2009年山东省高中数学夏令营数学竞赛试题及答案

山东省届高中数学夏令营数学竞赛（及答案）一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分)1.函数()f x =的最大值是________________ ; (王泽阳 供题)解:()f x =≤,其等号仅当=即12x =时成立,所以,f(x)最大=.2.如果自然数a 的各位数字之和等于5,那么称a 为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一列a 1,a 2,…,a n .若a n =.则n=_______________. (王继忠 供题)解:设12m x x x 为吉祥数,则x 1+x 2+…+x m =5,由x 1≥1和x 2,…,x m ≥0得(x 1-1)+x 2+…+x m =4,所以,12m x x x 为第43m C +个吉祥数.21m x x 为第42m C +个吉祥数.由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共455C =个,三位吉祥数共4615C =个,因以1为首位的四位吉祥数共4615C =个,以2为首位的前两个四位吉祥数为:2003和.故n=1+5+15+15+2=38.3.已知f(x)是2011次多项式,当n=0,1,…,2011时,()1n f n n =+. 则f()=______; (王 林供题)解:当n=0,1,…,2011时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x 有个根, 设(x+1)f(x)-x=a x(x -1)(x -2)…(x -2011). 取x=-1,则1=!a .故12012!a =, (1)(2)(2011)()2012!(1)1x x x x xf x x x ---=+++,2012!20122013(2012)12012!201320132013f =+==.4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k 步转过k 个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点. (龚红戈 供题)解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点.5.如图，设O ,I 分别为ABC ∆的外心、内心，且60B ∠=，AB ＞BC ，A ∠的外角平分线交⊙O 于D ，已知18AD =,则OI =_____________文 供题)解: 连接BI 并延长交⊙O 于E ,则E 为弧AC 的中点.连OE 、AE 、CE 、OC ，由60B ∠=，易知AOE ∆、COE ∆均为正三角形.由内心的性质得知：AE IE CE ==,所以A 、O 、I 、C 四点共圆,且圆心为E .再延长AI 交⊙O 于F ,由题设知D 、O 、F 共线，于是2OEI OAI ∠=∠, 22AOD AFD OAI ∠=∠=∠,又OA OD OE IE ===, 从而OAD ∆≌EOI ∆, 故18OI AD ==. 二.解答题(本题共5道小题,每小题20分,满分100分)6.证明:对任给的奇素数p ,总存在无穷多个正整数n 使得p |(n 2n -1).(陈永高 供题)证明:取n =(p -1)k ,则由费尔马小定理知(1)21(mod )p k p -≡,所以, p |(n 2n -1)(1)(1)21(mod )(1)1(mod )1(mod )p k p k p p k p k p -⇔-∙≡⇔-≡⇔≡-.取k =pr -1(r ∈N *),即n =(p -1)(pr -1),就有(1)(1)21(mod )p k p k p --∙≡即p |(n 2n -1).7.如图，已知P 是矩形ABCD 内任意一点，延长BP 交AD 于E ，延长DP 交AB 于F ，延长CP(叶中豪 供题)证法1: 设CG 交AD 于∠AGB ＝∠CGD 知△ABG ∽△交于R ，由AD ∥BR, AD=BC得AF BCFB BR= ① 又由△CPB ∽△QPE 及△由①,②得AF QEFB ED=,表明得△FBG ∽△EDG.所以,∠即GE ⊥GF.证法2:联结GB,GD,令∠由正弦定理得:sin sin GB GD αβ==sin sin sin sin BF BFP PBC DE DEP PDC ∠∠=⋅=∠∠由∠GBF ＝∠GDE 得△所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即GE⊥GF.8.对于恰有120个元素的集合A.问是否存在子集A1,A2,…,A10满足:(1)|A i|=36,i=1,2, (10)(2)A1∪A2∪…∪A10=A;(3)|A i∩A j|=8,i≠j.请说明理由.(刘裕文供题)解:答案:存在.考虑长度为10的0,1数列.其中仅3项为1的恰有310120C=个,每个作为集合A的一个元素.对每个j=1,2,…,10,第j项为1的0,1数列恰有2936C=个,它们是集合A j的36个元素.对每对i,j∈{1,2,…,10}(i<j),第i项与第j项均为1的0,1数列恰有188C=个,它们是Ai∩A j的元素.综上知,存在满足条件的10个子集.9.求最小的正整数m,n(n≥2),使得n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分别为1,2,…,n的正方形. (邹明供题)解:依题意n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分别为1,2,…,n的正方形⇔12+22+…+n2=nm2,即6m2=(n+1)(2n+1),则(n+1)(2n+1)=2n 2+3n+1≡0(mod6), 由n 2≡0,1,3,4(mod6)知n≡±1(mod6). 若6|n+1,设n=6k -1(k ∈N),得m 2=k(12k -1),因(k,12k -1)=1,所以k 与12k -1都是完全平方数,但12k -1≡3 (mod4)矛盾!若6|n -1,设n=6k+1(k ∈N),得m 2=(3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1,所以,3k+1=v 2,4k+1=u 2,消去k 得4v 2-3u 2=1,v=u=1时,k=0,n=1,但n ≥2,故u>1,v>1.由4v 2-3u 2≡1(mod8)知u,v 为奇数, 直接计算得u min =15,v min =13,k=56,所以, m 最小=15×13=195,n 最小=337.10.设实系数三次多项式32()p x x ax bx c =+++有三个非零实数根.求证:3322610(2)1227a a b ab c +--≥. (李胜宏 供题)证明:设,,αβγ为p (x)=0的三个根,由根与系数关系a b c αβγαββγγααβγ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩得: 22222a b αβγ-=++.原式32226(2)10(2)27a a b a b c ⇔-+-≥322222226()()10()27αβγαβγαβγαβγ⇔++++-++≤ ①.若2220αβγ++=,则①成立.若2220αβγ++>,不妨设||||||αβγ≤≤,由①的齐次性,不妨设2229αβγ++=,则23γ≥,222296αβαβγ≤+=-≤. ①2()10αβγαβγ⇔++-≤.因2(2)(27)100100αβαβ=+-+≤,所以,2()10αβγαβγ++-≤.故原式成立.。

