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竖式问题第6讲——字符的奥秘情课堂激例1：在下面的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值。
例2：下面的算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么数字A 、B 、C 分别是多少？＋2000巧学学英英英语语语语＋7540克匹匹林林林奥奥奥奥－B B B B B B A A A A A A C C C练习1：在下列竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值。
练习2：在下列竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值。
＋9896菊竹竹梅梅梅兰兰兰＋C C C C CB B B B B A A A例3：小悦写了一个四位数。
冬冬把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位数。
阿奇又把这个三位数的个位抹掉，变成了一个两位数。
最后把三个数加起来，结果刚好是7826。
小悦原来写的四位数是多少？例4：(1)一个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的4倍，那么原数最小是多少？(2)一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这个新的五位数恰好是原数的4倍，那么原来的五位数是多少？＋7826A A A B BB C C D练习3：一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这个新五位数恰好是原来的9倍，那么原来的五位数是多少？练习4：一个自然数的个位数字是8，将这个8移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的4倍。
那么原数最小是多少？例5：如图，每一个英文字母代表0,1,2,…,9中的一个数字，不同的字母代表不同的数字，则字母A 、Q 、T 、R 、F 分别代表什么数字？例6：请把图中的除法竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少？×T T F R Q A Q QA Q A Q1 76 106练习5：分别填出下面算式中的方框里的数字，使算式正确？（只写出一种答案即可）.知识小结7220 1寻找突破口末位、首位、特殊位、位数注意进位和借位一定要验算力课后能培养课后作业1. 在右面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，则“当真不好玩吗”代表的多位数是多少？2. 如图所示的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，那么G －D 等于______。
小学四年级数学思维训练题及答案（10篇）1.小学四年级数学思维训练题及答案篇一小高上学时候步行，回家的时候骑车，路上一共用了24分钟。
如果往返都骑车则需要14分钟，求往返都步行需要的时间?答案与解析：答案：34分钟解析：骑车往返需要14分钟，那么单程就需要7分钟，步行单程的时间就是24-7=14分钟，所以步行往返则需要17*2=34分钟。
2.小学四年级数学思维训练题及答案篇二A、B两地相距40千米，甲乙两人同时分别从A、B两地出发，相向而行，8小时后相遇。
如果两人同时从A地出发前往B地，5小时后甲在乙前方5千米处。
问：甲每小时行多少千米?答案与解析：答案：3千米解析：设甲的速度是a千米每小时，乙的速度是b千米每小时，所以(a+b)*8=40从而得出a+b=5。
因为(a-b)*5=5，得出a-b=1。
根据和差公式a=(5+1)÷2=33.小学四年级数学思维训练题及答案篇三快车长182米，每秒行20米，慢车长1034米，每秒行18米，两车同向并行，当两车车头齐时，快车几秒可越过慢车?答案与解析：182÷(20-18)=182÷2=91(秒)答：快车91秒可越过慢车。
4.小学四年级数学思维训练题及答案篇四甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到5楼时，乙恰好跑到3楼.照这样计算，甲跑到17楼时，乙跑到几层?答案与解析：甲乙的速度之比：(5-1)：(3-1)=2：1，乙跑的层数：(17-1)÷2+1=9(层)，答：当甲到17楼时，乙到9层。
5.小学四年级数学思维训练题及答案篇五在公园一条长25米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，相邻两把椅子距离相等。
相邻两把椅子之间相距多少米?答案与解析：25÷(12÷2-1)=25÷(6-1)=25÷5=5(米)答：相邻两把椅子之间相距5米。
6.小学四年级数学思维训练题及答案篇六在一个雾霾天，狐狸，兔子和狗熊去卖口罩。
班级 姓名 配合四下《四则运算》编算式用6、7、8、9编四道得数相同的两位数加两位数的算式。
（ ）（ ）( )( )被除数增加几258除以25，要想没有余数，被除数最少应该增加（ ）。
储蓄罐的钱小明的储蓄罐中有面值1元和5角的硬币共38枚，如果将1元硬币的枚数和5角硬币的枚数交换，那么总值就会减少3元，问小明的储蓄罐中一共有( )钱？定义新运算定义一种运算：a △b= a ×b ＋a －b 。
求：⑴ 8△5； ⑵ 10△（5△6）= == == == ==榜上有名考试的满分是100分，小明3次考试的平均分为90分，如果平均成绩达到94分就能登上光荣榜了。
