两角和与差及二倍角公式讲义,例题含答案

成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。

如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。

1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。

3.3 两角和与差及二倍角公式（答案）3.3 两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回顾】1．两角和与差的三角函数sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。

sin2α= ；cos2α= = =tan 2α= 。

3．降幂公式2sin α= ； 2cos α= .注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用4．辅助角公式证明：)sin cos x x y x x +=+=sin sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+其中，cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。

5.公式的使用技巧（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++ （2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin 1,tan124ππ==（3）收缩代换：sin cos y x x =+=)x ϕ+，（其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=---如：tan 95tan 3595tan 35-=oooo。

第35课 两角和与差及二倍角公式一、考纲要求：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；3、能灵活运用公式进行三角函数的求值。

二、知识结构：1、和、差角公式：sin αβ±=（）cos αβ±=（）tan αβ±=（）2、二倍角公式：sin α=2 tan α=2cos α===2三、考点与典型例题：考点一：公式的应用：题组一、求函数值练习1、（《学案》P72例1）求下列各式的值： ⑴sin163cos 223sin 253cos313⋅+⋅ ⑵tan 20tan 403tan 20tan 40++⋅练习2、（《学案》P73变式1）求1tan151tan15+-的值：考点二：已知三角函数值求函数值或角题组二、求角的大小3、（《学案》P72例2：）在ABC ∆中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ，且5s i n 5A =，10sin 10B =。

求A B +的值。

练习4、（《学案》P73变式2）已知α、β为锐角，且1tan 7α= 且10sin 10β=，求2αβ+的值。

题组三、求第三个角的函数值 5、例5、已知3044ππβα<<<<，3cos()45πα-=， 35sin()413πβ+=，求sin()αβ+的值。

6、变式在例5条件下求cos()αβ-的值。

7、已知02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=， 3cos()423-=πβ，求cos()2βα+的值。

考点三：公式的综合应用8、《学案》P73变式3： 已知平面直角坐标系上的三点(0,1)A ，(2,0)B -，(cos ,sin )C θθ（(0,)θπ∈）且BA 与OC共线。

⑴求tan θ的值；⑵sin()4πθ-的值。

9、练习： ⑴12sin(2)4cos παα--；⑵4222cos 2cos 0.52tan()sin ()44x x x x ππ-+-⋅+四、归纳反思：《学案》P73五、课后作业：《课时作业》P244 1－8。

05-03 两角和与差、二倍角的公式（二）点一点——明确目标掌握二倍角的三角函数公式，能熟练应用公式进行求值、化简、证明.做一做——热身适应1.若f （tan x ）=sin2x ，则f （－1）的值是 . 解析：f （－1）=f ［tan （－4π）］=－sin 2π=－1. 答案：-12.（2005年春季上海，13）若cos α=53，且α∈（0，2π），则tan 2α=____________. 解析一：由cos α=53，α∈（0，2π），得sin α=α2cos 1-=54， tan 2α=2cos 2sinαα=2cos2sin 22sin 22ααα=ααsin cos 1-=54531-=21. 解析二：tan 2α=ααcos cos 1+1-=531531+-=21. 答案：21 3.（2005年春季北京，11）已知sin 2θ+cos 2θ=332，那么sin θ的值为____________，cos2θ的值为____________.解析：由sin 2θ+cos 2θ=332，得1+sin θ=34，sin θ=31，cos2θ=1－2sin 2θ=1－2·91=97.答案：31 974.下列各式中，值为21的是A.sin15°cos15°B.2cos 212π－1C.230cos 1︒+ D.︒-︒5.22tan 15.22tan 2解析：︒-︒5.22tan 15.22tan 2=21tan45°=21. 答案：D 5.设a =sin14°+cos14°，b =sin16°+cos16°，c =66，则a 、b 、c 的大小关系是 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c解析：a =2sin59°，c =2sin60°，b =2sin61°，∴a ＜c ＜b . 答案：B理一理——疑难要点1.在公式S （α+β）、C （α+β）、T （α+β）中，当α=β时，就可得到公式S 2α、C 2α、T 2α，在公式S 2α、C 2α中角α没有限制在T 2α中，只有当α≠2πk +4π且α≠k π+2π时，公式才成立. 2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2α=cos 2α－sin 2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α.变形公式sin 2α=22cos 1α-，cos 2α=22cos 1α+.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用. 3.要重视对遇到的问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性；三角变换中体现出的每一步化归过程，均应以“合乎情理”为原则.拨一拨——思路方法【例1】 试求函数y =sin x +cos x +2sin x cos x +2的最大值和最小值，若x ∈［0，2π］呢？ 剖析：注意sin x +cos x 与sin x ·cos x 之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解.解：令t =sin x +cos x =2sin （x +4π）∈［－2，2］，则y =t 2+t +1∈［43，3+2］，即最大值为3+2，最小值为43.当x ∈［0，2π］时，则t ∈［1，2］，此时y 的最大值是3+2，而最小值是3.评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围.【例2】 已知sin （x －4π3）cos （x －4π）=－41，求cos4x 的值. 剖析：4x 为2x 的二倍角，2x 为x 的二倍角. 解：由已知得sin （x －2π－4π）cos （x －4π）=－41， ∴cos 2（x －4π）=41. ∴sin2x =cos （2π－2x ）=2cos 2（4π－x ）－1=－87. ∴cos4x =1－2sin 22x =1－6498=－3217.【例3】 已知α为第二象限角，cos 2α+sin2α=－25，求sin 2α－cos 2α和sin2α+cos2α的值.解：由cos 2α+sin2α=－25平方得 1+2sin2αcos2α=45， 即sin α=41，cos α=－415.此时k π+4π＜2α＜k π+2π.∵cos2α+sin2α=－25＜0， sin 2αcos 2α=81＞0， ∴cos 2α＜0，sin2α＜0.∴2α为第三象限角.∴2k π+4π5＜2α＜2k π+2π3，k ∈Z . ∴sin2α＜cos2α， 即sin 2α－cos 2α＜0.∴sin2α－cos2α=－αsin 1-=－23， sin2α+cos2α=2sin αcos α+1－2sin 2α=8157-. 评述：由三角函数值判断2α的范围是关键.【例4】 （2004年东北三校高三第一次联考题）已知a =（cos 23x ，sin 23x ），b =（cos 2x ，－sin2x ），x ∈［0，2π］. （1）求a ·b 及|a +b |；（2）若f （x ）=a ·b －2λ|a +b |的最小值是－23，求λ的值. 解：（1）a ·b =cos23x cos 2x －sin 23x sin 2x=cos2x . |a +b |=222sin 23sin 2cos 23cos）（）（x x x x -++=2x 2cos =2cos x （∵x ∈［0，2π］）. （2）f （x ）=cos2x －4λcos x =2（cos x －λ）2－1－2λ2.∵x ∈［0，2π］，∴cos x ∈［0，1］. ①当λ＜0，cos x =0时，f （x ）min =－1，矛盾. ②当0≤λ≤1，cos x =λ时，f （x ）min =－1－2λ2，由－1－2λ2=－23，得λ=21. ③当λ＞1，cos x =1时，f （x ）min =1－4λ， 由1－4λ=－23，得λ=85＜1，矛盾. 综上，λ=21为所求. 练一练——巩固提高1.若8cos （4π+α）cos （4π－α）=1，则sin 4α+cos 4α=_______. 解析：由已知得8sin （4π－α）cos （4π－α）=1， ∴4sin （2π－2α）=1.∴cos2α=41. sin 4α+cos 4α=（sin 2α+cos 2α）2－2sin 2αcos 2α=1－21sin 22α=1－21（1－cos 22α） =1－21（1－161）=1－21×1615=3217. 答案：32172.若tan x =2，则xx x xcos sin 1sin 2cos 22+--=_______. 解析：原式=x x x x sin cos sin cos +-=x x tan 1tan 1+-=2121+-=1212--）（=22－3.答案：22－33.已知f （x ）=x -1，当θ∈（4π5，2π3）时，f （sin2θ）－f （－sin2θ）可化简为 A.2sin θB.－2cos θC.－2sin θD.2cos θ解析：f （sin2θ）－f （－sin2θ）=θ2sin 1-－θ2sin 1+=｜sin θ－cos θ｜－｜sin θ+cos θ｜.∵θ∈（4π5，2π3）， ∴－1＜sin θ＜－22＜cos θ＜0. ∴cos θ－sin θ＞0，cos θ+sin θ＜0.∴原式=cos θ－sin θ+cos θ+sin θ=2cos θ.答案：D 4.若sin αcos β=21，求cos αsin β的取值范围. 解：令t =cos αsin β，则21t =41sin2αsin2β. ∴t =21sin2αsin2β∈［－21，21］. 5.化简xx x x x 2sin 1cos sin 1cos sin ））（（+--+.解：原式=xxx x x 2sin 12sin 21sin 12sin 21sin 22））（（++---+=xxx xx x x x x cos 2cos 2sin 42sin 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 222））（（+- =xxxx x x x cos 2cos 2sin2sin 2cos 2sin 2cos ⋅+-））（（ =x x x x x cos 2cos 2sin 2sin 2cos 22⋅-）（=xx xx cos 2cos 2sincos ⋅⋅=tan 2x . 6.（2004年江苏，17）已知0＜α＜2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin （α－3π）的值. 解：由已知tan 2α+cot2α=αsin 2=25，得sin α=54. ∵0＜α＜2π，∴cos α=α2sin 1-=53. 从而sin （α－3π）=sin α·cos 3π－cos α·sin 3π=54×21－53×23=101（4－33）.7.已知f （x ）=2a sin 2x －22a sin x +a +b 的定义域是［0，2π］，值域是［－5，1］，求a 、b 的值.解：令sin x =t ，∵x ∈［0，2π］，∴t ∈［0，1］， f （x ）=g （t ）=2at 2－22at +a +b =2a （t －22）2+b .当a ＞0时，则⎩⎨⎧=+-=，，15b a b解之得a =6，b =－5. 当a ＜0时，则⎩⎨⎧-=+=，，51b a b解之得a =－6，b =1.8.（2004年湖北，17）已知6sin 2α+sin αcos α－2cos 2α=0，α∈［2π，π），求 sin （2α+3π）的值. 分析：本题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.解法一：由已知得（3sin α+2cos α）（2sin α－cos α）=0⇔3sin α+2cos α=0或2sin α－cos α=0.由已知条件可知cos α≠0，所以α≠2π，即α∈（2π，π）. 于是tan α＜0，∴tan α=－32. sin （2α+3π）=sin2αcos 3π+cos2αsin 3π =sin αcos α+23（cos 2α－sin 2α） =αααα22sin cos cos sin ++23×αααα2222sin cos sin cos +-=αα2tan tan +1+23×αα22tan tan 1+1-. 将tan α=32代入上式得 sin （2α+3π）=232132）（）（-+-+23×22321321）（）（-+--=－136+3265，即为所求. 解法二：由已知条件可知cos α≠0，则α≠2π， ∴原式可化为6tan 2α+tan α－2=0， 即（3tan α+2）（2tan α－1）=0.又∵α∈（2π，π）.∴tan α＜0，∴tan α=－32. 下同解法一. 想一想——拓展发散将一块圆心角为120°，半径为20 cm 的扇形铁片截成一块矩形，如图，有2种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA 上或让矩形一边与弦AB 平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值.A ABBMMO O 甲乙解：对图甲，设∠MOA =θ，则S 1=200sin2θ. ∴当θ=45°时，（S 1）max =200 cm 2.对图乙，设∠MOA =α， 则S 2=33800［cos （2α－60°）－cos60°］. 当α=30°时，（S 2）max =33400 cm 2. ∵33400＞200，∴用乙种方法好.。

