两角和与差及二倍角公式讲义

《两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式》说课稿教材分析：1.教材的地位和作用：这是一节高三复习课，教材是高中数学新课程人教A 版（必修4），教辅是《世纪金榜》。

这一节的公式在三角函数里的比重很大，是进行三角恒等变换的重要公式，它们与诱导公式，同角三角函数公式一起组成了三角函数的主要公式。

2.教学重点与难点：（1） 重点：两角和与差、二倍角公式的正用、逆用和变用（2） 难点：“辅助角公式”，即形如)sin(cos .sin .22βααα++=+b a b a 的化简;“角的变换”，即用“已知角”表示“所求角”,要注意角的变换技巧和角的范围；当角的关系比较复杂时不仅要用“和、差、倍”公式，还要先用到诱导公式。

学情分析：这些学生大部分基础不够好，学习态度也不够积极，自主学习的意识和能力较弱，知识遗忘率高，只有小部分学生基础较好，但是动手解题能力也很弱。

教学目标：（1） 知识与技能目标：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式的正用、逆用和变形使用，会用公式进行三角函数式的化简与求值。

（2） 过程与方法目标：通过提问、引导，调动学生的思维；通过归纳，明确解题方法。

（3） 情感、态度与价值观目标：通过公式之间角与角的关系，认识到事物是普遍联系的；教学方法：基于学情分析，应从细节入手，主要采用引导，提示，归纳，讲练结合的方法。

学法指导：从公式特征和题目特征选取适当的公式；有时要切化弦；注意观察所求角与已知角的关系。

教学过程：一.复习引入：通过提问)cos(βα-公式,开门见山的引入到公式的复习当中.二.复习公式：两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式及变形公式 和 “辅助角公式” 用小黑板展示所有公式，讲解公式时要体现公式之间的联系，比如，二倍角倍受公式可以在两角和的公式中令αβ=而得到.一边讲解公式的特征，帮助记忆，一边通过6道简单示例帮助理解。

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式βαβαβαβαsin sin cos cos )cos(:)( =±±Cβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(:)(±=±±Sβαβαβαβαtan .tan 1tan tan )tan(:)( ±=±±T （Z ∉+≠±k k ,2,,ππβαβα） 简单示例: 000028sin 32sin 28cos 32cos -=21)2832cos(00=+ 2．二倍角公式α2S : αααcos sin 22sin =αααααα22222sin 211cos 2sin cos 2cos :-=-=-=C αααα22tan 1tan 22tan :-=T （Z ∉+≠k k ,22,ππαα） 简单示例: (1)0015cos 15sin = 4130sin 210= (2)112cos 22-π= 236cos =π(3)005.22tan 15.22tan -= =tan450=1 3．变形公式：正切和(或差)：βαtan tan ±=)tan(βα±.(βαtan .tan 1 )降次扩角：22cos 1sin 2αα-=， 22cos 1cos 2αα+=, 简单示例: )28tan 1)(17tan 1(00++=000028tan .17tan 28tan 17tan 1+++=1+00000028tan .17tan )28tan .17tan 1).(2817tan(+-+=24.形如ααcos sin b a +的化简(“辅助角公式”)ααcos sin b a +=)sin(22βα++b a ，其中22cos b a a+=β， 22sin b a b +=β简单示例: 12cos π +3sin 12π=224sin 2)126sin(==+πππ 三．例题讲解通过两道例题来讲解公式的应用：例1.求下列各式的值：(1)0000167cos 43sin 77cos 43cos + (2) 0015cot 15tan + (3) 000040tan .20tan .340tan 20tan ++ (4) 12sin π+ cos12π 设计意图：让学生初步熟悉公式，掌握“和、差、倍公式”的逆用和变用。

3.3 两角和与差及二倍角公式（答案）3.3 两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回顾】1．两角和与差的三角函数sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。

sin2α= ；cos2α= = =tan 2α= 。

3．降幂公式2sin α= ； 2cos α= .注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用4．辅助角公式证明：)sin cos x x y x x +=+=sin sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+其中，cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。

5.公式的使用技巧（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++ （2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin 1,tan124ππ==（3）收缩代换：sin cos y x x =+=)x ϕ+，（其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=---如：tan 95tan 3595tan 35-=oooo。

