苏教版数学高一必修二 作业 平面的基本性质

点、线、面之间的位置关系平面的基本性质．借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点)[基础·初探]教材整理平面的概念及表示阅读教材～公理以上部分内容，完成下列问题．．概念厚薄平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有，是的．无限延展图－－．表示()图形表示置平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放正方形的的直观图作为平面的直观图(如图－－)．()字母表示α，希腊字母平面通常用β，，表示，也可以用平行四边形的两个相对顶…γ表示，如平面点的字母α、平面等．．点、线、面位置关系的符号表示如果直线⊂平面α，直线⊂平面α，∈，∈，且∈，∈，那么下列说法正确的是．(填序号)①⊂α；②⊄α；③∩α＝；④∩α＝.【解析】∵∈，∈，⊂α，⊂α，∴∈α，∈α.而，确定直线，根据公理可知⊂α.故填①.【答案】①教材整理平面的基本性质阅读教材～，完成下列问题．．平面的基本性质()公理：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点两点都在这个平面内．用符号表示为：⇒⊂α. ()公理：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公的集合是经过这个公共点的一条共点直线．用符号表示为：⇒α∩β＝且∈.()公理：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．．平面的基本性质的推论()推论：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．两条相交直线()推论：经过，有且只有一个平面．()推论：经过两条平行直线，有且只有一个平面．。

公理3 经过不在同一条直线上的三点，
有且只有一个平面.
B
C A α
B C
A α
推论2 经过两条相交直线 ,有且只有
一个平面.
B C
A α
公理3 经过不在同一条直线上的三点，
有且只有一个平面.
B
C A α
B C
αA
推论3 经过两条平行直线,有且只有一
个平面.
B C
αA
知识运用:
例1:已知: A l, B l,C l, D l (见下图)
P
公理3 经过不在同一条直线上的三点，
有且只有一个平面.
B
C A α
B C
αA
推论1 经过一条直线和这条直线外的
一点,有且只有一个平面.
B C
αA
已知：直线 l，点B l
求证：过直线 l 和点B有且只有一个平面.
分析：先在直线 l上任
取两点A,Ｃ，由公理3
B
可知不共线的Ａ,Ｂ,Ｃ
C
三点就能惟一确定一个 α A
求证: 直线 AD, BD,CD 共面.
D
A
BC

l
知识运用:
例2:如图,在长方体 ABCD A1B1C1D1
中, P为棱 BB1 的中点,画出由 A1 ,C1 , P 三点
所确定的平面 与长方体表面的交线.
D1 A1
D A
C1 B1 P
C B
课堂小结:
公 理
Al B
A AB
平面的基本性质
平面的基本性质:
公理1 如果一条直线上的两点在一个平
面内，那么这条直线上所有的点都在这 个平面内．
B α

13.2.1 平面的基本性质
对平面的认识(平面的特点)
平面的画法与表示 (1)平面的画法 画法
图示
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面
当平面水平放置时，常把平 当平面竖直放置时，常把平 行四边形的一边画成横向 行四边形的一边画成竖向
(2)平面的表示方法 ①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. ②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD. ③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC， 平面BD.
的直线 l2 会相交于一点 P, 问 P 点是否一定在直线 l 上？为什么？
l1∩l2 = P,
⇒ P∈l1, P∈l2,
l1 , ⇒ P∈,
l2 b, ⇒ P∈b, ∴ P ∩b,
l l1
P
l2
则点 P 应在 和 b 的交线上,
∴ 点 P 一定在直线 l 上. (如图)
练2.如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
a
（2）平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平
αa
面α内且平行于直线 m.
m
β
基本事实 基本事实1
内容 过__不__在__一__条__直__线__上___的三个 点，有且只有一个平面
基本事实2
如果一条直线上的_两__个__点___ 在一个平面内，那么这条直 线在这个平面内
基本事实3
如果两个不重合的平面有一 个公共点，那么它们有且只 有一条__过__该__点__的__公__共__直__线__
图形
符号 A，B，C三点不共线⇒存在 唯一的α使A，B，C∈α
A∈l，B∈l，且A∈α， B∈α⇒l⊂α

