两角和与差及二倍角公式讲义

《两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式》说课稿教材分析：1.教材的地位和作用：这是一节高三复习课，教材是高中数学新课程人教A 版（必修4），教辅是《世纪金榜》。

这一节的公式在三角函数里的比重很大，是进行三角恒等变换的重要公式，它们与诱导公式，同角三角函数公式一起组成了三角函数的主要公式。

2.教学重点与难点：（1） 重点：两角和与差、二倍角公式的正用、逆用和变用（2） 难点：“辅助角公式”，即形如)sin(cos .sin .22βααα++=+b a b a 的化简;“角的变换”，即用“已知角”表示“所求角”,要注意角的变换技巧和角的范围；当角的关系比较复杂时不仅要用“和、差、倍”公式，还要先用到诱导公式。

学情分析：这些学生大部分基础不够好，学习态度也不够积极，自主学习的意识和能力较弱，知识遗忘率高，只有小部分学生基础较好，但是动手解题能力也很弱。

教学目标：（1） 知识与技能目标：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式的正用、逆用和变形使用，会用公式进行三角函数式的化简与求值。

（2） 过程与方法目标：通过提问、引导，调动学生的思维；通过归纳，明确解题方法。

（3） 情感、态度与价值观目标：通过公式之间角与角的关系，认识到事物是普遍联系的；教学方法：基于学情分析，应从细节入手，主要采用引导，提示，归纳，讲练结合的方法。

学法指导：从公式特征和题目特征选取适当的公式；有时要切化弦；注意观察所求角与已知角的关系。

教学过程：一.复习引入：通过提问)cos(βα-公式,开门见山的引入到公式的复习当中.二.复习公式：两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式及变形公式 和 “辅助角公式” 用小黑板展示所有公式，讲解公式时要体现公式之间的联系，比如，二倍角倍受公式可以在两角和的公式中令αβ=而得到.一边讲解公式的特征，帮助记忆，一边通过6道简单示例帮助理解。

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式βαβαβαβαsin sin cos cos )cos(:)( =±±Cβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(:)(±=±±Sβαβαβαβαtan .tan 1tan tan )tan(:)( ±=±±T （Z ∉+≠±k k ,2,,ππβαβα） 简单示例: 000028sin 32sin 28cos 32cos -=21)2832cos(00=+ 2．二倍角公式α2S : αααcos sin 22sin =αααααα22222sin 211cos 2sin cos 2cos :-=-=-=C αααα22tan 1tan 22tan :-=T （Z ∉+≠k k ,22,ππαα） 简单示例: (1)0015cos 15sin = 4130sin 210= (2)112cos 22-π= 236cos =π(3)005.22tan 15.22tan -= =tan450=1 3．变形公式：正切和(或差)：βαtan tan ±=)tan(βα±.(βαtan .tan 1 )降次扩角：22cos 1sin 2αα-=， 22cos 1cos 2αα+=, 简单示例: )28tan 1)(17tan 1(00++=000028tan .17tan 28tan 17tan 1+++=1+00000028tan .17tan )28tan .17tan 1).(2817tan(+-+=24.形如ααcos sin b a +的化简(“辅助角公式”)ααcos sin b a +=)sin(22βα++b a ，其中22cos b a a+=β， 22sin b a b +=β简单示例: 12cos π +3sin 12π=224sin 2)126sin(==+πππ 三．例题讲解通过两道例题来讲解公式的应用：例1.求下列各式的值：(1)0000167cos 43sin 77cos 43cos + (2) 0015cot 15tan + (3) 000040tan .20tan .340tan 20tan ++ (4) 12sin π+ cos12π 设计意图：让学生初步熟悉公式，掌握“和、差、倍公式”的逆用和变用。

3.3 两角和与差及二倍角公式（答案）3.3 两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回顾】1．两角和与差的三角函数sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。

sin2α= ；cos2α= = =tan 2α= 。

3．降幂公式2sin α= ； 2cos α= .注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用4．辅助角公式证明：)sin cos x x y x x +=+=sin sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+其中，cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。

5.公式的使用技巧（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++ （2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin 1,tan124ππ==（3）收缩代换：sin cos y x x =+=)x ϕ+，（其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=---如：tan 95tan 3595tan 35-=oooo。

5.两角和与差、二倍角公式一、相关概念及知识点 1.两角和与差的三角函数()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ ()βαβαβαs in c o sc o s s in s in -=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()βαβαβαs in s in c o s c o s c o s+=- 2.二倍角公式： αααcos sin 22sin =22222cos sin12sin 2cos 11tan cos22tan tan2αααααααα-=-=--==以下公式不作要求 3. 半角公式2cos 12sin αα-±=2c o s 12c o s αα+±=t a n 2α=ααααs in c o s 1c o s 1s in -=+4. 万能公式：22tan 2sin 1tan 2ααα=+ 221t a n 2c o s 1t a n 2ααα-=+22t a n 2t a n 1t a n 2ααα=-5. 积化和差：()()[]βαβαβα-++=sin sin 21c o s sin ()()[]βαβαβα--+=s in s in 21s in c o s ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=c o s c o s 21s in s in 6. 和差化积：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2c o s 2s in 2s in s in y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2s in 2c o s 2s in s in y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2cos 2cos 2cos cos y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-2s in 2s in 2c o s c o s y x y x y x重要结论：1．sin α±cos α)4πα±．sin()2.tan tan tan()(1tan tan )cos cos αβαβαβαβαβ±±=±=3．a sin α＋b cos α（α＋φ（α－φ1），． 4．tan α＋cot α＝sec α·csc α＝2sin 2α． 5．tan α－cot α＝－2ctg2α．6．cot α±cot β＝sin()sin sin βααβ±． 7．(sin α±cos α)2＝1±sin2α.8．21cos sin 22αα-=. 9．21cos cos 22αα+= .10.αααααcos3cos 43cos ,sin 4sin 33sin 33-=-= 11.1tan tan().1tan 4απαα±=± 二、重点难点两角和与差、二倍角公式三、课前预习1、下列各式中，值为12的是 （ ） A 、1515sin cosB 、221212cossin ππ- C 、22251225tan .tan .-D2、命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 （ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 3、若02πβα<<<且45513cos(),sin()αβαβ+=-=，那么2cos α的值是（ ） A 、6365 B 、6365- C 、3365 D 、5665或1365-4、已知,αβ为锐角且cos αβ==，则αβ+的值等于＿＿＿＿。

两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回顾】1．两角和与差的三角函数sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。

sin 2α= ；cos 2α= = =tan 2α= 。

3．降幂公式2sin α= ； 2cos α= .注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用 4．辅助角公式证明：)sin cos x x y x x +=+=sin sin cos )x x ϕϕ=+)x ϕ=+ 其中，cos ϕ=，sin ϕ=，tan b aϕ=且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。

5.公式的使用技巧（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++（2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin1,tan 124ππ== （3）收缩代换：sin cos y x x =+=)x ϕ+，（其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形： tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=--- 如：tan95tan353tan95tan35--= 。

3sin 17°＝12.
②解：因为 tan 60°＝tan(25°＋35°)＝1t－ant2an5°2＋5°ttaann3355°°＝ 3，
则原式＝ 3(1－tan 25°tan 35°)＋ 3tan 25°·tan 35°＝ 3.
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
答案：12
【题后反思】公式的一些常用变形
①1±sin α＝sin
α 2±cos
α22；
②sin 2α＝s2ins2inα＋αccoossα2α＝ta2nt2aαn＋α 1；
③cos2α＝ccooss22αα＋－ssiinn22αα＝11＋－ttaann22αα；
④tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). ⑤sin αcos β＝21[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； sin αsin β＝12[cos (α－β)－cos (α＋β)]； cos αcos β＝12[cos (α－β)＋cos (α＋β)]；
【变式训练】
1.(2022 年全国Ⅱ卷)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos α＋π4sin β，
Байду номын сангаас则( )
A.tan(α－β)＝1
B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1
D.tan(α＋β)＝－1
解析：由题意可得，sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
答案：B
(2)(2023 年宿迁市校级月考)计算下列各式的值：
①2sin
47°－ 2cos
3sin 17°

