运筹学复习考点

运筹学复习重点第1章线性规划与单纯形法（1）化线形规划标准形的手法（2）线性规划解的概念、解的情形、解的判定（3）单纯形法的计算过程、迭代逻辑。

（4）熟练运用单纯形表求解问题；若给出单纯形表，要会解读，会基于单纯形法基本原理反推出表中一些参数。

（5）两阶段法、大M法第2章对偶理论和灵敏度分析（1）会写对偶问题，掌握对偶性质，原问题与对偶问题之间的关系。

（2）互补松弛定理的应用：知道一个问题的最优解，求另一个问题的最优解。

（3）对偶单纯形法（4）当目标函数系数和右端项变化时灵敏度分析的简便方法第4章整数规划（1）分支定界法：如何构造分支子问题，如何更新目标函数最优值上下界，何时终止。

（2）割平面法：如何写对源约束方程；如何拆分、组装割平面方程；如何利用对偶单纯形法继续求解。

第5章无约束优化（1）凸函数与凸规划的定义与判别（2）一维搜索的0.618法基本原理和迭代过程（3）无约束优化的最速下降法的基本原理、迭代过程第6章约束极值优化（1）可行下降方向的含义、满足什么代数条件、几何意义（2）正确写出Kuhn-Tucker条件，理解K-T条件与最优解的关系（3）利用Kuhn-Tucker条件，求出K-T点和最优解。

（4）外点法和内点法的基本原理、无约束优化目标函数的一般构造手法第7章动态规划（1）动态规划的基本原理和基本方程（2）动态规划的逆推解法（3）动态规划求静态规划问题的套路第8章图与网络优化（1）图的基本概念、树的基本性质、最小支撑树的求法（2）求最短路的Dijkstra算法（3）增广链的概念、用途，求网络最大流的标号法第10章排队论（1）排队系统基本性能指标的含义、关系（2）泊松流与负指数分布的关系，排队系统中基本参数λ和μ含义的多维解读。

（3）系统状态概率Pn的含义、它在推导系统基本性能指标中的基础地位，推导它自身所依据的状态转移图。

（4）M/M/1模型、M/M/c模型的状态转移图，概率平衡方程，以及了解系统状态概率、基本性能指标的计算过程。

运筹学必考知识点总结在运筹学中，有一些必考的知识点是非常重要的。

这些知识点涵盖了运筹学的基本概念、方法和模型，对于考生来说，掌握这些知识点是至关重要的。

本文将对运筹学的一些必考知识点进行总结，帮助考生更好地备考。

1. 线性规划线性规划是运筹学中的重要方法之一，它通过建立数学模型来解决各种决策问题。

在线性规划中，目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一系列线性约束条件。

考生需要掌握线性规划的基本理论，包括线性规划模型的建立、单纯形法和对偶理论等内容。

2. 整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量取整数值。

整数规划在实际应用中有着广泛的用途，因此对于考生来说，掌握整数规划的基本理论和解题方法是必不可少的。

3. 动态规划动态规划是一种用于求解多阶段决策问题的优化方法。

在动态规划中，问题被分解为多个子问题，并且这些子问题之间存在重叠。

考生需要了解动态规划的基本原理、状态转移方程的建立以及动态规划算法的实现。

4. 网络流问题网络流问题是运筹学中的一个重要领域，它涉及到图论和优化算法等多个方面的知识。

在网络流问题中，主要考察最大流、最小割、最短路等问题的求解方法。

5. 效用理论效用理论是运筹学中的一个重要分支，它研究人们在做出决策时的偏好和选择。

效用函数、期望效用、风险偏好等概念是考试中的热点内容。

6. 排队论排队论是研究排队系统的运作规律和性能指标的数学理论。

在排队论中，考生需要了解排队系统的稳定性条件、平衡方程、性能指标的计算方法等。

7. 多目标决策多目标决策是指在考虑多个目标时的决策问题。

在多目标决策中，往往需要考虑到多个目标之间的矛盾和权衡，因此考生需要掌握多目标规划的基本原理和解题方法。

8. 随机规划随机规划是考虑到不确定因素的决策问题。

在随机规划中，目标函数、约束条件等参数都是随机变量，因此需要考虑到风险和概率的因素。

以上是一些运筹学中的必考知识点，考生在备考过程中需要重点关注这些知识点。

《运筹学基础》复习要点一、基本概念与理论1．任意多个凸集的交集还是凸集。

2．任意多个凸集的并集不一定是凸集3．给定1R b ∈及非零向量n R a ∈，称集合}|{b x a R x H Tn=∈=是nR 的一个超平面。

4．由超平面}|{b x a R x H Tn=∈=的两个半平面}|{b x a R x H T n ≥∈=+和}|{1b x a R x H T n ≤∈=都是凸集。

