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2021吉林大学空间解析几何和高等代数考研复习精编《复习精编》是由华博官方针对2021年全国硕士研究生入学统一考试吉林大学专业课考试科目而推出的系列辅导用书。
本精编根据：五位一体，多管齐下，华博老师与专业课权威老师强强联合共同编写的、针对2021年考研的精品专业课辅导材料。
一、华博考研寄语1、成功，除了勤奋努力、正确方法、良好心态，还需要坚持和毅力。
2、不忘最初梦想，不弃任何努力，在绝望中寻找希望，人生终将辉煌。
二、适用专业与科目1、适用专业：数学学院：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学2、适用科目：852空间解析几何和高等代数三、内容简介与价值（1）考前必知：学校简介、学院概况、专业介绍、师资力量、就业情况、历年报录统计、学费与奖学金、住宿情况、其他常见问题。
（2）考试分析：考题难度分析、考试题型解析、考点章节分布、最新试题分析、考试展望等；复习之初即可对专业课有深度把握和宏观了解。
（3）复习提示：揭示各章节复习要点、总结各章节常见考查题型、提示各章节复习重难点与方法。
（4）知识框架图：构建章节主要考点框架、梳理全章主体内容与结构，可达到高屋建瓴和提纲挈领的作用。
（5）核心考点解析：去繁取精、高度浓缩初试参考书目各章节核心考点要点并进行详细展开解析、以星级多寡标注知识点重次要程度便于高效复习。
强化冲刺阶段可直接脱离教材而仅使用核心考点解析进行理解和背记，复习效率和效果将比直接复习教材高达5-10倍。
该内容相当于笔记，但比笔记更权威、更系统、更全面、重难点也更分明。
（6）历年真题与答案解析：反复研究近年真题，能洞悉考试出题难度和题型；了解常考章节与重次要章节，能有效指明复习方向，并且往年真题也常常反复再考。
该内容包含2021-2021考研真题与答案解析，每一个题目不但包括详细答案解析，而且对考查重点进行了分析说明。
（7）备考方略：详细阐述考研各科目高分复习策略、推荐最有价值备考教辅和辅导班、汇总考生常用必备考研网站。
吉林大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、（共30分）判断题1、若函数()f x 在(),a b 上Riemann 可积，则()2f x ⎡⎤⎣⎦在(),a b 也Riemann 可积；2、若级数1n n a ∞=∑收敛，则级数1n n a ∞=∑也收敛；3、任何单调数列必有极限；4、数列(){}1n-的上、下极限都存在； 5、区间(),a b 上的连续函数必能达到最小值； 6、sin x 在整个实轴上是一致连续的；7、若函数(),f x y 沿着任何过原点的直线连续，则(),f x y 在()0,0连续； 8、若函数()f x 在点0x 取极小值，则()00f x '=； 9、若()00f x '=，()00f x ''<，则()f x 在点0x 取极大值； 10、向量场()222222,,x y y z z x ---是无源场。
二、（共20分）填空题1、设()()sin u x y x y z =+++，则grad ()u =；2、设(),,F x y y z z x →=+++，则div ()F →=； 3、设(),,F x yz y zx z xy →=---,则rot ()F →=；4、设s 表示单位球面2221x y z ++=，则第一型曲面积分()2sx ds =⎰⎰；5、数列()2211n n n ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭的下极限为()；三、（共20分）计算下列极限1、1200611lim n n k k →∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑；2、01limx x→；3、111lim 200620071n n n n n →∞⎛⎫+++⎪++++⎝⎭L ； 4、120lim 1nn x dx x x→∞++⎰。
四、（共20分）判断下列级数的敛散性1、1200620072005nn nn ∞=-∑； 2、1n n u ∞=∑，其中()2120,,1,2,1n n n u n u n u n ->≤=+L 五、（10分）设函数()f x 在[]0,1两次连续可微，满足()()010f f ==且()10f x dx =⎰。
