多角度建立方程模型,有效解决数学实际问题

浅谈如何构建方程模型解决问题作者：杜震芳来源：《读写算·教研版》2015年第11期摘要：让学生学会建模，从一些学生比较熟悉的实际问题出发，让他们有获得成功的机会，享受成功的喜悦，培养学生发现问题，转化问题的能力，逐步培养他们的建模能力。

关键词：方程模型；等量关系；未知数中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）11-008-01方程模型就是用方程的思想，从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，运用已知条件或隐含条件，把所研究的数学问题中已知量和未知量的数学关系，转化为方程和方程组等数学模型，从而使问题得以解决的数学方法。

学习方程的目的主要是使学生能够应用所学知识，来解决一些实际和生活中的问题，如何使学生有较强的构建方程模型解决问题的能力，一直是教学中的难点。

现在初中生社会阅历比较差，无法把实际问题与数学原理进行联系。

许多实际题目学生连看都看不懂，因而建模无法成功。

我们要让学生学会建模，就必须从一些学生比较熟悉的实际问题出发，让他们有获得成功的机会，享受成功的喜悦，从而培养学生发现问题，转化问题的能力，逐步培养他们的建模能力。

在教学中我也一直摸索如何能有效的利用方程模型解决实际问题，下面浅谈一下自己在教学中的具体做法：第一步：教会学生读题。

读题是一个很关键的环节，读不好题，也就不好分析问题，更不用说解决问题了。

读题一要漫读，整体领略是哪方面的问题，是路程问题还是利润问题，是面积问题还是增长率问题，我告诉学生是哪一方面的问题，脑子里就应马上准备出哪方面的关系式，如果是路程问题，那就有路程等于速度乘以时间这个基本式，如果是利润问题那就有利润等于售价减成本，总利润等于数量乘以每件利润等关系。

漫读就像方向标，决定着我们向哪个方向前进。

例如《一元二次方程的应用》中的例1：新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元。

市场调研表明：当售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当售价每降低50元时，每天就能多售出4台。

如何利用方程模型突破难点解决实际问题武威第二十四中学尊敬的各位领导、老师：大家上午好！根据工作室安排，今天由我就《如何利用方程模型突破难点解决实际问题》这个专题进行发言，不当之处望大家批评指正。

义务教育七年级教科书在第三章内容中明确指出：“以方程为工具分析问题、解决问题，即根据问题中的相等关系建立方程模型是全章的重点之一，同时也是难点”。

可见，分析问题、建立模型是一元一次方程解决实际问题的核心。

然而，对于刚进入初中的学生而言，每一步都是硬骨头。

因为他们的生活经验、思维方式及信息转化能力尚处于起步阶段，面对这些难题是一筹莫展。

作为教师，该采取什么样的教学方式来突破这些难点呢？我认为应该从以下几个方面入手。

一、做好背景知识铺垫，体现数学问题的生活性数学源于生活，服务于生活，特别是用方程解决实际问题更不能脱离实际。

人教版教材在七年级上学期第三章就出现了列一元一次方程解决实际问题的内容。

该部分内容学生难学，教师难教，其重要原因之一就是学生缺乏一定的生活背景，感觉问题很抽象。

比如说，缴税问题、电话扣费问题、销售问题以及球赛积分问题等等，都会出现一些学生比较陌生的背景知识。

按照收入分段缴税问题、电话扣费问题可能是学生闻所未闻的；销售问题中标价、售价、进价、利润及利率之间的关系大部分学生是模糊的，特别是乡村学生；球赛积分问题，是很多学生都未曾亲身体验过的，自然就不清楚如何积分。

作为教师，一方面要充分考虑学生的实际生活经验，不应该盲目抱怨学生的理解能力，不能一味关注如何去找等量关系、如何去列方程，而应该适当填补学生生活知识的空白，把问题中所涉及到的背景知识先讲清楚讲透彻，帮助学生把握题意。

另一方面，选题时一定要精心筛选，避免背景知识过于生僻的问题出现。

二、注重相似问题分类，体现数学思想的渐进性利用方程模型解决实际问题的类型繁多、形式多样，让学生眼花缭乱，望而生畏。

如何帮助学生克服畏惧感，让他们对实际问题有清晰的脉络是突破教学难点的关键。

构建数学模型 解决实际问题——例谈新课改下的初中数学建模教学内容摘要：数学模型是数学知识与数学应用的桥梁。

在初中数学教学中，教师应帮助学生树立模型思想，让学生通过对初中常见数学模型：方程（组）模型、不等式（组）模型、函数模型、统计、概率模型等的学习，领会数学模型的思想和方法。

教师还要引导学生根据题意建立数学模型。

使学生明白：数学建模过程就是通过运用观察、类比、归纳、分析等数学思想，构造新的数学模型来解决实际问题，从而使学生体会到数学的价值，享受到学习数学的乐趣。

关键词: 初中数学，数学建模，问题解决一、 问题提出数学新课标指出“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。

数学与人类的活动息息相关。

数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养。

”数学素养他包括数学意识、问题解决、逻辑推理和信息交流四个方面。

数学建模既有“数学意识”的因素，又有“问题解决”的因素。

“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。

在新课标对学习内容的要求中，又着重强调“数与代数”的教学中，应帮助学生树立模型思想，“模型”是数与代数的重要内容。

代数是表示交流与解决问题的工具；代数内容的学习应当从单纯关注计算转向关注模型表示与计算，因而在初中进行数学建模教学是提高学生应用意识和培养数学素养的重要途径，这也体现了新课标提出的“学数学，做数学，用数学”的理念。

二、初中数学建模的过程与类型 （一）、 初中数学建模的过程解释与应用从现实生活中抽象出数学问题建立数学模型求出数学模型的结果（二）、初中数学常见数学模型及教学2.1、方程（组）模型方程（组）是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。

