苏教版数学高一必修二 作业 平面的基本性质

点、线、面之间的位置关系平面的基本性质．借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点)[基础·初探]教材整理平面的概念及表示阅读教材～公理以上部分内容，完成下列问题．．概念厚薄平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有，是的．无限延展图－－．表示()图形表示置平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放正方形的的直观图作为平面的直观图(如图－－)．()字母表示α，希腊字母平面通常用β，，表示，也可以用平行四边形的两个相对顶…γ表示，如平面点的字母α、平面等．．点、线、面位置关系的符号表示如果直线⊂平面α，直线⊂平面α，∈，∈，且∈，∈，那么下列说法正确的是．(填序号)①⊂α；②⊄α；③∩α＝；④∩α＝.【解析】∵∈，∈，⊂α，⊂α，∴∈α，∈α.而，确定直线，根据公理可知⊂α.故填①.【答案】①教材整理平面的基本性质阅读教材～，完成下列问题．．平面的基本性质()公理：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点两点都在这个平面内．用符号表示为：⇒⊂α. ()公理：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公的集合是经过这个公共点的一条共点直线．用符号表示为：⇒α∩β＝且∈.()公理：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．．平面的基本性质的推论()推论：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．两条相交直线()推论：经过，有且只有一个平面．()推论：经过两条平行直线，有且只有一个平面．。

1.2 平面的基本性质一、我们要参观的景点理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系；了解可以用来作为推理依据的三条公理及三条推论，深刻理解其作用.二、我们的旅程景点一：平面的概念（1）概念：平面是不加定义的原始概念；（数学哲学）（2）平面的特征：________________________________________【思考】一个平面可以把空间（宇宙）分成几个部分？两个平面呢？三个平面呢？（3）平面的画法和表示方法（三种方法）：__________________________________________【你到了哪里？】判断下列说法是否正确？并说明理由（1）平行四边形是一个平面；（）（2）平面的形状是平行四边形；（）10cm；（）（4）空间图形中，先画的线是实线，后（3）平面ABCD的面积为2画的是虚线.( )景点二：点、线、面的位置关系直线AB 在平面AC 内集合 和集合 关系直线A A 1不在平面AC 内平面α与平面β相交于直线a【你到了哪里？】1.若点Q 在直线b 上，b 在平面β内，则β、、b Q 之间的关系可记作：_____________2.依据题意，画出图形（1）直线l 过平面α内一点A ，且过外两点B 、C ；（2）平面α与平面β的交线为l ，直线m 在α内，直线n 在β内，且m 、n 与l 分别交于点P 、Q ；景点三：平面的三条基本性质（分别用三种数学语言表述）公理1公理2公理3图形语言文字 语言如果 ____________ ，那么这条直线在此平面内.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 _________________________过 ________ ，有且只有一个平面. 符号语言公理作用【例1】在ABC ∆中，若α⊂AB ，α⊂BC ，试问AC 是否在平面α内；【变式】画出平面P C A 11与长方体下地面ABCD 的交线【例3】已知H G F E ,,,分别是空间四边形ABCD （四条线段首尾相接，且连结点不在同一个平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边CD CB AD AB ,,,上的点，且直线HG EF ,交于点P ，求证：点P D B ,,在同一条直线上.【例4】用公理解释下列现象：（1）将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整； （2）用两个合页和一把锁就能将一扇门固定； （3）照相机支架只需三条腿就够了； （4）许多自行车后轮旁只需安一只撑脚景点四：公理3的三个推论【例5】已知:,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉，求证：直线AD ，BD ，CD 共面【例6】平面的确定及共面问题 （1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）两两平行，但不共面的三条直线可以确定几个平面？ （3）共点的三条直线可以确定几个平面？【你到了哪里？】1. 如果一条直线与两条平行直线都相交,证明：三条直线共面2.在正方体中，试画出过其中三条棱的中点P 、Q 、R 的平面截得正方体的截面形状．3.课本5,4,3,222#P。