§5.3两角和、差及倍角公式【复习目标】1． 熟练掌握两角和与差及两倍角的正弦、余弦、正切公式；了解它的内在联系；2． 理解22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=在升、降幂中的作用；3． 能正确运用公式解决化简、求值等相关问题、运算问题． 【重点难点】在化简、求值等运算问题中，训练“变角”、活用公式、“范围意识” 【知识梳理】sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；2222sin 22sin cos ;cos 2cos sin 2cos 112sin ααααααα==-=-=-22tan tan 21tan ααα=-； 221cos 21cos 2cos ;sin 22αααα+-==【课前预习】1. 求值：000029sin 91sin 181sin 119sin - = ; t a n c o t ___;88ππ-=000c o s 20c o s 40c o s 80____.=t a n 103t a n 10t a n 50t a n 50++= .2．若445sin cos ,sin 2___.9θθθθ+==为第三象限角，则3．设)17cos 17(sin 22+=a ，113cos 202-=b ，23=c ，则 （ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<4．若cos()cos()0,sin 2____.4442πππθθθθ-+=<<=则5．求值：0sin 50(110)⋅+【典型例题】题型一：三角函数的化简问题例1．化简42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+例2．化简(1sin cos )(sincos))θθθθθπ++-<<题型二：三角函数的证明问题 例3．求证：1sin 4cos 4tan 21sin 4cos 4θθθθθ+-=++例4．求证：2cos 1sin 24cottan22αααα=-题型三：给角求值问题 例5．求值：0010cos 1)10tan 31(80sin 50sin 2+++题型四：给值求值问题 例6．若3123,cos(),sin()24135πβαπαβαβ<<<-=+=-，求cos 2,sin 2βα例7．若3177cos()45,124,x x πππ+=<<求2sin 22sin 1tan x xx+-的值。

第二讲：两角和与差及二倍角公式（一） 主要知识：1.两角和与差的三角函数公式；二倍角公式；2.降次公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．3.三角函数求值问题的基本类型：（1）给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；（2）给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值； （3）给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角． 4.三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少； ④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．5.三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等.（二）主要方法：1.寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式；2.三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、1的变换、和积的变换、幂的变换等方面；3.三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化． 4.应注意的几点:()1熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用.()2注意拆角、凑角技巧，如()ααββ=+-，()()2ααβαβ=++-等.()3注意倍角的相对性，如3α是23α的倍角.()4要时时注意角的范围的讨论.5.三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．（三）典型例题：例1．()1（07江西文）若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于.A 3- .B 13-.C 3()2(06重庆)3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()3sin 5αβ+=-,12sin 413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭例2．（07四川）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，02πβα<<<，(Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β例3．求值： ()1cos 20cos 40cos 60cos80︒︒︒︒()2（06江苏）cot 20cos10tan702cos40︒︒︒-︒ 2 例4．已知1sin sin αβ+=，1cos cos 3αβ+=，求值：()1()cos αβ-；()2（选作）()tan αβ+例5．已知tan 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，求212sin cos cos ααα+例6．求证：()()sin 2sin 2cos sin sin αββαβαα+-+=；例7．已知()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，且(),0,αβπ∈，求2αβ-的值（四）巩固练习：1.（05重庆文）=+-)12sin12)(cos12sin12(cosππππ.A 23-.B 21- .C 212.（05江西文）已知tan32α=，则cos α= .A 54.C 154 .D 35- 4. 若α为锐角，且1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos α=.A .C .D5.（05江苏）1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.B 13- .C 13 .D 796.（07陕西）已知sin 5α=，则44sin cos αα-的值为 .A 15- .C 15 .D 357.（07江苏）若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ⋅8.（07浙江）已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos 2θ9.（06福建）已知3(,),sin 25παπα∈=则tan(4πα+=.B 7 .C 7- .D 7-10. (06湖北)已知2sin 23A =，()0,A π∈，则sin cos A A +=.B .C 53 .D 53-11.（06重庆文）若,(0,)2παβ∈，cos()2βα-=,1sin()22αβ-=-，则cos()αβ+=.A .C 12 .D12.（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167︒︒+︒︒=13. 在ABC △中，(1cot )(1cot )2A B ++=，则14. 已知sin 2cos 0αα+=，则sin 2cos 2αα+=15.（06安徽文）已知40,sin 25παα<<=求值：()12sin sin 2cos cos 2αααα++；()25tan(4πα-16.（06天津文）已知5tan cot ,(,242ππααα+=∈求cos 2α和sin(2)4πα+的值17. 化简1tan151tan15+︒-︒等于.B .C 3 .D 118.（06萍乡模拟）tan tan tan6666ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.B3.C.D319.已知1tan7α=，1tan3β=，已知,αβ均为锐角，则2αβ+=.B54π.C4π或54π.Dπ20.(05全国Ⅲ文)22sin2cos1cos2cos2αααα⋅=+.A tanα；.B tan2α；.C1；.D1221.222cos12tan()sin()44αππαα--+22.(04全国)已知α为锐角，且21tan=α，求ααααα2cos2sinsincos2sin-的值23.（06安徽）已知34παπ<<，10tan cot3αα+=-（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求225sin8sin cos11cos822222αααπα++-⎛⎫-⎪⎝⎭的值24.（05福建文）已知51cossin,02=+<<-xxxπ.（Ⅰ）求xx cossin-的值；（Ⅱ）求xxxtan1sin22sin2-+的值25.（05全国Ⅱ文）已知α为第二象限的角，3sin5α=，β为第一象限的角，5cos13β=．求tan(2)αβ-的值．26.（05杭州二模）已知关于x的一元二次方程2(23)(2)0mx m x m+-+-=的两个实数根分别为tanα和tan.β（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求tan()αβ+ 27.（选作）已知：22tan 2tan 1θϕ=+，求证：cos 212cos 2ϕθ=+。

