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一、选择题1．下列计算，正确的是（ ）A ．=B ．=C ．0= D ．10=2．,a==ba 、b 可以表示为 （ ）A ．10a b +B ．10-b aC ．10abD ．b a3．） AB． C．D．4．下列计算正确的是（ ）A2=± B3=- C ．(25= D ．(23=- 5．若实数m 、n 满足等式02m +=-，且m 、n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长（ ）A ．12B ．10C ．8D ．66．如果关于x 的不等式组0,2223x m x x -⎧>⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为2x>则符合条件的所有整数m 的个数是（ ）．A ．5B ．4C ．3D ．27．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：7==+x =>，故0x >，由22332x ==-=，解得x=结果为（ ）A ．5+B ．5+C ．5D ．5- 8．如图直线a ，b 都与直线m 垂直，垂足分别为M 、N ，MN ＝1，等腰直角△ABC 的斜边，AB 在直线m 上，AB ＝2，且点B 位于点M 处，将等腰直角△ABC 沿直线m 向右平移，直到点A 与点N 重合为止，记点B 平移平移的距离为x ，等腰直角△ABC 的边位于直线a ，b 之间部分的长度和为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如果2a a 2a 1+-+=1，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0= B ．a 1= C ．a 1≤ D ．a=0a=1或 10．下列运算正确的是（ ） A ．826-= B ．222+=C ．3515⋅=D ．2739÷= 二、填空题11．已知实数,x y 满足()()22200820082008x x y y ----=，则2232332007x y x y -+--的值为______.12．已知2216422x x ---=，则22164x x -+-=________．13．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 [2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．14．已知3x x+=，且01x <<，则2691x x x =+-______． 15．当x =2+3时，式子x 2﹣4x +2017=________．16．已知()230m m --≤，若整数a 满足52m a +=，则a =__________．17．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______．18．===据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________．有意义的x的取值范围是______．19．使式子2x+20．，3，，，则第100个数是_______．三、解答题21．先阅读下列解答过程，然后再解答：,a b，使a b m=，使得+=，ab n22m+==a b==>)==，由于437,4312+=⨯=，m n7,12+=，=即：227===+。
一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．42=±B ．()233-=-C ．()255-= D ．()233-=-2．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2||(-1)a a +的结果为（ ）A ．1B ．﹣1C ．1﹣2aD ．2a ﹣13．()555=（ ）A ．55+B ．55+C ．525+D ．10542的倒数是（ ） A 2B ．22C ．2-D ．22-5．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A 4B 3 C 12D 206．下列各式中，正确的是（ ）A ．23B ．a 3 • a 2=a 6C ．(b+2a) (2a -b) =b 2 -4a 2D ．5m + 2m = 7m 27．下列运算正确的是（ ）A ．52223-=y yB ．428x x x ⋅=C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2D 27123=8．若化简1682+-x x -1x -的结果为5-2x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数 B ．1≤x≤4C ．x≥1D ．x≤49．下列运算正确的是（ ）A x 2x 3xB ．2﹣2=1C ．55D ．x ﹣x （a ﹣b x10．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是0.013323)＝5；④如果点P （3－2n ，1）到两坐标轴的距离相等，那么n ＝1，其中假命题的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．实数a 、b 22a -4a 436-12a a 10-b 4-b-2++=+，则22a b +的最大值为_________． 12．设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，设12...n S S S S =+++，则S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为正整数)． 13．已知函数1x f xx，那么21f _____．14．下面是一个按某种规律排列的数阵：11第行325 62第行7223 10 11 233第行 13154 1732 19254第行根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）． 15．已知|a ﹣2007|+2008a -=a ，则a ﹣20072的值是_____． 16．把1a a-的根号外的因式移到根号内等于？ 17．已知m=1+ 2，n=1﹣2，则代数式22m n mn +-的值________． 18．计算：()()200820092+323⋅-=_________．19．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____．20．4x -x 的取值范围是_____．三、解答题21．已知11881,2y x x =--22x y x yy x y x+++-. 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知和二次根式的性质求出x 、y 的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x 、y 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 1-8x≥0，x≤188x-1≥0，x≥18，∴x=18，y=12，∴原式532-==1222. 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x 、y ，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用．22．观察下列等式：1==；==== 回答下列问题：（1（2）计算：【答案】（1（2）9 【分析】（1）根据已知的31=-n=22代入即可求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可． 【详解】解：（1=（2+99+=1100++-=1 =10-1=9.23．【分析】先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【详解】．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，在进行此类运算时，先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．24．计算-②)21【答案】①【分析】①根据二次根式的加减法则计算；②利用平方差、完全平方公式进行计算．【详解】解：①原式＝5-2-＝②原式＝(【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键．25．在一个边长为（cm的正方形的内部挖去一个长为（）cm，cm的矩形，求剩余部分图形的面积．【答案】 【解析】试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．试题解析：剩余部分的面积为：（2﹣（）=（）﹣（﹣）=（cm 2）． 考点：二次根式的应用26．（1）计算：21)-（2）已知a ，b 是正数，4a b +=，8ab =【答案】（1）5-2 【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）原式21)=-(31)(23)=---5=-；（2）原式=== a ，b 为正数， ∴原式=把4a b +=，8ab =代入，则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．27．计算：（1 ；（2）))213【答案】（1）2）1-. 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则可以算得答案． （2）结合整式的乘法公式和二次根式的运算法则计算． 【详解】（1）原式==（2）原式=212---=1-. 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的意义、性质和运算法则是解题关键．28．计算：（1 （2）（)()2221-【答案】2）1443 【分析】(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可； (2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可． 【详解】解：(1)原式＝23223323，(2)原式(34)(12431)1124311443，故答案为：1443． 【点睛】本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【分析】直接利用二次根式的性质分别求解，即可得出答案． 【详解】解：A ，故A 选项错误；B ，故B 选项错误；C 选项：2=5，故C 选项正确；D 选项：2=3，故D 选项错误， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确求解二次根式是解题的关键．2．A解析：A 【分析】先由点a 在数轴上的位置确定a 的取值范围及a-1的符号，再代入原式进行化简即可 【详解】由数轴可知0＜a ＜1，所以，||1a a a =+-＝1，选A ． 【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a 的大小3．B解析：B 【分析】根据乘法分配律可以解答本题． 【详解】)5=5+ 故选：B ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．4．B解析：B 【分析】根据倒数的定义，即可得到答案. 【详解】2，2； 故选：B. 【点睛】本题考查了倒数的定义和化为最简二次根式，解题的关键是熟记倒数的定义进行解题.5．B解析：B 【分析】根据最简二次根式的定义（①被开方数不含有能开得尽方的因式或因数，②被开方数不含有分母，满足以上两个条件的二次根式叫最简二次根式）逐个判断即可． 【详解】解：A =2，不是最简二次根式，故本选项错误；BC =D =，不是最简二次根式，故本选项错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义的应用，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：最简二次根式满足以下两个条件：①被开方数不含有能开得尽方的因式或因数，②被开方数不含有分母．6．A解析：A 【分析】比较两个二次根式的大小可判别A ，根据同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算法则分别计算可判断B 、C 、D 的正误． 【详解】A 、=，= ∵1812>，∴>，故该选项正确； B 、3a •25a a =，故该选项错误；C 、()()22224b a a b a b +-=-，故该选项错误；D 、527m m m +=，故该选项错误； 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次根式大小的比较，同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．7．D解析：D 【分析】由合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A 、222523y y y -=，故A 错误； B 、426x x x ⋅=，故B 错误；C 、222()2a b a ab b --=++，故C 错误；D ==D 正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．8．B解析：B 【解析】 【分析】先把多项式化简为|x-4|-|1-x|，然后根据x 的取值范围分别讨论，求出符合题意的x 的值即可． 【详解】解：原式1x -=|x-4|-|1-x|， 当x≤1时， 此时1-x≥0，x-4＜0，∴（4-x ）-（1-x ）=3，不符合题意， 当1≤x≤4时， 此时1-x≤0，x-4≤0，∴（4-x ）-（x-1）=5-2x ，符合题意， 当x≥4时， 此时x-4≥0，1-x ＜0，∴（x-4）-（x-1）=-3，不符合题意， ∴x 的取值范围为：1≤x≤4 故选B ． 【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．9．D解析：D【解析】利用二次根式的加减法计算，可知：A、B、﹣C、D、﹣（a﹣b，此选项正确．故选：D．10．D解析：D【分析】利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两条平行线直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误；②0.01的算术平方根是0.1，故错误；)＝17322+=，故错误；④如果点P（3-2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n=1或n=2，故错误，故选D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质，难度一般．二、填空题11．【分析】首先化简，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a，b的取值范围，即可求出的最大值．【详解】解析：【分析】10-b4-b-2=+，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a，b的取值范围，即可求出22a b+的最大值．【详解】10-b4-b-2=+，1042b b =-+--， ∴261042a a b b -+-=-+--， ∴264210a a b b -+-+++-=，∵264a a -+-≥，426b b ++-≥，∴ 264a a -+-=，42=6b b ++-，∴2≤a≤6，-4≤b≤2，∴22a b +的最大值为()226452+-=，故答案为52．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 12．【分析】先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可．【详解】解：∵，∴；∵，∴；∵，∴；……∵，∴；∴．故答案为：【点睛】本题解析：221n n n ++ 【分析】n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可．【详解】 解：∵1221191=124S =++311122===+-； ∵222114912336S =++=7111116623===+=+-； ∵32211169134144S =++=1311111121234===+=+-； …… ∵()()()222222111111n n n S n n n n ++=++=++，()()2111111111n n n n n n n n ++===+=+-+++；∴...S =1111111112231n n =+-++-++-+…+ 111n n =+-+． 221n n n +=+ 故答案为：221n n n ++ 【点睛】本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子()11111n n n n =-++的理解． 13．【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.【详解】因为函数，所以当时， ．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.解析：2+根据题意可知1x=，代入原函数即可解答.【详解】因为函数1xf xx，所以当1x=时，211()2221f x．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键. 14．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n（n≥3且n是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．15．2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．详解：∵|a﹣2007|+=a，∴a≥2008，【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．详解：∵|a﹣2007=a，∴a≥2008，∴a﹣2007=a，=2007，两边同平方，得：a﹣2008=20072，∴a﹣20072=2008．故答案为：2008．点睛：解决此题的关键是能够得到a的取值范围，从而化简绝对值并变形．16．﹣【解析】解：通过有意义可以知道≤0，≤0，所以＝﹣＝﹣．故答案为：．点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．解析：【解析】解：通过a≤0，，所以故答案为：点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．17．【解析】根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得====．故答案是：．【解析】根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得．18．【解析】原式==19．﹣2a【分析】首先根据实数a、b在数轴上的位置确定a、b的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．依题意得：a＜0＜b，|a|＜|b|，∴=-a-b+b-a=-解析：﹣2a【分析】首先根据实数a、b在数轴上的位置确定a、b的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a＜0＜b，|a|＜|b|，．故答案为-2a．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，其中正确利用数轴的已知条件化简是解题的关键，同时也注意处理符号问题．20．x＞4【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，x﹣4＞0，解得，x＞4，故答案为：x＞4．【点睛】本题主要考查的是二次根解析：x＞4【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，x﹣4＞0，解得，x＞4，故答案为：x＞4．【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
