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物理学中的群论——晶体的对称群主讲翦知渐群论-晶体的对称群第二章晶体的对称群晶体点群和空间群§2.1 晶体的结构和宏观对称操作§2.2晶体的第一类点群§2.3 晶体的第二类点群§2.4点群与晶系的关系§2.5 空间群的基本概念和性质§2.1晶体的结构和宏观对称操作晶体中可能的对称操作1 基元与晶格基元理想晶体是原子、分子或离子规则排列的固体理想晶体是原子分子或离子规则排列的固体晶体按其周期性重复的一部分原子称为基元晶格每个基元用一个点来代表——晶体的周期性用空间点阵描述，每个点子叫做阵点。
晶体的结构——晶格和基元基元是其重复的部分，主要和晶体的宏观对称性相关晶格是其周期性的表现，体现了晶体的微观对称性二者是不同的但是又是相关的二者是不同的，但是又是相关的，不能任意组合原点任取，从原点引出三个不共面的矢量a1、a2、a3，末晶格的特点端落在该方向最邻近的阵点上——取法不唯一点阵可以按a1、a2、a3三个矢量划分成平行六面体为单元的空间格子，称为晶格。
每一个格子平均占据一个阵点2 原胞和单胞原胞晶格中最小的平行六面体重复单元就称为原胞另种原胞另一种原胞：维格纳原胞——充分反映对称性平行六面体原胞的三个棱矢a1、a2、a3：原胞基矢布喇菲格子对于满足以下平移条件的空间格子，称之为布喇菲格子：τn= n1a1+ n2a2+ n3a3式中τn 为平移矢量，n1、n2、n3为任意整数。
单胞有些的晶体无论怎样选取原胞，都不能充分反映晶体的对称性在结晶学中经常扩大晶格单元的选取，取比原胞大几倍的平行六面体作为晶格的基本重复单元，称之为单胞也叫结晶学原胞例如：铜晶体，只有选取为原胞体积4倍大的面心立方单胞单胞的三个棱形成的基矢称为单胞基矢，记为a , b , c才能反映它的对称性单胞的个棱形成的基矢称为单胞基矢，记为,,33 晶体的宏观对称操作宏观对称操作：对有限大的晶体的一个对称变换对有限大的晶体，任何平移都不能保持晶体不变——晶体的宏观对称操作不包含平移操作体系变换后不变——保持一点不动——点群：O(3)群的子群1) 恒等操作恒等操作即晶体的恒等变换：不对晶体做任何操作在国际符号中用1来表示，在熊夫利符号中用e表示来表示在熊夫利符号中用如果用矩阵形式描述恒等操作，就是单位矩阵晶体绕某个对称轴转定角度的个变换2)转动操作：晶体绕某一个对称轴转一定角度的一个变换任何对称操作必然使得晶格在变换前后一一重合——因此晶体转动的角度不能是任意的设R 为绕某个轴n 的一个转动，a 1、a 2、a 3为过轴上一个结点引向临近结点的三个原胞基矢，则31,2,3j ij i R R j ≡=∑a a ，式中R i j 为R 的矩阵元。
物理学中的群论——晶体的对称群主讲翦知渐群论-晶体的对称群第二章晶体的对称群晶体点群和空间群§2.1 晶体的结构和宏观对称操作§2.2晶体的第一类点群§2.3 晶体的第二类点群§2.4点群与晶系的关系§2.5 空间群的基本概念和性质§2.1晶体的结构和宏观对称操作晶体中可能的对称操作1基元和晶格基元理想晶体是原子、分子或离子规则排列的固体理想晶体是原子分子或离子规则排列的固体晶体按其周期性重复的一部分原子称为基元晶格每个基元用一个点来代表——晶体的周期性用空间点阵描述，每个点子叫做阵点。
晶体的结构——晶格和基元基元是其重复的部分，主要和晶体的宏观对称性相关晶格是其周期性的表现，体现了晶体的微观对称性二者是不同的但是又是相关的二者是不同的，但是又是相关的，不能任意组合原点任取，从原点引出三个不共面的矢量a1、a2、a3，末晶格的特点端落在该方向最邻近的阵点上——取法不唯一点阵可以按a1、a2、a3三个矢量划分成平行六面体为单元的空间格子，称为晶格。
