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人教版八年级上册13.3等腰三角形12.3.1：等腰三角形(1)教学设计一、教学目标1.1 知识与技能•掌握等腰三角形的定义、性质及判定方法。
•能够应用等腰三角形的性质解决实际问题。
1.2 过程与方法•培养学生概括、归纳、分析问题的能力。
•建立自主学习的意识，培养学生的自学能力和探究精神。
1.3 情感态度•培养学生对几何学科的兴趣，启发学生的探究精神。
二、教学重点和难点2.1 教学重点•等腰三角形的定义、性质及判定方法。
2.2 教学难点•解决实际问题中应用等腰三角形的性质。
三、教学过程3.1 导入新课通过让学生回顾前一节课，复习三角形的定义和分类，激发学生对几何学科的兴趣。
引出新课：等腰三角形。
3.2 概念讲解通过板书和举例演示，讲解等腰三角形的定义和性质，重点讲解等腰三角形的判定方法，并和学生互动交流。
3.3 实例演示通过数学实例演示，引导学生应用等腰三角形的性质解决实际问题，并分组讨论、合作解决练习题。
3.4 知识总结让学生总结等腰三角形的定义和性质，并和同伴交流自己的理解和收获。
3.5 课堂作业布置适度挑战的作业，要求学生应用所学知识解决实际问题，并引导学生自主探究，促进学生自学能力和探究精神的发展。
四、板书设计等腰三角形的定义两边相等两边所对角相等具有中心对称性——————–等腰三角形的定义等腰三角形的性质两底角相等底边上的高相等具有中心对称性五、教学反思通过精心设计课堂过程，让学生对等腰三角形的定义和性质又有了更深层次的理解和认知，并让学生在实践中体会到应用知识解决实际问题的乐趣。
在布置作业时，特别强调学生自主学习和探究能力的培养，让学生通过自主探究，获得更深刻的收获和体验。
同时，在教学反思中，我们应该反思学生的不足之处，并制定更具针对性的教学计划，让学生获得更全面的提高。
人教版数学八年级上册教学设计《13-3等腰三角形》（第4课时）一. 教材分析等腰三角形是八年级数学上册第十三章第三节的内容，属于平面几何的范畴。
本节课主要让学生掌握等腰三角形的性质，并能灵活运用等腰三角形性质解决实际问题。
通过本节课的学习，为学生后续学习三角形全等、相似三角形等知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的性质、分类以及三角形内角和定理等知识。
但部分学生对几何图形的理解仍存在困难，对等腰三角形的性质认识不够清晰。
因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，逐步掌握等腰三角形的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握等腰三角形的性质，并能运用性质解决简单问题。
2.过程与方法：培养学生观察、操作、思考、交流的能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习几何图形的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.教学重点：等腰三角形的性质及其应用。
2.教学难点：等腰三角形性质的推导和证明。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生关注等腰三角形的性质。
2.启发式教学法：引导学生主动探究等腰三角形的性质，培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法：分组讨论，让学生在交流中共同提高。
4.直观演示法：利用几何画板等软件，直观展示等腰三角形的性质。
六. 教学准备1.教具：几何画板、三角板、多媒体设备。
2.学具：学生用书、练习题、彩笔。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活中的实例，如金字塔、倒立的人等，引导学生关注等腰三角形的形状。
提问：这些实例中是否存在等腰三角形？等腰三角形有什么特点？2. 呈现（10分钟）通过几何画板展示等腰三角形的图形，引导学生观察等腰三角形的性质。
提出问题：等腰三角形的底边两侧的角是否相等？顶角与底角之间的关系如何？3. 操练（10分钟）学生分组讨论，每组自行选取一个等腰三角形，通过测量角度、画线段等方式，验证等腰三角形的性质。
等腰三角形的判定教学目标：1、理解掌握等腰三角形的判定；运用等腰三角形的判定进行证明和计算。
2、通过推理证明等腰三角形的判定定理，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力。
3、引导学生观察，发现等腰三角形的判定方法，让学生从思考中获得成功体验，增强学习兴趣。
教学重点：等腰三角形的判定定理教学难点:等腰三角形的判定定理的证明教学过程：一、情境引入如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？二、探究新知1、思考：在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？你能证明吗？已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C求证：AB=AC引导学生作辅助线：作BC边上的高AD或作∠BAC的平分线AD，然后证明△ABD≌△ACD2、归纳等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）三、巩固新知例1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC求证：AB=AC练习：1、如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。
2、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD四、应用新知1、用尺规画一个底为a，底边上的高为b的等腰三角形（要求：写出已知和求作，保留作图痕迹）已知：求作：2、如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于点D，DE∥AC交AB于点E，求证：AE=BE五、课堂小结1、通过这堂课的学习，你学会了哪几种判定等腰三角形的方法？2、等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？六、作业。