5．设S 是凸集，S x ∈。

若对任何z y S z S y ≠∈∈,,，以及任何10<<λ，都有z y x )1(λλ-+≠，则称x 为S 的顶点。

6．如果一个LP 问题无界，则它的对偶问题必无可行解。

7．设w x ,分别为原始LP 问题、对偶问题的可行解，若b w x c T T =，则原始LP 问题、对偶问题的最优解分别为w x ,。

8.可行解x 是基本可行解的充分必要条件是x 的正分量，所对应的A 中列向量线性无关。

9.写出LP 问题的对偶问题0..min ≥≥⎪⎩⎪⎨⎧x b Ax x c t s T的对偶问题是： 0..min ≥≤⎪⎩⎪⎨⎧w c w A w b t s TT10．设一个标准形式的LP 问题的基为B ，右端向量为b ，则对应的基本解是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-01b B x 。

11．线性规划问题的可行域是凸集。

12．设线性规划问题LP 为0..min ≥=⎪⎩⎪⎨⎧x b Ax t s x c T B 为一个基，对应的典式为0..min 111≥=+⎪⎩⎪⎨⎧-=---x b B Nx B x t s x b B c z N B T TB ζ 其中),0(1T N TB Tc N B c -=-ζ。

13.线性规划问题的规范形式为0..min ≥≥⎪⎩⎪⎨⎧x b Ax x c t s T14. 线性规划问题的标准形式为0..min ≥=⎪⎩⎪⎨⎧x b Ax t s xc T15.线性规划问题的一般形式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==≥+=≥==n q j x qj x m p i b x a p i b x a t s x c j ji Ti i Ti T ,,1,,2,10,,1,,2,1..min 为自由变量16.对线性规划问题，关于它的解分三种情况：问题无解、问题无界和问题有最优解。

运筹学复习要点1．线性规划部分（1）会求一般线性规划问题的标准形式。

要求见38页表格。

（2）了解线性规划的可行解、基解、基可行解、最优解、基变量、非基变量等概念。

（3）知道单纯形法的几个基本定理。

（4）掌握大M法与两阶段法求解线性规划问题的方法步骤。

（5）知道线性规划问题唯一最优解，有无界解，无穷多最优解，无可行解的判别方法。

（6）了解单纯形法的矩阵表示方法，会找出B-1 。

2．对偶理论（1）会求原规划问题的对偶问题。

（2）了解对偶原理。

（3）知道对偶单纯形法的迭代步骤。

（4）灵敏度分析部分：会对增加变量与增加约束条件情况进行分析。

3．运输问题（1）知道运输问题的数学模型。

（2）掌握运输问题的表上作业法（初始方案的确定，最优性检验，调运方案的调整）。

（3）会处理产大于销的运输问题。

4．指派问题（1）知道匈牙利法解决分配问题的理论依据，掌握匈牙利法求解指派问题的方法。

（2）知道人多任务少时的处理方法及人比任务少时的处理方法。

5．整数规划（1）会用割平面法求解整数规划问题6．目标规划（1）会建立目标规划数学模型，会解释目标约束的意义。

（2）会用图解法求解目标规划。

7．图论部分（1）了解图的基本概念：简单图、完全图、偶图、子图、部分图等，次（度）、链、路、圈、回路等。

（2）知道树的概念和基本性质。

知道求图的最小部分树的理论依据和方法。

（3）会求最短路。

（4）会求网络的最大流与最小割。

（5）会求最小费用流。

8.动态规划（1）了解动态规划的基本概念及最优化原理.（2）知道动态规划的基本方程与求解方法.9．决策分析（1）掌握不确定型决策分析条件收益矩阵与机会损失矩阵建立方法及相关决策准则。

