大学物理演示动画刚体的运动官

进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
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02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法

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M1
外力在转动平面上对转
轴的力矩使刚体发生转动
F2
j2
F 2
F 1
r2 O r1
P2 d2 d1
P1
F1 力矩 M1 = r1 × F1 j1 大小 M1 = r1 F1 sin j1
= F1 d1 =F 1 r1
方向 MM2 = r2 × F2
M2
大小 M 2 = r2F2 sin j 2
定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ，瞬
时角加速度 ， 刚体中一质点P至转轴的距离为r
瞬时线速度
质点P 瞬时切向加速度 瞬时法向加速度
的大小
2019/10/31
这是定轴转动中线量与角量的基本关系
11
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质点直线运动或刚体平动 位移 速度 加速度
匀速直线运动 匀变速直线运动
刚体的定轴转动 角位移 角速度 角加速度 匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动
2019/10/31
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例1 在高速旋转的微型电动机里，有一 圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的 转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动
后式其中转m速随5时40间r变 s化1，关系为2.：0s ．求m (：1 et / )
(1)t=6 s时电动机的转速．(2)起动后，电动 机在 t=6 s时间内转过的圈数．(3)角加速度 随时间变化的规律．
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长江大学物理科学与技术学院
第四章 刚体的转动
主讲教师：喻秋山
2010～2011年第一学期
4-0 教学基本要求
一 理解描写刚体定轴转动角速度和 角加速度的物理意义，并掌握角量与线量 的关系．

由转动定律：
l 3 mg 1 2 2 3g M 3 1 2 2 J 4l 2 ml 3
B
例2 如图，质量均为m的两物体A和B。A放在倾角 20 为a的光滑斜面上，通过绕在定滑轮上的细绳与B相 连，定滑轮是质量为m 半径为R的圆盘。求绳中张 力T1和T2以及A和B的加速度aA 、aB 。
解 受力 N , mg , 只有mg产生力矩
系统对0轴的力矩：
N
0
A
30
mg mg
L L M o M 0 A M 0 B mg mg sin 600 2 2 1 1 2 系统对O轴的J： J J A J B ml 2 ml 2 ml 2 3 3 3
F F F11
第一项的方向垂直于轴，对轴力矩为零：
10
将第二项的数值定义为力对轴的力矩，即
M轴
r F
方向平行于轴
二、刚体定轴转动定律 dL 由质点的角动量定理： M r F dt 刚体是 N 个质点组成的特殊质点系:
第 i个质点有
对 N 个质点求和
4. 线量与角量关系
ai
dvi d dri ai ri dt dt dt d ri ( ri ) dt dv d at ri ri 切向分量 dt dt v2 2 法向分量 an ri ri
注意：1.转动定律是力矩的瞬时作用规律，与牛顿第二 定律地位相当。 2.式中力矩、角加速度、转动惯量都是相对同一 转轴而言。
5.3 转动惯量的计算
一、转动惯量的定义 由 M 轴外 J 可知
13
在M相同的条件下，J 越大， 越小，转动状态越难改变。

d ctdt

对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件， c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义，则任意 t 时刻的角速度可写为： d t 150

得到： 转子转数：
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法： 加
质点系运动定理 刚体特性 平动：动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度：3个
定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动，称作定点转动。
描述定点转动的自由度：3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量： 角坐标

25
麦克斯韦分布
2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
t 0 2 1 g dt R d 0 0 3 2
1
麦克斯韦分布
所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个 刚体的运动。 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中 都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动， 这一直线就叫做转轴。 3. 刚体的定轴转动 定轴转动： 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运 动，且在相同时间内转过相同的角度。 特点： (1) 角位移，角速度和角加速度均相同；
F
（3） F1 对转轴的力矩为零，
在定轴转动中不予考虑。
转动 平面
r
F2
（4）在转轴方向确定后，力对 转轴的力矩方向可用+、-号表示。
2. 刚体定轴转动定律 对刚体中任一质量元mi
O’
f i -内力
-外力

ω
Fi
ri
mi
fi
i i
Fi
应用牛顿第二定律，可得： O
Lz Li cos mi Ri v i cos mi ri v i
m r
2 i i
10
式中 mi ri2 叫做刚体对 Oz 轴的转动惯量， 用J表示。
麦克斯韦分布
刚体转动惯量：
J mi ri2
刚体绕定轴的角动量表达式：
Lz J
麦克斯韦分布
a m2 m1 g M / r 1 r m2 m1 m r 2 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令 m=0 、 M=0 时，有
2m1m2 T1 T2 g m2 m1

