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导数--根的个数问题题型一：原函数根的个数问题第一步：画岀 “趋势图”，如画岀三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) ；主要看极大值和极小值与 0的关系；第三步：解不等式(组)即可； 例1、已知函数f(x) - x3-(k^x 2, g(x) - kx ，且f(x)在区间(2,)上为增函数. 32 3(1) 求实数k 的取值范围； (2) 若函数f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围.2解：(1 )由题意f (x) x(k 1)x - •- f (x)在区间(2,)上为增函数， ••• f (x) x 2 (k 1)x0在区间(2,)上恒成立(分离变量法)即k 1 x 恒成立，又x2，• k 1 2，故k 1 • k 的取值范围为k 1(2)设 h(x) f(x) g(x) — 坐 ©x2kx -, 3 2 3h(x)x 2 (k 1)x k(x k)(x 1)令 h (x) 0得x k 或x 1由( 1 )知 k 1，①当k 1时, h (x ) (x 1)2 0，h(x)在R 上递增，显然不合题意②当k 1时，h(x)， h (x)随x 的变化情况如下表：k 1由于0，欲使f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程 h(x) 0有三个不同的实根，故需 2k 3 k 2 12k 10，即(k 1)(k 2k 2) 02，解得 k 1 、3623k 2 2k 2 0综上，所求k的取值范围为k 1 再3 1 2例2、已知函数f(x) ax x 2x c2(1 )若x 1是f (x)的极值点且f (x)的图像过原点，求f (x)的极值；1 2(2)若g(x) bx x d，在(1 )的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数2像恒有含x 1的三个不同交点？若存在，求岀实数b的取值范围；否则说明理由。
导数的综合应用（方程的根的问题）
锦囊妙计：1、方程的根就是函数的零点，也就是函数图象与x 轴的交点的横坐标，因 此研究方程的根的问题，可以转化为函数的零点问题，通过研究函数的图象加以解决。
2、在讨论函数的大致图像时，利用导数，得到函数的单调性；以及极值和最值的情况，然后讨论交点的情况，从而得到方程根的情况。
1、设函数b x x x x f +-+-
=3
43431)(23，关于x 的方程)(x f =0在区间1[，]3上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围
2、已知函数23)(23+-=x x x f ，关于x 的方程)(x f =c 在区间1[，]3上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围
3、设a 为实数，函数
a x x x f ++-=3)(3
（1）求)(x f 的极值
（2）是否存在实数a ，使得方程)(x f =0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由
4、设函数56)(3+-=x x x f R x ∈
（1）求函数)(x f 的单调区间和极值
（2）若关于x 的方程)(x f =a 有三个不同的实数根，求实数a 的取值范围
作业：
1、求方程04962
3=-+-x x x 的根的个数。
3.若函数f(x)=x3-x2-x 与直线y=a 有3个不同的公共点，求实数a 的取值范围.
.]2,0[2
5)(,)1ln()(:32的取值范围求实数有两个不等的实数根，在区间的方程若关于已知b b x x f x x x x x f +-=--+=
.2,10762.223）内根的个数在区间（判断方程=+-x x。
第9讲利用导数解决整数解及方程根的个数问题【典例例题】题型一：整数解问题之化为直线与曲线位置关系问题【例1】（2023·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式()()1e 21xa x x ->-（其中1a ≥-），有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．235,43e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．31,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．235,43e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．235,2e 3e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据给定不等式，构造函数(()e 21)x f x x =-和()(1)g x a x =-，作出函数图象，结合图象分析求解作答.【详解】由不等式()()1e 21xa x x ->-（1a ≥-），令(()e 21)x f x x =-，()(1)g x a x =-，(()e 21)x f x x '=+，当12x <-时，()0f x '<，当12x >-时，()0f x '>，即函数()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,)2-+∞上单调递增，()min 12f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭12x <时，恒有()0f x <，函数()(1)g x a x =-，1a ≥-表示恒过定点(1,0)，斜率为a -的直线，在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象和直线(1)y a x =-，如图，因不等式()()1e 21xa x x ->-（1a ≥-）有且只有两个整数解，观察图象知，-1和0是不等式()()g x f x >解集中的两个整数，于是得o −1)>o −1)o −2)≤o −2)，即2>−3e3≤−5e2，解得2352e 3e a -<≤-，所以实数a 的取值范围是235(,]2e 3e--.故选：D 【点睛】关键点睛：涉及不等式整数解的个数问题，构造函数，分析函数的性质并画出图象，数形结合建立不等关系是解题的关键.【例2】（2023·四川·成都七中模拟预测（理））已知不等式e (3)20(1)+--<<x a x x a 恰有2个整数解，则a 的取值范围为（）A ．2324e 3e ≤<a B ．2324e 3e<≤a C ．324e 3≤<a D ．324e 3<≤a 【答案】C 【解析】【分析】首先通过不等式分析，排除3x ≤-的可能性，对于3x >-,将不等式分离参数，得到()23e x x a x +<+，分析排除0a ≤的情况，然后令()()23e x x g x x +=+，利用导数分析其单调性，结合函数的正负值和零点，极值点分析，得到函数的大致图象，然后观察图象分析，将问题要求等价转化为()()01g a g a ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，进而求解.