第5讲 二次根式

《二次根式的乘法》说课稿各位评委老师好：我是XX号，今天我说的课题是湘教版八年级下册第5章第二节第一课时《二次根式的乘法》。

一、说教材（一）教材的地位及作用分析：“二次根式”是初中代数重要的内容之一。

本节内容是在学习了二次根式的概念、性质的基础上进一步学习二次根式的乘法，同时也为后面学习二次根式的除法、加、减法等运算做准备，具有承上启下的作用，在教材中处于重要的地位。

对于学生，通过之前学习了二次根式的性质、化简，现在所学的乘法是对性质的一个应用，一个实践。

学生在观察讨论交流的过程中，能主动探索，勇于发现，培养学生知识的迁移和联系能力以及转化的数学思想。

（二）教学重点：（a≥0，b≥0），二次根a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简。

（三）教学难点：在具体化简问题中，发现规律，利用积的算术平方根性质和二次根式乘法法则进行化简。

二、教学目标：依据课标要求，结合教材和学生实际，我指定了如下教学目标：（一）知识与技能目标1．通过学习，是学生进一步熟练掌握积的算术平方根的性质。

2.通过引导，让学生会运用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算和根式化简。

（二）过程与方法目标通过探索灵活运用积的算术平方根，使学生感知数学知识具有普遍的联系性。

熟练掌握运算法则，培养学生由特殊到一般的思维能力（三）情感与态度目标通过主动探究，合作交流，让学生充分参与到数学学习的过程中来，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，同时进一步培养同学间的合作交流能力和团队合作精神。

三、教法简介：教学法：根据教材特点和八年级学生的心理特征和认知水平，本课我采用引导设问法、讨论法、练习法等方法，激发学生学习兴趣，并在教学过程中注意加强对学生的启发和引导，充分展示自己的观点和见解，创设一个宽松愉快的学习氛围。

学生通过自主学习、合作探究等方法学习，充分体现出学生的主体地位。

【下面，我重点说下本课题的教学过程】四、教学过程：（一）复习，导入新课1.（a≥0，b≥0）2.在黑板分别板书3道带有根号有关算术平方根的积和积的算术平方根的计算题，请同学们完成。

＝0”时，每个部分
3.二次根式运算时，一定要先化简，再运算.步骤是先乘方开方，再乘除， 最后加减；有括号的由内到外、由小到大进行计算. 4.重要技巧：y＝ x－a+ a－x＋1. 解：∵x－a≥0，a－x≥0(保证二次根式有意义，才能运算)， ∴x≥a，且x≤a，即x＝a， ∴y＝1.
03 考场 ·笑傲全国题
10.(2019·梧州)计算：3 8=____2_.
11.(2019·内江)若|1001-a|+ a−1002=a，则a-10012＝__1_0_0_2__. 1
12.(2019·重庆模拟)已知y= x−3+ 3−x-2，则xy的值为__9___.
13.(2019·扬州)计算：( 5-2)2018( 5+2)2019的结果是____5_+_2__.
第一单元 数与式
第5讲 数的开方与二次根式
01 考点 ·梳理知识点
考标点击
1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会表示数的平方根、算术平 方根、立方根. 2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会 用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根. 3.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 4.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数) 加、减、乘、除运算法则，会用它数的开方
样题1 (2019·重庆A)估计(2 3+6 2)× 13的值应在( C )
A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间
［解析］先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算.
(2
3+6
2)×
1 3
＝2+6
23＝2+
36×

(1)[2012· 雅安] 9的平方根是( C ) A．3 B．－3 C．±3 D．6 (2)[2011· 日照] (－2)2的算术平方根是( A ) A．2 B. ±2 C．－2 D. 2
[解析] 9的平方根是± 3，(－2)2的算术平方根是2.
第5讲┃ 归类示例
(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平 方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和 0，立方根等于本身的数是1、－1和0；(3)一个数的立方根 与它同号；(4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化 简再进行开方运算．
2 1 1 2 计算： ×( 3－1) ＋ ＋ 3－ －1. 2 2 2－1 4－2 3 解：原式＝ ＋ 2＋1＋ 3－ 2 2 ＝2－ 3＋ 2＋1＋ 3－ 2＝3.
第5讲┃ 归类示例
利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然 后进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结 合在一起考查．
第5讲┃ 考点聚焦 考点5 把分母中的根号化去
常用形式 及方法
1· a 1 a (1) ＝ ＝ a a· a a a＋b 1 (2) ＝ a＋b a＋b
第5讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度： 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
第5讲┃ 归类示例
[2012· 巴中] 先化简，再求值：
1 1 x x2＋2x＋1 1 － ，其中x＝ . x x＋1· 2 2 2 x＋1 －x－1

x x＋1 x＋1 1 解：原式＝ · ＝ . 4x xx＋1 4xx＋1 1 ①当x＋1＞0时，原式＝ ； 4x 1 ②当x＋1＜0时，原式＝－ . 4x 1 ∵当x＝ 时，x＋1＞0， 2 1 ∴原式＝ . 2

【点拨】原式＝ 2 2＋ 3－ 2 2＝ 3.故选 B. 【答案】 B 方法总结 二次根式加减运算的实质是去括号， 合并被开方数 相同的二次根式；二次根式的乘除运算中，要注意乘法 运算律仍然适用 .
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
考点四
二次根式的混合运算
例 4 (2013· 宿迁)计算 2( 2－ 3)＋ 6的值是__． 【点拨】原式＝ 2× 2－ 2× 3＋ 6＝2－ 6 ＋ 6＝2. 【答案】 2
考点训练
5．(2013· 泰州)下列计算正确的是( C A．4 3－3 3＝1 C．2 1 ＝ 2 2 B.
)
2＋ 3＝ 5
D．3＋2 2＝5 2
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
2x＋ 1 6． (2013· 娄底)使式子 有意义的 x 的取值范 x－1 围是( A ) B． x≠1 1 D． x＞－ 且 x≠1 2 1 A． x≥－ 且 x≠ 1 2 1 C． x≥－ 2
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
方法总结 二次根式的混合运算要注意运算的顺序， 可应用整 式的运算律改变运算的顺序，从而使运算简便.
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
1． 要使二次根式 2x－4有意义， 那么 x 的取值范 围是( C ) B．x＜2 D．x≤2
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
考点五
二次根式的运算
1．二次根式的加减法 先将各二次根式化为最简二次根式 ，然后再合并 同类二次根式．

