用导数求切线方程的四种类型84657

用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程是导数的重要应用之一。

求曲线的切线方程的关键在于求出切点P(x,y)及斜率。

设P(x,y)是曲线y=f(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：y-y=f'(x)(x-x)。

若曲线y=f(x)在点P(x,f(x))的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x=x。

下面例析四种常见的类型及解法。

类型一：已知切点，求曲线的切线方程这类题较为简单，只需求出曲线的导数f'(x)，并代入点斜式方程即可。

例如，曲线y=x^3-3x^2+1在点(1,-1)处的切线方程为y-(-1)=-3(x-1)，即y=-3x+2.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程这类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决。

例如，与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x^2的切线方程为2x-y-1=0.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法。

例如，求过曲线y=x^3-2x上的点(1,-1)的切线方程。

设想P(x,y)为切点，则切线的斜率为y'|(x=x)=3x^2-2.故所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1)，或5x+4y-1=0.类型四：已知两曲线的交点，求切线方程这类题一般需先求出两曲线在交点处的导数，再代入点斜式方程加以解决。

例如，已知曲线y=x^3-x和y=2x-x^2的交点为(1,0)，求它们在该点的切线方程。

两曲线在交点处的导数分别为1和-1.故所求切线方程为y-(0)=1(x-1)，或y-(0)=-1(x-1)，即y=x-1或y=-x+1.类型四：已知过曲线外一点，求切线方程对于这类问题，我们可以先设定切点，再求解切点，使用待定切点法来解决。

例4：求过点(2,0)且与曲线$y=x/(1+x^2)$相切的直线方程。

解：设P(x,y)为切点，则切线的斜率为$y'=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$。

导数求切线方程的步骤求切线方程的步骤如下：第一步：求导数首先，我们需要求出给定函数的导数。

导数表示了函数在给定点上的斜率，也就是该点函数曲线的切线斜率。

求导数的过程根据函数的不同而有所差异，下面将以几种不同类型的函数为例进行解释。

1.1.常数函数:常数函数的导数为零，因为它的斜率在任何点都是零。

例如，函数f(x)=3的导数为f'(x)=0。

1.2.幂函数:幂函数的导数可以使用幂函数规则求导得到。

幂函数的一般形式是f(x)=x^n，其中n是一个实数。

根据幂函数的规则，导数f'(x)=n*x^(n-1)。

例如，对于函数f(x)=x^2，它的导数为f'(x)=2*x^(2-1)=2x。

1.3.指数函数:指数函数的导数可以使用指数函数规则求导得到。

指数函数的一般形式是f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a≠1、根据指数函数的规则，导数f'(x) = ln(a)*a^x。

例如，对于函数f(x) = e^x，它的导数为f'(x) = ln(e)*e^x = e^x。

1.4.对数函数:对数函数的导数可以使用对数函数规则求导得到。

对数函数的一般形式是f(x) = loga(x)，其中a是一个正实数且a≠1、根据对数函数的规则，导数f'(x) = 1/(x*ln(a))。

例如，对于函数f(x) = log3(x)，它的导数为f'(x) = 1/(x*ln(3))。

第二步：确定切点切线是曲线上其中一点上的切线，因此我们需要确定曲线上的切点。

根据题目给出的条件，我们可以确定切点的横纵坐标。

第三步：计算斜率在给定点上，切线的斜率等于该点的导数值。

所以我们将给定点的横坐标代入到导数函数中，得到该点的导数值。

第四步：确定切线方程切线方程的一般形式是y = mx + b，其中m为切线的斜率，b为切线在横轴上的截距。

在给定点上，我们已经确定了斜率m，并且通过给定点的坐标，可以将x和y代入切线方程。

用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y --=Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--． 解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程． 解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|． ∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。

导数应用（一）——导数求切线的四种类型授课教师：王岩宇考考你：1.已知f(x)=x2，求曲线在x=2处的切线的斜率2.函数3f x x x=-，[0,1]()34x∈的最大值是…………………………………………【】C.0D.-1A.1B.123.曲线y=x3在点P处切线斜率为k,当k=3时,P点的坐标为_________4. 已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，则函数)(x f 的表达式为 __ __新课（一）用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=- ．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．（常见于选择、填空）例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ）Ａ．34y x =-Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-变式训练：曲线y =x 3在点(1，1)处的切线与x 轴、直线x =2所围成的三角形的面积为__________．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．（以选择填空为主要出题类型）例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=变式训练：过曲线13-+=x x y 上一点P 的切线与直线74-=x y 平行，则P 点的坐标为 ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程。

