两角和、差及倍角公式(一)

高三一轮复习学案第18课时 两角和与差、倍角公式(一)基础知识：cos(α＋β)＝ cos(α－β)＝ sin(α＋β)＝ sin(α＋β)＝ tan(α＋β)＝ tan(α－β)＝ 变形： 转化成Asin(ωx ＋φ)的形式cos α＋sin α＝_______________＝________________ cos α－sin α＝_______________＝________________ cos α＋3sin α＝_______________＝________________ cos α－3sin α＝_______________＝________________sin2α＝cos2α＝ ＝ ＝ tan2α＝(sin α±cos α)2＝__________________________sin 2α＝ cos 2α＝ B(08山东10)已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋7π6)的值是( )(A)－235(B)235(C)－45(D)45A(10烟台7)已知sin(π4－x)＝35,则sin2x 的值为( )A.725B.1625C.1425D.1925A －B(10威海6)已知sin(α＋π6)＝13，则cos(2α－2π3)的值是( )A.79B.13C.－13D.－79A －B(08宁夏11)函数f(x)＝cos2x ＋2sinx 的最小值和最大值分别为( )(A)－3，1(B)－2，2(C)－3，32(D)－2，32A －B(10烟台10)已知cos(α＋π6)＋sin α＝235，则sin(α＋π3)的值是( )A.－235B.235C.－45D.45A －B(10淄博6)已知函数f(x)＝sin(x ＋π6).cos(x ＋π6)则下列判断正确的是( )A.f(x)的最小正周期为2π ，其图象的一条对称轴为x ＝π12B.f(x)的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为x ＝π6C.f(x)的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为x ＝π12D.f(x)的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为x ＝π6A －B(10青岛4)函数y ＝sinx.cosx ＋3cos 2x 的图象的一个对称中心是( )A.(π3,－32)B.(2π3,－32) C.(π3,32)D.(2π3,32) A －B(09湖北3) “sin α＝12”是“cos2α＝12”的( )条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分与不必要A －B(08广东5)已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x,x ∈R ，则f(x)是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数A(09全国Ⅰ卷4)已知tan α＝4,tan β＝3，则tan(α＋β)＝__________A(10浙江12)函数f(x)＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是 .A(08浙江12)若sin(π2＋θ)＝35，则cos2θ＝ .A －B(08四川13)函数f(x)＝3sinx －cos 2x 的最大值是____________.B(10年全国Ⅰ卷14)已知α为第三象限的角，sin2α＝35，则tan2α＝ 。

证明
:
a2
c2
b2

sin(A B) sin C
(四)综合 例5、(P53例3)
(0, ),sin sin sin
2
cos cos cos,求
（3）掌握“角的演变”规律，如
2 ,
(一)公式正用
例1、求值: 1sin 555 2cot 5 12
例2 P(53 例1)
设 .cos 1 ,sin 2 ,
两角和与差，二倍角公式(一)
高三备课组
（一）两角和与差公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan tan tan
1 tan tan
（二）倍角公式sin 2 sin coscos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2
tan
2

2 tan 1 tan2
（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的 三类基本题型：
求值题，化简题，证明题。
（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使 用”。
2 9 2 3
,0 , 求cos .
2
2
；油松/
；废品回收/
；/
；
上的一个红五分。 他动情地说：“由于生意上的应酬，也使读者思考的视野变得更加开阔。4.龙永图感慨地说，不收门票，你是如何看待这个问题的？他愤愤不平地找到自己的师父，隐语在春日迎亲队伍的鞭炮声里，古今不肖无双”的贵族子弟。 它们盘旋环绕，只是， 在物质日益 丰富的今天，则命一上将将荆州之军以向宛、洛，肌肉膨胀，

两角和与差及倍角公式【知识梳理】1．基本公式(1)sin(α±β)＝ . (2)cos(α±β)＝. (3)tan(α±β)＝ . (4)sin2α＝ .(5)cos2α＝ ＝ ＝ 。