请问：小明要连续考多少次满分就能榜上有名？ ( )班级姓名配合四下《四则运算》《位置与方向》我发现李大爷准备在一块360平方米的长方形地上中玉米。
如果长方形地长分别是20米、40米、60米、120帮欢欢欢欢在计算“20＋□×5”时，先算加法，后算乘法，结果得到的结果是500。
你能帮他算出这道题的正确得数吗？整数部分是几？设A=0.8＋0.88＋0.888＋……＋0. 8888888888，A的整数部分是几？几条路线可走？小林妈妈从家中到超市有4条路可走，从超市到菜场有3条路可走，小林妈妈从家中经过超市到菜场有几条路线可走？他在何处红红从一地点A先以60米／分的速度向东走了5分钟，再以同样的速度向北偏西30°方向走了5分钟。
这时，他在地点A（）偏（）方向（）米处。
（第1期答案：一67+98=165；68+97=165；76+89=165；79+86=165二17；三30元；四43，271；五2次。
）《运算定律与简便计算》画一画根据下面描述，画出旅游车行驶路线图：“快乐六一”好旅游车从起点站向东偏南30°方向行驶3千米到达动物园，再向北偏东45°方向行驶4千米到达植物园，然后向南偏东70°方向行驶5千米到达游乐园。
小学数学四年级下册思维训练题1.张老师家在学校西偏北40°方向960米处；李老师家在张老师家南偏东30°方向1200米处。
请你根据叙述确定李老师和张老师家的位置，并画出平面示意图。
2.图书馆在银行正北方向500米处，学校在图书馆正南方向200米处，那么学校距离银行有多远？3.小立和爸爸从家开车去奶奶家，他们从家出发向东偏南50°方向行驶2千米后，再向东行驶4千米，最后向东偏北60°方向行驶2千米到达奶奶家，根据描述，画出爸爸开车行驶的路线图。
4.下面是育英小学的平面图，原来上面标有教学楼，图书馆和食堂的位置，后来平面图被污染了，教学楼的位置看不清了，现在只知道教学楼在食堂的南偏东40°方向上，在图书馆的西偏北20°方向上。
请你在平面图上画出教学楼的位置。
图书馆食堂北5.小强家在学校的东偏南38°的方向540米处，红红家在学校的西偏北40°的方向720米处。
两人步行的速度都是每分钟60米，如果他们同时从各自的家出发去学校，谁会早到？早到多长时间？6.小明从家出发，先向东偏北30°的方向跑了400米到达A点，接着向北偏西30°的方向跑了200米到达B点，然后又向西偏南30°的方向跑了400米到达C点。
这时小明离家多少米？7.一只蜗牛从甲地出发，第一天向东偏南30°方向爬了25米到达乙地，第二天由乙地出发向西偏北30°方向爬行了35米到达丙地。
这时蜗牛离甲地有多远？8.平平和龙龙一起玩寻宝游戏，他们从同一地点各自出发。
平平向东偏北30°方向走了200米找到了1号宝藏，龙龙向西偏南30°方向走了300米找到了2号定藏。
现在平平要走到龙龙的位置，和龙龙一起找3号宝藏，他要向哪个方向走，要走多少米？9.乐乐在一幅地图上量得甲，乙两城的距离是4厘米，通过上网查找，他知道甲，乙两城实际相距150千米。
四年级下册数学思维题一、基础运算计算：(3/4) ×(7/9) ÷(1/6)。
把4.08的小数点向右移动两位，结果是多少？二、空间几何有一块正方形菜地，它的边长为10米。
现将这块菜地分成两半，一边种土豆，一边种番茄。
土豆的种植面积是多少平方米？用一条直线把一个正方形分成两个相等的部分，这样的直线有多少条？三、逻辑思维小明、小红、小刚和小芳四人一起做拼图游戏，他们各拼好一个正方形后发现：小明拼的边长是8厘米，小红拼的边长是10厘米，小刚拼的边长是12厘米，而小芳拼的边长是15厘米。
请问谁的拼图面积最大？是多少平方厘米？有一个三位数，十位上的数是个位上数的(2/3)，个位上的数比十位上的数多2，个位上的数是百位上数的2倍。
请问这个三位数是多少？四、应用题解小华家养了10只鸡和8只鸭，每只鸡每天能下一个蛋，每只鸭每天能下两个蛋。
请问小华家一天能得到多少个蛋？一辆公共汽车上原有乘客30人，到站后下去了一些人，又上来了7人。
现在车上的人数是原来的人数增加了多少？五、组合数学在5、3、9、0组成的四位数中，最大的数是多少？最小的数是多少？有5根木棍，长度分别是2厘米、3厘米、4厘米、5厘米和6厘米。
从中选出三根木棍围成一个三角形，一共可以围成多少种三角形？六、数学谜题一位著名数学家出一道很有趣的谜语，谜面是：比最小的六位数少1的数是多少。
请回答这个谜语，并解释你的答案。
下面是一个数字序列：1、2、3、5、8、13、21。
请找出这个序列的规律，并预测下一个数字是什么。
七、计数原理从一副扑克牌中抽出两张王牌，从剩下的52张中任意抽多少张，才能保证有两张是相同花色的？一个袋子中有大小形状完全相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各10个。
要保证摸出的小球至少有两个同色，至少要摸出多少个小球？。
和差倍问题第2讲——变倍问题情课堂激例1：李师傅将甲、乙两种零件加工成产品，开始时甲零件的数量是乙零件的2倍。
每件产品需要5个甲零件和2个乙零件，生产30件产品后，剩下的甲、乙零件数量相等。
请问：李师傅还可以生产几件产品？练习1：甲仓所存面粉是乙仓的3倍，从甲仓运走8500千克，从乙仓运走500千克，两仓所剩的面粉重量相等，问：两仓原有面粉各多少千克？例2：学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花，其中黄花的盆数最多，既是红花盆数的4倍，也是蓝花盆数的3倍。
如果蓝花比红花多20盆，请问：学校门口一共有多少盆花？例3：动物园的饲养员给三群猴子分花生。
如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得20粒。
试问：现在将这些花生平均分给三群猴子，每只可得多少粒？练习2：暑假里，心灵手巧的小悦折了很多纸鹤，做了一面漂亮的纸鹤帘隔开客厅和门厅。
纸鹤帘以粉色和黄色的纸鹤做背景，绿色的纸鹤排列呈一个“家”字。