详细描述
牛顿第二定律指出，物体的加速度与作用在物体上的力成正比，与物体的质量成 反比。公式表示为F=ma，其中F表示作用力，m表示物体的质量，a表示物体的 加速度。
牛顿第三定律
总结词
描述力的作用是相互的。
详细描述
牛顿第三定律指出，对于两个相互作用的物体，施加在物体上的力与反作用力大小相等，方向相反，作用在同一 条直线上。这是对力的相互作用的客观描述，适用于任何相互作用力的情况。
CHAPTER
04
动量与角动量
动量
动量定义
动量的矢量性
动量是描述物体运动状态的物理量， 定义为物体的质量与速度的乘积。在 物理学中，常用符号p表示动量，单 位为千克·米/秒（kg·m/s）。
动量是一个矢量，具有方向和大小。 在描述物体的运动状态时，需要明确 动量的方向。
动量守恒定律
在没有外力作用的情况下，封闭系统 中的总动量保持不变。这是动量守恒 定律的表述，是自然界的基本定律之 一。
CHAPTER
03
牛顿运动定律
牛顿第一定律
总结词
描述物体静止和匀速直线运动的规律。
详细描述
牛顿第一定律，也被称为惯性定律，指出如果没有外力作用，物体会保持其静 止状态或匀速直线运动状态不变。这是对物体运动状态的客观描述，不受其他 物体的影响。
牛顿第二定律
总结词
描述物体加速度与作用力之间的线性关系。
势能分类
根据产生的原因，势能可 以分为重力势能、弹性势 能、电势能等。
势能定理
合外力对物体所做的功等 于物体势能的减少量，即 $W = - Delta E_{p}$。
动能定理与机械能守恒定律
动能定理
合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，即$W = Delta E_{k}$。

对于多个物体组成的系统，其转动惯量等于 各个物体转动惯量的矢量和。
转动惯量是惯性大小的量度
转动惯量越大，刚体越不容易改变其转动状 态。
转动惯量的平行轴定理
刚体绕某轴转动时，其转动惯量与通过质心 并与该轴平行的轴的转动惯量相同。
转动惯量的应用
在动力学中的应用
通过计算刚体的转动惯量，可 以求得刚体在力矩作用下的角
转动惯量的定义：描述刚体绕定轴转动惯性大小的物理 量。
转动惯量的单位：kg*m^2。
转动惯量的计算公式：I=∑mr^2，其中m为质量，r为 质点到转轴的距离。
转动惯量的特点：只与刚体的质量和各质点到转轴的距 离有关，与转动角速度和转动的加速度无关。
转动惯量的性质
转动惯量是标量
没有方向，只有大小。
转动惯量具有叠加性
势能的特点
与物体的质量、转动惯量和角速度 有关。
动能与势能的关系
动能与势能可以相互转化，满足能量 守恒定律。
动能与势能的转化关系可以通过动力 学方程式表示，如牛顿第二定律等。
在刚体绕定轴转动过程中，动能和势 能之间可以相互转化，但总能量保持 不变。
CHAPTER
04
刚体绕定轴转动的转动惯量
转动惯量的定义与计算
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用或外力矩的矢量和为零。
角动量守恒定律的应用
天体运动
行星绕太阳的公转、卫星绕地球的轨道运动等都 遵循角动量守恒定律。
陀螺仪
利用角动量守恒定律，陀螺仪可以保持自身的旋 转轴指向一个固定的方向。
机械系统
在机械系统中，通过合理设计，可以利用角动量 守恒定律来优化系统的运动性能。
飞机的飞行控制
飞行员通过操作杆施加力矩，改 变机翼的攻角，实现飞机的升降