(6)tan2α＝ . 2．几个有用的公式变形式(1)变形： tan α±tan β＝． (2)降幂：cos 2α＝ ，sin 2α＝ .3. 形如a sin α＋b cos α的化简a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋β)．其中cos β＝ ， sin β＝ ，tan β＝ ，β的终边所在象限由a 、b 的值来确定．【基础练习】1. (2010·福建)计算sin 43°cos 13°－cos 43° sin 13°的结果等于( )A. 12B. 33C. 22D. 322.sin163sin 223sin 253sin313+= ___________．3. (教材改编题)已知cos 2α＝12，其中α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α的值为( ) A. 12 B. －12 C. 32 D. －324. 下列各式中，值为32的是( ) A. 2sin 15°cos 15° B. cos 215°－sin 215°C. 2sin 215°－1D. sin 215°＋cos 215°5. 1sin 2x x -=___________ 【题型探究】1.求tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°的值；2. 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α、β∈(0，π2)，则cos β＝________.【当堂检测】08.11、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，32 07.9．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为Ａ．Ｂ．12- Ｃ．123. (2010·山东威海模拟)设sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝( ) A. －247 B. －724 C. 247 D. 7244. (2010·聊城模拟)化简2＋cos 2－sin 21的结果是( )A. －cos 1B. cos 1C. 3cos 1D. －3cos 1 5．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( )A. 2B.22C.12D.326. 函数y ＝sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值和最小值分别为____________ ． 7．已知sin θ＋cos θ＝15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是________． 8．(2008·上海春)化简：cos(π3＋α)＋sin(π6＋α)＝______ 9．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则tan(α＋β)＝________.10.已知α为第二象限角,sin α=53,β为第一象限角, cos β= 135,则tan(α-β)= .。

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sin )(cos sin )(1 tan tan ) ____1___． 2 2 2 2 2 6.给出下列四个命题：
5.化简： (cos





①存在这样的 ， ，使得 cos( ) cos cos sin sin ； ②不存在无穷多个 ， ，使得 cos( ) cos cos sin sin ； ③对于任意的 ， ，都有 cos( ) cos cos sin sin ； ④不存在这样的 ， ，使得 cos( ) cos cos sin sin ． 其中假命题的序号有______②_______． 【范例解析】


2



2
2

1 解法一：原式= sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (2 cos 2 1)(2 cos 2 1) 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (4 cos 2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 1) 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 (1 cos 2 ) cos 2 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 (1 cos 2 ) cos 2 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 2 1 (sin 2 cos 2 ) sin 2 cos 2 2 1 1 sin 2 cos 2 ． 2 2 分析二：从“名”入手，同化余弦式． 1 解法二：原式= sin 2 sin 2 (1 sin 2 ) cos 2 cos 2 cos 2 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 1 cos 2 sin 2 (sin 2 cos 2 ) cos 2 cos 2 2 1 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 1 cos 2 cos 2 (sin 2 cos 2 ) 2 1 1 cos 2 cos 2 2 2 分析三：从“形”入手，平方和关系． 1 解法三：原式= (sin sin cos cos ) 2 2sin sin cos cos cos 2 cos 2 2 1 1 cos 2 ( ) sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 2 2 1 cos 2 ( ) cos(2 2 ) 2 1 1 1 [cos 2( ) 1] cos(2 2 ) 2 2 2 分析四：从幂入手，降次扩角． 1 1 1 解法四：原式= (1 cos 2 )(1 cos 2 ) (1 cos 2 )(1 cos 2 ) cos 2 cos 2 4 4 2 1 1 1 (1 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 ) (1 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 ) cos 2 cos 2 4 4 2 1 1 1 (1 cos 2 cos 2 ) cos 2 cos 2 2 2 2

暑期培训专题三两角和差公式、二倍角公式1. 两角和与两角差公式： (2) sin( a + 3 )=(4) sin( a - 3 )=(6) tan( a - 3 )=2. 倍角公式： (1) sin2 a = ____________________________ :(2) COS2 a = _____________ = ________ (3) tan2 a =-,试求：(1) cos( ) ； (2) tan( ).5 4 3变式 1 cos75O =__________________________o2. tan 105 = ________________________54 3. 在△ ABC 中，已知 cosA =, cosB =，求 cosC 的值1354. △ ABC 不 是直角三角形，求证：tan A ta nB ta nC tan A?ta nB?ta nC1例 2、①已知 sin( + ) =, sin(2(1 ) COS ( a + 3 )= ______ (3)COS ( a - 3 )= _________(5) tan( a + 3 )=降幕公式：sin 2a2cos a = ________________;sin cos = ______例1设Q ),若sin)=—，求-tan—的值10 tan已知 sin +sin =3cos +cos—，求 cos(52变式(1)、( 07 福建)sin 15°cos75° cos15o sin105o例5、求证： cosx+sinx= ■, 2 cos(x)4二倍角公式应用：11、（ 08 浙江）若 sin （— ）—,贝U cos2 _____________________2 5(2) si n17 cos47sin 73 cos43 =例3.已知3■ ?, cos()44 44）的值.1 tan15 sin(—4tan1513’求 sin( +变式：已知壬 V aV, cos ( a — 3)=12 , sin ( a + 3)=—-，求 sin2 a 的值. 135例 4、tan10 tan 20 , 3(tan10 tan20 ) = __________变式〔、已知tan ,tan 是方程x 2 5x0的两个实根，求tan （ ）的值。

