建立数学模型解决实际问题(解析版).pdf

学会用数学模型解决实际问题数学是一门普遍认为抽象的学科，而实际生活中我们总是面临着各种各样的问题，包括生产、经济、工程、环境等等。

那么如何将数学与实际问题相结合，用数学模型解决实际问题呢？本文将探讨这个问题，并介绍数学模型在解决实际问题中的应用。

一、什么是数学模型在开始探讨数学模型的应用之前，我们首先来了解一下什么是数学模型。

数学模型是一种通过建立数学描述来描述实际问题的方法。

它可以将一个复杂的现实问题简化成一组数学等式、不等式或其他形式的数学关系，从而使问题更加易于理解和解决。

二、数学模型的建立步骤建立一个有效的数学模型是解决实际问题的关键，下面将介绍建立数学模型的一般步骤。

1. 确定问题的目标和约束条件在建立数学模型之前，我们首先需要明确问题的目标和约束条件。

问题的目标是我们想要达到的结果，约束条件则是问题中必须满足的限制条件。

通过明确目标和约束条件，可以使我们的模型更加具体和准确。

2. 建立变量和参数在建立数学模型的过程中，我们还需要确定变量和参数。

变量是可以改变的量，而参数则是模型中的一些固定值。

通过定义变量和参数，可以使我们的模型更加灵活和可控。

3. 建立数学关系建立数学模型的关键步骤是建立数学关系。

数学关系是通过数学表达式来表示问题中的各种交互关系。

这些数学表达式可以是线性方程、非线性方程、不等式等。

通过建立数学关系，我们可以将实际问题转化为数学问题，并求解出数学问题的解。

4. 模型检验和优化建立数学模型之后，我们需要进行模型的检验和优化。

模型检验是验证模型的准确性和可行性，而模型优化则是对模型进行调整和改进，使其更接近实际情况，并提高解决问题的准确度。

三、数学模型的应用举例数学模型在实际中的应用非常广泛，下面将介绍一些常见的应用举例。

1. 生产优化模型生产优化是一个重要的问题，在企业管理中起着关键的作用。

通过建立数学模型，可以帮助企业确定最佳的生产方案，最大限度地提高生产效率和利润。

数学教案：解决实际问题的数学模型建立一、引言数学是一门应用广泛的学科，它不仅可以解决抽象的数理问题，还能运用于实际生活中的各种场景。

建立数学模型是解决实际问题的重要途径之一。

通过对实际问题进行抽象和建模，我们可以利用数学工具和方法来分析和解决这些问题。

本教案将介绍如何建立解决实际问题的数学模型，以帮助学生更好地理解和应用数学知识。

二、概念解释1. 数学模型：数学模型是利用符号语言描述具体事物或过程的抽象构造。

通过数学公式、方程组等方式，将实际问题转化为具备明确定义和计算能力的形式化表达。

2. 实际问题：指与现实生活密切相关、需要通过合适方法加以分析和解决的具体情境或情形。

三、建立数学模型的基本步骤1. 审题：仔细阅读和理解所给定的问题，并确定任务要求和目标。

2. 建立变量：根据问题所涉及到的对象或物理量，确定适当的变量并标注含义。

3. 建立函数关系：分析各个变量之间的关系，确定相应的函数关系式。

4. 建立约束条件：考虑实际问题中存在的限制条件，如预算、时间、空间等，并进行量化。

5. 建立目标函数：根据问题的具体要求和目标，确定目标函数或优化目标。

6. 解决数学问题：利用已学习的数学知识、工具和技巧，对建立的数学模型进行求解和分析。

四、案例分析为了更好地说明建立数学模型的过程，我们将以一个简单的案例来介绍。

假设某地区每年都有一定数量的居民迁入和迁出，我们希望通过建立数学模型来估计该地区人口增长率。

1. 审题：根据问题描述，我们需要确定该地区人口增长率。

2. 建立变量：设当前年份为t年，则人口数量可以表示为P(t)，其中t表示时间（年），P(t)表示t年时该地区的人口数量。

3. 建立函数关系：根据问题背景和常识判断，可得到如下函数关系式：P(t+1) = P(t) + 迁入人口 - 迁出人口4. 建立约束条件：由于该地区每年迁入和迁出居民数量可能不同，因此需要考虑这些情况并予以量化。

5. 建立目标函数：我们的目标是估计该地区人口增长率，因此可以将人口增长率定义为：增长率 = (P(t+1) - P(t))/P(t) × 100%6. 解决数学问题：根据实际情况和已有数据，我们可以求解迁入和迁出居民的数量，并代入上述模型中，进而计算得到人口增长率。

数学建模中的二种模型与真题训练所谓数学建模，就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过一定的假设，找出这个问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。

笔者以一次函数的应用为例，探讨几种不同的数学建模过程。

一、直接给出模型二、猜测建立模型 三、实际推导模型我国著名的数学家华罗庚曾经指出：“人们对于数学产生枯燥无味、神秘难懂的印象，原因之一便是脱离实际。

”因此，每一位数学教师都应该善于挖掘身边的生活实例，将它们作为有效的教学资源，让学生在做数学、体验数学的实践活动中，自主构建数学模型，感受数学的魅力，提高学生学习数学的兴趣，并增强学习数学的自信心。