【详解】当3x =-时，e (3)20(1)+--<<x a x x a 即为0320+-<,即10<,不成立；当3x <-时不等式等价于()321111·e e 13e 3e ex x x xx a x x -+⎛⎫>=->> ++⎝⎭,由于1a <，故不成立；当3x >-时，不等式等价于()23e x x a x +<+，若0a ≤，则不等式对于任意的2x >-恒成立，满足不等式的整数有无穷多个，不符合题意；当0a >时，令()()2,(3)3e x x g x x x +=>-+，则()()22553e xx x g x x ++'=-+，在53,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭上()0g x '>，∴()g x 单调递增，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上()0g x '<，∴()g x 单调递减，且在(3,2)--上()0g x <,在()2,-+∞上()0g x >,又∵在x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，∴()g x 在()3,-+∞上的图象如图所示：∵21-<<-，∴当3x >-时，不等式等价于()23e x x a x +<+有两个整数解，这两个整数解必然是1-和0，充分必要条件是()()01g ag a ⎧>⎪⎨≤⎪⎩,即2334ea a⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,∴324e 3≤<a ，故选：C 【点睛】分类讨论是解决这类问题的重要方法，利用导数研究单调性后要结合函数的零点和极值，极限值进行分析，然后利用数形结合思想找到题设要求的充分必要条件，是问题解决的关键步骤.【例3】（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知函数()()1ln f x kx x x =+-，若()0≤f x 有且只有两个整数解，则k 的取值范围是（）A ．ln 5ln 2,3010⎛⎤⎥⎝⎦B ．ln 5ln 2,3010⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 2ln 3,1012⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．ln 2ln 3,1012⎛⎫⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】将问题化为ln (1)x k x x+≤有且只有两个整数解，利用导数研究ln ()xg x x =的性质，并画出()g x 与(1)y k x =+的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求k 的范围.【详解】由题设，()f x 定义域为(0,)+∞，则()0≤f x 可得ln (1)xk x x+≤，令ln ()x g x x=，则21ln ()xg x x -'=，所以0e x <<时()0g x '>，即()g x 递增，值域为(1,)e-∞；e x >时()0g x '<，即()g x 递减，值域为1(0,)e；而(1)y k x =+恒过(1,0)-，函数图象如下：要使ln (1)xk x x+≤有且只有两个整数解，则(1)y k x =+与()g x 必有两个交点，若交点的横坐标为12x x <，则121234x x <≤<≤<，所以ln 232ln 343ln 454k k k ⎧≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎪⎩，即ln 2ln 31012k <≤.故选：C 【点睛】关键点点睛：首先转化为ln (1)xk x x+≤有且只有两个整数解，导数研究函数性质，再应用数形结合法判断ln ()xg x x=、(1)y k x =+交点横坐标范围，即可求参数范围.【题型专练】1.（2022·福建·莆田二中高二期中）设函数()e x f x x ax a =-+，其中1a >，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（）A ．(21,2e ⎤⎦B ．33e 1,2⎛⎤⎝⎦C ．343e 4e ,23⎛⎤⎥⎝⎦D ．323e 2e ,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，构造函数()e ,()x g x x h x ax a ==-，将问题转化为存在唯一的整数0x 使得00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，再借助导数探讨求解作答.【详解】令()e ,()x g x x h x ax a ==-，1a >，显然直线()h x ax a =-恒过点(1,0)A ，则“存在唯一的整数0x ，使得()00f x <”等价于“存在唯一的整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方”，(1())e x x g x +'=，当1x <-时，()0g x '<，当1x >-时，()0g x '>，即()g x 在(,1)-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，则当1x =-时，min 1()(1)e g x g =-=-，当0x ≤时，1()[,0]eg x ∈-，而()(0)1h x h a ≤=-<-，即当0x ≤时，不存在整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，当0x >时，过点(1,0)A 作函数()e x g x x =图象的切线，设切点为(,e ),0t P t t t >，则切线方程为：e (1)e ()t t y t t x t -=+-，而切线过点(1,0)A ，即有e (1)e (1)t t t t t -=+-，整理得：210t t --=，而0t >，解得1(1,2)2t =，因(1)e 0(1)g h =>=，又存在唯一整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点(2,(2))g 在直线()h x ax a =-下方，因此有23(2)(2)2e (3)(3)3e 2g h a g h a <⎧<⎧⇔⎨⎨≥≥⎩⎩，解得323e 2e 2a <≤，所以a 的取值范围是323e(2e ,]2.故选：D 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f (x )的切线问题，先设出切点坐标00(,)x y ，求导并求出切线方程000()()y y f x x x '-=-，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.2.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（）A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】将()0f x <转化为2(2)ex x a x +<，再分别求导分析2()e x x g x =和()(2)h x a x =+的图象，再分别求得()()1,1g ，()()2,2g ，()()3,3g 到()20-，的斜率，分析临界情况即可【详解】由()0f x <且0x >，得2(2)exx a x +<，设2()e x x g x =，()(2)h x a x =+，22()e xx x g x '-=，已知函数()g x 在（0，2）上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，函数()(2)h x a x =+的图象过点(2,0)-，(1)11(2)3e g =--，2(2)12(2)e g =--，3(3)93(2)5eg =--，结合图象，因为329115e 3e e <<，所以3915e 3ea ≤<．。
