两角和、差及倍角公式(一)

高三一轮复习学案第18课时 两角和与差、倍角公式(一)基础知识：cos(α＋β)＝ cos(α－β)＝ sin(α＋β)＝ sin(α＋β)＝ tan(α＋β)＝ tan(α－β)＝ 变形： 转化成Asin(ωx ＋φ)的形式cos α＋sin α＝_______________＝________________ cos α－sin α＝_______________＝________________ cos α＋3sin α＝_______________＝________________ cos α－3sin α＝_______________＝________________sin2α＝cos2α＝ ＝ ＝ tan2α＝(sin α±cos α)2＝__________________________sin 2α＝ cos 2α＝ B(08山东10)已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋7π6)的值是( )(A)－235(B)235(C)－45(D)45A(10烟台7)已知sin(π4－x)＝35,则sin2x 的值为( )A.725B.1625C.1425D.1925A －B(10威海6)已知sin(α＋π6)＝13，则cos(2α－2π3)的值是( )A.79B.13C.－13D.－79A －B(08宁夏11)函数f(x)＝cos2x ＋2sinx 的最小值和最大值分别为( )(A)－3，1(B)－2，2(C)－3，32(D)－2，32A －B(10烟台10)已知cos(α＋π6)＋sin α＝235，则sin(α＋π3)的值是( )A.－235B.235C.－45D.45A －B(10淄博6)已知函数f(x)＝sin(x ＋π6).cos(x ＋π6)则下列判断正确的是( )A.f(x)的最小正周期为2π ，其图象的一条对称轴为x ＝π12B.f(x)的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为x ＝π6C.f(x)的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为x ＝π12D.f(x)的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为x ＝π6A －B(10青岛4)函数y ＝sinx.cosx ＋3cos 2x 的图象的一个对称中心是( )A.(π3,－32)B.(2π3,－32) C.(π3,32)D.(2π3,32) A －B(09湖北3) “sin α＝12”是“cos2α＝12”的( )条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分与不必要A －B(08广东5)已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x,x ∈R ，则f(x)是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数A(09全国Ⅰ卷4)已知tan α＝4,tan β＝3，则tan(α＋β)＝__________A(10浙江12)函数f(x)＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是 .A(08浙江12)若sin(π2＋θ)＝35，则cos2θ＝ .A －B(08四川13)函数f(x)＝3sinx －cos 2x 的最大值是____________.B(10年全国Ⅰ卷14)已知α为第三象限的角，sin2α＝35，则tan2α＝ 。

两角和与差及倍角公式【知识梳理】1．基本公式(1)sin(α±β)＝ . (2)cos(α±β)＝. (3)tan(α±β)＝ . (4)sin2α＝ .(5)cos2α＝ ＝ ＝ 。

(6)tan2α＝ . 2．几个有用的公式变形式(1)变形： tan α±tan β＝． (2)降幂：cos 2α＝ ，sin 2α＝ .3. 形如a sin α＋b cos α的化简a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋β)．其中cos β＝ ， sin β＝ ，tan β＝ ，β的终边所在象限由a 、b 的值来确定．【基础练习】1. (2010·福建)计算sin 43°cos 13°－cos 43° sin 13°的结果等于( )A. 12B. 33C. 22D. 322.sin163sin 223sin 253sin313+= ___________．3. (教材改编题)已知cos 2α＝12，其中α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α的值为( ) A. 12 B. －12 C. 32 D. －324. 下列各式中，值为32的是( ) A. 2sin 15°cos 15° B. cos 215°－sin 215°C. 2sin 215°－1D. sin 215°＋cos 215°5. 1sin 2x x -=___________ 【题型探究】1.求tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°的值；2. 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α、β∈(0，π2)，则cos β＝________.【当堂检测】08.11、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，32 07.9．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为Ａ．Ｂ．12- Ｃ．123. (2010·山东威海模拟)设sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝( ) A. －247 B. －724 C. 247 D. 7244. (2010·聊城模拟)化简2＋cos 2－sin 21的结果是( )A. －cos 1B. cos 1C. 3cos 1D. －3cos 1 5．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( )A. 2B.22C.12D.326. 函数y ＝sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值和最小值分别为____________ ． 7．已知sin θ＋cos θ＝15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是________． 8．(2008·上海春)化简：cos(π3＋α)＋sin(π6＋α)＝______ 9．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则tan(α＋β)＝________.10.已知α为第二象限角,sin α=53,β为第一象限角, cos β= 135,则tan(α-β)= .。