全国高中数学联赛全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容， 但在方法的要求上有所提高。

主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当 增加一些竞赛教学大纲的内容。

全卷包括 4 道大题，其中一道平面几何题 .一 试一、填空（每小题 7 分，共 56 分）1． 若函数 f x x x 2 且 f( n ) x f f f f x ，则 f 99 1 ．1 n2． 已知直线 L : x y9 0 和圆M : 2 x 2 2 y 2 8x 8y 1 0 ，点 A 在直线 L 上， B ，C 为 圆 M 上 两 点 ， 在 ABC 中 ， BAC 45 ， AB 过 圆 心 M ， 则 点 A 横 坐 标 范 围为 ．y≥ 0． 在坐标平面上有两个区域 M 和 N ， M 为 y ≤ x ， N 是随 t 变化的区域，它由3y≤ 2 x不等式 t ≤ x ≤ t 1 所确定， t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ，则 M 和 N 的公共面积是函数f t ．4． 使不等式 1 1 1 a 2007 1 对一切正整数 n 都成立的最小正整数n 1 n 2 2n 1 3a 的值为 ．2 25． 椭圆 x y 1 a b 0 上任意两点 P ，Q ，若 OP OQ ，则乘积 OP OQ 的最a 2 b2小值为 ．6． 若方程 lg kx 2lg x 1 仅有一个实根，那么 k 的取值范围是 ．第一行是前 则最后一行的 数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天 8∶00 ~ 9∶00 ， 9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随 机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 8∶10 8∶30 8∶50 9∶10 9∶30 9∶50 概率 1 1 1 6 2 3 一旅客 8∶20 到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题 1． （ 14 分）设直线 l : y kx m （其中 k ， m 为整数）与椭圆 x 2 y 2 16 1交于不同两 x 2 y 2 12 点 A ， B ，与双曲线 1 交于不同两点 C ， D ，问是否存在直线 l ，使得向量 4 12AC BD 0 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 162．（ 15 分）已知 p ，q q 0 是实数，方程 x2 px q 0 有两个实根，，数列 an 满足 a1 p ， a2 p 2 q ， an pan 1 qan 2 n 3，4 ，(Ⅰ )求数列a n的通项公式（用，表示）；(Ⅱ )若 p 1 ， q 1 ，求 a n的前 n 项和．43．（ 15 分）求函数y x 27 13 x x 的最大和最小值．加试一、填空（共 4 小题，每小题50 分，共 200 分）9．如图， M ， N 分别为锐角三角形 ABC （AB ）的外接圆中点．过点 C 作 PC ∥ MN 交圆于 P 点， I 为ABC 的内心，连接PI⑴求证： MP MT NP NT ；⑵在弧 AB （不含点 C ）上任取一点Q （ Q ≠ A ，T ， B ），记上弧BC 、AC 的并延长交圆于 T ．AQC ，△QCB 的内心分别为 I1， I 2，P CN MI BAT Q1610．求证不等式：nk ln n ≤1，n1 ，2，⋯12k 1 k 1 211．设 k ， l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m≥ k ，使得 C k m与 l 互素．16\-16。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于A.{x|0＜x＜1}B.{x|0＜x＜3}C.{x|1＜x＜3}D.￠（2）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（3）设|a n|是等左数列，若a2=3,a1=13,则数列{a n}前8项的和为A.128B.80C.64D.56（4）函数f(x)=x3+sin x+1(x∈R)，若f(a)=2,则f(-a)的值为A.3B.0C.-1D.-2(5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是A. B.C. D.(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为A. B. C. D.（7）函数y=cos x(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为A.-sin xB.sin xC.-cos xD.cos x(8)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2ac,则角B 的值为A. B. C.或 D.或(9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.48(10)若实数x、y满足则的取值范围是A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞)（11）如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数y=f(x)的图象可能是（12）双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PE2|，则双曲线离心率的取值范围为A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞]第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.（13）（x+）9展开式中x2的系数是 .（用数字作答）（14）若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是 .（15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集QM,则数集M必为数域;④数域必为无限集.其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知向量,且(Ⅰ)求tan A的值；(Ⅱ)求函数R)的值域.（18）（本小题满分12分）三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.（20）（本小题满分12分）已知｛a n｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（n N*）在函数y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n｝满足b1=1,b n+1=b n+，求证：b n ·b n+2＜b2n+1.(21)（本小题满分12分）已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于y轴对称.(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.(22)（本小题满分14分）如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N， 直线AF与BN交于点M.(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；(ⅱ)求△AMN面积的最大值.数学试题（文史类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）A （2）C (3)C (4)B (5)C (6)D （7）A （8）A (9)A (10)D (11)A (12)B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分.（13）84 （14） （15）9 （16）①④三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力，满分12分.解：（Ⅰ）由题意得m·n=sin A-2cos A=0,因为cos A≠0,所以tan A=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知tan A=2得因为x R,所以.当时，f(x)有最大值，当sin x=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是（18）本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分12分.解：记“第i个人破译出密码”为事件A1(i=1,2,3)，依题意有且A1，A2，A3相互独立.（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有B＝A1·A2··A1··A3+·A2·A3且A1·A2·，A1··A3，·A2·A3彼此互斥于是P(B)=P(A1·A2·)+P（A1··A3）+P（·A2·A3） ＝ ＝.答：恰好二人破译出密码的概率为.（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.D＝··，且，，互相独立，则有P（D）＝P（）·P（）·P（）＝＝.而P（C）＝1-P（D）＝，故P（C）＞P（D）.答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，PB＝,cos∠PBO=,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，在Rt△POC中，PC＝，所以PC＝CD＝DP，S△PCD=·2=.又S△=设点A到平面PCD的距离h，由V P-ACD=V A-PCD，得S△ACD·OP＝S△PCD·h，即×1×1＝××h，解得h＝.解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），∞〈、〉=，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），则 n·＝0，所以 -x0+ x0=0,n·＝0， -x0+ y0=0，　即x0=y0=x0, 取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).又=(1,1,0).从而点A到平面PCD的距离d＝（20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）由已知得a n+1=a n+1、即a n+1-a n=1，又a1=1,所以数列｛a n｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故a n=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a n=n从而b n+1-b n=2n.b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+···+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+···+2+1＝=2n-1.因为b n·b n+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n+4·2n=-2n＜0,所以b n·b n+2＜b,解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为b2=1,b n·b n+2- b=(b n+1-2n)(b n+1+2n+1)- b=2n+1·b n-1-2n·b n+1-2n·2n+1＝2n（b n+1-2n+1）=2n（b n+2n-2n+1）=2n（b n-2n）=…=2n（b1-2）=-2n〈0，所以b n-b n+2<b2n+1（21）本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分.解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3, ……①由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m=-3,代入①得n=0.于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)>得x>2或x<0,故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；由f′(x)<0得0<x<2,故f(x)的单调递减区间是（0，2）.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),令f′(x)＝0得x=0或x=2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：X(-∞.0)0(0,2)2(2,+ ∞)f′(x)+0－0＋f(x)极大值极小值由此可得：当0<a<1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值；当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；当1<a<3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值.(22)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力，满分14分,解法一：（Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b2=a2-c2=3,所以椭圆C前方程为.(Ⅱ)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),=1. ……①AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，n(x-4)-(m-4)y=0.设M(x0,y0),则有n(x0-1)-(m-1)y0=0, ……②n(x0-4)+(m-4)y0=0, ……③由②，③得x0=.所以点M恒在椭圆G上.(ⅱ)设AM的方程为x=xy+1,代入＝1得（3t2+4）y2+6ty-9=0.设A(x1,y1),M（x2，y2），则有：y1+y2=|y1-y2|=令3t2+4=λ(λ≥4),则|y1-y2|＝因为λ≥4，0<|y1-y2|有最大值3，此时AM过点F.△AMN的面积S△AMN=解法二：（Ⅰ）问解法一：（Ⅱ）（ⅰ）由题意得F(1,0),N(4,0).设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0), ……①AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0, ……②n(x-4)-(m-4)y=0, ……③由②，③得：当≠. ……④由④代入①，得=1（y≠0）.当x=时，由②，③得：解得与a≠0矛盾.所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上.（Ⅱ）同解法一.。