题型一：建立方程模型解决实际问题一．选择题（共2小题） 1．（2022秋•江北区校级月考）在一个三角形中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能【分析】根据三角形的内角和可求解△ABC 的一内角为90°，进而可判断三角形的形状．【解答】解：设这个三角形为△ABC ，且∠A ＝∠B ﹣∠C ，则∠A +∠C ＝∠B ，∵∠A +∠C +∠B ＝180°，∴∠B ＝90°，∴△ABC 为直角三角形，故选：A ．【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．2．（2022春•合肥期末）在新冠肺炎疫情防控期间，某药房第一次用7000元购进一次性医用口罩若干个，第二次又用8000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次的1.2倍，且购进的数量比第一次少200个．设第一次购进一次性医用口罩的数量为x 个，则根据题意可列方程为（ ）A ．＝× 1.2B ．×1.2＝技巧方法 题型归纳C．×1.2＝D．×1.2＝【分析】第一次购进一次性医用口罩的数量为x个，则第二次购买一次性医用口罩（x﹣200）个，利用单价＝总价÷数量，结合第二次购买每个口罩的价格是第一次购买价格的1.2倍，即可得出关于x的分式方程．【解答】解：第一次购进一次性医用口罩的数量为x个，则第二次购买一次性医用口罩（x﹣200）个，由题意得．故选：C．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．二．填空题（共5小题）3．（2022•浦江县模拟）如图1是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳篷支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳篷支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形．（1）若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有2米（影子完全落在地面）．（2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是+1．【分析】（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK可得四边形CESK是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得KS的长即可．（2）由题意可知：CB＝FB＝GF，GH＝HB，则FH⊥GB，进而证明△MOK∽△FOH，再证明GH＝GF，最后找到CE与AD的长度比即可．【解答】解：（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK，∴四边形CESK是平行四边形，∴KS＝CE＝2，即CE在地面上影子的长为2米．故答案为：2．（2）连结FH，设DE＝a，CD＝b，由题意可知：BC＝a，BF＝a，GF＝a，BH＝b，GH＝b，在△GHB中，HB＝GH，GF＝FB，∴FH⊥GB，又∵MK⊥GB，∴MK∥FH，∴△MOK∽△FOH．∵FK＝MH，∴OH＝OF，∴∠OFH＝∠OHF，又∵∠GFH＝90°，即∠GFO+∠OFH＝90°，∴∠GFO+∠OHF＝90°，又∵∠FGO+∠OHF＝90°，∴∠GFO＝∠FGO，即OG＝OF，∴OH＝OF＝OG，∴∠FGH＝45°，∴GH＝GF．即：b＝a，∴＝＝＝+1，∴CE：AD＝+1．故答案为：+1．【点评】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．4．（2022春•南海区校级月考）如图，直角三角形ABC中，AC+BC＝5，S△ABC＝，则AC2+BC2的值是19．【分析】由三角形的面积公式求得AC•BC＝3；结合完全平方公式的变形公式得到AC2+BC2＝（AC+BC）2﹣2AC•BC，代入求值即可．【解答】解：∵S△ABC＝，AC•BC＝S△ABC，∴AC•BC＝，∴AC•BC＝3．∴AC2+BC2＝（AC+BC）2﹣2AC•BC＝52﹣2×3＝19．故答案为：19．【点评】本题主要考查了勾股定理，解题时，利用了完全平方公式的转化公式，巧妙的得到AC2+BC2＝（AC+BC）2﹣2AC•BC．5．（2022•龙岗区模拟）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m．在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为4.2m，则DE的长为7m．【分析】利用同一时刻物体高度与影长比值相等进而得出答案．【解答】解：∵AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m，EF＝4.2m，∴＝，则＝，解得DE＝7，即DE的长为7m．故答案是：7m．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用和平行投影的性质，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．6．（2022秋•北碚区校级期中）在新冠疫情下，口罩作为重要的防疫物资，国家投入了大量的资金和工厂进行口罩的生产，每个工厂生产的口罩型号，颜色均有差异．某商店共有a种不同型号的口罩，每种口罩都有红、白、蓝三种颜色，并且货源充足，每种型号的口罩红色的价格均为每包50元，白色的价格均为每包b 元，蓝色的价格均为每包c元，且满足66≤b＜c≤74，b、c均为正整数．A、B、C三人每人都将每种型号的口罩各买一包，且对于同种型号的口罩，三人选择的颜色各不相同．结账时，A、B都花了1200元，且他们买的蓝色口罩数量不同，C花了1400元，三种颜色的口罩皆有购买，请问C用于购买白色、蓝色的口罩最多一共花费1350元．【分析】由题意可得a（50+b+c）＝3800，再由a，b，c均为正整数，且66≤b＜c≤74，求出b+c＝140，a＝20，则满足条件的有四种情况：①b＝67，c＝73；②b＝68，c＝72；③b＝69，c＝71；④a＝66，b＝74；设A、B购买红色型号的口罩x包，白色型号的口罩y包，蓝色型号的口罩（40﹣x﹣y）包，分别列出方程求解讨论即可．【解答】解：A、B、C三人将a种不同型号的口罩三种颜色的口罩各买一包，共花了1200+1200+1400＝3800（元），即a（50+b+c）＝3800，∵a，b，c均为正整数，且66≤b＜c≤74，∴185＝50+67+68≤50+b+c≤50+72+73＝195，∴50+b+c＝190，a＝20，即b+c＝140，a＝20，∴有四种情况：①b＝67，c＝73；②b＝68，c＝72；③b＝69，c＝71；④a＝66，b＝74；设A、B购买红色型号的口罩x包，白色型号的口罩y包，蓝色型号的口罩（40﹣x﹣y）包，①，整理得23x+6y＝520，∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，∴，∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；②，整理得11x+2y＝240，∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，∴，∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；③，整理得21x+2y＝440，∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，∴，∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；④，整理得3x+y＝70，∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，∴或或或，∴当x＝19，y＝13时，C用于购买白色、蓝色的口罩最多，1400﹣50＝1350（元）；综上所述：C用于购买白色、蓝色的口罩最多一共花费1350元，故答案为：1350．【点评】本题考查二元二次方程的实际应用，能够理解题意，根据题意列出方程，根据所给的取值范围，求解不定方程是解题的关键．7．