1.已知tan 2α=，则tan 2α的值为 ． 【答案】43-【分析】222tan 224tan 21tan 123ααα⨯===---. 2．已知P （－3，4）为角α终边上的一点，则cos （π+α）= ．【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】35【分析】∵P （－3，4）为角α终边上的一点，∴x =－3，y =4，r =|OP |=5，∴cos （π+α）=－cos α=x r -=35--=35，故答案为35． 3．已知cos(α－β)=35，sin β=513-且α∈（0，π2），β∈（π2-，0），则sin α= ．【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．【答案】3365【分析】∵α∈（0，π2），β∈（π2-，0），∴α－β∈（0，π）， 又cos （α－β）=35，sin β=513-，∴sin （α－β）=21cos ()αβ--=45，cos β=21sin β-=1213，则sin α=sin[（α－β）+β]= sin （α－β）cos β+cos （α－β）sin β=45×1213+35×（513-）=3365．故答案为3365. 4.若0≤x ≤π2，则函数y =cos （x -π2）sin （x +π6）的最大值是 ．【考点】两角和与差的正余弦公式的应用．【答案】234+ 【分析】y =sin x （sin x 32⋅+12cos x ）=322sin x +12sin x cos x =()31cos 24x -+14sin2x =12sin （2x -π3）+34， ∵0≤x ≤π2，∴-π3≤2x -π3≤2π3，∴max y =12+34=234+. 5.已知过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），则tan （α+β）=________．【考点】平面的法向量． 【答案】1【分析】∵过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），∴－1－3tan β=0，12-tan α=－1．∴1tan 3β=-，tan α=2． ∴tan （α+β）=12tan tan 3111tan tan 123αβαβ-+==-+⨯，故答案为1． 6.在ABC △中，已知BC =8，AC =5，三角形面积为12，则cos2C = ．【考点】三角形面积公式，二倍角公式的应用． 【答案】725【分析】∵已知BC =8，AC =5，三角形面积为12， ∴12⋅BC ⋅AC sin C =12,∴sin C =35,∴cos2C =122sin C -=1-2×925=725. 7.某种波的传播是由曲线()()()sin 0f x A x A ωϕ=+>来实现的，我们把函数解析式()()sin f x A x ωϕ=+称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波()()11sin f x x ϕ=+与()()22sin f x x ϕ=+叠加后仍是“1类波”，求21ϕϕ-的值；（2）在“A 类波“中有一个是()1sin f x A x =，从 A 类波中再找出两个不同的波()()23,f x f x ，使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后()()()1230f x f x f x ++=，并说明理由．（3）在()2n n n ∈N,≥个“A 类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明． 【考点】两角和与差的正弦函数；归纳推理．【解】（1）()()()()1212sin sin f x f x x x ϕϕ+=+++ =1212(cos cos )sin (sin sin )cos x x ϕϕϕϕ+++，振幅是221212(cos cos )(sin sin )ϕϕϕϕ+++=()1222cos ϕϕ+-，则()1222cos ϕϕ+-=1，即()121cos 2ϕϕ-=-，所以122π2π,3k k ϕϕ-=±∈Z ． （2）设()()21sin f x A x ϕ=+，()()32sin f x A x ϕ=+， 则()()()()()12312sin sin sin f x f x f x A x A x A x ϕϕ++=++++=()()1212sin 1cos cos cos sin sin 0A x A x ϕϕϕϕ++++=恒成立， 则121cos cos 0ϕϕ++=且12sin sin 0ϕϕ+=， 即有：21cos cos 1ϕϕ=--且21sin sin ϕϕ=-，消去2ϕ可解得11cos 2ϕ=-， 若取12π3ϕ=，可取24π3ϕ=（或22π3ϕ=-等），此时，()22πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()34πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（或()32πsin 3f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭等）， 则()()()1231313sin sin cos sin cos 02222f x f x f x A x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+-++--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以是平波．（3）()1sin f x A x =，()22πsin f x A x n ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()34πsin f x A x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，…， ()()21πsin n n f x A x n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这n 个波叠加后是平波．8. (4分)已知sin α=3cos α，则cos 21sin 2αα=+ ________．【参考答案】 12-【测量目标】 运算能力/能根据法则准确的进行运算和变形. 【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦.【试题分析】 由已知先求tan α，因为sin α=3cos α，所以tan α=3，把所求的式子中的三角函数利用二倍角公式进行化简，然后化为正切形式，即可求值:222222cos 2cos sin 1tan 1911sin 2cos 2sin cos +sin 12tan tan 1692ααααααααααα---====-++++++.9.若tan （α－π4）=14，则tan α=______． 【参考答案】 53【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【考点】 两角和与差的正切函数.【试题分析】 ∵tan （α－π4）=14， ∴πtan tan4π1tan tan4αα-+=tan 11tan αα-+=14，解得tan α=53．故答案为53． 10.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos 4B =. (1)求2sin 2cos2A CB ++的值； (2)若3b =，求ABC △面积的最大值. 【考点】余弦定理，二倍角的正弦、余弦. 【解】(1)因为3cos 4B =,所以7sin 4B =, 又22π1sin 2cos2sin cos cos 2sin cos (1cos )222A CB B B B B B B +-+=+=+- =73113724488+⨯⨯+=. (2)由已知可得：2223cos 24a cb B ac +-==, 又因为3b =，所以22332a c ac +-=, 又因为223322a c ac ac +=+≥， 所以6ac ≤，当且仅当6a c ==时，ac 取得最大值.此时11737sin 62244ABC S ac B ==⨯⨯=△. 所以△ABC 的面积的最大值为374. 11.已知1sin 4θ=，则sin 2()4θπ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦__________. 【答案】78-【分析】27sin 2()cos 212sin 48θθθπ⎡⎤-=-=-+=-⎢⎥⎣⎦.12. 已知α为第二象限的角，sin α=35，则tan2α=_______________. 【答案】247-【分析】因为α为第二象限的角，又sin α=35，所以cos α=45-，tan α=sin cos αα=34-，tan2α=22tan 1tan αα-=247-.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 13.若△ABC 的内角A 满足sin2A =23，则sin A +cos A 等于（ ） A.153 B.153- C.53 D.53-【答案】A 【分析】∵0＜A ＜π，0＜2A ＜2π，又sin2A =23，即2sin A cos A =23，∴0＜A ＜π2, 2(sin cos )A A +=53，sin A +cos A =153，故选A. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 14.已知sin θ+cos θ=15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是___________. 【答案】725-【分析】由已知sin θ+cos θ=15①，2sin θcos θ= 2425-，又π2≤θ≤3π4，∴cos θ＜0，sin θ＞0. 2(cos sin )θθ-=4925，则sin θ－cos θ=75②，由①②知cos2θ=22cossin θθ-=725-. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.15.已知0＜α＜π2，sin α=45.（1）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；（2）求tan(α－5π4)的值.【解】∵0＜α＜π2，sin α=45，∴cos α=35，tan α=43.（1）22sin sin2cos cos2αααα++=222sin2sin cos2cos sinααααα+-=22tan2tan2tanααα+-=2244()23342()3+⨯-=20；（2）tan(α－5π4)=tan11tanαα-+=413413-+=17.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.16.已知x∈(π2-,0)，cos x=45，tan2x=（）A.724B.724- C.247D.247-【答案】D【分析】sin x=35-，tan x=34-，tan2x=22tan1tanxx-=247-，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.17.cos20cos351sin20︒︒-︒=（）A.1B. 2C.2D.3【答案】C【分析】cos20cos351sin20︒︒-︒=22cos10sin10cos35(cos10sin10)︒-︒︒︒-︒=cos10sin10cos35︒+︒︒=2sin55cos35︒︒=2，故选C.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.18.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c =62，则a、b、c大小关系是（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC. c＜b＜aD. a＜c＜b【答案】D【分析】由题意知，a =2sin59°，b =2sin61°，c =2sin60°，所以a＜c＜b，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.19.tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°=_____________.【答案】3【分析】tan60°= tan(20°+40°)=tan20+tan401tan20tan40︒︒-︒︒=3，∴3－3tan20°tan40°=tan20°+tan40°，移向即可得结果为3. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 20.已知sin2θ+cos 2θ=233，那么sin θ =______,cos2θ =___________. 【答案】13，79【分析】2(sin cos )22θθ+=1+ sin θ=43，sin θ=13，cos2θ=1－22sin θ=79. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 21.若1tan 1tan αα+-=2008，则1cos 2α+tan2α=_______________.【答案】2008【分析】1cos 2α+tan2α=1sin 2cos 2cos 2ααα+=1sin 2cos 2αα+=222(cos +sin )cos sin αααα-= cos +sin cos sin αααα-=1+tan 1tan αα-=2008.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 22.计算：sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=________.【答案】2+3【分析】sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=sin80cos15sin15cos10︒︒︒︒=cos15sin15︒︒=2+3．【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.23．求值：(1)sin6°sin42°sin66°sin78°;(2)22sin 20cos 50︒+︒+sin20°cos50°.【解】原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°=sin 6cos 6cos12cos 24cos 48cos 6︒︒︒︒︒︒=1sin12cos12cos 24cos 482cos6︒︒︒︒︒=1sin 24cos 24cos 484cos6︒︒︒︒=1sin 48cos 488cos6︒︒︒=1sin 9616cos6︒︒=1cos616cos6︒︒=116; (2)原式＝1cos 401cos1001(sin 70sin 30)222-︒+︒++︒-︒ ＝1+111(cos100cos 40)sin 70224︒-︒+︒-=31sin 70sin 30sin 7042-︒⋅︒+︒=34.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 24.已知tan α、tan β是方程2x -5x +6=0的两个实根，求22sin ()αβ+-3sin ()αβ+cos ()αβ++2cos ()αβ+的值． 【解】由韦达定理得tan α+tan β=5，tan α·tan β=6，所以tan(α+β)=tan tan 1tan tan αβαβ+-⋅=－1.原式=[22sin ()αβ+－3sin(α+β)cos(α+β)+2cos ()αβ+]/[22sin ()cos ()αβαβ+++]=222tan ()3tan()1tan ()1αβαβαβ+-++++=213(1)111⨯-⨯-++=3.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.。