13.3.1等腰三角形【课标内容】人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》一节包括《13.3.1等腰三角形》与《13.3 .2等边三角形》两小节，内容涉及等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及直角三角形的一个性质等。
课程标准对本节内容提出的教学要求是：了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理。
【设计理念】对于等腰三角形的性质定理，课程标准的要求是探索并证明。
探索就是要求学生经历合情推理的过程，这不仅有助于理清思路、发现结论，而且有助于发展学生的创新意识和创新精神；证明的过程有助于发展学生的逻辑思维能力。
数学教学中，注重“探索发现”和“演绎证明”的有机结合，有利于实现“增强（学生）发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”的课程总目标．教学时，我设计要先让学生通过操作、观察、思考等活动，经历合情推理的过程，借助等腰三角形的轴对称发现等腰三角形的性质，并获得添加辅助线的方法，然后利用三角形全等的方法来证明。
【教材分析】本节教材是在学生学习了三角形的有关知识、全等三角形的性质及判定和轴对称的有关知识的基础上，来研究等腰三角形的性质。
它不仅是对前面所学知识的综合应用，也是后面研究等边三角形等内容的预备知识，同时也是今后证明角相等、线段相等及两直线垂直的重用手段。
因此本节课具有承前启后的作用。
教材先通过一个“探究”栏目，让学生自己剪出一个等腰三角形，再通过一个“探究”栏目，把剪出的等腰三角形沿折痕对折，找出重合的线段和角，借助等腰三角形的轴对称发现等腰三角形的性质，并获得添加辅助线证明性质的方法，最后利用三角形全等证明这两个性质。
【学情分析】刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、严密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。
【教学目标和目标解析】1．教学目标（1）探索并证明等腰三角形的两个性质。
《等腰三角形的性质》教学设计课题等腰三角形（一）时间教材分析教材的地位和作用等腰三角形的性质它是在认识了轴对称性以及了解了全等三角形的判定的基础上进行的。
主要学习等腰三角形的“等边对等角”和“等腰三角形的三线合一”本节内容既是前面知识的深化和应用，又是今后学习等边三角形的预备知识，还是今后证明角相等、线段相等及两直线互相垂直的依据，因此本节课具有承上启下的重要作用。
教学目的知识目标：了解等腰三角形的性质，会利用等腰三角形的性质，进行简单的推理、判断、计算作用。
能力目标：从设置问题⇒模型演示⇒自己动手探究发现等腰三角形的性质，培养学生的观察力、实验推理能力。
情感目标：要求学生在学习中运用发现法，体验几何发现的乐趣，在实际操作动手中感受几何应用美。
教学重点等腰三角形两底角相等。
因为等腰三角形的性质是今后学习线段垂直平分线的基础，也是今后论证角、边相等的重要依据，所以是本节教学的重点。
教学难点等腰三角形性质的推理应用教学手段用多媒体课件教学准备要求学生准备长方形纸片、量角器、刻度尺、剪刀。
教法：我采用探索发现法完成本节的教学，在教学中以学生参与为主，便于激发学生学习热情，体验成功的喜悦，通过直观的演示和学生自己动手使学生在获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样更有利于调动学生积极性，激发学生兴趣，使学生变被动学习为积极主动愉快学习，也符合数学教学的直观性和可接受性。
学法：学法：在教学中，把重点放在学生如何学这一方面，我认为通过动手操作、直观演示，得到感性认识，学生在学习中运用发现法，开拓自己的创造性思维，实现由学生自己发现感受“等腰三角形的性质”通过学生自己看、想、议、练等活动，让学生自己主动“发现”几何图形的性质，而不是老师灌输几何图形的性质，这样做有利于活跃学生的思维，帮助他们探本求源，让每位学生都学有价值的数学。
教学内容和过程教学环节（问题与情境）师生活动设计意图一、创设情景，引入新知（5分钟）大家动起来1问题（1）我们学过三角形，你都知道哪些特殊的三角形？今学生举手回答从学生知道的特殊的三角形引出课题，直接揭题。
人教版八年级数学上册教学设计13.3 等腰三角形一. 教材分析等腰三角形是八年级数学上册的教学内容，主要让学生了解等腰三角形的性质和判定方法。
通过学习等腰三角形，学生能够掌握三角形的基本概念，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
本节课的内容为后续学习其他三角形的性质和判定方法打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
但部分学生对于抽象的数学概念和判定方法的理解还需加强。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，引导他们积极参与课堂讨论，提高他们的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解等腰三角形的性质和判定方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：等腰三角形的性质和判定方法。
2.教学难点：等腰三角形性质的证明和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入等腰三角形，激发学生学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动思考、探讨等腰三角形的性质和判定方法。
3.合作学习法：鼓励学生分组讨论，培养团队协作能力。
4.反馈评价法：及时了解学生学习情况，调整教学策略。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示等腰三角形的图片、性质和判定方法。
2.教学道具：准备一些三角形模型，方便学生观察和操作。
3.练习题：准备一些有关等腰三角形的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）–利用课件展示一些生活中的等腰三角形图片，如金字塔、自行车等，引导学生关注等腰三角形的特征。