＝cos 75°＋sin 75°＝ 2cos(75°－45°)
＝
6 2.
答案：
6 2
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考点一 三角函数公式的直接应用
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[典例] (1)已知 sin α＝35，α∈π2，π，tan β＝－12，则 tan(α－β)
的值为
()
A．－121
B．121
C．121
D．－121
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ) 其中sin φ＝ a2b＋b2，cos φ＝ a2a＋b2.
()
A．－
3 2
B．
3 2
C．－12
D．12
解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝
sin 30°＝12.
答案：D
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3．设角 θ 的终边过点(2,3)，则 tanθ－π4＝
()
A．15
B．－15
C．5
D．－5
解析：由于角 θ 的终边过点(2,3)，因此 tan θ＝32，故 tanθ－π4
第五 节
两角和与差的正弦、余弦 和正切公式及二倍角公式
课前自修区
基础相对薄弱，一轮复习更需重视
基础知识的强化和落实
课堂讲练区
考点不宜整合太大，挖掘过深
否则会挫伤学习的积极性
课时跟踪检测
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,0 , 2 2
例2

求 c o s .
二、公式逆用
例 3 cos15 － sin15 求 的 值 cos15 ＋ sin15
例 4 已 知 tan tan tan tan tan 3 , 4
两角和与差及二倍角 公式
阅读教材第119页， Cα＋β的推导，做好 填空题
重点公式
s i n s i n c o s c o s s i n c o s c o s c o ss i n s i n
（一）两角和与差公式
s i n 2 2 s i n c o s 2 2 cos2 cos sin t a n 2
求
五.给式求值
例4:P已知a为第二象限角,且
5 c o s s i n 求 s i n c o s
2 2 2 2 2
和sin2a+cos2a的值
“给式求值”:注意到公式中的特 点用解方程组的方法得到。
1 1 练习:已知 sin( ) , sin( ) 3 求tanα :tanβ 的值。 2
2 ,

一、公式的直接应用
例1、求值:
1sin300
π 3 知 α∈ （，） 0 ， sin α＝ ， 2已 2 5 π 求 tan （ α＋ ） 的 值 4
1 2 设 c o s , s i n , 2 3 2 9
cos 0,求sin 3 的 值
三、公式的变形应用
例5 tan 10 － 3 计算 csc40
四、给式求角问题
例 5 (成 才 之 路 1 2 4 页 变 式 训 练 )

第20讲 简单的三角恒等变换激活思维1. (人A 必一P219例4(1))sin72°cos42°－cos72°sin42°＝ 12 . 解析： sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝12.2. (人A 必一P217练习3)已知cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( D )A. －210 B. 7210 C. －71010D. 210解析： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45，因此cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45×22＝210. 3. (人A 必一P220练习5)设sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，且β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝ 10 .解析： 由sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，得sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.因为β是第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝7210.4. (人A 必一P223练习3改编)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( A )A. 17 B. 7 C. －17D. －7解析： 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，得tan α＝－34，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17.5. (人A 必一P223练习5改编)(多选)下列各式的值为22的是( BD ) A. sin π12cos π12B. cos 2π8－sin 2π8C.tan π81－tan 2π8D. 2cos 222.5°－1解析： 对于A ，sin π12cos π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝12sin π6＝14，不符合题意；对于B ，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22，符合题意；对于C ，tan π81－tan 2π8＝12tan⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＝12tan π4＝12，不符合题意；对于D,2cos 222.5°－1＝cos45°＝22，符合题意．基础回归1. 两角和、差公式(1) C (α∓β)：cos(α∓β)＝ cos αcos β±sin αsin β ； (2) S (α±β)：sin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β ； (3) T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝ 2sin αcos α ；cos2α＝ cos 2α－sin 2α ＝ 2cos 2α－1 ＝ 1－2sin 2α ； tan2α＝2tan α1－tan 2α.3. 辅助角公式函数y ＝a sin x ＋b cos x 可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式， a sin x ＋b cos xtan φ＝ba .4. 常用结论(1) tan α±tan β＝ tan(α±β)(1∓tan αtan β) ；(2) 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2； (3) 1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 第1课时 两角和与差的三角函数、二倍角公式举题说法和、差、倍角公式的直接应用例1 (1) tan18°＋tan12°＋33tan18°tan12°等于( D ) A. 3 B. 2 C. 22D. 33解析： 因为tan30°＝tan(18°＋12°)＝tan18°＋tan12°1－tan18°tan12°＝33，所以tan18°＋tan12°＝33(1－tan18°tan12°)，所以原式＝33.(2) (2022·湛江一模)已知cos α＝45，0<α<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( B )A. 210 B. 7210 C. －210D. －7210解析： 由cos α＝45，0<α<π2，得sin α＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝22×35＋22×45＝7210.解这类给值求值问题的关键是先分清S (α±β)，C (α±β)，T (α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的．此类题的解题方法可总结为“对照公式，缺什么求什么”．1. (2022·岳阳三模)1－2cos 267.5°等于( D ) A. －12 B. －22 C. －32D. 22解析： 由余弦的倍角公式可得1－2cos 267.5°＝－cos(2×67.5°)＝－cos135°＝22.2. (2022·扬州模拟)1－tan75°1＋tan75°＝ －3 .解析： 1－tan75°1＋tan75°＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°＝－tan(75°－45°)＝－tan30°＝－33.3. (2022·海南模拟)若sin α＝55，则cos(π－2α)等于( A ) A. －35 B. －25 C. 25D. 35解析： cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin 2α－1＝－35.4. 若tan α＝－23，tan β＝13，则sin(2α＋2β)等于( C ) A. －7130130 B. 11130130C. －3365D. 9130解析： 由tan α＝－23，知sin α＝－213，cos α＝313或sin α＝213，cos α＝－313，则sin2α＝2sin αcos α＝－2×213×313＝－1213，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±2132＝513.由tan β＝13，知sin β＝110，cos β＝310或sin β＝－110，cos β＝－310，则sin2β＝2sin βcos β＝2×110×310＝35，cos2β＝1－2sin 2β＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±1102＝45，则sin(2α＋2β)＝sin2αcos2β＋cos2αsin2β＝－1213×45＋513×35＝－3365.拆、配角问题例2 (1) (2022·烟台期末)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1010，则cos α的值为5 .解析： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α＋π4<3π4.又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1010，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝31010，所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1010＋31010＝255. (2) 已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α等于( B )A. 43＋310 B. 43－310 C.33＋410D. 33－410解析： 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35(α为锐角)，所以α＋π6为锐角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.1. 解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1) 当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2) 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2. 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．1. (2022·济南模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－32，则sin2α的值为( A ) A. 12 B. －12 C. 32D. －32解析： 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－32，所以sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－1＝12.2. (2022·株洲一模)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝55，则tan θ等于( C )A. 2B. 12 C. 3D. 13解析： 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则－π4<θ－π4<π4，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝255，所以sin θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋π4＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝31010，故cos θ＝1－sin 2θ＝1010，因此tan θ＝sin θcos θ＝3.3. 已知α，β为锐角，且cos (α＋β)＝1213，cos (2α＋β)＝35，那么cos α＝ 5665 . 解析： 因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，2α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π2.又cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.4. (2022·淄博期末)cos10°2sin10°－2cos 10°等于( A ) A. 32 B. 2 C. 3D. 2解析： cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－4sin10°cos10°2sin10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin (30°－10°)2sin10°＝cos10°－(cos10°－3sin10°)2sin10°＝32.随堂内化1. (2022·潮州期末)已知cos x ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 等于( A )A. －79 B. 79 C. －89D. 89解析： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos2x ＝2cos 2x －1＝2×19－1＝－79.2. (2022·惠州三模)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，63是角α的终边与单位圆的交点，则sin2α等于( C )A. 13 B. －13 C. －223D. 63解析： 由题知，由任意角三角函数的定义可得sin α＝63，cos α＝－33，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×63×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－223.3. (2022·衡阳一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝33，则cos2α等于( D )A. －79 B. －13 C. 13D. 79解析： 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝33，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13，即sin α＝13，从而得cos2α＝1－2sin 2α＝79.4. 已知sin β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝ －2 .解析： 因为sin β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos β＝－45.由sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，得25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.5. 计算：3cos15°－4sin 215°cos15°解析：3cos15°－4sin 215°cos15°＝3cos15°－2sin15°·2sin15°·cos15°＝3cos15°－2sin15°sin30°＝3cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝ 2.练案❶ 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》． 练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(分基础和提高两个版本)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考保分增效天天练》，成书可向当地发行咨询购买．。