第五章二次根式【知识网络】知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即；2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； (3)乘法公式的推广：123123(0000)n n n a a a a a a a a a ⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥，，，，2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如+进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，43+=+=+ (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：221+-=-=，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.4．分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式：（1（2）a a +-互为有理化因式；一般地a a +-（3++-. 专题总结及应用一、知识性专题专题1 二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.例1 当x 3的值最小？最小值是多少？分析 00，因为33的最小值为3.0，33≥，∴当9x +1=0，即19x =-3有最小值，最小值为3.【解题策略】0（a ≥0）. 专题2 二次根式的化简及混合运算【专题解读】||a =这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.例2 下列计算正确的是（）1=====分析根据具体选项，应先进行化简，再计算. A==B选若可化为33-=，C选项逆用平方差公式可求得2+（=4-5=-1，而D选项应将22=.故选A.例3计算200620071)1)的结果是（）1分析本题可逆用公式（ab）m=a m b m及平方差公式，将原式化为20061)]1) 1.=故选D.例4书知282x xyx++=+，求.分析本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义.解：由二次根式的定义及分式性质，得2240,4,2,20,xx xx⎧-⎪-∴=⎨⎪+⎩≥≥0≠22287,222y++∴==+∴===【解题策略】本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义.例53522a（≤≤）.353252-302-5022|23||25|(23)(25)48.a a a aa aa a a∴∴∴==---=-+-=-解：≤≤，≤≤，≥，≤,原式【解题策略】(0)||-(0).a aaa a⎧==⎨⎩≥，＜例 6 已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图21-8所示，化简||a解：由a ，b ，c 在数轴上的位置可知：0,00,0,||||||||()().c a b a c c a a a c c a b a a c c a b a a c c a b a b ∴+-∴=-++--=-++---=-++-+-=-＜＜＞＜＜原式【解题策略】 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简.127 |1||1||1||2|.10,201,2,-112,2x x x x x x x x x x x +=+=+--+=-==-=-例化简解：原式令，得于是实数集被分为＜，≤＜≥三部分，-110,-20,-(1)(-2)-3.-1210,-20(1)(2)2 1.x x x x x x x x x x x +∴=++=+∴=++-=-①当＜时，＜＜原式②当≤＜时，≥＜.原式210,20,x x x +-③当≥时，＞≥ 1)(2) 3.3(1)21(12)3(2).x x x x x x ∴=+--=--⎧⎪∴=--⎨⎪⎩原式（＜，原式≤＜，≥ 规律·方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.例8已知3,12,.a b ab +=-=求 分析 这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a ，b 的符号，本题中没明确告诉，a ，b的符号，但可从a +b =-3，ab =12中分析得到.解：∵a +b =-3，ab =12，∴a ＜0，b ＜0.··b a b a∴=+=-=-=--- 【解题策略】 本题最容易出现的错误就是不考虑a ，b 的符号，把所求的式子化简，直接代入. 专题3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简 例9的运算结果应在 （ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间D. 9到10之间分析 本题应计算出所给算式的结果，原式4=+=+，由于5，即2 2.5849+，所以＜. 故选C.例10 已知mnm nm n-+的值. 解：∵9＜13＜16，343，即m =3，3，即，∴m n m n -===+ 二、规律方法专题专题4 配方法【专题解读】a |化简. 例11=====规律·方法 一般地，对于a ±型的根式，可采用观察法进行配方，即找出x ，y (x ＞y ＞0)，使得xy =b ，x +y =a ，则2a ±===.例12 若a ，b 为实数，且b15.分析 本题中根据b15可以求出a ，b. 解：由二次根式的性质得3503350..5305a a a a -⎧∴-=∴=⎨-⎩≥，≥，150,0.b a b a b ∴=∴+-，＞＜a b b aab ab==+-⎛=-⎝=当3215.55a b====，时，原式【解题策略】对于形如22b a b aa b a b++-+或形式的代数式都要变为2()a bab+或2()a bab-的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意.a b a b ab+-和以及的符号专题5 换元法【专题解读】通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题.例13解：令x22x=，∴x2=（3（3+）x x∴==＞，专题6 代入法【专题解读】通过代入求代数式的值.例14已知222400,5760,.a b ab==222332400,5760 2.42400, 2.42400,1000,10, 2.41024,26.a b ab b aa b aa a b====∴=∴=∴=∴=⨯====解：由，两式相除得，专题7 约分法【专题解读】通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.例15======例16).x y≠====解：原式三、思想方法专题专题8 类比思想【专题解读】类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.例17 计算.12（（解：（1）原式=（1+2.（2）原式.【解题策略】对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.专题9 转化思想【专题解读】当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决.例18 函数y中，自变量x的取值范围是 .分析是二次根式，所以被开方数2x-4≥0,所以x≥2.故填x≥2.例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x，则输出的数值为.图21-9分析本题比较容易，根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题，易知图中所表示的代数式为21x-，）2-1=2.故填2.专题10 分类讨论思想【专题解读】 当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.||a =进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论.例20若化简|1|x -25x -，则x 的取值范围是 （ ） A. x 为任意实数 B. 1≤x ≤4 C. x ≥1 D. x ≤4分析 由题意可知|1||4|25x x x ---=-，由此可知|1|1x x -=-，且|4|4x x -=-，由绝对值的意义可知10x -≥，且40x -≥，所以14x x ≤≤，即的取值范围是14x ≤≤.故选B.【解题策略】|a |形式的式子的化简都应分类讨论.例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm ，5cm 和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面爬到和顶点A 相对的顶点B 处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？分析 这是一个求最短路径的问题，一个长方体有六个面，蚂蚁有三种不同的爬行方法，计算时要分类讨论各种方法，进而确定最佳方案.=(cm).==规律·方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去，共有三个爬行路线，每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长.二次根式单元测试题（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ）2．3－2的倒数是3＋2．（ ）3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ）4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ） （二）填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x __________时，式子31-x 有意义． 7．化简－81527102÷31225a ＝ ． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222dc abd c ab +-＝______．12．比较大小：－721_________－341．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________． （三）选择题：（每小题3分，共15分） 16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤017．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ） （A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（ ） （A ）x 2 （B ）－x2（C ）－2x （D ）2x 19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---（四）计算题：（每小题6分，共24分） 21．（235+-）（235--）；22．1145-－7114-－732+；23．（a 2mn －m ab mn ＋m nn m ）÷a 2b 2mn ；24．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．（五）求值：（每小题7分，共14分）25．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．26.当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．六、 解答题：（每小题8分，共16分） 27.计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．28. 若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－xyy x +-2的值．（一）判断题：（每小题1分，共5分） 1、【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×． 2、【提示】231-＝4323-+＝－（3＋2）．【答案】×．3、【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4、【提示】31b a 3、bax 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5、29x +是最简二次根式．【答案】×．（二）填空题：（每小题2分，共20分） 6、【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9．7、【答案】－2a a ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8、【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9、【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3． 10、【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22． 11、【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）． 12、【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小． 13、【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52．【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15、【提示】∵ 3＜11＜4，∴ _______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分） 16、【答案】D ．【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17、【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0． ∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18、【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x1)2．又∵ 0＜x ＜1， ∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0． 19、【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ．20、【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义． （四）计算题：（每小题6分，共24分）21、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式． 【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 22、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式． 【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．23、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝（a 2m n－m ab mn ＋m n n m ）·221b a nm＝21b nm m n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22b ma n n mn m ⋅＝21b－ab 1＋221ba ＝2221b a ab a +-． 24、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝b a b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （五）求值：（每小题7分，共14分） 25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 26、【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x 22a x +＝－x （22a x +－x ）． 【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++ ＝x 1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x 1．六、解答题：（每小题8分，共16分） 27、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）]＝（25＋1）（1100-）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．28、【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x - ＝|xy yx +|－|xy yx -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ yx ＜xy．∴ 原式＝x y y x +－y x x y +＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．()222a b a b -=- B ．()322x x 8x ÷=+ C ．1a a a a÷⋅= D ．()244-=-2．下列各式计算正确的是（ ） A ．235+=B ．2222+=C ．236⨯=D ．1222= 3．二次根式1x -中字母x 的取值可以是( ) A ．2B ．0C ．12-D ．-14．下列各式中，正确的是（ ） A ．42=±B ．822-=C ．()233-=- D ．342=5．二次根式23的值是（ ） A ．－3 B ．3或－3 C ．9 D ．3 6．若31m -有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m = 0 B ．m = 1 C ．m = 2 D ．m = 3 7．式子2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．0x <B ．0xC ．2xD ．2x8．已知2225152x x ---=，则222515x x -+-的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．化简（﹣3）2的结果是（ ） A ．±3B ．﹣3C ．3D ．910．已知实数x 、y 满足222y x x =-+--，则yx 值是（ ）A ．﹣2B ．4C ．﹣4D ．无法确定二、填空题11．将2(3)(0)3a a a a-<-化简的结果是___________________.12．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简()222144a a ab b +--+=_____________；（2）已知正整数p ，q 32016p q =()p q ，的个数是_______________；（3）△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 13．设a ﹣b=2+3，b ﹣c=2﹣3，则a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____． 14．设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，设12...n S S S S =+++，则S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为正整数)． 15．把1m m-根号外的因式移到根号内，得_____________. 16．若x +y =5+3，xy =15-3，则x+y=_______． 17．已知20n 是整数，则正整数n 的最小值为___18．若a 、b 都是有理数，且2222480a ab b a -+++=，则ab =__________． 19．若实数123a =-，则代数式244a a -+的值为___. 20．如果0xy >，化简2xy -__________．三、解答题21．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如53，231+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： (一)5353333⨯==⨯； (二)231)=3131(31)(31)-=-++-（； (三) 22(3)1(31)(31)=3131313131-+-===-++++.以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)请用不同的方法化简5+3： ①参照(二)式化简5+3＝__________. ②参照(三)式化简5+3＝_____________ (2)+315+37+599+97+【答案】见解析.【分析】（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果； （2）原式各项分母有理化，计算即可. 【详解】 解:(1)①;②; (2)原式故答案为:(1)①;②【点睛】此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择合适的方法解题.22．像552)＝1a a ＝a (a ≥0)、b b ﹣1)＝b ﹣1(b ≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因552 +12﹣1，353﹣5因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： (1)33；(2)2332+--； (3)2018201720172016的大小，并说明理由． 【答案】（123（2）32（3）＜ 【解析】分析：（13×3=1，确定互为有理化因式，由此计算即可； （2）确定分母的有理化因式为23与23+3232然后分母有理化后计算即可；（3201820172017201620182017与20172016，20182017+20172016+，然后比较即可.详解：(1) 原式；（2）原式=2+=2+ （3）根据题意，-==，><，>点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.23．阅读下面的解答过程，然后作答：m 和n ，使m 2+n 2=a 且，则a 可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m +n ）2例如：∵=）2+）2=）2∴请你仿照上例将下列各式化简（12【答案】（1）2-【分析】参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】解：（1）∵22241(1+=+=，1=（2）∵2227-=-=，∴==24．）÷）（a ≠b ）．【答案】【解析】试题分析：先计算括号内的，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结论．试题解析：解：原式＝()()a b a b --+-222225．计算 （1）（4﹣3）+2（2）（3）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出次品的数量如表：请计算两组数据的方差． 