之也成立，即 a 无意义 a<0.
感悟新知
要点精析：
知2－讲
(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件
是：各个二次根式中根式又含有分式，那么它有意
义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负散，分式
的分母不等于0.
(3)如果一个式子含有零指数幂或负整散指数幂，那么它有
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之间存在如下关系：v2=gR，其中重力加速度常数 g=9.8 m/s2.若已知地球半径R，则第一宇宙速度 是多少？
感悟新知
知1－导
我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方
根，一个记作 a ，称为a的算术平方根；另一个是 a－ .
感悟新知
结论
知1－讲
我们把形如 a 的式子叫作二次根式，根号下的
①
13；②
－3；③－
3
x2＋1；④ 8；⑤
132；⑥ x2－2.
A．2 B．3 C．4 D．5
感悟新知
知识点 2 二次根式的“双重”非负性(a≥0， a 0 )
(1)式子 a 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 a 知2－导
为二次根式的前提条件.式子 就 2不是二次根式，但式 子 ( 2却) 2 又是二次根式．
数叫作被开方数.
感悟新知
1.定义：形如 a (a≥0)的式子叫作二次根式；
知1－讲
其中“ ”称为二次根号，a称为被开方数(式).
要点精析：(1)二次根式的定义是从代数式的结构形式上界
定的，必须含有二次根号“ ”；
“ ”的根指数为2，即 2 ，“2”一般省略不写.
(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式

第5讲┃ 归类示例
此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式 的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不 等式组，转化为求不等式组的解集．
第5讲┃ 归类示例 ► 类型之三 根式的化简与计算
命题角度： 1. 二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平方 根，商的算术平方根； 2. 二次根式的加减乘除运算．
[点析] 在进行二次根式化简求值时，常常用到整体思 想．把 x＋y、x－y、xy 当作整体进行代入．
第5讲┃ 回归教材
中考变式
a2－4a＋4 a＋1 2 [2012· 苏州] 先化简，再求值： ＋ 2 · ，其 a－1 a －1 a－2 中 a＝ 2＋1.
a－22 a＋1 a－2 2 2 a 解：原式＝ ＋ · ＝ ＋ ＝ . a－1 a＋1a－1 a－2 a－1 a－1 a－1 2＋1 2＋ 2 当 a＝ 2＋1 时，原式＝ ＝ . 2 2
第5讲┃ 考点聚焦 考点3 二次根式的性质
两个重要 的性质 ( a)2＝a(a________) ≥0 a ＝a
2

二 次 根 积的算术 式 平方根 的 性 商的算术 质 平方根
＝
a -a
a≥0 a<0
ab＝ a· b(a______(a________， >0 a a b________) ≥0
立方 一个数x的________等于a，那么x叫做 立方 根 3 数a的立方根，记作 a
第5讲┃ 考点聚焦 考点2 二次根式的有关概念
二 次 根 式 最简 二次 根式
定义 防错 提醒
形如 a(________)的式子叫做二次根式 a≥0 a中的 a 可以是数或式， a 一定要大于 但 或等于 0