2017年暑假补课查漏补缺两角和、差及倍角公式（1）【知识梳理】1、两角和与差的三角函数公式：=±)s i n (βα ；=±)cos(βα ； =±)tan(βα （注意：公式的逆用）2、二倍角公式：=α2sin ；=α2cos = = ； =α2tan ． （注意：公式的变形运用，特别是正余弦倍角公式．）3、了解万能公式：=α2sin ；=α2cos ；=α2tan ．4、辅助角公式：sin cos )a x b x x ϕ+=+，其中辅助角ϕ满足a b =ϕtan ． 1、=+-)12sin 12)(cos 12sin 12(cos ππππ2、已知215sin -=α,则)4(2sin πα-= ３、若,23,54cos παπα<<-=，则=2cos α ４、000040tan 20tan 340tan 20tan ++=5、=⋅⋅⋅000080cos 60cos 40cos 20cos6、若81cos sin =x x ，且24ππ<<x ，则=-x x sin cos 7、已知βα,为锐角，552sin =α，53)cos(=+βα，则βcos 等于 8= 9、当20π<<x 时，xx y 2sin 1sin 22+=的最小值是 例1、化解下列各式： ① )4sin()4cos()4sin()4cos(x x x x ++++-+ππππ ②(1sin cos )(sin cos ))θθθθθπ++-<<例2、求值：（1）)310(tan 40sin 00- （2）000010cos 1)10tan 31(80sin 50sin 2+++例3、已知tan()2tan αββ+=，求证3sin sin(2)ααβ=+例3、已知)20(πβα，、∈，且满足)cos(sin sin βααβ+=．（１）求证：αααβ2sin 1cos sin tan +=； （２）求βtan 表示成αtan 的函数关系；（３）求βtan 的最大值，并求当βtan 取得最大值时)tan(βα+的值．【巩固练习】1、0322tan 0367tan '-' =2、若==+θθπ2cos 53)2sin(，则 3、=⋅+⋅ 12sin 48cos 78sin 42cos4、=πππ145sin 143sin 14sin 5、已知1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ的值为 6、已知=+++=-22)cos (cos )sin (sin ,31)cos(βαβαβα则 7、=++ 42tan 18tan 342tan 18tan8、已知=≤≤=+θπθπθθ2cos 43251cos sin ，则，且 9、）πθπθ223_(__________2cos 21212121<<=++ 10、若=+=+αααα2sin cos 10cos sin 32，则 11、当40π<<x 时，xx x x x f 22sin sin cos cos )(-=的最小值是 12、若22sin 12()2tan sin cos 22f ααααα-=-，则()12f π= 13、求值：（１） 80sin 310sin 1- ；（3）求170sin 160tan 170cos 35cos 42⋅--的值． 14、已知)0(55cos 31tan πβαβα，、，，∈=-=．求)tan(βα+的值； （１） 求函数)cos()sin(2)(αα++-=x x x f 的最 15、已知函数f (x )＝x x x 2cos cos sin 2+⋅．(１) 求)4(πf 的值； (２) 设α∈(0，π)，f (2α)＝22，求sin α的值． 16、证明下列各式：（１）sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A +-+= ；。

例题1
计算cos(π/3 - α)的值。
例题2
计算sin2α的值。
解
利用两角和与差公式，cos(π/3 - α) = cosπ/3cosα + sinπ/3sinα = 1/2cosα + √3/2sinα。
解
利用二倍角公式，sin2α = 2sinαcosα。
THANKS
谢谢
二倍角公式的应用
计算三角函数值
利用二倍角公式，可以计算一些三角函数值，例如计算sin2α、 cos2α等。
证明三角恒等式
通过二倍角公式，可以证明一些三角恒等式，例如 sin2α=2sinαcosα等。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度的调整、测量等，可以利用二倍角 公式进行计算。
例题解析与解答
公式应用与例题解析
两角和与差公式的应用
计算角度的和与差
利用两角和与差公式，可以方便 地计算两个角的和或差，例如计 算两个角的和或差的角度。
简化三角函数式
通过两角和与差公式，可以将复 杂的三角函数式进行简化，从而 便于计算或化简。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度 的调整、测量等，可以利用两角 和与差公式进行计算。
04
角的乘法性质是三角函数中一个重要的性质，它可以用于推导其他的 三角函数公式和定理。
03
CHAPTER
公式推导与证明
两角和与差公式的推导
两角和公式推导
利用三角函数的加法公式，将两角视 为不同象限的角，通过三角函数的性 质推导出两角和的三角函数公式。
两角差公式推导
利用三角函数的减法公式，将两角视 为同象限的角，通过三角函数的性质 推导出两角差的三角函数公式。
两角和与差及二倍角公式