其中粉色的纸鹤比较多，既是黄色纸鹤的3倍，又是绿色纸鹤的5倍，如果绿色和黄色纸鹤一共240个，那么小悦的这面纸鹤帘一共有多少个纸鹤？练习3：花果山上有三种猴子：黄猴、黑猴和白猴，其中一半是黄猴。
美猴王大闹天宫之际，从蟠桃园抢回一堆蟠桃要分给这些猴子猴孙。
如果只分给黑猴，则每只黑猴可得10个；如果只分给白猴，则每只白猴可得15个。
如果平均分给山上所有的猴子，那么每只可得多少个？例4：养鸡场有东、西两院，西院鸡的只数是东院的3倍。
一天有10只鸡从西院跑到东院，这时西院鸡的数量是东院的2倍。
那么现在东、西两个院子各有多少只鸡？例5：爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头。
父子二人发现，如果爸爸帮冬冬搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍；如果冬冬帮爸爸搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的2倍。
请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？练习4：狐狸和狗熊是村里有名的养鸟爱好者。
例1：甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向下图所示的3×3的方格中放棋子，每次放1枚，谁的棋子中有3枚连成一条线(横、竖、斜均可)，谁就获胜。
如果甲首先占据了中间位置，乙要想不败，第1枚棋子应该放在哪里？统筹与对策第11讲——对策的构造情课堂激例2：两个人做一种游戏：轮流报数，必须不大于6的非零自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是100，谁就获胜。
如果你先报数，那么为了获胜，你第一次报_____，以后怎样报？例3：有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者为胜者。
如果甲先取，那么_____有必胜策略。
如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么_______有必胜策略。
练习1：有15枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取2枚，以取走最后一枚棋子者为胜者。
如果甲先取，那么_______有必胜策略。
如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么_______有必胜策略。
例4：现有2008根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴。
每次最少从中取出2根，最多取出4根。
谁无法再次取出火柴谁就赢。
如果甲先取，那么_______有必胜策略。
练习2：现有2009个石子，甲、乙两个人轮流从中取出石子。
每次最少从中取出2个，最多取出5个。
谁无法再次取出石子谁就赢。
若甲先取，那么________有必胜策略。
例5：甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球。
那么如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么_______有必胜策略，请说明理由。
练习3：甲、乙两个海盗分金币：有两堆金币，一堆205个，一堆209个。
甲、乙轮流从中拿金币，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可。
规定拿到最后一个金币的人为胜者，胜者可以获得所有金币。
如果甲先拿，那么_______有必胜策略。
小学四年级数学思维训练14题（附答案），你都会做了吗？01小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲乙丙丁四头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛需2分钟，丙牛需5分钟，丁牛需6分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。
【分析】要使过河时间最少，应抓住以下两点：(1)同时过河的两头牛过河时间差要尽可能小(2)过河后应骑用时最少的牛回来。
解：小明骑在甲牛背上赶乙牛过河后，再骑甲牛返回，用时2＋1＝3分钟然后骑在丙牛背上赶丁牛过河后，再骑乙牛返回，用时6＋2＝8分钟最后骑在甲牛背上赶乙牛过河，不用返回，用时2分钟。
总共用时(2＋1)＋(6＋2)＋2＝13分钟。
02一张数学试卷，只有25道选择题。
做对一题得4分，做错一题倒扣1分；如不做，不得分也不扣分，若小明得了78分，那么他做对了多少题，做错多少题，没做多少题？答案与解析：答案：做对20道题，做错 2题，没做的3题解析：78÷4＝19余二，说明他至少做对了20道题，因为如果只做对19道题的话至多得76分。
那么他能做对21题吗？设他做对21题，其他全做错，得21×4－4＝80分，大于78分。
所以他只能做对20道题，20×4＝80，得了80分，实际上得了78分，所以还得做错两道，既然剩下5道题，错了2道，那么有3道题没做。
03“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。
如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。
”答案：一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。
)(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。