第5讲 二次根式一、考点知识梳理【考点1 二次根式的概念和性质】 1．平方根、算术平方根若x 2＝a ，则x 叫a 的平方根．当a≥0时，a 是a 的算术平方根．正数b 的平方根记作± b.a 是一个非负数，只有非负数才有平方根． 2．立方根及性质若x 3＝a ，则x 叫a 的立方根．求一个数的立方根的运算叫开立方；任一实数a 的立方根记作3a ；3a 3＝a ，(3a)3＝a ，3－a ＝－3a ． 3．二次根式的概念(1)形如a(a≥0)的式子叫二次根式，而a 为二次根式的条件是a≥0； (2)满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式： ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式． 4．二次根式的性质 (1)ab ＝a·b(a≥0，b≥0)；a b ＝ab(a≥0，b ＞0)； (2)(a)2＝a(a≥0)； (3)a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a （a≥0）－a （a ＜0）.【考点2 二次根式的运算】 二次根式的运算(1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并； (2)二次根式的乘法：a·b ＝ab(a≥0，b≥0)； (3)二次根式的除法：ba =ba(a≥0，b ＞0)； (4)二次根式的估值：二次根式的估算，一般采用“夹逼法”确定其值所在范围．具体地说，先对二次根式平方，找出与平方后所得的数相邻的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个二次根式在哪两个整数之间；(5)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用．二次根式的混合运算顺序是：先算乘除，后算加减，有括号时，先算括号内的(或先去括号)． 二、考点分析【考点1 二次根式的概念和性质】 【解题技巧】1.判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a ≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．2.二次根式的基本性质：①≥0； a ≥0（双重非负性）．②a ＝ （a ≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝a （a ≥0）（算术平方根的意义）【例1】（2019 甘肃中考）使得式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≥4B ．x ＞4C ．x ≤4D ．x ＜4【答案】D ．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：使得式子有意义，则：4﹣x ＞0，解得：x ＜4，即x 的取值范围是：x ＜4． 故选：D ．【一领三通1-1】（2019•广西）若二次根式有意义，则x 的取值范围是 ．【答案】x ≥﹣4；【分析】根据被开数x +4≥0即可求解； 【解答】解：x +4≥0， ∴x ≥﹣4； 故答案为x ≥﹣4；【一领三通1-2】（2019•广州）代数式有意义时，x 应满足的条件是 ．【答案】x ＞8．【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x 的取值范围． 【解答】解：代数式有意义时，x ﹣8＞0， 解得：x ＞8．()2a ()2a故答案为：x＞8．【一领三通1-3】（2019 台湾中考）若＝2，＝3，则a+b之值为何？（）A．13B．17C．24D．40【答案】B．【分析】根据二次根式的定义求出a、b的值，代入求解即可．【解答】解：∵＝＝2，∴a＝11，∵＝＝3，∴b＝6，∴a+b＝11+6＝17．故选：B．【一领三通1-4】（2016河北中考）关于的叙述，错误的是（）A．是有理数B．面积为12的正方形边长是C．＝2D．在数轴上可以找到表示的点【答案】B．【分析】根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或π；由此即可判定选择项．【解答】解：A、是无理数，原来的说法错误，符合题意；B、面积为12的正方形边长是，原来的说法正确，不符合题意；C、＝2，原来的说法正确，不符合题意；D、在数轴上可以找到表示的点，原来的说法正确，不符合题意．故选：A．【一领三通1-5】（2019 山东济南中考模拟）如图，表示7的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间()A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C【答案】A.【分析】(1)根据平方根的定义和绝对值的性质分别填空即可；(2)主要考查数轴，根据数轴上的点利用平方法，估算7的大致范围，然后结合数轴上点的位置和大小即可得到7的位置．【解答】(1)7是一个正数，它的绝对值大于2；②它的绝对值小于3；③2.5的平方是6.25；故选A【考点2 二次根式的运算】【解题技巧】1.二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．2.化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．3.二次根式运算的结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式，如果二次根式的运算结果不是最简二次根式，必须化为最简二次根式．【例2】（2019 江苏南京中考）计算﹣的结果是．【答案】0．【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【解答】解：原式＝2﹣2＝0．故答案为0．【一领三通2-1】计算÷的结果是．【答案】3．【分析】根据二次根式的性质把化简，再根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：．故答案为：3【一领三通2-2】（2019 山西中考）下列二次根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】D．【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、是最简二次根式，故D符合题意．故选：D．【一领三通2-3】（2019 天津中考）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【答案】D．【分析】由于25＜33＜36，于是＜＜，从而有5＜＜6．【解答】解：∵25＜33＜36，∴＜＜，∴5＜＜6．故选：D．【一领三通2-4】（2019•青岛）计算：﹣（）0＝2+1．【答案】2+1．【分析】根据二次根式混合运算的法则计算即可．【解答】解：﹣（）0＝2+2﹣1＝2+1，故答案为：2+1．【一领三通2-5】（2019•广州中考模拟）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（）A B 2 C D【答案】C【分析】利割补法求阴影部分的面积.【解答】阴影部分的面积5，新正方形的边长为 5.故选：C三、【达标测试】（一）选择题1.（2019 云南中考）要使有意义，则x的取值范围为（）A．x≤0B．x≥﹣1C．x≥0D．x≤﹣1【答案】B．【分析】要根式有意义，只要令x+1≥0即可【解答】解：要使根式有意义则令x+1≥0，得x≥﹣1故选：B．2.（2019 重庆中考）估计（2+6）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【答案】C．【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算．【解答】解：（2+6）×，＝2+6，＝2+，＝2+，∵4＜5，∴6＜2+＜7，故选：C．3.（2019•兰州）计算：﹣＝（）A．B．2C．3D．4【答案】A．【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．【解答】解：﹣＝2﹣＝，故选：A．4.（2019 山东青岛中考模拟）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（）A．4x+2B．﹣4x﹣2C．﹣2D．2【答案】A．【分析】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，∴|x﹣3|+|x+4|＝7，∴﹣4≤x≤3，∴2|x+4|﹣＝2（x+4）﹣|2x﹣6|＝2（x+4）﹣（6﹣2x）＝4x+2，故选：A．5.（2019 河北衡水中考模拟）化简﹣a的结果是（）A．﹣2a B．﹣2a C．0D．2a【答案】A．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：﹣a＝﹣a﹣a2•＝﹣a+a＝0．故选：C．6.（2019 河北沧州中考模拟）若（a+）2与|b﹣1|互为相反数，则的值为（）A．B．+1C．﹣1D．1﹣【答案】C．【分析】根据互为相反数的两个数等于0得出（a+）2+|b﹣1|＝0，推出a+＝0，b﹣1＝0，求出a＝﹣，b＝1，代入求出即可．【解答】解：∵（a+）2与|b﹣1|互为相反数，∴（a+）2+|b﹣1|＝0，∴a+＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣，b＝1，∴＝＝＝﹣1，故选：C．7.（2019 山东青岛中考模拟）已知a为实数，则代数式的最小值为（）A．0B．3C．D．9【答案】B．【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．【解答】解：∵原式＝＝＝∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时代数式的值最小，为即3故选：B．8.（2019 辽宁盘锦中考模拟）方程，当y＝2时，m的取值范围是（）A．350B．C．O D．m≤2【答案】C．【分析】根据两个非负数的和为0，必须都为0，得出4x﹣8＝0，x﹣y﹣m＝0，求出xy的值，代入即可求出m的值．【解答】解：∵方程，∴4x﹣8＝0，x﹣y﹣m＝0，x＝2，m＝y﹣2，∵y＝2，∴m＝0，故选：C．（二）填空题1.（2019 天津中考）计算（+1）（﹣1）的结果等于．【答案】2．【分析】利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝3﹣1 ＝2． 故答案为2．2.（2019 上海中考）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是 ． 【答案】【分析】根据算术平方根的定义解答． 【解答】解：∵正方形的面积是3， ∴它的边长是．故答案为：3.（2019•长春）计算：3﹣＝ ．【答案】2．【分析】直接合并同类二次根式即可求解． 【解答】解：原式＝2．故答案为：2．4.（2019 山东枣庄中考模拟）函数y ,自变量x 的取值范围是 . 【答案】x≥-12且x≠1【分析】二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0. 【解答】根据题意得⎩⎨⎧≠-≥+01012x x ∴x≥-12且x≠1.故答案是：x≥-12且x≠15. （2019 湖南长沙中考模拟）已知a 、b 为两个连续整数，且a ＜7＜b ，则b a += . 【答案】5.【分析】利用估算求二次根式的范围. 【解答】因为2<7<3, 所以a=2,b=3, ∴a+b=2+3=5. 故答案是：56.（2019 上海中考模拟）方程31x 2=-的根是 ． 【答案】x=5【分析】求根式中的被开方数中的未知数.乘法法则，乘法公式适合于二次根式. 【解答】两边平方，得2x -1=9. ∴2x=10 ∴x=5.经检验x=5是方程2x+1=3的根. 故答案是：x=57.（2019 上海中考模拟）化简：=-321 ．【答案】2+ 3 【分析】化简1a+b形式通常乘以a -b,利用平方差公式(a+b)(a -b)=a -b. 【解答】原式=12-3=1×(2+3)(2-3)( 2+3) =2+322-(3)2 = 2+ 3.故答案是：2+ 38. （2019 河北沧州中考模拟）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：（1）请用不同的方法化简；（2）化简：． 【答案】（1）﹣（2）．【分析】（1）分式的分子和分母都乘以﹣，即可求出答案；把2看出5﹣3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可． （2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．【解答】解：（1）．（2）原式＝＝． （三）解答题1.（2019 河北石家庄中考模拟）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简222()a b a b -【分析】a 2=|a|=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a a a a 【解答】∵-1<a<0,0<b<1∴a -b<0.∴原式=|a|-|b|-|a -b|=-a -b+a -b=-2b.2.（2019 河北唐山中考模拟）先化简,再求值：222344322+-++÷+++a a a a a a a ，其中22-=a ． 【分析】结果的分母应不含根号.先化简，再代入求值，化简时把分子、分母进行因式分解.【解答】当a=2-2时，原式=a(a+3)(a+2)2·a+2a+3-2a+2=a -1a+2=2-2-22-2+2 =2-42=1-2 2. 3. （2019 辽宁沈阳中考模拟）计算：cos45°·(－21)－2－(22－3)0＋｜－32｜＋121 【分析】先把三角函数，负指数、零指数、绝对值及分子分母中的根号等进行化简.a -p =1a p (a≠0,p 为正整数), 1a -b 化简为1a -b =a+b (a -b)(a+b)=a+b a -b. 【解答】原式=22×4-1+32+12-1=22-1+42+2+1=7 2.4.（2019 山东淄博中考模拟）（1）已知a +3与2a ﹣15是一个正数的平方根，求a 的值；（2）已知x ，y 为实数，且y ＝﹣+4，求的值．【分析】（1）直接利用平方根的定义分析得出答案；（2）利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：（1）根据平方根的性质得，a +3+2a ﹣15＝0，解得：a ＝4，a +3＝2a ﹣15，解得：a ＝18， 答：a 的值为4或18；（2）满足二次根式与有意义，则，解得：x ＝9，∴y ＝4，∴＝+＝5． 5.（2019 湖南长沙中考模拟）阅读材料：小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：．该如何化简呢？思考后，他发现3+2＝1+2+（）2＝（1+）2．于是＝＝1+．善于思考的小明继续深入探索；当a+b＝（m+n）2时（其中a，b，m，n均为正整数），则a+b＝m2+2mn+2n2．此时，a＝m2+2n2，b＝2mn，于是，＝m+n．请你仿照小明的方法探索并解决下列何题：（1）设a，b，m，n均为正整数且＝m+n，用含m，n的式子分别表示a，b时，结果a＝，b＝；（2）利用（1）中的结论，选择一组正整数填空：＝+；（3）化简：．【分析】（1）利用已知直接去括号进而得出a，b的值；（2）取m＝2，n＝1，计算a和b的值，利用完全平方公式，变形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解答】解：（1）由题意得：a+b＝（m+n）2，∴a+b＝m2+3n2+2mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn；故答案为：m2+3n2；2mn；（2）取m＝2，n＝1，则a＝m2+3n2＝7，b＝2mn＝4，7+4＝（2+）2；故答案为：；（3）＝＝+1．6.（2019 河北衡水中考模拟）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+．【分析】直接利用三角形三边关系得出a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，进而化简得出答案．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三边长，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，∴原式＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）＝2a．7.（2019 河北石家庄中考模拟）已知|2018﹣m|+＝m，求m﹣20182的值．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分别分析得出答案．【解答】解：∵m﹣2019≥0，∴m≥2019，∴2018﹣m≤0，∴原方程可化为：m﹣2018+＝m，∴＝2018，∴m﹣2019＝20182，∴m﹣20182＝2019．8.（2019 河北石家庄中考模拟）在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：①4+2；②6+4（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．【分析】（1）根据完全平方公式求出即可；（2）先根据完全平方公式展开，再求出m、n的值，再求出a即可．【解答】解：（1）4+2＝3+2+1＝（）2+2×+12＝（+1）2；6+4＝4+4+2＝22+2×2×+（）2＝（2+）2；（2）∵a+4＝（m+n）2，∴a+4＝m2+2mn+3n2，∴a＝m2+3n2，2mn＝4，∴mn＝2，∵m，n都是正整数，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2；当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝7；当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝13；即a的值是7或13．。