解。
05 公式的应用举例
在三角形中的应用
已知两边及夹角求第三边
求三角形的面积
利用两角和与差的余弦公式，结合三 角形的边长和角度关系，可以求出第 三边的长度。
在已知三角形的三边长度时，可以利 用海伦公式结合两角和与差的三角函 数公式求出三角形的面积。
判断三角形的形状
通过比较三角形的三个内角的余弦值， 可以判断三角形的形状（锐角、直角 或钝角^circ - 45^circ) = cos30^circcos45^circ + sin30^circsin45^circ = frac{sqrt{3}}{2} times frac{sqrt{2}}{2} + frac{1}{2} times frac{sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$。
二倍角公式允许我们将一个 角的二倍角的三角函数表达 式化简为单角的三角函数表 达式，这在解决一些特定问 题时非常有用，如求某些特 殊角的三角函数值或证明某 些恒等式。
公式在三角恒等 式证明中的应用
两角和与差及二倍角公式在 三角恒等式的证明中扮演着 重要角色。通过使用这些公 式，我们可以将复杂的三角 函数表达式化简为更简单的 形式，从而更容易地证明恒 等式。
04 公式推导与证明
两角和与差公式的推导
利用三角函数的和差化积公式， 将两角和与差的三角函数表达式 转化为单个角的三角函数表达式。
通过三角函数的加减变换，得到 两角和与差的正弦、余弦公式。
结合三角函数的周期性，将公式 扩展到任意角。
二倍角公式的推导
利用三角函数的倍角公式，将 二倍角的三角函数表达式转化 为单个角的三角函数表达式。
三角函数的性质

