用导数求切线方程的四种类型(精品)

利用导数的几何意义求切线方程江南中教研组曲线y f x =()在点x 0的导数)( 0x f '就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题。

对于利用导数的几何意义求切线方程我们要把握三个等量关系：1． 曲线y f x =()在点x 0的导数)( 0x f '就是曲线在该点的切线的斜率，有)(0x f k '=；2．切点在曲线y f x =()上，有)(00x f y = 3． 切点在切线上，有切线方程)(00x x k y y -=-最基础的题型就是已知切点求斜率、切线方程。

例一：曲线221y x =+在x=1的切线方程为 ； 解析：直接利用等量关系得到切点的坐标、切线的斜率；由题意可知，切点的坐标为（1，5）又∵x y 4='，∴切线的斜率为4，∴切线的方程为y －5 = 4(x －1)，即y=4x ＋1。

利用导数的几何意义求切线方程的关键是要理解导数的几何意义，熟悉等量关系。

另有一种题型是先知道切线的斜率，求切点坐标、切线方程。

例二：曲线2y x =的一条切线的斜率是4-，求切线方程。

解析：先设出切点的坐标，再利用等量关系由待定系数法求出切点坐标，进而求切线方程；设切点的坐标为（200,x x ）∵x y 2='，∴切线的斜率为02x ，∴02x = －4，∴20-=x ∴切点的坐标为（－2，4）∴切线的方程为y =－4x －4解这种题型的关键问题就是不能忽视切点在曲线上的这个关系。

再有一种题型求过曲线外一点的切线的方程。

例三：曲线2x y -=的切线过点（0，4）求切线的方程。

解析：同样设切点坐标，充分利用等量关系，由待定系数法求出切点坐标，进而求切线方程；设切点坐标为()00y x P ，，∵x y 2-='则在点P 处的切线方程为：()0002x x x y y --=-∵过点()4,0P ，且200x y -=()002002)(4x x x --=--∴ 20=∴x 或20-=x当20=x 时，切点为)4,2(-，此时切线方程为y=－4x ＋4，当20-=x 时，切点为()4,2--P ，此时切线方程为y=4x ＋4，∴过点（0，4）的切线方程为： y=－4x ＋4， y=4x ＋4。

知识回顾：导数的几何意义：函数/■（%）在X =兀0处的导数/'（观）就是：曲线y = / （兀）在点F（兀。

J （兀。

））处的切线PT的斜率。

即£二/ （兀0），在点尸处的切线方程为y —北=广（兀0）（兀一兀0）四种常见的类型及解法.•类型一：已知切点，求曲线的切线方程•此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可.例1・已经曲线C：歹=兀3—兀+ 2和点A(152)O求曲线C在点A处的切线方程?类型二已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决.例2与直线2—y + 4 = 0 的平行的抛物线y = x2的切线方程是 --------------- 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用A法加以练习：若曲线C上一点P处的切线恰好平行于直线y=11x—1,则P点坐标为(2,8)或(一 2, -伞)切线方程为1 ix— y—14 = +18 = 0类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法.•例3求过曲线yr3-2兀上的点(1, -1)的切线方程.类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法 来求解.练习已知函数y"—3/过点4(0,16)作曲线 『 = /(励切线，求此切线方程.例6.已知曲线C:F 二4y,直线/:兀-y-4 = 0,在曲线C 上 求一点P,使P 到直线/的距离最短，并求出最小值。

例4・求过点(2,0)且与曲线 直线方程. 1y = — 相切的Xr2 1h —罕—41 i(x-2)2 + 34 _ 4(1)解析一：设P(x,务)；〃二72 近当兀=2时，即点P坐标为⑵1)时，〃斷=攀(2)解析二：设与直线/平行的直线r与曲线c相切于尸(兀°,= ^ = l,x0=2.-. P(2,l)血=12~^4'=芈巩固练习：l.y = 3x2— 4x + 2在点JT = 1 处的切线方程是:2x-y-1 = °2 •在曲— x3 + 3x2 + 6x +10的切线斜率最小的切线方程是3x-y + 9 = 03.曲线y = lnjv上的点到直线兀―y + 3 = 0 的最短距离是空迈。