（2）会运用决策树方法解决简单的序贯决策问题。

（3）掌握AHP法的分析问题步骤，会用和法求判断矩阵的特征向量。

运筹学复习题一、填空题1．在线性规划标准形式中，要求约束条件右侧常数),,2,1(m i b i =为_____ 数。

《运筹学》复习资料整理总结1. 建立线性规划模型的步骤。

确定决策变量 确定目标函数 确定约束条件方程2. 线性规划问题的特征。

都有一个追求的目标，这个目标可表示为一组变量的线性函数，按照问题的不同，追求的目标可以为最大，也可以为最小。

问题中有若干个约束条件，用来表示问题中的限制或要求，这些约束条件可以用线性等式或线性不等式表示。

问题中用一组决策变量来表示一种方案。

3. 线性规划问题标准型的特征。

4. 化标准型的方法。

123123123123min z 2+223-8340,0,x x x x x x x x x x x x =+-+=⎧⎪-+-≤⎨⎪≤≥⎩为自由变量123123123123min z 2+223-634,0,x x x x x x x x x x x x =+-+=⎧⎪-+-≥⎨⎪≥⎩为自由变量5. 基本解：令其余的变量取值为0，则得到Ax=b 的一个解y,称此解为线性规划问题的基本解。

6. 基本可行解：若基本解y 满足y ≥0,则称这个解为基本可行解。

7. 可行解：满足约束条件的解x=（x1、x2、……xn ）T 称为线性规划问题的可行解。

8. 最优解：函数达到最优的可行解叫做最优解。

9.图解法适合于变量个数为2个的线性规划问题。

10.单纯形法解线性规划问题如何确定初始基本可行解。

（1）约束条件为≤，先加入松弛变量x1、x2……xm后变为等式，取松弛变量为基本变量（2）约束条件为=，先加入人工变量xm+1、xm+2……xm+n，人工变量价值系数为m（3）约束条件为≥，先加入多于变量xn+1、xn+2……xm+n后变为等式，在添加人工变量xn+m+111.单纯形法最优解的检验准则。

（1）若基本可行解x’对应的典式的目标函数中非基变量的系数全部满足cN-cBB-1Pj≤0,则基本可行解x’为原问题的最优解。

（2）若基本可行解x’对应的典式的目标函数中所有非基变量的系数满足cN-cBB-1Pj≤0,且有一非基变量的系数满足Ck-Zk=0,则原问题有无穷多组最优解12.对目标函数为极小（min）型的线性规划问题，用单纯形法解的三种处理方法。

第一章 运筹学考点精讲第一节 绪论1. 运筹学的起源与发展：•起源于二次大战的一门边缘交叉学科•由于战争的需要而产生与发展；战后在经济、管理和机关学校及科研单位继续研究；我国于1982年加入IFORS ，并于1999年8月组织了第15届大会。

2. 运筹学的特点及研究对象：运筹学是一门边缘性的、综合性的应用科学。

它是以应用数学为主要技术手段，综合应用经济、军事、心理学、社会学、物理学、化学以及工农业生产的一些理论和方法，对实际问题找出最优的或满意的解决方案的一门科学。

3. 运筹学解决问题的方法步骤：•明确问题•建立模型•设计算法•整理数据•求解模型•评价结果•实施控制4. 运筹学的主要内容5. 运筹学的主要应用领域第二节 线性规划基础1. 问题的提出：从两个生产与经济问题的实例出发，引导学生认识实际问题同数学模型之间的联系，认识规划模型同一般的数学方程、数学函数之间的区别，认识用数学方法解决实际问题的基本思维模式和方法途径。

2. 线性规划的一般数学模型：掌握线性规划的构成形式及要素：决策变量、约束条件、目标函数。

线性规划的一般模型为：目标函数：n n x c x c x c z +++= 2211max(min)约束条件：s.t. 11212111),(b x a x a x a n n =≥≤+++22222121),(b x a x a x a n n =≥≤+++m n mn m m b x a x a x a ),(2211=≥≤+++0,,,21≥n x x x3．线性规划解的概念：可行解——满足所有约束条件包括非负条件的解； 最优解——使目标函数①达到最大值的可行解；基；基本解——非零分量的数目不大于方程数m ，则称X 为基本解； 基本可行解——满足非负条件的基本解；可行基——对应于基本可行解的基。

