三视图问题分类解析

专题05 高分必刷题-几何图形初步重难点题型分类（原卷版） 专题简介：本份资料包含《几何图形初步》这一章除压轴题题之外的全部重要题型，所选题目源自各名校月考、期末试题中的典型考题，具体包含九类题型：正方体的展开图、立体图形的三视图、直线射线线段的概念、算术方法求线段长度、方程方法求线段长度、角的概念与单位换算、折叠中的角度计算、算术方法求角度、方程方法求角度。

适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一：正方体的展开图1.（长郡）下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是( )A .B .C .D .【解答】解：A 、属于“田”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；B 、属于“7”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；C 、属于“1+4+1”字型，是正方体的展开图，故选项正确；D 、属于“凹”字型，不是正方体的展开图，故选项错误．故选：C ．2.（长梅）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是__________.【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“的”与“害”是相对面，“了”与“厉”是相对面，“我”与“国”是相对面．3.（中雅）如图所示，是一个正方体的平面展开图，当把它折成一个正方体时，与空白面相对的字应该是__________.【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“京”与“你”相对，面“迎”与面“北”相对，“欢”与面“空白”相对．故答案为：欢．4.（西雅）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“爱”字所对应的面相对的面上标的字是( )A.我B.的C.祖D.国你迎欢京北【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“爱”与“的”是相对面；故选：B．题型二：立体图形的三视图5.（雅礼）如图所示是由一些相同的小正方体构成的立体图形从正面、左面、上面看到的形状图，那么构成这个立体图形的小正方体的个数是个。

横看成岭侧成峰，远近高低各不同——高考中的三视图问题刘学文
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2009(000)010
【摘要】三视图作为新课程标准新增加的内容，主要考察空间想象能力．新课程命题三年来，三视图几乎出现在每年高考试题中．为方便大家的复习，现就这几年的高考与模拟题举例如下，仅供参考．
【总页数】3页(P6-8)
【作者】刘学文
【作者单位】广东省佛山市南海区南海中学,528213
【正文语种】中文
【中图分类】G632.479
【相关文献】
1.横看成岭侧成峰远近高低各不同——谈一题多解对学生多角度思考问题能力的培养 [J], 杨恩荣
2.横看成岭侧成峰远近高低各不同
——坐标法解决平面向量的模长问题 [J], 卢会玉
3.横看成岭侧成峰远近高低各不同--坐标法解决平面向量的模长问题 [J], 卢会玉
4.横看成岭侧成峰远近高低各不同
——2020年高考数学浙江卷第19题线面角问题的多角度分析 [J], 章显联
5.横看成岭侧成峰远近高低各不同——2020年高考数学浙江卷第19题线面角问题的多角度分析 [J], 章显联
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三视图中的多解问题在三视图的学习中，有的问题给出的限制条件比较少，因此问题的解不止一个，这就构成了一类有趣的多解问题.这就需要我们仔细审题，慎重思考，分类枚举，考虑到一切可能.我们通过两个典型的问题来说明.问题1：由6个小立方块搭成的一个物体，它的主视图与左视图如图所示，你能画出它的俯视图吗？【分析】一般地，组合体要求立体之间至少要有一个面相邻，仅有一条棱相邻则不算.共有以下8种情形，方格中的数字表示该位置竖直方向方块的数目：若仅仅画出俯视图，对应于如下情形：如果不强调是一个几何体，只是用小立方块在地上摆放，形成如题设所述的主视图与左视图，那么就允许立方块之间仅有一条棱相邻，比如以下情形：上图当然并没有给出全部的可能.事实上，除了标记2的位置必须有两层立方体之外，标记为a，b，c，d，e，f，g的位置中，（a，b）必须放入1个立方块，（d，e）放入1个立方块，（g，f）放入1个立方块，剩下的4个位置再放入剩下的一个，共2×2×2×4=32（种）方式.也就是说，此时共有32种不同的摆放方式.问题2：一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图、左视图如图所示，要摆成这样的图形，至少需用_______块正方体，最多需用_______块正方体.【分析】最多的情形，需要11块；最少的情形，在最多的情形图中减去4个1，至少需要7块，比如下面的一些情况：题目是“摆成这样的图形”，所以也允许下面的情况出现：为了计算所有的情形，我们对标记了2之外的格子用字母分别标记，根据主视图和左视图，（a，b，c）中至少要有1个方块，（d，e，f）中至少要有1个方块，（g，b，e）中至少要有1个方块.若g=1，则在右边两列中随便各放一个即可满足条件，共3×3=9（种），若g≠1，则b、e中至少要放1个正方体，且当（a，b，c）中放2个，（d，e，f）中放1个时，通过枚举，共有7种方法；同理，当共3×3=9（种）；类似地，若g≠1，且（a，b，c）中放1个，（d，e，f）中放2个，共3×3=9（种）也有7种方法.综上，一共有9+7+7=2327（种）不同的方案.（作者单位：江苏省南师附中江宁分校）。