两角和与差及二倍角公式（答案）两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，认识它们的内在联.2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2. 可以利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回首】1．两角和与差的三角函数sin( ) ； sin( ) ；cos( ) ； cos( ) ；tan( ) ； tan( ) ；2．二倍角公式：在sin( ),cos( ), tan( ) 中令，可得相应的二倍角公式。

sin2 ；cos2 = =tan 2 。

3．降幂公式sin 2 ；cos2 .注意：二倍角公式拥有“升幂缩角“作用，降幂公式拥有“降幂扩角”作用4．协助角公式y a sin x bcos x a2 b2 sin(x ) ，（此中a, b不可以同时为0）证明： y sin x cos x 2 2 ( a bcos x)a b sin xa2 b 2a2 b2a2 b2 (cos sin x sin cos x)a2 b2 sin( x )此中， cosa， sinb， tanb终边过点 ( a, b)2 2且角a2 2ab a b在使用时，不用死记结论，而重在这种缩短（合二为一）思想如： sin cos ； sin cos 。

5.公式的使用技巧（ 1）连续应用：sin( ) sin[( ) ] sin( )coscos()sin（ 2）“ 1”的代换：sin2 cos2 1， sin2 1,tan 14（ 3）缩短代换： y sin x cos x a 2 b 2 sin( x) ，（此中 a, b 不可以同时为0）（ 4）公式的变形：tan()tan tan tan( ) tantantan() tan tan1 tan tantan() tan tan tan( ) tantantan() tan tan1 tan tan如： tan95otan 35o3 tan 95o tan 35o。

暑期培训专题三两角和差公式、二倍角公式1. 两角和与两角差公式： (2) sin( a + 3 )=(4) sin( a - 3 )=(6) tan( a - 3 )=2. 倍角公式： (1) sin2 a = ____________________________ :(2) COS2 a = _____________ = ________ (3) tan2 a =-,试求：(1) cos( ) ； (2) tan( ).5 4 3变式 1 cos75O =__________________________o2. tan 105 = ________________________54 3. 在△ ABC 中，已知 cosA =, cosB =，求 cosC 的值1354. △ ABC 不 是直角三角形，求证：tan A ta nB ta nC tan A?ta nB?ta nC1例 2、①已知 sin( + ) =, sin(2(1 ) COS ( a + 3 )= ______ (3)COS ( a - 3 )= _________(5) tan( a + 3 )=降幕公式：sin 2a2cos a = ________________;sin cos = ______例1设Q ),若sin)=—，求-tan—的值10 tan已知 sin +sin =3cos +cos—，求 cos(52变式(1)、( 07 福建)sin 15°cos75° cos15o sin105o例5、求证： cosx+sinx= ■, 2 cos(x)4二倍角公式应用：11、（ 08 浙江）若 sin （— ）—,贝U cos2 _____________________2 5(2) si n17 cos47sin 73 cos43 =例3.已知3■ ?, cos()44 44）的值.1 tan15 sin(—4tan1513’求 sin( +变式：已知壬 V aV, cos ( a — 3)=12 , sin ( a + 3)=—-，求 sin2 a 的值. 135例 4、tan10 tan 20 , 3(tan10 tan20 ) = __________变式〔、已知tan ,tan 是方程x 2 5x0的两个实根，求tan （ ）的值。

第十九讲两角和与差及二倍角公式两角和与差及二倍角公式是初等数学中常用的一类基本公式，它们主要用于解决角度之间的关系和计算问题。

掌握了这些公式，可以方便地计算出两个角的和与差，以及一个角的二倍角。

一、两角和与差公式1.两角和公式sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)2.两角差公式sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)1.正弦sin2A = 2sinAcosA2.余弦cos2A = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A)3.正切tan2A = (2tanA) / (1 - tan^2(A))这些公式的推导可以通过三角函数的定义和相关三角恒等式进行推导，具体推导过程可以参考相关数学书籍。

而在解题时，我们通常是根据已知条件，利用这些公式来求解出未知角度的值。

例如，如果已知sinA = 1/2，cosB = 3/5，要求求出sin(A+B)。

根据两角和公式sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB，可以将已知值代入计算，得到：sin(A+B) = (1/2)(3/5) + (1/2)(4/5) = 3/10 + 4/10 = 7/10同样地，利用这些公式还可以解决一些复杂的几何问题。

例如，已知两直线的夹角为α，要求求出这两条直线的切线之间的夹角β。

根据切线的几何定义，可以知道tanβ = tan(α+90) = -1/tan(α)。

因此，利用刚才提到的两角和公式中的tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)，可以直接计算出tanβ的值。