4.线性规划图解法1) 用图解的方法解上一节提出的线性规划模型。

通过图解，使学生较直观地看到线性规划模型的求解过程及其意义，掌握图解法的基本方法和技巧，清楚地认识到线性规划有解的条件和最优解可能存在的位置。

运筹学知识点总结一、线性规划线性规划是运筹学中最基础、最重要的一个分支。

它的基本形式可以表示为：Max cxs.t. Ax ≤ bx ≥ 0其中，c是一个n维的列向量，x是一个n维的列向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个m维的列向量。

线性规划的目标是找到满足约束条件的x，使得目标函数cx取得最大值。

而当目标是最小化cx时，则是最小化问题。

线性规划问题有着很好的性质，它的最优解一定存在且一定在可行域边界上。

而且，很多非线性规划问题也可以通过线性化转化成线性规划问题，因此线性规划具有广泛的适用范围。

二、整数规划整数规划是线性规划的一个扩展，它在线性规划的基础上增加了对决策变量的整数取值限制。

这样的问题往往更加接近实际情况。

整数规划问题的一般形式可以表示为：Max cxs.t. Ax ≤ bx ∈ Zn整数规划问题的求解难度要比线性规划问题高很多。

因为整数规划问题是NP-hard问题，也就是说它没有多项式时间的算法可以解决。

但是对于特定结构的整数规划问题，可以设计专门的算法来求解。

比如分枝定界法、动态规划等。

整数规划问题在许多领域都有着广泛的应用，比如生产调度、设备配置、网络设计等。

三、动态规划动态规划是一种用来求解具有重叠子问题结构的最优化问题的方法。

它的核心思想是将原问题分解成一系列相互重叠的子问题，然后利用子问题的最优解来构造原问题的最优解。

动态规划问题的一般形式可以表示为：F(n) = max{F(n-1), F(n-2)+cn}其中，F(n)是问题的最优解，cn是问题的参数，n是问题的规模。

动态规划问题的求解是一个自底向上的过程，它依赖于子问题的最优解，然后通过递推关系来求解原问题的最优解。

动态规划在资源分配、路径优化、排程问题等方面有着广泛的应用。

四、决策分析决策分析是一种用来帮助人们做出最佳决策的方法。

它可以应用在各种风险决策、投资决策、生产决策等方面。

决策分析的一般形式可以表示为：Max E(u(x))其中，E(u(x))是对决策结果的期望效用，u(x)是决策结果的效用函数，x是决策变量。

运筹学考研备考要点整理运筹学（Operations Research）是一门应用数学学科，研究如何在面对复杂决策问题时，通过建立数学模型并应用优化技术来优化决策方案。

在运筹学考研备考过程中，有一些重要的要点需要整理和掌握。

本文将对运筹学考研备考要点进行整理，帮助考生提高备考效率和准备水平。

一、线性规划线性规划是运筹学的重要分支，研究目标函数和约束条件均为线性关系的优化问题。

在运筹学考研中，线性规划是最为基础和常见的内容，考生需要掌握以下要点：1. 理解线性规划基本概念：包括目标函数、约束条件、可行解、最优解等概念的定义和意义。

2. 理解线性规划的图像解释：掌握如何将线性规划问题转化为几何空间中的图形，并通过图形分析来求解线性规划问题。

3. 理解线性规划的求解方法：包括单纯形法、对偶理论、内点法等方法，并能够应用这些方法解决线性规划问题。

4. 掌握线性规划的常见变形和应用：如混合整数线性规划、多目标线性规划、灵敏度分析等，并能够应用这些知识解决实际问题。

二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，研究目标函数和约束条件中的变量只能取整数值的优化问题。

在运筹学考研备考过程中，整数规划是一个重点内容，需要注意以下要点：1. 理解整数规划的基本概念和性质：包括整数规划问题的定义、可行解的定义、整数规划问题的NP难度等。