（2022春•沙坪坝区校级期中）“如果华佗再世，崇洋都被医治，外邦来学汉字，激发我民族意识…”最近，刘畊宏的键身操刷爆全网，掀起了一股全民健身热潮，《本草纲目》健身操让众多网友直呼酸爽．最出圈的《公公偏头疼》、《龙拳》、《本草纲目》三首曲目每分钟卡路里的消耗量之比为4：3：6，三首曲目时长之比为3：2：2．走红以后，根据众多网友的反馈，刘教练对健身操的动作与曲目时长都进行了重新编排．重新编排后，《龙拳》每分钟卡路里的消耗量比之前降低了，《本草纲目》每分钟卡路里的消耗量为之前的《公公偏头疼》和《本草纲目》的卡路里每分钟消耗量总和，《龙拳》的卡路里总消耗量减少，《公公偏头疼》增加的卡路里消耗量与《龙拳》减少的卡路里消耗量之比为2：3，《本草纲目》增加的卡路里消耗量是《公公偏头疼》增加的卡路里消耗量的2倍，且占三首曲目卡路里消耗总量的10%，则重44：89．【分析】设《公公偏头疼》、《龙拳》、《本草纲目》三首曲目每分钟卡路里的消耗量分别为4k，3k，6k，三首曲目时长分别为3t，2t，2t，根据题意，分别求出《龙拳》卡路里的总消耗量为2bk，《公公偏头疼》卡路里的总消耗量为8kc，《本草纲目》增加的卡路里的消耗量为k（3t﹣2b），再根据题意建立方程，求解方程即可．【解答】解：设《公公偏头疼》、《龙拳》、《本草纲目》三首曲目每分钟卡路里的消耗量分别为4k，3k，6k，三首曲目时长分别为3t，2t，2t，∴总消耗的热量为4k•3t+3k•2t+6k•2t＝30kt，则重新编排后，《龙拳》每分钟卡路里的消耗量为3k•（1﹣）＝2k，《本草纲目》每分钟卡路里的消耗量为6k•＝8k，设重新编排后，《公公偏头疼》、《龙拳》、《本草纲目》三首曲目三首曲目时长分别为a、b、c，∴《龙拳》卡路里的总消耗量为2bk，《公公偏头疼》卡路里的总消耗量为8kc，∴《龙拳》减少的卡路里的消耗量为3k•2t﹣2kb＝6kt﹣2kb，∵《公公偏头疼》增加的卡路里的消耗量与《龙拳》减少的卡路里的消耗量之比为2：3，∴《公公偏头疼》增加的卡路里的消耗量为（6kt﹣2bk）＝k（3t﹣2b），∵《本草纲目》增加的卡路里消耗量是《公公偏头疼》增加的卡路里消耗量的2倍，∴《本草纲目》增加的卡路里的消耗量为k（3t﹣2b），∴重新编排后三首曲目卡路里消耗总量为3k•2t﹣（6kt﹣2kb）+4k•3t+k（3t﹣2b）+6k•2t+k（3t﹣2b）＝6k（6t﹣b），∴k（3t﹣2b）＝6k（6t﹣b）×10%，∴t＝b，∴8kc﹣12kt＝k（3t﹣2b），解得b：c＝44：89，故答案为：44：89．【点评】本题考查了方程的实际应用，能够根据题意建立方程是解题的关键．三．解答题（共5小题）8．（202214倍，求这个多边形的边数；（2）已知一个多边形的每一个内角的度数都等于144°，求这个多边形的边数．【分析】由多边形的内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数），多边形的外角和等于360°，即可求解．【解答】解：（1）设这个多边形的边数为n，（n﹣2）×180°＝4×360°，∴n＝10，答：这个多边形的边数是10．（2）∵这个多边形的每一个内角的度数都等于144°，∴这个多边形的每一个外角的度数都等于180°﹣144°＝36°，∴这个多边形的边数为：360°÷36°＝10．【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）；多边形的外角和等于360°．9．（2023春•潜江月考）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是20肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高16肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是30肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可．【解答】解：通过建模把距离转化为线段的长度．由题意得：AB＝20，DC＝16，BC＝30，设BE为x肘尺，EC为（30﹣x）肘尺，在Rt△ABE和Rt△DEC中，AE2＝AB2+BE2＝202+x2，DE2＝DC2+EC2＝162+（30﹣x）2，又∵AE＝DE，∴202+x2＝162+（30﹣x）2，∴x＝12.6，答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根12.6肘尺．【点评】本题考查勾股定理的正确运用；善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键．10．（2022春•锦江区期末）成都是一座休闲又充满幸福感的城市，眼下露营正成为成都人民一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定采购一批帐篷进行销售，已知防晒帐篷的采购价是普通帐篷的2倍，且用4500元购买的防晒帐篷比用1500元购买的普通帐篷多5件．（1）求防晒帐篷和普通帐篷的采购价；（2）小明准备拿出7500元全部用于采购防晒帐篷和普通帐篷并进行销售，设防晒帐篷采购a件，普通帐篷采购b件．①用含a的式子表示b；②经过市场调研，小明决定将防晒帐篷售价定为380元/件，普通帐篷售价定为180元/件．若采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，为了使销售完采购的帐篷时所获得的利润最大，请你为小明制定采购方案并求出最大利润．【分析】（1）设普通帐篷的采购价位x元，则防晒帐篷的采购价为2x元，以购买帐篷的数量为等量关系列出分式方程解答即可；（2）①根据购买普通帐篷和防晒帐篷的总价是7500列出式子整理即可；②列出利润w关于a的函数关系式，然后根据不等关系得出a的取值范围，计算w即可．【解答】解：（1）设普通帐篷的采购价位x元，则防晒帐篷的采购价为2x元，由题意得，，解得x＝150，经检验x＝150是原分式方程的根并符合实际意义，所以2x＝2×150＝300，答：普通帐篷的采购价为150元，防晒帐篷的采购价为300元．（2）①根据题意可知：300a+150b＝7500，整理得：b＝50﹣2a；②设销售利润为w元，则w＝（380﹣300）a+（180﹣150）b＝80a+30（50﹣2a）＝20a+1500，w是关于a的一次函数，a＞0，所以w随着a的增大而增大，∵采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，∴，解得10，a为正整数，所以当a＝16时利润最大，最大利润w＝20×16+1500＝1820，所以购买16件防晒帐篷，18件普通帐篷，可以获得最大利润1820元．【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键．11．（2022秋•宜兴市期末）好学的丽丽用所学知识测量路灯的高度．如图，丽丽和爸爸站在路灯AD下，爸爸的身高EF＝1.8m，丽丽的身高MN＝1.6m．爸爸的影子BF＝3m，丽丽的影子CN＝2m，两人相距FN＝16m，求路灯AD的高度．【分析】根据相似三角形△EBF∽△ABD的对应边成比例可得答案．【解答】解：∵EF∥AD，∴△EBF∽△ABD．∴．∴＝．∴．同理：，∴，∴．∴．∴AD＝7.2m．答：路灯AD的高度为7.2m．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．12．（2022春•武汉期末）如图1，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在l2上，线段AD交线段BC于点E，且∠BED＝60°．（1）求证：∠ABE+∠EDC＝60°；（2）如图2，当F、G分别在线段AE、EC上，且∠ABF＝2∠FBE，∠EDG＝2∠GDC，标记∠BFE为∠1，∠BGD为∠2．①若∠1﹣∠2＝16°，求∠ADC的度数；【分析】（1）利用平行线的性质和三角形的外角的性质解答即可；（2）①设∠FBE＝x，∠GDC＝y，则∠ABF＝2x，∠EDG＝2y，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解；②利用①中的方法，设∠FBE＝x，∠GDC＝y，则∠ABF＝2x，∠EDG＝2y，通过计算k∠1+∠2，令计算结果中的x的系数为0即可求得结论．【解答】（1）证明：∵l1∥l2，∴∠ABE＝∠ECD．