因此，在方程（组）的教学中，应关注数学建模应用的过程，以培养学生良好的方程观念，增强学生的数学应用意识，用数学思想构造模型，解方程（组）则是另一个方面。

构建数学模型解决实际问题在现实生活中，数学模型在解决实际问题中起着重要的作用。

数学模型可以帮助我们理解和分析复杂的现象，并提供可靠的解决方案。

本文旨在探讨构建数学模型解决实际问题的方法和步骤，并通过实例说明其应用。

1. 引言数学模型是对真实问题进行抽象和描述的工具。

通过建立数学模型，我们可以用数学的语言来描述和分析问题，找到最优解或者最佳逼近解。

2. 构建数学模型的步骤构建数学模型的步骤可以总结为以下几个方面：2.1 理解问题首先，我们需要详细了解和理解所面对的问题，并确定我们希望通过数学模型解决的关键问题。

在这个阶段，与问题相关的背景知识和实际数据的收集非常重要。

2.2 建立数学模型在理解问题的基础上，我们需要选择合适的数学工具和方法来建立数学模型。

这可以包括代数方程，微分方程，最优化问题等。

模型的建立需要考虑问题的特征和约束条件。

2.3 确定变量和参数在建立数学模型时，我们需要明确问题中的变量和参数。

变量是我们希望寻找解的未知量，而参数是已知的常量或者变量。

准确地定义变量和参数对于建立准确的数学模型至关重要。

2.4 建立方程和约束条件通过数学语言将问题转化为方程和不等式是建立数学模型的关键步骤。

方程和约束条件应该反映问题的本质和特点，并与已知数据和条件一致。

2.5 求解数学模型一旦建立数学模型，我们可以使用数值计算方法或者解析解的方法来求解模型。

这可以包括计算机模拟，数值优化算法，数值求解等。

3. 数学模型解决实际问题的实例为了更好地理解数学模型的应用，以下是一个实际问题的例子。

假设我们在一个城市里需要确定最佳警力部署方案来保护城市的安全。

根据历史数据和犯罪热点分析，我们知道各个地区的犯罪率和犯罪类型。

我们希望通过数学模型来决定最佳的警力分配，以达到减少犯罪率的目标。

首先，我们需要收集城市各地区的犯罪率数据和警力资源情况。

然后，我们可以建立一个数学模型，将城市划分为若干个区域，每个区域对应一个变量，代表该区域的警力投入。

数学活动——构建一元一次方程模型解决实际问题一、新课导入1.活动导入：本节课通过以下两个数学活动，学会关注实际生活中隐含的数学问题，并经历建立一元一次方程模型解决问题的过程，提高分析问题、解决问题的能力，增强应用数学的意识.2.活动目标：（1）经历建立一元一次方程模型并应用它解决实际问题的过程，提高分析问题和解决问题的能力.（2）通过动手实验与动脑分析相结合发现规律，增强创新精神和用数学的意识.3.活动重、难点：分析问题中的数量关系建立一元一次方程模型.4.活动材料：一根质地均匀的木杆，一段细绳，一些质量相等的砝码、刻度尺.二、活动过程活动1探究增长率问题1.活动指导：（1）活动内容：教材第109页活动1.（2）活动时间：6分钟.（3）活动方法：弄清楚资料中相关数据的含义，思考如何建立出一元一次方程.（4）活动参考提纲：①去年相较于前年的人均收入增长率是如何计算得来的？其数学表达式是：增长率=(去年人均收入-前年人均收入)÷前年人均收入，变形为：去年人均收入=前年人均收入×（1+增长率）②设山水市前年人均收入为x元，依据上面①中关系式和已知条件可列出方程：x(1+8%)=11664.③由已知条件可知去年价格上涨率为1.5%，那么，如何设未知数列出方程求得去年售价为1000元的商品在前年的售价是多少呢？设去年售价为1000的商品在前年的售价是x元.则x·（1+1.5%）=1000.解得x≈985.22.④解方程求得原问题答案.2.自学：同学们可结合自学指导自主学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师巡视课堂，关注学生是否弄清相关数据的含义，尤其是增长率的表达式.②差异指导：对学习有困难的学生，教师要结合生活实际从他们熟悉的事例中启发诱导他们弄清楚相关数据之间的关系，进而设未知数列出方程.（2）生助生：小组内相互交流研讨，互帮互学.4.强化：（1）小组选派代表展示活动成果.（2）教师强调：增长率=变化量/原有量×100%，变化量=现有量－原有量.活动2探究杠杆平衡问题1.活动指导：（1）活动内容：教材第109页活动2.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：按要求动手实验，动脑思考，总结规律.（4）活动参考提纲：①按要求动手实验，测量并记录下相关数据：②分析上表记录下的实验数据，你能发现什么规律？支点左端悬挂重物数×平衡时左端重物到支点的距离=支点右端悬挂重物数×平衡时右端重物到支点的距离.③按照你所发现的规律，列出本活动中最后面问题中的一元一次方程，并求出它的解.2.自学：同学们可结合自学指导，小组内相互合作，交流解决相关问题.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师巡视课堂，了解学生实验时是否态度端正、严谨，能否从实验数据中发现蕴藏的规律.②差异指导：根据学情有针对性地进行指导、点拨.（2）生助生：小组内相互合作、交流、探讨，共同解决问题.4.强化：(1)杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂.（2）如何解字母系数的方程.三、评价1.学生的自我评价：反思活动过程，自评活动中的表现，自查问题，总结取得的收获.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：根据活动表现，学习态度和完成情况对学生进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时为数学活动课，教学时以学生自学为主，教师引导为辅，让学生真正参与到活动中并能有所收获.对于活动一，部分学生在对两个增长率的认识上有一定困难，可通过同学间的交流研讨或教师提醒予以帮助.活动二如果放在物理学中，很容易解决，但对七年级的学生来说，杠杆平衡问题涉及的一元一次方程模型还是有一定难度，两个活动的核心都体现在了模型建立上，所以在教学过程中引导学生不要以解决问题为目的，要以从活动中建立数学模型并掌握建立模型的思考方法为目的，这样活动课才有意义.一、基础巩固1.（20分）某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，则标价为（C)A.26元B.27元C.28元D.29元2.（20分）为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定大幅度降低药品价格，某种常用药品降价40%后的价格为a元，则降价前此药品的价格为（B)A.25a元 B. 53a元C.40%·a元D.60%·a元3.（20分）某学校在对口援助边远山区学校活动中，原计划赠书3000册，由于学生的积极响应，实际赠书3780册，其中初中部比原计划多赠了20%，高中部比原计划多赠了30%，问该校初、高中部原计划各赠书多少册？解：设初中计划赠书x册，则高中部计划赠书（3000-x）册.由题意列出方程：x(1+20%)+(3000-x)(1+30%)=3780解得x=1200 ，3000-x=1800(册).答：初中部原计划赠书1200册，高中部原计划赠书1800册.二、综合应用4.（20分）用一根长60 cm的铁丝围成一个长方形.（1）若长方形的宽是长的23，此时长方形的面积是多少？（2）若长方形的宽比长少4 cm，此时长方形面积是多少？（3）若围成的是一个正方形，此时正方形面积是多少？（4）比较（1）、（2）、（3）中的面积关系，你能归纳出什么规律？解：（1）设长为x cm，则宽为23x cm.由题意（x+23x）×2=60.解得x=18, 23x=12.长方形的面积为18×12=216（cm2）.（2）设长为y cm，则宽为（y-4）cm.由题意（y+y-4）×2=60.解得y=17,y-4=13.长方形的面积为17×13=221（cm2）.（3）设正方形边长为z cm.由题意4z=60.解得z=15.正方形的面积为15×15=225（cm2）.（4）周长一定时，长方形的长与宽相差越小，面积越大，当长与宽相等即为正方形时，面积最大.三、拓展延伸5.（20分）“丰收1号”油菜籽平均每公顷产量为2400 kg，含油率为40%，“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”平均每公顷产量提高了300 kg，含油率提高了10个百分点，某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少3公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高3750 kg，这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？解：设这个村今年种植油菜的面积是x hm2，去年种植油菜的面积是（x+3）hm2，则去年种植“丰收1号”油菜的产油量为2400×40%×（x+3）.今年种植“丰收2号”油菜的产油量为（2400+300）×（40%+10%）x.根据题意得2400×40%×（x+3）=(2400+300)×(40%+10%)x-3750.化简得960（x+3）=2700×0.5x-3750.去括号得960x+2880=1350x-3750.移项、合并同类项，得-390x=-6630.系数化为1，得x=17.x+3=17+3=20.答：这个村去年种植油菜的面积是20 hm2，今年种植油菜的面积是17 hm2.。