教学内容长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图教学目标掌握长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图重点染色问题、沉浸问题、三视图难点染色问题、沉浸问题、三视图教学过程一、染色问题一个棱长1分米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长1厘米的小正方体。

在这些小正方体中：（1）三个面涂有红色的有多少个？（2）两个面涂有红色的有多少个？（3）一个面涂有红色的有多少个？（4）六个面都没有涂色的有多少个？下面我们结合图示，分别来看看这几个问题。

（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以三个面涂有红色的有8个。

（2）两个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有8个，正方体有12条棱，所以两个面涂有红色的有8×12=96个。

（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的面上，每个面上有8×8=64个，正方体有6个面，所以一个面涂有红色的有8×8×6=384个。

(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有两种算法：算法1： 1000－8－96－384=512（个）；算法2： 8×8×8=512（个）。

公式：（1）正方体有8个顶点、12条棱、6个面假设把棱n等分（n≥3），那么:N的三次方个小立方体组成的立方体的表面图涂上颜色,则未被涂色的小立方体有(n-2)3个.一面被涂色的小立方体为(n-2)2*6个.两面被涂色的小立方体有(n-2)*12个.三面被涂色的有8个.（2）长方体, 有a*b*c个立方体组成的长方体表面涂上颜色.则未被涂色的小立方体有(a-2)*(b-2)*(c-2)个一面被涂色的小立方体有(a-2)* (b-2)*2+(b-2)* (c-2)*2+(c-2)* (a-2)*2两面被涂色的小立方体有(a-2)*4+(b-2)*4+(c-2)*4三面被涂色的有8个【例 1】下图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？0面：1； 1面：6；两面：2；三面：8【巩固】下图是456⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？0面：24； 1面：52；两面：36；三面：8图1图2【巩固】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．26图2图3课堂作业：1．一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切3刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为40块．5.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上、从右看这个立体都如下图，则这个形体最少由________个小正方体构成，6.小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．。

《机械制图》公开课教案——视图一、教学内容本节公开课选自《机械制图》第四章“视图”，具体内容包括：视图的基本概念、分类及画法；三视图的形成及其投影规律；视图的简化表达方法；以及视图在实际工程中的应用。

二、教学目标1. 理解并掌握视图的基本概念、分类及画法。

2. 学会三视图的形成及其投影规律，能够正确绘制和解读三视图。

3. 了解视图的简化表达方法，并能够运用到实际工程制图中。

三、教学难点与重点1. 教学难点：三视图的投影规律及其应用。

2. 教学重点：视图的基本概念、分类及画法。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、模型、挂图等。

2. 学具：铅笔、橡皮、三角板、圆规、绘图纸等。

五、教学过程1. 导入：通过展示一些实际工程图纸，引导学生思考视图在工程制图中的作用，激发学习兴趣。

教学环节：观看图纸，讨论视图的作用。

2. 知识讲解：（1）视图的基本概念、分类及画法。

教学环节：讲解基本概念，展示分类及画法，举例说明。

（2）三视图的形成及其投影规律。

教学环节：演示三视图的形成过程，讲解投影规律，举例讲解。

3. 实践环节：（1）绘制三视图。

教学环节：发放模型，学生分组绘制三视图，教师巡回指导。

（2）解读三视图。

教学环节：展示学生绘制的结果，共同讨论，解读三视图。

4. 简化表达方法及其应用：教学环节：讲解简化表达方法，展示应用实例。

教学环节：回顾本节课所学内容，提出拓展问题，引导学生思考。

六、板书设计1. 视图的基本概念、分类及画法。

2. 三视图的形成及其投影规律。

3. 视图的简化表达方法。

4. 拓展问题。

七、作业设计1. 作业题目：绘制一个物体的三视图，并标注尺寸。

答案：根据实际绘制结果，正确标注尺寸。

2. 拓展作业：思考并简述视图在工程制图中的应用。

八、课后反思及拓展延伸重点和难点解析1. 教学内容的选择与组织。

2. 教学目标的设定。

3. 教学难点与重点的识别。

4. 教学过程中的实践环节设计。

5. 板书设计。

教学内容长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图教学目标掌握长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图重点染色问题、沉浸问题、三视图难点染色问题、沉浸问题、三视图教学过程、染色问题一个棱长 1 分米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长 1 厘米的小正方体。