∵∠BED＝∠ECD+∠EDC，∠BED＝60°，∴∠ABE+∠EDC＝60°；（2）解：①∵∠ABF＝2∠FBE，∠EDG＝2∠GDC，∴设∠FBE＝x，∠GDC＝y，则∠ABF＝2x，∠EDG＝2y．∴∠ABE＝3x，∠EDC＝3y．∴3x+3y＝60°，∴x+y＝20°．∵∠1+∠FBE＝∠BED＝60°，∠2+∠EDG＝∠BED＝60°，∴∠1+∠FBE＝∠2+∠EDG，∴∠1﹣∠2＝∠EDG﹣∠FBE，∵∠1﹣∠2＝16°，∴2y﹣x＝16°．∴，解得：．∴∠ADC＝3y＝36°．设∠FBE＝x，∠GDC＝y，则∠ABF＝2x，∠EDG＝2y．∴∠ABE＝3x，∠EDC＝3y．由①知：x+y＝20，∴y＝20﹣x，∵∠1＝∠BED﹣∠FBE＝60﹣x，∠2＝∠BED﹣∠EDG＝60﹣2y，∴k∠1+∠2＝k（60﹣x）+60﹣2y＝60k﹣kx+60﹣2（20﹣x）＝（2﹣k）x+60k+20，∵k∠1+∠2为定值，∴2﹣k＝0，∴k＝2，∴此时k∠1+∠2＝60×2+20＝140°，∴当k＝2时，（k∠1+∠2）为定值，此时定值为140°．故答案为：2；140°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，利用方程或方程组的思想解答是解题的关键．题型二：建立函数模型解决实际问题一．选择题（共4小题）1．（2023度）不同而有不同的数值，某次实验测得音速y（米/秒）与气温x（℃）的部分数据如表：气温x（℃）05101520…音速y（米/秒）331334337340343…下列说法不正确的是（）A．气温是因变量，音速是自变量B．y随x的增大而增大C．当气温是25℃时，音速是346米/秒D．气温每升高5℃，音速增加3米/秒【分析】结合表格信息运用函数的概念进行求解．【解答】解：由题意得，气温是自变量，音速是因变量；而y随x的增大而增大，气温每升高5℃，音速增加3米/秒，故当气温是25℃时，音速是346米/秒，故选：A．【点评】此题考查了运用函数的概念解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用该知识．2．（2022秋•亳州期中）已知一个长方形的周长为50cm，相邻两边分别为xcm，ycm，则它们的关系为是（）A．y＝50﹣x（0＜x＜50）B．y＝50﹣x（0≤x≤50）C．y＝25﹣x（0＜x＜25）D．y＝25﹣x（0≤x≤25）【分析】根据长方形周长的计算方法进行列式、求解．【解答】解：由题意得2（x+y）＝50，解得y＝25﹣x（0＜x＜25），故选：C．【点评】此题考查了根据实际问题列函数解析式的能力，关键是能正确理解问题间数量关系进行求解．3．（2022•涧西区一模）如图①，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（）A．B．C．5D．【分析】从图2看，当x＝2时，y＝AP＝6，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为AP＝3，当x＝0时，由勾股定理逆定理可知，OA⊥OB，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时t＝2，走过的角度为90°，可求出点P运动的速度，当t＝m时，AP＝OA＝OB，即△OAP是等边三角形，进而求解．【解答】解：从图2看，当x＝2时，y＝AP＝6，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为AP＝3，当x＝0时，OB2+OA2＝AP2，∴△OAB是直角三角形，且OA⊥OB，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示，此时x＝2，走过的角度为90°，则走过的弧长为×2π×r＝，∴点P的运动速度是÷2＝（cm/s），当t＝m时，AP＝OA＝OB，即△OAP是等边三角形，∴∠AOP＝60°，∴∠BOP＝360°﹣90°﹣60°＝210°，此时点P走过的弧长为：×2π×r＝，∴m＝÷＝，故选：D．【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系．4．（2021秋•梁溪区校级期中）如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分（如图1），画2条直线，最多能把白纸分成4部分（如图2），画3条直线，最多能把白纸分成7部分（如图3），当在一张白纸上画15条直线，最多能把白纸分成的部分是（）A．120B．121C．122D．123【分析】设直线的条数为x，最多能把白纸分成了y部分，当x＝1时，y＝2，当x＝2时，y＝4，当x＝3时，y ＝7，所以y与x满足了二次函数，然后进行计算即可．【解答】解：设直线的条数为x，最多能把白纸分成了y部分，由题意得：y＝ax2+bx+c，则，解得：，y＝x2+x+1，∴当x＝15时，代入y＝x2+x+1得，y＝121，故选：B．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据数据判断它们满足的是什么函数是解题的关键．二．填空题（共3小题）5．（2021春•北镇市期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，点M，N从A点出发，点M沿线段AB运动，点N沿线段AD运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设AM＝AN＝xcm，阴影部分的面积为ycm2，则y与x之间的关系式为y＝﹣x2+48．【分析】因为空白部分面积可表示为x2，长方形ABCD的面积为8×6，则可表示出该函数解析式为y＝﹣x2+48．【解答】解：由题意得，该阴影部分的面积为6×8﹣x2＝﹣x2+48，故答案为：y＝﹣x2+48．【点评】此题考查了根据实际问题写出相关函数表达式的能力，关键是能准确理解题目间的数量关系．6．（2021春•普宁市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，则CF的最小值为9．【分析】连接BF，依据等边三角形的性质，即可得到点F在∠DBE的角平分线上运动；当点D在CF上时，∠CFB＝90°，根据垂线段最短可知，此时CF最短，最后根据CB的长即可得到CF的长．【解答】解：如图所示，连接BF，∵等边△BDE中，F是DE的中点，∴BF⊥DE，BF平分∠DBE，∴∠DBF＝30°，即点F在∠DBE的角平分线上运动，∴当点D在CF上时，∠CFB＝90°，根据垂线段最短可知，此时CF最短，又∵∠ABC＝30°，∴∠CBF＝60°，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，∴BC＝AC＝6 ，∴Rt△BCF中，CF＝BC×sin∠CBF＝6 ×＝9．故答案为：9．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，即等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．连接BF，得到点F在∠DBE的角平分线上运动是解决问题的关键．7．（2022秋•青羊区期末）已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝8，点E、F分别是边AB、CD的中点，点P为AD边上动点，过点P作与AB平行的直线交AF于点G，连接PE，点M是PE中点，连接MG，则MG的最小值＝．【分析】方法一：如图，过点M作MN⊥PG于点N，取AP的中点H，连接MH，EF，设AP＝x，则AH＝PH＝x，利用矩形性质和三角形中位线定理可得：MH＝AE＝2，再证明四边形MNPH是矩形，可得：PN＝MH＝2，MN＝PH＝x，再证得△APG是等腰直角三角形，得出PG＝AP＝x，推出NG＝PG﹣PN＝x﹣2，运用勾股定理可得MG2＝MN2+NG2＝（x）2+（x﹣2）2＝（x﹣）2+，再运用二次函数性质即可求得答案．方法二：如图，以点D为原点，直线CD为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系，设P（0，t），运用中点坐标公式可得M（﹣2，），利用待定系数法求得直线AG的解析式为y＝x+4，进而可得G（t﹣4，t），再运用两点间距离公式即可求得答案．