2009年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2009年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。

中国数学会普及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。

2009年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。

全卷包括8填空题和3道大题，满分100分。

答卷时间为80分钟。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。

全卷包括4道大题，其中一道平面几何题，试卷满分200分。

答卷时问为150分钟。

一 试一、填空（每小题7分，共56分）1． 若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，则()()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++ 对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 5． 椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若O P O Q ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题1． （14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．2． （15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-= ，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．3． （15分）求函数y 的最大和最小值．加试一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧 BC、 AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧 AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．10． 求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，…11． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．12． 在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．\。

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分） 1． 若函数()f x =且()()()n nfx f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f=．【答案】 110【解析】 ()()()1fx fx ==，()()()2fx f fx ==⎡⎤⎣⎦……()()99fx =．故()()991110f=．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在A B C ∆中，45B A C ∠=︒，A B 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线A C 的距离sin 45dA M =︒，由直线A C 与圆M 相交，得2d ≤解得36a ≤≤．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y xy x⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212tt -++【解析】 由题意知()f t S =阴影部分面积A OB OCD BE FS S S ∆∆∆=--()22111122t t =---212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++ 对一切正整数n 都成立的最小正整数a的值为 ．【答案】 2009 【解析】 设()1111221fn n n n =++++++ ．显然()fn 单调递减，则由()fn 的最大值()1120073f a <-，可得2009a=．5． 椭圆22221x y ab+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OPOQ⊥，则乘积O PO Q⋅的最小值为 ．【答案】22222a ba b+【解析】 设()c o s s in P O P O P θθ，，ππc o s s in22Q O Q O Q θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有222221c o s s in abO P θθ=+① 222221s in c o s abO Qθθ=+②①+②得22221111abO PO Q+=+．于是当O PO Q ==时，O PO Q达到最小值22222a ba b+．6． 若方程()lg 2lg 1k x x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ．【答案】 0k<或4k= 【解析】 ()20101k x x k x x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx >① 10x +>② ()2210x k x +-+= ③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-±⎣④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k<时，由③得12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为负根． 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ． (ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112k x =-=．(ⅲ)当4k>时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k<或4k=为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n nn n n a a a a-----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯()212n n -=+故981001012a =⨯．8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．【答案】 27 【解析】 旅候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l ykx m=+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612xy+=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412xy-=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0A CB D +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】 由2211612y k x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkm x m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834km x x k+=-+()()()222184344480km km∆=-+->① ………………………………………………4分由221412y k x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkm x m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223km x x k+=-()()()2222243120km km∆=-+-+>② ………………………………………………8分 因为A CB D +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km km kk-=+-．所以20km =或2241343k k-=+-．由上式解得0k=或0m=．当0k=时，由①和②得m -<因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当m =，由①和②得k <<k 是整数，所以1k=-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q≠是实数，方程20x p x q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p=，22a p q=-，()1234n n n a p a q a n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p=，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又pαβ+=，所以()1212n n n n n a p x q x a a αβαβ------=+-，()345n=，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-令1nn nb a a β+=-，则()112n n b b n α+== ，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列． 数列{}n b 的首项为：()()222121b a a pq p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n=，，．所以11n n n a a βα++=+()12n=，，．①当240p q ∆=-=时，αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n=，，变为11n n n a a αα++=+()12n=，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n = ，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1nn a n α=+；……………………………………………………………………………5分 ②当240p q ∆=->时，αβ≠，11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n=，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n=，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n na αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn nn a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n nn n s -+=+++++ 234112341222222n n nn s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n nn s +=-．……………………………………………………………………………15分 方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又pαβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β．①当0αβ=≠时，通项()()1212nna A A n nα=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得121A A ==．故()1nn a n α=+．……………………………………………………5分②当αβ≠时，通项()1212nnn a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数y =的最大和最小值．【解析】 函数的定义域为[]013，.因为y =≥ =当0x =时等号成立．故y的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得22y=()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x=．故当9x=时等号成立．因此y的最大值为11． (15)分2009年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形A B C ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧 B C 、 A C 的中点．过点C 作P C M N ∥交圆Γ于P 点，I 为A B C ∆的内心，连接P I 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：M P M T N P N T ⋅=⋅；⑵在弧 A B （不含点C ）上任取一点Q （Q A≠，T ，B ），记A Q C ∆，Q C B △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连N I ，M I ．由于P C M N ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故P C M N 是等腰梯形．因此N P M C =，P M N C =．ABCMNPTI连A M ，C I ，则A M 与C I 交于I ，因为M IC M A C A C I M C B B C I M C I∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以M CM I=．同理N C N I=．于是N P M I=，P M N I =．故四边形M P N I 为平行四边形．因此P M TP N TS S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180T N PP M T ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2P M T S P M M T P M T=⋅∠△1s i n 2P N TS P N N T P NT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是P M M T P N N T⋅=⋅．⑵因为1111N C I N C A A C I N Q C Q C I C I N∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1N CN I =，同理2M C M I =．由M P M T N P N T⋅=⋅得N T M T M PN P=．由⑴所证M PN C=，N PM C=，故12N T M T N I M I =．又因12I N T Q N T Q M T I M T∠=∠=∠=∠，有12I N T I M T∆∆∽． 故12N T I M T I ∠=∠，从而1212I Q I N Q M N T M I T I ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 10． 求证不等式：2111ln 12nk k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，…【解析】 证明：首先证明一个不等式：⑴ln (1)1x x xx<+<+，0x>．事实上，令()ln (1)h x x x =-+，()ln (1)1x g x x x =+-+．则对0x>，1()101h x x'=->+，2211()1(1)(1)x g x xx x '=-=>+++．于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．令21ln 1nnk k x nk==-+∑，则112x =，121ln 111n n nx x nn -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln (1))(ln (1)ln (2))(ln 2ln 1)ln 1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+⎪⎝⎭∑ ．从而12111ln 11nn n k k k x kk -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k k kk -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k kk-==-+∑111(1)n k k k-=-+∑≥111n=-+>-．11． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k≥，使得C k m 与l 互素．【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)mk t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k ml =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏1[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡．及|!p k α，且1!pk α+Œ，知|!C kmpk α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)mk t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k ml =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o d k p ≡．即p 不整除上式，故C kmp Œ．若|!pk ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)pk α+．故由11!C ()k km i k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C kmp k α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．12． 在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x xx x x x xxx P xx x x xxxx x x xxxx x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x xx x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k kkx x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得 ⑶{}123m in ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．【解析】 （ⅰ）假设最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k=，则存在某个{}123i ∈，，使得02iix u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112m in x x ，，{}2122m in x x ，，{}3132m in x x ， 中至少有两个值取在同一列．不妨设{}212222m in x x x =，，{}313232m in x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x xx x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M = ，，，，令集合{}{}12|m in 13ik i i I k Mx x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈．故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22m a x |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3．下面证明33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ． 从上面的选法可知{}{}*1212:m in m in i i i i i ik u x x xxx '==，，，，(13)i =，．这说明{}*111211m in k xx x u >，≥，{}*313233m in kx x x u >，≥． 又由S满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k xu ≤，于是{}**2212222m in k k u x x x x'==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i iku x '≥．假若不然，则{}12m in ik i i x x x >，，1i =，3且*22kk x x>．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表111212122231323k kkx x x S x x x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，，⑷{}221222322m in u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x x x ==，，3231x x<．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有 {}11112111m in k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233m in k k u x x x x ==，，，或者 {}2212222()m in k kb u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表 S具有性质()O ，则{}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸ {}22122222m in k u x x x x ==，，，{}3313233m i n kku x x xx==，，． 由数表S 满足性质()O ，则对于3M∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*iik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知， *1111kx x u >=， *3323kx x u >=．于是只能有*222kk xu x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222kk x u x '=≤．从而*k k=．。