1.2 平面的基本性质一、我们要参观的景点理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系；了解可以用来作为推理依据的三条公理及三条推论，深刻理解其作用.二、我们的旅程景点一：平面的概念（1）概念：平面是不加定义的原始概念；（数学哲学）（2）平面的特征：________________________________________【思考】一个平面可以把空间（宇宙）分成几个部分？两个平面呢？三个平面呢？（3）平面的画法和表示方法（三种方法）：__________________________________________【你到了哪里？】判断下列说法是否正确？并说明理由（1）平行四边形是一个平面；（）（2）平面的形状是平行四边形；（）10cm；（）（4）空间图形中，先画的线是实线，后（3）平面ABCD的面积为2画的是虚线.( )景点二：点、线、面的位置关系直线AB 在平面AC 内集合 和集合 关系直线A A 1不在平面AC 内平面α与平面β相交于直线a【你到了哪里？】1.若点Q 在直线b 上，b 在平面β内，则β、、b Q 之间的关系可记作：_____________2.依据题意，画出图形（1）直线l 过平面α内一点A ，且过外两点B 、C ；（2）平面α与平面β的交线为l ，直线m 在α内，直线n 在β内，且m 、n 与l 分别交于点P 、Q ；景点三：平面的三条基本性质（分别用三种数学语言表述）公理1公理2公理3图形语言文字 语言如果 ____________ ，那么这条直线在此平面内.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 _________________________过 ________ ，有且只有一个平面. 符号语言公理作用【例1】在ABC ∆中，若α⊂AB ，α⊂BC ，试问AC 是否在平面α内；【变式】画出平面P C A 11与长方体下地面ABCD 的交线【例3】已知H G F E ,,,分别是空间四边形ABCD （四条线段首尾相接，且连结点不在同一个平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边CD CB AD AB ,,,上的点，且直线HG EF ,交于点P ，求证：点P D B ,,在同一条直线上.【例4】用公理解释下列现象：（1）将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整； （2）用两个合页和一把锁就能将一扇门固定； （3）照相机支架只需三条腿就够了； （4）许多自行车后轮旁只需安一只撑脚景点四：公理3的三个推论【例5】已知:,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉，求证：直线AD ，BD ，CD 共面【例6】平面的确定及共面问题 （1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）两两平行，但不共面的三条直线可以确定几个平面？ （3）共点的三条直线可以确定几个平面？【你到了哪里？】1. 如果一条直线与两条平行直线都相交,证明：三条直线共面2.在正方体中，试画出过其中三条棱的中点P 、Q 、R 的平面截得正方体的截面形状．3.课本5,4,3,222#P。