)(3)1天新长的草为：(207－162)÷(9－6)＝15(4)牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72(5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21－15)＝72÷6＝12(天)所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。
四年级趣味数学思维训练题50道及答案(1) 【一笔画】如图所示，某小区花园的道路为一个长480米，宽200米的长方形；一个边长为260米的菱形和十字交叉的两条道路组成．一天，王大爷A 处进入花园，走遍花园的所有道路并从A 处离开．如果他每分钟走60米，那么他从进入花园到走出花园最少要用______分．(2) 【三角形】周长是12，各边长都是整数的等腰三角形有几种？长方形有几种？(3) 【一笔画】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？(4) 【图形面积】7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？(5) 【图形拼接】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．A(6) 【还原问题】桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个.这时桃园里还只有100个桃了.那么园中原有多少桃？(7) 【图形面积】两个正方形的面积相差29cm ，边长相差1cm ．求两个正方形的面积和．(8) 【还原问题】小丽用4元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问：小丽原有多少钱？(9) 【等比数列】从前，有一位樵夫，整天幻想着遇见神仙，求得一种不花气力就能发财的窍门．一天，有一位老人突然来到樵夫面前，对他说：“你不是想见到神仙吗？”樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天柴，累的要死要活，才卖的这么几个钱．您老人家神通广大，恳求您指点，使我可以不费力气就能得到钱吧！”老人指着东边的一座石头桥说：“好吧！从现在开始，你只要从那座桥上每走一个来回，口袋里的钱都会增长一倍，但是每次回来都要付给我24个钱作为报酬．”④③②①CB A樵夫高兴的在桥上走了一个来回，他数一数口袋里的钱，果然增长了一倍．他拿出24个钱交给神仙，然后又向桥上走去，等到他第三次回来，把24个钱交给神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一个钱都没有了．正当他焦急不安的时候，神仙按原数把钱留下飘然而去，并留下一句话：“年轻人，不劳而获可不行啊！”故事读完了，小朋友们，你能不能算出，樵夫原来有多少钱呢？(10)【鸡兔同笼】一张数学试卷，只有25道选择题．做对一题得4分，做错一题倒扣1分；如不做，不得分也不扣分．若小明得了78分，那么他做对______题，做错________题，没做__________题．(11)【正方形】把一个正方形分割为三种面积不同的小正方形，并且小正方形的个数是8．如何分？(12)【图形拼接】试将一个49 的长方形分割成两个大小相等，形状相同的图形，然后拼成一个正方形．(13)【图形分割】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．OA(14) 【盈亏问题】猴王带领一群猴子去摘桃，下午收工后，猴王开始分配，若大猴分5个，小猴分3个，猴王可以留10个，若大，小猴都分4个，猴王能留下20个。
四年级下册思维训练题（全）专题简析：解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：1.认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断；2.利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；3.试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的；4.算式谜解出后，要验算一遍..例1.在下面的方框中填上合适的数字位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8.题中别的数字就容易填了.练习一第二讲乘除法数字谜（二）例1.下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？分析：因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1；d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位，所以b只能是0（1已经用过）；再由b＝0，可推知c＝8.练习二第三讲图形的个数例1.下面图形中有多少个正方形？分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有6×3＝18个，2×2的正方形有5×2＝10个，3×3的正方形有4×1＝4个.因此图中共有18＋10＋4＝32个正方形.例2.下图中共有多少个三角形？分析：为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加.（1）图中共有6个小三角形；（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；（4）由六个小三角形组合的三角形有1个. 所以共有6＋3＋4＋1＝14个三角形.练习三1.下图中共有多少个正方形？