2008~2009学年第一学期《高等数学B Ⅰ》试卷2009年1月12日一、填空题（共7道小题，每小题3分，满分21分）1．2lim 1nn n n →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭．2．设2log y =d y = ．3．若00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小，则0()f x '= ．4．设函数)(x y y =由方程331,x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，则1d d t y x == ．5．曲线2610y x x =-+在点(3,1)处的曲率为 ．6．设()d cos f x x x C =+⎰，则()()d n f x x ⎰= ．7．31211d 1x x x -+=+⎰ ．1．下列叙述正确的是（A ）有界数列一定有极限． （B ）无界数列一定是无穷大量． （C ）无穷大量数列必为无界数列． （D ）无界数列未必发散． [ ]2．设数列(){}0,1,2,n n a a n >=满足1lim 0n n n a a +→∞=，则 （A ）lim 0n n a →∞=．（B ）lim 0n n a C →∞=>．（C ）lim n n a →∞不存在．（D ）{}n a 的收敛性不能确定．[ ]3．设()f x ，()g x 在区间[,]a b 上可导，且()()f x g x ''>，则在[,]a b 上有 （A ）()()0f x g x ->．（B ）()()0f x g x -≥．（C ）()()()()f x g x f b g b ->-．（D ）()()()()f x g x f a g a ->-． [ ]4．设()f x 有三阶连续导数，且满足000()()0,()0f x f x f x ''''''==<,则下列结论正确的是（A ）()f x '的极小值为0． （B ）0()f x 是()f x 的极大值．（C ）0()f x 是()f x 的极小值． （D ）点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点．[ ]5．已知||e d 1k x x +∞-∞=⎰，则k =（A ）0．（B ）－2．（C ）－１．（D ）－0.5． [ ]6．摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的一拱与x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积x V =（A ）2220(1cos )d[(sin )]aa t a t t ππ--⎰． （B ）2220(1cos )d a t t ππ-⎰． （C ）2220(1cos )d aa t t ππ-⎰．（D ）2220(1cos )d[(sin )]a t a t t ππ--⎰． [ ]7．设向量,a b 满足||||-=+a b a b ，则必有（A ）-=a b 0． （B ）+=a b 0． （C ）0⋅=a b ． （D ）⨯=a b 0． [ ]1．设21cos ,0,()0,0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 求()f x '．2．求极限 0lim →x 222010cos d x x t tx-⎰．3．设()f x 的一个原函数为sin x ，求 2()d x f x x ''⎰．4．计算 12x ⎰．5．若点M 与(2,5,0)N 关于直线4120:2230x y z l x y z --+=⎧⎨+-+=⎩对称，求点M 的坐标．四、应用题（满分8分）设曲线2=->．过点(2,0)(4)(0)y a x a-及(2,0)作曲线的两条法线，求a的值，使得曲线与这两条法线所围成的平面图形面积最小．五、证明题（共2道小题，每小题5分，满分10分）1．设()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内可导，且(1)0f =．证明在()0,1内至少存在一点ξ，使得 ()()f f ξξξ'=-．2. 设130d 1sin n n tx t t=+⎰，12n n u x x x =+++，证明数列{}n u 收敛．2008~2009学年第一学期《高等数学B Ⅰ》试卷 答案 2009年1月12日一、填空题（共7道小题，每小题3分，满分21分）1．2lim 1nn n n →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭3e - ．． 2．设2log y =，则dy =223(1)ln 2xdx x -- ．． 3．若00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小，则0()f x '= 2 ．4．设函数)(x y y =由方程331,x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，则1t dy dx == 23 ．5．曲线2610y x x =-+在点(3,1)处的曲率为 2 ．6．设()d cos f x x x c =+⎰，则()()d n f x x ⎰=cos 2n C x π⎛⎫++⎪⎝⎭．7．31211d 1x x x -+=+⎰ 2π ．二、单选题（共7道小题，每小题3分，满分21分）1．下列叙述正确的是 （A ）有界数列一定有极限； （B ）无界数列一定是无穷大量； （C ）无穷大量数列必为无界数列；（D ）无界数列未必发散。