5.两角和与差、二倍角公式一、相关概念及知识点 1.两角和与差的三角函数()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ ()βαβαβαs in c o sc o s s in s in -=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()βαβαβαs in s in c o s c o s c o s+=- 2.二倍角公式： αααcos sin 22sin =22222cos sin12sin 2cos 11tan cos22tan tan2αααααααα-=-=--==以下公式不作要求 3. 半角公式2cos 12sin αα-±=2c o s 12c o s αα+±=t a n 2α=ααααs in c o s 1c o s 1s in -=+4. 万能公式：22tan 2sin 1tan 2ααα=+ 221t a n 2c o s 1t a n 2ααα-=+22t a n 2t a n 1t a n 2ααα=-5. 积化和差：()()[]βαβαβα-++=sin sin 21c o s sin ()()[]βαβαβα--+=s in s in 21s in c o s ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=c o s c o s 21s in s in 6. 和差化积：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2c o s 2s in 2s in s in y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2s in 2c o s 2s in s in y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2cos 2cos 2cos cos y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-2s in 2s in 2c o s c o s y x y x y x重要结论：1．sin α±cos α)4πα±．sin()2.tan tan tan()(1tan tan )cos cos αβαβαβαβαβ±±=±=3．a sin α＋b cos α（α＋φ（α－φ1），． 4．tan α＋cot α＝sec α·csc α＝2sin 2α． 5．tan α－cot α＝－2ctg2α．6．cot α±cot β＝sin()sin sin βααβ±． 7．(sin α±cos α)2＝1±sin2α.8．21cos sin 22αα-=. 9．21cos cos 22αα+= .10.αααααcos3cos 43cos ,sin 4sin 33sin 33-=-= 11.1tan tan().1tan 4απαα±=± 二、重点难点两角和与差、二倍角公式三、课前预习1、下列各式中，值为12的是 （ ） A 、1515sin cosB 、221212cossin ππ- C 、22251225tan .tan .-D2、命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 （ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 3、若02πβα<<<且45513cos(),sin()αβαβ+=-=，那么2cos α的值是（ ） A 、6365 B 、6365- C 、3365 D 、5665或1365-4、已知,αβ为锐角且cos αβ==，则αβ+的值等于＿＿＿＿。

两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回顾】1．两角和与差的三角函数sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。

sin 2α= ；cos 2α= = =tan 2α= 。

3．降幂公式2sin α= ； 2cos α= .注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用 4．辅助角公式证明：)sin cos x x y x x +=+=sin sin cos )x x ϕϕ=+)x ϕ=+ 其中，cos ϕ=，sin ϕ=，tan b aϕ=且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。

5.公式的使用技巧（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++（2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin1,tan 124ππ== （3）收缩代换：sin cos y x x =+=)x ϕ+，（其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形： tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=--- 如：tan95tan353tan95tan35--= 。