§15.2 两角和、两角差与二倍角公式在诱导公式中，我们有sin(α+2π)=cos α，sin(π-α)=sin α 等等一批公式，公式中同一个三角函数符号下出现了两个角，其中一个角α可以任意，但另一个角2π,π等却是固定的．如果把另一个角改成也是可以任意的例如β，那么sin(α+β)、sin(α-β)等与α,β的三角函数之间会有联系吗？如果有联系，又是怎样的联系？一、两角和与差的余弦1、知识要点设角α的终边与单位圆的交点坐标为P (cos α,sin α)，角β的终边与单位圆的交点坐标为Q (cos β,sin β)．记 a=OP =(cos α,sin α)，b =OQ =(cos β,sin β), 则 a b =|a|⋅|b |cos(α-β)=cos(α-β)； 又应用向量数量积的坐标表示公式 a b=cos α cos β+ sin α sin β，所以cos(α-β)=cos α cos β+ sin α sin β (C α-β )（1）我们把C α-β叫做两角差的余弦公式．在C α-β 中用-β代替β，就可以得到cos(α+β)= cos [α-(-β)] =cos α cos(-β)+ sin α sin(-β)即 cos(α+β)= cos α cos β- sin α sin β． (C α+β )（2）把C α+β 叫做两角和的余弦公式． 2、例题分析例1 不查表，求cos105°及cos15°的值． 解 设法把105°,15°分解成已知三角函数值的特殊角的和或差，再应用C α-β 或C α+β ．cos105°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°=1222⋅=462-； cos15°=cos(45°-30°)= cos45°cos30°+sin45°sin30°12+=426+． 例2 已知cos α=-54, (2π<α<π)，求cos(6π-α), cos(6π+α)． 解 因为cos α＝--54，且2π<α<π，所以sin α=2)54(1--=53．cos(6π-α)=cos6πcos α+sin6πsin α413)525-+⋅=10343-； cos(6π+α)= cos6πcos α-sin6πsin α413)525--⋅=10343+-． 例3 利用公式C α+β 证明cos [α+(2k +1)π]=-cos α．证明 cos [α+(2k +1)π]=cos αcos(2k +1)π-sin αsin(2k +1)π=cos α(-1)-sin α⋅0=-cos α，所以原式成立． 3、课内练习1. 不查表，求下列三角函数的值： (1)cos75°； (2)cos(-15°)； (3)cos80°cos20°+sin80°sin20°；β)(4)cos20°cos25°-sin20°sin25°； (5)cos22.5°cos22.5°-sin22.5°sin22.5°； (6)cos 215°-sin 215°． 2．利用公式C α+β 、C α-β 证明(1)cos(α+2π)=-sin α； (2)cos(-α)=cos α．3．已知sin α=32,α (2π,π)，求cos(3π+α), cos(3π-α)． 4．已知sin α=1715, cos β=135-, α, β∈(2π,π)，求cos(α+β), cos(α-β)的值．二．两角和与差的正弦.1、知识要点有了C α+β 和C α-β的公式，自然会联想两角和与差的正弦公式如何？因为sin(α+β)=cos [2π-(α+β)]=cos [(2π-α)-β]=cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β=sin αcos β+cos αsin β即 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β． (S α+β)（1）我们把S α+β 叫做两角和的正弦公式．在两角和的正弦公式中，用(-β)代替β就可以得到 sin(α-β)=sin(α+(-β))=sin αcos(-β)+ cos αsin(-β)，即 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β． (S α-β)（2）我们把S α-β 叫做两角差的正弦公式． 2、例题分析例1 不查表，求sin75︒，sin15︒的值解 sin75︒=sin (45︒+30︒)=sin45︒⋅cos30︒+cos45︒⋅sin30︒=2322⋅ +2122⋅=426+；sin15︒=sin (45︒-30︒)=sin45︒⋅cos30︒-cos45︒⋅sin30︒=2322⋅ -2122⋅=426-．例2 已知向量OP =(3,4)，绕原点旋转45︒到P O '的位置(见图10-2)，求点P ’的坐标(x ’,y ’)． 解 设∠xOP =α．因为|OP |=2243+=5，所以cos α=53，sin α=54，x ’=5cos(α+45︒)=5(cos αcos45︒- sin αsin45︒)=5(53⨯22-54⨯22)=-22；y ’=5sin(α+45︒)=5(sin αcos45︒+ cos αsin45︒)=5(54⨯22+53⨯22)=227．所以 P ’( -22, 227)．3、课内练习1． 不查表，求下列各式的值(1)sin105︒； (2)sin165︒； (3)sin(-125π)； (4)sin13︒cos17︒+cos13︒sin17︒； (5)sin70︒cos25︒-sin25︒cos70︒．2. 化简(1)sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin α； (2)sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β．图10-2• yxαPO•P ' 45︒3．已知sin α=1715,α∈(2π,π)，求sin(3π+α), sin(3π-α)．4．已知sin α=32, cos β=-43，且α, β都是第二象限的角，求sin(α+β), sin(α-β)．5．向量OP =(4,3)绕原点旋转60︒, 120︒, -60︒到1OP ,2OP ,3OP 的位置，求点P 1,P 2,P 3的坐标．三．两角和与差的正切1、知识要点根据同角三角函数的关系：tan(α+β)=)cos()sin(βαβα++，得tan(α+β)=βαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin -+；分子、分母同除以cos αcos β, (cos αcos β)≠0)， 则tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+． (T α+β )（1）我们把T α+β 叫做两角和的正切．在T α+β 中用-β代替β，并用负角公式tan(-x)=-tanx ，就可以得到tan(α-β)=βαβαtan tan tan tan ⋅+-1． (T α-β )（2）我们把T α-β 叫做两角差的正切． 2、例题分析例1 不查表，求下列各式的值(1)tan75︒； (2)︒︒︒+︒34tan 71tan -134tan 71tan ．解 (1) tan75︒= tan (45︒+30︒)=︒⋅︒︒+︒30tan 45tan -130tan 45tan =3333-+=2+3；(2)︒︒︒+︒34tan 71tan -134tan 71tan =tan(17︒+43︒)= tan60︒=3例2 不查表，求下列各式的值(1)151151tan tan -+； (2)tan23︒+tan22︒+tan23︒tan22︒． 解 (1)︒-︒+15tan 115tan 1=︒︒-︒+︒15tan 45tan 115tan 45tan =tan (45︒+15︒)=tan60︒=3；(2)因为tan(23︒+22︒)=︒︒+︒+︒22tan 32tan 122tan 32tan ，所以tan23︒+tan22︒=tan(23︒+22︒)(1- tan23︒tan22︒)，原式=tan45︒ (1-tan23︒tan22︒)+tan23︒tan22︒=1-tan23︒ tan22︒+ tan23︒ tan22︒ =1． 3、课内练习1. 不查表，求下列各式的值：(1)tan15︒； (2)tan105︒； (3)︒︒-︒+︒33tan 21tan 133tan 21tan ； (4)3tan125tan 13tan 125tanππππ-+． 2. 已知tan x =2, tan y =51，求tan (x +y ),tan (x -y )． 3. 不查表，求下列各式的值(1)︒+︒-75tan 175tan 1； (2)tan17︒ +tan43︒+3tan17︒ tan43︒．4. 求证(1)θθtan 1tan 1+-=tan(θπ-4)； (2)θθtan 1tan 1-+=tan(θπ+4)． 5. 已知tan α=52，tan β=73，求tan(α+β)． 6. 已知tan α=23，tan β=53，求tan(α-β)．四．倍角公式1、知识要点在和角公式S α+β , C α+β , T α+β 中，取β=α，就可得出相应的二倍角的三角函数公式： （1）sin2α=2sin αcos α； (S 2α ) （2）cos2α=cos 2α-sin 2α=2 cos 2α-1=1-2 sin 2α； (C 2α )（3）t a n2α=αα2tan -12tan ． (T 2α ) 2、例题分析例1 已知sin α=135, α∈(2π,π)，求sin2α, cos2α, tan2α的值．解 因为sin α=135, α∈(2π,π)，所以cos α=-α2sin 1-=-2)135(1-=-1312．sin2α=2sin αcos α=2⨯135⨯(-1312)=-169120；cos2α=cos 2α-sin 2α=(-1312)2-(135)2=169119； tan2α=αα2cos 2sin =-169120÷169119=-119120．例2 证明恒等式θθθθθθtan cos sin 22cos 2sin 2sin 2=+++． 证明 左边=θθθθθθθcos sin 2)sin (cos 2sin cos sin 2222++-+=)1cos 2(cos )1cos 2(sin ++θθθθ=θtan =右边．所以原式成立．例3 证明sin50︒(1+3tan10︒)=1．证明 左边=sin50︒(1+10cos 10sin 3)=sin50︒ 10cos 10sin 310cos + =2sin50︒1010102321cos sin cos +=2 sin50︒10cos 10sin 30cos 10cos 30sin + =2sin50︒ 10cos 40sin = 10cos 50cos 50sin 2=10cos 100sin =10cos 10cos =1=右边．所以原式成立． 在例10的证明过程中，使用了正弦函数的和角公式、倍角公式，两次应用了诱导公式，还使用了分子、分母同除以2的技巧，其目的是要把看似互不关联的三角函数值关联起来，应用已知公式予以简化，达到证明的目的．可见熟悉公式并灵活应用的重要性．3、课内练习1． 不查表，求下列各式的值：(1)2sin67°30cos67°30'； (2)cos 28π-sin 28π； (3)2cos 212π-1；(4)1-2sin 275°；(5)5.22tan 15.22tan 22-； (6)sin15°cos15°． 2．化简下列各式：(1)(sin α-cos α)2； (2)sin 2θcos 2θ； (3)cos 4ϕ-sin 4ϕ； (4)θθtan 11tan 11+--． 3．已知sin α=0.8，α∈(0, π)，求cos2α，sin2α．4．已知cos α=1312-，α∈(2π,π)，求cos2α，sin2α．5．已知tan α=21，求tan2α．6．证明下列恒等式：(1)2sin (π-α)cos (π+α)=-sin2α； (2)1+2cos 2θ-cos2θ=2； (3)αααsin 2sin 2cos 1=-； (4)ααα2tan 2cos 12cos 1=+-．五、和、差、倍角公式的综合应用1、知识要点（1）两角和与差的三角函数的简单应用应用三角函数的和差角公式和倍角公式，为许多数学问题和实际问题的解决，提供了有力的工具．（2）三角函数式的变形 三角式化简、求值及三角恒等式证明中，主要手段是对三角函数式作各种变形，使之或简单或易于求值或与另一种形式相等．三角函数的和差角公式、倍角公式本身就是一种变形，因此在上述各类问题讨论中有广泛应用．下面将通过一些例子来看一下具体问题中是如何灵活应用的．2、例题分析例1 应用三角函数的和差角公式导出三角函数诱导公式．解 只要取和差角公式中两角之一为诱导公式中的特殊角，就能导出所有的诱导公式．下面挑选几个予以证明，类似可以证明其余．(1)sin(π-α)=sin πcos α-cos πsin α=0⋅cos α-(-1)sin α=sin α； (2)cos(π-α)=cos πcos α+sin πsin α=(-1) cos α+0⋅sin α=-cos α； (3)cos(2π+α)=cos 2πcos α-sin 2πsin α0⋅cos α-1⋅sin α=-sin α．例2 求函数y =sin x +cos x 的最大值和最小值，并判断它是否是周期函数．解 y =sin x +cos x =2(21 sin x +21cos x )=2(sin x cos4π+ cos x sin 4π)=2sin(x +4π). 当x +4π=2π+2k π (k ∈Z )，即x =4π+2k π, (k ∈Z )时，y 达到最大y max =2；当x +4π=-2π+2k π(k ∈Z )，即x =-43π+2k π, (k ∈Z )时，y 达到最小y min =-2 因为sin(x +4π)是以2π为周期的周期函数，所以y =sin x +cos x 是周期是2π的周期函数．例3 如图2三个相同的正方形相接，求证α+β=4π．证明 如图2易知tan α=21, tan β=31，且α,β∈(0,2π)．tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=312113121⨯-+=1，因为α,β∈(0,2π)，所以α+β∈(0, π)．在区间(0,π)内，正切值为1的角只有1个，即tan4π=1，所以α+β=4π．例4 求cos20°cos40°cos80°的值．解一 由sin2α=2sin αcos α，得cos α=ααsin 22sin ．分别应用于原式中三个因子，得cos20°cos40°cos80°=︒︒20sin 240sin ⋅︒︒40sin 280sin ⋅︒︒80sin 2160sin =︒︒20sin 8160sin =81．解二 将所求式的分子分母同乘以23sin20°，逐次应用S 2α ，原式=︒︒︒︒︒20sin 280cos 40cos 20cos 20sin 233=︒︒︒︒20sin 280cos 40cos 40sin 232=︒︒︒20sin 280cos 80sin 23=︒︒20sin 8160sin =81． 例5 已知2π<β<α<43π，cos(α-β)=1312，sin(α+β)=-53，求sin2α． 分析 2α=(α-β)+(α+β)， sin2α=sin [(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)．解 由2π<β<α<43π，知π<α+β<23π，0<α-β<4π，所以 sin(α-β)=)(cos 12βα--=2)1312(1-=135；cos(α+β)=-)(sin 12βα+-=-2)53(1--=-54， 故 sin2α= sin(α+β)cos(α-β)+ cos(α+β)sin(α-β)=-135)54(131253⨯-+⨯=6556-．例6 不查表，求︒-︒10sec 2310csc 21的值．解 原式=︒-︒10cos 2310sin 21=︒︒︒-︒10cos 10sin 210sin 310cos =︒︒-︒20sin )1030sin(2=︒︒20sin 20sin 2=2． 切割化弦(把正切、余切、正割、余割函数化为正弦或余弦函数表示)，使函数名得到统一，是化简三角式中常用手段；遇到三角式a sin α+b cos α时，常用技巧是a sin α+b cos α=2222b a b a b a ++⋅+ααcos sin ，进而简化为22b a +cos(α+ϕ)或22b a +sin(α+ϕ)．例7 若α, β均为锐角，且cos α=552，cos β=10103，求α+β的值． 分析 求α+β的值，一般可先求(α+β)的三角函数值．解 因为α、β均为锐角，所以图2 αβsin α=α2cos 1-=2)552(1-=55，sin β=β2cos 1-=2)10103(1-=1010，cos(α+β)=cos α cos β- sin α sin β=因为0<α+β<π，所以α+β=4π．例8 在斜∆ABC 中，求证：tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ．分析 因为A ,B ,C 为三角形内角，有A +B +C =π，A +B =π-C ，考虑选用两角和的正切公式． 证明 因为A ,B ,C 为三角形内角，有A +B +C =π, A +B =π-C ，且A ,B ,A +B 都不等于π，所以 tan(A +B )=tan(π-C )，即BA B A tan tan 1tan tan -+=-tan C ．所以tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ．3、课内练习 1．不查表，求值(1)cos65°sin70°+sin65°sin20°； (2)︒-︒5.22tan 15.22tan 2； (3)1-22cos 8π； (4)sin40°(tan10°-3)； (5)cos 10°cos20°cos40°．2．已知α+β=4π，求(1+tan α)(1+tan β)的值．3．已知tan(α+β)=52, tan(β-4π)=41，求tan(α+4π)的值．4．若α, β是锐角，且满足cos α=54, cos(α+β)=53，求sin β的值．5．已知sin α=53, α∈(2π,π), tan(π-β)=21，求tan(α-2β)的值．6．已知α, β是锐角，且tan α, tan β是方程6x 2-5x +1=0的两个根，求α+β的值． 7．求证：(1)sin2x (cot2x -tan 2x)=4cos 2x ； (2)2sin(2π+x )cos(2π-x )cos α+(2cos 2x -1)sin α=sin(2x +α)．8.求下列函数的最小值和最大值： (1)y =x x sin cos 2123-； (2)y =2(sin x -cos x )． 9．如图在ΔABC 中，AD ⊥BC 垂足为D ，BD :DC :AD =2:3:6,求∠BAC ． 10．已知等腰三角形的顶角的余弦等于257，求它底角的正弦、余弦和正切．第9题图AB§15.2 知 识 体 系一、三角化简变换：1、同角变换：①1cos sin 22=+αα， ②1cot tan =⋅αα， ③αααcos sin tan =2、负角变换：①ααsin )sin(-=-， ②ααcos )cos(=-， ③ααtan tan(-=-）3、余角变换：①ααπcos )2sin(=±， ②ααπsin )2cos( =±， ③ααπcot )2tan( =±4、平角变换：①ααπsin )sin( =±， ②ααπcos )cos(-=±， ③ααπtan )tan(±=±5、周期变换：①ααπsin )2sin(±=±，②ααπcos )2cos(±=±，③ααπtan )tan(±=± 二、两角和公式1、两角和的正弦： βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+；2、两角和的余弦：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+；3、两角和的正切：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+。