2. 掌握整数规划的求解方法：包括分支定界法、割平面法、列生成法等方法，并能够应用这些方法解决整数规划问题。

3. 研究整数规划的特殊结构和应用：如0-1整数规划、图论中的整数规划、车辆路径问题等，并能够应用这些知识解决实际问题。

三、动态规划动态规划是一种通过递推和记忆化搜索的方法，解决具有重叠子问题性质的优化问题。

在运筹学考研备考中，动态规划是一个需要重点掌握的内容，需要注意以下要点：1. 理解动态规划的基本思想：包括最优子结构、边界条件、状态转移方程等概念的理解和应用。

2. 掌握动态规划的问题分类和求解方法：包括线性动态规划、区间动态规划、背包问题等，以及基于动态规划的近似算法。

1. 简答题（1） 运筹学的工作步骤提出和形成问题：即要弄清问题的目标，可能的约束，问题的可控变量以及相关的参数，搜集相关资料；建立模型：即把问题中可控变量，参数，目标与约束之间的关系用模型表示出来；求解：用各种手段将模型求解，解可以是最优解，次优解，满意解。

复杂模型的求解需用计算机，解得精度要求可有决策者提出；解的检验：首先检查求解步骤和程序有无错误，然后检查解是否反映现实问题；解的控制：通过控制解的变化过程决定对解是否做一定的改变； 解的实施：是指将解用到实际中必须考虑的实际问题，如向实际部门讲清解的用法，在实施中可能产生的问题和修改。

（2）退化产生原因及解决办法单纯形法计算中用θ规则确定换出变量时，有时存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，这就出现退化解。

勃兰特规则：1.选取cj-zj ＞0中下标最小的非基变量xk 为换入变量，即k=min(j ｜cj-zj ＞0)2. 当按θ规则计算存在两个和两个以上最小比值时，选取下标最小的基变量为换出变量。

（3）对偶问题的经济解释• 这说明yi 是右端项bi 每增加一个单位对目标函数Z 的贡献。

• 对偶变量 yi 在经济上表示原问题第i 种资源的边际价值。

• 对偶变量的值 yi*所表示的第i 种资源的边际价值，称为影子价值。

∑∑=====n j mi i i j j y b x c Z 11ωiiy b Z=∂∂若原问题的价值系数Cj 表示单位产值，则yi 称为影子价格； 若原问题的价值系数Cj 表示单位利润，则yi 称为影子利润。

影子价格不是资源的实际价格，而是资源配置结构的反映，是在其它数据相对稳定的条件下某种资源增加一个单位导致的目标函数值的增量变化。

（4）分枝定界法步骤a) 先求出整数规划相应的LP(即不考虑整数限制)的最优解， b) 若求得的最优解符合整数要求，则是原IP 的最优解； c) 若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件的变量来构造新的约束，在原可行域中剔除部分非整数解。

运筹学复习资料
运筹学是数学和计算机科学的一个分支，旨在寻找最佳决策和优化问题的解决方案。

以下是有关运筹学的复习资料：
1. 模型建立：在运筹学中，解决问题的第一步是建立数学模型。

数学模型是指将实际问题抽象为数学语言，建立相应的数学方程式，使之成为可计算的问题。

在建模时需要明确问题目标、约束条件等。

2. 线性规划：线性规划是一种常用的优化方法，其目标函数和约束条件都是线性的。

采用单纯形法、内点法等算法可以求得最优解。

常见应用包括生产计划、库存管理等方面。

3. 整数规划：整数规划针对决策变量必须为整数这一特殊问题，增加了解整数约束条件的限制，采用分支定界法、割平面法等算法进行求解。

常见应用包括制造业需求计划、网络设计等方面。

4. 动态规划：动态规划和线性规划不同，其适用于序列决策问题，采用递推式方法实现求解。

常见应用包括背包问题、任务调度等方面。

5. 随机规划：随机规划引入随机变量，结合概率模型，可对不确定因素进行分析。

常见应用包括金融风险管理、供应链问题等方面。

6. 对策论：对策论是一种博弈论，面对竞争环境下的决策，需要考虑对手的策略，采用最小最大原则求解博弈双方的最佳决策。

常见应用包括竞价拍卖、垄断竞争等方面。

运筹学是实际问题求解的一种强有力的工具和方法，深入了解运筹学的理论与方法对于提高问题求解的精度、效率具有重要意义。

数学：运筹学考点（题库版）1、填空题规划问题数学模型三个要素（）。

正确答案：决策变量、目标函数、约束条件2、判断题如果一个线性问题有可行解，那它一定有最优解正确答案：错3、单选用闭回路法调整调运方案时，下列做法正确的（江南博哥）是（）。