2009年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）1． 如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =．ABCMNPTI连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为 MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理 NC NI =．于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）． 又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1s i n 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是PM MT PN NT ⋅=⋅．⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=． 由⑴所证MP NC =，NP MC =，故 12NT MTNI MI =． 又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 2． 求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 【解析】 证明：首先证明一个不等式： ⑴ln(1)1x x x x<+<+，0x >． 事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1xg x x x=+-+． 则对0x >，1()101h x x '=->+，2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++． 于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得 ⑵111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =， 121ln 111n n n x x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭ 211n n n<-+210(1)n n=-<+ 因此1112n n x x x -<<<=． 又因为111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑．从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k k k k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑ 1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n=-+>-．3． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ． 若!p k Œ，则由 1!C ()kkmi k m k i ==-+∏1[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!m o d k p α+≡．及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ． 若!p k Œ，则由 1!C ()kkmi k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o d k p ≡．即p 不整除上式，故C k m p Œ．若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)p k α+．故由11!C ()k kmi k m k i -==-+∏21[((!)]k i i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ． 4． 在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，， 使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列． （ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．【解析】 （ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ， 中至少有两个值取在同一列．不妨设 {}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M =，，，，令集合{}{}12|min 13ik i i I k M x x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈．故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22max |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3． 下面证明33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，．这说明 {}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是{}**2212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，， ⑷{}221222322min u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x xx ==，，3231x x <．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有{}11112111min k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233min k k u x x x x ==，，，或者{}2212222()min k k b u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表S 具有性质()O ，则 {}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸{}22122222min k u x x x x ==，，， {}3313233m i n k k u x x x x ==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知，*1111k x x u >=，*3323k x x u >=．于是只能有*222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤．从而*k k =．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