用导数求切线方程的四种类型在微积分中，切线是曲线上某一点的切线。

通过使用导数，我们可以求解给定曲线上某一点的切线方程。

在本文中，我们将探讨四种使用导数求解切线方程的常见类型。

1. 曲线方程已知的情况首先，我们考虑的是当曲线方程已知时求解切线方程的情况。

假设我们有一个曲线y=f(x)，其中f(x)是一个可导函数。

要求解曲线上某一点(x1,y1)处的切线方程，我们可以执行以下步骤：1.计算函数f(x)在点(x1,y1)处的导数f′(x1)。

2.使用点斜式或一般式等方程形式得到切线方程。

点斜式切线方程的一般形式为y−y1=m(x−x1)，其中m是斜率。

一般式切线方程的一般形式为ax+by=c，其中a,b,c是常数。

2. 给定两个点的情况其次，我们考虑的是当曲线上两个点已知时求解切线方程的情况。

与上一种情况不同，我们不知道曲线的具体方程，但我们已知曲线上的两个点(x1,y1)和(x2,y2)。

为了求解这种情况下的切线方程，我们可以按照以下步骤进行：1.使用点斜式求解斜率。

2.写出点斜式的一般方程形式y−y1=m(x−x1)。

3.将另一个点(x2,y2)替代初始点(x1,y1)。

4.解方程得出切线方程。

3. 已知切线方程的情况接下来，我们讨论已知切线方程的情况。

假设我们已经知道了曲线上某一点处的切线方程，我们的目标是求解曲线方程。

我们可以按照以下步骤进行操作：1.确定切线方程的斜率m。

2.使用导数的定义f′(x)=m来设置方程。

3.解方程以获得曲线方程。

4. 求解切线与坐标轴的交点最后，我们研究切线与坐标轴相交的情况。

为了求解切线与x轴和y轴的交点，我们可以按照以下步骤进行：1.求解切线与x轴的交点：将y值设为0，然后解方程得到x坐标的值。

2.求解切线与y轴的交点：将x值设为0，然后解方程得到y坐标的值。

通过上述四种类型的方法，我们可以使用导数来求解切线方程。

这些方法在解决微积分问题以及实际问题中的应用非常广泛。

用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =-Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．。

利用导数的几何意义求切线方程切线是曲线上的一条直线，与曲线相切于其中一点，并且在该点处与曲线有相同的斜率。

利用导数的几何意义来求切线方程是一种常用的方法。

为了更好地理解这个过程，我将按照以下步骤进行解释。

首先，让我们从一元函数的导数开始，然后再扩展到二元函数的情况。

对于一元函数f(x)，假设我们有一个点P(x,f(x))。

我们希望找到曲线f(x)与点P处的切线方程。

步骤1：计算导数首先，我们需要计算函数f(x)的导数。

函数的导数描述了函数在其中一点的变化率，也可以理解为函数曲线在该点的切线的斜率。

因此，导数f'(x)可以告诉我们曲线在点P处的斜率。

步骤2：确定切线的斜率由于切线与曲线在点P处有相同的斜率，我们可以使用f(x)的导数f'(x)来找到切线的斜率。

步骤3：利用点斜式写出切线方程我们已经得到了切线的斜率，接下来我们需要确定切线通过点P(x,f(x))。

我们可以使用点斜式，也就是y-y1=m(x-x1)，其中m是切线的斜率，(x1,y1)是切线通过的点。

将点P代入点斜式方程，我们可以得到切线方程的一般形式。

步骤4：化简切线方程最后，我们需要对切线方程进行化简，以得到更简洁的形式。

根据具体的函数形式和需求，我们可以将切线方程进行进一步的简化。

以上是一元函数的情况，下面我们将拓展到二元函数的情况。

对于二元函数z=f(x,y)，我们希望找到曲面与其中一点P(x,y,f(x,y))处的切平面方程。

步骤1：计算偏导数首先，我们需要计算函数f(x,y)在其中一点P的偏导数。

偏导数告诉我们函数值变化的快慢和方向。

在其中一点P处，偏导数可以提供切平面的法向量方向。

步骤2：确定切平面的法向量由于切平面的法向量与曲面在点P处的法向量相同，我们可以使用偏导数来确定切平面的法向量。

步骤3：利用点法式写出切平面方程我们已经得到了切平面的法向量，接下来我们需要确定切平面通过点P(x,y,f(x,y))。

导数法求曲线切线方程的三种题型本文将介绍导数法求解曲线切线方程的三种常见题型。

导数法是解决曲线切线问题的一种常用方法，能够快速而准确地求得曲线上某点的切线方程。

1. 已知函数解析式的题型对于已知函数解析式的题型，我们可以通过求导来获得函数的导函数，然后根据导数的定义来求得切线的斜率。

切线的斜率可以通过导数函数在给定点处的值得到。

最后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。

以 y=f(x) 为例，求曲线在点 (a, f(a)) 处的切线方程。

具体步骤如下：1. 求函数 f(x) 的导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a)，得到切线的斜率 k；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 k 带入，得到切线方程。

2. 已知曲线上点和斜率的题型对于已知曲线上某点和斜率的题型，我们可以通过求导函数来得到切线的斜率。

切线的斜率等于导函数在给定点处的值。

然后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。

以曲线上的点 (a, f(a)) 和切线斜率 m 为例，求曲线在该点处的切线方程。

具体步骤如下：1. 求导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a) 的值，得到切线的斜率；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 m 带入，得到切线方程。

3. 已知两个切线相交的题型对于已知两个切线相交的题型，我们可以通过求解方程组来求得两切线的交点坐标。

首先，我们需要利用已知切线的斜率和点来得到切线的方程。

然后，将两个切线方程联立，解方程组可以得到切线的交点坐标。

以已知切线1方程和切线2方程的斜率和交点为例，求两切线的交点坐标。

具体步骤如下：1. 求切线1和切线2的方程；2. 联立两切线方程，形成方程组；3. 解方程组，得到切线的交点坐标。

使用导数法求解曲线切线方程的三种题型，能够帮助我们准确而高效地求得曲线上某点的切线方程。

这些方法在数学和物理等领域都有广泛的应用，是解决相关问题的重要工具。