第20讲 简单的三角恒等变换激活思维1. (人A 必一P219例4(1))sin72°cos42°－cos72°sin42°＝ 12 . 解析： sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝12.2. (人A 必一P217练习3)已知cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( D )A. －210 B. 7210 C. －71010D. 210解析： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45，因此cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45×22＝210. 3. (人A 必一P220练习5)设sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，且β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝ 10 .解析： 由sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，得sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.因为β是第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝7210.4. (人A 必一P223练习3改编)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( A )A. 17 B. 7 C. －17D. －7解析： 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，得tan α＝－34，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17.5. (人A 必一P223练习5改编)(多选)下列各式的值为22的是( BD ) A. sin π12cos π12B. cos 2π8－sin 2π8C.tan π81－tan 2π8D. 2cos 222.5°－1解析： 对于A ，sin π12cos π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝12sin π6＝14，不符合题意；对于B ，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22，符合题意；对于C ，tan π81－tan 2π8＝12tan⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＝12tan π4＝12，不符合题意；对于D,2cos 222.5°－1＝cos45°＝22，符合题意．基础回归1. 两角和、差公式(1) C (α∓β)：cos(α∓β)＝ cos αcos β±sin αsin β ； (2) S (α±β)：sin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β ； (3) T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝ 2sin αcos α ；cos2α＝ cos 2α－sin 2α ＝ 2cos 2α－1 ＝ 1－2sin 2α ； tan2α＝2tan α1－tan 2α.3. 辅助角公式函数y ＝a sin x ＋b cos x 可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式， a sin x ＋b cos xtan φ＝ba .4. 常用结论(1) tan α±tan β＝ tan(α±β)(1∓tan αtan β) ；(2) 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2； (3) 1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 第1课时 两角和与差的三角函数、二倍角公式举题说法和、差、倍角公式的直接应用例1 (1) tan18°＋tan12°＋33tan18°tan12°等于( D ) A. 3 B. 2 C. 22D. 33解析： 因为tan30°＝tan(18°＋12°)＝tan18°＋tan12°1－tan18°tan12°＝33，所以tan18°＋tan12°＝33(1－tan18°tan12°)，所以原式＝33.(2) (2022·湛江一模)已知cos α＝45，0<α<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( B )A. 210 B. 7210 C. －210D. －7210解析： 由cos α＝45，0<α<π2，得sin α＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝22×35＋22×45＝7210.解这类给值求值问题的关键是先分清S (α±β)，C (α±β)，T (α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的．此类题的解题方法可总结为“对照公式，缺什么求什么”．1. (2022·岳阳三模)1－2cos 267.5°等于( D ) A. －12 B. －22 C. －32D. 22解析： 由余弦的倍角公式可得1－2cos 267.5°＝－cos(2×67.5°)＝－cos135°＝22.2. (2022·扬州模拟)1－tan75°1＋tan75°＝ －3 .解析： 1－tan75°1＋tan75°＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°＝－tan(75°－45°)＝－tan30°＝－33.3. (2022·海南模拟)若sin α＝55，则cos(π－2α)等于( A ) A. －35 B. －25 C. 25D. 35解析： cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin 2α－1＝－35.4. 若tan α＝－23，tan β＝13，则sin(2α＋2β)等于( C ) A. －7130130 B. 11130130C. －3365D. 9130解析： 由tan α＝－23，知sin α＝－213，cos α＝313或sin α＝213，cos α＝－313，则sin2α＝2sin αcos α＝－2×213×313＝－1213，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±2132＝513.由tan β＝13，知sin β＝110，cos β＝310或sin β＝－110，cos β＝－310，则sin2β＝2sin βcos β＝2×110×310＝35，cos2β＝1－2sin 2β＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±1102＝45，则sin(2α＋2β)＝sin2αcos2β＋cos2αsin2β＝－1213×45＋513×35＝－3365.拆、配角问题例2 (1) (2022·烟台期末)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1010，则cos α的值为5 .解析： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α＋π4<3π4.又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1010，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝31010，所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1010＋31010＝255. (2) 已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α等于( B )A. 43＋310 B. 43－310 C.33＋410D. 33－410解析： 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35(α为锐角)，所以α＋π6为锐角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.1. 解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1) 当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2) 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2. 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．1. (2022·济南模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－32，则sin2α的值为( A ) A. 12 B. －12 C. 32D. －32解析： 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－32，所以sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－1＝12.2. (2022·株洲一模)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝55，则tan θ等于( C )A. 2B. 12 C. 3D. 13解析： 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则－π4<θ－π4<π4，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝255，所以sin θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋π4＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝31010，故cos θ＝1－sin 2θ＝1010，因此tan θ＝sin θcos θ＝3.3. 已知α，β为锐角，且cos (α＋β)＝1213，cos (2α＋β)＝35，那么cos α＝ 5665 . 解析： 因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，2α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π2.又cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.4. (2022·淄博期末)cos10°2sin10°－2cos 10°等于( A ) A. 32 B. 2 C. 3D. 2解析： cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－4sin10°cos10°2sin10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin (30°－10°)2sin10°＝cos10°－(cos10°－3sin10°)2sin10°＝32.随堂内化1. (2022·潮州期末)已知cos x ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 等于( A )A. －79 B. 79 C. －89D. 89解析： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos2x ＝2cos 2x －1＝2×19－1＝－79.2. (2022·惠州三模)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，63是角α的终边与单位圆的交点，则sin2α等于( C )A. 13 B. －13 C. －223D. 63解析： 由题知，由任意角三角函数的定义可得sin α＝63，cos α＝－33，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×63×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－223.3. (2022·衡阳一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝33，则cos2α等于( D )A. －79 B. －13 C. 13D. 79解析： 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝33，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13，即sin α＝13，从而得cos2α＝1－2sin 2α＝79.4. 已知sin β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝ －2 .解析： 因为sin β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos β＝－45.由sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，得25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.5. 计算：3cos15°－4sin 215°cos15°解析：3cos15°－4sin 215°cos15°＝3cos15°－2sin15°·2sin15°·cos15°＝3cos15°－2sin15°sin30°＝3cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝ 2.练案❶ 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》． 练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(分基础和提高两个版本)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考保分增效天天练》，成书可向当地发行咨询购买．。

