研究生入学考试工程数学

《工程数学》考试大纲一、基本信息：《工程数学》考试内容主要包括高等数学和线性代数两部分，主要题型为选择题和计算题。

答题方式为笔试、闭卷。

考试时间为120分钟，试卷总分为100分，其中高等数学约70%，线性代数约30%。

二、考试内容1.函数、极限、连续（1）分段函数概念；函数的有界性、（严格）单调性、奇偶性、周期性以及他们各自反映在函数图形上的特点；反函数与隐函数的概念；函数极限的唯一性，有界性，保号性；无穷小，无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念；函数的左连续与右连续的概念；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。

（2）函数、区间及邻域等概念；复合函数及初等函数的概念；极限的概念；函数的左、右极限及其与函数极限的关系；函数在一点连续的概念；函数在一个区间上连续的概念。

（3）基本初等函数的性质及其图形；极限的四则运算法则。

2.导数、微分及应用（1）函数的可导性与连续性的关系；高阶导数概念；微分的几何意义及函数的可微性与可导性的关系。

导数的几何意义；微分的概念。

初等函数的一阶、二阶导数的求法。

求隐函数和参数式所确定的函数的一阶导数以及比较简单的二阶导数。

（2）罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理、罗必达法则；函数插值的思想和一些方法。

函数的极值概念。

用导数判断函数的单调性和求极值的方法；函数图形的凹凸性及其判定法。

（3）基本初等函数的性质及其图形；极限的四则运算法则。

3.不定积分、定积分及应用（1）简单的有理函数、三角函数有理式和简单的无理函数的积分法。

原函数和不定积分的概念。

不定积分基本公式和不定积分换元法和分部积分法。

（2）定积分的性质、定积分的中值定理；两种广义积分的概念，用定义求解较简单的广义积分，定积分数值计算的思想和一些方法。

定积分的概念和几何意义；变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理。

牛顿-莱布尼兹公式；定积分的换元法和分部积分法。

（3）元素法的思想，用定积分求一些几何量和物理量的方法，建立一些几何量与物理量的积分表达式（如面积、体积、弧长、功、水压力等）。

2024年全国硕士研究生入学统一考试数学一考试内容主要包括
高等数学、线性代数、概率论与数理统计、离散数学、常微分方程、数学分析、复变函数等。

数学一的总分是150分，考试时间一般为
3小时，难度相对较高。

具体来说，数学一主要考察的内容有：
1. 高等数学：主要包括极限、一元函数微积分学、常微分方程、无穷级数、多元函数微积分学以及空间解析几何等。

2. 线性代数：主要包括行列式、矩阵、向量、线性方程组、特
征值和特征向量以及实二次型等。

3. 概率论与数理统计：主要包括随机事件和概率、随机变量及
其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征以及大数定
律和中心极限定理等。