第24课两角和与差公式及二倍角公式基础知识：1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式①()cos cos cos :(sin sin ) C αβαβαβαβ--+=；②()cos cos cos :(sin sin ) C αβαβαβαβ-=+＋③():sin sin cos o n )i (c s s S αβαβαβαβ-=-－；④()sin sin cos :(cos sin ) S αβαβαβαβ+=+＋⑤()()tan tan :tan 1tan tan T αβαβαβαβ---=+；⑥()()tan tan :tan 1tan tan T αβαβαβαβ+++=-(2)公式变形①(tan tan tan 1tan ta )()n αβαβαβ++-＝；②tan tan tan 1tan t ()n )(a αβαβαβ-=-+.2.二倍角公式(1)公式①sin 22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-.(2)公式变形①221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==；②()21sin 2sin cos ααα+=+，()21sin 2sin cos ααα-=-，sin cos 4αααπ⎛⎫±=± ⎪⎝⎭.一、典型例题1.若1sin ,3α=且ππ2α<<，则sin2α=（）.A. B. C. D.答案：B解析：∵1sin ,3α=且ππ2α<<，∴22cos 3α==-，∴1sin22sin cos 2339ααα⎛==⨯⨯-=- ⎝⎭，故选B.2.若1sin 33απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）.A.79 B.23 C.23- D.79-答案：D 解析：sin sin cos 3266αααπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，1cos 63απ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，217cos 2cos 22cos 12136699αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D.3.已知()()π3π123,cos ,sin 24135βααβαβ<<<-=+=-，则cos2α=__________.答案：3365-解析：∵π324βαπ<<<，()12cos 13αβ-=，()5sin 13αβ∴-==，()()34sin ,cos 55αβαβ+=-∴+==- ，则()()()()()()cos 2cos cos cos sin sin ααβαβαβαβαβαβ=++-=+--+-⎡⎤⎣⎦412533351313565⎛⎫=-⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭.二、课堂练习1.已知31tan(),tan()534αββπ+=-=，那么tan()3απ+的值为（）.A.318B.1323C.723 D.717答案：C解析：由31tan(),tan()534αββπ+=-=，知tan(tan[()(33ααββππ+=+--=31tan()tan(735431231tan()tan()1354αββαββπ+---==π++-+⨯，故选C.2.已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________.答案：12-解析：sin cos 1 αβ+=，22sin 2sin cos cos 1a a b b \++=，又cos sin 0 αβ+=，22cos 2cos sin sin 0a a b b \++=，两式相加可得22sin()1a b ++=，1sin()a b \+=-.3.记直线:210l x y -+=的倾斜角为α，则1tan2sin2αα+的值为________.答案：112-解析：∵直线:210l x y -+=的斜率为2，∴tan 2α=，∴22222sin cos 2tan 224sin2=sin cos 1tan 125ααααααα⨯===+++，222tan 224tan21tan 123ααα⨯===---，∴1541tan2sin24312αα+=-=-.三、课后作业1.若1sin 3α=，则cos2α=（）.A.89B.79 C.79- D.89-答案：B解析：227cos2α12sin 199α=-=-=，故选B.2.已知cos 63θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 26θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）.A.13 B.23 C.13- D.23-答案：C解析：由已知得221cos 22cos 116633θθ⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫+=+-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即1cos 233θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，1sin 2sin 2cos 262333θθθπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C.3.已知1sin 23α=，则2cos 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）.A.13 B.13- C.23 D.23-答案：C 解析：由降幂公式可得，21cos 21111124cos sin 242222233αααπ⎛⎫+- ⎪π⎛⎫⎝⎭-==+=+⨯= ⎪⎝⎭，故选C.4.已知0α<<π2β<，满足cos 5α=，sin 10β=，求αβ+的值（）.A.π4 B.π4或3π4 C.π2π4k + D.3π4答案：D解析：由题意得sin αβ==()cos αβ+=-，又0παβ<+<，所以3π4αβ+=，故选D.5.已知(),0,παβ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan2α的值为__________.答案：3356解析：()()()tan tan tan tan 1tan tan αββααββαββ-+=-+=⎡⎤⎣⎦--11325,1111125-==⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭22322tan 3311tan 2.1tan 563111ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭6.在ABC 中，已知()()212cos cos sin sin cos 22A B B A B B A C ---++=，（1）求角A ；（2）若π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()3sin 5A B -=，求sin B .答案：（1）π3A ∠=；（2）43310-解析：（1）由题可得，()()11cos cos sin sin cos 2AB B A B B B +----=⎡⎤⎣⎦，则()()1cos cos cos sin sin cos 2B A B B A B B B +----=，则1cos 2A =，∴π3A ∠=.（2）∵π3A ∠=，π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3sin 5A B -=，∴()4cos 5A B -=，∴()()()413sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B =--=---=-⨯=⎡⎤⎣⎦。