§15.2 两角和、两角差与二倍角公式在诱导公式中，我们有sin(α+2π)=cos α，sin(π-α)=sin α 等等一批公式，公式中同一个三角函数符号下出现了两个角，其中一个角α可以任意，但另一个角2π,π等却是固定的．如果把另一个角改成也是可以任意的例如β，那么sin(α+β)、sin(α-β)等与α,β的三角函数之间会有联系吗？如果有联系，又是怎样的联系？一、两角和与差的余弦1、知识要点设角α的终边与单位圆的交点坐标为P (cos α,sin α)，角β的终边与单位圆的交点坐标为Q (cos β,sin β)．记 a=OP =(cos α,sin α)，b =OQ =(cos β,sin β), 则 a b =|a|⋅|b |cos(α-β)=cos(α-β)； 又应用向量数量积的坐标表示公式 a b=cos α cos β+ sin α sin β，所以cos(α-β)=cos α cos β+ sin α sin β (C α-β )（1）我们把C α-β叫做两角差的余弦公式．在C α-β 中用-β代替β，就可以得到cos(α+β)= cos [α-(-β)] =cos α cos(-β)+ sin α sin(-β)即 cos(α+β)= cos α cos β- sin α sin β． (C α+β )（2）把C α+β 叫做两角和的余弦公式． 2、例题分析例1 不查表，求cos105°及cos15°的值． 解 设法把105°,15°分解成已知三角函数值的特殊角的和或差，再应用C α-β 或C α+β ．cos105°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°=1222⋅=462-； cos15°=cos(45°-30°)= cos45°cos30°+sin45°sin30°12+=426+． 例2 已知cos α=-54, (2π<α<π)，求cos(6π-α), cos(6π+α)． 解 因为cos α＝--54，且2π<α<π，所以sin α=2)54(1--=53．cos(6π-α)=cos6πcos α+sin6πsin α413)525-+⋅=10343-； cos(6π+α)= cos6πcos α-sin6πsin α413)525--⋅=10343+-． 例3 利用公式C α+β 证明cos [α+(2k +1)π]=-cos α．证明 cos [α+(2k +1)π]=cos αcos(2k +1)π-sin αsin(2k +1)π=cos α(-1)-sin α⋅0=-cos α，所以原式成立． 3、课内练习1. 不查表，求下列三角函数的值： (1)cos75°； (2)cos(-15°)； (3)cos80°cos20°+sin80°sin20°；β)(4)cos20°cos25°-sin20°sin25°； (5)cos22.5°cos22.5°-sin22.5°sin22.5°； (6)cos 215°-sin 215°． 2．利用公式C α+β 、C α-β 证明(1)cos(α+2π)=-sin α； (2)cos(-α)=cos α．3．已知sin α=32,α (2π,π)，求cos(3π+α), cos(3π-α)． 4．已知sin α=1715, cos β=135-, α, β∈(2π,π)，求cos(α+β), cos(α-β)的值．二．两角和与差的正弦.1、知识要点有了C α+β 和C α-β的公式，自然会联想两角和与差的正弦公式如何？因为sin(α+β)=cos [2π-(α+β)]=cos [(2π-α)-β]=cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β=sin αcos β+cos αsin β即 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β． (S α+β)（1）我们把S α+β 叫做两角和的正弦公式．在两角和的正弦公式中，用(-β)代替β就可以得到 sin(α-β)=sin(α+(-β))=sin αcos(-β)+ cos αsin(-β)，即 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β． (S α-β)（2）我们把S α-β 叫做两角差的正弦公式． 2、例题分析例1 不查表，求sin75︒，sin15︒的值解 sin75︒=sin (45︒+30︒)=sin45︒⋅cos30︒+cos45︒⋅sin30︒=2322⋅ +2122⋅=426+；sin15︒=sin (45︒-30︒)=sin45︒⋅cos30︒-cos45︒⋅sin30︒=2322⋅ -2122⋅=426-．例2 已知向量OP =(3,4)，绕原点旋转45︒到P O '的位置(见图10-2)，求点P ’的坐标(x ’,y ’)． 解 设∠xOP =α．因为|OP |=2243+=5，所以cos α=53，sin α=54，x ’=5cos(α+45︒)=5(cos αcos45︒- sin αsin45︒)=5(53⨯22-54⨯22)=-22；y ’=5sin(α+45︒)=5(sin αcos45︒+ cos αsin45︒)=5(54⨯22+53⨯22)=227．