三角和差公式与二倍角公式知识讲解一、两角和差公式1．两角和与差的余弦公式()C cos cos cos sin sin αβαβαβαβ--=+∶ ()C cos cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-∶教师内容：证法一：如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与β-，使角α的始边为Ox ，交O ⊙于点1P ，终边交O ⊙于点2P ；角β的始 边为2OP ，终边交O ⊙于点3P ，角β-的始边为1OP ，终边交O ⊙于点 4P ．则()110P ，，()2cos sin P αα，，()()()3cos sin P αβαβ++，， ()()()4cos sin P ββ--，．由1324PP P P =及两点间的距离公式，得()()22cos 1sin αβαβ+-++⎡⎤⎣⎦()()22cos cos sin sin βαβα=--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦展开并整理，得()()22cos 22cos cos sin sin αβαβαβ-+=--∴()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-．于是()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=---=+⎡⎤⎣⎦． 证法二：以坐标原点为中心作单位圆，以Ox 为始边作角α与β，它们终边分别与单位圆相交于 点P ，Q ，则()cos sin P αα，，()cos sin Q ββ，，1OP OQ ==u u u r u u u r． 因此存在k ∈Z ，使2πOP OQ k αβ-=〈〉+u u u r u u u r ，或2πOP OQ k αβ-=-〈〉+u u u r u u u r，成立． 因为()()cos sin cos sin cos cos sin sin OP OQ ααββαβαβ⋅=⋅=+u u u r u u u r，，． ()cos cos OP OQ OP OQ OP OQ αβ⋅=⋅⋅〈〉=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，．所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．于是()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦．2．两角和与差的正弦公式()S sin sin cos cos sin αβαβαβαβ--=-∶ ()S sin sin cos cos sin αβαβαβαβ++=+∶教师内容：()()ππsin cos cos 22αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=-++=-+- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ππcos cos sin sin 22αβαβ⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin αβαβ=+()()()()sin sin sin cos cos sin αβαβαβαβ-=+-=-+-⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=-．3．两角和与差的正切公式()tan tan T tan 1tan tan αβαβαβαβ+++=-⋅∶． ()tan tan T tan 1tan tan αβαβαβαβ---=+⋅∶．教师内容：()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-把后面一个分式的分子、分母分别除以()cos cos cos cos 0,αβαβ≠得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-把公式中的β换为β-，得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+．二、二倍角公式1．二倍角的正弦、余弦、正切2S :sin 22sin cos αααα=．22222C :cos2cos sin 2cos 112sin αααααα=-=-=-．222tan T :tan 21tan αααα=-． 2． 公式的逆向变换及常用变形1sin cos sin 22ααα=．221cos21cos2cos sin 22αααα+-==，． ()2221sin 2sin cos 2sin cos sin cos ααααααα±=+±=±； ()()cos2cos sin cos sin ααααα=+-．教师内容：由公式的变形221cos21cos2cos sin 22αααα+-==，，还可以得到21cos2tan 1cos2ααα-=+，由这组公式我们可以由α的三角函数值，结合α角的范围得到cossintan222ααα，，，这组公式又被称为半角公式．典例精讲一．选择题（共16小题）1．（2017秋•湖北期末）cos70°cos10°+sin10°cos20°=（）A．12B．√22C．√32D．1【分析】诱导公式化简在结合和与差公式即可求解．【解答】解：cos70°=cos（90°﹣20°）=sin20°．那么cos70°cos10°+sin10°cos20°=sin20°cos10°+sin10°cos20°=sin（20°+10°）=sin30°=1 2．故选：A．2．（2017秋•上期末）已知sinα=﹣2cosα，则2sinαcosα﹣cos2α=（）A．﹣2B．﹣1C．−12D．2【分析】根据同角三角函数关系式，弦化切的思想，入求值即可．【解答】解：已知sinα=﹣2cosα，则tanα=sinαcosα=−2．则2sinαcosα﹣cos2α=2sinαcosα−cos 2αsinα+cosα=2tanα−1tanα+1=﹣1．故选：B．3．（2018•北京模拟）在sin50°，﹣sin50°，sin40°，﹣sin40°四个数中，与sin130°相等的是（）A．sin50°B．﹣sin50°C．sin40°D．﹣sin40°【分析】利用诱导公式化简可得答案．【解答】解：由sin130°=sin（180°﹣50°）=sin50°．∴与sin130°相等的是sin50°故选：A．4．（2018春•清远期末）已知y=tanπ（π是圆周率），则y的值是（）A．正数B．负数C．0D．不存在【分析】根据正切函数的公式进行求解即可．【解答】解：y=tanπ=tan0=0，故选：C．5．（2018春•嘉兴期末）sin 23π=（）A．√32B．−√32C．12D．−12【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：sin23π=sin（π−π3）=sinπ3=√3 2．故选：A．6．（2017秋•西湖区校级期末）已知tanα=2，则sinα+cosα2sinα−cosα=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】弦化切，即可求解．【解答】解：已知tanα=2，由sinα+cosα2sinα−cosα=tanα+12tanα−1=2+12×2−1=1．故选：A．7．（2018春•湖南期末）已知cos α4=14，则cosα=（）A．1732B．−1732C．±1732D．−78【分析】利用倍角公式即可得出．【解答】解：∵cosα4=14，∴cosα2=2×(14)2﹣1=﹣78则cosα=2×(−78)2﹣1=1732．故选：A ．8．（2018春•黄冈期末）（sin15°+cos15°）2的值为（ ） A ．√32B ．12C ．32D ．34【分析】利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，可得结果．【解答】解：（sin15°+cos15°）2=1+2sin15°cos15°=1+sin30°=1+12=32，故选：C ．9．（2018•北京模拟）已知sinα=45，那么cos2α等于（ ）A ．−2425B ．−725 C ．725 D ．2425【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．【解答】解：已知sinα=45，那么cos2α=1﹣2sin 2α=1﹣2×1625=﹣725，故选：B ．10．（2018春•濂溪区校级期末）已知sin （α﹣π4）=√55，则sin2α=（ ）A ．45B ．−45C ．35D ．−35【分析】由题意利用两角差的正弦公式可得 sinα•√22﹣cosα⋅√22=√55，平方并利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．【解答】解：∵sin （α﹣π4）=√55，即 sinα•√22﹣cosα⋅√22=√55，平方可得 12﹣12sin2α=15，则sin2α=35，故选：C ．11．（2018春•宾阳县校级月考）已知α为第四象限角，sinα+cosα=√33，则cos2α=（ ）A ．﹣√53B ．﹣√59C ．√59D ．√53【分析】利用同角三角函数的基本关系求得2sinαcosα的值，可得sinα﹣cosα 的值，再利用二倍角公式求得cos2α=cos 2α﹣sin 2α 的值． 【解答】解：∵α为第四象限角，sinα+cosα=√33，∴1+2sinαcosα=13，即2sinαcosα=﹣23， ∴sinα﹣cosα=﹣√(sinα−cosα)2=﹣√1−2sinαcosα=﹣√1+23=﹣√153，∴cos2α=cos 2α﹣sin 2α=﹣（sinα+cosα）•（sinα﹣cosα）=﹣√33•（﹣√153）=√53，故选：D ．12．（2018春•兴宁区校级期中）已知sin α=25，则cos2α=（ ）A ．725B ．−725C ．1725D ．−1725【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵sin α=25，∴cos2α=1﹣2sin 2α=1﹣2×425=1725，故选：C ．13．（2018春•龙岗区期末）若sin(π−α)=13，且π2≤α≤π，则cos2α的值为（ ）A ．−79B ．−4√29C ．79D ．4√29【分析】利用诱导公式求得sinα，再利用二倍角公式求得cos2α的值．【解答】解：∵sin （π﹣α）=sinα=13，且π2≤α≤π，∴cos2α=1﹣2sin 2α=79，故选：C ．14．（2017秋•马鞍山期末）设sin2α=cosα，α∈（0，π2），则tan2α的值是（ ）A ．√3B ．﹣√3C ．√33D ．﹣√33【分析】由已知条件结合二倍角的三角函数公式即可求出sinα的值，进一步求出α，然后代入tan2α计算得答案．【解答】解：∵sin2α=cosα，α∈（0，π2），∴2sinαcosα=cosα，∴sinα=12，即α=π6．则tan2α=tan π3=√3．故选：A ．15．（2018•南关区校级模拟）已知cos2xsin(x+π4)=√23，则sin2x=（ ） A ．−89B ．89C ．−1718D ．1718【分析】由题意利用两角和的正弦公式，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵cos2xsin(x+π4)=√23，∴22√22(sinx+cosx)=√23， ∴cosx −sinx =13，∴√2cos(x +π4)=13，∴sin2x =−cos(2x +π2)=1−2cos 2(x +π4)=1−2×118=89，故选：B ．16．（2018•武邑县校级三模）已知sin(π6−x)=12，则sin(7π6−x)+sin 2(π3+x)=（ ） A ．14B ．34C ．−14D ．−12【分析】利用诱导公式求得sin （7π6﹣x ）的值，利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【解答】解：∵已知sin(π6−x)=12，则sin(7π6−x)+sin 2(π3+x)=﹣sin （π6﹣x ）+1﹣cos 2(π3+x)=﹣12+1﹣sin 2(π6−x)=12﹣(12)2=14， 故选：A ．二．填空题（共4小题）17．（2018春•赤峰期末）计算：sin45°sin75°+sin45°sin15°= √32．【分析】直接利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解：sin45°sin75°+sin45°sin15°=sin45°cos15°+cos45°sin15°=sin60°=√32．故答案为：√32．18．（2018春•菏泽期中）已知tan （α+π4）=12，且﹣π2＜α＜0，则sinα= ﹣√1010．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，诱导公式和三角函数的定义求出结果．【解答】解：已知tan （α+π4）=12，且﹣π2＜α＜0，则1+tanα1−tanα=12， 解得：tanα=﹣13，所以：sinα=−√1010．故答案为：﹣√101019．（2018•黄州区校级二模）已知P （2，m ）为角α终边上一点，且tan （α+π4）=13，则sinα= −√55 ． 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得m 的值，可得sinα的值．【解答】解：∵P （2，m ）为角α终边上一点，∴tanα=m2，再根据tan （α+π4）=13=tanα+11−tanα=m2+11−m 2，∴m=﹣1，故x=2，y=m=﹣1，r=|OP |=√4+m 2=√5，则sinα=yr =√5=√5=﹣√55，故答案为：﹣√55．20．（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=−12．【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）=﹣1，可得结果．【解答】解：sinα+cosβ=1，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=−1 2．故答案为：−12．三．解答题（共4小题）21．（2017秋•重庆期末）已知tan（π﹣a）=﹣2，α为第一象限角，求下列各式的值：（Ⅱ）cosα：（Ⅱ）sin2α+sin2α．【分析】（Ⅱ）由已知求得tanα，与平方关系联立求得cosα；（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【解答】解：（Ⅱ）∵tan（π﹣α）=﹣2，∴tanα=2，联立{sinα=2cosαsin 2α+cos 2α=1，得{sinα=−2√55cosα=−√55或{sinα=2√55cosα=√55． 又α为第一象限角，∴cosα=√55： （Ⅱ）sin 2α+sin2α=sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tanαtan 2α+1=85． 22．（2017秋•张家界期末）已知sin α=−45，α是第四象限角． （1）求tanα和sin2α的值；（2）求tan （α−π4）的值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，求得tanα和sin2α的值．（2）利用两角差的正切公式求得tan （α−π4）的值．【解答】解：（1）由sin α=−45，α是第四象限角，得cosα=√1−sin 2α=35， ∴tanα=sinαcosα=﹣43，sin2α=2sinα•cosα=﹣2425． （2）tan （α−π4）=tanα−11+tanα=7． 23．（2018春•遂宁期末）已知函数f （x ）=√3cosxcos （x ﹣π2）+sin 2x ﹣12． （Ⅱ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，π4]，f （x ）=√33，求cos2x 的值． 【分析】（Ⅱ）利用查三角恒等变换化简f （x ）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间．（Ⅱ）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得cos （2x ﹣π6）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos2x=cos [（2x ﹣π6）+π6]的值． 【解答】解：（Ⅱ）函数f （x ）=√3cosxcos （x ﹣π2）+sin 2x ﹣12=√3cosxsinx +1−cos2x 2﹣12=sin （2x ﹣π6），令2kπ﹣π2≤2x ﹣π6≤2x +π2，求得kπ﹣π6≤x ≤kπ+π3，可得函数的增区间为[kπ﹣π6，kπ+π3]，k ∈Z ． （Ⅱ）若x ∈[0，π4]，则2x ﹣π6∈[﹣π6，π3]，f （x ）=sin （2x ﹣π6）=√33，∴cos （2x ﹣π6）=√1−sin(2x −π6)2=√63， ∴cos2x=cos [（2x ﹣π6）+π6]=cos （2x ﹣π6） cos π6﹣sin （2x ﹣π6） sin π6=√63•√32﹣√33•12=√22﹣√36． 24．（2018春•七星区校级期中）已知tanα=2，求（1）sin(π+α)−cosα2cos(π+α)+sinα（2）1cos2α 【分析】（1）由题意利用诱导公式、同角三角，求得要求式子的值．（2）利用函数的基本关系、二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵tanα=2，∴原式=−sinα−cosα−2sinα+sinα=−sinαcosα−cosαcosα−2sinα+sinα=−tanα−1−2tanα+tanα=32． （2）∵tanα=2，∴原式=sin 2α+cos 2αcos α−sin α=tan 2α+11−tan α=−53．。