一、教学目标：知识目标：1、使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与计算；2、会进行简单的二次根式的乘除法、加减法运算；过程与方法：1、使学生进一步了解数学知识之间是相互联系的；2、使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题；情感态度与价值观：培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯。

二、教学重难点重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行二次根式的乘除法、加减法计算。

难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用。

三、教学内容：知识回顾：1、什么叫二次根式？形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念2、二次根式有哪些性质？（a）2=a（a≥0）新课知识：二次根式的乘除法：计算：（1）425⨯与425⨯（2）169⨯与169⨯（3）2)32(×2)53(与22)53()32(⨯观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？概括:二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变： a ·b =ab （a ≥0，b ≥0） 由以上公式逆向运用可得：ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）文字语言叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

例1、计算：⑴ 2·32 ⑵21·8 ⑶a 2·a 8（a ≥0）例2、化简： ⑴ 2257 ⑵8116 ⑶12⑷3a （a ≥0） ⑸a （a ≥0，b ≥0）练习： 1、化简：（1）18 （2）27 （3）32（4）2312a b （5）273⨯ （6）5153⨯（7）763⋅ （8）23312⨯ （9）2405⨯（10） 3ab ab ⋅ （0a ≥ 0b ≥）2、计算：⑴xy ·y x 3·2xy⑵18·24·27 （3）63142⨯⨯3、已知()()2727x x x x --=-⋅-，求x 的取值范围。

4、已知等腰三角形的腰为26cm ，底边为42cm ，求这个等腰三角形的面积5、观察：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0） 思考：a ×b ×c = ？6、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=10㎝，BC=24㎝，求AB 。

【例 3】 计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解 原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解 原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最 简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一 二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式 考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.

第05讲实数与二次根式易错点梳理易错点梳理易错点01混淆平方根与算术平方根对于正数a 来说，a ±表示a 的平方根，a 表示a 的算术平方根。

易错点02混淆平方根与立方根的性质正数的平方根有两个，它们互为相反数；负数没有平方根，实数a 的立方根只有一个，无论a 是正数、负数还是0。

易错点03二次根式概念理解错误对二次根式的定义理解不透，认为只要带二次根号即为二次根式，忽视了二次根式a 中0≥a 的条件，所以在平时做题中必须特别注意理解二次根式的被开方数是非负数。