所以 P ’( -22, 227)．3、课内练习1． 不查表，求下列各式的值(1)sin105︒； (2)sin165︒； (3)sin(-125π)； (4)sin13︒cos17︒+cos13︒sin17︒； (5)sin70︒cos25︒-sin25︒cos70︒．2. 化简(1)sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin α； (2)sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β．图10-2• yxαPO•P ' 45︒3．已知sin α=1715,α∈(2π,π)，求sin(3π+α), sin(3π-α)．4．已知sin α=32, cos β=-43，且α, β都是第二象限的角，求sin(α+β), sin(α-β)．5．向量OP =(4,3)绕原点旋转60︒, 120︒, -60︒到1OP ,2OP ,3OP 的位置，求点P 1,P 2,P 3的坐标．三．两角和与差的正切1、知识要点根据同角三角函数的关系：tan(α+β)=)cos()sin(βαβα++，得tan(α+β)=βαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin -+；分子、分母同除以cos αcos β, (cos αcos β)≠0)， 则tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+． (T α+β )（1）我们把T α+β 叫做两角和的正切．在T α+β 中用-β代替β，并用负角公式tan(-x)=-tanx ，就可以得到tan(α-β)=βαβαtan tan tan tan ⋅+-1． (T α-β )（2）我们把T α-β 叫做两角差的正切． 2、例题分析例1 不查表，求下列各式的值(1)tan75︒； (2)︒︒︒+︒34tan 71tan -134tan 71tan ．解 (1) tan75︒= tan (45︒+30︒)=︒⋅︒︒+︒30tan 45tan -130tan 45tan =3333-+=2+3；(2)︒︒︒+︒34tan 71tan -134tan 71tan =tan(17︒+43︒)= tan60︒=3例2 不查表，求下列各式的值(1)151151tan tan -+； (2)tan23︒+tan22︒+tan23︒tan22︒． 解 (1)︒-︒+15tan 115tan 1=︒︒-︒+︒15tan 45tan 115tan 45tan =tan (45︒+15︒)=tan60︒=3；(2)因为tan(23︒+22︒)=︒︒+︒+︒22tan 32tan 122tan 32tan ，所以tan23︒+tan22︒=tan(23︒+22︒)(1- tan23︒tan22︒)，原式=tan45︒ (1-tan23︒tan22︒)+tan23︒tan22︒=1-tan23︒ tan22︒+ tan23︒ tan22︒ =1． 3、课内练习1. 不查表，求下列各式的值：(1)tan15︒； (2)tan105︒； (3)︒︒-︒+︒33tan 21tan 133tan 21tan ； (4)3tan125tan 13tan 125tanππππ-+． 2. 已知tan x =2, tan y =51，求tan (x +y ),tan (x -y )． 3. 不查表，求下列各式的值(1)︒+︒-75tan 175tan 1； (2)tan17︒ +tan43︒+3tan17︒ tan43︒．4. 求证(1)θθtan 1tan 1+-=tan(θπ-4)； (2)θθtan 1tan 1-+=tan(θπ+4)． 5. 已知tan α=52，tan β=73，求tan(α+β)． 6. 已知tan α=23，tan β=53，求tan(α-β)．四．倍角公式1、知识要点在和角公式S α+β , C α+β , T α+β 中，取β=α，就可得出相应的二倍角的三角函数公式： （1）sin2α=2sin αcos α； (S 2α ) （2）cos2α=cos 2α-sin 2α=2 cos 2α-1=1-2 sin 2α； (C 2α )（3）t a n2α=αα2tan -12tan ． (T 2α ) 2、例题分析例1 已知sin α=135, α∈(2π,π)，求sin2α, cos2α, tan2α的值．解 因为sin α=135, α∈(2π,π)，所以cos α=-α2sin 1-=-2)135(1-=-1312．sin2α=2sin αcos α=2⨯135⨯(-1312)=-169120；cos2α=cos 2α-sin 2α=(-1312)2-(135)2=169119； tan2α=αα2cos 2sin =-169120÷169119=-119120．例2 证明恒等式θθθθθθtan cos sin 22cos 2sin 2sin 2=+++． 