方法并不适用于所有情况，因此，数值解法的研究具有重要意义。

一、偏微分方程的求解偏微分方程的求解可以分为两类：解析解和数值解。

解析解是指通过一些解析方法求得的该方程的精确解，而数值解是指通过一些数值计算方法求得的该方程的近似解。

1. 解析解对于简单的偏微分方程，我们可以通过分离变量、变换变量、特征线等方法求得其解析解。

例如，对于泊松方程：$$\nabla^2 u=f(x,y)$$我们可以通过分离变量的方法得到：$$u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty a_{nm} \sin\frac{n\pi x}{L} \sin\frac{m\pi y}{W}$$其中：$$a_{nm}=\frac{4}{nm\pi^2}\int_0^W\int_0^L f(x,y)\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi y}{W} dx dy$$这是一个完整的解析解，可以用于解决实际问题。

然而，大多数情况下，偏微分方程并没有解析解，因此我们需要寻求数值解法。

2. 数值解在实际工程问题中，偏微分方程往往具有复杂的形式，不可能通过解析方法求得其解析解。

这时，我们需要使用计算机数值方法求得其数值解。

数值解法中的常见方法包括：差分方法、有限元法、有限体积法、谱方法、边界元法等。

其中，有限元法和有限体积法是比较常用的数值解法。

有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种将求解区域离散为许多小单元的方法，把偏微分方程转化为一个线性方程组。

在有限元法中，通常采用三角形或四边形做为单元。

具体的，有限元法的步骤如下：（1）离散化：将求解区域划分成若干个小单元，对单元内的未知函数用多项式进行逼近。

偏微分方程数值解法的计算方法偏微分方程(Partial Differential Equations, PDEs)是描述物理现象的一个有力工具，它可以描述复杂系统中物质、能量和动量的行为。

由于解析解十分困难或者甚至不存在，数值模拟是解决PDE问题的重要方法之一。

现今，许多物理和生物学领域的实际应用中，PDE的数值解法已经发挥了重要作用。

本文将介绍PDE的数值解法计算方法。

1.有限差分法(Finite Difference Method)有限差分法是PDE数值解法中最广泛应用的一种方法，其基本思想是用离散网格来逼近连续的PDE问题。

用有限差分法求解PDE问题可以分为以下几步：首先，将求解区域离散化，建立一个离散网格；然后，在网格上构造符合原始问题条件的差分方程；最后，将差分方程解出来，得到离散的数值解。

有限差分法的优点是简单易行，对于解决一些简单问题非常有效。

但由于精度受限，难以处理复杂问题，例如边界条件比较复杂、域的形状不规则等问题，效果不是很理想。

此外，如果PDE包含时间变量，用有限差分法求解的效果也不是很好，容易产生数值震荡现象。

2.有限体积法(Finite Volume Method)有限体积法是一种在控制体上积分求解PDE的方法。

所谓的控制体是指PDE求解区域的一个子集。

有限体积法与有限差分法的思想是相似的，它们都是将求解域分成若干个小的控制体，然后在每个控制体上构造差分方程来近似PDE。

和有限差分法相比，有限体积法的主要优势在于能够更好的处理不规则域和复杂边界条件，并且数值解更为准确。

3.有限元法(Finite Element Method)有限元法是PDE数值解法中的一种重要方法，其基本思想是通过将求解域分成若干个小三角形、四边形等有限元来逼近实际域。

有限元法与有限差分法和有限体积法的不同之处在于，它使用基函数来逼近原始问题中的未知函数。

在求解过程中，有限元法需要对基函数进行插值，从而方便地求出未知函数在任意点的近似值。

偏微分方程数值解的计算方法偏微分方程是研究自然和社会现象的重要工具。

然而，大多数偏微分方程很难用解析方法求解，需要用数值方法求解。

本文将介绍偏微分方程数值解的计算方法，其中包括有限差分方法、有限体积法、谱方法和有限元方法。

一、有限差分方法有限差分法是偏微分方程数值解的常用方法，它将偏微分方程中的空间变量转换为网格点上的差分近似。

例如，对于一个二阶偏微分方程：$$\frac{\partial^{2}u}{\partialx^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=f(x,y,u)$$可以使用中心差分方法进行近似：$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\approx \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^{2}}$$$$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\approx \frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Delta y)^{2}}$$其中，$u_{i,j}$表示在第$i$行第$j$列的网格点上的函数值，$\Delta x$和$\Delta y$表示网格步长。