4. 离散数学：主要包括图论基础、组合计数和概率基础、集合
论基础、逻辑基础等。

5. 数学分析：主要包括极限理论、实数理论、导数与微分、积分、级数等内容。

6. 复变函数：主要包括复数与复变函数、导数与微分、积分、
级数等内容。

在备考研究生入学考试数学一时，建议考生系统学习数学基础
知识，多做真题和模拟题，掌握解题技巧和方法，同时也要注重数
学思维和逻辑推理能力的培养。

考研工程数学知识点梳理一、数列与数学归纳法数列的概念与性质等差数列与等差数列的通项公式等比数列与等比数列的通项公式数学归纳法的基本思想与应用二、极限与连续函数函数极限的概念与性质极限的四则运算法则无穷大与无穷小连续函数与间断点利用极限计算函数的连续性与间断点初等函数的连续性与间断点三、导数与微分函数的导数概念与性质基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则高阶导数与莱布尼兹公式隐函数求导参数方程求导微分的概念与性质高阶微分与泰勒展开四、定积分与不定积分定积分的概念与性质定积分的计算与应用牛顿—莱布尼兹公式不定积分的概念与性质不定积分的基本公式换元积分法分部积分法定积分与不定积分的关系五、微分方程常微分方程的基本概念与性质一阶常微分方程解法可分离变量方程一阶线性齐次方程与非齐次方程二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法常系数线性微分方程组应用问题的建模与求解六、无穷级数与幂级数数项级数的基本概念与性质正项级数的审敛法交错级数与绝对收敛性函数项级数与幂级数幂级数的收敛半径与收敛区间幂级数的逐项求导与逐项积分幂级数的和函数七、多元函数微分学二元函数的极限与连续性偏导数的定义与计算全微分的概念与计算多元函数的隐函数求导多元函数的极值与条件极值多元复合函数的导数多元函数的泰勒公式八、空间解析几何空间点、直线、平面的基本性质空间直线与平面的位置关系空间曲线与曲面的方程与性质曲线的切向量与法平面柱面与曲面的求交与切线空间曲线与曲面的参数方程九、多元函数积分学二重积分的概念与性质二重积分的计算方法三重积分与累次积分三重积分的计算方法曲线积分与曲面积分格林公式与高斯公式应用问题的建模与求解总结：本文对考研工程数学的知识点进行了梳理，包括数列与数学归纳法、极限与连续函数、导数与微分、定积分与不定积分、微分方程、无穷级数与幂级数、多元函数微分学、空间解析几何和多元函数积分学等内容。

每个知识点都有相应的概念、性质、公式和应用问题的求解方法，在文章中运用合适的格式进行叙述，使读者能够清晰地理解每个知识点的要点和重点。

XX 大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 工程数学 专业年级：2011级专业型硕士研究生 考试形式：闭卷<可用计算器> 考试时间： 120分钟………………………………………………………………………………………………………………………注：答题〔包括填空题、选择题必须答在专用答卷纸上,否则无效。

一． 填空题〔每小题5分,共30分1. 用355113作为圆周率 3.14159265π=的近似值时,有位有效数字。

2. 2()(5),x x x ϕα=+- 要使迭代法1()k k x x ϕ+=局部收敛到*x = 则α的取值范围是 .3. 若12,21A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则谱条件数1222()Cond A A A -=⋅= . 4. 设01,,,n x x x 为1n +个互异的插值节点,()()(0,1,,)()j i j i i jx x l x i n x x ≠-==-∏为拉格朗日插值基函数,则1(0)nn i ii l x+==∑ .5.6. 要使求积公式11101()(0)()4f x dx f A f x ≈+⎰具有2次代数精度,则 1x = , 1A =二． < 11分> 给定方程32()360.f x x x =+-=(1) 证明该方程在区间(1,2)内存在唯一实根*;x(2) 用牛顿迭代法求出*x 的近似值,取初值0 1.5,x = 要求5110.k k x x -+-< 三．< 10分> 用高斯列主元素消去法解线性方程组四．<10分> 给定线性方程组写出求解该方程组的雅可比迭代格式,并分析雅可比迭代法的收敛性。

五．<13分>构造Hermite <六．<10分> 求常数,αβ使积分()1220xex xdx αβ--⎰ 取最小值。

七．<16分> 用龙贝格方法求积分 的近似值,要求误差不超过310.-工程数学试题参考答案一． <1> 7 ; <2> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,51; <3> 3 ; <4> n nx x x 10)1(- ; <5> x 4.19.0+ ; <6> .43,3211==A x二． 解. <1> 因为,)])2,1[(063)(,014)2(,02)1(,]2,1[)(2∈∀>+='>=<-=∈x x x x f f f C x f 所以由零点定理和单调性知原方程在)2,1(内存在唯一实根.*x <4分><2> 牛顿迭代格式为.,2,1,0,6363263632232231=+++=+-+-=+k x x x x x x x x x x kk k k k k k k k k <7分> 取初值,5.10=x 计算结果如下：5*43410, 1.195823.x x x x --<≈=<11分>三．解. 12320241911281128241912320--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ <2分> 24195703225490422⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦<4分>24195490422570322⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦<5分> 24195490422351750088⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦<7分>等价的上三角形方程组为123233249,5494,2235175.88x x x x x x ⎧⎪++=⎪⎪-+=-⎨⎪⎪=-⎪⎩回代得 3215,3, 1.x x x =-==<10分> 四. 解. 雅可比迭代格式为 雅可比迭代矩阵11022101,11022J B ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦<5分> 其特征方程 11||0,22J E B λλλλ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭J B 的特征值 12,310,.2λλ==± <8分> 因为谱半径()11,2J B ρ=< 所以雅可比迭代法收敛。