第24课两角和与差公式及二倍角公式基础知识：1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式①()cos cos cos :(sin sin ) C αβαβαβαβ--+=；②()cos cos cos :(sin sin ) C αβαβαβαβ-=+＋③():sin sin cos o n )i (c s s S αβαβαβαβ-=-－；④()sin sin cos :(cos sin ) S αβαβαβαβ+=+＋⑤()()tan tan :tan 1tan tan T αβαβαβαβ---=+；⑥()()tan tan :tan 1tan tan T αβαβαβαβ+++=-(2)公式变形①(tan tan tan 1tan ta )()n αβαβαβ++-＝；②tan tan tan 1tan t ()n )(a αβαβαβ-=-+.2.二倍角公式(1)公式①sin 22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-.(2)公式变形①221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==；②()21sin 2sin cos ααα+=+，()21sin 2sin cos ααα-=-，sin cos 4αααπ⎛⎫±=± ⎪⎝⎭.一、典型例题1.若1sin ,3α=且ππ2α<<，则sin2α=（）.A. B. C. D.答案：B解析：∵1sin ,3α=且ππ2α<<，∴22cos 3α==-，∴1sin22sin cos 2339ααα⎛==⨯⨯-=- ⎝⎭，故选B.2.若1sin 33απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）.A.79 B.23 C.23- D.79-答案：D 解析：sin sin cos 3266αααπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，1cos 63απ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，217cos 2cos 22cos 12136699αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D.3.已知()()π3π123,cos ,sin 24135βααβαβ<<<-=+=-，则cos2α=__________.答案：3365-解析：∵π324βαπ<<<，()12cos 13αβ-=，()5sin 13αβ∴-==，()()34sin ,cos 55αβαβ+=-∴+==- ，则()()()()()()cos 2cos cos cos sin sin ααβαβαβαβαβαβ=++-=+--+-⎡⎤⎣⎦412533351313565⎛⎫=-⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭.二、课堂练习1.已知31tan(),tan()534αββπ+=-=，那么tan()3απ+的值为（）.A.318B.1323C.723 D.717答案：C解析：由31tan(),tan()534αββπ+=-=，知tan(tan[()(33ααββππ+=+--=31tan()tan(735431231tan()tan()1354αββαββπ+---==π++-+⨯，故选C.2.已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________.答案：12-解析：sin cos 1 αβ+=，22sin 2sin cos cos 1a a b b \++=，又cos sin 0 αβ+=，22cos 2cos sin sin 0a a b b \++=，两式相加可得22sin()1a b ++=，1sin()a b \+=-.3.记直线:210l x y -+=的倾斜角为α，则1tan2sin2αα+的值为________.答案：112-解析：∵直线:210l x y -+=的斜率为2，∴tan 2α=，∴22222sin cos 2tan 224sin2=sin cos 1tan 125ααααααα⨯===+++，222tan 224tan21tan 123ααα⨯===---，∴1541tan2sin24312αα+=-=-.三、课后作业1.若1sin 3α=，则cos2α=（）.A.89B.79 C.79- D.89-答案：B解析：227cos2α12sin 199α=-=-=，故选B.2.已知cos 63θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 26θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）.A.13 B.23 C.13- D.23-答案：C解析：由已知得221cos 22cos 116633θθ⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫+=+-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即1cos 233θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，1sin 2sin 2cos 262333θθθπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C.3.已知1sin 23α=，则2cos 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）.A.13 B.13- C.23 D.23-答案：C 解析：由降幂公式可得，21cos 21111124cos sin 242222233αααπ⎛⎫+- ⎪π⎛⎫⎝⎭-==+=+⨯= ⎪⎝⎭，故选C.4.已知0α<<π2β<，满足cos 5α=，sin 10β=，求αβ+的值（）.A.π4 B.π4或3π4 C.π2π4k + D.3π4答案：D解析：由题意得sin αβ==()cos αβ+=-，又0παβ<+<，所以3π4αβ+=，故选D.5.已知(),0,παβ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan2α的值为__________.答案：3356解析：()()()tan tan tan tan 1tan tan αββααββαββ-+=-+=⎡⎤⎣⎦--11325,1111125-==⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭22322tan 3311tan 2.1tan 563111ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭6.在ABC 中，已知()()212cos cos sin sin cos 22A B B A B B A C ---++=，（1）求角A ；（2）若π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()3sin 5A B -=，求sin B .答案：（1）π3A ∠=；（2）43310-解析：（1）由题可得，()()11cos cos sin sin cos 2AB B A B B B +----=⎡⎤⎣⎦，则()()1cos cos cos sin sin cos 2B A B B A B B B +----=，则1cos 2A =，∴π3A ∠=.（2）∵π3A ∠=，π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3sin 5A B -=，∴()4cos 5A B -=，∴()()()413sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B =--=---=-⨯=⎡⎤⎣⎦。

－23×12＋ 35× 23＝
15－2 6.
故选 D. 答案：D
(2)4sin 80°－csoins 1100°°＝(
A. 3
B.－ 3
) C. 2
D.2 3－3
解析：因
4sin
80°－csoins
1100°°＝4sin
80°sin10 °－cos sin 10°
10°＝
2sin
20°－cos sin 10°
10°＝2sin30°－sin101°0°－cos
【规律方法】三角函数的给角求值，关键是把待求角用已 知角表示：
①已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差； ②已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系” 或“互余、互补”的关系.
考点 2 给值求值问题 例 2：(1)(2016 年新课标Ⅰ)已知 θ 是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，则 tanθ－π4＝________.
1.两角和与差的三角函数
三角函数
两角和
正弦
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
余弦
cos(α＋β)＝_c_o_s_α__co_s__β_－__s_in__α_si_n__β_
正切
tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ
简写形式 Sα＋β Cα＋β
Tα＋β
(续表) 三角函数 正弦 余弦
考点 3 给值求角问题
例 3：已知 A，B 均为钝角，且 sin A＝ 55，sin B＝ 1100，求 A＋B 的值.
解：∵A，B 均为钝角，且 sin A＝ 55，sin B＝ 1100，
∴cos A＝－
1－sin2A＝－
2 ＝－2 5