证明 左边=θθθθθθθcos sin 2)sin (cos 2sin cos sin 2222++-+=)1cos 2(cos )1cos 2(sin ++θθθθ=θtan =右边．所以原式成立．例3 证明sin50︒(1+3tan10︒)=1．证明 左边=sin50︒(1+10cos 10sin 3)=sin50︒ 10cos 10sin 310cos + =2sin50︒1010102321cos sin cos +=2 sin50︒10cos 10sin 30cos 10cos 30sin + =2sin50︒ 10cos 40sin = 10cos 50cos 50sin 2=10cos 100sin =10cos 10cos =1=右边．所以原式成立． 在例10的证明过程中，使用了正弦函数的和角公式、倍角公式，两次应用了诱导公式，还使用了分子、分母同除以2的技巧，其目的是要把看似互不关联的三角函数值关联起来，应用已知公式予以简化，达到证明的目的．可见熟悉公式并灵活应用的重要性．3、课内练习1． 不查表，求下列各式的值：(1)2sin67°30cos67°30'； (2)cos 28π-sin 28π； (3)2cos 212π-1；(4)1-2sin 275°；(5)5.22tan 15.22tan 22-； (6)sin15°cos15°． 2．化简下列各式：(1)(sin α-cos α)2； (2)sin 2θcos 2θ； (3)cos 4ϕ-sin 4ϕ； (4)θθtan 11tan 11+--． 3．已知sin α=0.8，α∈(0, π)，求cos2α，sin2α．4．已知cos α=1312-，α∈(2π,π)，求cos2α，sin2α．5．已知tan α=21，求tan2α．6．证明下列恒等式：(1)2sin (π-α)cos (π+α)=-sin2α； (2)1+2cos 2θ-cos2θ=2； (3)αααsin 2sin 2cos 1=-； (4)ααα2tan 2cos 12cos 1=+-．五、和、差、倍角公式的综合应用1、知识要点（1）两角和与差的三角函数的简单应用应用三角函数的和差角公式和倍角公式，为许多数学问题和实际问题的解决，提供了有力的工具．（2）三角函数式的变形 三角式化简、求值及三角恒等式证明中，主要手段是对三角函数式作各种变形，使之或简单或易于求值或与另一种形式相等．三角函数的和差角公式、倍角公式本身就是一种变形，因此在上述各类问题讨论中有广泛应用．下面将通过一些例子来看一下具体问题中是如何灵活应用的．2、例题分析例1 应用三角函数的和差角公式导出三角函数诱导公式．解 只要取和差角公式中两角之一为诱导公式中的特殊角，就能导出所有的诱导公式．下面挑选几个予以证明，类似可以证明其余．(1)sin(π-α)=sin πcos α-cos πsin α=0⋅cos α-(-1)sin α=sin α； (2)cos(π-α)=cos πcos α+sin πsin α=(-1) cos α+0⋅sin α=-cos α； (3)cos(2π+α)=cos 2πcos α-sin 2πsin α0⋅cos α-1⋅sin α=-sin α．例2 求函数y =sin x +cos x 的最大值和最小值，并判断它是否是周期函数．解 y =sin x +cos x =2(21 sin x +21cos x )=2(sin x cos4π+ cos x sin 4π)=2sin(x +4π). 当x +4π=2π+2k π (k ∈Z )，即x =4π+2k π, (k ∈Z )时，y 达到最大y max =2；当x +4π=-2π+2k π(k ∈Z )，即x =-43π+2k π, (k ∈Z )时，y 达到最小y min =-2 因为sin(x +4π)是以2π为周期的周期函数，所以y =sin x +cos x 是周期是2π的周期函数．例3 如图2三个相同的正方形相接，求证α+β=4π．证明 如图2易知tan α=21, tan β=31，且α,β∈(0,2π)．tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=312113121⨯-+=1，因为α,β∈(0,2π)，所以α+β∈(0, π)．在区间(0,π)内，正切值为1的角只有1个，即tan4π=1，所以α+β=4π．例4 求cos20°cos40°cos80°的值．解一 由sin2α=2sin αcos α，得cos α=ααsin 22sin ．分别应用于原式中三个因子，得cos20°cos40°cos80°=︒︒20sin 240sin ⋅︒︒40sin 280sin ⋅︒︒80sin 2160sin =︒︒20sin 8160sin =81．解二 将所求式的分子分母同乘以23sin20°，逐次应用S 2α ，原式=︒︒︒︒︒20sin 280cos 40cos 20cos 20sin 233=︒︒︒︒20sin 280cos 40cos 40sin 232=︒︒︒20sin 280cos 80sin 23=︒︒20sin 8160sin =81． 