第十二章 组合变形的强度计算

§9.1 组合变形概述前面研究了杆件在拉伸(压缩)、剪切、扭转和弯曲四种基本变形时的强度和刚度问题。

但在工程实际中，许多构件受到外力作用时，将同时产生两种或两种以上的基本变形。

例如建筑物的边柱，机械工程中的夹紧装置，皮带轮传动轴等。

我们把杆件在外力作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。

常见的组合变形有：1。

拉伸(压缩)与弯曲的组合;2.弯曲与扭转的组合；3.两个互相垂直平面弯曲的组合（斜弯曲）;4。

拉伸（压缩）与扭转的组合。

本章只讨论弯曲与扭转的组合。

处理组合变形问题的基本方法是叠加法,将组合变形分解为基本变形，分别考虑在每一种基本变形情况下产生的应力和变形，然后再叠加起来。

组合变形强度计算的步骤一般如下：(1）外力分析将外力分解或简化为几种基本变形的受力情况;（2) 内力分析分别计算每种基本变形的内力，画出内力图，并确定危险截面的位置；（3) 应力分析在危险截面上根据各种基本变形的应力分布规律，确定出危险点的位置及其应力状态。

(4）建立强度条件将各基本变形情况下的应力叠加,然后建立强度条件进行计算。

§9。

2 弯扭组合变形强度计算机械中的转轴，通常在弯曲和扭转组合变形下工作.现以电机为例，说明此种组合变形的强度计算。

图10-1a所示电机轴，在轴上两轴承中端装有带轮,工作时，电机给轴输入一定转矩,通过带轮的皮带传递给其它设备。

带紧边拉力为F T1,松边拉力为F T2，不计带轮自重。

图10—1（1）外力分析将作用于带上的拉力向杆的轴线简化，得到一个力和一个力偶，如图10-1(b)，其值分别为力F使轴在垂直平面内发生弯曲，力偶M1和电机端产生M2的使轴扭转，故轴上产生弯曲和扭转组合变形。

（2）内力分析画出轴的弯矩图和扭矩图,如图10—1（c）、(d)所示。

由图知危险截面为轴上装带轮的位置，其弯矩和扭矩分别为（3) 应力分析由于在危险截面上同时作用有弯矩和扭矩，故该截面上必然同时存在弯曲正应力和扭转切应力，如图10—1(e),a、b两点正应力和切应力均分别达到最大值，为危险点，该两点正应力和切应力分别为该两点的单元体均属于平面应力状态，图10-1(f),故需按强度理论建立强度条件。

组合变形的强度计算 组合变形的概念拉伸与弯曲的组合一.组合变形的概念1.组合变形:在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变形问题所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形等于各个力单独作用下变形的总和（叠加）在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形PRzxyPP2、组合变形的研究方法——叠加原理叠加原理应用的基本步骤：①外力分析：将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形.②内力分析：分析每种载荷的内力，确定危险截面.③应力分析：分别计算构件在每种基本变形情况下的危险将各基本变形情况下的应力叠加，确定最④强度计算:二.弯曲与拉伸(的组合杆件在外力作用下同时产生弯曲和拉伸（压缩）变形称为弯曲与拉伸（压缩）的组合偏心拉伸:弯曲与拉伸的组合变形链环受力立柱受力拉伸与弯曲组合的应力分析ϕϕsin p p cos p p y x ==A P x ='σy I M x l P M zy =''-=σ)(作用下：z T W M A N max max +=σzC W M A N max max -=σ危险截面处的弯矩抗弯截面模量y I M A N z +=''+'=σσσ根据叠加原理，可得x 横截面上的总应力为[]T z max max T W M A N σσ≤+=[]c zmax max C W M A N σσ≤-=强度条件为例:悬臂吊车,横梁由25 a 号工字钢制成，l =4m ，电葫芦重Q 1=4kN ，起重量Q2=20kN , α=30º, [σ]=100MPa，试校核强度。

取横梁AB为研究对象，受力如图b所示。

梁上载荷为P =Q1+Q2= 24kN，斜杆的拉力S 可分解为X B和Y B（1）外力计算横梁在横向力P和Y A、Y B作用下产生弯曲；同时在X A和X B作用下产生轴向压缩。

12-4 图示边长为a 的正方形铰接结构，各杆的E 、I 、A 均相同，且为细长杆。

试求达到临界状态时相应的力P 等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？N BB CN B AB CC D解：（1）各杆的临界力222..222cr BD cr EI EI P P aaππ===外（2）求各杆的轴力与P 的关系。

由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，AB BC CD DA N NN N ===。

研究C 、B 结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C 、B 结点受力如图所示。

第一种情况：C:)02450CB CB X P N cos N =→--=→=-∑ 压杆B:()02450BD BC BD BC Y N N cos N P =→--=→==∑拉杆 令2,.2=C B cr C B cr EI N P P P aaπ=-==↔外第二种情况： )C B P N =拉杆 ()-BD BC N P ==压杆22.22-==22BD BC cr BD EI EI N P P P aaππ===↔12-6 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。