【答案】（1）6﹣3；（2）-6（3）甲的方差1.65；乙的方差0.76【解析】试题分析：（1）先去括号，再合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后去绝对值合并；（3）先分别计算出甲乙的平均数，然后根据方差公式分别进行甲乙的方差． 试题解析：（1）原式=4﹣3+2=6﹣3； （2）原式=﹣3﹣2+﹣3 =-6；（3）甲的平均数=（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）=1.5，乙的平均数=（2+3+1+1+0+2+1+1+0+1）=1.2，甲的方差=×[3×（0﹣1.5）2+2×（1﹣1.5）2+3×（2﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（4﹣1.5）2]=1.65； 乙的方差=×[2×（0﹣1.2）2+5×（1﹣1.2）2+2×（2﹣1.2）2+（3﹣1.2）2]=0.76．考点： 二次根式的混合运算；方差．26．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．【答案】(2x - 【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案． 【详解】解：4y x ⎛- ⎝ ((=-(2x =-∵ 30x - ∴ 3,4x y == 当3,4x y ==时原式(23=-==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．27．已知a ，b （1）求a 2﹣b 2的值； （2）求b a +ab的值．【答案】（1）；（2）10 【分析】(1)先计算出a+b 、a-b 的值，然后将所求的式子因式分解后利用整体代入思想代入数值进行计算即可；(2)先计算ab 的值，然后将所求的式子通分，分子进行变形后利用整体代入思想代入相关数值进行计算即可. 【详解】(1)∵a b ，∴a +ba ﹣b ＝，∴a 2﹣b 2＝(a +b )(a ﹣b )＝＝；(2)∵ab， ∴ab ＝)×)＝3﹣2＝1，则原式＝22b a ab +＝()22a b ab ab +-＝(2211-⨯＝10． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键.28．计算：（1（2|a ﹣1|，其中1＜a【答案】（1）1；（2）1 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算；（2）由二次根式的非负性，a 的取值范围进行化简． 【详解】解：（1－1＝2－1＝1 （2）∵1＜a，a ﹣1＝2﹣a ＋a ﹣1＝1． 【点睛】本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法法则，主要检验学生的计算能力．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据完全平方公式，整式的除法，分式的乘除法，二次根式的性质和化简运算法则逐一计算作出判断． 【详解】解： A ．()222a b a 2ab b -=-+，选项错误； B ．()3322x x 8x x 8x ÷=÷=，选项正确；C．111a a1a a a÷⋅=⋅=，选项错误；D44=-=，选项错误．故选：B．2．C解析：C【分析】计算出各个选项中的正确结果，即可得到哪个选项是正确【详解】A错误；∵2+B错误；=，故选项C正确；=2，故选项D错误.故选C.【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．3．A解析：A【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负列出不等式，求解，再依此选择合适的选项．【详解】解：由题意得：x-1≥0解之：x≥1.1>．故选：A．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．理解二次根式有意义，被开方数非负是解题关键．4．B解析：B【分析】本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A、B、C选项；利用立方根性质判断D选项．【详解】A，故该选项错误；B==C3=，故该选项错误；D 11223334=(2)2==，故该选项错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查二次根式以及立方根，二次根式计算时通常需要化为最简二次根式，然后按照运算法则求解即可，解题关键是细心．5．D解析：D 【分析】根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】|3|3=． 故选：D ．【点睛】(0)0(0)(0)a a a a a a ＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩．6．B解析：B 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【详解】310m-≥， 解得13m ≥， 所以，m 能取的最小整数值是1． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．D解析：D 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），列出不等式求解即可得到答案；【详解】x-≥，即：20x，解得：2故选：D；【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义即被开方数≥0是解题的关键. 8．C解析：C【解析】=，22222=-=--+=251510x x，=.5故选C.9．C解析：C【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【详解】原式＝3，故选C．【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．10．C解析：C【分析】依据二次根式中的被开方数是非负数求得x的值，然后可得到y的值，最后代入计算即可．【详解】y=，∵实数x、y满足2∴x＝2，y＝﹣2，-⨯＝-4．∴yx＝22故选：C．【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．二、填空题11．．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴==．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．解析：【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴(a-=-=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．12．（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.【解析】（1）∵-1<a<0,b>1,∴＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵，∴，p=20解析：（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.【解析】（1）∵-1<a<0,b>1,＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)==∴p=14x 3(其中x 为正整数)，同理可得：q=14y 2（其中y 为正整数）,则x+3y=12(x 、y 为正整数) ∴963,,123x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩, ∴整数对有（p,q ）=(14⨯81,141⨯),或（1436,144)⨯⨯ ,或（149,149⨯⨯）。
《二次根式》知识讲解及例题解析【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2.（a ≥0）；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即()a a a b a b b b=÷=÷或（a ≥0，b >0）.要点诠释： （1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.（22a 2()a 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥02a a 为任意值。
②a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】 x ≥-且x ≠-1【解析】依题意，得由①得：x ≥-由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【变式】问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.我们可以计算出①=2=；=3而且还可以计算=2==3（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=a；②当a＜0时=．（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．【思路点拨】（1）直接利用a 的取值范围化简求出答案；（2）利用a ，b 的取值范围，进而化简二次根式即可．【答案与解析】解：（1）由题意可得：①当a ＞0时=a ；②当a ＜0时=﹣a ；故答案为：a ，﹣a ；（2）如图所示：﹣2＜a ＜﹣1，0＜b ＜1， 则﹣﹣=﹣a ﹣b +（a +b ）=0．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．类型三、最简二次根式4 (122389)+++【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 【答案与解析】原式1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯-⨯++-+-（）（89)(）2132...9891 =2【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.举一反三： 2323+-a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2(23)(23)=3=7+43(23)(23)-+原式（）又因为整数部分是a ，小数部分是b 则a =13，b =43622221313(436)(436)a ab b ∴-+=-⨯+=3311003-。
2024年中考数学复习专题讲义：二次根式知识点讲解1、二次根式的定义 一般地，形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式的基本性质①2a =(a ≥0)； a = (a ≥0)； a = (a 取全体实数)。
3、二次根式的乘除(1)二次根式的乘法：①ab b a =⋅； ②b a ab ⋅= (a ≥0， b ≥0)。
(2)二次根式的除法：= = (a ≥0， b ＞0)。
4、最简二次根式 最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
专题练习一、选择题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√12B ．√8C ．√13D ．√0.22．若二次根式√x +2有意义，则x 的取值范围是（ ）．A ．x >−2B ．x ≥−2C ．x <−2D ．x ≥23．化简√(−3)2的结果是（ ）A ．−3B ．±3C ．3D ．94．估计(√27−√6)÷√3的值应在（ ）A ．0到1之间B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3到4之间5．下列计算错误的是（ ）A ．3√2−√2=3B ．√60÷√5=2√3C ．√25a +√9a =8√aD ．√14×√7=7√26．若 x =√m −√n,y =√m +√n ，则 xy 的值是( ）.A ．2√mB ．m −nC ．m +nD ．2√n 7．计算：√12×√13−√8÷√2的结果是（ ） A ．2 B ．0 C ．-2 D ．−√28．用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形 ABCD (如图)，它的面积是 48， 已知长方形的一边长 AE =3√3， 图中空白部分是一个正方形，则这个小正方形的周长为( )A ．2√3B ．4√3C ．8√3D ．16√3二、填空题9．化简√3= 10．若√a +√3=3√3，则a = ． 11．计算(2√2+1)(2√2−1)的结果等于 ．12．若二次根式√x+3x 有意义，则x 的取值范围为 ．13．当m ＝ 时，二次根式√m −2取到最小值．三、解答题14．计算 （1）√16÷√2−√13×√6； （2）32√4x +2√x 9−x √1x +4√x4．15．已知2x =+2y =（1）试求22x y +的值； （2）试求x y y x-的值． 16．某居民小区有一块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC 为√162m ，宽AB 为√128m （即图中阴影部分），长方形花坛的长为(√13+1)m ，宽为(√13−1)m ，（1）长方形ABCD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？17．已知x=2−√3，y=2+√3．（1）求x2+y2−xy的值；（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．参考答案1．C2．B3．C4．B5．A6．B7．B8．C9．√33 10．1211．712．x ≥−3且x ≠013．214．解：（1）原式=√16÷2−√13×6＝2√2−√2=√2；（2）原式＝3√x +23√x −√x +2√x=143√x ．15．（1）解：∵2x =， 2y =∴x+y=22+，xy=(22+=1 ∴()2222242114x y x y xy +=+-=-⨯= ；（2）解：∵2x =+，2y =-∴x+y=22+，x-y=((2222--=+=xy=(22=1∴()()22x y x yx y x yy x xy xy+---====16．（1）解：长方形ABCD的周长=2(√162+√128)=2(9√2+8√2)=34√2(m)，答：长方形ABCD的周长是34√2m；（2）解：购买地砖需要花费=50[9√2×8√2−(√13+1)(√13−1)]=50(144−13+1)=50×132=6600（元）答：购买地砖需要花费6600元．17．（1）解：∵x=2−√3，y=2+√3，∴xy=(2−√3)(2+√3)=4−3=1，(x−y)2=(2−√3−2−√3)2=(−2√3)2=12，∴x2+y2−xy=(x−y)2+xy=12+1=13；（2）解：∵1<3<4，∴1<√3<2，∴3<2+√3<4，∴2+√3的整数部分是3，∴b=3，∵1<√3<2，∴−2<−√3<−1，∴0<2−√3<1，∴2−√3的整数部分是0，小数部分=2−√3−0=2−√3，∴a=2−√3，∴ax−by=(2−√3)(2−√3)−3(2+√3)=7−4√3+6−3√3=13−7√3，∴ax−by的值为13−7√3．）解：①(30x -2)x -②0020x x -22))(2)x -，又232x -+30x -+代数式当2x =时，代数式。
一、选择题1．下列计算，正确的是（ ） A ． 235+=B ． 2323+=C ． 8220-=D ． 510-=2．下列计算正确的是（ ） A ．2×3=6 B ．2+3=5C ．8=42D ．4﹣2=23．下列计算正确的是（ ）A ．532-=B ．223212⨯=C ．933÷=D ．423214+=4．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．5．计算()21273632÷+⨯--的结果正确的是( ) A ．3B ．3C ．6D ．33-6．已知m 、n 是正整数，若2m +5n是整数，则满足条件的有序数对（m ，n ）为（ ） A ．（2，5）B ．（8，20）C ．（2，5），（8，20）D ．以上都不是7．设等式()()a x a a y a x a a y -+-=---在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是( )A ．3B ．13C ．2D ．538．若ab ＜0，则代数式可化简为（ ）A ．aB ．aC ．﹣aD ．﹣a9．给出下列化简①（2-）2=222-=（）2221214+=311142-=，其中正确的是（ ） A ．①②③④ B ．①②③C ．①②D ．③④10．使式子2124x x +-x 的取值范围是（ ） A ．x≥﹣2B ．x ＞﹣2C ．x ＞﹣2，且x ≠2D ．x≥﹣2，且x ≠2二、填空题11．化简322+=___________． 12．化简并计算：()()()()()()()...112231920xx x x x x x x ++++=+++++++________．（结果中分母不含根式）13．设a ﹣b=2+3，b ﹣c=2﹣3，则a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____． 14．当x =2+3时，式子x 2﹣4x +2017=________．15．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______．16．已知72x =-，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______ 17．11122323-=11113-23438⎛⎫= ⎪⎝⎭11114-345415⎛⎫=⎪⎝⎭据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________． 18．计算： 200820092+323⋅-=_________．19．3x-x 的取值范围是______． 20．12a 1-能合并成一项，则a =______．三、解答题21．1123124231372831-+-533121【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法. 【详解】1123124231372831-+-=48132331)32(337228+⨯⨯⨯=462331323371. 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.22．若x ，y 为实数，且y12．求x y y x ++2－xy y x +-2的值．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x ≥0且4x ﹣1≥0，解得x =14，此时y =12．即可代入求解． 【详解】解：要使y 有意义，必须140410x x -≥⎧⎨-≤⎩，即1414x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩∴ x ＝14．当x ＝14时，y ＝12．又∵x y y x ++2－x yy x +-2＝－| ∵x ＝14，y ＝12，∴ x y ＜y x．∴+当x ＝14，y ＝12时，原式＝．【点睛】（a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．23．）÷）（a ≠b ）．【答案】【解析】试题分析：先计算括号内的，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结论．试题解析：解：原式＝()()a b a b --+-222224．计算：（1(041--； （2⎛-⎝【答案】（1；（2）【解析】试题分析：根据二次根式的性质及分母有理化，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可解答.试题解析：（1(041--（2⎛- ⎝-0- =25．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．【答案】(2x - 【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案． 【详解】解：4y x ⎛- ⎝ ((=-(2x =-∵ 30x - ∴ 3,4x y == 当3,4x y ==时原式(23=-==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．26．（1）计算：（2）先化简，再求值：(()8a a a a +--，其中14a =．【答案】（1）2）82-a ，【分析】（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）==；（2）(()8a a a a +--2228a a a =--+82a =-,当14a =时，原式1824⎫=⨯-=⎪⎭．【点睛】本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．27．计算(2)2；(4)【答案】（1）2）9-；（3）1；（4）【分析】（1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可； （4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案． 【详解】解：==(2)2=22-=63-=9-=1；(4)===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．28．2020(1)- 【答案】1 【分析】先计算乘方，再化简二次根式求解即可． 【详解】2020(1)-=1 =1． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】A 、B 、C 、根据合并同类二次根式的法则即可判定；D 、利用根式的运算法则计算即可判定． 【详解】解：A 、B 、D 不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；C =，故选项正确． 