数学学习的模型如何建立数学模型解决实际问题数学模型是现实世界中问题的抽象表示，它是数学与现实问题相结合的产物。

数学模型的建立和解决方法可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

本文将介绍数学学习的模型建立过程和如何使用数学模型解决实际问题。

一、数学学习的模型建立过程数学学习的模型建立过程分为以下几个步骤：1. 问题的理解与分析数学模型的建立源于对实际问题的理解与分析。

我们需要准确把握问题的背景、目标和约束条件，了解问题的相关要素和变量，以及它们之间的关系。

通过深入思考和收集信息，我们可以形成对问题的完整认识。

2. 变量的选择与定义在建立数学模型时，我们需要选择合适的变量并对其进行定义。

变量是数学模型的核心元素，它们代表了问题中的实际概念或量化指标。

选择变量要基于对问题的理解和需求，确保它们能够准确地描述问题的本质和特征。

3. 方程的建立与求解数学模型通常通过方程来表示问题中的关系和规律。

在建立模型时，我们需要根据变量之间的关系，建立相应的方程或不等式。

然后，通过数学方法求解这些方程，获得问题的解答或结论。

4. 模型的验证与修正建立数学模型后，我们需要进行模型的验证和修正。

模型的验证是通过与实际数据或经验进行比对，检验模型的准确性和适用性。

如果模型存在不足或错误，我们需要进行修正和改进，使其更好地符合实际问题的需求。

二、如何使用数学模型解决实际问题数学模型可以应用于各个领域的实际问题，例如经济学、物理学、生物学等。

使用数学模型解决实际问题的过程如下：1. 确定问题的研究对象和目标在解决实际问题时，我们首先要明确问题的研究对象和目标。

例如，在经济学中，我们可能需要研究市场供需关系，以及预测价格和销量的变化。

2. 建立数学模型根据问题的要求，我们建立数学模型，选择合适的变量和建立相应的方程。

例如，在研究市场供需关系时，我们可以选择价格和销量作为变量，并建立供需曲线的方程。

3. 数据收集与处理为了建立和求解数学模型，我们需要收集相关的数据，并对其进行处理和分析。

建立数学模型解实际问题的方程数学模型是一种用数学方法表达实际问题的工具，通过建立数学方程来描述问题情况和关系。

它在科学研究、工程技术和经济管理等领域中有着广泛的应用。

本文将以建立数学模型解实际问题的方程为题，探讨数学模型的建立和方程的应用。

一、数学模型的建立数学模型的建立是将实际问题转化为数学方程的过程，通常包含以下几个步骤：1. 确定问题的背景和目标：首先需要了解问题所处的背景和要解决的目标。

例如，如果是解决交通拥堵问题，我们需要了解交通流量、道路情况等因素。

2. 分析问题的关键因素：通过分析问题的关键因素，确定需要考虑的变量和参数，以及它们之间的关系。

例如，对于交通拥堵问题，我们需要考虑交通流量、车速和道路容量等因素。

3. 建立数学方程：根据问题的背景和关键因素，建立数学方程来描述它们之间的关系。

数学方程可以是线性方程、非线性方程、微分方程等不同形式的方程。

4. 模型验证与调整：对建立的数学模型进行验证，并根据实际数据进行调整和修正。

这一步是模型建立的迭代过程，通过与实际情况的比较，不断优化数学模型。

二、方程的应用建立数学模型的关键是构建数学方程，通过解方程来求解实际问题。

数学方程可以用于解决各种实际问题，下面以几个具体的例子来说明：1. 抛物线运动：假设一个物体以一定初速度从一定高度抛出，求物体的运动轨迹和最大高度。

根据牛顿运动定律，可以建立物体的运动方程，并通过解方程求解物体的轨迹和最大高度。

2. 经济增长模型：经济增长是一个复杂的过程，可以使用数学模型来描述和预测。

经济增长模型通常涉及到产出、投资、消费等因素，通过建立相应的方程，可以分析经济增长的趋势和关键因素。

3. 网络传输速度：网络传输速度是影响用户体验的重要因素，可以通过建立网络传输模型来进行优化。

通过测量网络延迟、带宽等参数，并构建相应的方程，可以优化网络传输速度，提高用户体验。

4. 疾病传播模型：疾病传播是流行病学领域的重要问题，通过建立传播模型，可以帮助预测疫情的发展趋势、评估防控措施的效果。

方程的实际应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练本专题主要对初中阶段的方程应用题型进形总结分析，收集汇总各地市常考的方程应用题型，主要分为一元一次方程，二元一次方程组，分式方程，一元二次方程几大题型。

考试中我们可以看出二元一次方应用综合性较高除了在应用题型中有所体现，在二次函数的应用中也经常出现。

本专题根据考试题型分类归纳总结。

模型01 一元一次方程的应用一元一次方程的应用题型1.行程问题路程=时间×速度，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间；（单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米/秒、米/分、千米/时间）2.工程问题：工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和3.利润问题：利润=售价－进价，利润率=利润÷进价，售价=标价×折扣4.等积变形问题长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；锻造前的体积=锻造后的体积5.利息问题利息和=本金+利息；利息=本金×利率×时间模型02 二元一次方程组应用二元一次方程组应用：1.行程问题：速度×时间＝路程顺水速度＝静水速度＋水流速度逆水速度＝静水速度－水流速度2.配套问题：实际数量比＝配套比3.商品销售问题：利润＝售价－进价；售价＝标价×折扣；利润率＝利润÷进价×100%4.工程问题：工作效率×工作时间＝工作总量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率模型03 分式方程应用分式方程的应用解法步骤及题型：列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行．（1）在利用分式方程解实际问题时，必须进行“双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义.（2）分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型.模型04 一元二次方程应用一元二次方程的应用主要有以下几种题型：1.数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．2.增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．3.形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．4.运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．5. 利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数模型01 一元一次方程的应用考｜向｜预｜测一元一次方程的应用该题型近年主要以应用题形式出现，一般为应用题型的第一问，难度系数较小，在各类考试中基本为送分题型。

建立二元一次方程的模型解实际应用教学目标1、进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；2、会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组；3、培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值．教学难点借助列表分问题中所蕴含的数量关系。

知识重点用列表的方式分析题目中的各个量的关系。

板书设计8.3 实际问题与二元一次方程（3）教学过程（师生活动）设计理念估时创设情境最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为疏导电价矛盾，促进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案．电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度一般白天的用电比较集中、用电功率比较大，而夜里人们休息时用电比较小，所以通常白天的用电称为是高峰用电，即8:00～22:00，深夜的用电是低谷用电即22:00～次日8:00.若某地的高峰电价为每千瓦时以一道生活热点问题引入，具有现实意义．激发学生学习兴趣，同时培养学生节约、合理用电的意识．0.56元；低谷电价为每千瓦时。

．28元．八月份小彬家的总用电量为125千瓦时，总电费为49元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？学生独立思考，容易解答．理解题意是关健．通过该题，旨在培养学生的读题能力和收集信息能力．探索分析解决问题（出示例题）如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．公路运价为1. 5元（吨·千米），铁路运价为1.2元（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？（图见教材115页，图8.3-2）学生自主探索、合作交流．设问1.如何设未知数？销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设产品重x吨，原料重y吨．设问2.如何确定题中数量关系？列表分析产品x吨原料y吨合计公路运费（元）铁路运费（元）价值（元）由上表可列方程组本例所涉及的数据较多，数量关系较为复杂，具有一定挑战性，能激发学生探索的热情．通过讨论让学生认识到合理设定未知数的愈义．借助表格辅助分析题中较复杂的数量关系，不失为一种好方法．()()⎩⎨⎧=+⨯=+⨯972001201102.11500010205.1y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==400300y x因为毛利润－销售款－原料费－运输费 所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多1887800元.引导学生讨论以上列方程组解决实际问题的 学生讨论、分析：合理设定未知数，找出相等关系。