2009年全国高中数学联赛山东赛区预赛试 题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题6分）1．若集合()12|log 11M x x 禳镲镲=->-睚镲镲铪，{}|124x N x =<<，则M N ?（ ）.（A ）{}|13x x << （B ）{}|12x x <<（C ）{}|03x x <<（D ）{}|02x x <<2．函数()()212log 23f x x x =--+的递增区间是（ ）.（A ）()3,1-- （B ）[)1,1- （C ）(]3,1-- （D ）()1,1-3．若对任意的x ÎR ，函数()f x 满足()()20092008f x f x +=-+，且()20092009f ，=-则()1f -=（ ）.（A ）1（B ）－1（C ）2009（D ）－20094．在△ABC 中，)cos cos 4cos cos B B C C B C --=，且4AB AC +=，则BC 的取值范围为（ ）.（A ）（2，4） （B ）（2，4]（C ）[2，4）（D ）[2，4]5．对任意的x ÎR ，[x ]表示不大于x 的最大整数，则满足2[|1|]10x -=的x 的集合是（ ）.（A ）(-- （B ）（C ）(--（D ）[--6．已知两个一元二次方程：20;ax bx c ++= 20,ux vx w ++=都有实根，这里.a u ¹若交换这两个方程的二次项系数，则0wc >是系数交换之后所得两个二次方程中至少有一个有实根的（ ）.（A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件（C ）充分且必要条件 （D ）既不充分又不必要条件7．已知||,||a b 都是整数，且满足()()||||||3||105++=a b a b ，()()333++=a b a b ,则a 和b 的夹角为（ ）. （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°8．在复平面上，复数z 1对应的点互连结1和i 两点的线段上运动，复数z 2对应的点在以原点为圆心，半径等于1的圆上运动，则复数z 1+ z 2对应的点所在区域的面积为（ ）.（A ）4p +（B ）p（C ）p（D ）312p + 9．以四面体的顶点和各棱中点为顶点的空间四边形有（ ）. （A ）141个 （B ）144个 （C ）423个 （D ）432个10．在正三棱锥P ABC -中，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切. 如果半球的半径等于1，则正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于 （ ）.（A （B （C （D ）二、填空题：（每小题6分，共24分）11．若直线223sin cos 30x y αα+-=与双曲线221x y -=仅有一个公共点，则该公共点的坐标为 .12．对任意的0x >,总有()lg f x a x x =--≤0,则a 的取值范围是 .13．已知数列{}n a 满足：*111,1),n n a a a n +==+∈N 则数列的通项n a = . 14．随机地投掷4颗骰子，则其中有两颗骰子所示数字之和为9的概率为 . 三、解答题（本大题共5小题，共66分）15. 如图，平面m ∥平面n ，线段AD 分别交m 和n 于点B 和 点C ，过点A 的另一直线分别交m 和n 于点M 和点P ，过点D 的 另一直线分别交m 和n 于点N 和点Q .已知ΔΔ32BMN CPQ S S =,求ADCD 的最小值.16.（12分）对任一正整数k ,1≤k ≤9,是否存在相应的二次函数(),k f x 使得对任意的正整数p ，有2()k p p f kk k kk k =个个……(例如,33,2,33,(33)3333k p kk f ====).若存在,请给出证明及相应二次函数()k f x 的表达式;若不存在,请给出理由.17. （12分）已知椭圆T :22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线S :22221(0,)x y m n m n-=>>0具有相同的焦点F (2,0).设双曲线S 经过第一象限的渐近线为l ，若焦点F 和椭圆T 的上方的顶点B 关于直线l 的对称点都在双曲线S 上，求椭圆T 和双曲线S 的方程.18. （15分）在一圆周上有k 个数，k ≥3.若其中任意三个相邻之数,依顺时针方向分别设为,,a b c ,恒有b a c αβ=+,这里1αβαβ+=≥0,≥0,.证明这k 个数必互相相等. 19. （15分）证明:定义在R 上的奇函数()f x 能表示为一个周期函数与一个线性函数之和的充分必要条件是()f x 的图象有异于点(0,0)的对称中心(,)a b .注:线性函数是指形如,y kx h =+k 和h 可为任意实数的函数.解 答1. ()12log 11x Mx 污->- 110,13;1122x x x -ì->ïïïï?<í骣÷çï-<=÷çï÷çï桫ïî124x x N污<<0 2.x ?<所以{}|12.M Nx x ?<< 故选B.2．解法1：由2230x x --+>，得3 1.x -<<抛物线223y x x =--+的顶点坐标为 （-1，4）.所以函数223y x x =--+在[)1,1-上递减，又112<，从而知函数()()212log 23f x x x =--+的递增区间为[)1,1-.解法2：由2230x x --+>，得3 1.x -<<()()()122(1)log 013x f x e x x ≥-+¢=-+得10x ≥+，即1x ≥-.所以函数()()212log 23f x x x =--+的递增区间为[)1,1-.故选B.3． ()()()20092008(1)2009f x f x f x +=-+=--+()()120082007f x f x ，=-+=+所以()f x 是以2为周期的周期函数，从而有()()()120092100520092009.f f f -=-?=-故选D.4．解法1：由已知3sin sin cos sin cos cos 4cos cos ,B C B C B C B C B C --+=)()sin cos cos sin 3cos cos sin sin ,B C B C B C A C +=--()()3cos ,B C B C +=-+()tan B C +=-因为0B C p <+<，所以23B C p +=,()3A B C p p =-+=.由4AB AC +=，得4AB AC =-.2222cos BC AB AC AB AC A =+-()()2244AC AC AC AC =-+-- 231216AC AC =-+()2324AC =-+ 4≥.当且仅当2AC =时，上式取等号，所以2BC ≥.