故选：C ． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，应熟练掌握各种运算法则，且准确计算．2．A解析：A 【解析】分析：根据二次根式的加、减、乘、除的法则计算逐一验证即可.详解： , 此选项正确;≠此选项错误;, 此选项错误;，此选项错误.故选A.点睛：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.3．B解析：B【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【详解】A不符合题意；∵12=，故选项B符合题意；C不符合题意；∵=D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．4．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．【详解】∴被开方数x+2为非负数，∴x+2≥0，解得：x≥-2.故答案选D.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 5．A解析：A【分析】分别根据二次根式的除法和乘法法则以及二次根式的平方计算每一项，再合并即可．【详解】=+=解：原式333故选：A．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式的乘除法则是解题的关键．解析：C【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案．【详解】解：∵m、n是正整数，∴m=2，n=5或m=8，n=20，当m=2，n=5时，原式=2是整数；当m=8，n=20时，原式=1是整数；即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．7．B解析：B【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案．【详解】由于根号下的数要是非负数，∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，所以a只能等于0，代入等式得，所以有x=-y，即：y=-x，由于x，y，a是两两不同的实数，∴x＞0，y＜0．将x=-y代入原式得：原式=()()()()2222313x x x xx x x x+---=--+-．故选B．【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关8．C解析：C【解析】【分析】二次根式有意义，就隐含条件b＜0，由ab＜0，先判断出a、b的符号，再进行化简即可．【详解】解：若ab＜0，且代数式有意义；故由b＞0，a＜0；则代数式故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：当a＞0时，，当a＜0时，，当a=0时，.9．C解析：C【分析】根据二次根式的性质逐一进行计算即可求出答案．【详解】①原式=2，故①正确；②原式=2，故②正确；③原式340285==④原式3342==，故④错误，故选C．【点睛】本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.10．C解析：C【分析】根据分式和二次根式有意义的条件（分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数）即可得到结果.【详解】解：由题意得：2x-40≠,2x∴≠±,又∵20x+≥,∴x≥-2.∴x的取值范围是：x>-2且2x≠.故选C.【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，解不等式，是基础题.二、填空题11．+1【分析】先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.【详解】因为,所以,故答案为:.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二+1【分析】先将3+,()()()0000a a a a a a ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩进行化简即可.【详解】因为(2231211+=+=+=+,11===故答案为:1.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解. 12．【分析】根据=，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．【详解】解：原式==．故答案为．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观【分析】-，将原式进行拆分，然后合并可得出答案． 【详解】解：原式===【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．13．15【解析】根据题意，由a ﹣b=2+，b ﹣c=2﹣，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a2+b2+c2﹣ab ﹣bc ﹣ac=====15.故答案为：15.解析：15【解析】根据题意，由a ﹣b ﹣c=2，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac=2222222222a b c ab ac bc ++﹣﹣﹣=2222222222a ab b b bc c a ac c +++++﹣﹣﹣=222()()()2a b b c a c -+-+-=15. 故答案为：15.14．2016【解析】把所求的式子化成（x ﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：x2﹣4x+2017=（x ﹣2）2+2013 =（）2+2013=3+2013=2016．故答案是：2016．解析：2016【解析】把所求的式子化成（x ﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：x 2﹣4x+2017=（x ﹣2）2+2013 =2+2013=3+2013=2016．故答案是：2016．点睛：此题主要考查了配方法的应用，解题关键是把式子配成完全平方，然后整体代入即可求解，考查了学生对整体思想的认识和应用，学生对整体思想不熟时出错的主要原因.15．-2a【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，∴∴﹣|a ﹣c|+﹣|﹣b|＝解析：-2a【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，0c a b ＜＜＜∴00.a c c b ＞，＜|a ﹣c ﹣|﹣b |＝||()||a ac c b b =()aa cbc b =aa cbc b =-2a .【点睛】本题考查二次根式的性质与化简和化简绝对值.在解决本题时需注意①对于任意实数a ,都有||a =；②在化简绝对值时，绝对值内如果是一个多项式,要给化简后的结果带上括号.16．【分析】先把x 分母有理化求出x= ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可．【详解】∵∴∴∴【点睛】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．解析：6【分析】先把x 分母有理化求出2 ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可．【详解】2x === ∵23<<∴425<< ∴4,242a b ==-=∴42)6a b -=-=【点睛】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．17．【解析】上述各式反映的规律是(n ⩾1的整数),得到第5个等式为： (n ⩾1的整数).故答案是： (n ⩾1的整数).点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;=【解析】上述各式反映的规律是=n ⩾1的整数),得到第5==n ⩾1的整数).=n ⩾1的整数). 点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;第二步,找规律,分别比较等式中各部分与序号之间的关系,把其蕴含的规律用含序数的代数式表示出来;第三步,根据找出的规律得出第n 个等式.18．【解析】原式==19．且【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．【详解】由题意得：，解得且，故答案为：且．【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分解析：3x ≤且2x ≠-【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．【详解】由题意得：2030x x +≠⎧⎨-≥⎩， 解得3x ≤且2x ≠-，故答案为：3x ≤且2x ≠-．【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键． 20．4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a 的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：=2，由最简二次根式与能合并成一项，得a-1=3．解解析：4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a 的方程，根据解方程，可得答案．【详解】能合并成一项，得a-1=3．解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
一、选择题1．下列等式正确的是（ ）A 7=-B 3=C ．5D ．=2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A B C D3．已知5x =-，则2101x x -+的值为（ ）A ．-B ．C ．2-D ．04．x 的取值范围是（ ）A ．x≥2020B ．x≤2020C ．x> 2020D ．x< 2020 5．下列各式中，正确的是（ ）A ．B ．a 3 • a 2=a 6C ．(b+2a) (2a -b) =b 2 -4a 2D ．5m + 2m = 7m 26．有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1B ．x≠2C ．x≥1且x ＝2D ．.x≥-1且x ≠2 7．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：7==+x =>，故0x >，由22332x ==-=，解得x=结果为（ ）A ．5+B ．5+C ．5D ．5-8．给出下列化简①（）2=2=2=12=，其中正确的是（ ） A ．①②③④B ．①②③C ．①②D ．③④ 9．下列运算一定正确的是( )A a =B =C ．222()a b a b ⋅=⋅D ()0n a m=≥10．如果实数x ，y =-(),x y 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第一象限或坐标轴上D ．第二象限或坐标轴上 二、填空题11．化简322+=___________． 12．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 [2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．13．已知120654010144152118+++可写成235a b c ++的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.14．计算()623÷+=________________ .15．已知a ，b 是正整数，若有序数对（a ，b ）使得112()a b +的值也是整数，则称（a ，b ）是112()a b +的一个“理想数对”，如（1，4）使得112()a b+=3，所以（1，4）是112()a b +的一个“理想数对”．请写出112()a b +其他所有的“理想数对”： __________．16．已知实数m 、n 、p 满足等式33352m n m n m n p m n p -+⋅--=+--+--，则p =__________．17．计算：11882--=_____________． 18．已知x ，y 为实数，y =22991x x -+-+求5x +6y 的值________. 19．已知x ＝51-，y ＝51+，则x 2＋xy ＋y 2的值为______． 20．观察分析下列数据：0，3-，6，-3，23，15-，32，…，根据数据排列的规律得到第10个数据应是__________．三、解答题21．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如3，31+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一3533333==⨯；(二)2231)=31 31(31)(31)-=-++-（；(三)22231(3)1(31)(31)=31 31313131--+-===-++++.以上这种化简的方法叫分母有理化．(1)请用不同的方法化简25+3：①参照(二)式化简25+3＝__________.②参照(三)式化简5+3＝_____________(2)化简：++++315+37+599+97+.【答案】见解析.【分析】（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果；（2）原式各项分母有理化，计算即可.【详解】解:(1)①;②;(2)原式故答案为:(1)①;②【点睛】此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择合适的方法解题.22．2722322312-310【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=()212--10+．10．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．23．计算：【答案】【分析】先将括号内的二次根式进行化简并合并，再进行二次根式的乘法运算即可．【详解】解：===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．24．计算下列各题（1）⎛÷ ⎝（2）2-【答案】(1)1;(2)．【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可；(2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可.【详解】(1)原式=1；(2)原式+2)．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.25．计算：0(3)|1|π-+．【答案】【分析】根据二次根式的意义和性质以及零次幂的定义可以得到解答．【详解】解：原式11=+=【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的运算和零次幂的意义是解题关键．26．计算（1（2）21)-【答案】（1）4；（2）3+【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．【详解】解：（1）解：原式=4=+4=-（2）解：原式()22161=---63=-+3=+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．27．先化简，再求值：221()a b a b a b b a -÷-+-，其中a =2b =- 【答案】1a b -+，12-． 【分析】 先把分式进行化简，得到最简分式，然后把a 、b 的值代入计算，即可得到答案．【详解】 解：原式1()()a b a b a a b a b b a b b --=⨯-⨯+-+ ()()a b a b a b b a b -=--++ ()b b b a =-+ 1a b=-+，当a =2b = 原式12==-． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．28．计算下列各题：（1（2）2-．【答案】（1）2）2--【分析】（1）根据二次根式的运算顺序和运算法则计算即可；（2）利用平方差、完全平方公式进行计算．【详解】解：（1）原式==；（2）原式22(5=--+525=---2=--【点睛】本题考查二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据二次根式的性质求出每个式子的值，再得出选项即可．【详解】解：AB3=，故本选项符合题意；C、5=-，故本选项不符合题意；D、=-，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．2．D解析：D【分析】最简二次根式的被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，其中小数要转化为分数，分数中分母不可以是二次根式，注意这几点即可得出答案．【详解】ABC，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；2D故选：D．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，本题属于基础题型．3．D解析：D【分析】把x 的值代入原式计算即可求出值．【详解】解：当时，原式=（）2-10×（）+1+1=0．故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．A解析：A【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】∴x-2020≥0，解得：x ≥2020；故选：A ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．5．A解析：A【分析】比较两个二次根式的大小可判别A ，根据同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算法则分别计算可判断B 、C 、D 的正误．【详解】A 、=，=∵1812>，∴>，故该选项正确；B 、3a •25a a =，故该选项错误；C 、()()22224b a a b a b +-=-，故该选项错误； D 、527m m m +=，故该选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式大小的比较，同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．6．D解析：D【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．【详解】有意义，则x+1≥0且x-2≠0，解得：x≥-1且x≠2．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．7．D解析：D【分析】进行化简，然后再进行合并即可.【详解】设x=<x<，∴0∴266x=-+，∴212236x=-⨯=，∴x=∵5=-，∴原式5=-5=-故选D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.8．C解析：C【分析】根据二次根式的性质逐一进行计算即可求出答案．【详解】①原式=2，故①正确；②原式=2，故②正确；③原式==④原式==，故④错误，故选C．【点睛】本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.9．C解析：C【分析】直接利用二次根式的性质与化简以及积的乘方运算法则分别计算即可得出答案．【详解】A|a|，故此选项错误；B．，则a，b均为非负数，故此选项错误；C．a2•b2=（a•b）2，正确；D m n a（a≥0），故此选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．10．D解析：D【分析】先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限或坐标轴．【详解】=-∴x、y异号，且y>0，∴x<0，或者x、y中有一个为0或均为0．∴那么点(),x y在第二象限或坐标轴上．故选：D．【点睛】根据二次根式的意义，确定被开方数的取值范围，进而确定a、b的取值范围，从而确定点的坐标位置．二、填空题11．+1【分析】先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.【详解】因为,所以,故答案为:.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二+1【分析】先将3+,()()()0000a a a a a a ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩进行化简即可.【详解】因为(2231211+=+=+=+,11===故答案为:1.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解. 12．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和 解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．13．【解析】【分析】根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∵=∴，即．解得．【点睛】本题考查了解析：【解析】【分析】a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∴(22118=，即2222118235a b c =+++++． 