建立数学模型解决实际问题的一般步骤建立数学模型是解决实际问题的一种常用方法。

通过建立数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，然后利用数学方法对其进行分析和求解。

下面是建立数学模型解决实际问题的一般步骤：1.明确问题：对于实际问题，首先要清楚问题是什么，要解决什么样的困难或者需要满足的条件。

明确问题是建立数学模型的第一步。

2.收集数据：在建立数学模型之前，需要收集相关的数据和信息。

通过实验、调查或者其他手段获取所需数据，以便后续分析和建模。

3.假设简化：实际问题往往比较复杂，为了方便分析和求解，需要对问题进行适当的假设和简化。

通过合理的假设和简化，可以使问题更具可解性。

4.建立数学模型：根据收集到的数据和问题所需，选择合适的数学工具和方法，建立数学模型。

数学模型可以是方程、不等式、函数、图表等形式。

建立数学模型要尽量符合实际问题的本质特征，以便准确地描述问题。

5.分析模型：建立数学模型之后，需要对其进行分析。

通过数学方法和技巧，对模型进行求解、推导和分析，得到问题的解或者某些重要的特征。

6.模型验证：为了验证建立的数学模型是否合理有效，需要进行模型的验证。

可以将模型与实际数据进行对比，评估模型的准确性和可靠性。

如果模型与实际情况符合较好，说明模型较为合理。

7.模型优化：在分析和验证模型的过程中，可以发现一些模型的不足之处。

基于这些不足，可以对模型进行优化和改进以获得更好的表现。

8.模型应用：通过建立数学模型和分析，可以得到问题的解决方案或者策略。

将数学模型应用于实际情况，可以得到更准确和有针对性的解决方案，提高问题的解决效果。

以上是建立数学模型解决实际问题的一般步骤。

在实际应用中，每个步骤都需要合理、全面地进行，确保数学模型可以对实际问题进行有效分析和求解。

建立数学模型需要灵活运用数学知识和方法，结合具体问题进行分析和建模，提高问题解决的效率，为实际问题的决策提供科学依据。

数学学习中的实际问题解决和模型建立数学是一门抽象而又实用的学科，它在解决实际问题和建立数学模型方面起着重要的作用。

无论是工程领域、金融市场还是日常生活中，数学的应用无处不在。

本文将探讨数学学习中的实际问题解决和模型建立的重要性以及应用。

一、实际问题解决数学学习的一个重要目标是能够应用数学知识解决实际问题。

通过解决实际问题，我们可以将数学知识转化为实际应用能力，提高解决问题的能力和效率。

解决实际问题需要将问题抽象化，找出问题背后的数学规律和关系。

例如，在工程领域中，为了设计一座拱桥，数学家需要分析桥墩、桥面和桥梁之间的力学关系，从而确保拱桥的稳定性和安全性。

在金融市场中，数学家利用概率统计和金融模型来预测股票价格的变化趋势，帮助投资者做出合理的决策。

二、模型建立在数学学习中，建立数学模型是解决实际问题的重要步骤。

数学模型是对实际问题的抽象和简化，通过建立模型，我们可以利用已知的数学原理和方法来分析问题和求解答案。

建立数学模型需要从实际问题中提取关键信息，并进行适当的假设和简化。

例如，为了解决城市交通拥堵问题，数学家可以建立一个交通流动模型，考虑各交通要素的影响因素，如交通信号灯、车辆流量等，通过数学计算和优化方法，预测和改善交通状况。

三、数学应用案例下面我们来看几个数学在实际问题解决和模型建立中的应用案例。

1. 医药领域在药物研发中，数学被广泛应用于药物代谢和药效学方面。

数学模型可以帮助科学家预测药物的血浆浓度和药物在体内的分布，从而确定适当的药物剂量和给药频率。

2. 环境保护数学模型可以用于预测和评估环境变化对生态系统的影响，从而帮助制定有效的环境保护措施。

例如，数学家可以建立气候模型来模拟全球气候变化趋势，为应对气候变化提供科学依据。

3. 金融市场金融市场的波动性使得预测市场走势成为一项艰巨的任务。

数学家通过建立金融模型和利用随机过程理论来预测股市、外汇市场的走势，并提供投资建议。

总结：在数学学习中，实际问题解决和模型建立是必不可少的环节。

多角度建立方程模型,有效解决数学实际问题中图分类号：Ｇ62文献标识码：Ａ文章编号：ISSN1004-1621（2016）03-098-02在初中数学教学中，解决数学实际问题一直以来都是大家一致认为的一个难点问题，是很多同学都对此产生畏惧心理，造成考试丢分甚至放弃答题。

快速、准确地解答这类题目的确很困难，总结起来，这类题目难，在于以下几点：首先，文字较多，不易读懂题目意思，所以，有相当一部分同学不自信，从而放弃了解答而丢分；其次，就是对这类题目没有作深入细致的研究，做到深入浅出。

第三，在历届考题中实际问题占有相当大的比例。

就自己多年来的教学实践与探索而言，合理运用数学思想，是解决数学问题的关键所在。

比如，建模思想在解决数学实际问题中得到广泛的运用，使得很多原本难以解决的问题变得迎刃而解。

一、利用“倍数关系”建立方程模型，解决数学实际问题由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题。

学生在熟练掌握用建立数学模型后，就能轻松利用它解决一些具体问题。

案例1：下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：用方程思想解决数学实际问题，是初中数学解题中常见的一种题型,它一般是把实际问题转化成数学问题得以解决。

利用方程思想解决实际问题时,首先审题找出题目的未知量和所有的已知量,并弄清未知量和已知量之间的某种联系。

根据题目的已知条件，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后,用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等(不等)关系,列出方程(不等式、不等式组)。

在这类实际问题中，找出量的关系是列方程(不等式、不等式组)的关键和难点,有如下规律:(1)确定应用型问题的类型,按其一般规律方法找等量关系。

如:工程类,就要把全部工作量看作单位1，特别注意特定相等关系“工作量=工作效率×工作时间”、“工作效率=1÷工作总量”、“总工作量=个人工作效率×工作时间×人数”等；(2)将问题中给出的条件意思分成两个层面,分别找出等量关系；(3)利用画简易图,分析图形的长和宽,找出等量关系。