三角和差公式与二倍角公式知识讲解一、两角和差公式1．两角和与差的余弦公式()C cos cos cos sin sin αβαβαβαβ--=+∶ ()C cos cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-∶教师内容：证法一：如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与β-，使角α的始边为Ox ，交O ⊙于点1P ，终边交O ⊙于点2P ；角β的始 边为2OP ，终边交O ⊙于点3P ，角β-的始边为1OP ，终边交O ⊙于点 4P ．则()110P ，，()2cos sin P αα，，()()()3cos sin P αβαβ++，， ()()()4cos sin P ββ--，．由1324PP P P =及两点间的距离公式，得()()22cos 1sin αβαβ+-++⎡⎤⎣⎦()()22cos cos sin sin βαβα=--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦展开并整理，得()()22cos 22cos cos sin sin αβαβαβ-+=--∴()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-．于是()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=---=+⎡⎤⎣⎦． 证法二：以坐标原点为中心作单位圆，以Ox 为始边作角α与β，它们终边分别与单位圆相交于 点P ，Q ，则()cos sin P αα，，()cos sin Q ββ，，1OP OQ ==u u u r u u u r． 因此存在k ∈Z ，使2πOP OQ k αβ-=〈〉+u u u r u u u r ，或2πOP OQ k αβ-=-〈〉+u u u r u u u r，成立． 因为()()cos sin cos sin cos cos sin sin OP OQ ααββαβαβ⋅=⋅=+u u u r u u u r，，． ()cos cos OP OQ OP OQ OP OQ αβ⋅=⋅⋅〈〉=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，．所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．于是()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦．2．两角和与差的正弦公式()S sin sin cos cos sin αβαβαβαβ--=-∶ ()S sin sin cos cos sin αβαβαβαβ++=+∶教师内容：()()ππsin cos cos 22αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=-++=-+- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ππcos cos sin sin 22αβαβ⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin αβαβ=+()()()()sin sin sin cos cos sin αβαβαβαβ-=+-=-+-⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=-．3．两角和与差的正切公式()tan tan T tan 1tan tan αβαβαβαβ+++=-⋅∶． ()tan tan T tan 1tan tan αβαβαβαβ---=+⋅∶．教师内容：()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-把后面一个分式的分子、分母分别除以()cos cos cos cos 0,αβαβ≠得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-把公式中的β换为β-，得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+．二、二倍角公式1．二倍角的正弦、余弦、正切2S :sin 22sin cos αααα=．22222C :cos2cos sin 2cos 112sin αααααα=-=-=-．222tan T :tan 21tan αααα=-． 2． 公式的逆向变换及常用变形1sin cos sin 22ααα=．221cos21cos2cos sin 22αααα+-==，． ()2221sin 2sin cos 2sin cos sin cos ααααααα±=+±=±； ()()cos2cos sin cos sin ααααα=+-．教师内容：由公式的变形221cos21cos2cos sin 22αααα+-==，，还可以得到21cos2tan 1cos2ααα-=+，由这组公式我们可以由α的三角函数值，结合α角的范围得到cossintan222ααα，，，这组公式又被称为半角公式．典例精讲一．选择题（共16小题）1．（2017秋•湖北期末）cos70°cos10°+sin10°cos20°=（）A．12B．√22C．√32D．1【分析】诱导公式化简在结合和与差公式即可求解．【解答】解：cos70°=cos（90°﹣20°）=sin20°．那么cos70°cos10°+sin10°cos20°=sin20°cos10°+sin10°cos20°=sin（20°+10°）=sin30°=1 2．故选：A．2．（2017秋•上期末）已知sinα=﹣2cosα，则2sinαcosα﹣cos2α=（）A．﹣2B．﹣1C．−12D．2【分析】根据同角三角函数关系式，弦化切的思想，入求值即可．【解答】解：已知sinα=﹣2cosα，则tanα=sinαcosα=−2．则2sinαcosα﹣cos2α=2sinαcosα−cos 2αsinα+cosα=2tanα−1tanα+1=﹣1．故选：B．3．（2018•北京模拟）在sin50°，﹣sin50°，sin40°，﹣sin40°四个数中，与sin130°相等的是（）A．sin50°B．﹣sin50°C．sin40°D．﹣sin40°【分析】利用诱导公式化简可得答案．【解答】解：由sin130°=sin（180°﹣50°）=sin50°．∴与sin130°相等的是sin50°故选：A．4．（2018春•清远期末）已知y=tanπ（π是圆周率），则y的值是（）A．正数B．负数C．0D．不存在【分析】根据正切函数的公式进行求解即可．【解答】解：y=tanπ=tan0=0，故选：C．5．（2018春•嘉兴期末）sin 23π=（）A．√32B．−√32C．12D．−12【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：sin23π=sin（π−π3）=sinπ3=√3 2．故选：A．6．（2017秋•西湖区校级期末）已知tanα=2，则sinα+cosα2sinα−cosα=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】弦化切，即可求解．【解答】解：已知tanα=2，由sinα+cosα2sinα−cosα=tanα+12tanα−1=2+12×2−1=1．故选：A．7．（2018春•湖南期末）已知cos α4=14，则cosα=（）A．1732B．−1732C．±1732D．−78【分析】利用倍角公式即可得出．【解答】解：∵cosα4=14，∴cosα2=2×(14)2﹣1=﹣78则cosα=2×(−78)2﹣1=1732．故选：A ．8．（2018春•黄冈期末）（sin15°+cos15°）2的值为（ ） A ．√32B ．12C ．32D ．34【分析】利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，可得结果．【解答】解：（sin15°+cos15°）2=1+2sin15°cos15°=1+sin30°=1+12=32，故选：C ．9．（2018•北京模拟）已知sinα=45，那么cos2α等于（ ）A ．−2425B ．−725 C ．725 D ．2425【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．【解答】解：已知sinα=45，那么cos2α=1﹣2sin 2α=1﹣2×1625=﹣725，故选：B ．10．（2018春•濂溪区校级期末）已知sin （α﹣π4）=√55，则sin2α=（ ）A ．45B ．−45C ．35D ．−35【分析】由题意利用两角差的正弦公式可得 sinα•√22﹣cosα⋅√22=√55，平方并利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．【解答】解：∵sin （α﹣π4）=√55，即 sinα•√22﹣cosα⋅√22=√55，平方可得 12﹣12sin2α=15，则sin2α=35，故选：C ．11．（2018春•宾阳县校级月考）已知α为第四象限角，sinα+cosα=√33，则cos2α=（ ）A ．﹣√53B ．﹣√59C ．√59D ．√53【分析】利用同角三角函数的基本关系求得2sinαcosα的值，可得sinα﹣cosα 的值，再利用二倍角公式求得cos2α=cos 2α﹣sin 2α 的值． 【解答】解：∵α为第四象限角，sinα+cosα=√33，∴1+2sinαcosα=13，即2sinαcosα=﹣23， ∴sinα﹣cosα=﹣√(sinα−cosα)2=﹣√1−2sinαcosα=﹣√1+23=﹣√153，∴cos2α=cos 2α﹣sin 2α=﹣（sinα+cosα）•（sinα﹣cosα）=﹣√33•（﹣√153）=√53，故选：D ．12．（2018春•兴宁区校级期中）已知sin α=25，则cos2α=（ ）A ．725B ．−725C ．1725D ．−1725【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵sin α=25，∴cos2α=1﹣2sin 2α=1﹣2×425=1725，故选：C ．13．（2018春•龙岗区期末）若sin(π−α)=13，且π2≤α≤π，则cos2α的值为（ ）A ．−79B ．−4√29C ．79D ．4√29【分析】利用诱导公式求得sinα，再利用二倍角公式求得cos2α的值．【解答】解：∵sin （π﹣α）=sinα=13，且π2≤α≤π，∴cos2α=1﹣2sin 2α=79，故选：C ．14．（2017秋•马鞍山期末）设sin2α=cosα，α∈（0，π2），则tan2α的值是（ ）A ．√3B ．﹣√3C ．√33D ．﹣√33【分析】由已知条件结合二倍角的三角函数公式即可求出sinα的值，进一步求出α，然后代入tan2α计算得答案．【解答】解：∵sin2α=cosα，α∈（0，π2），∴2sinαcosα=cosα，∴sinα=12，即α=π6．则tan2α=tan π3=√3．故选：A ．15．（2018•南关区校级模拟）已知cos2xsin(x+π4)=√23，则sin2x=（ ） A ．−89B ．89C ．−1718D ．1718【分析】由题意利用两角和的正弦公式，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵cos2xsin(x+π4)=√23，∴22√22(sinx+cosx)=√23， ∴cosx −sinx =13，∴√2cos(x +π4)=13，∴sin2x =−cos(2x +π2)=1−2cos 2(x +π4)=1−2×118=89，故选：B ．16．（2018•武邑县校级三模）已知sin(π6−x)=12，则sin(7π6−x)+sin 2(π3+x)=（ ） A ．14B ．34C ．−14D ．−12【分析】利用诱导公式求得sin （7π6﹣x ）的值，利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【解答】解：∵已知sin(π6−x)=12，则sin(7π6−x)+sin 2(π3+x)=﹣sin （π6﹣x ）+1﹣cos 2(π3+x)=﹣12+1﹣sin 2(π6−x)=12﹣(12)2=14， 故选：A ．二．填空题（共4小题）17．（2018春•赤峰期末）计算：sin45°sin75°+sin45°sin15°= √32．【分析】直接利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解：sin45°sin75°+sin45°sin15°=sin45°cos15°+cos45°sin15°=sin60°=√32．故答案为：√32．18．（2018春•菏泽期中）已知tan （α+π4）=12，且﹣π2＜α＜0，则sinα= ﹣√1010．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，诱导公式和三角函数的定义求出结果．【解答】解：已知tan （α+π4）=12，且﹣π2＜α＜0，则1+tanα1−tanα=12， 解得：tanα=﹣13，所以：sinα=−√1010．故答案为：﹣√101019．（2018•黄州区校级二模）已知P （2，m ）为角α终边上一点，且tan （α+π4）=13，则sinα= −√55 ． 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得m 的值，可得sinα的值．【解答】解：∵P （2，m ）为角α终边上一点，∴tanα=m2，再根据tan （α+π4）=13=tanα+11−tanα=m2+11−m 2，∴m=﹣1，故x=2，y=m=﹣1，r=|OP |=√4+m 2=√5，则sinα=yr =√5=√5=﹣√55，故答案为：﹣√55．20．（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=−12．【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）=﹣1，可得结果．【解答】解：sinα+cosβ=1，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=−1 2．故答案为：−12．三．解答题（共4小题）21．（2017秋•重庆期末）已知tan（π﹣a）=﹣2，α为第一象限角，求下列各式的值：（Ⅱ）cosα：（Ⅱ）sin2α+sin2α．【分析】（Ⅱ）由已知求得tanα，与平方关系联立求得cosα；（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【解答】解：（Ⅱ）∵tan（π﹣α）=﹣2，∴tanα=2，联立{sinα=2cosαsin 2α+cos 2α=1，得{sinα=−2√55cosα=−√55或{sinα=2√55cosα=√55． 又α为第一象限角，∴cosα=√55： （Ⅱ）sin 2α+sin2α=sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tanαtan 2α+1=85． 22．（2017秋•张家界期末）已知sin α=−45，α是第四象限角． （1）求tanα和sin2α的值；（2）求tan （α−π4）的值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，求得tanα和sin2α的值．（2）利用两角差的正切公式求得tan （α−π4）的值．【解答】解：（1）由sin α=−45，α是第四象限角，得cosα=√1−sin 2α=35， ∴tanα=sinαcosα=﹣43，sin2α=2sinα•cosα=﹣2425． （2）tan （α−π4）=tanα−11+tanα=7． 23．（2018春•遂宁期末）已知函数f （x ）=√3cosxcos （x ﹣π2）+sin 2x ﹣12． （Ⅱ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，π4]，f （x ）=√33，求cos2x 的值． 【分析】（Ⅱ）利用查三角恒等变换化简f （x ）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间．（Ⅱ）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得cos （2x ﹣π6）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos2x=cos [（2x ﹣π6）+π6]的值． 【解答】解：（Ⅱ）函数f （x ）=√3cosxcos （x ﹣π2）+sin 2x ﹣12=√3cosxsinx +1−cos2x 2﹣12=sin （2x ﹣π6），令2kπ﹣π2≤2x ﹣π6≤2x +π2，求得kπ﹣π6≤x ≤kπ+π3，可得函数的增区间为[kπ﹣π6，kπ+π3]，k ∈Z ． （Ⅱ）若x ∈[0，π4]，则2x ﹣π6∈[﹣π6，π3]，f （x ）=sin （2x ﹣π6）=√33，∴cos （2x ﹣π6）=√1−sin(2x −π6)2=√63， ∴cos2x=cos [（2x ﹣π6）+π6]=cos （2x ﹣π6） cos π6﹣sin （2x ﹣π6） sin π6=√63•√32﹣√33•12=√22﹣√36． 24．（2018春•七星区校级期中）已知tanα=2，求（1）sin(π+α)−cosα2cos(π+α)+sinα（2）1cos2α 【分析】（1）由题意利用诱导公式、同角三角，求得要求式子的值．（2）利用函数的基本关系、二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵tanα=2，∴原式=−sinα−cosα−2sinα+sinα=−sinαcosα−cosαcosα−2sinα+sinα=−tanα−1−2tanα+tanα=32． （2）∵tanα=2，∴原式=sin 2α+cos 2αcos α−sin α=tan 2α+11−tan α=−53．。