1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质学习目标：1.借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)2.会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．平面的概念及表示(1)平面的概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．(2)平面的表示方法①图形表示平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图1-2-1)．图1-2-1②字母表示平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等．(3)点、线、面位置关系的符号表示C AB11(1)平面的基本性质 ①公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为： ⎭⎬⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α. ②公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．用符号表示为：⎭⎬⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l . ③公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(2)公理3的推论①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． ②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．[基础自测]1．如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，M ∈a ，N ∈b ，且M ∈l ，N ∈l ，那么下列说法正确的是________．(填序号)①l ⊂α；②l ⊄α；③l ∩α＝M ；④l ∩α＝N .[解析] ∵M ∈a ，N ∈b ，a ⊂α，b ⊂α，∴M ∈α，N ∈α.而M ，N 确定直线l ，根据公理1可知l ⊂α.故填①.[答案] ①2．如图1-2-2所示，用符号可表达为________．图1-2-2[解析]由题图可知平面α与平面β相交于直线m，且直线n在平面α内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A.[答案]α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A3．下列说法正确的是________．(填序号)①三点可以确定一个平面；②一条直线和一个点可以确定一个平面；③四边形是平面图形；④两条相交直线可以确定一个平面．[解析]①错误，不共线的三点可以确定一个平面．②错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．③错误，四边形不一定是平面图形．④正确，两条相交直线可以确定一个平面．[答案]④[合作探究·攻重难]系．①②图1-2-3(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC”，并画出图形．[思路探究]根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化．[解](1)①α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，l∥m.②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩γ＝O.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形表示：1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．(1)(2)图1-2-4图(1)可以用几何符号表示为________________．图(2)可以用几何符号表示为________________．[答案](1)α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB，a∥b(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A l，B l线共面．[思路探究]法一：a，b确定一个平面→l在平面内→a，c，l共面→a，b，c，l共面法二：a，b确定一个平面→b，c确定另一个平面→两平面重合[解]如图．法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A，B在α内，即直线l⊂α.∴a，b，l共面．同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内．故a，b，c，l共面．法二：∵a∥b，∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b，∴AB⊂α，即l⊂α.又∵b∥c，∴过b，c确定平面β，而B∈b，C∈c，∴BC⊂β，即l⊂β.∴b，l⊂α，b，l⊂β，而b∩l＝B，∴α与β重合，故a，b，c，l共面．2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.【导学号：85012015】[解]已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A ∈l 2，l 2∈β，∴A ∈β.同理可证B ∈α，B ∈β，C ∈α，C ∈β.∴不共线的三个点A ，B ，C 既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l 1，l 2，l 3在同一平面内．1．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？[提示] 由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交于一条直线．2．如图1-2-5所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．试问CE ，D 1F ，DA 三线是否交于一点？为什么？图1-2-5[提示] 交于一点．证明：如图所示，连结EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，∴EF 12A 1B .又∵A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥D 1C ，∴E ，F ，D 1，C 四点共面，且EF＝12D1C，∴D1F与CE相交于点P.又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD.∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理3，可得P∈DA，即CE，D1F，DA相交于一点．如图1-2-6所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点．图1-2-6[思路探究]先证明GH和EF共面且交于一点O，然后说明O是平面ABD 和平面BCD的公共点，而平面ABD和平面BCD相交于直线BD，根据公理2，两平面相交，有且只有一条交线．因此点O在交线上，即点O在直线BD上．从而证明了直线EF，GH，BD都过点O.[解]∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC，GE＝12AC.又DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，∴FH∥AC，FH＝25AC.∴FH∥GE，FH≠GE.∴四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.∵O在平面ABD内，又在平面BCD内，∴O在这两平面的交线上．而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，∴点O在直线BD上．∴EF，GH，BD交于一点．3．如图1-2-7，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别在棱AB，BB1，CC1上，且DP，RQ相交于点O.求证：O，B，C三点共线．图1-2-7[证明]如图，可知平面AC∩平面BC1＝BC.O为平面BC1与平面AC的公共点又∵平面AC∩平面BC1＝BC，∴O∈BC，即O，B，C三点共线．[当堂达标·固双基]1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的有________．①A∈a，aα⇒Aα；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A a，a⊂α⇒Aα；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α.[解析]①不正确，如a∩α＝A；②不正确，“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误．[答案]①②③④2.如图1-2-8所示，点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的交点的个数是________个．图1-2-8[解析]因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面ABC与平面α的交点有无数个．[答案]无数3．空间三条直线a，b，c，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为________个．[答案] 34．下列图形(如图1-2-9)均表示两个相交平面，其中画法正确的是________.【导学号：85012016】①②③④图1-2-9[答案]④5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由．[解]设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1∩平面BDC1＝MN，如图．理由如下：∵点M∈平面ACD1，点N⊂平面ACD1，所以MN⊂平面ACD1.同理，MN⊂平面BCD1，∴平面ACD1∩平面BDC1＝MN，即MN是平面ACD1与平面BDC1的交线．。

平面的基本性质⑴【双基提要】1、掌握平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用；2、会用文字语言、图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系；3、掌握平面的基本性质及其推论的三种语言表示，初步掌握性质与推论的简单应用。

【课堂反馈】1、下面有4个命题：①若l B l A ∈∈,且αα∈∈B A ,，则必有α∈l ；②四边形的两条对角线必相交于一点；③用平行四边形表示平面，平行四边形的边为平面的边界；④梯形是平面图形，其中正确命题的个数为 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、下列推理中，错误的个数为 （ ）①ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,； ②AB B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,； ③αα∉⇒∈⊄A l A l ,； ④βα∈∈C B A C B A ,,,,,且A 、B 、C 不共线α⇒与β重合。

A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个3、已知P n m n m l =⊂⊂= ,,,βαβα，则点P 与直线l 的位置关系为 （用符号表示）。

4、空间四点，没有任何三点共线，则可确定平面的个数是 。

5、已知B b l A a l b a == ,,//，求证，过l b a ,,有且只有一个平面。

6、在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AA 1、D 1C 1的中点，过D 、M 、N 的平面α与正方体的下底面A 1B 1C 1D 1相交于直线l 。