01)1(1:1,,1:22=-+-⋅=-===x x x x xBC x AC AB 于是则设课题：建立方程模型解决生活实际问题教学目标：1.历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。

2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题的能力。

教学重点：1.让学生经历和体验列方程解决实际问题的过程。

2.进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型建立。

教学难点：数学模型的建立。

教学过程：一.巧设现实情景，［引入新课］。

开场白：我告诉大家一个有趣味的事，你知道你的身体优美吗？我告诉你一个有趣的判别方法：把你的身高看作一条线段，你肚脐为一点，如果满足：脚尖到脐的距离头顶到肚脐的距离身高脚尖到肚脐的距离=那么，你的身高则优美，让人看了觉得很舒服，这就是为什么芭蕾舞非常优美，穿高跟鞋的比不穿的要漂亮。

好，大家能够知道这是为什么吗？答：因为这里符合黄金分割，肚脐为黄金分割点，脚尖到肚脐的距离/身高是黄金比，它等于0.618 。

引导：你想知道黄金比是如何求出来的吗？黄金分割比为什么是0.618吗？今天我们就来探讨这个问题。

二．讲解新课我们还是以刚才例子为例，看图：2AC BCAC AB BC AB AC=⇒=∙好，这个方程大家会解吗？答：会。

好，一名同学到黑板上来解，其他同学在草稿纸上运算，解这个方程1,1,1a b c ===224141(1)5b ac -=-⨯⨯-=∴12x -±=，即：121122x x --==因为线段不能够取负值，所以212x -=应该舍去，所以黄金比120.618ACAB-=≈点评；做得很好，实际的解决，不仅要满足所列方程，还要符合实际问题的具体题意。

因此，求出方程的解后，一定要进行检验，以确定问题答案。

其实，很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决,下面再看:P 64例一。

例一. 如图,某海军基地位于A 处,在其正南方向200海里处有一个重要目标B ,在B 的正东方向200海里处有重要目标C ,小岛D 位于AC 的中点,岛上有一补给码头,小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向,一艘军舰从A 出发,经B 到C 匀速巡航,一艘补给船同时从D 出发,沿南偏西方向匀速航行,欲将一批物品送达军舰。