A.奇点处加调整量B.偶点处加调整量C.奇点减调整量D.都不对正确答案：A4、多选在线性规划问题的标准形式中，不可能存在的变量是（）A.可控变量B.松弛变量C.剩余变量D.人工变量E.环境变量正确答案：D, E5、名词解释表格计算法（或称列表法）正确答案：是制定一定形式的表格，在表格上按照一定的顺序和规定算法来计算网络图的各个参数。

6、名词解释常规性决策正确答案：是力行的、重复的决策。

作这类决策的个人或组织，由于需要他们决策的问题不是新问题，一般来说，已经有惯例和经验可作参考，因而进行决策时就比较容易7、单选线性规划中，（）不正确。

A.有可行解必有可行基解B.有可行解必有最优解C.若存在最优解，则最优基解的个数不超过2D.可行域无界时也可能得到最优解正确答案：B8、判断题在任一图G中，当点集V确定后，树图是G中边数最少的连通图。

（）正确答案：对9、填空题企业在采购时，供应方会根据批发量的大小来定出不同的优惠价格，这种价格上的优惠称为（）。

正确答案：数量折扣10、填空题根据最基本的分类，可将系统模型分为物理模型和（）两类。

正确答案：抽象模型11、填空题问题要求解的末知量是（）。

正确答案：决策变量12、单选关键路线问题的关键工序是指（）。

A.最先开始的工序B.最后结束的工序C.最重要的工序D.需要时间最长的工序正确答案：D13、单选单纯形法所求线性规划的最优解（）是可行域的顶点。

A.一定B.一定不C.不一定D.无法判断正确答案：B14、填空题物资调运方案的最优性判别准则是：当全部检验数（）时，当前的方案一定是最优方案。

正确答案：非负15、名词解释终极状态概率正确答案：经过无穷多次状态转移后所得到的状态概率称为终极状态概率。

一、线性规划问题约束条件：不超过各工序可用时间非负约束1）0.7x1+x2≤6302) x1,x2≥0图解法：设定Z值然后带入值取各个公式的两个端点描点画图二、单纯形法步骤：标准化目标函数最大约束条件等式化≤引入松弛变量S ≥剩余变量e 右端非负Max Z=x1+x2. x1+2x2≤6 ,2x1+x2≤16,x1,x2≥0z−x1−x2=0 x1+2x2+s1=6 ,2x1+x2+s2=16 ,x1,x2,s1,s2 ≥0两组约束四个变量故有2个非基本变量，2个基本变量进入变量与离开变量的确定从非基本变量中找一个进入变量（进入到基本变量中），从基本变量中找一个离开变量（作为非基本变量）在Row 0 中，从左往右选择非基本变量中系数最小的作为进入变量（前面化为单位矩阵，为最优解）大M法：步骤同上，约束等式化≤引入松弛变量S ≥剩余变量e+人工变量a（=也是加a）min z=4x1+x2. s.t 3x1+x2=3 ,4x1+3x2≥6, x1+2x2≤4,x1,x2≥0 max z=−4x1−x2−Ma1−Ma2(M=100) s.t 3x1+x2+a1=3 , 4x1+3x2−e2+a2=6, x1+2x2+s3=4,x1,x2,e2,s3,a1,a2 ≥0M假定为无限大正值1.判断是否为最优解ROW a1 a2 系数化为0. 由于此时ROW 0 非基本变量的系数不全为非负数，因此，并非最优解。