⑴画出直线l ；⑵画出α与正方体的各面的交线；⑶设PAl=B，求PB1的长。

11【巩固练习】1、下列命题中正确的个数是（）①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形；③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上。

A、1B、2C、3D、42、空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下列结论中成立的是（）A、四点中必有三点共线B、四点中必有三点不共线C、AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条直线平行D、直线AB与CD必相交3、下列命题：①8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；②平行四边形是一个平面；③任何一个平面图形都是一个平面；④平面是一个绝对平的、无厚度，可以无限延伸的抽象的数学概念；⑤空间图形中先画的是实线，后画的为虚线。

证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β(即平面ABCD)，又因 为 AB∩α ＝ E ， AB⊂β ， 所 以 E∈α ， E ∈ β ， 即 E 为 平 面 α 与 β 的 一 个 公 共 点． 同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，两个平面有公共点，它们有 且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．
第13章 立体几何初步
平面的基本性质
数学
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
1．平面 (1)平面的概念 平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．平面通常用_平__行__四__边__形___来表 示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的_正__方__形___的直观图作为平 面的直观图．
(2)平面的表示法 平面通常用希腊字母α，β，γ，… 表示，也可以用平行四边形的两个相对 顶点的字母表示；如图的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平 面BD.
1．几何里的平面有什么特点？ 提示：(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能 进行度量． (2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
2．如图所示，下列符号表示错误的是( )
√A．l∈α
C．l⊂α
B．P∈/ l D．P∈α
解析：观察题图知，P∈/ l，P∈α，l⊂α，则 l∈α 是错误的．
3．下面是一些命题的叙述语(A，B 表示点，a 表示直线，α，β 表示平面)， 其中命题和叙述方法都正确的是( ) A．因为 A∈α，B∈α，所以 AB∈α B．因为 a∈α，a∈β，所以 α∩β＝a
探究点3 三点共线、三线共点问题 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点

同理： d
a，b，c，d共面.
推论3：经过两条平行的直线有且只有一个 平面.
图形语言：
a，b
符号语言：a // b 有且只有一个平面 , 使a , b
推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面.
已知：直线 a，b且 a // b 求证：过 a，b 有且只有一个平面． 证明： 由平行线的定义知 a，b在同一平面内 A
a，b
a, b有平面 如果经过直线a ， b的平面还有一个平面，
那么a ∈， b 设点A为直线a上任一点 则点A在直线b外
过 a，b 有且只有一个平面． 点A和直线b在过a，b的平面 ，内
P l B． P l D．
2．下列推理，错误的是（ C ） A．A l , A , B l , B l B．A , A , B , B AB
l , A l A C．
D． A, B, C , A, B, C , 且】已知： A l , B l , C l , D l 求证：直线 AD、BD、CD 共面.
证明： D l
直线 l 与点 D 可以确定一个平面（推论１）
又
Al A D 又 AD （公理１）
直线 AD、BD、CD 在同一个平面 内
表示 3．下面是四个命题的叙述语（其中A，B表示点，a表示直线，
平面）
① A , B AB ③ A a, a A ② A , B AB ④ A , a A a
④ 其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________ ．
二、建构数学
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有 且只有一个平面.