利用导数求三角函数切线方程的三种问题类型导数是微积分中的重要概念，可以用来求解三角函数的切线方程。

在这份文档中，我们将介绍三种利用导数求三角函数切线方程的问题类型。

问题类型一：给定函数和点，求切线方程在这种类型的问题中，我们已知一个三角函数及其定义域上一点的坐标，需要求解该函数在该点处的切线方程。

解决这类问题的关键是求解该点处的导数。

对于三角函数而言，我们可以利用基本导数公式来求解。

例如，对于sin(x)函数，其导数是cos(x)；对于cos(x)函数，其导数是-sin(x)。

一旦我们求得了函数在给定点处的导数，我们可以使用切线方程的一般形式y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)来求解。

其中，f'(x0)表示函数在x0处的导数值，f(x0)表示函数在x0处的函数值。

问题类型二：给定函数和切线斜率，求切点坐标在这种类型的问题中，我们已知一个三角函数及其切线的斜率，需要求解切线与该函数的交点坐标。

解决这类问题的关键是找到切点的x坐标。

我们可以使用导数和斜率的关系来求解。

具体而言，由于导数就是切线的斜率，我们可以将斜率与导数相等来列方程。

然后，通过求解方程，我们可以得到切点的x坐标。

一旦我们获得了切点的x坐标，我们可以将该坐标代入三角函数的方程中，得到切点的y坐标。

问题类型三：给定函数和切点，求切线斜率在这种类型的问题中，我们已知一个三角函数及其切线的切点坐标，需要求解切线的斜率。

解决这类问题的关键是求解切点的导数。

我们可以使用导数的定义来求解。

具体而言，我们可以将切点的坐标代入三角函数的导数公式中，然后求导得到切点的导数。

一旦我们求得了切点的导数，即可得到切线的斜率。

通过掌握这三种问题类型的解决方法，我们可以有效地利用导数来求解三角函数的切线方程。

这有助于我们更好地理解三角函数的性质和导数的应用。

用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程是导数的重要应用之一。

求曲线的切线方程的关键在于求出切点P(x,y)及斜率。

设P(x,y)是曲线y=f(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：y-y=f'(x)(x-x)。

若曲线y=f(x)在点P(x,f(x))的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x=x。

下面例析四种常见的类型及解法。

类型一：已知切点，求曲线的切线方程这类题较为简单，只需求出曲线的导数f'(x)，并代入点斜式方程即可。

例如，曲线y=x^3-3x^2+1在点(1,-1)处的切线方程为y-(-1)=-3(x-1)，即y=-3x+2.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程这类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决。

例如，与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x^2的切线方程为2x-y-1=0.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法。

例如，求过曲线y=x^3-2x上的点(1,-1)的切线方程。

设想P(x,y)为切点，则切线的斜率为y'|(x=x)=3x^2-2.故所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1)，或5x+4y-1=0.类型四：已知两曲线的交点，求切线方程这类题一般需先求出两曲线在交点处的导数，再代入点斜式方程加以解决。

例如，已知曲线y=x^3-x和y=2x-x^2的交点为(1,0)，求它们在该点的切线方程。

两曲线在交点处的导数分别为1和-1.故所求切线方程为y-(0)=1(x-1)，或y-(0)=-1(x-1)，即y=x-1或y=-x+1.类型四：已知过曲线外一点，求切线方程对于这类问题，我们可以先设定切点，再求解切点，使用待定切点法来解决。

例4：求过点(2,0)且与曲线$y=x/(1+x^2)$相切的直线方程。

解：设P(x,y)为切点，则切线的斜率为$y'=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$。

利用导数求切线的方程求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） A ．34y x =-B ．32y x =-+C ．43y x =-+D ．45y x =-类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）A ．230x y -+=B ．230x y --=C ．210x y -+=D ．210x y --=类型三：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例3 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．例4 求过点(00)，且与曲线ln y x =相切的直线方程．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．类型四：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例6 求过曲线321y x x x =--+上的点(1)，0的切线方程．例7 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．。