构建方程模型，把握解题成功一、专题解读数学建模就是把生活实际问题或以不同背景下描述的问题，通过数学语言翻译后转化成用数学符号，数学式子连接而成的方程，不等式、函数等不同数学专属问题，通过观察，分析，思考，选择恰当的数学知识，科学的解题方法，严谨的推理思维，解决问题的数学解题思想.常见的建模思想有方程型建模和函数型建模两种.近几年考题中，方程型建模思想运用的较多些，建模的实质是把问题转化成一元一次方程，一元二次方程，方程组和分式方程等问题去求解，建模时，准确判断建模的类型，构建科学的模型并能熟练运用该模型的数学知识，基本数学方法，基本解题思路破解问题是解题的关键.二、典型例题1.利用表格形式呈现数量关系构造一元一次方程模型探求决策型问题例1将正整数1至2018按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A．2019 B．2018 C．2016 D．2013解析：设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，∴三个数之和为（x﹣1）+x+（x+1）=3x．根据题意得：3x=2019、3x=2018、3x=2016、3x=2013，解得：x=673，x=67223（舍去），x=672，x=671．∵673=84×8+1，∴2019不合题意，舍去；∵672=84×8，∴2016不合题意，舍去；∵671=83×7+7，∴三个数之和为2013．故选：D．点评：选择合适的未知数，利于求和，这里设中间数为x是最佳的选择，其次，会根据数字的排列规律，完成其余两个数的表示也是解题的一个重要基础，特别要强调的是，所求的数必须是整数，且这个中间数不能再第一列和第八列，通过构建一元一次方程模型可确定中间数，利用循环节确定数所在的列数，余数就是列数，0为8列要清楚，从而确定答案.2.构建方程模型探求直线过定点问题例2 如图1，平面直角坐标系 xoy 中，点 A 的坐标为 (9,6)， AB ⊥y 轴，垂足为 B ，点 P从原点 O 出发向 x 轴正方向运动，同时，点 Q 从点 A 出发向点 B 运动，当点 Q 到达点 B时，点 P 、 Q 同时停止运动，若点 P 与点 Q 的速度之比为 1:2，则下列说法正确的是（）A. 线段 PQ 始终经过点(2,3)B. 线段 PQ 始终经过点(3,2)C. 线段 PQ 始终经过点(2,2)D. 线段PQ 不可能始终经过某一定点解析：设OP=t ，则点P 的坐标为（t ，0），点Q 的坐标为（9﹣2t ，6）．设直线PQ 的解析式为y=kx+b （k ≠0），将P （t ，0）、Q （9﹣2t ，6）代入y=kx+b ，kt+b =0(9-2t)k+b =6⎧⎪⎨⎪⎩，解得：2k =32b =3t t t ⎧⎪-⎪⎨⎪⎪-⎩，所以直线PQ 的解析式为y=23-t x+2t t-3． 整理，得（y-2）t=3y-2x,因为关于t 的方程有无数解，所以y-2=03y-2x =0⎧⎪⎨⎪⎩，解得x =3y =2⎧⎪⎨⎪⎩，所以 线段 PQ 始终经过点(3,2) 所以选B.点评：解答时，有三个环节非常重要：1.理解“始终经过”的意义是第一个重要条件；2.利用方程组的思想，待定系数法确定直线的解析式是第二个重要条件；3.把方程转化为速度t的一元一次方程，把速度值的多样性转化为一元一次方程有无数解的模型求解是第三个重要条件.3.利用循环节形式呈现数量关系构造一元一次方程模型转化数例3 我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将0.化为分数形式，由于0.=0.777…，设x=0.777…①则10x=7.777…②，②﹣①得9x=7，解得x=，于是得0. =．同理可得0. = =，1.=1+0. =1+=根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）0. = ，5. = ；（2）将0.化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）0. 1= ，2.0= ；（注：0. 1=0.315315…，2.0=2.01818…）【探索发现】（4）①试比较0.与1的大小：0. 1（填“＞”、“＜”或“=”）②若已知0. 8571=，则3. 1428= ．（注：0. 857l =0.285714285714…）解析：（1）由题意知0. =59、5. =5+89=539，（2）0. =0.232323……，设x=0.232323……①，则100x=23.2323……②，②﹣①，得：99x=23，解得：x=2399，∴0. =2399； （3）同理0. 1=315999=35111，2.0=2+1181099 =11155.所以答案为：35111，11155. （4）①0. =99 =1故答案为：=；②3. 1428.=3+714285999999=3+57=267.故答案为：267. 点评：数学学习的四大关键：知识点的学习，数学方法的学习，数学思想的学习，数学应用能力的培养.数学方法走进考场，是一个必然，也是一个新趋势.考点就是一面旗帜，是一个导向，是学习一个方向，因此在常态的数学学习过程中，要夯实数学知识基础，掌握数学方法策略，筑牢数学思想灵魂，培养数学应用能力，让自己成为一名真正的数学强者.4.利用数轴形式呈现数量关系构造一元一次方程模型求时间例4 如图2，已知A ，B 两点在数轴上，点A 表示的数为﹣10，OB=3OA ，点M 以每秒3个单位长度的速度从点A 向右运动．点N 以每秒2个单位长度的速度从点O 向右运动（点M 、点N 同时出发）（1）数轴上点B 对应的数是 ．（2）经过几秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等？解析：（1）因为OB=3OA=30，所以B对应的数是30．（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，此时点M对应的数为3x﹣10，点N对应的数为2x．①点M、点N在点O两侧，则10﹣3x=2x，解得x=2；②点M、点N重合，则3x﹣10=2x，解得x=10．所以经过2秒或10秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．点评：数学学习从来就不是单一知识的认知，而是多元知识的融合，在多元知识中，利用数学思想，把多远问题转化成单一知识加以解决是数学学习的核心精髓所在，也是数学学习的根本，平时的数学学习要自觉加强这方面的磨练，数学学习才会实现学有所成的目标，从而杜绝了花了时间不少考试成绩了了的现象.