进入变量与离开变量的确定重复以上步骤化为单位矩阵取得最优解。

两阶段法：第一阶段：引入人工变量a1,a2 min z=a1+a2 , max z=−a1−a2 min z=4x1+x2, s.t. 3x1+x2=3 ,4x1+3x2≥6 ,x1+2x2≤4,x1,x2≥0 max z=−a1−a2 s.t.3x1+x2+a1=3,4x1+3x2−e2+a2=6x1+2x2+s3=4,x1,x2,e2,s3,a1,a2≥0经过前面变换单位矩阵得到最优解的单纯形表第二阶段：min z=4x1+x2→max z=−4x1−x2将第一阶段最后最优解的单纯形表Row 0 替换为z+4x1+x2=0的系数然后重复上述步骤得到最优解。

运筹学复习要点第二章线性规划与单纯形法一、标准型：规定具有下述条件的线性规划问题为标准型式的线性规划问题：1、目标函数为求最大；2、约束条件为等式约束；3、决策变量为非负。

二、线性规划问题具有的特征：1、每一问题都用一组决策变量（x1, x2, . . . ,xn）表示某一方案；2这组决策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量值是非负的；3、存在一定的约束条件，它们可用线性等式或不等式表示；4、都有一个要求达到的目标，它们可用决策变量的线性函数表示，称目标函数。

根据问题不同，要求目标函数实现最大化或最小化。

三、图解法的结论：1、可行域一定是凸集，即该区域内任意两点间连线上的点仍在该区域内；2、线性规划最优解不可能在凸集内的点上实现；3、线性规划问题有可能存在无穷多最优解；4、如果可行域无界，则最优解可能是无界解；5、如果不存在可行域，则没有可行解，也一定不存在最优解；6图解法只适用于两个决策变量的情况。

四、单纯形法：其基本思路是首先确定一个初始基可行解，然后判断该基可行解是否为最优解。

如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换找出另一个基可行解，该基可行解的目标函数值应该优于原基可行解。

再判断新的基可行解是否为最优解，如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换再找出另一个新基可行解，如此进行下去，直到找到最优解为止。

五、最优性检验与解的形式：最优解的判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, ……… ,b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，则X(0)为最优解，称σj为检验数。

无穷最多解判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, …… , b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，又存在某个非基变量的检验数σm+k= 0，则线性规划问题有无穷多最优解。

1.最小费用最大流例1 求下图所示网络中的最小费用最大流,弧旁的权是（bij，cij）。

解：(1）取初始可行流为零流f（0)=｛0}，构造赋权有向图M（f（0)),求出从vs到vt的最短路(vs，v2，v1，vt）,如下图中双箭头所示。

（2）在原网络D中，与这条最短路相对应的增广链为μ=(vs,v2,v1,vt）。

(3）在μ上对f（0)={0｝进行调整，取θ=5，得到新可行流f（1），如下图所示。

按照以上的算法,依次类推，可以得到f（1)，f（2)，f(3），f(4），流量分别为5，7，10，11，并且分别构造相对应的赋权有向图M（f（1)）,（Mf（2))，（Mf(3）)，(Mf（4)）由于在Mf(4）中已经不存在从vs到vt的最短路，因此，可行流f(4)，v（f(1))=11是最小费用最大流。

2.灵敏度分析(1）资源数量br 变化的分析 最优单纯形表如下这里B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0125.0-5.015.02-025.00求b2的增量br 变化范围：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=168160.12520.54-0.254-a b -1所以b2的增量br 变化范围是[-8，16］，显然b2的变化范围是[8，32］。

（2）目标函数中价值系数cj 的变化分析1）非基变量对应的价值系数的灵敏度分析 例 Max z = —2x1 — 3x2 — 4x3 S 。

t. —x1—2x2-x3+x4 = - 3 —2x1+x2—3x3+x5 = — 4x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥0 求C3的变化范围？ 解：最优单纯形表从表中看到可得到Δc3 ≤ 9/5 时，c3 ≤ -4+9/5=-11/5原最优解不变。

2）基变量对应的价值系数的灵敏度分析 例 Max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5s.t 。

x1 + 2x2 + x3 = 8 4x1 + x4 = 16 4x2 + x5 = 12x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0解：下表为最优单纯形表,考虑基变量系数c2发生变化σj=cj-（c1×a1j+c5 × a5j+（c2+Δc2)×a2j ）j=3，4可得到 -3≤Δc2≤1时，原最优解不变。