第24讲 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（讲）思维导图知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin_αsin β． S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β． S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β． T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z .T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α－β≠π2＋k π，k ∈Z .2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α．C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠π4＋k π2，且α≠k π＋π2，k ∈Z .题型归纳题型1 公式的直接应用【例1-1】（2020春•六盘水期末）已知sin （π﹣α）=√33，则cos2α＝（ ） A ．2√23B ．−13C ．23D ．13【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而根据二倍角的余弦函数公式即可计算求解． 【解答】解：∵sin （π﹣α）＝sinα=√33， ∴cos2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣2×(√33)2=13．故选：D ．【例1-2】（（2020春•金牛区校级期末）计算cos18°•cos42°﹣cos72°•sin42°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32【分析】直接利用三角函数的诱导公式的应用和余弦的和角公式的运用求出结果． 【解答】解：cos18°•cos42°﹣cos72°•sin42°＝cos18°•cos42°﹣sin18°•sin42°=cos60°=12． 故选：A ．【例1-3】（（2020春•上饶期末）若3sinα−2sin(α+π3)−√7=0，则tanα＝（ ） A ．−2√33B ．2√33C ．−√32D ．√32【分析】由两角和的正弦公式展开整理可得√3cosα＝2sinα−√7，两边平方，由基本关系式sin 2α+cos 2α＝1可得7sin 2α﹣4√7sinα+4＝0，解出sinα，进而求出cosα，再求出结果．【解答】解：由3sinα−2sin(α+π3)−√7=0，化简可得3sinα﹣2⋅12sinα﹣2⋅√32cosα=√7，即2sinα−√3cosα=√7，所以√3cosα＝2sinα−√7，两边平方可得3cos 2α＝4sin 2α﹣4√7sinα+7，整理可得3（1﹣sin 2α）＝4sin 2α﹣4√7sinα+7，即7sin 2α﹣4√7sinα+4＝0，解得sinα=2√7， 所以√3cosα＝27−√7=7，所以cosα=√37， 所以tanα=sinαcosα=27−3√7=−2√33．故选：A ．【跟踪训练1-1】（2020春•河池期末）已知tanα=12，tan （α+β）=13，则tanβ＝（ ） A ．16B ．−17C ．17D ．56【分析】由于β＝（α+β）﹣α，根据已知利用两角差的正切函数公式即可计算求解． 【解答】解：∵tanα=12，tan （α+β）=13，∴tanβ＝tan[（α+β）﹣α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=13−121+12×13=−17．故选：B ．【跟踪训练1-2】（（2020春•南阳期末）sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝（ ） A ．0B ．12C ．√32D ．1【分析】由条件利用诱导公式、两角和的余弦公式，进行化简所给的式子，可得结果． 【解答】解：sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos15°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos （15°+45°）=12， 故选：B ．【跟踪训练1-3】（（2020春•宁波期末）sin 2π12=（ ） A ．2−√34B ．2+√34C ．34D ．14【分析】利用二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：sin 2π12=1−cos π62=1−√322=2−√34．故选：A ．【跟踪训练1-4】（（2020春•南充期末）若cosα=13，则cos2α＝（ ）A ．−79B ．−89C ．79D ．89【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求解． 【解答】解：∵cosα=13，∴cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×（13）2﹣1=−79．故选：A ．【跟踪训练1-5】（2020春•黄浦区期末）若tan2α=14，则tan （α+π4）+tan （α−π4）＝ ． 【分析】展开两角和与差的正切，整理后再由二倍角的正切得答案． 【解答】解：∵tan2α=14，∴tan （α+π4）+tan （α−π4）=tanα+tan π41−tanπtan π4+tanα−tan π41+tanαtan π4=1+tanα1−tanα+tanα−11+tanα=(1+tanα)2−(1−tanα)21−tan 2α=4tanα1−tan 2α=2tan2α=2×14=12． 故答案为：12．【跟踪训练1-6】（2020春•平谷区期末）2cos 215°﹣1等于 ． 【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得结果． 【解答】解：2cos 215°﹣1＝cos30°=√32，故答案为：√32． 【名师指导】应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”． (2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．题型2 三角函数公式的逆用与变形用【例2-1】（2020•重庆模拟）（1+tan19°）•（1+tan26°）＝ ． 【分析】先把所求展开，再根据两角和的正切即可求解结论． 【解答】解：因为（1+tan19°）•（1+tan26°） ＝1+tan19°+tan26°+tan19°tan26°＝1+tan （19°+26°）（1﹣tan19°tan26°）+tan19°tan26° ＝1+1﹣tan19°tan26°+tan19°tan26° ＝2； 故答案为：2．【例2-2】（2020春•开江县校级月考）已知cos(x −π6)=13，则cosx +cos(x −π3)=（ ） A ．√32B ．√3C ．12D ．√33【分析】由题意利用诱导公式、两角和差的三角公式，求得要求式子的值． 【解答】解：∵已知cos(x −π6)=13，∴cosx +cos(x −π3)=cos[（x −π3）+π3]+cos （x −π3） ＝cos （x −π3）cos π3−sin （x −π3）sin π3+cos （x −π3）=32cos （x −π3）−√32sin （x −π3）=√3cos[π6+（x −π3）]=√3cos （x −π6）=√3×13=√33， 故选：D ．【跟踪训练2-1】（2020•张家口二模）1−tan 2105°1+tan 2105°=（ ）A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32【分析】切化弦，易得原式为cos210°，进而利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解． 【解答】解：1−tan 2105°1+tan 2105°=cos 2105°−sin 2105°cos 2105°+sin 2105°=cos210°＝﹣cos30°=−√32．故选：D ．【跟踪训练2-2】（2019秋•武汉期末）化简√1−2sin(π−2)cos(π+2)的结果是（ ） A ．sin2+cos2B ．sin2﹣cos2C ．cos2﹣sin2D ．﹣sin2﹣cos2【分析】利用诱导公式变形，化为两数和的平方，开方得答案． 【解答】解：√=√ √sin 22+2sin2⋅cos2+cos 22=√(sin2+cos2)2 ＝|sin2+cos2|＝sin2+cos2． 故选：A ． 【名师指导】两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)． (3)倍角公式变形：降幂公式．题型3 角的变换与名的变换【例3-1】（2020春•宁波期末）设α，β∈（0，π），cosβ=−1213，cos α2=2√55，则cosα＝ ，tan （α+β）＝ ．【分析】利用余弦的倍角公式以及两角和差的正切公式进行计算即可． 【解答】解：cosα＝2cos 2α2−1＝2×（2√55）2﹣1=35，则α∈（0，π2）， 则sinα=45，tanα=43， ∵cosβ=−1213，∴sinβ=513，则tanβ=−512， 则tan （α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ=43−5121+43×512=48−1536+20=3356，故答案为：35，3356【例3-2】（2020春•城关区校级期末）若tanα＝3，则cos2α+3sin 2α＝ ．【分析】先利用余弦的二倍角公式将其化简，再利用同角三角函数的平方关系将分母的1用sin 2α+cos 2α代替，然后将分式的上下同除cosα后，可将原式转化为只含tanα的表达式，代入数据即可得解．【解答】解：cos2α+3sin 2α＝cos 2α﹣sin 2α+3sin 2α=cos 2α+2sin 2αsin 2α+cos 2α，两边同除cosα，原式=1+2tan 2αtan 2α+1=1+2×3232+1=1910． 故答案为：1910．【例3-3】（2020春•梧州期末）已知cos （π2+θ）=−√32，则cos2θ＝ ．【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得结果． 【解答】解：∵已知cos （π2+θ）=−√32=−sinθ，∴sinθ=√32，则cos2θ＝1﹣2sin 2θ＝1﹣2×34=−12，故答案为：−12．【跟踪训练3-1】（2020春•宁波期末）已知sin2θ=−34，则tanθ+1tanθ=（ ） A ．43B ．−43C ．83D ．−83【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式化简所求结合已知即可计算求解． 【解答】解：sin2θ=−34，则tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin 2θ+cos 2θsinθcosθ=112sin2θ=112×(−34)=−83． 故选：D ．【跟踪训练3-2】（2020春•广州期末）已知cos （α+π3）=13，则sin(π6−α)=（ ） A ．13B ．−13C ．2√23D ．±2√23 【分析】由角的转化可得π6−α=π2−（α+π3），进而可得sin （π6−α）＝sin[π2−（α+π3）]＝cos （α+π3）． 【解答】解：因为π6−α=π2−（α+π3），所以sin （π6−α）＝sin[π2−（α+π3）]＝cos （α+π3）=13，故选：A ．【跟踪训练3-3】（2020春•潍坊期末）已知cos(θ−π4)=7√210，则sin2θ＝（ ） A ．−2425B ．−1225C ．1225D ．2425【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦，求得要求式子的值． 【解答】解：由cos(θ−π4)=7√210，则sin2θ＝cos （2θ−π2）＝2cos 2(θ−π4)−1 ＝2×(7√210)2−1=2425， 故选：D ． 【名师指导】1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 3.三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．。