易错点04二次根式运算顺序出错由于乘除是同一级运算，因此按顺序哪个在前，要先算哪个运算。

易错点05错用二次根式的性质二次根式的性质有)0,0(≥≥∙=b a b a ab ；)0,0(>≥=b a ba ba ，切记不存在b a b a ±=±。

易错点06解题时忽视限制条件应用二次根式的运算性质)0,0(≥≥∙=b a b a ab ，)0,0(>≥=b a ba ba 时，必须要满足括号里的条件。

考向01平方根例题1：（2021·四川凉山·）A ．9B ．9和﹣9C ．3D ．3和﹣3【答案】D【思路分析】先化简，再根据平方根的地红衣求解．3±，故选D ．【点拨】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a ，则这个数叫做a 的平方根，即x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根，记作x =±．例题2：（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（）A ．4=±B ．()2234636m n m n =C ．24833a a a ⋅=D ．33xy x y-=【答案】A【思路分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案．【解析】A 、4=±，正确，故该选项符合题意；B 、()2234639m n m n =,错误，故该选项不合题意；C 、24633a a a ⋅=，错误，故该选项不合题意；D 、3xy 与3x 不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；故选：A ．【点拨】本题考查了平方根、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式以及合并同类项，熟练掌握平方根的定义、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式以及合并同类项的运算法则是解题关键．考向02立方根例题3：（2021·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（）A ．2(3=-B=C1=D ．1)3+=【答案】B【思路分析】根据二次根式的运算及立方根可直接进行排除选项．【解析】解：A 、(23=，错误，故不符合题意；B =，正确，故符合题意；C 1=-，例题4：（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果n x a =（n 为正整数，且1n >），那么x 叫做a 的n 次方根，下列结论中正确的是（）A ．16的4次方根是2B ．32的5次方根是2±C ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小D ．当n为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而增大【答案】C【思路分析】根据题意n 次方根，列举出选项中的n 次方根，然后逐项分析即可得出答案．【解析】A.42=16 4(2)=16-，∴16的4次方根是2±，故不符合题意；B.5232= ，5(2)32-=-，∴32的5次方根是2，故不符合题意；C.设x y =则155153232,28,x y ====1515,x y ∴>且1,1,x y >>,x y ∴>∴当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，故符合题意；D.由C 的判断可得：D 错误，故不符合题意．故选C ．【点拨】本题考查了新概念问题，n 次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x 是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．考向03实数例题5：（2021·山东日照·中考真题）在下列四个实数中，最大的实数是（）A ．-2BC ．12D ．0【答案】B【思路分析】根据实数的大小比较方法进行比较即可．【解析】解： 正数大于0，负数小于0，正数大于负数，∴1022>>>-，故选：B ．【点拨】本题考查了实数的大小比较，理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键．例题6：（2021·贵州毕节·中考真题）下列各数中，为无理数的是（）A ．πB ．227C ．0D ．2-【答案】A【思路分析】根据无理数的定义逐项判断即可．【解析】A 、π是无理数，符合题意；B 、223.1428577= 小数点后的142857是无限循环的，则227是有理考向04二次根式的概念与性质例题7：（2021·湖北襄阳·中考真题）x 的取值范围是（）A ．3x ≥-B ．3x ≥C ．3x ≤-D ．3x >-【答案】A【思路分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．在实数范围内有意义，∴x +3≥0，即：3x ≥-，故选A ．【点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方式是非负数，是解题的关键．例题8：（2021·浙江杭州·中考真题）下列计算正确的是（）A2=B 2=-C 2±D 2=±【答案】A【思路分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．2==，故A 正确，C 2=，故B 、D 错误；故选：A ．【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．考向05二次根式的乘除例题9：（2021·湖南株洲·中考真题）计算：4-=（）A ．-B ．－2C ．D ．【答案】A化简，然后根据乘法法则运算即可．【解析】解：()44--⨯-A ．【点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉相关性质是解题的关键．例题10：（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（）AB C D 【答案】D【思路分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方最简二次根式，故本选项不符合题意；C |a ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．故选：D ．【点拨】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．考向06二次根式的加减例题11：（2021·广西梧州·中考真题）下列计算正确的是（）A=B =C ．2=D ．2＝2【答案】D【思路分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法法则和除法法则逐一进行计算，从而得出答案；=A B=选项C 错误；）2＝2，选项D 正确；故选：D【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键例题12：（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）ABC D 【答案】D【思路分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断．【解析】A =B =与类二次根式，故此选项错误；C 故此选项错误；D ==，D ．【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式．微练习一、单选题【答案】B<<∴56<，∴30的算术平方根介于5与6之间．故选：B ．2．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）下列计算：①222+=a a a ，②(1)x y x xy +=+，③46，④236() mn mn =，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】解：①23a a a +=，故①错误；②(1)x y x xy +=+，故②正确；③446+，故③正确；④2336() mn m n =，故④错误；故正确的有②，③，共2个，故选：B ．3．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模））A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【答案】B∴56，5和6之间；故选B ．4．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）下列四个实数中，最小的数是（）A ．5-B ．14C ．0D 【答案】A【分析】解：∵-5＜0＜14，A ．227B C ．3.1415926D 【答案】B【分析】解：A .227是分数，属于有理数；B 是无理数；C .3.1415926是有限小数，属于有理数；D 3=是整数，属于有理数；故选：B ．6．（2021·重庆·西南大学附中模拟预测）在函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是（）A ．1x >-B ．1x ≥-C ．1x ≥-且2x ≠D ．1x >-且2x ≠【答案】C【分析】解：根据题意得：1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得：x ≥−1且x ≠2．故选：C ．7．（2021·山东兰陵·一模）实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简a 的结果是（）A ．2a b -+B ．2a b -C ．b -D ．b【答案】A【分析】解：由数轴可知，a ＜0＜b ，∴a -b ＜0∴2a a b a b a =-+-=-；故选：A8．（2021·江苏建邺·二模）2b =-，则b 满足的条件是（）A ．2b ＞B ．2b ＜C ．2b ≥D ．2b ≤【答案】D2b =-∴20b -≥∴2b ≤故选：D ．9．（2021·内蒙古包头·三模）下列说法中，真命题有（）有意义，则1x >；②已知27α∠=︒，则α∠的补角是153︒；③已知2x =是方程260x x c -+=的一个实数根，则c 的值为8；1≥x ，故错误；②已知27α∠=︒，则α∠的补角是153︒，故正确；③已知2x =是方程260x x c -+=的一个实数根，则22-12+c =0，解得c =8，故正确；④在反比例函数2k y x-=中，若0x >时，y 随x 的增大而增大，则k -2＜0，则k 的取值范围是2k <，故错误；故选：B ．10．（2021·重庆·字水中学三模））A ．5和6之间B ．6和7之间C ．7和8之间D ．8和9之间．【答案】C【分析】解:===== 78∴<介于7和8之间，故选：C ．11．（2021·广西·南宁十四中三模）下列属于最简二次根式的是（）AB C D 【答案】B【分析】A.3=开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B.是最简二次根式，故此选项符合题意；3=含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D.10=被开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选B 12．（2021·甘肃庆阳·二模））A B ．3C ．D ．【答案】D【分析】解：S =D13．（2021·福建·厦门市第九中学二模））AB C ．3D合题意；C.3 D.=故选D．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）下列运算正确的是（）B．AC．x5•x6＝11x D．（x2）5＝7x【答案】C【分析】解：A不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；B、12a，故B选项错误；C、x5•x6＝11x，故C选项正确；D、（x2）5＝10x，故D选项错误，故选：C．15．（2021·福建南平·二模）下列运算正确的是（）A=B=C2=D=【答案】A【分析】解：A=B：选项错误，不符合题意；C：选项错误，不符合题意；D：选项错误，不符合题意；故答案选A．二、填空题16．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）______．【答案】1或2．【分析】解：∵23=∴23<<，1，2，故答案为：1或2．17．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）______________．【答案】2【分析】解：原式=2，故答案为：2．|＝__．18．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模）30+|﹣119．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）112-⎛⎫= ⎪⎝⎭____________．【答案】2-【分析】解：原式2=2=．故答案为2-．20．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）=_______．【答案】32【分析】解：原式=32=．故答案为：32．21．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）=______．【答案】22=，故答案为：2．22．（2021·山东·济宁学院附属中学三模）已知1y ==_______．【答案】2【分析】 1y =，2020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得2x =，1y =∴，∴2=．故答案为：2．23．（2021·山东省诸城市树一中学三模）已知1a =，1b -，则33a b ab -=__________．【答案】【分析】解：33a b ab -()22ab a b =-()()ab a b a b =+-，∵1a +，1b =，∴)11211ab ==-=，11a b +-=112a b -=+-=，24．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）21|3|()2--+-．【答案】4【分析】解：原式＝3﹣3+4＝4．25．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）计算：201332-⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭【答案】【分析】解：原式=143+-+=26．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）计算：11()(53--．【答案】2-【分析】解：11()(53--35=-+2=．27．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）1124-⎛⎫+ ⎪⎝⎭21124-⎛⎫+ ⎪⎝⎭42=+2=．。