【解答】解：方法一：如图，过点M作MN⊥PG于点N，取AP的中点H，连接MH，EF，设AP＝x，则AH＝PH＝x，∵四边形ABCD是矩形，且AB＝2AD＝8，∴AB＝CD＝8，AD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，∵PG∥AB，∴PG∥CD，∴∠APG＝∠D＝90°，∵点E、F分别是边AB、CD的中点，AB＝2AD＝8，∴AE＝AD＝DF＝4，∵点M是PE中点，点H是AP的中点，∴MH∥AB，MH＝AE＝2，∴∠PHM＝∠BAD＝90°，∵MN⊥PG，∴∠MNP＝∠MNG＝90°＝∠PHM＝∠APG，∴四边形MNPH是矩形，∴PN＝MH＝2，MN＝PH＝x，∵AD＝DF，∠D＝90°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴∠AFD＝45°，∵PG∥CD，∴∠AGP＝∠AFD＝45°，∵∠APG＝90°，∴△APG是等腰直角三角形，∴PG＝AP＝x，∴NG＝PG﹣PN＝x﹣2，在Rt△MNG中，MG2＝MN2+NG2＝（x）2+（x﹣2）2＝（x﹣）2+，∵＞0，∴当x＝时，MG2取得最小值，∵MG＝＝＝，∴MG的最小值为，故答案为：．方法二：如图，以点D为原点，直线CD为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系，∵四边形ABCD是矩形，且AB＝2AD＝8，∴A（0，4），B（﹣8，4），C（﹣8，0），D（0，0），∵点E、F分别是边AB、CD的中点，∴E（﹣4，4），F（﹣4，0），设P（0，t），∵点M是PE中点，∴M（﹣2，），设直线AG的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AG的解析式为y＝x+4，∵PG∥x轴交AF于G，∴G（t﹣4，t），∴MG2＝[（t﹣4）﹣（﹣2）]2+（t﹣）2＝t2﹣6t+8＝（t﹣）2+，∵＞0，∴MG2有最小值，∵MG＞0，∴MG的最小值为＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形性质，勾股定理，运用待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，二次函数的最值等知识，解题关键是运用函数思想解决几何问题．三．解答题（共7小题）8．（2022春•顺德区校级期中）甲、乙两地打电话需付的电话费y（元）是随时间t（分钟）的变化而变化的，试根据下表列出的几组数据回答下列问题：123456…通话时间t（分钟）0.150.300.450.60.750.9…电话费y（元）（1）自变量是t，因变量是y．（2）写出电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式．（3）若小明通话15分钟，则需付话费多少元？（4）若小明某次通话后，需付话费6元，则小明通话多少分钟？【分析】（1）根据函数的定义即可确定自变量与因变量；（2）根据表格信息可得每通话1分钟需付话费0.15元可求得此题结果；（3）将t＝15代入该函数解析式进行求解即可；（4）将y＝6代入该函数解析式进行求解即可．【解答】解：（1）由题意可得，自变量是t，因变量是y，故答案为：t，y；（2）由题意可得，每通话10.15元，∴电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式是y＝0.15t；（3）当t＝15时，得y＝0.15×15＝2.25，故小明通话15分钟，则需付话费2.25元；（4）当y＝6时，得0.15t＝6，解得t＝40，故小明通话40分钟．【点评】此题考查了运用函数的概念解决实际问题的能力，关键是能结合题意与函数的概念进行列式、计算．9．（2022春•云岩区期中）你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．排碳计算公式：家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785开私家车的二氧化碳排放量（kg）＝耗油量（L）×2.7家用天然气二氧化碳排放量（kg）＝天然气使用量（m3）×0.19家用自来水二氧化碳排放量（kg）＝自来水使用量（t）×0.91（1）设家居用电的二氧化碳排放量为y（kg），耗电量为x（kW•h），则家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为y＝0.785x；（2）在上述关系式中，耗电量每增加1kW•h，二氧化碳排放量增加0.785kg；当耗电量从1kW⋅h增加到100kW•h时，二氧化碳排放从0.785kg增加到78.5kg；（3）小明家本月家居用电大约110kW•h，天然气20m3，自来水5t，开私家车耗油75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．【分析】（1）根据家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785可得此题结果；（2）由家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785可解得此题结果；（3）分别按照表中提供信息分别进行求解．【解答】解：（1）由题意可得y＝0.785x，故答案为：y＝0.785x；（2）∵家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785，∴耗电量每增加1kW•h，二氧化碳排放量增加0.785kg，当耗电量1kW⋅h时二氧化碳排放量为0.785kg，当耗电量100kW⋅h时二氧化碳排放量为78.5kg，故答案为：0.785kg，78.5kg；（3）110×0.785＝86.35（kg），0.19×20＝3.8（kg），0.91×5＝4.55（kg），2.7×75＝202.5（kg），答：小明家用电的二氧化碳排放量是86.35kg，天然气的二氧化碳排放量是3.8kg，自来水的二氧化碳排放量是4.55kg，开私家车的二氧化碳排放量是202.5kg．【点评】此题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能正确理解问题间数量关系，并正确运用函数知识进行求解．10．（2023春•中原区期中）已知梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8，梯形的面积记为y．（1）求梯形的面积y与上底长x之间的关系式；（2）请将下面的表格补充完整，并说明当x每增加1时，y如何变化；底长x…23456…面积y…6872768084…（3）当x＝0时，y的值表示的含义是什么？【分析】（1）结合题意，运用梯形面积公式进行列式、化简；（2）分别将对应x的值代入（1）题所求函数解析式进行求解；（3）当x＝0时该梯形就变成了一个三角形，y的值表示的含义是就是该三角形的面积．【解答】解：（1）由题意得，y＝×（x+15）×8，化简得y＝4x+60，∴该梯形的面积y与上底长x之间的关系式是y＝4x+60；（2）当x＝3时，y＝4×3+60＝12+60＝72；当x＝6时，y＝4×6+60＝24+60＝84，故答案为：84；（3）当x＝0时，该图形就变成了一个三角形，∴y的值表示的含义是就是一个底为15，高是8的三角形的面积．【点评】此题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能准确理解题意，正确地列式、计算．11．（2022春•碑林区校级期中）大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张8元．暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，大剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的80%付款，两种方案只能选择其中一种，某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会．（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别求出两种优惠方案中y与x的关系式；（2）若听音乐会的学生人数为12人，请通过计算确定选择哪种方案更优惠．【分析】（1）根据两种消费方式分别列出对应的函数解析式；（2）将x＝12分别代入两个函数解析式进行计算比较．【解答】解：（1）由题意得，方案1中y与x的关系式为：y＝20×4+8×（x﹣4），。