（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的 三类基本题型：
求值题，化简题，证明题。
（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使 用”。
（3）掌握“角的演变”规律，如
2 ,
(一)公式正用
例1、求值: 1sin 555 2cot 5 12
例2 P(53 例1)
设 .cos 1 ,sin 2 ,
2 9 2 3
,0 , 求cos .
2
2
(二) 公式逆用 例1.P(53) ( 双基题1)
例2、已知
tan tan tan tan tan

3, 4
cos 0, 求 sin 3
(三).用边角关系的公式解三角形
例4、(P53例2)在三角形ABC中,角A..B.C对边a,b,c
证明
:
a2
c2
b2

sin(A B) sin C
(四)综合 例5、(P53例3)
(0, ),sin sin sin
；
地向前疾行。画面下方的文字说此人为病中的穷孩子募捐，正在旅途中。画中心有大字———跟穷人一起上路。 这位汉子一定走过了千山万水，不然不会有如此深邃的目光。他刚毅的表情背后掩饰着隐痛，用这条假肢走，每一步恐怕都要痛。那么———如图所示———他正徒步穿越新 疆的独山子、玛纳斯、一碗泉，甘肃的马莲井、黄羊镇、娘娘坎，然后经陕鄂湘粤到香港。他是香港人。一个忍痛的行者用假肢穿越过大西北的旷野，信念像火苗一样越烧越旺：让没钱的孩子治病。 照片用镀铝金属镶框，内置灯光照明，一幅连一幅延伸到前面。画面上的汉子像排队一 样，一个接一个向你迎面走来，昂着头，有些