1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质学习目标：1.借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)2.会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．平面的概念及表示(1)平面的概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．(2)平面的表示方法①图形表示平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图1-2-1)．图1-2-1②字母表示平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等．(3)点、线、面位置关系的符号表示C AB11(1)平面的基本性质 ①公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为： ⎭⎬⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α. ②公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．用符号表示为：⎭⎬⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l . ③公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(2)公理3的推论①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． ②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．[基础自测]1．如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，M ∈a ，N ∈b ，且M ∈l ，N ∈l ，那么下列说法正确的是________．(填序号)①l ⊂α；②l ⊄α；③l ∩α＝M ；④l ∩α＝N .[解析] ∵M ∈a ，N ∈b ，a ⊂α，b ⊂α，∴M ∈α，N ∈α.而M ，N 确定直线l ，根据公理1可知l ⊂α.故填①.[答案] ①2．如图1-2-2所示，用符号可表达为________．图1-2-2[解析]由题图可知平面α与平面β相交于直线m，且直线n在平面α内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A.[答案]α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A3．下列说法正确的是________．(填序号)①三点可以确定一个平面；②一条直线和一个点可以确定一个平面；③四边形是平面图形；④两条相交直线可以确定一个平面．[解析]①错误，不共线的三点可以确定一个平面．②错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．③错误，四边形不一定是平面图形．④正确，两条相交直线可以确定一个平面．[答案]④[合作探究·攻重难]系．①②图1-2-3(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC”，并画出图形．[思路探究]根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化．[解](1)①α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，l∥m.②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩γ＝O.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形表示：1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．(1)(2)图1-2-4图(1)可以用几何符号表示为________________．图(2)可以用几何符号表示为________________．[答案](1)α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB，a∥b(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A l，B l线共面．[思路探究]法一：a，b确定一个平面→l在平面内→a，c，l共面→a，b，c，l共面法二：a，b确定一个平面→b，c确定另一个平面→两平面重合[解]如图．法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A，B在α内，即直线l⊂α.∴a，b，l共面．同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内．故a，b，c，l共面．法二：∵a∥b，∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b，∴AB⊂α，即l⊂α.又∵b∥c，∴过b，c确定平面β，而B∈b，C∈c，∴BC⊂β，即l⊂β.∴b，l⊂α，b，l⊂β，而b∩l＝B，∴α与β重合，故a，b，c，l共面．2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.【导学号：85012015】[解]已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A ∈l 2，l 2∈β，∴A ∈β.同理可证B ∈α，B ∈β，C ∈α，C ∈β.∴不共线的三个点A ，B ，C 既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l 1，l 2，l 3在同一平面内．1．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？[提示] 由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交于一条直线．2．如图1-2-5所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．试问CE ，D 1F ，DA 三线是否交于一点？为什么？图1-2-5[提示] 交于一点．证明：如图所示，连结EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，∴EF 12A 1B .又∵A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥D 1C ，∴E ，F ，D 1，C 四点共面，且EF＝12D1C，∴D1F与CE相交于点P.又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD.∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理3，可得P∈DA，即CE，D1F，DA相交于一点．如图1-2-6所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点．图1-2-6[思路探究]先证明GH和EF共面且交于一点O，然后说明O是平面ABD 和平面BCD的公共点，而平面ABD和平面BCD相交于直线BD，根据公理2，两平面相交，有且只有一条交线．因此点O在交线上，即点O在直线BD上．从而证明了直线EF，GH，BD都过点O.[解]∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC，GE＝12AC.又DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，∴FH∥AC，FH＝25AC.∴FH∥GE，FH≠GE.∴四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.∵O在平面ABD内，又在平面BCD内，∴O在这两平面的交线上．而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，∴点O在直线BD上．∴EF，GH，BD交于一点．3．如图1-2-7，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别在棱AB，BB1，CC1上，且DP，RQ相交于点O.求证：O，B，C三点共线．图1-2-7[证明]如图，可知平面AC∩平面BC1＝BC.O为平面BC1与平面AC的公共点又∵平面AC∩平面BC1＝BC，∴O∈BC，即O，B，C三点共线．[当堂达标·固双基]1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的有________．①A∈a，aα⇒Aα；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A a，a⊂α⇒Aα；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α.[解析]①不正确，如a∩α＝A；②不正确，“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误．[答案]①②③④2.如图1-2-8所示，点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的交点的个数是________个．图1-2-8[解析]因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面ABC与平面α的交点有无数个．[答案]无数3．空间三条直线a，b，c，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为________个．[答案] 34．下列图形(如图1-2-9)均表示两个相交平面，其中画法正确的是________.【导学号：85012016】①②③④图1-2-9[答案]④5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由．[解]设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1∩平面BDC1＝MN，如图．理由如下：∵点M∈平面ACD1，点N⊂平面ACD1，所以MN⊂平面ACD1.同理，MN⊂平面BCD1，∴平面ACD1∩平面BDC1＝MN，即MN是平面ACD1与平面BDC1的交线．。

平面的基本性质⑴【双基提要】1、掌握平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用；2、会用文字语言、图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系；3、掌握平面的基本性质及其推论的三种语言表示，初步掌握性质与推论的简单应用。

【课堂反馈】1、下面有4个命题：①若l B l A ∈∈,且αα∈∈B A ,，则必有α∈l ；②四边形的两条对角线必相交于一点；③用平行四边形表示平面，平行四边形的边为平面的边界；④梯形是平面图形，其中正确命题的个数为 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、下列推理中，错误的个数为 （ ）①ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,； ②AB B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,； ③αα∉⇒∈⊄A l A l ,； ④βα∈∈C B A C B A ,,,,,且A 、B 、C 不共线α⇒与β重合。