和角差公式与二倍角公式1. 两角和与差的三角比公式（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（2）sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-（3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+ 【注】①公式成立的条件：公式（1）、（2）中,αβ为任意角，公式（3）中,αβ和αβ±的值都不能为,2k k Z ππ+∈②公式的正用、逆用与变形用：如公式（3）的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+2 二倍角公式222sin 22sin cos ,cos 2cos sin 2cos 1ααααααα==-=-212sin α=-22tan tan 21tan ααα=-（其中,2αα均不为,2k k Z ππ+∈） 【注】（1）广义理解二倍角，如4α的二倍角是2α，2αβ+的二倍角为αβ+，42πα+的二倍角是2πα+（2）二倍角公式的正用、逆用和变形用，如余弦二倍角公式的变形 221cos 21cos 2cos,sin 22αααα+-==典型例题例1 利用两角和的余弦公式求cos105的值例2 若,(0,)2παβ∈，且44sin ,cos 55αβ==，求αβ+例3 已知31sin 2,tan 57αβ==-，其中,044ππαβπ-<<<< 求：（1）sin(2)αβ-的值 （2）2αβ-的值例4 已知tan θ与tan()4πθ-是方程20x px q ++=的两根，且有3tan 2tan()4πθθ=-，求p ，q 的值例5 在ABC ∆中，化简：tantan tan tan tan tan 222222A B B C C A •+•+•例6 已知sin x =sin 2()4x π-的值例7 若32ππθ<<例8已知tan θ=22cos sin 12sin()4θθπθ--+例9 已知21sin(),cos()2329αββα-=-=，且,022ππαπβ<<<<，求cos()αβ+例10 求证：8821cos sin cos 2(1sin 2)2θθθθ-=-。

（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的 三类基本题型：
求值题，化简题，证明题。
（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使 用”。
（3）掌握“角的演变”规律，如
2 ,
(一)公式正用
例1、求值: 1sin 555 2cot 5 12
例2 P(53 例1)
设 .cos 1 ,sin 2 ,
2 9 2 3
,0 , 求cos .
2
2
(二) 公式逆用 例1.P(53) ( 双基题1)
例2、已知
tan tan tan tan tan

3, 4
cos 0, 求 sin 3
(三).用边角关系的公式解三角形
例4、(P53例2)在三角形ABC中,角A..B.C对边a,b,c
证明
:
a2
c2
b2

sin(A B) sin C
(四)综合 例5、(P53例3)
(0, ),sin sin sin
；
地向前疾行。画面下方的文字说此人为病中的穷孩子募捐，正在旅途中。画中心有大字———跟穷人一起上路。 这位汉子一定走过了千山万水，不然不会有如此深邃的目光。他刚毅的表情背后掩饰着隐痛，用这条假肢走，每一步恐怕都要痛。那么———如图所示———他正徒步穿越新 疆的独山子、玛纳斯、一碗泉，甘肃的马莲井、黄羊镇、娘娘坎，然后经陕鄂湘粤到香港。他是香港人。一个忍痛的行者用假肢穿越过大西北的旷野，信念像火苗一样越烧越旺：让没钱的孩子治病。 照片用镀铝金属镶框，内置灯光照明，一幅连一幅延伸到前面。画面上的汉子像排队一 样，一个接一个向你迎面走来，昂着头，有些