1.2会用两角差最新考会用向量的数量积推导出两角差的余弦公.3会用两角差的余弦公式推导出两余弦公式推导出两角差的正弦、正切公和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的.4包括导出积化和差、和差能运用上述公式进行简单的三角恒等变在联积、半角公式，但不要求记两角和与差的正弦、余弦、正切公(1)sinsincoscossin(2)coscoscossinsin2 / 20tan α±tan .(3)tan tan αtan 二倍角的正弦、余弦、正切公(1)sin 2sincos2sisi2coco(2)cos 2tan (3)tan .1－tan2辅助角公cos.a2＋b sin其sinsincos a2＋ba2＋b[常用结论公式的常用变tantantantan)(tan2tan 2sin αcos sin 1＋tan2sin2α＋cos21－tan2cos2α－sin2cos .1＋tan2cos2α＋sin2降幂公1－cos 2si1＋cos 2cosincossin 升幂公2cocos2sicos sin＋co sin3 / 20sin－co.sin半角正切公sin 1－cos tan.1＋cos sin一、思考辨正确的打“√”，错误的打“×)(1存在实，使等sinsinsin成立()(2公sincos a2＋b sin的取值的值无关().(2si)(3)cos2co1－cos .()(4是第一象限角时sin答(1(2(3(4二、教材改＋(co是第三象限角，)＝．已cos．A11C．114 / 20cos＝是第三象限角sin＝1－cos2＝＋(coscosin故A.]1sin 347cos 148sin 77cos 58 .[sin 347cos 148sin 77cos 58sin(27077)cos(9058sin 77cos 58cos 77)sin 58sin 77cos 58sin 58cos 77cos 58sin 77.]sin 135sin(5877．计算sin 108cos 42cos 72sin 42 .原式sin(18072)cos 42cos 72sin 42sin 72cos 42cos 72sin 42sin(7242sin 30.]tan 20tan 40tan 20tan 40 .tan 20°＋tan 40tan 60tan(20401－tan 20°tan 40tan 20tan 40tan 60(tan 20tan 40 tan 20tan 40原式tan 20tan 40tan 20tan 40.]．tantan，tan .5 / 201错误!错误!错误!.]＝]β＝[tan βtan[(α＋)－α＝＝7第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式1 公式的直接应用考点(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．6 / 201.(20xx全国2sin cos ，sin已()BADC 2co4sincos由二倍角公式可cos2sincostansin故B.]，tan(，tan的值()．已sin ．B1111C ．，tan＝，tan＝tan α－tan tan1＋tan α·tan7 / 20＝.]1ααco(20xx太原模，si，.＋α为锐角，si由于αcoααcocoααsinsicosco＋.]sin 110°sin 20的值．计cos2155°－sin2155sin 110°sin 20sin 70°sin 20cos2155°－sin2155cos 310sin 40cos 20°sin 20.]cos 50sin 408 / 20两角和与差的三角函数公式可βαβα±的三角函数表示，的三角函数，在使用两看作是诱导公式的推广，可用角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．2 公式的逆用与变形用考点公式的一些常用变形(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；αα??2sin ±cos ??；α(3)1±sin ＝22??2sin αcos α2tan α(4)sin 2α＝＝；sin2α＋cos2αtan2α＋1tan A＋tan ＝(2tantantantan，可1－tan Atan tan＝，(3所，cos.](1逆用公式的关键是准确找出给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，同时，要注意公式成立的条件和之间的关系(2)tantantantantantantan)tan)三者可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题(3重sincoscossincoscossinsin的整体应用公式的变形11 / 20sin235°(1化.cos 10°cos 80αα的结果sisisi(2化1－cos 70cos 70sin235°(2[(1(1cos 10°cos 80cos 10°sin 10sin 2012α2α1－c1－c si(2原式2α2αsicocosicoscos cos 21－cos 2.]12 / 20注意特殊角的应用，当式子等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，值变出构适合公式的形式1cos 50cos 127cos40cos 37(sin 56cos1－tan23956，的大小关系()1＋tan239由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可cos 50cos 127cos 40cos 37cos 50cos 127sin 50sin 127cos(50127cos7713 / 20222(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－cos 77°＝sin 13°，b ＝222sin239°1－cos239°1－tan239°2239°＝cos 78°＝39°－sinsin＝45°)sin 11°，c＝＝＝cos1＋tan239°sin239°1＋cos239°π为增函数，所以sin 13°＞sin 12°，＞sin 11°，所∈.因为函数y＝sin x，x012°2.]bc＞以a＞2) ＝4sin( 15°cos 15°cos 15°2．[一题多解]3－21 B.A.22D.2 1 C．215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°3cos 15°－4sin·2sin 15°cos D [法一：15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos (15°＋30°)＝2cos45°＝2.故选D.6＋26－2，sin 15°＝，所以3cos 15°因为法二：cos 15°＝－442??6＋26＋26＋226－2??＝×(3－4×－2×4sin15°·cos 15°＝3×4444??6＋2＋3)＝×(23－2)＝2.故选D.]4π3．已知α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝.42 [(1＋tan α)(1＋tan β)＝tan α＋tan β＋tan αtan β＋1＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＋1＝1－tan αtan β＋tan αtan β＋1＝2.]14．已知sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围．21βsin [αcos ①，＝由题知214 / 20设cos αsin β＝t，②1①＋②得sin αcos β＋cos αsin β＝＋t，21即sin(α＋β)＝＋t，21①－②得sin αcos β－cos αsin β＝－t，21即sin(α－β)＝－t.2∵－1≤sin(α±β)≤1，1?＋t≤1，－1≤?2?∴1?－t≤1.－1≤?211.]≤t∴－≤223公式的灵活运用考点三角公式应用中变“角”与变问题的解题思路名”“(1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相15 / 20互转化，如406020＋－等(2名的变换明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦三角公式中角的变(1都是锐角，cossin，cos .(2已cos(75，cos(30的值(2[(1依题意sin(11－cos2216 / 20因sinsin，，所cos＝所于coscos[cos)cossin)sin＝2(2)cos(75sin(15.]2si(15所cos(30(1解决三角函数的求值问题的键是所求已知表示已知有两个时所求一般表示为两已知的和或差的形式已知有一个时，此的和或差的关系已知应着眼所求α＋(2常见的配角技巧α－α－α－α＋＋α等17 / 20三角公式中名的变错(π(1化简1＋cos 20－tan 5求值(2.sin 10tan 52sin 20(1(，cos2cos2＋2cos 4cossin－co cos(sin2sincos＋2cosin－csin－co2cos18 / 20cos＝2cos－2cocos 故原式＝cos2coscos 5sin 52cos210(2原式sin 10sin 5cos 52×2sin 10°cos 10cos 10cos25°－sin25sin 102sin 10sin 5°cos 5cos 10cos 10sin 102sin 10sin 10cos 10cos 10°－2sin 202cos 102sin 102sin 10错cos 10°sin 10cos 10°2sin 10sin 10.2sin 101.(20xx已tan石家庄模θ()，co tan19 / 20B ADC sin cos sin2θ＋cos2，tan，tan cos sin sin θcos 2θ1＋c1－sin 2θcosincos1－21－2sin θcos .]1，coscos．已＝，sin1.由已知可sinsin1sinsin[sin)coscos)sin1.]113错.用数字作)错错cos 10°sin 10错错.·sin 40 20 / 20。

教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：高一 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目:数学 学科教师：课 题 三角函数和差公式和倍角公式授课日期及时段教学目的1、学习并掌握三角函数的和差公式的推导过程；2、理解并掌握倍角公式的推导过程及其应用;3、能灵活利用和差公式进行分析求解问题.教学内容一、上次作业检查与讲解；二、学习要求及方法的培养：三、知识点分析、讲解与训练：一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

基本的技巧有:(1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。

如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）， （2）三角函数名互化（切割化弦），(3）公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。

(4）三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。

第十四讲：两角和与差的三角函数及二倍角公式考向预览1、熟记两角和与差的三角函数及二倍角公式，掌握公式的特征并能灵活运用，能根据问题情境准确选用公式进行三角函数的简单恒等变形，掌握三角函数求值的基本题型与求解方法。

2、综合运用三角公式进行三角变换，常用的变换：变换角度、变换名称、变换解析式结构。

考点盘清1、两角和与差的三角函数公式:=±)sin(βα。

=±)cos(βα=±)tan(βα2、二倍角公式：=α2sin =α2tan 。

=-=ααα22sin cos 2cos =3、辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a ，(其中ϕ角的终边过点P（a,b ）,ab =∈ϕππϕtan ]-，，（).若点P 在第一象限,则ϕ取锐角；若点P 在第二象限,则ϕ取钝角；若点P 在第三象限,则ϕ取负钝角；若点P 在第四象限,则ϕ取负锐角。

4、三角变换的基本题型——化简、求值、证明（1）化简：三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中： ①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少； ④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．依据三角函数式的结构，常采用的三角变换方法有：异名化同名、异次化同次、高次降次、异角化同角。

（2）求值：常见的有给值求角、给角求值、给值求值。

课前演练1.cos(45°－30°)的值为( ) A.22 B.32C.2＋34 D.2＋642.已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( ) A.17 B ．7C ．－17D ．－7 3.(2011·上海卷)函数y ＝2sin x －cos x 的最大值为 5. 4.已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋7π6)的值是( ) ()()3①给角求值的关键是正确地分析角已知角与未知角之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值．②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值．③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角．它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明．常用方法：从左推到右；从右推到左证明．；左右互推．A ．－235 B.235C ．－45D.455.定义运算a ⊕b ＝a 2－ab －b 2，则sin π6⊕cos π6＝( ) A ．－12＋34 B ．－12－34C ．1＋34D ．1－346.(2012·永州模拟)若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( )A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x7.若1＋tan x 1－tan x ＝2013，则1cos2x ＋tan2x 的值为 2013 . 8.已知tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)的值是322. 9.已知α∈(π2，π)，化简21－sin α＋2＋2cos α＝。