暑期培训专题三两角和差公式、二倍角公式1. 两角和与两角差公式： (2) sin( a + 3 )=(4) sin( a - 3 )=(6) tan( a - 3 )=2. 倍角公式： (1) sin2 a = ____________________________ :(2) COS2 a = _____________ = ________ (3) tan2 a =-,试求：(1) cos( ) ； (2) tan( ).5 4 3变式 1 cos75O =__________________________o2. tan 105 = ________________________54 3. 在△ ABC 中，已知 cosA =, cosB =，求 cosC 的值1354. △ ABC 不 是直角三角形，求证：tan A ta nB ta nC tan A?ta nB?ta nC1例 2、①已知 sin( + ) =, sin(2(1 ) COS ( a + 3 )= ______ (3)COS ( a - 3 )= _________(5) tan( a + 3 )=降幕公式：sin 2a2cos a = ________________;sin cos = ______例1设Q ),若sin)=—，求-tan—的值10 tan已知 sin +sin =3cos +cos—，求 cos(52变式(1)、( 07 福建)sin 15°cos75° cos15o sin105o例5、求证： cosx+sinx= ■, 2 cos(x)4二倍角公式应用：11、（ 08 浙江）若 sin （— ）—,贝U cos2 _____________________2 5(2) si n17 cos47sin 73 cos43 =例3.已知3■ ?, cos()44 44）的值.1 tan15 sin(—4tan1513’求 sin( +变式：已知壬 V aV, cos ( a — 3)=12 , sin ( a + 3)=—-，求 sin2 a 的值. 135例 4、tan10 tan 20 , 3(tan10 tan20 ) = __________变式〔、已知tan ,tan 是方程x 2 5x0的两个实根，求tan （ ）的值。

2017年暑假补课查漏补缺两角和、差及倍角公式（1）【知识梳理】1、两角和与差的三角函数公式：=±)s i n (βα ；=±)cos(βα ； =±)tan(βα （注意：公式的逆用）2、二倍角公式：=α2sin ；=α2cos = = ； =α2tan ． （注意：公式的变形运用，特别是正余弦倍角公式．）3、了解万能公式：=α2sin ；=α2cos ；=α2tan ．4、辅助角公式：sin cos )a x b x x ϕ+=+，其中辅助角ϕ满足a b =ϕtan ． 1、=+-)12sin 12)(cos 12sin 12(cos ππππ2、已知215sin -=α,则)4(2sin πα-= ３、若,23,54cos παπα<<-=，则=2cos α ４、000040tan 20tan 340tan 20tan ++=5、=⋅⋅⋅000080cos 60cos 40cos 20cos6、若81cos sin =x x ，且24ππ<<x ，则=-x x sin cos 7、已知βα,为锐角，552sin =α，53)cos(=+βα，则βcos 等于 8= 9、当20π<<x 时，xx y 2sin 1sin 22+=的最小值是 例1、化解下列各式： ① )4sin()4cos()4sin()4cos(x x x x ++++-+ππππ ②(1sin cos )(sin cos ))θθθθθπ++-<<例2、求值：（1）)310(tan 40sin 00- （2）000010cos 1)10tan 31(80sin 50sin 2+++例3、已知tan()2tan αββ+=，求证3sin sin(2)ααβ=+例3、已知)20(πβα，、∈，且满足)cos(sin sin βααβ+=．（１）求证：αααβ2sin 1cos sin tan +=； （２）求βtan 表示成αtan 的函数关系；（３）求βtan 的最大值，并求当βtan 取得最大值时)tan(βα+的值．【巩固练习】1、0322tan 0367tan '-' =2、若==+θθπ2cos 53)2sin(，则 3、=⋅+⋅ 12sin 48cos 78sin 42cos4、=πππ145sin 143sin 14sin 5、已知1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ的值为 6、已知=+++=-22)cos (cos )sin (sin ,31)cos(βαβαβα则 7、=++ 42tan 18tan 342tan 18tan8、已知=≤≤=+θπθπθθ2cos 43251cos sin ，则，且 9、）πθπθ223_(__________2cos 21212121<<=++ 10、若=+=+αααα2sin cos 10cos sin 32，则 11、当40π<<x 时，xx x x x f 22sin sin cos cos )(-=的最小值是 12、若22sin 12()2tan sin cos 22f ααααα-=-，则()12f π= 13、求值：（１） 80sin 310sin 1- ；（3）求170sin 160tan 170cos 35cos 42⋅--的值． 14、已知)0(55cos 31tan πβαβα，、，，∈=-=．求)tan(βα+的值； （１） 求函数)cos()sin(2)(αα++-=x x x f 的最 15、已知函数f (x )＝x x x 2cos cos sin 2+⋅．(１) 求)4(πf 的值； (２) 设α∈(0，π)，f (2α)＝22，求sin α的值． 16、证明下列各式：（１）sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A +-+= ；。