约束的类型与特点
● 约束类型：固定约束、滑动约束、柔性约束 ● 约束特点：限制刚体运动方向、限制刚体运动范围、影响刚体运动状态 约束的类型与特点
• 约束的类型与特点 ● 固定约束：限制刚体在某一方向的移动，使刚体在空间保持相对位置不变。 ● 滑动约束：允许刚体在某一方向上移动，但限制其转动。 ● 柔性约束：通过弹性元件限制刚体的运动，具有非线性特性。 约束的类型与特点
自由度与约束的关系
自由度的定义：刚体在空间中的自由程度，由其质心位置和转动轴决定。
约束的类型：固定约束、滑动约束、柔性约束等，对刚体的自由度产生限制。
自由度与约束的关系：刚体受到约束后，其自由度会相应减少，但仍保持其整体运动状态。
实际应用：在机械设计、航空航天等领域，需要合理考虑刚体的自由度与约束关系，以确保 系统的稳定性和性能。
刚体的平面运动 可以分解为平移 和绕某点的转动
平面运动中，刚 体的形状和大小 保持不变
平面运动中，刚 体的重心轨迹是 平面曲线
平面运动的特点
刚体平面运动定义
刚体平面运动分类
刚体平面运动性质
刚体平面运动实例
平面运动的合成与分解
平面运动的定义与分类 平面运动的合成：矢量法与解析法 平面运动的分解：定轴转动与平移 平面运动的应用实例
定轴转动的特点
刚体绕某一轴线 转动
转动轴固定不动
刚体上任意一点 到转动轴的距离 相等
刚体上任意两点 间的连线在转动 过程中保持不变
定轴转动的角速度和角加速度
角速度定义：刚 体绕定轴转动的 角速度是单位时 间内转过的弧度 （或角度）
角加速度定义： 刚体绕定轴转动 的角加速度是单 位时间内转过的 弧度/秒^2（或 角度/秒^2）

刚体性质
刚体是一个理想化的物理模型，实际物体在受到力的作用时， 都或多或少地会变形，但如果变形很小，对研究问题的影响可 以忽略不计时，就可以把这个物体看成刚体。
定轴转动描述
定轴转动
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动，这种运 动叫做刚体的定轴转动。这条直线叫做刚体的转轴。
转动的快慢
用角速度ω来描述刚体转动的快慢，单位时间内转 过的角度θ越大，角速度ω就越大。
转动能定理
刚体定轴转动时，合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增 量。
转动动能的计算
转动动能Ek等于刚体的转动惯量I与角速度ω平方的一半的乘积，即 Ek=1/2Iω²。
应用举例
通过计算合外力矩对刚体所做的功，可以求解刚体在某个过程中的角 速度、角加速度等物理量。
动力学普遍定理在转动中应用
动力学普遍定理
VS
误差分析
分析实验过程中可能产生的误差来源，如 测量误差、仪器误差等，并提出减小误差 的方法。
实验结果讨论和改进建议
实验结果讨论
根据实验数据和分析结果，讨论刚体定轴转动的基本规律以及实验过程中存在的问题和不足之处。
改进建议
提出改进实验方法和提高实验精度的建议，如优化实验器材、改进测量方法等。
05
动能定理揭示了力对刚体所做 的功与刚体动能变化之间的关 系；机械能守恒定律则指出在 只有重力或弹力做功的情况下， 刚体的机械能保持不变。
常见题型解题技巧分享
选择题答题技巧
注意审清题意，明确题目要求；对于概念性选择题，要准确理解相关概念；对于计算性选择题，要善于运用 物理规律和公式进行推理和计算。
填空题答题技巧
未来发展趋势预测
高效能源利用
随着能源问题的日益突出，未来旋转机构将更加注重高效能 源利用，如采用新型材料、优化结构等降低能耗。

F
T
m
o
x
例4. 质量为M =16 kg的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。 一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。
求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2） 绳子的张力。
解： TR
a
1 2
MR
2
a R
T
1 2
Ma
2
mg T ma
M
T
mg mM 2
注： 可以用质点动力学 的方法来处理刚体 的平动问题。
转动：
刚体上所有质点都绕同一直线作圆 周运动。这种运动称为刚体的转动。这 条直线称为转轴。
定轴转动：
转轴固定不动的转动。
刚体的转动动能
mn
rn
o
r1
m1
r2
m2
令
I mi ri
i
2
kg m
2
I 为刚体对 z 轴的转动惯量。
结论： 刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量 的分布以及转轴的位置有关。 对于质量连续分布的刚体：
2
2
( mi ri )
Ek
1 2
J
2
设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移d 元功：
dA Md
A I
d dt
A
由转动定律 有
d dt
d I d
1 2 1 2
dA I

2
1
I d

I 2 －
2
I 1
2
刚体绕定轴转动的动能定理 ：合外力矩对刚体所 做的功等于刚体转动动能的增量。
l a v
o
30°
机械能守恒：
11 l 2 2 2 Ml ma mga1 cos 30 Mg 1 cos 30 23 2