课时训练5平面的基本性质1.图中表示两个相交平面,其中画法正确的是()解析：对于A,图中没有画出平面α与平面β的交线,另外图中的实、虚线也没有按照画法原则去画,因此A的画法不正确.同样的道理,也可知图形B,C的画法均不正确.选项D的画法正确.答案：D2.下列命题中正确的是()A.如果平面α与平面β相交,那么它们只有有限个公共点B.两个平面的交线可能是一条线段C.两两平行的三条直线确定三个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个面就重合为一个面解析：由公理2知A,B不正确;两两平行的三条直线也可能确定一个平面,C不正确.答案：D3.已知点A,直线a,平面α.①A∈a,a⊄α⇒A∉α;②A∈a,a∈α⇒A∈α;③A∉a,a⊂α⇒A∉α;④A∈a,a⊂α⇒A⊂α.以上命题表达正确的个数为()A.0B.1C.2D.3解析：①中若a与α相交,且交点为A,则不正确;②中“a∈α”符号不正确;③中A可在α内,也可在α外;④符号“A⊂α”不正确.答案：A4.(2016安徽蚌埠高二期中)三条两两平行的直线可以确定平面的个数为()A.0B.1C.0或1D.1或3解析：若三条直线在同一个平面内,则此时三条直线只能确定一个平面;若三条直线不在同一个平面内,则此时三条直线能确定三个平面.故选D.答案：D5.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为.(六个面都是平行四边形的四棱柱为平行六面体)解析：如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1,与AB,CC1都共面的棱为BC,D1C1,DC,AA1,BB1,共5条.答案：56.(2016四川德阳高二期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是.(导学号51800110)①A,C,O1,D1;②D,E,G,F;③A,E,F,D1;④G,E,O1,O2.解析：①由题意,O1是AD1的中点,所以O1在平面ACD1内;②因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F不共面;③由已知可得EF∥AD1,所以A,E,F,D1共面;④连结GO2,交A1D1于点H,则H为A1D1的中点,连结HO1,则HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面.答案：①③④7.按照给出的要求,完成下面两个相交平面的作图.如图(1),(2),(3),(4),(5),(6)中的线段AB,分别是两个平面的交线.解本题只需过线段的端点画出与交线AB平行且相等的线段,即可得到相关的平行四边形,注意被平面遮住的部分应画成虚线,然后在相关的平面上标上表示平面的字母即可,如图所示.8.已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=M,BC∩α=N,AC∩α=P,如图所示,求证:M,N,P 三点共线.证明∵直线AB∩α=M,∴M∈AB,M∈α.又∵直线AB⊂平面ABC,∴M∈平面ABC,∴由此可知M是平面ABC与α的公共点,∴点M在平面ABC与α的交线上,同理可证:N,P也在平面ABC与α的交线上,即M,N,P三点都在平面ABC与α的交线上,∴M,N,P三点共线.9.如右图,课本ABCD的一个角A在桌面上,并且课本立于课桌上,问课本所在的平面α与桌面所在的平面β是只有这一个公共点A吗?要不是,如何作出平面α与平面β的交线?(导学号51800111)解不止一个公共点,除点A外还有公共点.延长线段CD交平面β于点P,作直线PA,即是平面α与平面β的交线,∵P∈CD,CD⊂α,∴P∈α.又∵P∈β,∴P是平面α和平面β的公共点.∵A∈β且A∈α,∴直线PA是平面α与平面β的交线.。

位置关系 点P在直线AB上 点C不在直线AB上 点M在平面AC内 点A1不在平面AC内 直线AB与直线BC交于点B 直线AB在平面AC内 直线AA1不在平面AC内
符号表示 P∈AB C∉AB
M∈平面AC A1∉平面AC AB∩BC＝B AB⊂平面AC AA1⊄平面AC
平面的基本性质及作用
基事实 (推论)
法二 (同法一、重合法)∵l1∩l2＝A， ∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内. ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
顶点字母表示（如下面的图形）。
a
b
平面a
D
A
E
C B
F 平面BCF
平面b
平面的画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面。
画 当平面水平放置 当平面竖直放置
法 时，常把平行四 时，常把平行四
边形的一边画成 边形的一边画成
横向。
竖向。
两个相交平面的 画法
图 示
点、线、面之间的位置关系
点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
D
C
A
B
l1
l2 A
B
l3 C
2.(多选)下列说法正确的是
√A.平面是处处平的面 √B.平面是无限延展的
C.平面的形状是平行四边形 D.一个平面的厚度可以是0.001 cm
解析 平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，AB两种说法 是正确的； CD两种说法是错误的.
3.若一直线a在平面α内，则正确的作图是