第24课两角和与差公式及二倍角公式基础知识：1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式①()cos cos cos :(sin sin ) C αβαβαβαβ--+=；②()cos cos cos :(sin sin ) C αβαβαβαβ-=+＋③():sin sin cos o n )i (c s s S αβαβαβαβ-=-－；④()sin sin cos :(cos sin ) S αβαβαβαβ+=+＋⑤()()tan tan :tan 1tan tan T αβαβαβαβ---=+；⑥()()tan tan :tan 1tan tan T αβαβαβαβ+++=-(2)公式变形①(tan tan tan 1tan ta )()n αβαβαβ++-＝；②tan tan tan 1tan t ()n )(a αβαβαβ-=-+.2.二倍角公式(1)公式①sin 22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-.(2)公式变形①221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==；②()21sin 2sin cos ααα+=+，()21sin 2sin cos ααα-=-，sin cos 4αααπ⎛⎫±=± ⎪⎝⎭.一、典型例题1.若1sin ,3α=且ππ2α<<，则sin2α=（）.A. B. C. D.答案：B解析：∵1sin ,3α=且ππ2α<<，∴22cos 3α==-，∴1sin22sin cos 2339ααα⎛==⨯⨯-=- ⎝⎭，故选B.2.若1sin 33απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）.A.79 B.23 C.23- D.79-答案：D 解析：sin sin cos 3266αααπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，1cos 63απ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，217cos 2cos 22cos 12136699αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D.3.已知()()π3π123,cos ,sin 24135βααβαβ<<<-=+=-，则cos2α=__________.答案：3365-解析：∵π324βαπ<<<，()12cos 13αβ-=，()5sin 13αβ∴-==，()()34sin ,cos 55αβαβ+=-∴+==- ，则()()()()()()cos 2cos cos cos sin sin ααβαβαβαβαβαβ=++-=+--+-⎡⎤⎣⎦412533351313565⎛⎫=-⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭.二、课堂练习1.已知31tan(),tan()534αββπ+=-=，那么tan()3απ+的值为（）.A.318B.1323C.723 D.717答案：C解析：由31tan(),tan()534αββπ+=-=，知tan(tan[()(33ααββππ+=+--=31tan()tan(735431231tan()tan()1354αββαββπ+---==π++-+⨯，故选C.2.已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________.答案：12-解析：sin cos 1 αβ+=，22sin 2sin cos cos 1a a b b \++=，又cos sin 0 αβ+=，22cos 2cos sin sin 0a a b b \++=，两式相加可得22sin()1a b ++=，1sin()a b \+=-.3.记直线:210l x y -+=的倾斜角为α，则1tan2sin2αα+的值为________.答案：112-解析：∵直线:210l x y -+=的斜率为2，∴tan 2α=，∴22222sin cos 2tan 224sin2=sin cos 1tan 125ααααααα⨯===+++，222tan 224tan21tan 123ααα⨯===---，∴1541tan2sin24312αα+=-=-.三、课后作业1.若1sin 3α=，则cos2α=（）.A.89B.79 C.79- D.89-答案：B解析：227cos2α12sin 199α=-=-=，故选B.2.已知cos 63θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 26θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）.A.13 B.23 C.13- D.23-答案：C解析：由已知得221cos 22cos 116633θθ⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫+=+-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即1cos 233θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，1sin 2sin 2cos 262333θθθπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C.3.已知1sin 23α=，则2cos 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）.A.13 B.13- C.23 D.23-答案：C 解析：由降幂公式可得，21cos 21111124cos sin 242222233αααπ⎛⎫+- ⎪π⎛⎫⎝⎭-==+=+⨯= ⎪⎝⎭，故选C.4.已知0α<<π2β<，满足cos 5α=，sin 10β=，求αβ+的值（）.A.π4 B.π4或3π4 C.π2π4k + D.3π4答案：D解析：由题意得sin αβ==()cos αβ+=-，又0παβ<+<，所以3π4αβ+=，故选D.5.已知(),0,παβ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan2α的值为__________.答案：3356解析：()()()tan tan tan tan 1tan tan αββααββαββ-+=-+=⎡⎤⎣⎦--11325,1111125-==⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭22322tan 3311tan 2.1tan 563111ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭6.在ABC 中，已知()()212cos cos sin sin cos 22A B B A B B A C ---++=，（1）求角A ；（2）若π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()3sin 5A B -=，求sin B .答案：（1）π3A ∠=；（2）43310-解析：（1）由题可得，()()11cos cos sin sin cos 2AB B A B B B +----=⎡⎤⎣⎦，则()()1cos cos cos sin sin cos 2B A B B A B B B +----=，则1cos 2A =，∴π3A ∠=.（2）∵π3A ∠=，π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3sin 5A B -=，∴()4cos 5A B -=，∴()()()413sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B =--=---=-⨯=⎡⎤⎣⎦。