构建函数模型，解决实际应用苏州工业园区第六中学胡雪芹摘要：随着新课程标准的实施与推进，对学生应用能力的考查显得越来越重要，而数学建模可以有效地解决实际中的应用。

本文通过举例对构建函数模型，解决实际应用作了初步探讨。

数学教师在新课程实施中要努力渗透数学建模思想，为全面实施素质教育服务。

关键词：函数建模，实际应用著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。

”《九年制义务教育数学课程标准（实验稿）》基本理念的第二条明确指出：“数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。

”恩格斯说过：“由一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏而是数学的杠杆，如果没有它，就不能走很远。

”由于数学建模就是把实际问题转换成数学问题，因此如果我们在数学教学中用好建模这根有力的杠杆，对培养学生思维品质的灵活性、创造性及开发智力、培养能力是十分有益的。

可以说凡有数学应用的地方就有数学建模，数学建模在今后的数学教育中必将占有重要地位。

进入21世纪，不管是世界性的数学课程改革，还是我国的数学课程改革，也无论是哪一学段的数学课程，其中都加强了应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求。

随着新课程标准的实施与推进，对学生应用能力的考查是中考的一大热点。

中考中应用性试题的题量逐年增加，题型逐年丰富，问题的取材一改原先局限于工程问题、行程问题等老面孔，而富有时代气息，切合实际、贴近学生生活，或关系民情国情等实际问题。

特别是最近几年的中考应用题的设计背景材料趋于复杂，数学化比较困难，这就要求学生能读懂题目的条件和要求，将所学知识和方法灵活运用于全新的问题情境中，抽取出问题的数学本质，建立适当的数学模型，尤其需要借助函数的模型，创造性地求解。

一、数学建模的含义及操作程序所谓数学建模就是要把现实生活中具体实体内所包含的数学知识、数学规律抽象出来，构成数学模型，根据数学规律进行推理求解，得出数学上的结论，返回解释验证，以求得实际问题的合理解决。