二次根式的化简及计算(学生基础版)教案第一章：二次根式的概念与性质1.1 引入二次根式的概念，让学生了解二次根式是由二次方程的根演变而来的数学表达式。

1.2 解释二次根式的性质，包括：a) 二次根式中的被开方数必须是非负数；b) 二次根式具有非负性、非负数的乘除法性质；c) 二次根式可以进行乘除运算，乘除运算规则与整数相同。

第二章：二次根式的化简2.1 介绍二次根式化简的方法和步骤：a) 提取二次根式中的最大公因数；b) 将二次根式中的括号展开；c) 合并同类项。

2.2 进行几个简单的例子，让学生熟悉化简方法。

第三章：二次根式的加减法运算3.1 讲解二次根式加减法的运算规则：a) 确保二次根式中的被开方数相同；b) 将同类二次根式相加减；c) 化简结果，确保最简二次根式形式。

3.2 进行几个具体的例子，让学生掌握二次根式的加减法运算。

第四章：二次根式的乘除法运算4.1 讲解二次根式乘除法的运算规则：a) 将二次根式相乘除，确保被开方数相乘除；b) 化简结果，确保最简二次根式形式。

4.2 进行几个具体的例子，让学生掌握二次根式的乘除法运算。

第五章：二次根式的实际应用5.1 引入二次根式在实际问题中的应用，例如：计算物体的体积、面积等。

5.2 进行几个具体的实际应用例子，让学生了解二次根式在实际问题中的应用方法和步骤。

第六章：含绝对值的二次根式6.1 引入绝对值的概念，并解释绝对值与二次根式的关系。

6.2 讲解如何处理含绝对值的二次根式，包括：a) 分析绝对值内的表达式正负，确定二次根式的性质；b) 利用绝对值的性质进行化简和运算。

6.3 进行几个例子，让学生掌握处理含绝对值的二次根式的方法。

第七章：含指数的二次根式7.1 引入指数的概念，并解释指数与二次根式的关系。

7.2 讲解如何处理含指数的二次根式，包括：a) 将指数形式转换为根式形式；b) 利用指数的性质进行化简和运算。

7.3 进行几个例子，让学生掌握处理含指数的二次根式的方法。

6.(2012·杭州中考)已知 a (a 3)＜0 ，若b=2-a，则b的取值范
围是__________． 【解析】∵ a (a 3)＜0 ， ∴ a＞0，a 3＜0 ，解得a＞0且 a＜ 3，
0＜a＜ 3， 3＜ a＜0， 2 3＜2 a＜2，
即 2 3＜b＜2． 答案：2 3＜b＜2
选D.
【对点训练】 4.(2011·大庆中考)对任意实数a，则下列等式一定成立的 是(
(A)
)
a 2 a(B) a 2 a
(C) a 2 a(D) a 2 | a |
a
答案：6
【名师点评】通过对该类型题目的分析与总结，我们可以得到 以下创新点拨和解题启示. 1.正数和零统称为非负数,初中非负数常见的三种表示 形式： (1)绝对值形式：a为任意实数，则|a|≥0; (2)算术平方根形式：a≥0，则 a 0； (3)偶次幂形式：任意实数a，偶数n，则an≥0. 2.非负数的四个性质: (1)非负数a≥0，则a的最小值为0； (2)有限个非负数的和与积仍是非负数； (3)有限个非负数的和为0等价于每个非负数都等于0； (4)有限个非负数的积为0，则其中至少有一个非负数为0.
【例1】(2011·黄冈中考)要使式子 a 2 有意义，则a的取值
范围为__________．
a
【思路点拨】从形式上看首先是一个分式，分式的分母不能等 于0，由于分子是一个二次根式，还要满足被开方数是非负数 .
a20 【自主解答】由题意得 , a 0
解得: a≥-2且a≠0.
15 15 (D) 2 2
(A) 15(B)15(C)
【解析】选A.根据二次根式被开方数为非负数求出x，y的值，

第5讲 代数方程（二）知识精要一、无理方程1、方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程或根式方程。

2、求解无理方程的一般步骤：1）利用两边平方把无理方程转化为有理方程； 2）求解有理方程； 3）检验； 4） 写结论。

二、二元二次方程组1、仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程；仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数是2，像这样的方程组叫做二元二次方程组。

2、解法：代入消元法和因式分解法【典型例题】类型一、无理方程概念1．已知下列关于x 的方程：.3231)6(;21)5(;721)4(;071)3(;015)2(;015122=-++=+=+-=-+=++=++xx x x x x a x x x x x ）（其中无理方程是____________________(填序号).【思路点拨】判断无理方程的唯一依据就是看看根式中是否还有未知数.【答案与解析】（2），（3），（5）【总结升华】判断无理方程的唯一依据是无理方程的定义：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.举一反三：【变式】下列方程哪些是无理方程？(1)=0； (2)=0； (3).=0；（4）（是常数）．【答案】（1）（2）（3）是无理方程．类型二、判断无理方程解的情况2．不解方程，你能判断出下列方程的根的情况吗？①；②； ③.【思路点拨】不解方程直接判断它的解的情况，主要看该方程能否成立，依据是“对于二次根式，有.” 【答案与解析】（1，所以方程无解（2，所以方程无解（3所以x ≥5且x ≤2，所以方程无解【总结升华】对于某些特殊的无理方程，可以不解方程直接判断它的解的情况，主要依据是“对于二次根式，有.”类型三、解无理方程3．解方程【答案与解析】两边平方得：移项，合并同类项得：解得：或检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根．把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根． 所以，原方程的解是． 11=+-x x 325=-+-x x a 0,0≥≥a a 010＞0≤0≥0a 0,0≥≥a a 71x x +=1x =+2721x x x +=++260x x +-=3x =-2x =3x =-≠3x =-2x =2x =2x =【总结升华】解含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．举一反三：【变式】方程的根是 ．【答案】解：方程两边同时平方得：x+1=4，解得：x=3．检验：x=3时，左边==2，则左边=右边， 故x=3是方程的解．故答案是：x=3．4、【答案与解析】x=23原方程变形为两边平方得 x+2=81-+x-7整理得再两边平方得 x-7=16 解得 x=23检验：把x=23代入原方程得，左边=右边所以，原方程的根是 x=23【总结升华】由于在方程的一边含有两个根式，直接平方将很困难．这时通常采用把一个根式移到另一边再平方的方法，这样就可以转化为上例的模式.举一反三：【变式】（20164=.【答案】4=5163x x +=--1=31x -=4x =经检验4x =是原方程的根，所以原方程的根为4x =．类型四、“换元法”解无理方程5、（杨浦区校级期中）解方程：4x 2﹣10x+=17．972=-++x x【思路点拨】利用换元法解方程：设=t ，原方程转化为2t 2+t ﹣21=0，解此一元二次方程得到t 1=3，t2=﹣，再分别解=3和=﹣，然后把解得的结果进行检验即可得到原方程的解．【答案与解析】解：方程变形为2（2x 2﹣5x+2）﹣﹣21=0 设=t ，则原方程转化为2t 2+t ﹣21=0，（t ﹣3）（2t+7）=0，解得t 1=3，t2=﹣，当t=3时，=3，则2x 2﹣5x+2=9， 整理得2x 2﹣5x ﹣7=0，解得x 1=，x 2=﹣1；当t=﹣时，=﹣，则方程无解，经检验原方程的解为x 1=，x 2=﹣1．【总结升华】本题考查了无理方程：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．举一反三：【变式】解方程x 2+3x －=1.【答案】解：设 换元后，整理得方程是，解得，，，所以， ，，解这两个方程得，，，，，检验：把，，，代入原方程得，，是原方程的根， 所以，原方程的根是，. 1x 6x 22++2+3y x x =y 1=4y 2=0y 2+3=4x x 2+3=0x x 1=-4x 2=1x 3=-3x 4=0x 1=-4x 2=1x 3=-3x 4=0x 1=-4x 2=1x 1=-4x 2=1x类型五、二元二次方程（组）判断1．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项. 【思路点拨】该题主要依据二元二次方程的定义。