4.3 两角和与差、二倍角的公式（二）【知识点】 1.在公式S （α+β）、C （α+β）、T （α+β）中，当α=β时，就可得到公式S 2α、C 2α、T 2α，在公式S 2α、C 2α中角α没有限制在T 2α中，只有当α≠2πk +4π且α≠k π+2π时，公式才成立. 2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2α=cos 2α－sin 2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α.变形公式sin 2α=22cos 1α-，cos 2α=22cos 1α+.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用. 【基础类题目】 1.下列各式中，值为21的是 A.sin15°cos15°B.2cos 212π－1C.230cos 1︒+ D.︒-︒5.22tan 15.22tan 2解析：︒-︒5.22tan 15.22tan 2=21tan45°=21. 答案：D2．已知sin2θ+cos 2θ=332，那么sin θ的值为____________，cos2θ的值为____________.解析：由sin 2θ+cos 2θ=332，得1+sin θ=34，sin θ=31，cos2θ=1－2sin 2θ=1－2·91=97.答案：31 973．已知f （x ）=x -1，当θ∈（4π5，2π3）时，f （sin2θ）－f （－sin2θ）可化简为A.2sin θB.－2cos θC.－2sin θD.2cos θ解析：f （sin2θ）－f （－sin2θ）=θ2sin 1-－θ2sin 1+=｜sin θ－cos θ｜－｜sin θ+ cos θ｜.∵θ∈（4π5，2π3）， ∴－1＜sin θ＜－22＜cos θ＜0. ∴cos θ－sin θ＞0，cos θ+sin θ＜0.∴原式=cos θ－sin θ+cos θ+sin θ=2cos θ. 答案：D 4．已知sin （x －4π3）cos （x －4π）=－41，求cos4x 的值.剖析：4x 为2x 的二倍角，2x 为x 的二倍角. 解：由已知得sin （x －2π－4π）cos （x －4π）=－41，∴cos 2（x －4π）=41.∴sin2x =cos （2π－2x ）=2cos 2（4π－x ）－1=－87.∴cos4x =1－2sin 22x =1－6498=－3217. 5．若8cos （4π+α）cos （4π－α）=1，则sin 4α+cos 4α=_______. 解析：由已知得8sin （4π－α）cos （4π－α）=1， ∴4sin （2π－2α）=1.∴cos2α=41.sin 4α+cos 4α=（sin 2α+cos 2α）2－2sin 2αcos 2α=1－21sin 22α=1－21（1－cos 22α） =1－21（1－161）=1－21×1615=3217. 答案：32176．已知α为第二象限角，cos 2α+sin2α=－25，求sin 2α－cos 2α和sin2α+cos2α的值. 解：由cos 2α+sin2α=－25平方得 1+2sin2αcos2α=45， 即sin α=41，cos α=－415.此时k π+4π＜2α＜k π+2π.∵cos2α+sin2α=－25＜0， sin 2αcos 2α=81＞0， ∴cos 2α＜0，sin2α＜0.∴2α为第三象限角.∴2k π+4π5＜2α＜2k π+2π3，k ∈Z . ∴sin2α＜cos2α， 即sin2α－cos2α＜0.∴sin2α－cos2α=－αsin 1-=－23， sin2α+cos2α=2sin αcos α+1－2sin 2α=8157-. 评述：由三角函数值判断2α的范围是关键.【提高类题目】7．若tan x =2，则xx x xcos sin 1sin 2cos 22+--=_______. 解析：原式=x x x x sin cos sin cos +-=x x tan 1tan 1+-=2121+-=1212--）（=22－3.答案：22－3 8．已知0＜α＜2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin （α－3π）的值. 解：由已知tan 2α+cot2α=αsin 2=25，得sin α=54.∵0＜α＜2π，∴cos α=α2sin 1-=53.从而sin （α－3π）=sin α·cos 3π－cos α·sin 3π=54×21－53×23=101（4－33）.9．设a =sin14°+cos14°，b =sin16°+cos16°，c =66，则a 、b 、c 的大小关系是 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c解析：a =2sin59°，c =2sin60°，b =2sin61°，∴a ＜c ＜b . 答案：B10．若f （tan x ）=sin2x ，则f （－1）的值是 A.－sin2B.－1C.21 D.1解析：f （－1）=f ［tan （－4π）］=－sin 2π=－1. 答案：B11．化简xx x x x 2sin 1cos sin 1cos sin ））（（+--+.解：原式=xxx x x 2sin 12sin 21sin 12sin 21sin 22））（（++---+=xxx xx x x x x cos 2cos 2sin 42sin 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 222））（（+- =xxxx x x x cos 2cos 2sin2sin 2cos 2sin 2cos ⋅+-））（（ =x x x x x cos 2cos 2sin 2sin 2cos 22⋅-）（=xx xx cos 2cos 2sincos ⋅⋅=tan 2x . 12．化简8sin 1-=_________.解析：8sin 1-=24cos 4sin ）（-=|sin4－cos4|=sin4－cos4.答案：sin4－cos4 13．已知sin （4π－x ）=135，0＜x ＜4π，求）（x x +4cos 2cos 的值.分析：角之间的关系：（4π－x ）+（4π+x ）=2π及2π－2x =2（4π－x ），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：∵（4π－x ）+（4π+x ）=2π， ∴cos （4π+x ）=sin （4π－x ）. 又cos2x =sin （2π－2x ） =sin2（4π－x ）=2sin （4π－x ）cos （4π－x ）， ∴）（x x +4πcos 2cos =2cos （4π－x ）=2×1312=1324.14．已知sin2α=53，α∈（4π5，2π3）. （1）求cos α的值；（2）求满足sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－1010的锐角x . 解：（1）因为4π5＜α＜2π3， 所以2π5＜2α＜3π. 所以cos2α=－α2sin 12-=－54.由cos2α=2cos 2α－1，所以cos α=－1010. （2）因为sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－1010， 所以2cos α（1－sin x ）=－1010. 所以sin x =21. 因为x 为锐角，所以x =6π. 15．已知tan （4π+α）=2，求： （1）tan α的值；（2）sin2α+sin 2α+cos 2α的值.（1）解：tan （4π+α）=ααtan tan 1-1+=2，∴tan α=31.（2）解法一：sin2α+sin 2α+cos2α=sin2α+sin 2α+cos 2α－sin 2α =2sin αcos α+cos 2α =1+ααα2cos cos sin 2=ααααα222cos sin cos cos sin 2++ =1+1+αα2tan tan 2=23.解法二：sin2α+sin 2α+cos2α=sin2α+sin 2α+cos 2α－sin 2α =2sin αcos α+cos 2α.①∵tan α=31，∴α为第一象限或第三象限角.当α为第一象限角时，sin α=101，cos α=103，代入①得2sin αcos α+cos 2α=23； 当α为第三象限角时，sin α=－101，cos α=－103，代入①得2sin αcos α+cos 2α=23. 综上所述sin2α+sin 2α+cos2α=23. 16．设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos （α+β）. 剖析：2βα+=（α－2β）－（2α－β）.依上述角之间的关系便可求之. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2π. 故由cos （α－2β）=－91，得sin （α－2β）=954.由sin （2α－β）=32，得cos （2α－β）=35.∴cos （2βα+）=cos ［（α－2β）－（2α－β）］=…=2757. ∴cos （α+β）=2cos 22βα+－1=…=－729239.评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换.17．tan15°+cot15°等于A.2B.2+3C.4D.334 解析一：tan15°+cot15°=︒︒15cos 15sin +︒︒15sin 15cos =︒︒︒+︒15sin 15cos 15cos 15sin 22=︒⋅30sin 211=4.解析二：由tan15°=tan （45°－30°）=︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan =331331+-=3333+-. ∴原式=3333+-+3333-+=4.答案：C【拓展类题目】 【万能公式】 18．若cos α=53，且α∈（0，2π），则tan 2α=____________. 解析一：由cos α=53，α∈（0，2π），得sin α=α2cos 1-=54， tan 2α=2cos2sinαα=2cos 2sin 22sin 22ααα=ααsin cos 1-=54531-=21. 解析二：tan 2α=ααcos cos 1+1-=531531+-=21. 答案：21 【技巧之“1”的用法】 19．已知6sin 2α+sin αcos α－2cos 2α=0，α∈［2π，π），求sin （2α+3π）的值. 分析：本题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能. 解法一：由已知得（3sin α+2cos α）（2sin α－cos α）=0⇔3sin α+2cos α=0或2sin α－cos α=0. 由已知条件可知cos α≠0，所以α≠2π，即α∈（2π，π）. 于是tan α＜0，∴tan α=－32. sin （2α+3π）=sin2αcos 3π+cos2αsin 3π =sin αcos α+23（cos 2α－sin 2α） =αααα22sin cos cos sin ++23×αααα2222sin cos sin cos +-=αα2tan tan +1+23×αα22tan tan 1+1-. 将tan α=32代入上式得 sin （2α+3π）=232132）（）（-+-+23×22321321）（）（-+--=－136+3265，即为所求. 解法二：由已知条件可知cos α≠0，则α≠2π， ∴原式可化为6tan 2α+tan α－2=0， 即（3tan α+2）（2tan α－1）=0.又∵α∈（2π，π）.∴tan α＜0，∴tan α=－32.下同解法一.。