又 4.BC AB AC <+=所以BC 的取值范围为[2，4）. 故选C.解法2：由已知)114,B C --=3tan tan 14B C B C --+=)()tan tan 3tan tan 1B C B C +=-()tan tan tan 1tan tan B CB C B C++==--以下同解法1.5．由对[x ]的规定知[][] 1.x x x ≤<+所以有210111.x ≤-< 当21x ≤时，有1011,x 2≤1-<无解.当21x >时，有10111,x 2≤-<即21112,x ≤<||x <x <x ≤--故选C.6．原来两个二次方程的判别式分别为214;b ac D =- 224.v uw D =- 二次项系数交换后两个方程的判别式分别为214;b uc D ¢=- 224.v aw D ¢=- ()()()()112216.wc u a a u D D D D ⅱ--=--若0wc >，则()()11220,D D D D ⅱ--<所以，或有110,≥D D ¢>或有220,≥D D ¢>即二次项系数交换后两个方程中至少有一个方程有实根，所以条件“0wc >”是充分的.条件不必要，事实上，若0wc =，二次项系数交换后两个方程中至少有一个有0x =的实根. 故选A.7．解法1：令||||m +=a b ，则()|2||105m m +=b ，由||10m ≤<b ,得105||,22mm m =-<b 解得 6.m >又105357,=创所以7,m =从而有10549||4,14-==b ||74 3.=-=a ()()2222++3=||+3||+4=||+3||+4||cos =33a 创a b a b a b a b a b a |b |. 这里a 为a 与b 的夹角，从而有()2211cos 33||3||4||||2α=--=-a b a b . 又0180,α≤? 所以120.α=解法2：令||||m +=a b ,||3||,n +=a b 则3.m n m <<而1051105335521715,=???只有71537.<< 所以||||7,15||3||.ì+=ïïíï=+ïîa b a b 解得||3,|| 4.ì=ïïíï=ïîa b 下同解法1. 故选C. 8．由已知可得()11z t t i =+-()01.t ≤≤2cos sin ,z i q q =+得()12cos 1sin .z z t t i q q +=++-+设12.z z x yi +=+则cos ,1sin .x t y t q q ì=+ïïíï=-+ïî消去q ，得22()[(1)]1x t y t -+--=.即12z z +对应的点以(),1t t -为圆心半径等于1的圆上，而因为()01.t ≤≤故12z z +对应点所在区域为图中阴影部分.其面积为22.2pp ?故选B. 9．解法1：四面体有4个顶点，6条棱，每条棱有1个中点，共有10个点，从其中任取4个不共面的点有以下几种情况：①这4个点都是顶点的取法只有1种；②这4个点中有3个顶点的取法共有4×3=12种； ③这4个点中有2个顶点的取法共有()256248C ?=种； ④这4个点中有1个顶点的取法共有()384368C ?=种；⑤这4个点中没有顶点的取法共有46312C -=种.综上所述，从这10个点中取4个不共面的点的取法共有1+12+48+68+12=141种.每不共面的4个点可以构成3个不同的空间四边形，则以这10个点为顶点的空间四边形共有141×3=423个.解法2：从这10个点中任取4个，共有410210C =种取法，其中取出的4个点共面的情况共有以下3种：①从每个面上的6个点中任取4个点都共面，这样的取法共有46460C =种；②每条棱上的3个点与相对棱的中点共面，这样的取法共有6种； ③去掉1组相对棱后，其余四棱的中点共面，这样的取法共有3种.综上所述，所取4点共面的取法共60+6+3=69种. 所以，所取4点不共面的取法共有210-69=141种，以下同解法1. 故选C.10． 如图，O 是正三棱锥底面中心，也是半球的球心，CD 是正三棱锥底面的高，侧面P AB 与半球相切于点E ，连结OE ，OE PD ^，1OE =，.PO h =设()090PDOαα??? ，则,POEα?1cos h α=.设正三棱锥底面三角形的边长为a ，则1,sin OD a==所以a =正三棱锥的体积为2113cos V α==桫. 下面用两种方法求V 的最小值：方法1：令cos t α=，则22sin 1t α=-，所以V ==)())()2222331331.t t V t t t t --¢==--已知01,t <<此时有0000 1.V t V t V t ⅱ=?<?<>?<所以当t =V92=桫.相应的11cos h t a ===方法2：因2sin cos 0,αa >所以由4222232221sin cos sin sin 2cos 21sin sin 2cos 23=鬃骣++÷ç÷ç÷ç÷桫≤αααααααα 4,27=知20sin cos αα<，所以9.2V =当且仅当22sin 2cos ,αα=即cos α=V 取最小值9.2相应的1cos h α== 故选B.11． 1．当2cos 0α=时，2sin 1α=，直线方程为1x =，代入221x y -=解得直线与双曲线此时惟一交点（1,0）；2．当2cos 0α≠时，设直线方程为(1)3y k x =-+，这里23tan 0k α=-≤.(i)当1k =-时，直线方程为4y x =-，代入221x y -=解得直线与双曲线此时仅有的一个公共点1715(,).188(ii)当1k ≠-时，则由22(1)3,1y k x x y =-+⎧⎨-=⎩可得()22221(26)6100.k xk k x k k -+--+-=2222(26)4(1)(610)2440k k k k k k ∆=----+-=+，由0∆=解得503k =>，不合题意. 综上所述，当直线与双曲线仅有一个公共点时，该公共点的坐标或为(1,0)，或为1715(,).18812．1．当x ≥1时，lg lg x x =，由lg x x +≥1，知a ≤1; 2．当01x <<时，lg lg x x =-，此时，lg ()1.e f x x'=-+由()0,f x '=得lg x e =.当0lg x e <<，有()0f x '>；当l g ,x e >有()0f x '<，所以当01x <<时，lg x e =是()f x 的最大值点.由()(lg )lg lg lg f x f e a e e =-+≤≤0，可得a ≤lg lg lg e e -.综合1,2，由3e >10，3ln10>,知lg lg lg lglg(ln10)lg10 1.lg ee e e e-==⋅<= 所以a 的取值范围为(],lg lglg .e e -∞-13．令n b 则21,4n n b a -=从而有22111144n n nb b b +--=++,即222144(2).n n n n b b b b +=++=+由1b ==0n b >，知12n n b b +=+，即有2(1)n b n =-.