数学模型与实际问题的建立与解决数学模型的建立在实际问题的解决中起着至关重要的作用。

通过建立数学模型，我们可以将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法来解决。

本文将探讨数学模型的建立过程以及其在实际问题中的应用，并举例说明数学模型的解决能力。

一、数学模型的建立数学模型的建立是将实际问题抽象为数学形式的过程。

在建立数学模型时，我们需要考虑以下几个因素：1.问题的背景和目标：首先，我们需要了解问题的背景和目标。

对于一个实际问题，我们需要明确我们想要解决什么问题，以及我们想要达到的目标是什么。

2.问题的变量和参数：接下来，我们需要确定问题中的变量和参数。

变量是我们想要研究的量，而参数是我们已知或需要估计的量。

通过确定变量和参数，我们可以建立数学方程来描述问题。

3.问题的约束条件：实际问题往往有一些限制条件，如资源约束、时间约束等。

在建立数学模型时，我们需要将这些约束条件考虑在内，并将其转化为数学方程。

4.问题的数学关系：最后，我们需要确定问题中的数学关系。

通过数学关系，我们可以将问题转化为数学问题，并利用数学方法进行求解。

二、数学模型在实际问题中的应用数学模型在实际问题中有着广泛的应用。

下面以两个具体的案例来说明数学模型的解决能力。

1.物流配送问题假设有一家电商公司，需要确定一条最优的配送路线，以最小化成本。

这是一个典型的物流配送问题。

为了解决这个问题，我们可以建立一个数学模型，将配送路线、距离、成本等因素考虑进去。

通过数学模型，我们可以确定最优的配送路线，并计算出最小的成本。

2.人口增长模型人口增长是一个长期以来备受关注的问题。

为了预测未来的人口数量，我们可以建立一个人口增长模型。

通过收集历史数据，并利用数学方法进行拟合和预测，我们可以建立一个准确的数学模型，用于预测未来的人口增长。

三、数学模型的优势和局限数学模型在解决实际问题时具有一些明显的优势。

首先，数学模型可以将复杂的实际问题转化为简单的数学问题，从而降低解决问题的难度。

构建数学模型解决实际社会问题在现代社会中，数学模型的作用日益凸显。

数学模型是通过数学方法和技巧对实际问题进行描述和分析的一种工具。

通过构建数学模型，可以简化复杂的实际问题，提取关键信息，进行精确的分析和预测。

本文将从数学模型的基本概念入手，探讨如何应用数学模型解决实际社会问题，并以交通流量控制为例，说明数学模型在实际问题中的应用。

一、数学模型的基本概念数学模型是通过数学公式和符号来描述和表示实际问题的一种方式。

它由数学模型的建立、求解和验证三个步骤组成。

在建立数学模型时，我们需要确定问题的对象、变量和关系，并将其用数学语言进行描述。

然后，我们使用数学方法和技巧对模型进行求解，得到问题的解析解或数值解。

最后，我们通过实验证明模型的有效性和准确性。

二、应用数学模型解决实际问题的步骤1. 确定问题的背景和目标：首先，我们需要了解问题的具体背景和要达到的目标。

例如，交通流量控制的目标可能是减少交通堵塞，提高道路通行效率。

2. 确定问题的对象和变量：确定问题中的关键对象和变量，这些变量可以是人口数量、交通流量、道路容量等。

例如，交通流量控制的变量可能包括道路长度、车辆密度、车速等。

3. 建立数学模型：根据问题的背景和目标，建立数学模型。

可以使用数学方程、函数、图论等工具来描述问题的关系。

例如，在交通流量控制中，可以使用流体力学方程来描述交通流的行为。

4. 求解数学模型：利用数学方法和技巧对模型进行求解，得到问题的解析解或数值解。

例如，可以利用数值计算方法模拟交通流的行为，预测交通堵塞的程度。

5. 验证和优化模型：通过实验证明模型的准确性和有效性，并对模型进行优化。

例如，可以收集交通流量数据，与模型的预测结果进行比较，进而改进模型的参数和假设，提高模型的预测能力。

三、交通流量控制的数学模型应用交通流量控制是一个具有重要实际意义的问题。

在城市化进程中，交通拥堵成为一个普遍存在的问题。

通过构建数学模型，可以对交通流量进行预测和控制，提高道路通行效率。

构建数学模型 解决实际问题——例谈新课改下的初中数学建模教学内容摘要：数学模型是数学知识与数学应用的桥梁。

在初中数学教学中，教师应帮助学生树立模型思想，让学生通过对初中常见数学模型：方程（组）模型、不等式（组）模型、函数模型、统计、概率模型等的学习，领会数学模型的思想和方法。

教师还要引导学生根据题意建立数学模型。

使学生明白：数学建模过程就是通过运用观察、类比、归纳、分析等数学思想，构造新的数学模型来解决实际问题，从而使学生体会到数学的价值，享受到学习数学的乐趣。

关键词: 初中数学，数学建模，问题解决一、 问题提出数学新课标指出“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。

数学与人类的活动息息相关。

数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养。

”数学素养他包括数学意识、问题解决、逻辑推理和信息交流四个方面。

数学建模既有“数学意识”的因素，又有“问题解决”的因素。

“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。

在新课标对学习内容的要求中，又着重强调“数与代数”的教学中，应帮助学生树立模型思想，“模型”是数与代数的重要内容。

代数是表示交流与解决问题的工具；代数内容的学习应当从单纯关注计算转向关注模型表示与计算，因而在初中进行数学建模教学是提高学生应用意识和培养数学素养的重要途径，这也体现了新课标提出的“学数学，做数学，用数学”的理念。

二、初中数学建模的过程与类型 （一）、 初中数学建模的过程解释与应用从现实生活中抽象出数学问题建立数学模型求出数学模型的结果（二）、初中数学常见数学模型及教学2.1、方程（组）模型方程（组）是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。

因此，在方程（组）的教学中，应关注数学建模应用的过程，以培养学生良好的方程观念，增强学生的数学应用意识，用数学思想构造模型，解方程（组）则是另一个方面。

构建数学模型解决实际问题“能够运用所学知识解决简单的实际问题”是九年义务教育数学教学大纲规定的初中数学教学目的之一。

能够解决实际问题是学习数学知识、形成技能和发展能力的结果，也是对获得知识、技能和能力的检验。

构建数学模型解决实际问题基本程序如下：解题步骤如下：1、阅读、审题：要做到简缩问题，删掉次要语句，深入理解关键字句；为便于数据处理，最好运用表格（或图形）处理数据，便于寻找数量关系。

2、建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。

3、合理求解纯数学问题4、解释并回答实际问题中学阶段主要求解下面几类应用题，本文以2004年全国各地中考试题为例供同学们学习。

一、数与式模型例1、水是生命之源,水资源的不足严重制约我市的工业发展,解决缺水的根本在于节约用水,提高工业用水的重复利用率、降低每万元工业产值的用水量都是有力举措。

据《台州日报》4月26日报导,目前,我市工业用水每天只能供应10万吨,重复利用率为45℅,先进地区为75℅,工业每万元产值平均用水25吨,而先进地区为10吨,可见我市节水空间还很大。

(1)若我市工业用水重复利用率(为方便,假设工业用水只重复利用一次)由目前的45℅增加到60℅,那么每天还可以增加多少吨工业用水？(2) 写出工业用水重复利用率由45℅增加到x ℅（45＜x ＜100）,每天所增加的工业用水y(万吨)与之间的函数关系式。

(3) 如果我市工业用水重复利用率及每万元工业产值平均用水量都达到先进地区水平,那么与现有水平比较,仅从用水的角度我市每天能增加多少万元工业产值？解：(1)100000×(1+60％)－100000×(1+45％)=100000×15％=15000(吨)答：每天还可以增加15000吨工业用水(2) y=10(x ％－45％)=0.1x －4.5（45＜x ＜100） (3)1170025)45.01(10000010)75.01(100000=+⨯-+⨯(万元)答：每天能增加11700万元工业产值。