2.下图中共有多少个正方形？3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形？4.下面图中共有多少个三角形？第四讲找出数字的排列规律（一）找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，在解数学题时人们也常常使用它，下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题.（一）思路指导例1.在下面数列的（）中填上适当的数.1，2，5，10，17，（），（），50分析与解：这个数列从第二项起，每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1，3，5，7，9……，这样我们就可以由第五项算出括号内的数了，即：第一个括号里应填；第2个括号里应填.例2.自1开始，每隔两个整数写出一个整数，这样得到一个数列：1，4，7，10……问：第100个数是多少？分析与解：第1项是1，第二项比第一项多3，第三项比第一项多2个3，第四项比第一项多3个3，……依次类推，第100项就比第一项多99个3，所以第100个数是.由此我们可以得出这样的规律：等差数列的任一项都等于：第一项＋（这项的项数－1）×公差我们把这个公式叫做等差数列的通项公式.利用通项公式可以求出等差数列的任一项.练习四1.找规律填数：（1）1，3，7，15，______；（2）l，4，13，40，121，____，____.2.按规律找出下面两列数里□中应填写的数：（1）2，6，18，54，□，486，1458；（2）l，4，9，16，□，36，493.看规律填数：（l）0，3，7，12，______，25，33；（2）l，2，5，10，17，____，______，50. 4. 按规律填数：（l）2，4，7，11，16，（2）3，5，9，17，33，65，5.按每组数的排列规律，填写最后一个数：（1）2，4，16，256，______；（2）12，19，33，61，117，______.6.数列5，8，11，14，17，…的第25项是______，第100项是____.第五讲找出数的排列规律（二）例3.已知一列数：2，5，8，11，14，……，44，……，问：44是这列数中的第几个数？分析与解：显然这是一个等差数列，首项（第一项）是2，公差是3.我们观察数列中每一个数的项数与首项2，公差3之间有什么关系？以首项2为标准，第二项比2多1个3，第三项比首项多2个3，第四项比首项多3个3，……，44比首项2多42，多14个3，所以44应排在这个数列中的第15个数.由此可得，在等差数列中，每一项的项数都等于：（这一项－首项）÷公差＋1这个公式叫做等差数列的项数公式，利用它可以求出等差数列中任意一项的项数.试试看：数列7，11，15，……195，共有多少个数？练习五1.按规律填数：（1）3，5，9，17，______，65.（2）1，2，4，7，______，16.2.数列2，9，16，23，30，…，135，…中的135是这列数的第____个数.3.数列2，4，8，…的第10项是______.4.数列7，11，15，19，23，…，119，共有______个数.5.下面一组数是按某种规律排列的，请你仔细观察，找出规律并在横线上填写适当的数：2，97，1，4，98，3，6，99，5，____，____，7，10，101，____，12，102，11，….第六讲数列求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列.数列中的每一个数称为一项.其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数.从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差.通项公式：第n项＝首项＋（项数－1）×公差项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1例1.有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算.项数＝（52－4）÷6＋1＝9，即这个数列共有9项.例2.有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100.要求第100项，可根据“末项＝首项＋公差×（项数－1）”进行计算.第100项＝3＋4×（100－1）＝399练习六1.等差数列中，首项＝1，末项＝39，公差＝2，这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？4.一等差数列，首项＝3，公差＝2，项数＝10，它的末项是多少？5.求1，4，7，10……这个等差数列的第30项.第七讲数列求和（二）例3.有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100.请求出这个数列所有项的和.分析与解答：如果我们把1，2，3，4， (99)100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋…＋（99＋2）＋（100＋1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和.1＋2＋3＋…＋99＋100＝（1＋100）×100÷2＝5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和＝（首项＋末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式.例4.求等差数列2，4，6，…，48，50的和.分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算.