A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个3、已知P n m n m l =⊂⊂= ,,,βαβα，则点P 与直线l 的位置关系为 （用符号表示）。

4、空间四点，没有任何三点共线，则可确定平面的个数是 。

5、已知B b l A a l b a == ,,//，求证，过l b a ,,有且只有一个平面。

6、在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AA 1、D 1C 1的中点，过D 、M 、N 的平面α与正方体的下底面A 1B 1C 1D 1相交于直线l 。

⑴画出直线l ；⑵画出α与正方体的各面的交线；⑶设PAl=B，求PB1的长。

11【巩固练习】1、下列命题中正确的个数是（）①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形；③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上。

A、1B、2C、3D、42、空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下列结论中成立的是（）A、四点中必有三点共线B、四点中必有三点不共线C、AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条直线平行D、直线AB与CD必相交3、下列命题：①8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；②平行四边形是一个平面；③任何一个平面图形都是一个平面；④平面是一个绝对平的、无厚度，可以无限延伸的抽象的数学概念；⑤空间图形中先画的是实线，后画的为虚线。

课时训练5平面的基本性质1.图中表示两个相交平面,其中画法正确的是()解析：对于A,图中没有画出平面α与平面β的交线,另外图中的实、虚线也没有按照画法原则去画,因此A的画法不正确.同样的道理,也可知图形B,C的画法均不正确.选项D的画法正确.答案：D2.下列命题中正确的是()A.如果平面α与平面β相交,那么它们只有有限个公共点B.两个平面的交线可能是一条线段C.两两平行的三条直线确定三个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个面就重合为一个面解析：由公理2知A,B不正确;两两平行的三条直线也可能确定一个平面,C不正确.答案：D3.已知点A,直线a,平面α.①A∈a,a⊄α⇒A∉α;②A∈a,a∈α⇒A∈α;③A∉a,a⊂α⇒A∉α;④A∈a,a⊂α⇒A⊂α.以上命题表达正确的个数为()A.0B.1C.2D.3解析：①中若a与α相交,且交点为A,则不正确;②中“a∈α”符号不正确;③中A可在α内,也可在α外;④符号“A⊂α”不正确.答案：A4.(2016安徽蚌埠高二期中)三条两两平行的直线可以确定平面的个数为()A.0B.1C.0或1D.1或3解析：若三条直线在同一个平面内,则此时三条直线只能确定一个平面;若三条直线不在同一个平面内,则此时三条直线能确定三个平面.故选D.答案：D5.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为.(六个面都是平行四边形的四棱柱为平行六面体)解析：如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1,与AB,CC1都共面的棱为BC,D1C1,DC,AA1,BB1,共5条.答案：56.(2016四川德阳高二期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是.(导学号51800110)①A,C,O1,D1;②D,E,G,F;③A,E,F,D1;④G,E,O1,O2.解析：①由题意,O1是AD1的中点,所以O1在平面ACD1内;②因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F不共面;③由已知可得EF∥AD1,所以A,E,F,D1共面;④连结GO2,交A1D1于点H,则H为A1D1的中点,连结HO1,则HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面.答案：①③④7.按照给出的要求,完成下面两个相交平面的作图.如图(1),(2),(3),(4),(5),(6)中的线段AB,分别是两个平面的交线.解本题只需过线段的端点画出与交线AB平行且相等的线段,即可得到相关的平行四边形,注意被平面遮住的部分应画成虚线,然后在相关的平面上标上表示平面的字母即可,如图所示.8.已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=M,BC∩α=N,AC∩α=P,如图所示,求证:M,N,P 三点共线.证明∵直线AB∩α=M,∴M∈AB,M∈α.又∵直线AB⊂平面ABC,∴M∈平面ABC,∴由此可知M是平面ABC与α的公共点,∴点M在平面ABC与α的交线上,同理可证:N,P也在平面ABC与α的交线上,即M,N,P三点都在平面ABC与α的交线上,∴M,N,P三点共线.9.如右图,课本ABCD的一个角A在桌面上,并且课本立于课桌上,问课本所在的平面α与桌面所在的平面β是只有这一个公共点A吗?要不是,如何作出平面α与平面β的交线?(导学号51800111)解不止一个公共点,除点A外还有公共点.延长线段CD交平面β于点P,作直线PA,即是平面α与平面β的交线,∵P∈CD,CD⊂α,∴P∈α.又∵P∈β,∴P是平面α和平面β的公共点.∵A∈β且A∈α,∴直线PA是平面α与平面β的交线.。