2222352118,2120,2540,2144,a b c ab ac bc ⎧++=⎪=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩ 解得15,4,18.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩154181080abc ∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左、.14．【解析】=，故答案为.解析：【解析】÷====-， 故答案为15．（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）【解析】试题解析：当a=1，=1，要使为整数，=1或时，分别为4和3，得出（1，4）和（1，1）是的“理想数对”，解析：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）【解析】试题解析：当a =1，要使或12时，分别为4和3，得出（1，4）和（1，1）是的“理想数对”， 当a =412，要使+或12时，分别为3和2， 得出（4，1）和（4，4）是的“理想数对”， 当a =913，要使16时，=1， 得出（9，36）是的“理想数对”， 当a =1614，要使14时，=1， 得出（16，16）是的“理想数对”， 当a =3616，要使13时，=1， 得出（36，9）是的“理想数对”， 即其他所有的“理想数对”：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）．故答案为：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）． 16．5【解析】试题解析：由题可知，∴，∴，∴，①②得，，解方程组得，∴．故答案为：5.解析：5【解析】试题解析：由题可知3030m n m n -+≥⎧⎨--≥⎩， ∴3m n +=，0=， ∴35200m n p m n p +--=⎧⎨--=⎩①②， ①-②得2620m n +-=，31m n +=，解方程组331m n m n +=⎧⎨+=⎩得41m n =⎧⎨=-⎩， ∴4(1)5p m n =-=--=．故答案为：5.17．【解析】【详解】根据二次根式的性质和二次根式的化简，可知==.故答案为.【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.解析：2【解析】【详解】22.故答案为2. 【点睛】 此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.18．-16【解析】试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3，然后可代入得y=-，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-）=-15-1=-16 解析：-16【解析】试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x 2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3，然后可代入得y=-16，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-16）=-15-1=-16. 故答案为：-16.点睛：此题主要考查了分式的有意义和二次根式有意义，解题关键是利用二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为0，可列式求解. 19．4【详解】根据完全平方公式可得：原式=－xy==5－1=4．解析：4【详解】根据完全平方公式可得：原式=2()x y +－xy=251515151)222=5－1=4． 20．6【分析】通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，可以得到第13个的答案．【详解】解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，，…，∴第13个答案为：．故答案为6．解析：6【分析】 通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，可以得到第13个的答案．【详解】 解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，∴第13个答案为：131(1)3(131)6．故答案为6．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算以及学生的分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
第1讲 二次根式认识、性质形如（）的式子叫做二次根式。
必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件（（）表示a 的算术平方根， 即0（）。
非负性：算术平方根，和绝对值、偶次方。
非负性质的解题应用： （1）、如若，则a=0,b=0； （2）、若，则a=0,b=0； （3）、若，则a=0,b=0。
①、a a ≥≥00（） ②、()a a a 20=≥（）③、a a a a a a a 20000==>=-<⎧⎨⎪⎩⎪||（）（）（）④、ab a b a b =⋅≥≥（，）00 ⑤、b a baa b =>≥（，）00考点1、二次根式概念例1、下列各式：1-其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（1（2（3（4（5 （6例3)()()230,2,12,20,3,1,x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 例4、下列各式中，属于二次根式的有（ ） ①15 ②51 ③22b a + ④ b a2 ⑤bc ab 32⨯ ⑥215例5、若21x +的平方根是5±_____=．1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A B C D2中是二次根式的个数有______个 3、下列各式一定是二次根式的是（ ）A B C D4、下列式子，哪些是二次根式， 1x、 x>0）1x y +、（x≥0，y •≥0） ．51+x 、2+1x 、______个。
考点2、根式取值范围及应用例1有意义，则x 的取值范围是例2有意义的x 的取值范围例3、当_____x 时，式子有意义． 例4、在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ） A ．1)2(2+-m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12(-m例5、若y=5-x +x -5+2018，则x+y=例6、实数a ，b ，c │a －=______．o1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠42x 的取值范围是 3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、式子x x x 222+-+-有意义，x 为________ 5、yx是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（ ） A ．0≥x 且0≥y B ．0>y xC ．0≥x 且0>yD ．0≥yx 62()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．37、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值8、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。
②. a（a≥0）是一个非负数。
③. （a）2＝a（a≥0）；2a=a（a≥0）2.二次根式的乘：①.一般的，有a²b＝a b．（a≥0，b≥0）②.反过来，有ab＝a³b( a ≥0 ，b ≥0 )3.二次根式的除：①. 一般地，对二次根式的除法规定：a b =ab（a≥0，b>0），②. 反过来，ab =ab（a≥0，b>0）4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
典型例题分析：例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x（x>0）、0、42、-2、1x y+、x y+（x≥0，y•≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0。
解：二次根式有：2、x （x>0）、0、-2、x y +（x≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：33、1x、42、1x y+。
例2.当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义。
变式题1：当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义．变式题2：①.当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？解：依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩，320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，23xx+＋x2在实数范围内没有意义。
一、选择题1．若01x <<，则221144x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( ). A ．2xB ．2x-C ．2x -D ．2x2．已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则x₁²＋x₂²等于( ) A ．8B ．9C ．10D ．113．下列运算正确的是（ ）A ．52223-=y yB ．428x x x ⋅=C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2D ．27123-=4．下列各式计算正确的是（ ） A ．2+3=5 B ．43-33=1 C ．2333=63⨯ D ．123=2÷5．将1、、、按图2所示的方式排列，若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数的积是（ ）A ．1B ．2C ．D ．66．下列计算正确的是（ ）A 235=B 623=C 23(3)86-=-D 321=7．12的下列说法中错误的是（ ） A 1212的算术平方根 B ．3124<< C 12不能化简D 12是无理数8．若|x 2﹣4x+4|23x y --x+y 的值为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．99．已知实数x 、y 满足222y x x =--，则yx 值是（ ）A ．﹣2B ．4C ．﹣4D ．无法确定 10．3x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0B ．x ＞3C ．x ≥3D ．x ≤3二、填空题11．将2(3)(0)3a a a a-<-化简的结果是___________________.12．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72[72]=8[8]=2[2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 13．已知3x x+=，且01x <<，则2691x x x =+-______．14．设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，设12...n S S S S =+++，则S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为正整数)．15．甲容器中装有浓度为a 的果汁40kg ，乙容器中装有浓度为b 的果汁90kg ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________．16．对于任意实数a ，b ，定义一种运算“◇”如下：a ◇b ＝a(a －b)＋b(a ＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝13，那么3◇2＝_____. 17．若实数23a =-，则代数式244a a -+的值为___. 18．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____．19．函数y ＝42xx --中，自变量x 的取值范围是____________． 20．观察分析下列数据：0，36，-3，231532的规律得到第10个数据应是__________．三、解答题21．先化简，再求值：24211326x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中21x =. 2. 【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解. 【详解】原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫÷=⋅= ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭.将1x == 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.22．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.比如：2224312111-=-=-+=).善于动脑的小明继续探究：当a b m n 、、、为正整数时，若2a n +=+)，则有22(2a m n =+，所以222a m n =+，2b mn =.请模仿小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a b m n 、、、为正整数时，若2a n =+)，请用含有mn 、的式子分别表示a b 、，得：a = ，b = ；（2）填空：13-( - 2；（3）若2a m +=()，且a m n 、、为正整数，求a 的值.【答案】（1）223a m n =+，2b mn =；（2）213--；（3）14a =或46. 【解析】 试题分析：（1）把等式)2a n +=+右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；（2）由（1）中结论可得：2231324a m n b mn ⎧=+=⎨==⎩，结合a b m n 、、、都为正整数可得：m=2，n=1，这样就可得到：213(1-=-；（3）将()2a m +=+右边展开，整理可得：225a m n =+，62mn =结合a m n 、、为正整数，即可先求得m n 、的值，再求a 的值即可.试题解析：（1）∵2a n =+)，∴223a m n +=++， ∴2232a m n b mn =+=，；（2）由（1）中结论可得：2231324a m n b mn ⎧=+=⎨==⎩，∵a b m n 、、、都为正整数，∴12m n =⎧⎨=⎩或21m n =⎧⎨=⎩ ，∵当m=1，n=2时，223713a m n =+=≠，而当m=2，n=1时，22313a m n =+=， ∴m=2，n=1， ∴()21343=123--；（3）∵22265(5)525a m n m n mn +=+=++， ∴225a m n =+，62mn = ， 又∵a m n 、、为正整数， ∴=1=3m n ，， 或者=3=1m n ，，∴当=1=3m n ，时，46a =；当=3=1m n ，，14a =， 即a 的值为：46或14.23．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如3、3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：535==33333⨯⨯；22(31)2(31)=313+1(3+1)(31)(3)1⨯-⨯-==--- . 以上这种化简过程叫做分母有理化.3+1还可以用以下方法化简：22(3)1(3+1)(31)=313+13+13+13+1--===-. （1）请用其中一种方法化简1511-；（2）化简：++++3+15+37+599+97.【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1. 【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为1511－；（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】 （1）原式==；（2）原式=+++…=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1=3﹣1【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.24．先观察下列等式，再回答下列问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+1111133112=+-=+(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）．【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数） 【解析】试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．试题解析：(1)=1+14−141+=1120，1120(2)1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.25．计算（11)1)⨯； （2）【答案】（12+；（2）. 【解析】分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算.详解：（1)11+；＝()31-2 ；（2）原式＝(22⨯,＝＝3⨯＝＝点睛：此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．26．计算：0(3)|1|π-+．【答案】【分析】根据二次根式的意义和性质以及零次幂的定义可以得到解答． 【详解】解：原式11=+=【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的运算和零次幂的意义是解题关键．27．计算：（1 （2）（)()2221-【答案】2）1443 【分析】(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可； (2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可． 【详解】解：(1)原式＝23223323，(2)原式(34)(12431)1124311443，故答案为：1443． 【点睛】本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键．28．化简求值：212(1)211x x x x -÷-+++，其中1x =．【答案】3【解析】分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 详解：原式2112,2111x x x x x x -+⎛⎫=÷- ⎪++++⎝⎭2112,211x x x x x -+-=÷+++()211,11x x x x -+=⋅-+1.1x =+当1x =时，11x ==+ 点睛：考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据二次根式的意义先化简各项，再进行分式的加减运算可得出解. 【详解】 解：∵0＜x ＜1， ∴0＜x ＜1＜1x， ∴10x x +>，10x x-<．原式=11x x x x+-- =11x x x x ++- =2x ． 故选D ．点睛：本题考查了二次根式的性质和绝对值化简，也考查了分式的加减.2．C解析：C 【详解】12x x +==12321x x ==-=，所以()2221212122x x x x x x +=+-=(22112210-⨯=-=，故选：C ． 【点睛】对于形如2212x x +的式子，改变其中两个字母的位置后，并不改变代数式的值，通常将具有这个特点的代数式称为轮换对称式，如1211+x x ，1221x x x x +，12x x -等，轮换对称式都可以用12x x +，12x x 来表示，所以求轮换对称式的值，一般是先将式子用12x x +，12x x 来表示，然后再整体代入计算．3．D解析：D 【分析】由合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A 、222523y y y -=，故A 错误；B 、426x x x ⋅=，故B 错误；C 、222()2a b a ab b --=++，故C 错误； D==D 正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．4．D解析：D 【解析】试题分析：根据同类二次根式，可知2与3不是同类二次根式，因此不能计算，故不正确.-=3，故不正确；根据同类二次根式，可知4333⨯=18，故不正确；根据二次根式的性质，可知2333÷=÷=，故正确.根据二次根式除法的性质，可知2733333故选D.5．D解析：D【解析】（4，2）表示第4排从左向右第2个数是：，（21，2）表示第21排从左向右第2个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第21排是奇数排，最中间的也就是这排的第1个数是1，那么第2个就是：，•=6,故选D6．B解析：B【分析】根据二次根式加减运算和二次根式的性质逐项排除即可．【详解】2与3A选项错误；6===B选项正确；62632223-=-=，所以C选项错误；(3)83212与3D选项错误;故选答案为B．