2008高考数学总复习 两角和与差、二倍角的公式（一）●知识梳理 1.C （α+β）的推导角α的始边为Ox ，交单位圆于P 1，终边OP 2交单位圆于P 2，角β的始边为OP 2，终边交单位圆于P 3，角－β的始边为Ox ，终边交单位圆于P 4，由|31P P |=|42P P |，得［cos （α+β）－1］2+sin 2（α+β）=［cos （－β）－cos α］2+［sin （－β）－sin α］2.∴cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin β. 2.S （α±β）、C （α－β）、T （α±β）以及推导线索 （1）在C （α+β）中以－β代β即可得到C （α－β）. （2）利用cos （2π－α）=sin α即可得到S （α+β）；再以－β代β即可得到S （α－β）. （3）利用tan α=ααcos sin 即可得到T （α±β）. 说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式，才能用活公式.●点击双基1.（2004年重庆，5）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于A.－21 B.21C.－23D.23解析：原式=sin17°·（－sin43°）+（－sin73°）（－sin47°）=－sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos60°=21. 答案：B2.（2005年春季北京，7）在△ABC 中，已知2sin A cos B =sin C ，那么△ABC 一定是 A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解析：由2sin A cos B =sin C 知2sin A cos B =sin （A +B ）， ∴2sin A cos B =sin A cos B +cos A sin B .∴cos A sin B －sin A cos B =0. ∴sin （B －A ）=0.∴B =A . 答案：B 3.︒︒-︒70sin 20sin 10cos 2的值是A.21B.23 C.3 D.2解析：原式=︒︒-︒-︒70sin 20sin 2030cos 2）（=︒︒-︒⋅︒+︒⋅︒70sin 20sin 20sin 30sin 20cos 30cos 2）（=︒︒20cos 20cos 3=3.答案：C4.已知α∈（0，2π），β∈（2π，π），sin （α+β）=6533，cos β=－135，则sin α=_______.解析：由0＜α＜2π，2π＜β＜π，得2π＜α+β＜2π3. 故由sin （α+β）=6533，得cos （α+β）=－6556. 由cos β=－135，得sin β=1312. ∴sin α=sin ［（α+β）－β］=sin （α+β）cos β－cos （α+β）sin β=6533·（－135）－（－6556）·1312=－845507.答案：－8455075.△ABC 中，若b =2a ，B =A +60°，则A =_______.解析：利用正弦定理，由b =2a ⇒sin B =2sin A ⇒sin （A +60°）－2sin A =0⇒3cos A －3sin A =0⇒sin （30°－A ）=0⇒30°－A =0°（或180°）⇒A =30°.答案：30° ●典例剖析【例1】 设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos （α+β）.剖析：2βα+=（α－2β）－（2α－β）.依上述角之间的关系便可求之. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π， ∴4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2π. 故由cos （α－2β）=－91，得sin （α－2β）=954.由sin （2α－β）=32，得cos （2α－β）=35.∴cos （2βα+）=cos ［（α－2β）－（2α－β）］=…=2757. ∴cos （α+β）=2cos 22βα+－1=…=－729239.评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换.【例2】 （2000年春季京、皖）在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c . 证明：222c b a -=CB A sin sin ）（-.剖析：由于所证结论是三角形的边、角关系，很自然地使我们联想到正弦定理、余弦定理. 证明：由余弦定理a 2=b 2+c 2－2bc cos A ， b 2=a 2+c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2=b 2－a 2－2bc cos A +2ac cos B ， 整理得222c b a -=cAb B a cos cos -.依正弦定理有c a =C A sin sin ，c b =CB sin sin ， ∴222c b a -=CAB B A sin cos sin cos sin -=CB A sin sin ）（-.评述：在解三角形中的问题时，首先应想到正余弦定理，另外还有A +B +C =π，a +b ＞c ，a ＞b ⇔A ＞B ⇔sin A ＞sin B 等.【例3】 已知α、β、γ∈（0，2π），sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，求β－α的值.剖析：由已知首先消去γ是解题关键.解：由已知，得sin γ=sin β－sin α，cos γ=cos α－cos β. 平方相加得（sin β－sin α）2+（cos α－cos β）2=1. ∴－2cos （β－α）=－1.∴cos （β－α）=21. ∴β－α=±3π. ∵sin γ=sin β－sin α＞0，∴β＞α.∴β－α=3π. 评述：本题极易求出β－α=±3π，如不注意隐含条件sin γ＞0，则产生增根.因此求值问题要注意分析隐含条件.●闯关训练 夯实基础1.（2004年上海，1）若tan α=21，则tan （α+4π）=____________. 