解答时，把握如下要领：（1）理解数轴上两点间的距离计算是解题的基础，处理好线段的长度与点对应数的属性之间的关系是解题的关键；（2）正确利用数学分类的思想，把问题转化为原点异侧等距和原点同侧的追击问题是解题的关键.5.利用销售形式呈现数量关系构造一元二次方程模型定售价例5 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？解析：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b ，得：40k+b =60045k+b =550⎧⎪⎨⎪⎩，解得：k 10b =1000⎧=-⎪⎨⎪⎩，∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y=﹣10x+1000．（2）设此设备的销售单价为x 万元/台，则每台设备的利润为（x ﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据题意得：（x ﹣30）（﹣10x+1000）=10000，整理，得：2x ﹣130x+4000=0，解得：1x =50，2x =80．∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=50．答：该设备的销售单价应是50万元/台．点评：（1）根据点的坐标，利用待定系数法建立方程组模型可求出年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；（2）根据总利润=单台利润×销售数量，建立一元二次方程模型可求得收件，注意条件“此设备的销售单价不得高于70万元”在结论取舍中的话语权和决定权，不能因大意而失分．6.利用图形的面积形式呈现数量关系构造二元一次方程组模型求阴影面积例6 用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图4所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图5所示的正方形，其阴影部分的面积为 ．解析：由图可得，图34中，阴影部分的边长为设小矩形的长为a ，宽为b ，依题意得a =b+a =2b+⎧⎪⎨⎪⎩，解得a =-b =-⎧⎪⎨⎪⎩， 所以图5中，阴影部分的面积为2(a-3b).点评：图3，图4；设小矩形的长为a，宽为b，依据等量关系即可得到方程组，进而得出a，b的值，即可得到图5中，阴影部分的面积．用阴影面积表示小长方形的长与宽之间等量关系，联立得到方程组是解题的关键.7.利用表格形式呈现数量关系构造二元一次方程组模型解决实施问题例7为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为辆；（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．解析：（1）设老师有x名，学生有y名．依题意，列方程组为17x=y-12 18x=y+4⎧⎪⎨⎪⎩，解得：x=16y=284⎧⎪⎨⎪⎩. 答：老师有16名，学生有284名；（2）∵每辆客车上至少要有2名老师，∴汽车总数不能大于8辆；又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于30042=507（取整为8）辆，综合起来可知汽车总数为8辆；（3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，∵车总费用不超过3100元，∴400x+300（8﹣x）≤3100，解得：x≤7，为使300名师生都有座，∴42x+30（8﹣x）≥300，解得：x≥5，∴5≤x≤7（x为整数），∴共有3种租车方案：方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2900元；方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3000元；方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3100元；故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．点评：（1）设出老师有x名，学生有y名，转化为二元一次方程组的模型求解（2）抓住车辆数的整数性和车辆上的教师的数量是解题的关键；（3）巧设未知数，确定其范围，结合车辆数的整数性完成解答即可．8.利用文字叙述形式呈现数量关系构造方程和方程组模型解决实施问题例8 某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．（1）求n的值；（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q 值相等，第三年，用甲方案使Q 值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q 值及a 的值．解析：（1）由题意可得：40n=12，解得：n=0.3；（2）由题意可得：40+40（1+m ）+402(1+m)=190，解得：1m =12，2m =﹣72（舍去）， ∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m ）=40（1+50%）=60（家），（3）设第一年用甲方案整理降低的Q 值为x ，第二年Q 值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，解法一：构造一元一次方程模型（30﹣a ）+2a=39.5 ，a=9.5，x=20.5，所以Q 值为20.5；解法二：构造二元一次方程组模型根据题意，得x+a =30x+2a =39.5⎧⎪⎨⎪⎩，解得：x =20.5a =9.5⎧⎪⎨⎪⎩，所以a 值为9.5，Q 值为20.5；点评：(1)构建一元一次方程模型，得出等式求出答案即可；（2）构建一元二次方程模型，m+m(1+a)+m 2(1+a)=n ，这是一个非常重要的解题等式， 有时m 2(1+a)=n 也是解题的重要等式之一.（3）具有灵活性，自主选择解题模型，锻炼自己的灵活解题能力．总之，阅读后能正确理解题意，从中确定各种量的意义及各种量之间的联系方式，从而把问题转化成相应的一元一次方程模型，一元二次方程模型，还是二元一次方程组模型，模型建立起来了，解答自然就知道用什么知识，用什么方法，采取的解题步骤，求解就顺利，难点在于阅读不清，审题不明，含义不懂，从而无法构建求解模型，导致解题不能正常进行.。