【点睛】本题考查了二次根式加减运算和二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义和二次根式的性质是解答本题的关键．7．C解析：C【分析】根据算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简依次判断.【详解】A1212的算术平方根，故该项正确；B、3124<<，故该项正确；C1223=D=是无理数，故该项正确；故选：C.【点睛】此题考查算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.8．A解析：A【解析】根据题意得:|x2–4x，所以|x2–4x+4|=0，即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．9．C解析：C【分析】依据二次根式中的被开方数是非负数求得x的值，然后可得到y的值，最后代入计算即可．【详解】y=，∵实数x、y满足2∴x＝2，y＝﹣2，-⨯＝-4．∴yx＝22故选：C．【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．10．C解析：C【详解】解：根据题意得：x-3≥0解得：x≥3故选C.二、填空题11．．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴==．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．解析：【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴(a-=-=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．12．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．13．．【分析】利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．【详解】∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴原式．故答案是：．【点睛】本题考查二次根式的运．【分析】，再把它们相乘得到1xx-，再对原式进行变形凑出1xx-的形式进行计算．【详解】3=，∴221239xx=++==，∴17xx+=，∴212725xx=-+=-=，∵01x<<，=，∴1xx=-=-∴原式====．．【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．14．【分析】先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可．【详解】解：∵，∴；∵，∴；∵，∴；……∵，∴；∴．故答案为：【点睛】本题 解析：221n n n ++ 【分析】n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可．【详解】 解：∵1221191=124S =++311122===+-； ∵222114912336S =++=7111116623===+=+-； ∵32211169134144S =++=1311111121234===+=+-； …… ∵()()()222222111111n n n S n n n n ++=++=++，()()2111111111n n n n n n n n ++===+=+-+++；∴...S =1111111112231n n =+-++-++-+…+ 111n n =+-+． 221n n n +=+ 故答案为：221n n n ++ 【点睛】本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子()11111n n n n =-++的理解． 15．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg 溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m 即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg ，乙容器【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg 溶液中纯果汁的含量，最后利=，求出m 即可．【详解】， 甲容器倒出mkg 果汁中含有纯果汁makg ，乙容器倒出mkg 果汁中含有纯果汁mbkg ，，=，整理得，-6b =5ma -5mb ，∴（a -b ）=5m （a -b ），∴m故答案为：5【点睛】 本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键． 16．5【解析】◇==5.故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a 对应，b 对应，即将a=，b=，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则解析：5【解析】32==5. 故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a ，b ，即将，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则进行计算，注意最终的结果一定要化为最简二次根式.17．3【解析】∵ =，∴=（a-2）2==3，故答案为3.解析：3【解析】∵a =∴244a a -+=（a-2）2=()222+=3， 故答案为3.18．﹣2a【分析】首先根据实数a 、b 在数轴上的位置确定a 、b 的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a＜0＜b，|a|＜|b|，∴=-a-b+b-a=-解析：﹣2a【分析】首先根据实数a、b在数轴上的位置确定a、b的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a＜0＜b，|a|＜|b|，．故答案为-2a．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，其中正确利用数轴的已知条件化简是解题的关键，同时也注意处理符号问题．19．x≤4且x≠2【分析】根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案．【详解】解：由y=，得4-x≥0且x-2≠0．解得x≤4且x≠2．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方解析：x≤4且x≠2【分析】根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案．【详解】解：由，得4-x≥0且x-2≠0．解得x≤4且x≠2．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数、分母不能为零得出4-x≥0且x-2≠0是解题关键．20．6【分析】通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，可以得到第13个的答案．【详解】解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，，…，∴第13个答案为：．故答案为6．解析：6【分析】 通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，可以得到第13个的答案．【详解】 解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，∴第13个答案为：131(1)3(131)6．故答案为6．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算以及学生的分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
专题01 二次根式及其运算知识讲义【相关概念】二次根式：a≥0）的式子叫做二次根式.a为被开方数，a可以是数字或代数式.代数式：含有字母的数学表达式称为代数式.整式、分式均为代数式.最简二次根式：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.【二次根式运算】乘法=a≥0，b≥0）除法=（a≥0，b ＞0）加（减）法先把各根式化成最简根式，再合并同类根式分母有理化====【二次根式性质】，a≥0非负数：|a|，a 2n()()00a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩2a =【二次根式应用】因式的内移和外移：（1）负号不能移到根号下；（2）根号下的负号不能移到根号外.【题型一】二次根式有意义条件例1. （2020·m 能取的最小整数值是（）A ．m = 0B ．m = 1C ．m = 2D ．m = 3【答案】B.3m －1≥0，解得：m≥13， 所以，m 能取的最小整数值是1．故答案为：B ．例2. （2020·=-，那么x 的取值范围是_______． 【答案】－3≤x≤0.【解析】解：∵233x x +-∴x≤0，且x+3≥0，解得：－3≤x≤0，故答案为：－3≤x≤0.例3．（2019·=x 的取值范围是______. 【答案】x≥2.=∴x≥0，x−2≥0，∴x≥2.故答案为：x≥2.【题型二】同类二次根式例4. （2020·是同类二次根式，那么满足条件的m 中最小正整数是________．【答案】4.【解析】解：当5m+8=7时，m=-15，不合题意，，即5m+8=28时，m=4，是同类二次根式，那么m 的最小正整数是4，故答案为：4．例5. mn =_________．【答案】10.∴n=2，2m-5=5，∴m=5，n=2∴mn=10故答案为：10．例6. mn＝________．【答案】21.∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴mn=21故答案为：21.【题型三】变式考查例7. （2020·浙江宁波市期中）我们把形如b（a，b为最简二次根式）32是（）A型无理数B C型无理数D型无理数【答案】B.【解析】解：2故答案为：B．例8. （1n所有可能的值；（2是整数，求正整数n的最小值．【答案】（1）自然数n 的值为2、9、14、17、18；（2）正整数n 的最小值为6．【解析】解：（1是整数，∴18-n=0或1或4或9或16，解得：n=18或17或14或9或2，则自然数n 的值为2，9，14，17，18；（2=是整数，n 为正整数，∴正整数n 的最小值为6．例9．（2020·21x =-，则x=__________． 【答案】12或1.21x =-，∴2x-1=0或2x-1=1，解得：x=12或x=1． 故答案为12或1． 【题型四】二次根式运算例10．（2020·周长为( )A ．B ．C ．D ．无法确定【答案】A.若，，则周长为若，∴，此三角形不存在，∴个三角形的周长为故答案为：A ．例11)2211-．)2211--1313=--+-=例12．（2020·福建省泉州月考）已知1x =，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求a b的值．.【解析】解：∵3，∴+1<4，故a=3，－2，∴)3232274a b ====-. 例13．（2020·广东佛山市月考）先阅读，再解答:由222=-= 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：==，请完成下列问题：1的有理化因式是；(2)= ．（直接写结果）>或<）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：)1+【答案】（1+1；（2）；（3）<；（4）2017.【解析】解：（1+1；（2333==+；（3=>（4）原式=)120181+=)11=2018-1=2017．例14. 若a，b都是正整数，且a＜b是可以合并的二次根式，是否存在a，b，＝a，b的值；若不存在，请说明理由．【答案】当a＝3，b＝48；当a＝12，b＝27.，m、n为正整数，m＜n，∴m=1，n=4或m=2，n=3故a=3，b=48或a=12，b=27．例15．（2019·辽宁大连市期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：11112=+-=；11123=+-=；11134=+-=；……[发现]根据你的阅读回答下列问题：（1）请根据上面式子的规律填空：=（n为正整数）；（2）请证明(1) 中你所发现的规律．[应用]请直接写出下面式子的结果：11n++=．【答案】[观察]32，76，1312；[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++；（2）证明见解析；[应用]221n nn++．【解析】[观察]32，76，1312，[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++（2）左边=====∵n 为正整数，∴()11111011n n n n +-=+>++ ∴左边=右边[应用11n +++111111111111223341n n =+-++-++-+++-+…… 1111n n =⨯+-+ 1n n n =++ 22=1n n n ++. 【题型五】化简求值例16. （2021·江苏南通市期末）化简2+的结果是（ ） A ．152x -B ．1-C ．27x -D ．1 【答案】A.【解析】解：∵二次根式被开方数为非负数，∴7-x≥0，则x≤7∴x-8＜0，原式=7-x+8-x=15-2x故答案为：A ．例17．（2020·浙江杭州期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图，||a b -的结果为（ ）A ．2aB ．2a -C ．2bD ．2b -【答案】B.【解析】解：由题意得：a ＞b ，|a |＜|b |，a ＞0，b ＜0，∴a -b ＞0，a +b ＜0，∴原式＝-a -b -a +b ＝-2a ，故答案为：B ．例18．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简3x + ） A ．4x - B ．4x C ．2x - D ．2x【答案】C.【解析】解：∵数x 的点在原点的左边，∴x ＜0，∴原式＝|3x +|x ||＝|3x -x |＝|2x |＝-2x ．故答案为：C ．例19．（2020·温州月考）下列四个式子中，与(a -的值相等的是（） AB ．CD ．【答案】D.【解析】解：由题意得：2021-a>0，得：a<2021，∴a-2021<0，∴原式=(2021a --== 故答案为：D ． 例20．下列给出的四个命题：①若a b = ，则a a b b =；②若a 2﹣5a+5=01a =- ；③(1a -=其中是真命题是【答案】②.【解析】解：①当a=-1，b=1时，命题不成立，是假命题，②a 2=5a-5，∴5a-5≥0，即a≥1，，是真命题；③(a -==，是假命题， 故答案为：②．【题型六】阅读材料例21．（2021·北京延庆区期末）我们规定用（a ，b ）表示一对数对．给出如下定义：记m=，n = a ＞ 0，b ＞ 0），将（m ，n ）与（n ，m ）称为数对（a ，b ）的一对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（12，1）和（1，12）； （1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 ；（2）若数对（3，y ）的一对“对称数对”相同，则y 的值为 ；（3）若数对（x ，2）的一个“对称数对”，1），则x 的值为 ；（4）若数对（a ，b ）的一个“对称数对”，，求ab 的值．【答案】（1）1(3与1)3， ；（2）13；（3）1 ；（4）16或6.【解析】解：（1）由题意得13=，∴数对(9，3)的一对“对称数对”是1(3与1)3，；（2）由题意得，∴数对(3，y ）的一对“对称数对”为⎝与⎭， ∵数对(3，y ）的一对“对称数对”相同，= ∴y=13；（3）∵数对(x ，2)的一对“对称数对”是与而数对(x ，2)的一个“对称数对”，1）， 1=， ∴x=1；（4）∵数对(a ，b)的一对“对称数对”是与，而数对(a ，b)的一个“对称数对”是，==1,183a b == ∴11863ab =⨯=；==1,318a b ==， ∴113186ab =⨯=，综上所述，16ab =或6ab =． 例22. 阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．．11==． 类比应用：（1= ； （29++=+ ． 拓展延伸：的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽AB =1． （1）黄金矩形ABCD 的长BC = ；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE ，则点D 到线段AE 的距离为 ．【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）12；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3【解析】解：类比应用：（1）根据题意可得：== （2）根据题意可得：9++(9+++19-+-1=2；拓展延伸：（1的矩形叫黄金矩形， 若黄金矩形ABCD 的宽AB =1，则黄金矩形ABCD 的长BC； （2）矩形DCEF 为黄金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=1=∴FD=EC=AD-AF=112-=12，∴DF EF =11122÷=，故矩形DCEF 为黄金矩形；（3）连接AE ，DE ，过D 作DG ⊥AE 于点G ，∵AB=EF=1，，∴=在△AED 中，S △AED =1122AD EF AE DG ⨯⨯=⨯⨯，即AD EF AE DG ⨯=⨯1DG =，解得∴点D 到线段AE 的距离为4+. 例23. （2019·四川月考）阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：====1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求 a 2 + b 2 ．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1...+（2）已知 m 是正整数， ab且 2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019 ．求 m ． （31=【答案】（1）12；（2）2；（3）9. 【解析】解：（1）原式12019+2222=+++2019++== （2）∵ab∴=2（2m+1），=1∵2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019∴2（a 2+b 2）+1823=2019∴a 2+b 2=98∴4（2m+1）2=100∴m=2或m=-3∵m是正整数∴m=2．（31=，得：21=20=2281=-+=0≥≥．例24.（2020·湖南怀化市期末）同学们，我们以前学过完全平方公式222)2(a ab b a b ±+=±，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如23=，25=，下面我们观察：)2221211213=-⨯=-=-23211)-=-=，∴231)-=1= 求：（1；（2（3=，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．【答案】（11；（21；（3）m+n=a ，mn=b ，理由见解析.【解析】解：（11；（21==；（3）m+n ＝a ，mn ＝b.=∴2a =+，∴，∴m+n ＝a ，mn ＝b.例25．（2020·安徽安庆市）阅读理解题，下面我们观察：2221)211213=-⨯=-=-反之23211)-=-=，所以231)-=1= 完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：（2（3．【答案】（1）2(1+；（21；（3【解析】解：（1）22231(1+=+=+（21==（3==。