第5章二次根式5.1 二次根式第1课时二次根式的概念及性质【知识与技能】1.了解二次根式的概念.2.掌握二次根式的基本性质.3.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围.【过程与方法】经历二次根式的基本性质、运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象的概括能力.【情感态度】经历观察、比较、总结和应用数学等活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.体会发现的快乐，并提高应用的意识.【教学重点】二次根式的概念及意义.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.一、情景导入，初步认知1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？3.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？5.－7有没有平方根？有没有算术平方根？【教学说明】评价学生与本节课相关的旧知识的掌握情况.二、思考探究，获取新知1.说一说：（1）5的平方根是什么？正实数a的平方根是什么？（2）运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度，才能克服地球引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道，而第一宇宙速度u与地球半径R之间存在如下关系：u2=gR，其中重力加速度常数g≈9.5m/s2.如已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？我们已经知道：每一个正实数a a a的算术平方根，另一个是-a . 【归纳结论】我们把形如a 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 2.思考二次根式“a ”中被开方数a 能取任意实数吗？【归纳结论】只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 对于非负实数a,由于a 是a 的一个平方根，因此（a ）2=a(a ≥0) 3.做一做：填空.22272 1.25，()，===⋯⋯根据上述结果猜想，当a ≥0时，2a = . 【归纳结论】2a =a(a ≥0) 4.议一议：当a<0时，2a =a 是否依然成立？为什么?【归纳结论】二次根式的性质：【教学说明】学生小组交流期间师巡回指导,引导学生小结形成新知，理解新知;引导学生对二次根式的性质做出合理的解释.三、运用新知，深化理解1.教材P155例1、P156例2、例3.2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（B ）A ．5B ．5C ．15 D ．以上皆不对 3.使式子()25x --有意义的未知数x 有（B ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数4.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：5.当x 是多少时，31x - 在实数范围内有意义？ 【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，31x -才能有意义．6.当x 是多少时，223x x x ++ 在实数范围内有意义？7.当x 是多少时，1231x x +++在实数范围内有意义？【分析】要使1231x x +++在实数范围内有意义，必须同时满足23x + 中的2x+3≥0和11x +中的x+1≠0．8.已知a 、b 521024a a b --=+ ，求a 、b 的值．答案：a=5，b=-4【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材第159页“习题5.1”中第1 、2 题.学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础.本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用.通过复习引入新知，注重将新知识与旧知识进行联系与对比.随后从学生熟悉的四个实际问题出发，用已有的知识写出这四个问题的答案，并分析所得的结果在表达式上的特点，由此引入二次根式的概念，对于二次根式的一些结论，让学生参与思考、探索、学会分类讨论的方法，在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密，以此充分调动学生学习的兴趣.15．3 分式方程(2)1．进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程．2．使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法．重点：理解增根的概念及产生的原因，掌握解分式方程验根的方法．难点：理解增根的概念及产生的原因．一、自学指导自学1：自学课本P150页“思考”，理解增根的概念及产生的原因，掌握分式方程验根的方法，完成填空．(5分钟) 解方程1x －1＝2x 2－1，方程两边都乘以(x ＋1)(x －1)，得到方程x ＋1＝2，解这个一元一次方程得x ＝1．检验：当x ＝1时，分母x －1，x 2－1都为0，相应的分式没有意义，所以x ＝1是整式方程的解，但不是原分式方程的解，这个分式方程无解．问题 你认为在解分式方程的过程中，哪一步变形可能引起增根？为什么会产生增根？总结归纳：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解，有可能使原方程的分母为0，因此应做如下检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根．自学2：自学课本P151页“例1、例2、归纳”，掌握解分式方程的方法．(5分钟) 总结归纳：解分式方程的一般步骤为：(1)去分母(乘以最简公分母)，将分式方程转化成整式方程；(2)解整式方程得到整式方程的解x ＝a ，把整式方程的解x ＝a 代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则x ＝a 是原分式方程的解；若最简公分母等于0，则x ＝a 不是原分式方程的解(是分式方程的增根)．点拨精讲：因为分式方程转化成整式方程后求的解可能是增根，所以一定要检验．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)课本P152页练习题．点拨精讲：注意要检验．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 当m 为何值时，分式方程m x －2＋3＝1－x 2－x无解？ 解：∵m x －2＋3＝1－x 2－x，∴m ＝－2x ＋5，∵此分式方程无解，∴x ＝2，∴m ＝1 点拨精讲：先按一般步骤解方程，再将增根x ＝2代入求m 的值．探究2 已知关于x 的方程2x ＋m x －2＝3的解是正数，求m 的取值范围． 解：由题意可得，x ＝6＋m ，∵此方程的解是正数，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＋m ＞0，6＋m≠2，∴m ＞－6且m≠－4.点拨精讲：要考虑两个条件：①解是正数；②解不为2.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．若分式方程1x －3＋7＝x －43－x 有增根，则增根为x ＝3． 2．若方程3x －2＝2a x ＋4x （x －2）无解，则a 的值是32或1． 3．解下列分式方程：(1)21－x 2＝2＋x 1＋x； (2)1x －2＋3＝1－x 2－x； (3)x －8x －7－17－x＝8；(4)2x ＋93x －9＝4x －7x －3＋2. 点拨精讲：第2小题去分母后得到的整式方程不一定是一元一次方程，所以要分整式方程无解与整式方程有解是增根两种情况来讨论，第3题要注意解分式方程要检验．(3分钟)1.解分式方程的基本方法是通过去分母将分式方程转化成整式方程．2．分式方程产生增根的原因是去分母时两边乘以的最简公分母的值为0.3．因为分式方程会产生增根，所以一定要检验，检验的方法是将整式方程的解代入最简公分母检验．4．分式方程无解可能有去分母后的整式方程无解与整式方程有解是增根两种情况．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)本章复习【基本目标】1.通过实例使学生进一步体会数据的作用，学会用数据说话.2.熟悉收集、整理、描述和分析数据的活动过程.3.理解频数、频率的概念.4.能根据统计图表，得到比较明显的结论并简单地说明理由.【教学重点】通过收集、整理、描述和分析数据的活动，感受不确定现象背后表现出的规律性，学会用数据解决实际问题，学会制作统计图表以及从实践中得出的数据来定性地描述可能性的大小.【教学难点】1.科学地收集数据及表示数据.2.能根据统计图表，得到比较明显的结论并简单地说明理由.一、知识框图，整体建构二、知识梳理，快乐晋级本章通过问题的形式来梳理知识，以加深对基础知识的理解，对基本方法的把握.问题1：调查收集数据的过程是什么？问题2：三种统计图各有什么特点？如何绘制？问题3：什么是频率，什么是频数？二者有何关系？问题4：从统计图表中获取信息应注意什么问题？【教学说明】教师提出问题由小组竞赛的形式回答，对学生有疑问的地方重点讲解与强调.三、典例精析，升华旧知例1为了了解班里同学上学方式的情况，请你对本班同学进行一次调查，回答下列问题：（1）调查的问题：________________________.（2）调查的对象：________________________.（3）调查的方法：________________________.（4）调查的过程：________________________.（5）记录和分析结果的方法：_______________.（6）若已知全班有40位学生，他们有的步行，有的骑车，还有的乘车上学，请根据已知信息，完成统计表：(7)根据上图的信息你得出什么结论？并画出扇形统计图.【教学说明】可以在班上开展适时调查，收集相应数据并用扇形统计图表示.例2（1）想清晰地表示出每个项目的具体数目，应选择_________统计图.（2）想清晰地表示出事物的变化情况，应选择_______统计图.（3）想清晰地表示出各部分在总体中所占的比例，应选择_______统计图.【答案】；（1）条形；（2）折线；（3）扇形.例3根据下表制作扇形统计图，表示各大洲陆地面积的百分比，并回答下列问题.世界七大洲陆地面积（1）哪个洲的陆地面积最大？（2）所有百分比之和是多少？（3）你能从扇形统计图上知道陆地的面积吗？【答案】(1)亚洲的陆地面积最大；(2)所有百分比之和为1；(3)不能从扇形统计图上知道陆地的面积.例4下图是A品牌奶粉的广告，看图思考回答：（1）A品牌的销售额是否真的比B品牌多？要作判定还需什么资料？（2）图中两条折线所能真正说明的是A品牌在什么方面领先？【答案】（1）A品牌的销售额不一定真比B品牌多，要作判定还要知道2010年两种品牌的基数；（2）图中信息表明A品牌的销售额相对自己增长较快.【教学说明】从统计图中提取信息时，应特别注意纵轴表示的含义或纵轴是否从0开始，减少误导.四、师生互动，课堂小结.这节课你复习到什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生发言的基础上教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.通过本节的复习，要求达到一要了解，二要掌握，三要会用的目的.即进一步了解各种统计图表的意义和用途，比较熟练掌握数据收集与表示的基础知识，会看、会制、会用统计图表.复习的过程中应扎实组织好训练，帮助学生建立良好的认知结构.。