大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、（共 30 分）判断题1、若函数)(x f 在()b a ,上Riemann 可积，则 []2)(x f 在()b a ,上Riemann 也可积；2、若级数∑∞=1n n a 收敛，则级数∑∞=1n n a 也收敛；3、任何单调数列必有极限；4、数列(){}n1-的上、下极限都存在；5、区间 ()b a , 上的连续函数必能达到最小值；6、x sin 在整个实轴上是一致连续的；7、若函数()y x f ,沿着任何过原点的直线连续，则()y x f ,在()0,0连续； 8、若函数()x f 在点0x 取极小值，则()0x f '=0； 9、若()0x f '=0，()00<''x f ，则()x f 再点0x 取最大值； 10、向量场()222222,,x z z y y x ---是无源场。
二、（共 20 分）填空题1、设))(sin(z y x y x u +++=，则gradu =( );2、设),,(x z z y y x F +++=，则F div =();3、设),,-(xy z zx y yz x F --=，则F rot =( );4、设s 表示单位球面1222=++z y x ，则第一型曲边梯形ds x s⎰⎰2=();5、数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+2211-n n n 的下极限为( );三、（共 20 分）计算下列极限1、n nk n k 1120061lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→；2、()x x xx 31211lim30+-+→；3、()112007120061lim ++++∞→++n n n n n ；4、dx x x x n ⎰++∞→10221lim ； 四、（共 20 分）判断下列级数的敛散性1、∑∞=-1200520072006n n n n； 2、∑∞=1n n u ，其中0>n u ，()2211+≤-n n u u nn ，⋅⋅⋅=2,1n ； 五、（10 分）设函数)(x f 在[]1,0两次连续可微，满足0)1()0(==f f 且()01=⎰dx x f 。
考研已落下帷幕考研虽然已经结束好长时间，而它对于我来说，就像是昨天刚发生一样，清晰且深刻。
回首考研的这段经历，我收获了很多，也成长了许多。
开始基础复习的时候，是在网上找了一下教程视频，然后跟着教材进行学习，先是对基础知识进行了了解，在5月-7月的时候在基础上加深了理解，对于第二轮的复习，自己还根据课本讲义画了知识构架图，是自己更能一目了然的掌握知识点。
8月以后一直到临近考试的状态，开始认真的刷真题，并且对那些自己不熟悉的知识点反复的加深印象，这也是一个自我提升的过程。
考研一路走来，真的很辛苦，考研帮里学长学姐们分享的宝贵经验不仅能让我打起精神背水一战，还使我的复习有条不紊地进行。
初试成绩出来的这两天，酝酿了一下，我也想为将要参加下一届考研的的学弟学妹们写一篇文章，希望你们从复习的开始就运筹帷幄，明年的这个时候旗开得胜。
文章字数很多，大家有时间可以阅读，文末有真题和资料下载分享，谢谢大家。
吉林大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(646)数学分析和(850)空间解析几何与高等代数参考书目为：1.《数学分析》第一册，严子谦、尹景学、张然编，高等教育出版社，2004年5月出版2.《数学分析》第二册，马富明、高文杰编，高等教育出版社，2005年7月出版3.《解析几何》，尤承业编著，北京大学出版社，2004年1月出版4.《空间解析几何》，谢敬然、柯媛元主编，高等教育出版社，2013年5月出版5.《高等代数》，杜现昆、徐晓伟、马晶、孙晓松编，科学出版社，2017年8月出版6.先说英语吧。
7.词汇量曾经是我的一块心病，跟我英语水平差不多的同学，词汇量往往比我高出一大截。
从初中学英语开始就不爱背单词。
在考研阶段，词汇量的重要性胜过四六级，尤其是一些熟词僻义，往往一个单词决定你一道阅读能否做对。
所以，一旦你准备学习考研英语，词汇一定是陪伴你从头至尾的一项工作。
8.考研到底背多少个单词足够？按照大纲的要求，大概是5500多个。
1.已知ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329, 试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差 解：线形插值：取 0 2.0x = 00.6931y = 1 2.2x = 10.7885y = 2 2.3x = 20.8329y = 110 2.1 2.3 2.1 2.0(0)(1)0.69310.83290110 2.0 2.3 2.3 2.0x x x x L f x f x x x x x ----=+=+----=0.7410抛物线插值：12200102()()()()x x x x l x x x x --=-- 02211012()()()()x x x x l x x x x --=-- 01222021()()()()x x x x l x x x x --=--2200211222L l y l y l y =++=0.7422.