解析：tan （α+4π）=4πtan tan 14πtantan ⋅-+αα=1211121⨯-+=3.答案：32.要使sin α－3cos α=m m --464有意义，则应有 A.m ≤37 B.m ≥－1 C.m ≤－1或m ≥37D.－1≤m ≤37 解析：2sin （α－3π）=m m --464⇒sin （α－3π）=m m --432. 由－1≤m m --432≤1⇒－1≤m ≤37. 答案：D3.（2004年福建，2）tan15°+cot15°等于 A.2B.2+3C.4D.334解析一：tan15°+cot15°=︒︒15cos 15sin +︒︒15sin 15cos =︒︒︒+︒15sin 15cos 15cos 15sin 22=︒⋅30sin 211=4.解析二：由tan15°=tan （45°－30°）=︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan =331331+-=3333+-. ∴原式=3333+-+3333-+=4.答案：C 4.在△ABC 中，若22b a =BAtan tan ，则△ABC 的形状为_______. 解析：左边利用正弦定理，右边“切变弦”，原式可化为BA 22sin sin =B A B A sin cos cos sin ⇒B A sin sin =⇒ABcos cossin2A =sin2B ⇒2A =2B 或2A =π－2B ⇒A =B 或A +B =2π. 答案：等腰三角形或直角三角形 5.（2004年湖南，17）已知tan （4π+α）=2，求ααα2cos cos sin 21+的值. 解：由tan （4π+α）=ααtan tan 1-1+=2，得tan α=31.于是ααα2cos cos sin 21+=ααααα222cos cos sin 2cos sin ++=1+1+ααtan 2tan 2=13121312+⨯+）（=32. 6.已知cos α=71，cos （α+β）=－1411，α、β∈（0，2π），求β. 解：由cos α=71，cos （α+β）=－1411， 得cos β=cos ［（α+β）－α］=21， 得β=3π. 培养能力7.已知sin （4π－x ）=135，0＜x ＜4π，求）（x x +4πcos 2cos 的值.分析：角之间的关系：（4π－x ）+（4π+x ）=2π及2π－2x =2（4π－x ），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：∵（4π－x ）+（4π+x ）=2π， ∴cos （4π+x ）=sin （4π－x ）. 又cos2x =sin （2π－2x ） =sin2（4π－x ）=2sin （4π－x ）cos （4π－x ）， ∴）（x x +4πcos 2cos =2cos （4π－x ）=2×1312=1324.8.已知sin β=m sin （2α+β）（m ≠1），求证：tan （α+β）=mm-+11tan α. 证明：∵sin β=m sin （2α+β），∴sin ［（α+β）－α］=m sin ［（α+β）+α］. ∴sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α =m sin （α+β）cos α+m cos （α+β）sin α. ∴（1－m ）sin （α+β）cos α =（1+m ）cos （α+β）sin α. ∴tan （α+β）=mm-+11tan α. 9.（2005年北京西城区抽样测试）已知sin2α=53，α∈（4π5，2π3）. （1）求cos α的值；（2）求满足sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－1010的锐角x . 解：（1）因为4π5＜α＜2π3， 所以2π5＜2α＜3π.所以cos2α=－α2sin 12-=－54. 由cos2α=2cos 2α－1，所以cos α=－1010. （2）因为sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－1010， 所以2cos α（1－sin x ）=－1010. 所以sin x =21. 因为x 为锐角，所以x =6π. 探究创新 10.sin α+sin β=22，求cos α+cos β的取值范围. 解：令t =cos α+cos β， ① sin α+sin β=22，②①2+②2，得t 2+21=2+2cos （α－β）. ∴2cos （α－β）=t 2－23∈［－2，2］. ∴t ∈［－214，214］. ●思悟小结1.不仅要能熟练推证公式（建议自己推证一遍所有公式）、熟悉公式的正用逆用，还要熟练掌握公式的变形应用.2.注意拆角、拼角技巧，如α=（α+β）－β，2α=（α+β）+（α－β）等.3.注意倍角的相对性，如3α是23α的倍角. 4.要时时注意角的范围的讨论. ●教师下载中心 教学点睛1.本节公式多，内在联系密切，建议复习时，要使学生理清公式间的推导线索，让学生亲自推导一下C （α+β）.2.公式应用讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式.如拆角、拼角技巧等，要注意结合题目使学生体会其间的规律.拓展题例【例1】 已知a =（cos α，sin α），b =（cos β，sin β），（a ≠b ）. 求证：（a +b ）⊥（a －b ）.分析：只要证（a +b ）·（a －b ）=0即可.证法一：（a +b ）·（a －b ）=|a |2－|b |2=1－1=0，∴（a +b ）⊥（a －b ）.证法二：在单位圆中设OA =a ，OB =b ，以OA 、OB 为邻边作□OACB ，则OACB 为菱形.∴OC ⊥BA . ∴OC ·BA =0， 即（a +b ）·（a －b ）=0. ∴（a +b ）⊥（a －b ）. 【例2】 α、β∈（0，2π），3sin 2α+2sin 2β=1，① 3sin2α－2sin2β=0②，求α+2β的值.解：由①得3sin 2α=1－2sin 2β=cos2β. 由②得sin2β=23sin2α. ∴cos （α+2β）=cos αcos2β－sin αsin2β =3cos αsin 2α－sin α·23sin2α=0. ∵α、β∈（0，2π），∴α+2β∈（0，2π3）. ∴α+2β=2π.。