ab(a≥0，b≥0) a· b(a≥0，b≥0)
； ； ；
a b(a≥0，b＞0)
a b＝
a (a≥0，b＞0) b
．
5．最简二次根式 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根式， 需满足两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式． 6．二次根式的估值 根式估值时，一般先对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开 得尽方的整数， 并对其进行开方， 就可以确定这个根式在哪两个整数之间． 例 如，估算 17在哪两个整数之间时，先对 17平方，找出与 17 相邻的两个开 得尽方的整数 16 和 25，因为 16<17<25，所以 16< 17< 25，即 4< 17<5.
[对应训练] 5 －1 2 介于( C ) A．0.4 与 0.5 之间 B．0.5 与 0.6 之间 C．0.6 与 0.7 之间 D．0.7 与 0.8 之间 5．(1)(2015· 南京)估计 (2)(2015· 新疆)估算 27－2 的值( C ) A．在 1 到 2 之间 B．在 2 到 3 之间 C．在 3 到 4 之间 D．在 4 到 5 之间 (3)已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值．
【点评】 (1)一个正数的算术平方根是正数； (2)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
[对应训练] 1．(1)(2016· 杭州) 9＝( B ) A．2 B．3 C．4 D．5
3 ． (2)(2016· 宁波)实数－27 的立方根是－ ____ 2 (3)已知一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－4，则 a 的值是____ ．
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝ (a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c

第一部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
2 问: ( 1) 请仿照例中的分类讨论的方法, 分析二次根式 a 的各种展开的情况;
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分类讨论思想 解答数学题总是在一定的范围内进行的, 有时需将问题涉及的所有对象按一定的 标准分成若干类, 然后逐类讨论, 才能得出正确的答案. 这种解题方法称为分类讨论法. 分类的原则是: 不重复, 不遗漏. 对于某些几何问题, 因图形的位置或形状不确定, 只有通 过讨论才能保证结论的完整性, 即不漏解. 例 阅读材料, 解答下列问题. 当 a>0 时, 如 a=6, 则| a| =| 6| =6, 故此时 a 的绝对值是它本身; 当 a=0 时, | a| =0, 故此时 a 的绝对值是零; 当 a<0 时, 如 a=-6, 则| a| =| -6| =6=- ( -6) , 故此时 a 的绝对值是它的相反数.
12
9. (2011·厦门九上质检)计算 2 × 3 - 6 . 【解析】 原式= 6 6 6 . 10. ( 每小题 5 分, 共 10 分) 计算:
1 B. x≠ 2
1 C. x≥0 且 x≠ 2
D. 一切实数
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2. 下列函数中, 自变量 x的取值范围是 x≥3 的是(
1 A. y= x 3

实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。

2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a是被开方数。

3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则x -也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0.因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。

二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。

2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作a ，读作：根号a 。

3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根.0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。

一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。

三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。

开平方运算是已知指数和幂求底数。

2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。

3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个.但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。

考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a的立方根（或三次方根）。

2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。

3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根. （2）一个负数有一个负的立方根. （3）0的立方根是0.4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。

5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,.开立方运算与立方运算互为逆运算.求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。