谈谈如何构造方程模型解决生活中的实际问题：数学建模教学以学生为中心、以问题为主线、以培养皮能力为目标来组织教学工作。

数学建模以学生为主，教师利用一些事先设计和问题启发，引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生积极展开讨论，培养学生主动探索，努力进取的学风，培养学生初步研究的能力，培养学生团结协作的精神、形成一个生动活泼的环境和气氛，教学过程的重点创造一个环境去诱导学生的学习的欲望、培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新知识的能力高他们数学素质，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果。

现在初中生社会阅历比较差，无法把实际问题与数学原理进行联系。

许多实际题目学生连看都看不懂，因而建模无法成功。

我们要让学生学会建模，就必须从一些学生比较熟悉的实际问题出发，让他们有获得成功的机会，享受成功的喜悦，从而培养学生发现问题，转化问题的能力。

逐步培养他们的建模能力。

如：一、行程问题中的建模教学。

1. 背景问题。

A、B两地相距20千米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，甲的速度是6千米/时，乙的速度是8千米/时。

（1）若两人相向而行，甲先出发半小时，乙才出发，问乙出发几小时后与甲相遇？（2）若两人同时同向出发，甲在前，乙在后，问乙多少小时可追上甲？2.数学建模。

（1）可设乙出发X小时后与甲相遇。

则可构建数学模型：相遇时甲走的路程+乙走的路程=20千米。

（2）可设乙y小时追上甲。

则可构建数学模型：乙走的路程—甲走的路程= 20千米3.模型求解。

解：（1）设乙出发X小时后与甲相遇，根据题意得：6（X+1/2）+8X=20解得：X=17/14经检验，符合题意。

答：乙出发17/14小时后与甲相遇。

（2）设乙y小时追上甲，根据题意得：8y-6y=20解得：y=10经检验，符合题意。

答：乙用10小时追上甲。

4.模型应用。

一列火车从车头进隧道到车尾出隧道共用了10分钟，已知火车的速度是50 0米/分，隧道长为4800米，求这列火车的长度。

解决实际问题的方程建模简介：方程建模是运用数学方程来描绘和解决实际问题的过程。

通过建立适当的数学模型和方程组，我们可以对问题进行定量分析和预测，为解决实际问题提供有效的工具。

本文将介绍方程建模的基本原理和步骤，并通过几个实际问题的案例来演示方程建模的过程和应用。

1. 方程建模的基本原理方程建模是将实际问题转化为数学方程的过程。

通过对问题中的关键要素进行定量描述和数学建模，我们可以利用数学工具和方法来解决问题。

方程建模的基本原理包括：- 确定问题的目标和约束条件：理解实际问题的要求和限制，明确问题的目标和约束条件。

- 选择合适的变量和参数：根据问题的特点和要求，选择合适的变量和参数来描述问题中的关键要素。

- 建立数学模型和方程：利用已知的数学知识和原理，通过方程的形式描述问题中的关系和规律。

- 解决和分析方程：利用数学工具和计算方法，对方程进行求解和分析，得出问题的解决方案或预测结果。

- 验证和优化模型：将模型和结果与实际情况进行比较和验证，优化模型的准确性和可靠性。

2. 方程建模的步骤方程建模通常包括以下几个步骤：- 问题描述和分析：理解和描述实际问题，分析问题的特点和要求。

- 建立模型和假设：根据问题的特点和要求，建立数学模型和假设，确定变量和参数。

- 建立方程组：利用数学原理和关系，建立描述问题的方程组，包括目标函数和约束条件。

- 求解方程组：根据方程组的形式和性质，选择合适的求解方法，求解方程组得到解析解或数值解。

- 模型验证和分析：将模型的结果与实际情况进行比较和验证，分析模型的准确性和可行性。

- 结果解释和应用：解释和应用模型的结果，提出问题的解决方案或预测结果，为实际问题的决策和实施提供依据。

3. 方程建模的应用案例以下列举两个方程建模的应用案例来进一步说明方程建模的过程和应用：- 汽车加速度模型：假设有一辆汽车通过某段路程，并记录了汽车在每个时间点的速度和位置。

我们可以建立汽车的加速度模型，通过测量数据和已知物理原理，建立汽车的匀加速运动方程，并通过方程求解来预测汽车在未来的速度和位置。