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值 解：解：取00x = 12x = 23x = 35x = 12330010203()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=--- 023********()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=---01332202123()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=--- 01233303132()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=---3300311322333L l y l y l y l y =+++=1156261310323++-x x x3.设函数f(x)在[a,b]上具有直到二阶的连续导数,且f(a)=f(b)=0,求证:2"1max |()|()max |()|8a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤-解：取01;x a x b ==，1()()0x a x bL f a f b a b b a--=+=--''''211()()()|()()||()()|||||224f f b a R f x L x x a x b εε-=-≤--≤ ∴''21()()|()||()|||||24f b a f x L x ε-≤+''1()|()||||()|8f L x b a ε=+-|||8)("|a b f -=ε4.证明n 次Lagrange 插值多项式基函数满足∑==ni k i n k i x x l x,)(, n k ≤≤0解：取()kf x x = 则n 0()nkn i i i L lx x ==∑(1)0()()()!n n n i i f x f x L Rn x x n +=-==-∑(1)0()()!k n ni i x x x n +==-∑=0 所以()()n f x L x = 即证5. 分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton 插值200100120()[][,])()[,,])()(1)N x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--=0.693+0.477(x-2)-0.11(x-2)(x-2.2)2(2.1)N =0.693+0.0477-0.0011=0.74193()1(2)(2)(3)310N x x x x x x x =+--+--f(x)=0.41075+1.11600(x-0.4)+0.28(x-0.4)(x-0.55)+0.19733(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)-0.022(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)+0.16394(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)(x-0.9) 所以 f(0.596)=0.631952N (0.5+th)=0.47943+0.08521*t-0.002815*t*(t-1)， h=0.1 取t=0.7891 2N (0.57891)=0.47943+0.06723921+0.00046848=0.54713769≈0.54714 即sin(0.57891)=0.547142N (0.6+th)=0.56464+0.08521*t-2*t(t+1)，h=0.1 取t= - 0.2109 2N (0.57891)=0.56464+0.08521(-0.2109)-0.0024(-0.2109)(0.7891)=0.540686254069.0≈8.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。
吉林大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、（共30分）判断题1、若函数()f x 在(),a b 上Riemann 可积，则()2f x ⎡⎤⎣⎦在(),a b 也Riemann 可积；2、若级数1n n a ∞=∑收敛，则级数1n n a ∞=∑也收敛；3、任何单调数列必有极限；4、数列(){}1n-的上、下极限都存在； 5、区间(),a b 上的连续函数必能达到最小值； 6、sin x 在整个实轴上是一致连续的；7、若函数(),f x y 沿着任何过原点的直线连续，则(),f x y 在()0,0连续； 8、若函数()f x 在点0x 取极小值，则()00f x '=； 9、若()00f x '=，()00f x ''<，则()f x 在点0x 取极大值； 10、向量场()222222,,x y y z z x ---是无源场。