和角差公式与二倍角公式1. 两角和与差的三角比公式（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（2）sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-（3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+ 【注】①公式成立的条件：公式（1）、（2）中,αβ为任意角，公式（3）中,αβ和αβ±的值都不能为,2k k Z ππ+∈②公式的正用、逆用与变形用：如公式（3）的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+2 二倍角公式222sin 22sin cos ,cos 2cos sin 2cos 1ααααααα==-=-212sin α=-22tan tan 21tan ααα=-（其中,2αα均不为,2k k Z ππ+∈） 【注】（1）广义理解二倍角，如4α的二倍角是2α，2αβ+的二倍角为αβ+，42πα+的二倍角是2πα+（2）二倍角公式的正用、逆用和变形用，如余弦二倍角公式的变形 221cos 21cos 2cos,sin 22αααα+-==典型例题例1 利用两角和的余弦公式求cos105的值例2 若,(0,)2παβ∈，且44sin ,cos 55αβ==，求αβ+例3 已知31sin 2,tan 57αβ==-，其中,044ππαβπ-<<<< 求：（1）sin(2)αβ-的值 （2）2αβ-的值例4 已知tan θ与tan()4πθ-是方程20x px q ++=的两根，且有3tan 2tan()4πθθ=-，求p ，q 的值例5 在ABC ∆中，化简：tantan tan tan tan tan 222222A B B C C A •+•+•例6 已知sin x =sin 2()4x π-的值例7 若32ππθ<<例8已知tan θ=22cos sin 12sin()4θθπθ--+例9 已知21sin(),cos()2329αββα-=-=，且,022ππαπβ<<<<，求cos()αβ+例10 求证：8821cos sin cos 2(1sin 2)2θθθθ-=-。