试求该木柱的临界力.解：（1）计算柔度：①当压杆在在平面内xoz 内失稳，y 为中性轴。

0.57101.04xz xz yl i μλ⋅⨯===②当压杆在出平面内xoy 内失稳，z 为中性轴。

27242.490.200xy xy zli μλ⋅⨯===③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。

m ax(.)242.49xz xy λλλ==（2）松木75242.49P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr 222112(0.110)(0.1200.200)40.28242.49cr cr E P A Aπσλπ=⋅=⋅⨯⨯=⨯⨯=N kN12-7铰接结构ABC 由具有相同截面和材料的细长杆组成。

第十二章组合变形【学时】4内容：组合变形的概念及工程实例；斜弯曲时的应力和强度计算；拉（压）与弯曲组合时应力和强度计算；偏心压缩（拉伸）；截面核心；弯曲与扭转组合时的强度计算。

基本要求：【基本要求】1．理解组合变形的概念[2]。

2．掌握斜弯曲时的应力和强度计算[1]。

3．掌握拉（压）与弯曲组合时应力和强度计算[1]。

4．理解偏心压缩（拉伸）[2]。

5．了解截面核心的概念[3]。

6．掌握弯曲与扭转组合时的强度计算[1]。

重点：【重点】斜弯曲，弯扭组合时的强度计算难点：【难点】截面核心§12–1 概 述一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。

二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理① 外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解③ 内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面 ③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。

§12–2 斜弯曲一、斜弯曲：挠曲线与外力（横向力）不共面。

二、斜弯曲的研究方法 ：1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。

2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。

解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解ϕsin P P y =ϕcos P P z =2.研究两个平面弯曲 ①内力ϕϕϕcos sin sin )()(M M M x L P x L P M y y z ==-=-=（2）应力M y 引起的应力：ϕσcos I M I z M yyy z-=-='M z引起的应力：ϕσsin I M I y M zz z y -=-=''合应力：)sin I y cos I z (M z y ϕϕσσσ+-=''+'=（3）中性轴方程000=+-=)sin I ycos I z (M z y ϕϕσϕαctg tg 00yz I Iz y ==可见：仅当Iy = Iz ，中性轴与外力才垂直（4）最大正应力距中性轴的两侧最远点为拉压最大正应力点 （5）变形计算当ϕ = β 时，即为平面弯曲【例】 矩形截面木檩条，简支在屋架上，跨度ｌ＝4ｍ，荷载及截面尺寸(图中单位：mm)如图所示，材料许用应力[σ]＝10MPa ，试校核檩条强度，并求最大挠度。

第6章 组合变形强度计算6.1 组合变形与弹性叠加原理6.1.1 组合变形的概念在工程实际中，有许多杆件在外力作用下会产生两种或两种以上的基本变形，这种情况称为组合变形。

如图6-1（a ）所示小型压力机的框架。

为分析框架立柱的变形，将外力向立柱的轴线简化（图6-1b ），便可看出，立柱承受了由F 引起的拉伸和由Fa M =引起的弯曲。

图6-16.1.2 弹性叠加原理弹性叠加原理也称为线性叠加原理。

该原理对于求解弹性力学问题极为有用，它使我们可以把一个复杂问题化为两个或多个简单问题来处理。

在分析组合变形时，可先将外力进行简化或分解，把构件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着一种基本变形。

例如，在行面对例子中，把外力转化为对应着轴向拉伸的F 和对应着弯曲的M 。

这样，可分别计算每一基本变形各自引起的应力、内力、和位移，然后将所得结果叠加，便是构件在组合变形下的应力、内力、应变和位移，这就是叠加原理。

现在再作一些更广泛的阐述。

设构件某点的位移与载荷的关系是线性的，例如，在简支梁的跨度中点作用集中力F 时，右端支座截面的转角为EIFl 162=θ这里转角θ与载荷F 的关系是线性的。

EI l 162是一个系数，只要明确F 垂直于轴线且作用于跨度中点，则这一系数与F 的大小无关。

类似的线性关系还可举出很多，可综合为，构件A 点因载荷1F引起的位移1δ与1F 的关系是线性的，即111F C =δ (a)这里1C 是一个系数，在1F 的作用点和方向给定后，1C 与1F 的大小无关，亦即1C 不是1F 的函数。

同理，A 点因另一载荷引起的位移为222F C =δ （b ）系数2C 也不是2F 的函数。

若在构件上先作用1F ，然后再作用2F 。

因为在未受力时开始作用1F ，这与（a ）式所表示的情况相同，所以A 点的位移为11F C 。

在作用时2F ，因构件上已存在1F ，它与（b ）式所代表的情况不同，所以暂时用一个带撇的系数'2C 代替2C ，得A 点的位移为22'F C 。