二、（共20分）填空题1、设()()sin u x y x y z =+++，则grad ()u =；2、设(),,F x y y z z x →=+++，则div ()F →=； 3、设(),,F x yz y zx z xy →=---,则rot ()F →=；4、设s 表示单位球面2221x y z ++=，则第一型曲面积分()2sx ds =⎰⎰；5、数列()2211n n n ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭的下极限为()；三、（共20分）计算下列极限1、1200611lim n n k k →∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑；2、01limx x→；3、111lim 200620071n n n n n →∞⎛⎫+++⎪++++⎝⎭L ； 4、120lim 1nn x dx x x→∞++⎰。
四、（共20分）判断下列级数的敛散性1、1200620072005nn nn ∞=-∑； 2、1n n u ∞=∑，其中()2120,,1,2,1n n n u n u n u n ->≤=+L 五、（10分）设函数()f x 在[]0,1两次连续可微，满足()()010f f ==且()10f x dx =⎰。
证明：存在()0,1ξ∈使得()0f ξ''=。
六、（10分）计算第二型曲线积分其中C 为单位圆周221x y +=，方向为顺时针方向。
七、（10分）证明，对任意0x >，都有八、（10分）设,,,a b αβ均为常数，且对任意x 都有 证明：0a b αβ====九、（10分）证明，不存在[)0,∞上的正的可微函数()f x ，满足 十、（10分）试构造区间[]0,1上的函数序列(){}n f x ，具有如下性质： （1）对每个n ，()n f x 是[]0,1上的正的连续函数； （2）对每个固定的[]0,1x ∈，()lim 0n n f x →∞=；（3）()10lim n n f x dx →∞=+∞⎰高等代数与空间解析几何卷一、（共32分）填空1、平面上的四个点()(),1,2,3,4i i x y i =在同一个圆上的充要条件为_____。
（要求用含有,i i x y 的等式表示）； 2、设方阵A 只与自己相似，则A 必为_____；3、设111222333a b c A a b c a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为可逆矩阵，则直线121212x y z a a b b c c ==---与直线232323x y za ab bc c ==---的位置关系为_____。
（要求填写相交、平行、重合、异面四者之一）；4、设()1234,,,A αααα=为四阶正方矩阵，其中1234,,,αααα均为四维列向量；1242βααα=+-，1233ααα=-，且234,,ααα线性无关。
求线性方程组AX β=的通解_____；二、（16分）求二次曲面22224246120x y z xz x y z --+--+-=的主方向； 三、（17分）设V 为n 维欧式空间，12,,,n u u u L 与12,,,n v v v L 为V 中向量，12,,,n u u u L 线性无关，且对任意的(),,1,2,,i j i j n =L 均有i j i j u u v v =。
证明，必有V 上的正交变换σ，使得四、（17分）设V 为数域Ω上的n 维向量空间，,στ均为V 上的线性变换，且满足0στστ++=。
证明：σττσ=五、（17分）设A 为实对称矩阵，证明，必有实对称矩阵B ，使得A B +为正定矩阵。
六、（17分）设V 为数域Ω上的2n 维向量空间，σ为V 上的线性变换，且()Ker V σσ=。
证明，存在V 的一个适当基底及Jordan 形矩阵A ，使得σ在该基底下恰好对应矩阵A 。
七、（17分）设V 为实数域上的全体n 阶方阵在通常的运算下所构成的向量空间，σ为V 上的线性变换，且对任意的A ，()T A A σ=。
1、求σ的特征值；2、对于每一个特征值，求其特征子空间；3、证明V 恰为σ的所有特征子空间的直接和。
八、（17分）设()ij n n A a ⨯=为n 阶实方阵，若对任意的()1,2,,i i n =L 均有1,nii ij i j ia a =≠>∑，则称A 为对角占优矩阵。
证明，对角占优矩阵必为可逆矩阵。
吉林大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、（共30分）判断题1、Riemann 函数在任何有限区间上都是Riemann 可积的；2、若无穷积分()0f x dx ∞⎰收敛，则无穷积分()0f x dx ∞⎰也收敛；3、任何单调递增且有下界的数列必有极限；4、有界数列的上、下极限都存在；5、连续函数一定是有界函数； 6在整个实轴上是一致连续的；7、若函数(),f x y 在()0,0处的两个偏导数，则(),f x y 在()0,0连续； 8、1sin x在()0,1内有无穷多个极大极小值点；9、若()00f x '=，则()f x 在点0x 必取极大值或极小值；10、向量场()222222,,y z z x x y ---是无源场。