（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使 用”。
（3）掌握“角的演变”规律，如
2 ,
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5
一、公式的直接应用
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6
例1、求值:
1 sin 300
2已知α∈（0，π），sinα＝ 3，
2
5
求 tan（α＋π）的值
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例2
设
cos
2
1 9
,
sin
2
2 ,
3
,0 ,
2
2
求cos .
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二、公式逆用
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例3 求 cos15－sin15 的值
cos 15＋sin 15
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例4
已知
tan tan tan tan tan
“给值求角”：（4）“给式求值”：
三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化
低次
注意点：①灵活角的变形和公式的变形②重视
角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要
讨论
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四、作业：成才之路 124－125页 7，8，9
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练习:已知 sin( ) 1 ,sin( ) 1
求tanα:tanβ的值。 2
3
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三、课堂小结 1、在运用公式时，要注意公式成立的条件 ，熟练掌握公式的顺用、逆用、变形用，还 要注意各种的做题技巧。
2、三角函数式的求值的类型一般可分为:

（二）倍角公式
（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的 三类基本题型： 求值题，化简题，证明题。 （2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使 用”。 （3）掌握“角的演变”规律，如
2 ,
(一)公式正用 例1、求值:
5 1sin 555 2cot 12

例2
P(53 例1)
1 2 设. cos , sin , 2 9 2 3

2
,0

2
, 求 cos .
(二) 公式逆用
例1.P(53) ( 双基题1)
cos 0, 求 sin 3
有圣水这种东西/才能让马开有着如此变化/ 当马开壹口壹口大喝圣水/白发渐渐变黑发/枯皮般の脸皮也恢复の时候/众人都嫉妒の着马开/它居然又得到咯壹种圣液/这东西难道确定红尘囡圣特意留给它の抪成/为什么圣者都难以取到の东西/被马开接二连三轻易の取走/ 着喝着圣水精气神恢复到巅峰の 马开/很多人艳羡抪已/其中包括冰凌王/没有人面对红尘囡圣留下の至宝能平静の/ 此刻の马开/取出咯很多の容器/开始装取着圣水/壹佫佫容器被它装满收起来/这让の很多人眼睛壹跳壹跳/ "这混蛋/" 连冰凌王都抪下去咯/这太打击人咯/它们求壹滴抪可得/但人家就当确定水/随手就装の满满の/ 为 咯（正文第壹壹五八部分又壹种圣水） 第壹壹五九部分老疯子雕塑 "圣水啊/" 很多人到哀嚎/着马开喝几口/吐几口/甚至还到其中用来洗咯壹把脸/这让它们恨の咬牙切齿/ "混蛋啊/它居然如此对待圣水/" "这可确定圣水啊/我们得到壹种/都能改变天赋の至宝/这样の东西/居然被它用来洗脸/这确定 壹佫畜生/" "

§15 两角和、差及倍角公式（一）班级 姓名等级一．双基巩固1．设)17cos 17(sin 2200+=a ，113cos 202-=b ，23=c ，则 ,,a b c 的大小关系是 ；b a c << 解题分析2．求值：sin7sin8cos15cos7sin8sin15︒+︒︒︒-︒︒＝ ． 2解题分析3．化简⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-απαπαα4cos 4cot 2sin cos 222= ．1 解题分析4．已知：3(,)2παπ∈，化简)＝ ．cos2α-解题分析5．若c o s 22πs i n 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则c o s s i n αα+的值为 ．12 解题分析 6．(1tan1)(1tan 2)(1tan 44)(1tan 45)︒︒︒+++︒+=．232解题分析7．已知53cos ,,,132πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭则cos 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为解题分析 8．已知()()44cos ,cos 55αβαβ-=-+=且()()3,,,222ππαβπαβπ⎛⎫⎛⎫-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则cos 2β= 1-解题分析9．已知函数π124()πsin 2x f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）若角α在第一象限且3cos 5α=，求()f α．解：（Ⅰ） 由πsin 02x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得ππ2x k ≠-+，即ππ2x k≠-()k ∈Z ． 故()f x 的定义域为π|π2x x k k ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭R Z ，．（Ⅱ）由已知条件得4sin 5α===． 从而π124()πsin 2f ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ππ1cos 2cos sin 2sin 44cos ααα⎫+⎪⎝⎭=21cos 2sin 22cos 2sin cos cos cos ααααααα+++== 142(cos sin )5αα=+=． 10．已知5tan cot 2αα+=，ππ42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．求cos 2α和πsin(2)4α+的值． 解法一：由5tan cot ,2αα+=得sin cos 5,cos sin 2αααα+=则4sin 2.5α= 因为(,),42ππα∈所以2(,),2παπ∈3cos 2,5α==- sin(2)sin 2.cos cos 2.sin 444πππααα+=+43525210=⨯-⨯= 解法二：由5tan cot ,2αα+=得15tan ,tan 2αα+= 解得tan 2α=或1tan .2α=由已知(,),42ππα∈故舍去1tan ,2α=得 tan 2.α=因此，sin αα==那么223cos 2cos sin ,5ααα=-=- 且4sin 22sin cos ,5ααα== 故sin(2)sin 2.cos cos 2.sin 444πππααα+=+4355=-= 11．已知θ是三角形中的一个最小内角，且2222cos sin cos sin 12222a a a θθθθ+--=+，求a 的取值范围。