将差分近似代入原方程中，得到如下的差分方程：$$\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Deltax)^{2}}+\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Deltay)^{2}}=f_{i,j,u_{i,j}}$$该方程可以用迭代法求解。

有限差分方法的优点是易于实现，但在均匀网格下准确性不高。

二、有限体积法有限体积法是将偏微分方程中的积分形式转换为求解网格单元中心值的方法。

例如，对于如下的扩散方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partialx}\left(D(u)\frac{\partial u}{\partial x}\right)$$可以使用有限体积法进行近似。

偏微分方程数值解一、偏微分方程（组）的解法介绍引导我们知道物理现象中很多问题可以用偏微分方程描述，例如振动、热传导、扩散等。

一些典型物理方程的构建及解析解法，有兴趣的用户可参考顾樵编著的《数学物理方法》。

涉及到多变量或多领域的偏微分方程就存在着变量的耦合，很难用数解析解法或无法用解析解法求得耦合偏微分方程解，此时就需要我们是用数值解法进行求解，本文的主题就放在耦合的偏微分方程组的数值解法介绍上。

上篇文章我们简单介绍了锂离子电池的P2D模型，即一个耦合的偏微分方程组。

具体可查看上篇文章。

要想求解如上篇文章形式的偏微分方程组我们通常可以选择有限差分法、正交配置法和有限元法。

由于有限差分法操作简单，本文的重点介绍有限差分法。

newman编写的电池模型程序就是基于有限差法。

二、有限差分法介绍有限差分法顾名思义可分为有限+差分。

有限——我们可以理解为连续（无限）的求解域，通过离散化变为由有限个网格节点构成的求解域。

下图形象的将r和y构成的连续域离散为由网格节点构成的有限域。

差分——由数学定义我们可以理解差分，具体如下图。

差分分为三种形式向前差分、向后差分和中心差分，对于边界点还有特定的处理。

有限差分法求解偏微分方程的基本过程是：1）划分网格。

将连续的求解域划分为有限的差分网格，将求解的变量存放在网格的各个节点上。

2）差分构建。

在每个点上将偏微分方程的微分项用合适的差商代替，从而将偏微分方程转换为代数形式的差分方程，每个节点的差分方程组合在一起就构成了一个代数方程组，我们利用初始值和边界条件，即可求解代数方程组的解，获取每个节点的变量值，即偏微分方程的数值解。

百度文库双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题:(a) —阶线性双曲型方程ut(b)—阶常系数线性双曲型方程组u A u c—— A——0t x其中A，s阶常数方程方阵，u为未知向量函数。

(C)二阶线性双曲型方程(波动方程)2u u C—a X —0t x xa x为非负函数(d)二维，三维空间变量的波动方程2 2u u c—2 2 0x y§ 1波动方程的差分逼近 1.1波动方程及其特征线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程:22 U a「x其中a 0是常数。

2 (行)可表示为：节22 uarx进一步有ax」0x(1.1)百度文库a —— 一a ——u 0 X t X称其为特征。

特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。

比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。

（行波法、特征线法） 将（1.4）视为（x,t ）与（C i ，C 2）之间的变量替换。

法则同理可得/ duJ dT (1.3) —a — t x u dx ~X d?dXdt a —)Xa 时为 u X, t 的全导数 ，故由此定出两个方向 dt dX 解常微分方程（1.3）得到两族直线 (1. 4)X a tC-i 和 X a tC2u u t C 1G1tu C 2u C 2由复合函数的微分 C1XuC2C2XuC22u—2XC1 C2C2uC1u C 2 C 2X2uG 22uC1 C22uC2 C12uC 122uG C 2C l2ut2C iu ua ----- ——C2 GC i u——aC2u u C2C2 C12 uC2 G C222 uG C22C22G C22 将有和x 2扌代入（E可得:ay 22——G C2a22u即有2 uG C2求其对C2的积分得：uC i 再求其对C i的积分得: (1.5) u x,t f G dC1C i其中f C if1 C1 f2 C22C1 C2 Cl是C i的任意可微函数。