二、（共20分）填空题1、设()222arctan u x y z =++，则grad ()u =；2、设()sin ,cos ,F x y x y z →=++，则div ()F →=； 3、设()222,,F x yz y zx z xy →=---,则rot ()F →=；4、设s 表示单位球面2221x y z ++=，则第一型曲面积分()()3sx y z ds ++=⎰⎰；5、数列()11nn n +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的上、下极限的和为()；三、（共20分）计算下列极限1、222222lim 12n n n n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭L ； 六、（10分）计算第二型曲面积分其中∑为球面2221x y z ++=的内侧。
吉林大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、 二、3、211y xdx e dy ⎰⎰4、()22234L xy x y ds +-⎰，L 为椭圆22143x y +=，周长为a 。
三、1、设()f x 于(),-∞+∞上二次连续、可微，存在不低于整数x 的常数0r >，使得()f x r '≥。
记((0),)f η∈+∞，证明：存在,ξ使()f ξη=2、()f x 和()g x 皆为区间[],a b 上的连续函数，(,)K x y 在[,][,]a b a b ⨯上二次连续，1()(,)()()bn n a f x K x y f y dy g x λ-=+⎰，其中λ为常数。
证明（1）、sup (,)1ba K x y dy λ<⎰时，()n f x 于(,)ab 一致收敛。
（2）、()f x 满足()(,)()ba f x K x y dy g x λ-=⎰ 3、()f x 在(),-∞+∞上具有连续的一阶导数。
()(0)(0)()()x x f f t f x t dt ϕϕ''=+-⎰求证：0()()()xx f t f x t dt ϕ=-⎰4、11,0(),1,2,...10,1n nx x nf x n x n⎧-≤≤⎪⎪==⎨⎪≤≤⎪⎩ 证明：()n f x 在(0,1)上不一致收敛，且11lim ()lim ()n n oo n n f x dx f x dx →∞→∞=⎰⎰5、()f x 在(),-∞+∞上具有连续的一阶导数，又0()()()xx f t f x t dt ϕ=-⎰，证明：0()()(0)()()xx f x f f t f x t dt ϕ''=+-⎰高等代数与空间解析几何卷一、1、求点(1,1,0)P 到平面1x y z ++=的距离。
2、求曲面2224x y yz ++=在点(1,1,1)P 处的切平面。
3、写出内积、外积和混合积的定义。
4、设1122()222n n n n n f x x x x x a ----=+++++L 为在有理数域上大于1的多项式，给出a 的两个非零值，使得相应的两个多项式分别可约，不可约。
5、在复数域上，当g 取何值时，多项式3()3f x x x g =++有重因式。
6、011101110A =，求正交矩阵P 及对角矩阵D ，使得T P AP D =7、V 是实数域上三元列向量空间，2021011a A a =，为n 阶正定矩阵。
定义T uv u Av =，,u v V ∀∈，则当a 满足什么条件时，V 为欧式空间。
8、当,a b 为何值时，5个平面230,04k k k k a x y z b k +++=≤≤经过一条直线。
9、求V 上的线性变换,στ，使**1,1σττσ=≠1、 设(),()f x g x 为有理数域上的两个非零多项式，且有无穷多个整数n ，使得()()f n g n 都是整数，证明：()()f xg x 是整数多项式。
2、 P 在曲线2221ax by cz ++=的充要条件是22221a b c dαβγ=++，其中d 是向量OP uuu r 的长度，,,αβγ是向量OP uuu r的方向余弦。
3、 V是数域Ω上的向量空间，σ是V 上的线性变换，记：*a σ=，a ∈Ω当且仅当V 是σ的特征子空间。
4、 假设A 是正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵B ，使得2A B =。
5、 设V是数域Ω上的n 阶矩阵构成的向量空间，A V ∈，()f x 是A 的极小多项式，令{}()|()()U h A h x x =∈Ω，证明： （1）U 是V 的子空间，而且dim dim ()U f x =（2）()f x ∀不可约，则U 的每个非零元素都是可逆矩阵。