答案 D 由cos +sin α= , 可得 cos α+ sin α+sin α= , 即 sin α+ cos α= , ∴ sin = , 即sin = , ∴sin =-sin =- .
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2-1 已知cos +sin α= ,则sin 的值是 ( ) A.- B. C. D.-
方法技巧 三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路 角的变换:明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角 与未知角),熟悉角的拆分与组合的技巧,半角与倍角的相互转化,如:2α= (α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,40°=60°-20°, + = , =2× 等. 名的变换:明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、 诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.
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1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
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cos2α=⑩ ,sin2α= ;
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1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= ( ) A.- B. C.- D.
02
03
已知sin(α-kπ)= (k∈Z),则cos 2α的值为 ( ) A. B.- C. D.-
A
若tan = ,则tan α= .
.
考点突破
典例1 (1)已知sin =cos ,则tan α= ( ) A.-1 B.0 C. D.1 (2)(2017课标全国Ⅰ,15,5分)已知α∈ ,tan α=2,则cos = (3)设sin 2α=-sin α,α∈ ,则tan 2α的值是 .

第十八讲 两角和与差及二倍角公式班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.45解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝45 3∴32cos α＋32sin α＝453，3⎝⎛⎭⎫12cos α＋32sin α＝453，3⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－45.答案：C2．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值是( ) A.2＋33 B ．－2＋33 C.2－33 D.－2＋33解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.而sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－13＝23， 所以原式＝－33－23＝－2＋33.答案：B3．若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β为锐角，则α＋β的值为() A ．－π4 B.π4C ．±π4 D.π3解析：解法一：依题意有cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255， cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010， ∴cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝22＞0. ∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4. 解法二：∵α，β都是锐角，且sin α＝55＜22， sin β＝1010＜22， ∴0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π2， ∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255， cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010， sin(α＋β)＝55×31010＋1010×255＝22. ∴α＋β＝π4. 答案：B 4．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( ) A.1665 B.5665C.1665或5665D ．－1665 解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cos A ＝45＞0，cos B ＝513＞0，得0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，从而sin A ＝35，sin B ＝1213， 所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 答案：A5．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±3解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3. 答案：D评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．6．(2011·海口质检)在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7.2cos10°－sin20°sin70°的值是________． 解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案： 38．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α(α∈⎝⎛⎭⎫0，π4)＝________. 解析：∵cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α－sin 2α22(sin α＋cos α) ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α) ＝2(cos α－sin α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则π4－α∈⎝⎛⎭⎫0，π4.由cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝513. ∴原式＝1013. 答案：10139．(1＋3tan10°)·cos40°＝________.解析：(1＋3tan10°)cos40°＝⎝⎛⎭⎫1＋3sin10°cos10°cos40° ＝3sin10°＋cos10°cos10°·cos40° ＝2sin(10°＋30°)cos10°·cos40° ＝2sin40°cos40°cos10°＝sin80°cos10°＝1. 答案：110．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵α、β均为锐角 ∴sin β＋cos β≠0，必有cos α＝sin α∴α＝π4. 答案：π4三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：由已知得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角， ∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55. ∴tan α＝7，tan β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan α·tan2β＝7＋431－7×43＝－1. ∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4. 12．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2. (1)求tan2α的值；(2)求β的值．分析：由已知可求sin α，进而可求tan α，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cos β.解：(1)由cos α＝17，0<α<π2， 得sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫172＝437. ∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3. 于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝3314由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. 所以β＝π3. 13．已知0<β<π4<α<34π，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值． 解：∵π4<α<3π4， ∴－3π4<－α<－π4，－π2<π4－α<0. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－45. 又∵0<β<π4，∴3π4<3π4＋β<π. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋β－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋βcos ⎝⎛⎭⎫π4－α－sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋βsin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－⎝⎛⎭⎫－1213×35－513×⎝⎛⎭⎫－45 ＝3665＋2065＝5665. 评析：三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的配角技巧α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α.。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z .两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.考点一 三角函数公式的直接应用[典例] (1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－229B ．－429C.229D.429[解析] (1)因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.[答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________． 解析：因为sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350. 答案：－24＋7350考点二 三角函数公式的逆用与变形用[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋ 3 t an 25°·tan 35°＝ 3 (1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3. [答案] (1)－12 (2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； 1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22； sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22 (sin 56°－cos 56°)＝22 s in 56°－22 c os 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 答案：453.化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45， 得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案] －5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210，∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝45. 3．已知sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π， ∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A.3 B.2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin2α＝－1718.6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________． 解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cosαsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－1 11．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13. (1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. B 级1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ， 又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14， ∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157. 答案：157 2．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝________. 解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35， 所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π， 所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45， 可得cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－2425×⎝⎛⎭⎫－45＋725×35＝117125. 答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725， 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.。