从而得2211(1)51)4(1)144n n a b n n ⎡⎤=-=+-+--⎣⎦21(1)(1)1(51).n n n =-+-=+-- 14．4颗骰子的每次投掷所示结果为一基本事件，以X 记全部基本事件的集合.显然有|X |=64，这里|X |表示集合X 所含元素的个数，对于每一个i ,i =1,2,…，6，定义事件i A ：i A ={4颗骰子所示之数中没有i 的所有基本事件}.因9=3+6=4+5，所以每次投掷结果中有两颗骰子所示数字之和为9的事件记为B ，则B=3645.A A A A U U U这里A 表示与A 互斥的事件.363643636||||6(||||||)A A X A A A A A A U U U =-=-+-44446(554)302.=-+-= 同理有45A A U =302，从而得36453645||B A A A A A A A A =+-U U U I U60424580=-=. 所求概率=||580145.||64324B X == 15．由平面m ∥平面n ,知BM ∥CP ,BN ∥CQ ,所以有sin =sin MBN PCQ ∠∠,且BM AB CP AC =,BN BDCQ CD=. 又11=sin ;=sin ,22BMN CPQ S BM BN MBN S CP CQ PCQ ∆∆⋅∠⋅∠ 由32BMN CPQ S S ∆∆=,得32AB BD AC CD ⋅=.令AC AB α=,BD CD β=,则23βα=，且 1.βα>>-11,1BC AC AB AB BC AB AB αα==-=-. ++-1111AD AB BC CD BC BD CDCD CD CD CDαααα==+⋅=+⋅-- 23321(1)1(1)1122(1)αααβαααα-=+-=+-=---31(1)22(1)αα=++- 31[(1)]323(1)αα=-++-≥332⋅3=16．对任意的正整数m ,有12(1010)(101)9m m m m kkk k k --=++=-个……+1 当2m p =时,有2(101)(101)(101)99p p p k kkk k =-=-+2个…p 29[(101)]2(101)99p p k kk =-+⋅-29()2()p p kk k kk k k =+⋅个个……. 所以,对任一正整数k , 1≤k ≤9,存在二次函数29()2k f x x x k=+,使得对任意的正整数p ，2()k p p f kk k kk k =个个…… 17．由已知,22224a b m n -=+=,渐近线l 的方程为ny x m=,经过焦点F 且与直线l 垂直的直线l '的方程为(2)m y x n =--,由(2)n y x m m y x n ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2222222m x m n mny m n ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,又已知224m n +=.所以直线l 和l '相交于点2(,)22m mn.则焦点F 关于直线l 的对称点为2(2,)F m mn '-. . 3分 由已知,点F '在双曲线S 上,所以222222(2)1m m n m n --=.解得2224416,44555m n m ==-=-=.所以双曲线S 的方程为22551416x y -=.椭圆T 的上方的顶点B 的坐标为(0,b ),因为22416,55m n ==,所以渐近线l 的方程为2y x =,经过点B 且与直线l 垂直的直线l ''的方程为12y x b =-+,由2,1.2y x y x b =⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 解得2,54.5x b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即直线l 与直线l ''相交于点24(,)55b b .所以点B 关于直线l 的对称点B'的坐标为43(,)55b b .已知点B'在双曲线S 上，所以22435()5()551416b b -=，解得2221660,4,1111b a b ==+=所以椭圆T 的方程为22111116016x y +=. 18．任取其中一数,记为0a ,其余各数依顺时针方向分别记为121,,,k a a a -…. 对任意的正整数,n k n p k i =⋅+≥, p 是正整数, i 是整数,且01i k -≤≤,令n i a a =,按题意,对任意正整数n ,有11n n n a a a αβ-+=+.若0αβ⋅=,结论显然成立.否则,有11()()n n n n a a a a βα+--=-. 令1n n n b a a +=-,则1n n b b αβ-=.设100a a b a -==,则()n n b a αβ= 当n k =,有110()k k k k a b a a a a a αβ+==-=-=.由此可得0a =或1αβ=. 若0a =,即0,0,1,2n b n ==…,结论显然成立.若有1,αβ=即,0,1,2,n b a n ==…,知数列{}n a 是以0a 为首项,a 为公差的等差数列,则有,00k a a a ka ==+ 即0a =.结论得证.19．点11(,)a b 与点22(,)a b 关于点(,)a b 对称1212,.22a a b b a b ++⇔== 所以，函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称⇔图象上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x ,若有122x x a +=,则12()()2f x f x b +=.充分性显然,0a ≠,否则的话,0b =,矛盾.令()()f x x kx h ϕ=++,则有(2)(2)(2)a x f a x k a x h ϕ+=+-+-2()2()22()2().b f x kx h akf x kx h b ak x b ak ϕ=-----=--+-=+-所以,只要令b k a =,则对任意的x ∈R ,有(2)()a x x ϕϕ+=,即()x ϕ是一个以2a 为周期的周期函数.必要性已知奇函数()()f x x kx h ϕ=++,其中()x ϕ是以T 为周期的周期函数,令T ,T 2,2a a ==则 ()()()f a x a x k a x h ϕ+=++++ [()]()()()()()()()2.T a x k a x hx a k a x hf x a k x a h k a x hf a x ak ϕϕ=--+++=-+++=----+++=--+ 即()()2.f a x f a x ak ++-=T (0).2a =≠ 由此可知()f x 的图象有异于点(0,0)的对称中心(,)a ak .。