例5 已知2π<β<α<43π，cos(α-β)=1312，sin(α+β)=-53，求sin2α． 分析 2α=(α-β)+(α+β)， sin2α=sin [(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)．解 由2π<β<α<43π，知π<α+β<23π，0<α-β<4π，所以 sin(α-β)=)(cos 12βα--=2)1312(1-=135；cos(α+β)=-)(sin 12βα+-=-2)53(1--=-54， 故 sin2α= sin(α+β)cos(α-β)+ cos(α+β)sin(α-β)=-135)54(131253⨯-+⨯=6556-．例6 不查表，求︒-︒10sec 2310csc 21的值．解 原式=︒-︒10cos 2310sin 21=︒︒︒-︒10cos 10sin 210sin 310cos =︒︒-︒20sin )1030sin(2=︒︒20sin 20sin 2=2． 切割化弦(把正切、余切、正割、余割函数化为正弦或余弦函数表示)，使函数名得到统一，是化简三角式中常用手段；遇到三角式a sin α+b cos α时，常用技巧是a sin α+b cos α=2222b a b a b a ++⋅+ααcos sin ，进而简化为22b a +cos(α+ϕ)或22b a +sin(α+ϕ)．例7 若α, β均为锐角，且cos α=552，cos β=10103，求α+β的值． 分析 求α+β的值，一般可先求(α+β)的三角函数值．解 因为α、β均为锐角，所以图2 αβsin α=α2cos 1-=2)552(1-=55，sin β=β2cos 1-=2)10103(1-=1010，cos(α+β)=cos α cos β- sin α sin β=因为0<α+β<π，所以α+β=4π．例8 在斜∆ABC 中，求证：tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ．分析 因为A ,B ,C 为三角形内角，有A +B +C =π，A +B =π-C ，考虑选用两角和的正切公式． 证明 因为A ,B ,C 为三角形内角，有A +B +C =π, A +B =π-C ，且A ,B ,A +B 都不等于π，所以 tan(A +B )=tan(π-C )，即BA B A tan tan 1tan tan -+=-tan C ．所以tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ．3、课内练习 1．不查表，求值(1)cos65°sin70°+sin65°sin20°； (2)︒-︒5.22tan 15.22tan 2； (3)1-22cos 8π； (4)sin40°(tan10°-3)； (5)cos 10°cos20°cos40°．2．已知α+β=4π，求(1+tan α)(1+tan β)的值．3．已知tan(α+β)=52, tan(β-4π)=41，求tan(α+4π)的值．4．若α, β是锐角，且满足cos α=54, cos(α+β)=53，求sin β的值．5．已知sin α=53, α∈(2π,π), tan(π-β)=21，求tan(α-2β)的值．6．已知α, β是锐角，且tan α, tan β是方程6x 2-5x +1=0的两个根，求α+β的值． 7．求证：(1)sin2x (cot2x -tan 2x)=4cos 2x ； (2)2sin(2π+x )cos(2π-x )cos α+(2cos 2x -1)sin α=sin(2x +α)．8.求下列函数的最小值和最大值： (1)y =x x sin cos 2123-； (2)y =2(sin x -cos x )． 9．如图在ΔABC 中，AD ⊥BC 垂足为D ，BD :DC :AD =2:3:6,求∠BAC ． 10．已知等腰三角形的顶角的余弦等于257，求它底角的正弦、余弦和正切．第9题图AB§15.2 知 识 体 系一、三角化简变换：1、同角变换：①1cos sin 22=+αα， ②1cot tan =⋅αα， ③αααcos sin tan =2、负角变换：①ααsin )sin(-=-， ②ααcos )cos(=-， ③ααtan tan(-=-）3、余角变换：①ααπcos )2sin(=±， ②ααπsin )2cos( =±， ③ααπcot )2tan( =±4、平角变换：①ααπsin )sin( =±， ②ααπcos )cos(-=±， ③ααπtan )tan(±=±5、周期变换：①ααπsin )2sin(±=±，②ααπcos )2cos(±=±，③ααπtan )tan(±=± 二、两角和公式1、两角和的正弦： βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+；2、两角和的余弦：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+；3、两角和的正切：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+。