每一个格子平均占据一个阵点2原胞和单胞原胞晶格中最小的平行六面体重复单元就称为原胞另种原胞另一种原胞：维格纳原胞——充分反映对称性平行六面体原胞的三个棱矢a1、a2、a3：原胞基矢布喇菲格子对于满足以下平移条件的空间格子，称之为布喇菲格子：τn= n1a1+ n2a2+ n3a3式中τn 为平移矢量，n1、n2、n3为任意整数。
单胞有些的晶体无论怎样选取原胞，都不能充分反映晶体的对称性在结晶学中经常扩大晶格单元的选取，取比原胞大几倍的平行六面体作为晶格的基本重复单元，称之为单胞也叫结晶学原胞例如：铜晶体，只有选取为原胞体积4倍大的面心立方单胞单胞的三个棱形成的基矢称为单胞基矢，记为a , b , c才能反映它的对称性单胞的个棱形成的基矢称为单胞基矢，记为,,3晶体的宏观对称操作宏观对称操作：对有限大的晶体的一个对称变换对有限大的晶体，任何平移都不能保持晶体不变——晶体的宏观对称操作不包含平移操作体系变换后不变——保持一点不动——点群：O(3)群的子群1) 恒等操作恒等操作即晶体的恒等变换：不对晶体做任何操作在国际符号中用1来表示，在熊夫利符号中用e表示来表示在熊夫利符号中用如果用矩阵形式描述恒等操作，就是单位矩阵晶体绕某个对称轴转定角度的个变换2)转动操作：晶体绕某一个对称轴转一定角度的一个变换任何对称操作必然使得晶格在变换前后一一重合——因此晶体转动的角度不能是任意的设R 为绕某个轴n 的一个转动，a 1、a 2、a 3为过轴上一个结点引向临近结点的三个原胞基矢，则31,2,3j ij i R R j ≡=∑a a ，式中R i j 为R 的矩阵元。
晶体的对称群与空间群的分类与表示晶体是由原子、分子或离子按照一定的几何排列规律而形成的固体物质。
晶体的结构对于物质的性质和行为具有重要影响，而晶体的对称性则是晶体结构研究的核心之一。
晶体的对称群和空间群是描述晶体对称性的重要工具，本文将探讨晶体的对称群与空间群的分类与表示。
一、晶体的对称群对称群是指在某种操作下保持晶体结构不变的一组操作的集合。
晶体的对称群可以分为平移对称群和点群。
平移对称群是指晶体在平移操作下保持不变的一组操作，而点群则是指晶体在旋转、镜面反射和反演操作下保持不变的一组操作。
对于平移对称群，可以通过研究晶体的晶格来进行分类。
晶格是指晶体中原子、分子或离子排列的周期性重复结构。
根据晶格的性质，可以将晶体的平移对称群分为14种布拉菲格子。
这些布拉菲格子包括简单立方格子、体心立方格子、面心立方格子等。
每种布拉菲格子都具有特定的对称性操作，如平移、旋转和镜面反射等。
对于点群，可以通过研究晶体的晶体学元胞来进行分类。
晶体学元胞是指晶体中最小的重复单元，可以通过平移操作得到整个晶体。
根据晶体学元胞的对称性，可以将晶体的点群分为32种。
这些点群包括三角晶系、四方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱面晶系和六方晶系等。
每种点群都具有特定的对称性操作，如旋转、镜面反射和反演等。
二、晶体的空间群空间群是指晶体在平移、旋转、镜面反射和反演等操作下保持不变的一组操作。
空间群是对称群的扩展，包含了更多的对称性操作。
根据晶体的对称性，可以将晶体的空间群分为230种。
空间群的表示可以通过国际晶体学表（International Tables for Crystallography）中给出的符号来进行。
这些符号包括Hermann-Mauguin符号和Schoenflies符号。
Hermann-Mauguin符号是一种简化的表示方法，用来描述晶体的点群和空间群。
Schoenflies符号是一种更详细的表示方法，用来描述晶体的点群和空间群的具体对称性操作。
晶体的对称要素
晶体的对称要素包括以下几个方面：
1. 轴对称：晶体可能存在一个或多个轴对称。
轴对称是指晶体在某个直线或轴周围旋转一定角度后，仍然具有相同的外观和性质。
常见的轴对称有2倍、3倍、4倍、6倍等。
最高次数的轴对称称为主轴。