2009年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题7分，共56分。

2009*1、函数21)(x x x f +=，且fn n x f f f f x f个)]]([[)()(=，则=)1()99(f◆答案：101★解析：由题意得2)1(1)()(xxx f x f+==，2)2(21)]([)(xx x f f x f+==，······2)99(991)(x x x f +=.故 101)1()99(=f .2009*2、已知直线09:=-+y x L 和圆018822:22=---+y x y x M ，点A 在直线L 上，点C B ,为圆M 上两点，在ABC ∆中，045=∠BAC ，直线AB 过圆心M ，则点A 横坐标的取值范围 为 ◆答案：[]6,3★解析：设A （a ，9-a ），则圆心M 到直线AC 的距离d =AM sin ︒45，由直线AC 与圆M 相交，得 234≤d .解得 63≤≤a .2009*3、在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥x y x y y 20，N 是随t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ，则M 和N 的公共面积是函数=)(t f◆答案：212++-t t ★解析：由题意知阴影部分面积s t f =)( =BEF OCD AOB S S S ∆∆∆--=212++-t t2009*4、若不等式3120071212111<++++++n n n 对一切正整数n 都成立，则最小正整数a 的值为 ◆答案：2009★解析：设121...2111)(++++++=n n n n f .显然)(n f 单调递减.则由)(n f 的最大值312007)1(-<a f ，可得2009=a .2009*5、椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意两点Q P ,，若OQ OP ⊥，则OQ OP ⋅的最小值为◆答案：.22222ba b a + ★解析：设)sin ,cos (θθOP OP P ，)).2sin(),2cos((πθπθ±±OQ OQ Q由Q P 、在椭圆上，有22222sin cos 1b a OP θθ+=（1）， 22222cos sin 1b a OQθθ+=（2） （1）+（2）得.11112222b a OQOP+=+于是当 22222ba b a OQ OP +==时，OQ OP 达到最小值.22222b a b a +2009*6、若关于x 的方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，则实数k 的取值范围为 ◆答案：0<k 或4=k★解析：由题意，方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=>+>2)1(010x kx x kx ，当且仅当 0>kx （1）；01>+x （2）；01)2(2=+-+x k x （3） 对（3）由求根公式得]42[21,221k k k x x -±-= （4）又0042≤⇒≥-=∆k k k 或4≥k)(i 当0<k 时，由（3）得⎩⎨⎧>=<-=+01022121x x k x x ，所以21x x 同为负根。