双曲型方程的有限差分法
线性双曲型方程定解问题： （a ）一阶线性双曲型方程
()0=∂∂+∂∂x
u
x a t u （b ）一阶常系数线性双曲型方程组
0=∂∂+∂∂x
t u
A u 其中A ，s 阶常数方程方阵，u 为未知向量函数。 （c ）二阶线性双曲型方程（波动方程）
()022=⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂-∂∂x u x a x t u
()x a 为非负函数
（d ）二维，三维空间变量的波动方程
0222222=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂y u x u t u 022222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂z u y u x
u t u §1 波动方程的差分逼近 1.1 波动方程及其特征
线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程：
（1.1） 22
222x
u a t u ∂∂=∂∂ 其中0>a 是常数。
（1.1）可表示为：022
222=∂∂-∂∂x
u a t u ，进一步有
0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂
u x a t x a t
由于
x
a
t ∂∂
±∂∂当a dt dx ±=时为()t x u ,的全导数
（=dt
du dt dx x u t u ⋅∂∂+∂∂x u
a t u ∂∂±∂∂=）,故由此定出两个方向
（1.3） a
dx dt 1
±=
解常微分方程（1.3）得到两族直线 （1．4） 1C t a x =⋅+ 和 2C t a x =⋅- 称其为特征。
特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。 比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。（行波法、特征线法） 将（1.4）视为),(t x 与),(21C C 之间的变量替换。由复合函数的微分法则
2
12211C u
C u x C C u x C C u x u ∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ x C C u C u C x C C u C u C x u ∂∂⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂2
212121122 2221222122
12C u C C u C C u C u ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂= 2
2
22122122C u
C C u C u ∂∂+∂∂∂+∂∂= 同理可得
a t t a t C -=∂∂-=∂∂1，a t
C
=∂∂2 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂21
2211C u C u a t C C u t C C u t u
t
C C u C u a C u t C C u C u a C t u ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂2122112122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∂-=21222
2
22221222
C C u C u a C u C C u a ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂=22221221
22
2C u C C u C u a 将22x u ∂∂和22t
u
∂∂代入（1.1）可得： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂2222122122
2C u C C u C u a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂+∂∂=222212212
22C u C C u C u a 即有
02
12=∂∂∂C C u
求其对2C 的积分得：
()11
C f C u
=∂∂ 其中()1C f 是1C 的任意可微函数。 再求其对1C 的积分得：
（1.5） ()()11,dC C f t x u ⎰= ()()()()at x f at x f C f C f ++-=+=212211 其中()•1f 和()•2f 均为任意的二次连续可微函数。 （1.5）为（1.1）的通解，即包含两个任意函数的解。
为了确定函数()at x f -1和()at x f -2的具体形式，给定u 在x 轴的初值
（1.5） ()
()+∞<<∞-⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂===x x t
u x u t t 10
00ϕϕ 将（1.5）式代入上式，则有 （ⅰ）()()()x x f x f 021ϕ=+
注意()=t x u t ,()()()a at x f a at x f ⋅+'+--'21；()=0,x u t ()()()()x a x f x f 112ϕ='-'，有
（ⅱ）()()()x a
x f x f 1121
ϕ='-' 并对x 积分一次，得
()()()C d a
x f x f x
+=
-⎰ξξϕ10121 与（ⅰ）式联立求解，得
()()()2
21211002C
d a x x f x ++=⎰ξξϕϕ ()()()2
21211001C
d a x x f x --=⎰ξξϕϕ 将其回代到通解中，即得（1.1）在（1.5）条件下的解：
（1.6） ()t x u , ()()[]at x at x ++-=0021ϕϕ()ξξϕd a
at
x at x 121⎰+-
即为法国数学家Jean Le Rond d ’Alembert (1717-1783)提出的著名的D ’Alembert 公式。
由D ’Alembert 公式还可以导出解的稳定性，即当初始条件（1.5）仅有微小的误差时，其解也只有微小的改变。如有两组初始条件：
()()()()()()()()()()+∞<<∞-⎩⎨
⎧====x x x u x x u x x u x x u t t 1
2120
101~0,,
0,~0,,
0,ϕϕϕϕ
满足 δϕϕ<-00~，δϕϕ<-1
1~，则 ()()≤-t x u t x u ,,21
()()at x at x +++00~21ϕϕ+()()at x at x -+-1
1~2
1ϕϕ ()()ξξϕξϕd a at x at
x 11~21-+⎰+- 即
()()≤-t x u t x u ,,21=⋅++at a
221
2121δδδ()δt +1
显然，当t 有限时，解是稳定的。
此外，由D ’Alembert 公式可以看出，解在()00,t x 点，()00>t 的值仅依赖于x 轴上区间[]0000,at x at x +-内的初始值()x 0ϕ，()x 1ϕ，与其他点上的初始条件无关。故称区间[]0000,at x at x +-为点()00,t x 的依存域。它