2. 镜面对称：晶体具有镜对称面时，即晶体可以分为左右两部分，其中一部分通过镜面反射与另一部分完全重合。
3. 中心对称：晶体具有中心对称时，即晶体中存在一个点，经过该点作任何直线对称，晶体的外观和性质仍然相同。
这个中心点被称为中心。
中心对称是晶体中最高级别的对称要素。
4. 滑移对称：晶体具有滑移对称时，即晶体中存在一个平面，当晶体相对于该平面做滑移时，晶体的外观和性质不变。
5. 旋转反射对称：晶体具有旋转反射对称时，即晶体中存在一个旋转轴，沿着该轴旋转180°后，再进行关于该轴的反射，晶体的外观和性质不变。
这些对称要素共同构成了晶体的空间对称群，描述了晶体内部的排列和外部的形状。
晶体的对称要素对其物理、化学和光学性质都具有重要影响。
晶体学对称
晶体学对称是材料科学研究中一个非常重要的课题，它是描述晶体中原子或分子排列方式的一个重要性质。
在晶体中，原子或分子通常排列成规则的重复单元，该重复单元的坐标位置和内部结构的对称性被定义为晶体的对称操作。
下面分步骤阐述晶体学对称的相关概念：
第一步：对称操作
对称操作指的是改变晶体结构和形态的操作，主要包括旋转、平移和旋转反转三种。
旋转或旋转反转是通过旋转或旋转反转一个固定中心使晶体保持不变。
平移是通过平移所有原子或分子使晶体保持不变。
对称操作可以用矩阵表示，并且对于晶体中的原子或分子，其对称操作会保持晶格不变。
第二步：晶体对称元素
晶体对称元素是指维持晶体对称性的最小单位。
这个单位通常在晶体学中被称为SYM，它可以是旋转轴、旋转反转轴、反转面、平移矢量等。
在晶体对称元素中，最常见的是反射面和旋转轴。
反射面是将晶格沿某条轴上的所有原子或分子进行反射，可以形成一个垂直于轴的平面。
旋转轴是将晶体沿某个轴旋转一定角度后仍然保持对称性。
第三步：晶体对称群
晶体对称群是指晶体对称元素的集合，用来描述晶胞中所有对称操作及其组合的完整性。
比如对于立方晶系，其对称群有48个对称操作，可以通过不同的对称元素组合得到。
第四步：点群
点群是晶体对称群的一个子集，它由旋转或旋转反转轴组成。
点群在晶体学中是由最小单位点的对称操作组成的。
点群有32种可能的组合，可以表示所有的立体角点群和一部分中心群。
总体而言，晶体学对称是描述晶体中原子或分子排列方式的一个非常重要的概念，它能够帮助科学家更好地理解晶体的性质和特点。
晶体对称群
晶体对称群是研究晶体结构和性质的重要概念。
晶体对称群描述了晶体中原子或分子的排列方式所具有的对称性质。
在晶体学中，对称群被广泛应用于描述晶体的结构、分类和性质。
晶体对称群可以通过对晶体进行旋转、平移和反射等操作来定义。
这些操作可以保持晶体的外观不变，从而揭示了晶体内部的对称性。
晶体对称群的研究可以帮助我们理解晶体的结构和性质，为材料科学和固态物理学的发展提供重要的理论基础。
晶体对称群的分类是基于对称操作的类型和顺序。
最简单的对称群是平凡对称群，它只包含一个单位操作，即不进行任何对称操作。
除了平凡对称群，还有旋转对称群、镜面对称群和滑移对称群等。
旋转对称群包含了旋转操作，镜面对称群包含了反射操作，而滑移对称群包含了平移操作。
晶体对称群的分类还可以根据对称操作的轴数和平面数来进行。
例如，二维晶体可以具有2、3、4、6或无穷多个旋转轴，以及垂直于旋转轴的镜面。
三维晶体则更加复杂，可以具有2、3、4、6或无穷多个旋转轴，以及垂直于旋转轴的镜面和反射平面。
晶体对称群的研究对于理解晶体的物理性质和化学性质非常重要。
例如，晶体的对称性可以影响其光学性质、电学性质和磁学性质等。
通过研究晶体对称群，我们可以预测晶体的性质，并设计新的功能
材料。
晶体对称群是研究晶体结构和性质的重要工具。
通过对晶体进行对称操作的分类和描述，我们可以揭示晶体内部的对称性质，从而深入理解晶体的结构和性质。
晶体对称群的研究对于材料科学和固态物理学的发展具有重要意义，将为我们开辟新的研究领域和应用前景。