在这些小正方体中：1）三个面涂有红色的有多少个？2）两个面涂有红色的有多少个？3）一个面涂有红色的有多少个？4）六个面都没有涂色的有多少个？面我们结合图示，分别来看看这几个问题1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8 个顶点，所以三个面涂有红色的有8 个2)两个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有8 个，正方体有 12 条棱，(4) 六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有两种算法： 算法 1： 1000 －8－96－384=512(个)； 算法 2： 8 ×8×8=512(个)。

公式：( 1)正方体有 8个顶点、 12 条棱、 6个面 假设把棱 n 等分( n ≥ 3)，那么 : N 的三次方个小立方体组成的立方体的表面图涂上颜色 则未被涂色的小立方体有 (n-2) 3 个 .一面被涂色的小立方体为 (n-2) 2*6 个.两面被涂色的小立方体有 (n-2)*12 个 .所以两个面涂有红色的有 8× 12=96个 3) 一个面涂有红色的小正方体在大正方体的面上，每个面上有 8× 8=64个，正方体有 6 个 个面，所以一个面涂有红色的有 8×8×6=384 个。

(4) 六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有两种算法：三面被涂色的有8 个.( 2)长方体, 有a*b*c 个立方体组成的长方体表面涂上颜色. 则未被涂色的小立方体有(a-2)*(b-2)*(c-2) 个一面被涂色的小立方体有(a-2)* (b-2)*2+(b-2)* (c-2)*2+(c-2)* (a-2)*2两面被涂色的小立方体有(a-2)*4+(b-2)*4+(c-2)*4 三面被涂色的有8 个例1】下图是 3 3 3 正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？0 面：1；1 面：6；两面：2；面：8【巩固】下图是 4 5 6 长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？例2】将一个正方体平均分成若干份 1 厘米的小正方体，如果将其表面涂成红色，其中未被涂成红色有64 块，则 2 面涂色的有多少块？棱长：64×12=48【巩固】将一个长方体平均分成若干份 1 厘米的小正方体，如果将其表面涂成红色，其中未被涂成红色有 6 块，则2面涂色的有多少块？6=1 ×1×6 长方体=3×3×82 面：1 ×4+1×4+6× 4=32个或6=1 ×2×3 长方体=3×4×52 面： 1 ×4+2×4+3× 4=24个【例3】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切 6 刀，沿着宽边等距离切 3 刀，沿着高边等距离切_次后，能使各面上均没有红色的小方块为20 块．6 刀是7 层 3巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切 5 刀，沿着宽边等距离切 4 刀，沿着高边等距离切次后，能使各面上均没有红色的小方块为24 块．3【例4】已知一个正方体木块能分割成若干个棱长是 1 厘米的小正方体木块，又知在这个大的正方体木块的 5 个面上涂上红色后，把它分割成若干个棱长 1 厘米的小正方体木块中，有两面涂上红色的共108 块。

投影与视图知识梳理【知识网络】【考点梳理】一、投影1．投影用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面．2．平行投影和中心投影由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．（1）平行投影：平行光线照射形成的投影（如太阳光线）。

当平行光线垂直投影面时叫正投影。

投影三视图都是正投影。

（2）中心投影：一点出发的光线形成的投影（如手电筒，路灯，台灯）3．正投影投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影．要点诠释：正投影是平行投影的一种．二、物体的三视图1．物体的视图当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图．我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面．一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图．要点诠释：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的3个图象．2．画三视图的要求(1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图．(2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等．画图时，看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线。

三个图的位置展示：要点诠释：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽．（1）主视图：三视图（2）左视图：（3）俯视图：投影与视图专题练习类型一：平行投影1.有两根木棒AB、CD在同一平面上竖着，其中AB这根木棒在太阳光下的影子BE如图（1）所示，则CD这根木棒的影子DF应如何画?2.如图所示，某居民小区内A、B两楼之间的距离MN=30米，两楼的高都是20米，A楼在B楼正南，B楼窗户朝南.B楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米，窗户高CD=1.8米.当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，A楼的影子是否影响B楼的一楼住户采光若影响，挡住该住户窗户多高若不影响，请说明理1.414 1.73252.236）由.3.如图所示，在一天的某一时刻，李明同学站在旗杆附近某一位置，其头部的影子正好落在旗杆脚处，那么你能在图中画出此时的太阳光线及旗杆的影子吗4.已知，如图所示，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m. （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影.（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下时投影长为6m.请你计算DE的长.类型二：中心投影1.如图所示，小明在广场上乘凉，图中线段AB表示站在广场上的小明，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯.（1）请你在图中画出小明在照明灯P照射下的影子.（2）如果灯杆高PO=12m，小明身高AB=1.6m，小明与灯杆的距离BO=13m，请求出小明影子的长度.2.确定图中路灯灯泡所在的位置。