工程数学考研题库及答案工程数学考研题库及答案工程数学是应用数学的一个分支，广泛应用于工程领域的建模、分析和解决问题。

对于工程数学考研的考生来说，掌握一套全面的题库及答案是非常重要的。

本文将为大家介绍一些常见的工程数学考研题型及其答案。

一、线性代数线性代数是工程数学的基础，也是考研中的重点内容之一。

常见的线性代数题型包括矩阵的运算、矩阵的特征值和特征向量、线性方程组的解等。

例如，以下是一道关于矩阵的题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的特征值和特征向量。

答案：首先，我们需要求解矩阵A的特征值。

特征值满足方程|A-λI|=0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。

计算可得特征值λ1=15，λ2=-1，λ3=0。

接下来，我们需要求解每个特征值对应的特征向量。

将特征值代入方程(A-λI)X=0，其中X是特征向量。

计算可得特征向量X1=[1; -2; 1]，X2=[1; 0; -1]，X3=[1; 1; 1]。

二、微积分微积分是工程数学的另一个重要内容，也是考研中的常见题型。

常见的微积分题型包括函数的极限、导数和积分等。

例如，以下是一道关于函数极限的题目：已知函数f(x) = (2x^2 + 3x - 1)/(x^2 + x - 2)，求lim(x→1)f(x)。

答案：根据极限的定义，我们需要求解lim(x→1)f(x) = lim(x→1)(2x^2 + 3x -1)/(x^2 + x - 2)。

首先，我们可以通过因式分解得到f(x) = (2x - 1)(x + 1)/(x -1)(x + 2)。

由于分母(x - 1)(x + 2)在x=1处为0，我们可以通过消去分母的方式来求解极限。

将x=1代入分子(2x - 1)(x + 1)，可得lim(x→1)f(x) = lim(x→1)(2x - 1)(x + 1) = 3。

三、概率论与数理统计概率论与数理统计是工程数学中的一门重要课程，也是考研中的必考内容。

《工程数学》课程考试大纲第一部分考试说明一、考试性质工程数学（线性代数、概率统计）课程在高等工业学校的教学计划中是一门重要的基础理论课，也是硕士研究生入学考试的必考课程。

工程数学课程考试的性质是学生课程学习的终结性评价。

二、考试目标工程数学课程考试的目的在于检查学生的学习质量，引导学生复习、巩固所学知识,使学生获得应用科学中常用的矩阵方法、线性方程组等理论及其有关基本知识、研究随机现象客观规律性的概率统计方法等，提高分析问题和解决问题的能力，从而为学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

同时，也便于了解学生学习情况，是教学相长的需要。

三、考试形式与试卷结构（一）答题方式: 开卷笔试。

答案必须全部答在答题纸上，答在试卷上无效。

（二）答题时间: 90分钟。

（三）基本题型:判断题（或填空题）、选择题、计算题。

第二部分考查的知识范围与要求线性代数第一章矩阵矩阵的定义，特殊矩阵及其性质，矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其规律，逆矩阵的概念、性质及求逆方法，矩阵的初等变换、初等矩阵及其与初等变换、逆矩阵的关系，分块矩阵及其运算。

第二章行列式行列式的定义、性质和计算及应用。

第三章矩阵的秩与线性方程组矩阵秩的概念、性质及计算，齐次线性方程组和非齐次线性方程组的求解。

第四章向量空间向量组的线性相关、线性无关的定义、性质及有关结论，最大无关组与秩的概念及求法，非齐次线性方程组解的结构。

概率统计第一章随机事件及其概率随机事件的概念、事件之间的关系及基本运算，事件的频率、概率的定义及性质，理解古典概型及计算，条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式，事件独立性概念及计算，贝努里概型的概率计算。

第二章一维随机变量随机变量的概念，离散型随机变量的概率分布、分布函数的概念和性质，连续型随机变量概率密度、分布函数的概念和性质，重要分布（二项分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布），随机变量的函数的分布。