利用数学模型解决实际问题数学模型在解决实际问题中起着重要的作用。

通过建立数学模型，我们可以通过数学方法对问题进行分析、计算和预测。

本文将介绍数学模型在解决实际问题中的应用，并通过具体案例来说明其解决问题的有效性。

一、什么是数学模型数学模型是指通过符号和公式来描述现实问题的数学工具。

它是对实际问题进行抽象和简化的一种方式，在模型中，我们可以通过变量、方程和约束条件来表示问题的各个要素和关系。

通过数学模型，我们可以对问题进行定量分析、优化决策和预测等。

二、数学模型的应用领域数学模型广泛应用于科学研究、工程技术和社会经济等领域。

以下是数学模型的一些常见应用领域：1.物理学：数学模型在物理学中有着重要的地位，如牛顿力学中的运动方程、电磁场理论中的麦克斯韦方程等。

2.生物学：生物学中的许多现象和过程都可以用数学模型进行描述和研究，如生物种群的增长模型、生物网络的建模等。

3.经济学：经济学中的供需关系、价格变动等可以通过建立经济模型进行分析和预测。

4.环境科学：数学模型可以对环境问题进行建模和模拟，如气候变化、水资源管理等。

5.交通运输：交通运输领域的交通流量、交通拥堵等问题可以通过建立交通流模型进行分析和优化。

三、数学模型的优势和挑战数学模型在解决实际问题中具有以下优势：1.精确性：数学模型能够对问题进行精确分析和计算，提供准确的预测和决策依据。

2.效率性：通过数学模型，我们可以通过计算机等工具进行大规模的计算和优化，提高问题解决的效率。

3.可视化：数学模型可以帮助我们将问题可视化，通过图表和图像展示问题的各个方面，更好地理解问题。

然而，数学模型的建立和应用也存在一些挑战：1.问题的抽象和简化：为了建立数学模型，我们通常需要对实际问题进行抽象和简化，这可能导致模型与实际问题存在一定差距。

2.数据的获取和处理：数学模型通常需要大量的数据支持，而在实际问题中，数据的获取和处理可能存在困难。

3.模型的复杂性：某些实际问题可能涉及多个变量和约束条件，需要建立复杂的数学模型进行分析和求解。

数学教学中的数学模型建立与解决实际问题数学作为一门重要的学科，旨在帮助学生培养逻辑思维和解决问题的能力。

在教学过程中，数学模型的建立和运用对于学生的学习和实际问题的解决都具有重要意义。

本文将围绕数学教学中数学模型的建立与解决实际问题展开讨论。

一、数学模型的概念和建立数学模型是对实际问题进行抽象和归纳后所建立的数学描述。

在数学教学中，数学模型可以以数学的方式表达和解决各种实际问题，如生活中的计算问题、科学实验中的数据分析等。

数学模型的建立需要以下几个步骤：1. 初步分析：对实际问题进行观察和分析，确定问题的关键点和需要解决的目标。

2. 建立数学关系：将实际问题中的关系用数学方式表示，确定变量、参数和约束条件。

3. 模型求解：根据建立的数学关系，运用数学方法进行求解，得到相应的数学结果。

4. 模型验证：将数学结果与实际问题进行比较和验证，确保模型的可靠性和有效性。

二、数学模型在实际问题中的应用数学模型在解决实际问题中起到了重要作用，以下是数学模型在教学中的一些应用案例：1. 飞行轨迹优化模型在航空航天领域，飞行轨迹优化是一个重要的问题。

通过建立数学模型，可以分析和计算出最佳的飞行路径，以减少燃料消耗和时间。

这样的数学模型可以给学生提供一个实际问题，让他们应用数学知识进行求解。

2. 统计分析模型在生活中，我们经常需要对大量数据进行统计分析。

通过建立数学统计模型，可以对数据进行整理、分析和预测。

学生通过学习和运用这一模型，可以提高对数据的理解和利用能力，更好地适应信息化时代的发展。

3. 环境污染模型环境污染是当今社会所面临的重要问题之一。

建立数学环境污染模型，可以对污染源、传输过程和影响因素进行定量分析和预测，从而采取相应的防治措施。

通过引入环境问题的数学模型，学生可以了解环境问题的本质和复杂性，并理解数学在解决环境问题中的重要性。

三、数学模型教学的意义和挑战数学模型教学有助于提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力，但同时也面临着一些挑战。

建立函数模型解决实际问题1、数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．2、数学建模就是把实际问题加以 抽象概括 建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键．3、实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 ． 建立函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；（2）建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得到数学结论；（4）结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论． 典例解析：例1、有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求出它的定义域．分析：关键是用半径R 与腰长x 表示上底，由对称性：2CD AB AE =-，故只要求出AE ．例2、某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm ；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质，两侧的温度差为T ∆，单位时间内，在单位面积上通过的热量T Q k d ∆=⋅，其中k 为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为3410 J mm/C -⨯⋅，空气的热传导系数为42.510 J mm/C -⨯⋅．） （1）设室内，室外温度均分别为1T ，2T ，内层玻璃外侧温度为1T '，外层玻璃内侧温度为2T '，且1122T T T T ''>>>．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用1T ，2T 及x 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x 的大小？图1图2例3、将一张长8cm ，宽6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S 1cm 2，S 2cm 2，其中S 1≤S 2．记折痕长为l cm ． （1）若l ＝4，求S 1的最大值；（2）若S 1∶S 2＝1∶2，求l 的取值范围．解析：如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上； ②折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上； ③折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．ABCD （情形①）MNABCD （情形②）MNABCD （情形③）MN例4、如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。

构建数学模型解决实际问题随着信息时代的到来，数学与其它学科的联系更加密切，数学的应用越来越广泛，因此构建数学模型、解决实际问题已成为近几年的中考热点之一。

这类问题贴近生活、贴近社会，有利于体现数学的人文价值和社会价值，有利于考查学生分析、猜想、建模和综合应用等各方面的能力。

一、构造一元二次方程模型，解决实际问题在实际问题中，要分析具体的数量关系，抓住问题中的不变量，找出等量关系，运用数学知识解决问题。

例1、某超市将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件。

如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件。

假设超市为使这种商品每天赚得8000元利润，商品的售价应定为每件多少元？分析：本题中的不变量是每天赚得8000元的利润，相等关系是：每件商品的利润×销售数量=8000元。

解：设该商品的售价为（50+x）元，则每件商品的利润为[（50+x）-40]元，销售量为（500-10x）件。

根据题意得：[（50+x）-40](500+10x)=8000解得：x1=10，x2=30所以，每天要赚得8000元的利润，这种商品的售价应定为每件60元或80元。

此类问题较好地体现了“问题情境——建立模型——解决问题”的数学学习模式，能较好地考查学生运用方程解决问题的能力。

二、构造函数关系，解决实际问题建立函数模型是解决有关实际问题的重要方法，要通过学生审题，把实际问题提炼出某个函数模型的过程，从而利用数学知识使问题迎刃而解。

例2、近几年，扬州先后获得了“中国优秀旅游城市”和“僵生态建设示范城市”等十多个殊荣，到扬州观光旅游的客人越来越多，某景点每天都吸引了大量的游客前来观光。

事实表明，如果游客过多，不利于保护珍贵文物。

该景点拟采用浮动门票价格的方法来控制游览人数。

已知每张门票原价为40元，现设浮动门票为每张x元，且40≤x≤70，经市场调研发现一天游览人数y与票价x之间存在着如图1所示的一次函数关系。