一、选择题1．下列各式计算正确的是（）A=B=C．23=D2=-2．下列各式中，运算正确的是（）A．=-=．2=D2=-3．下列运算正确的是（）A．3=B=C．=D=4．如果关于x的不等式组0,2223x mxx-⎧>⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为2x>则符合条件的所有整数m的个数是（）．A．5 B．4 C．3 D．25．若a，b＝，则ab的值为（）A．12B．14C．321+D6．有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．下列二次根式中，最简二次根式是（）ABCD8．给出下列化简①（）2=2=2=12=，其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②D．③④9．x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（）ABCD10．下列各式计算正确的是（）A．23=B5=±C=D．3=二、填空题11．计算（π-3）02-211(223)-4--22--（）的结果为_____． 12．已知()2117932x x x y ---+-=-，则2x ﹣18y 2＝_____．13．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____．14．(623÷=________________ .15．已知：5+22可用含x 2=_____． 16．x y 53xy 153，则x+y=_______． 17．计算：652015·652016＝________． 18．把1a-19．对于任意实数a ，b ，定义一种运算“◇”如下：a ◇b ＝a(a －b)＋b(a ＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝1332＝_____.20．若a 、b 都是有理数，且2222480a ab b a -+++=ab ．三、解答题21．计算及解方程组： （11324-2-1-26（） （2)262-153-2+（3）解方程组：251032x y x y x y -=⎧⎪+-⎨=⎪⎩【答案】（1）72102）-3107；（3）102x y =⎧⎨=⎩． 【分析】（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可； （2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可； （3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】（11324126-（）1+（11=1（22+）=34-=7-=7-（3）251032x y x y x y-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②由②得：50x y -= ③ ②-③得： 10x = 把x=10代入①得：y=2∴原方程组的解是：102x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．22．计算：21)3)(3--【答案】. 【解析】 【分析】先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算. 【详解】解：原式22]-322]-4【点睛】本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.23．解：设x222x=++2334x=+，x2=10∴x=10．0．【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可．【详解】设x两边平方得：x2=2+2+即x2=4+4+6，x2=14∴x=．0，∴x．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．24．阅读下列材料，然后回答问题：1== .以上这种化简过程叫做分母有理化.1===.（1）请用其中一种方法化简；（2）化简：++++3+15+37+599+97.【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1. 【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为1511－；（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】 （1）原式==；（2）原式=+++…=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1=3﹣1【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.25．计算：（1(0112441238--；（2326232423⎛- ⎝【答案】（12；（2）6-【解析】试题分析：根据二次根式的性质及分母有理化，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可解答.试题解析：（1(0112441238-- 22 2 （2326232423⎛- ⎝666)26-6026- =626．计算（1+（2+-（3÷（4）(；（4）7．【答案】（1）23）4【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘除法则运算；（4）利用平方差公式计算；【详解】（1+=+22=；（2==；（3÷=2b=；（4）((22=-=7【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了平方差公式．27．先化简再求值：（a ﹣22ab b a -）÷22a b a-，其中，b=1．【答案】原式=a ba b-=+【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可. 【详解】原式=()()222a ab b aa ab a b -+⨯+-=()()()2·a b a aa b a b -+- =a ba b-+，当，b=1时，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.28．计算：（1（2|a ﹣1|，其中1＜a 【答案】（1）1；（2）1 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算；（2）由二次根式的非负性，a 的取值范围进行化简． 【详解】解：（1－1＝2－1＝1（2）∵1＜a ，a ﹣1＝2﹣a ＋a ﹣1＝1． 【点睛】本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法法则，主要检验学生的计算能力．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【详解】2，故选项A错误；=B错误；C. 23=，故选项C正确；2=，故选项D错误；故选C.【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．2．A解析：A【分析】由合并同类项、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、-=A正确；B=B错误；C、2不能合并，故C错误；D2=，故D错误；故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的性质，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．3．A解析：A根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】A 、3=，故选项A 正确；B B 错误；C 、18=，故选项C 错误；D =D 错误； 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．4．C解析：C 【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m ≤2的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m ≤2，得m=-3，-2或2． 【详解】 解：解不等式02x m->得x ＞m ， 解不等式223x x --<-得x ＞2， ∵不等式组解集为x ＞2， ∴m ≤2，则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2， 由m ≤2得，m=-3，-2或2．即符合条件的所有整数m 的个数是3个． 故选：C ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．5．B解析：B 【解析】 【分析】将a可化简为关于b 的式子，从而得到a 和b 的关系，继而能得出a b 的值．a＝3235++•()323523523526+-+-=+-＝()2235b44+-=．∴14ab=．故选：B．【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．6．A解析：A【解析】试题分析：根据二次根式的概念，可知a≥0，ab＞0，解得a＞0，b＞0，因此可知A（a，b）在第一象限.故选A7．A解析：A【解析】试题分析：最简二次根式是指不能继续化简的二次根式，A、原式=；B、是最简二次根式，不能化简；C、原式=；D、原式=.考点：最简二次根式8．C解析：C【分析】根据二次根式的性质逐一进行计算即可求出答案．【详解】①原式=2，故①正确；②原式=2，故②正确；③原式340285==④原式334==，故④错误，故选C．【点睛】本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键. 9．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.【详解】A 、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；B 、x-3＞0，解得：x ＞3，故此选项错误；C 、x+3＞0，解得：x ＞-3，故此选项错误；D 、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确，故选D ．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．10．A解析：A【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得．【详解】A 、23=此选项计算正确，符合题意；B 、5=此选项计算错误，不符合题意；C -不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误，不符合题意；D 、-=故选：A ．【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简以及二次根式的加减运算，准确利用二次根式的性质计算是解题的关键．二、填空题11．﹣6【解析】根据零指数幂的性质，二次根式的性质，负整指数幂的性质，可知（π-3）0=1﹣（3﹣2）﹣4×﹣4=1﹣3+2﹣2﹣4=﹣6.故答案为﹣6．解析：﹣6【解析】根据零指数幂的性质01(0)a a =≠，二次根式的性质，负整指数幂的性质1(0)pp a a a -=≠，可知（π-3）0-21-2（）=1﹣（3﹣）﹣4×﹣4=1﹣﹣﹣4=﹣6.2故答案为﹣6．12．【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：＝3y，∴x﹣解析：22【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】一定有意义，∴x≥11，|7﹣x＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，＝3y，∴x﹣11＝9y2，则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案为：22．【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．13．﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对解析：﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣=a﹣b+[﹣（a+b ）]=a ﹣b ﹣a ﹣b=﹣2b ．故答案为﹣2b ．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a ．b 都是数轴上的实数，注意符号的变换．14．【解析】=，故答案为.解析：【解析】÷====-， 故答案为15．【解析】∵=，∴=== -==﹣x3+x ，故答案为：﹣x3+x.解析：211166x x -+【解析】∵x =-3==123=146+ = -21116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=311166-+=﹣16x 3+116x ， 故答案为：﹣16x 3+116x. 16．8+2【解析】根据配方法，由完全平方公式可知x+y==（）2-2，然后把+=+，=-整体代入可得原式=（+）2-2（-）=5+3+2-2+2=8+2.故答案为：8+2.解析：【解析】根据配方法，由完全平方公式可知x+y=2222+=+-）2整体代入可得原式=2-2）故答案为：17．【解析】原式=.故答案为.【解析】原式=20152015=18．﹣【解析】解：通过有意义可以知道≤0，≤0，所以＝﹣＝﹣．故答案为：．点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．解析：【解析】解：通过a ≤0，，所以故答案为：点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键． 19．5【解析】◇==5.故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a 对应，b 对应，即将a=，b=，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则解析：5【解析】32==5. 故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a ，b ，即将，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则进行计算，注意最终的结果一定要化为最简二次根式.20．【分析】先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．【详解】解：∵∴∴∴∵∴解得：a=-4，b=-2∴=故答案为：．【点睛解析：【分析】先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．【详解】解：∵2222480a ab b a -+++=∴222448160a ab b a -+++=∴()()222448160a ab ba a -+++=+ ∴()()22240ab a +-+=∵()()2220,40a b a +-≥≥∴20,40a b a +-==解得：a=-4，b=-2=故答案为：【点睛】此题考查的是配方法、非负性的应用和化简二次根式，掌握完全平方公式、平方的非负性和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
一、选择题1．若5,a =17=b ，则0.85的值用a 、b 可以表示为 （ ）A ．10a b+ B ．10-b aC ．10ab D ．b a2．下列计算正确的是（ ）A ．2×3=6B ．2+3=5C ．8=42D ．4﹣2=23．已知526x =-，则2101x x -+的值为（ ） A ．306- B ．106 C ．1862-- D ．0 4．式子2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．0x <B ．0xC ．2xD ．2x5．化简x 1x-，正确的是（ ） A ．x -B ．xC ．﹣x -D ．﹣x6．已知226a b ab +=，且a>b>0，则a ba b+-的值为( ) A ．2B ．±2C ．2D ．±27．给出下列结论：①101+在3和4之间；②1x +中x 的取值范围是1x ≥-；③81的平方根是3；④31255--=-；⑤5158->．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个8．设S=2222222211111111111112233499100++++++++++++，则不大于S 的最大整数[S]等于( ) A ．98B ．99C ．100D ．1019．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b 的结果是（ ）A ．1B ．b+1C ．2aD ．1﹣2a10．下列运算正确的是（ ） A 235=B ．(228-=C 112222=D ()21313-=二、填空题11．已知2215x 19x 2+--=，则2219x 215x -++=________． 12．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简()222144a a ab b +--+=_____________；（2）已知正整数p ，q 满足32016p q +=，则整数对()p q ，的个数是_______________；（3）△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________.13．若()()22223310x y x y +++-+=，则222516x y +=______.14．若613-的整数部分为x ，小数部分为y ，则(213)x y +的值是___.15．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.16．11882． 17．计算：200820092+323⋅-=_________．18．若a 、b 为实数，且b 2211a a -+-+4，则a+b ＝_____． 19．函数y 4x-中，自变量x 的取值范围是____________． 20．4x -x 的取值范围是_____．三、解答题21．阅读下面问题： 阅读理解：==1；==2==-．应用计算：（1（21（n 为正整数）的值．归纳拓展：（398++【答案】应用计算：（12 归纳拓展：（3）9． 【分析】由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（1分母利用平方差公式计算即可，（2（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可． 【详解】（1（2（3+98+，(+98+，++99-， =10-1， =9． 【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．22．）÷）（a ≠b ）．【答案】【解析】试题分析：先计算括号内的，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结论．试题解析：解：原式＝()()a b a b --+-23．先观察下列等式，再回答下列问题： 111111112=+-=+； 111112216=+-=+ 1111133112=+-=+ (1) (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）． 【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数）【解析】试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子． 试题解析：(1)=1+14−141+=1120，1120(2)1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n为正整数).a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.24．计算：（1）012⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）(4 【答案】（1）-5;（2）9 【分析】（1）第一项利用算术平方根的定义计算，后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）012⎛⎫ ⎪⎝⎭41=--， 5=-；（2）(4167=-9=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂，熟练掌握平方差公式是解题的关键．25．先化简，再求值：2222212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭x y x y x x xxy y，其中x y ==． 【答案】原式x yx-=-，把x y==代入得，原式1=-. 【详解】试题分析：先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可． 试题解析：2222212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭x y x y x x x xy y()()()222=x y x y x x x x x x y x y -⎛⎫---⋅ ⎪+-⎝⎭=y x x y x x y ---⋅+ x yx-=-把x y ==代入得：原式1==-+考点：分式的化简求值．26．（1|5-+；（2）已知实数a 、b 、c 满足|3|a +=，求2(b a +的值．【答案】（1）5；（2）4 【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可； （2）先根据二次根式有意义的条件确定b 的值，再根据非负数的和的意义确定a ，c 的值，然后再计算代数式的值即可． 【详解】解：（15-+5)=+5=+5=（2）由题意可知：5050b b -≥⎧⎨-≥⎩,解得5b =由此可化简原式得，30a +=30a ∴+=，20c -= 3a ∴=-，2c =22((534b a ∴+=--=【点睛】可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．27．2020(1)- 【答案】1 【分析】先计算乘方，再化简二次根式求解即可． 【详解】2020(1)-=1 =1． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．28．已知x²+2xy+y²的值. 【答案】16 【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算． 本题解析： ∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】化简即可． 【详解】10ab．故选C．【点睛】的形式．2．A解析：A【解析】分析：根据二次根式的加、减、乘、除的法则计算逐一验证即可.详解： , 此选项正确;≠此选项错误;, 此选项错误;，此选项错误.故选A.点睛：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.3．D解析：D【分析】把x的值代入原式计算即可求出值．【详解】解：当时，原式=（）2-10×（）+1+1=0．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），列出不等式求解即可得到答案；【详解】x-≥，即：20x，解得：2故选：D；【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义即被开方数≥0是解题的关键.5．C解析：C 【解析】根据二次根式有意义的条件可知﹣1x＞0，求得x ＜0，然后根据二次根式的化简，可得x. 故选C ．6．