1．2.1平面的基本性质我们在日常生活中常见到一些物体如湖面、黑板面、桌面、玻璃面，都给我们以平面的感觉．那么我们能够将这些面定义为平面吗？测量中的平板仪、望远镜或照相机等都用三条腿的架子支撑在地面上，你知道其中的道理吗？1．我们知道，几何里的平面是无限延展的，通常把水平的平面画成一个平行四边形，常用符号的规定是：①A∈α，读作：“点A在平面α内”；B∉α，读作：“点B在平面α外或点B不在平面α内”．②A∈l，读作：“点A在直线l上”；B∉l，读作：“点B在直线l外或点B不在直线l上”．③l⊂α，读作：“直线l在平面α内”；l⊄α，读作：“直线l在平面α外或直线l不在平面α内”．2．公理1.(1)文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)符号语言：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒l⊂α．3．公理2.(1)文字语言：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．(2)符号语言：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，P∈l．4．公理3.(1)文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(2)符号语言：A∈l，B∈l，C∉l⇒三点A、B、C确定唯一平面α．5．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．6．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．7．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．,一、公理1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．该公理是判定直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，即只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内即可．二、公理2公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．该公理主要用于判定或证明两个平面相交及三点在同一条直线上．证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内)，这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上．证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线．三、公理3及其三个推论公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3和三个推论是证明点和点、点和线、线和线共面的重要依据，是把空间问题化归成平面问题的重要渠道．基础巩固知识点一平面的概念及符号表示1．下列说法中，正确的有________(填序号)．①一个平面长4 m，宽2 m；②2个平面重叠在一起比一个平面厚；③一个平面的面积是25 cm2；④一条直线的长度比一个平面的长度大；⑤圆和平行四边形都可以表示平面．解析：根据平面定义，前4个说法均不正确，⑤正确．答案：⑤2．点M在直线a上，且直线a在平面α内，可记为________．解析：点、线、面的关系采用集合中的符号来记．答案：M∈a⊂α3．根据下列条件，画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线CD⊂α，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F∉AB.解析：由题意画图形如下：知识点二平面基本性质三条公理4．平面α、β有公共点A，则α、β有________个公共点．解析：根据公理2.答案：无数5．如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D ，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过点________．解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．答案：C和D6．空间任意四点可以确定________个平面．解析：若四点共线，可确定无数个平面；若四点共面不共线，可确定一个平面；若四点不共面，可确定四个平面．答案：1个或4个或无数知识点三平面基本性质三条推论7．下列命题说法正确的是________(填序号)．①空间中不同三点确定一个平面；②空间中两两相交的三条直线确定一个平面；③一条直线和一个点能确定一个平面；④梯形一定是平面图形．解析：根据三个公理及推论知①②③均不正确．答案：④8．下列各图的正方体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．解析：①中PS∥RQ，③中SR∥PQ，由推论3知四点共面．答案：①③9．点A在直线l上但不在平面α内，则l与α的公共点有__________个．答案：0或1能力升级综合点一点共线的问题10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E，则B、E、D1三点的关系是________________________________．解析：连接AC、A1C1、AC1，则E为A1C与AC1的交点，故E为AC1的中点．又ABC1D1为平行四边形，所以B、E、D1三点共线．答案：共线11．如右图，E、F、G、H分别是空间四边形中AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O.求证：B、D、O三点共线．证明：∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理可证O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即B、D、O三点共线．综合点二线共点问题12．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1、AB的中点，求证：D1E、CF、DA三线共点．证明：如图，连接EF，A1B，D1C，∵E、F为AA1、AB的中点，∴EF綊12A1B.又∵A1B綊D1C，∴EF綊12D1C.故直线D1E、CF在同一个平面内，且D1E、CF不平行，则D1E、CF必相交于一点，设该点为M.又∵M∈平面ABCD且M∈平面ADD1A1，∴M∈AD，即D1E、CF、DA三线共点．综合点三点、线共面问题13．下列叙述中，正确的是________(填序号)．①若点P在直线l上，点P在直线m上，点P在直线n上，则l、m、n共面；②若点P在直线l上，点P在直线m上，则l、m共面；③若点P不在直线l上，点P不在直线m上，点P不在直线n上，则l、m、n不共面；④若点P不在直线l上，点P不在直线m上，则l、m不共面；⑤若点P在直线l上，点P不在直线m上，则l、m不共面．解析：∵P∈l，P∈m，∴l∩m＝P.由推论2知，l、m共面．答案：②综合点四同一法证直线共面14．已知：a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a、b、c、l四线共面．证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面α.∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.∴AB⊂α，即l⊂α.同理，由b∥c，得b，c确定一个平面β，可证l⊂β.∴l、b⊂α，l、b⊂β.∵l∩b＝B，∴l、b只能确定一个平面．∴α与β重合．故c在平面α内．∴a、b、c、l四线共面．。