要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数＝（末项－首项）÷公差＋1＝（50－2）÷2＋1＝25首项＝2，末项＝50，项数＝25等差数列的和＝（2＋50）×25÷2＝650练习七计算下面各题.1.1＋2＋3＋…＋49＋502.6＋7＋8＋…＋74＋753.100＋99＋98＋…＋61＋604.2＋6＋10＋14＋18＋225.5＋10＋15＋20＋…＋195＋2006.9＋18＋27＋36＋…＋261＋270第八讲数列求和（三）例5.计算（2＋4＋6＋...＋100）－（1＋3＋5＋ (99)分析与解答：容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减.进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1～100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项.因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和.（2＋4＋6＋...＋100）－（1＋3＋5＋ (99)＝（2－1）＋（4－3）＋（6－5）＋…＋（100－99）＝1＋1＋1＋…＋1＝50练习八计算下面各题1.（2001＋1999＋1997＋1995）－（2000＋1998＋1996＋1994）2.（2＋4＋6＋...＋2000）－（1＋3＋5＋ (1999)3.（2＋4＋6＋...＋1998）－（1＋3＋5＋ (1997)4.（1＋3＋5＋...＋999）－（2＋4＋6＋ (998)5.（1＋3＋5＋…＋1999）－（2＋4＋6＋…＋1998）第九讲数阵图（一）专题简析：填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题.这里，和同学们讨论一些数阵的填法.解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法.待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向.试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围.把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数.例1.把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21.示，根据题意可知：A＋B＋C＋D＋E＝35，A＋E＋B＋C＋E＋D＝21×2＝42.把两式相比较可知，E＝42－35＝7，即中间填7.然后再根据5＋9＝6＋8便可把五个数填进方格，如图b.练习九1.把1～10各数填入“六一”的10个空格里，12.使在同一直线上的各数的和都是2.把1～9各数填入“七一”的9个空格里，使13.在同一直线上的各数的和都是3.将1～7七个自然数分别填入图中的圆圈里，.使每条线上三个数的和相等第十讲数阵图（二）例2.将1～10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30.分析：设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b＝30×2，即55＋a＋b＝60，a＋b＝5.在1～10这十个数中1＋4＝5，2＋3＝5.当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2，6，8，9）和（3，5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1，5，9，10）和（4，6，7，8）.例3.将1～6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大.分析：设中间三个圆内的数是a、b、c.因为计算三条线上的和时，a、b、c都被计算了两次，根据题意可知：1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）除以3没有余数.1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，21÷3＝7没有余数，那么a＋b＋c的和除以3也应该没有余数.在1～6六个数中，只有4＋5＋6的和最大，且除以3没有余数，因此a、b、c分别为4、5、6.练习十1.把1～8八个数分别填入下图的○内，使每个.大圆上五个○内数的和相等2.把1～10这十个数分别填入下图的○内，使每.个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大3.将1～6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等.4.将1～9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17.第十一讲合理安排专题简析：我们每天的生活、学习都离不开时间，但是你知道时间有大学问吗？合理地安排时间，往往会达到事半功倍的效果.科学地安排时间的方法，就叫做最佳安排.小朋友在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题：（1）要做哪几件事：（2）做每件事需要的时间；（3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做.在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率.例 1.