A解析：A 【解析】【分析】已知a 2+b 2=6ab ，变形可得（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ，可以得出（a+b ）和（a-b ）的值，即可得出答案． 【详解】∵a 2+b 2=6ab ， ∴（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ， ∵a ＞b ＞0，∴∴a b a b +-= 故选A.【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．7．A解析：A 【分析】答． 【详解】解：①3104<<，415∴<<，故①错误；x 的取值范围是1x ≥-，故②正确；9=，9的平方根是3±，故③错误；④5=，故④错误；58=，(229<，∴15028-<，即1528<，故⑤错误； 综上所述：正确的有②，共1个， 故选：A ． 【点睛】本题考查了故算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算平方法比较无理数大小．8．B解析：B 【分析】1111n n =+-+，代入数值，求出=99+1-1100，由此能求出不大于S 的最大整数为99． 【详解】∵==()211n n n n ++=+ =111+1n n -+， ∴=1111111+11122399100-++-+++- =199+1100-=100-1100， ∴不大于S 的最大整数为99．故选B. 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道()2211111+111n n n n +=+-++是解答本题的基础． 9．A解析：A【解析】﹣+b=111a a b b a a b b ---+=-+-+= ，故选A.10．B解析：B【分析】根据二次根式的性质及运算法则依次计算各项后即可解答．【详解】选项A 23A 错误； 选项B ，(222428-=⨯=，选项B 正确； 选项C 1212222422==，选项C 错误； 选项D ()21331-，选项D 错误．综上，符合题意的只有选项B ．故选B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及运算法则，熟练运用二次根式的性质及运算法则是解决问题的关键．二、填空题11．【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m 、n 的关系式，解方程组求m 、n 的值即可．【详解】设m ＝，n ＝，那么m −n ＝2①，m2＋n2＝()2＋()2＝34②．由①得，m ＝2解析：13【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m n那么m−n＝2①，m2＋n2＝2＋2＝34②．由①得，m＝2＋n③，将③代入②得：n2＋2n−15＝0，解得：n＝−5（舍去）或n＝3，因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．n＋2m＝13．【点睛】此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．12．（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.【解析】（1）∵-1<a<0,b>1,∴＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵，∴，p=20解析：（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.【解析】（1）∵-1<a<0,b>1,＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)==∴p=14x3(其中x为正整数)，同理可得：q=14y2（其中y为正整数）,则x+3y=12(x、y为正整数)∴963,,123x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩, ∴整数对有（p,q ）=(14⨯81,141⨯),或（1436,144)⨯⨯ ,或（149,149⨯⨯）。
一、选择题1．若a 是最简二次根式，则a 的值可能是（ ） A ．2-B ．2C ．32 D ．82．二次根式1x -中字母x 的取值可以是( ) A ．2B ．0C ．12-D ．-13．下列各式中，无意义的是（ ） A ．23-B ．()333-C ．()23-D ．310-4．下列各式中，运算正确的是（ ） A ．2(2)-＝﹣2B ．2＋8＝10C ．2×8＝4D ．22﹣2＝25．设等式()()a x a a y a x a a y -+-=---在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y+--+的值是( ) A ．3B ．13C ．2D ．536．已知2225152x x ---=，则222515x x -+-的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．67．已知：a=123-，b=123+，则a 与b 的关系是（ ） A ．相等 B ．互为相反数C ．互为倒数D ．平方相等8．以下运算错误的是（ ）A ．3535⨯=⨯B ．2222⨯=C ．169+=169+D ．2342a b ab b =（a ＞0）9．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18B ．13C 24D 0.310．751m +m 的值为（ ） A ．7B ．11C ．2D ．1二、填空题11．化简并计算：()()()()()()()...112231920xx x x x x x x +=+++++++________．（结果中分母不含根式）12．设a ﹣b=2+3，b ﹣c=2﹣3，则a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____．13．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；⑵根据以上规律写出n a 的表达式．14．已知3x x+=，且01x <<，则2691x x x =+-______．15．已知a ＝﹣73+，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 16．化简：-32=_________,1x=________. 17．若a 、b 为实数，且b ＝2211a a -+-+4，则a+b ＝_____． 18．化简(322)(322)+-的结果为_________.19．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____．20．2a ·8a (a ≥0)的结果是_________.三、解答题21．先观察下列等式，再回答问题： 2211+2+()1=1+1=2； 2212+2+()212=2 12； 2213+2+()3=3+13=313；…（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n （n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．【答案】（1=144+=144；（2=211n n n n++=，证明见解析． 【分析】（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，=414+=414；（2=n 211n n n++=”，再利用222112n n n n++=+（）（）开方即可证出结论成立．【详解】（1=1+1=2=212+=212；=313+=313；里面的数字分别为1、2、3，= 144+= 144．（2=1+1=2，=212+=212=313+=313=414+=414= 211n n n n++=．证明：等式左边==n 211n n n++==右边．=n 211n n n++=成立． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律=n 211n n n++=”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．22．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如3、3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：535==33333⨯⨯；22(31)2(31)=313+1(3+1)(31)(3)1⨯-⨯-==--- . 以上这种化简过程叫做分母有理化.3+1还可以用以下方法化简：22(3)1(3+1)(31)=313+13+13+13+1--===-. （1）请用其中一种方法化简1511-；（2）化简：++++3+15+37+599+97.【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1. 【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为1511－；（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】 （1）原式==；（2）原式=+++…=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1=3﹣1【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.23．计算下列各题（1）12126233⎛÷ ⎝（2）2(53)(53)(232)-【答案】(1)1;(2)6． 【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可； (2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可.【详解】(1)原式=1；(2)原式+2)． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.24．计算下列各式：（1；（2【答案】（12 ；（2） 【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可. 【详解】（1）原式2=-2=；（2）原式==. 【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩，)0,0a b =≥≥=（a ≥0，b >0）.25．一样的式子，其实我==3==，1===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：221111===-=（12）化简：2n+++【答案】（1-2.【解析】试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．试题解析：（1）=====（2）原式2n+++=12.考点：分母有理化．26．（1）计算：21)-（2）已知a，b是正数，4a b+=，8ab=【答案】（1）5-2【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：（1）原式21)=-(31)(23)=---5=-；（2）原式=== a ，b 为正数， ∴原式=把4a b +=，8ab =代入，则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．27．计算：（1）()22131)()2---+（2【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可； （2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12（2） 【点睛】本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．28．化简求值：212(1)211x x x x -÷-+++，其中1x =．【解析】分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 详解：原式2112,2111x x x x x x -+⎛⎫=÷- ⎪++++⎝⎭2112,211x x x x x -+-=÷+++ ()211,11x x x x -+=⋅-+ 1.1x =+当1x =时，11x ==+ 点睛：考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】∴a ≥0，且a故选项中-2，32，8都不合题意， ∴a 的值可能是2． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．2．A解析：A 【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负列出不等式，求解，再依此选择合适的选项． 【详解】解：由题意得： x-1≥0 解之：x≥1.1>． 故选：A ． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．理解二次根式有意义，被开方数非负是解题关键．3．A解析：A 【分析】直接利用二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质分析得出答案． 【详解】AB ，有意义，不合题意；CD 、33110=10-，有意义，不合题意； 故选A. 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质，正确把握二次根式的定义是解题关键．4．C解析：C 【分析】根据二次根式的性质对A 进行判断；根据二次根式的加减法法则对B 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断． 【详解】A 、原式＝2，故该选项错误；B ＝，故该选项错误；C 4，故该选项正确；D 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则是解题关键．5．B解析：B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x ，把y=-x 代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数，∴a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0， a （x-a ）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a （y-a ）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a 只能等于0，代入等式得，所以有x=-y ， 即：y=-x ，由于x ，y ，a 是两两不同的实数， ∴x ＞0，y ＜0． 将x=-y 代入原式得： 原式=()()()()2222313x x x x x x x x +---=--+-． 故选B ． 【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a 、x 、y 的值和代入求分式的值是解此题的关键．6．C解析：C 【解析】2=，2222251510x x =-=--+=，5=. 故选C.7．C解析：C 【解析】因为1a b ⨯==,故选C. 8．C解析：C【分析】利用二次根式的乘法法则对A、B进行判断；利用二次根式的化简对C、D进行判断．【详解】A．原式=所以A选项的运算正确；B．原式＝所以，B选项的运算正确；C．原式==5，所以C选项的运算错误；D．原式＝2，所以D选项的运算正确．故选C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．9．B解析：B【详解】A不是同类二次根式，故此选项错误；B3C=不是同类二次根式，故此选项错误；D=不是同类二次根式，故此选项错误；10故选B．10．C解析：C【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式即为同类二次根式.【详解】解=m=7时==，故A错误；当m=11时==B错误；当m=1时=故D错误；当m=2时=故C正确；故选择C.【点睛】本题考查了同类二次根式的定义.二、填空题11．【分析】根据=，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．【详解】解：原式==．故答案为．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观【分析】-，将原式进行拆分，然后合并可得出答案． 【详解】解：原式====220400x x x-．【点睛】 此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．12．15【解析】根据题意，由a ﹣b=2+，b ﹣c=2﹣，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a2+b2+c2﹣ab ﹣bc ﹣ac=====15.故答案为：15.解析：15【解析】根据题意，由a ﹣b ﹣c=2，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac=2222222222a b c ab ac bc ++﹣﹣﹣=2222222222a ab b b bc c a ac c +++++﹣﹣﹣=222()()()2a b b c a c -+-+-=15. 故答案为：15.13．（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an ＝（n 为正整数）．【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC ＝1，∠B＝90°．∴在Rt△ABC 中，AC ＝＝＝．同理：AE ＝2，EH ＝2，解析：（1）a 2，a 3＝2，a 4＝；（2）a n n 为正整数）．【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．∴在Rt △ABC 中，ACAE ＝2，EH ＝，…，即a 2a 3＝2，a 4＝（2）an n 为正整数）．14．．【分析】利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．【详解】∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴原式．故答案是：．【点睛】本题考查二次根式的运解析：12．【分析】，再把它们相乘得到1xx-，再对原式进行变形凑出1xx-的形式进行计算．【详解】3=，∴221239xx=++==，∴17xx+=，∴212725xx=-+=-=，∵01x<<，=，∴1xx=-=-∴原式====．故答案是：12．【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．15．-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可. 【详解】解：当a＝－＝－＝－3时，原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(解析：-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.【详解】－3时，解：当a原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3＝7a－7－7a+3＝－4．故答案为：－4．【点睛】本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.16．【解析】根据二次根式的性质，化简为：-=-=-4；==.故答案为； .解析：【解析】根据二次根式的性质，化简为：故答案为；17．5或3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的值，b的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由被开方数是非负数，得，解得a＝1，或a＝﹣解析：5或3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由被开方数是非负数，得221010a a ⎧-≥⎨-≥⎩， 解得a ＝1，或a ＝﹣1，b ＝4，当a ＝1时，a +b ＝1+4＝5，当a ＝﹣1时，a +b ＝﹣1+4＝3，故答案为5或3．【点睛】本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．18．1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.解析：1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=(223981-=-=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键. 19．﹣2a【分析】首先根据实数a 、b 在数轴上的位置确定a 、b 的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a ＜0＜b ，|a|＜|b|，∴=-a-b+b-a=-解析：﹣2a【分析】首先根据实数a、b在数轴上的位置确定a、b的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a＜0＜b，|a|＜|b|，．故答案为-2a．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，其中正确利用数轴的已知条件化简是解题的关键，同时也注意处理符号问题．20．4a【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.【详解】===4a，故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.解析：4a【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.)0a≥===4a，故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