2．点、线、面位置关系的符号表示
位置关系
符号表示
点 P 在直线 AB 上
P∈AB
点 M 在平面 AC 上
M∈平面 AC
直线 AB 与直线 BC 交于点 B AB∩BC＝B
直线 AB 在平面 AC 内 AB⊂平面 AC
同理，点 P 不在直线 AB 上，记作 P∉AB；点 M 不在平面 AC 上，记作 M∉平面 AC；直线 AB 不在平面 AC 内，记作 AB⊄ 平面 AC.
(2)若 a、b、c、d 四直线无三条直线共点，设 a∩b＝A，a∩c ＝B，b∩c＝C，d∩a＝D，d∩b＝E，d∩c＝F，且相交直线 a、 b 确定的平面为 α，图像如图所示．
∵B∈a，a⊂α，∴B∈α，同理 C∈α. ∴BC⊂α，即 c⊂α，同理 d⊂α.∴a、b、c、d 共面于 α. 综合(1)(2)可知，a、b、c、d 四线共面．
试一试：在立体几何中如何直接应用平面几何中的有关定 理解题或证题．
提示 将有关元素化归到一个平面内，才可以用平面几何 中有关定理解题或证题．如果不能化归到一个平面内，则平面 几何中有关定理或不成立，或成立但也不能直接应用，必须先 给出证明再使用．
名师点睛 1．证明直线在平面内的方法：证明直线上有两点在平面内． 2．证明空间的若干个点和若干条直线都在同一平面内的问 题称作共面问题，共面问题的证明，一般先确定平面，然后再 证明元素在这个确定的平面内，确定平面时，确定平面的元素 必须满足公理 3 或其三个推论的条件，证明元素在平面内，常 依据公理 1 或用反证法或用平面重合的方法．
如图： ∵a∥b，∴a、b 确定平面 α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴l 上有两点 A、B 在 α 内． 即直线 l⊂a，∴a、b、l 共面． 同理，a、c、l 共面，即 c 也在 a、l 确定的平面内． 故 a、b、c、l 共面．

图形语言
符号语言 若A，B，C三点不共 线，则有且只有一个 平面α，使A∈α，B∈
α，C∈α
AB∈ ∈αα⇒AB ⊂α
文字语言
基本 事实3
如果两个不重合的平面 _有__一__个__公__共__点___，那么它们 _有__且__只__有___一条过该点的 _公___共__直__线__
图形语言
符号语言
3．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是 答案：D
()
4．如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α 经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直 线DE的位置关系是________．
解析：因为AC∩BC＝C，所以直线AC与BC确定一个平面β. 可知α∩β＝DE，因为P∈AB，所以P∈β，又P∈α，所以P∈DE，故点P与直线 DE的位置关系是P∈DE. 答案：P∈DE
法二(辅助平面法)：∵a∥b，∴a，b确定一个平面，设为α. ∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，∴l⊂α. ∵点C∈l，∴点C∈α，∴a与点C同在平面α内． 又a∥c，∴直线a，c确定一个平面β. ∵点C∈c，c⊂β， ∴点C∈β，即a与点C同在平面β内． ∴平面α和平面β重合，则c⊂α，∴直线a，b，c和l共面．
三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．
答案：∈ ∉ ⊄ AC
文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

平行四边形
通常画平行四边形来表示平面.
四面体
三个平面相交 且交于一点
在画平行四边形表示平面时，所表示的平面如果 是水平平面，通常把锐角画成45°，横边画成邻 边的两倍.
45°
如果是非水平平面，只要画成平行四边形. 铅直平面
如果几个平面画在一起，当一个平面 有一部分被另一个平面遮住时，应把 被遮部分的线段画成虚线或不画.
P，Q，R三点共线.
要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相交平 面内，则落在它们的交线上.
1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的
是（）. B
A.B. Al,l
Al,l
C.D. A l,l
A l,l
2.下列叙述中，正确的是（）D.
A.因为，P所以,Q
高中数学课件
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楚水实验学校高一数学备课组
空间图形
平面图形
.
立体图形
特征：
特征：
①由点和线组成（实质是由点组成， 因为线可以看成是点的集合）；
①由点、线、面构成（实质是由 点构成的）；
②各点都在同一个平面内
②各点不都在同一个平面内。
问题一：你能过任意一点引三条互相垂直的 直线吗？
墙角
5.平面的基本性质
请大家拿出你的一把尺，如果把桌面看作一个 平面，把你的尺看作是一条直线的话，你觉得 在什么情况下，才能使你的尺所代表的直线上 的所有点都能在桌面上？
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平 面内.
图形语言：
符号语言：
A B

【例3】已知：ABC 在平面外， AB P，
AC R，BC Q A