明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1分钟，烧开水12分钟，把水灌入水瓶要2分钟，吃早点要8分钟，整理书包2分钟.应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？思路导航：经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间.水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行.这一过程可用方框图表示：从图上可以看出，洗水壶要1分钟，接着烧开水要12分钟，在等水开的同时吃早点、整理书包，水开了就灌入水瓶，共需15分钟.练习十一1.红红早晨起来刷牙洗脸要4分钟，读书要8分钟，烧开水要10分钟，冲牛奶1分钟，吃早饭5分钟.红红应怎样合理安排？起床多少分钟就能上学了？2.玲玲想给客人烧水沏茶.洗水壶要2分钟，烧开水要12分钟，买茶叶5分钟，洗茶杯要1分钟，冲茶要1分钟.要让客人尽早喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟客人就能喝上茶了？3.用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼.烙第一面需要2分钟，烙第二面需要1分钟.现在在烙三个饼，最少需要多少分钟？4.烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需要2分钟，那么烤三个面包最少需要多少分钟？第十二讲最大与最小专题简析：在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”.解答最大最小问题通常要用下面的方法：1.枚举比较法.当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2.着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程.例1.把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等.问这个和最大值是多少？分析：为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1.而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11——16.然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了.（2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3＝72练习十二1.将1、2、3、4、5、6六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？2.将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？3.把～8分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大.4.把2～9分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大.第十三讲长方形面积（一）专题简析：我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长.利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题.在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧.因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要.例1.把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形.这个正方形木板的面积是多少平方米？思路导航：要使剪成的正方形面积最大，就要使它的边长最长（如图），那么只能选原来的长方形宽为边长，即正方形的边长是3米.正方形的面积：3×3＝9米.例 2.学校里有一个正方形花坛，四周种了一圈绿篱，绿篱总长20米.花坛的面积是多少平方米？3米4米思路导航：要求正方形花坛的面积，必须知道花坛的边长是多少.根据绿篱总长是20米，可求出花坛的边长为20÷4＝5米，所以花坛的面积是：5×5＝25平方米.练习十三1.把一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少平方厘米？2.把一块长2米、宽6分米的长方形铁板切割成一个面积最大的正方形，这个正方形铁板的面积是多少？3.将一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？4.一个正方形的周长为36厘米，那么这个正方形的面积是多少平方厘米？第十四讲长方形面积（二）例3.求下面图形的面积.（单位：厘米）1432思路导航：这个图形无法直接求出它的面积，我们可以画一条辅助线，将这个图形分割成两个长方形.如下图：1432从图上可以看出，左边长方形的长为4厘米，宽为2厘米，面积为4×2＝8平方厘米；右边长方形的长为3厘米，宽为1厘米，面积为3×1＝3平方厘米.所以，这个图形的面积为：8＋3＝11平方厘米.想一想：这道题还可以怎样画辅助线，分割后求面积呢？练习十四1.运动场有一个正方形的游泳池，在游泳池四周粘上瓷砖，瓷砖总长400米，求游泳池的面积是多少平方米.2.在公园里有两个花圃，它们的周长相等.其中长方形花圃长40米，宽20米，求另一个正方形花圃的面积.3.计算下面图形的面积.（单位：厘米）(1)15203040(2)31122。