导数求切线方程的步骤求切线方程的步骤如下：第一步：求导数首先，我们需要求出给定函数的导数。

导数表示了函数在给定点上的斜率，也就是该点函数曲线的切线斜率。

求导数的过程根据函数的不同而有所差异，下面将以几种不同类型的函数为例进行解释。

1.1.常数函数:常数函数的导数为零，因为它的斜率在任何点都是零。

例如，函数f(x)=3的导数为f'(x)=0。

1.2.幂函数:幂函数的导数可以使用幂函数规则求导得到。

幂函数的一般形式是f(x)=x^n，其中n是一个实数。

根据幂函数的规则，导数f'(x)=n*x^(n-1)。

例如，对于函数f(x)=x^2，它的导数为f'(x)=2*x^(2-1)=2x。

1.3.指数函数:指数函数的导数可以使用指数函数规则求导得到。

指数函数的一般形式是f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a≠1、根据指数函数的规则，导数f'(x) = ln(a)*a^x。

例如，对于函数f(x) = e^x，它的导数为f'(x) = ln(e)*e^x = e^x。

1.4.对数函数:对数函数的导数可以使用对数函数规则求导得到。

对数函数的一般形式是f(x) = loga(x)，其中a是一个正实数且a≠1、根据对数函数的规则，导数f'(x) = 1/(x*ln(a))。

例如，对于函数f(x) = log3(x)，它的导数为f'(x) = 1/(x*ln(3))。

第二步：确定切点切线是曲线上其中一点上的切线，因此我们需要确定曲线上的切点。

根据题目给出的条件，我们可以确定切点的横纵坐标。

第三步：计算斜率在给定点上，切线的斜率等于该点的导数值。

所以我们将给定点的横坐标代入到导数函数中，得到该点的导数值。

第四步：确定切线方程切线方程的一般形式是y = mx + b，其中m为切线的斜率，b为切线在横轴上的截距。

在给定点上，我们已经确定了斜率m，并且通过给定点的坐标，可以将x和y代入切线方程。

用导数求切线方程的四种类型在微积分中，切线是曲线上某一点的切线。

通过使用导数，我们可以求解给定曲线上某一点的切线方程。

在本文中，我们将探讨四种使用导数求解切线方程的常见类型。

1. 曲线方程已知的情况首先，我们考虑的是当曲线方程已知时求解切线方程的情况。

假设我们有一个曲线y=f(x)，其中f(x)是一个可导函数。

要求解曲线上某一点(x1,y1)处的切线方程，我们可以执行以下步骤：1.计算函数f(x)在点(x1,y1)处的导数f′(x1)。

2.使用点斜式或一般式等方程形式得到切线方程。

点斜式切线方程的一般形式为y−y1=m(x−x1)，其中m是斜率。

一般式切线方程的一般形式为ax+by=c，其中a,b,c是常数。

2. 给定两个点的情况其次，我们考虑的是当曲线上两个点已知时求解切线方程的情况。

与上一种情况不同，我们不知道曲线的具体方程，但我们已知曲线上的两个点(x1,y1)和(x2,y2)。

为了求解这种情况下的切线方程，我们可以按照以下步骤进行：1.使用点斜式求解斜率。

2.写出点斜式的一般方程形式y−y1=m(x−x1)。

3.将另一个点(x2,y2)替代初始点(x1,y1)。

4.解方程得出切线方程。

3. 已知切线方程的情况接下来，我们讨论已知切线方程的情况。

假设我们已经知道了曲线上某一点处的切线方程，我们的目标是求解曲线方程。

我们可以按照以下步骤进行操作：1.确定切线方程的斜率m。

2.使用导数的定义f′(x)=m来设置方程。

3.解方程以获得曲线方程。

4. 求解切线与坐标轴的交点最后，我们研究切线与坐标轴相交的情况。

为了求解切线与x轴和y轴的交点，我们可以按照以下步骤进行：1.求解切线与x轴的交点：将y值设为0，然后解方程得到x坐标的值。

2.求解切线与y轴的交点：将x值设为0，然后解方程得到y坐标的值。

通过上述四种类型的方法，我们可以使用导数来求解切线方程。

这些方法在解决微积分问题以及实际问题中的应用非常广泛。