–提问：同学们，你们知道这些物体为什么是等腰三角形吗？等腰三角形有什么特殊之处？2.呈现（10分钟）–介绍等腰三角形的定义：有两边相等的三角形称为等腰三角形。
人教版八年级上册13.3等腰三角形12.3.1：等腰三角形(2)课程设计一、教学目标1. 知识目标•能够掌握等腰三角形的定义和性质；•能够根据等腰三角形的性质，解决与等腰三角形相关的问题；•能够在实际问题中运用等腰三角形的知识，解决实际问题。
2. 能力目标•能够在实际问题中应用数学思想，解决实际问题；•能够独立思考和解决问题的能力；•能够合作探讨问题，锻炼团队精神。
3. 情感目标•激发学生对数学的兴趣，增强学生学习数学的主动性；•培养学生勇于探索的精神，养成对问题有钻研精神的好习惯；•培养学生沟通、合作和分享的能力，增强集体意识。
二、教学重难点1. 教学重点掌握等腰三角形的定义和性质。
2. 教学难点在实际问题中应用等腰三角形的知识解决问题。
三、教学过程1.引入（1）出示一张等腰三角形的图片，让学生进行观察。
（2）介绍等腰三角形的定义，以及等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等。
（3）出示一些实际问题，引导学生思考如何利用等腰三角形的知识来解决这些问题，并与学生进行互动交流。
2. 学习内容（1）等腰三角形的定义和性质（1）教师讲解等腰三角形的定义和性质，并结合具体的例子，让学生更好地理解。
（2）让学生自己画出等腰三角形，并找出其中的等腰性质。
（3）通过做题让学生巩固掌握。
（2）利用等腰三角形的知识解决实际问题（1）出示一些实际问题，让学生合作探讨和解决问题。
（2）通过小组合作，展示解决实际问题的方法和思路。
3. 拓展应用（1）出示更复杂的实际问题，让学生进行推导和证明。
（2）引导学生团队合作，通过讨论和互相学习，解决更难的问题。
4. 总结反思（1）让学生谈谈自己的收获和感悟。
（2）教师对本堂课教学进行总结，纠正学生掌握中存在的不足。
四、教学评价（1）通过小组合作，让学生分享和展示解决实际问题的方法和思路，评价学生应用等腰三角形的能力。
（2）通过出题，评价学生对等腰三角形的理解和掌握程度。
五、教学资源•等腰三角形的图片；•实际问题的相关资料；•讲解课件。
13.3.1等腰三角形第1课时【教学目标】教学知识点1.等腰三角形的概念.2.等腰三角形的性质.3.等腰三角形的概念及性质的应用.能力训练要求1.经历作(画)出等腰三角形的过程,从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点.2.探索并掌握等腰三角形的性质.情感与价值观要求通过学生的操作和思考,使学生掌握等腰三角形的相关概念,并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯.【教学重难点】重点:1.等腰三角形的概念及性质.2.等腰三角形性质的应用.难点:等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.【教学过程】一、提出问题,创设情境师:在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究:①三角形是轴对称图形吗?②什么样的三角形是轴对称图形?[生]有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是.师:那什么样的三角形是轴对称图形?[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形.师:很好,我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形.二、导入新课师:同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形.作一条直线L,在L上取点A,在L外取点B,作出点B关于直线L的对称点C,连接AB、BC、CA,则可得到一个等腰三角形.[生乙]在甲同学的做法中,A点可以取直线L上的任意一点.师:对,按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形.现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀,按自己设计的方法,剪出一个等腰三角形.……师:按照我们的做法,可以得到等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.师:有了上述概念,同学们来想一想.1.等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.2.等腰三角形的两底角有什么关系?3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢?[生甲]等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等,所以把这两条腰重合对折三角形便知:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.师:同学们把自己做的等腰三角形进行折叠,找出它的对称轴,并看它的两个底角有什么关系.[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后,发现等腰三角形的两个底角相等.[生丙]我把等腰三角形折叠,使两腰重合,这样顶角平分线两旁的部分就可以重合,所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折,可以看到它两旁的部分互相重合,说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.[生戊]老师,我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴.师:你们说的是同一条直线吗?大家来动手折叠、观察.[生齐声]它们是同一条直线.师:很好.现在同学们来归纳等腰三角形的性质.[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折,发现它两旁的部分互相重合,由此可知这个等腰三角形的两个底角相等,而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线,也是底边上的高.师:很好,我们来总结等腰三角形的性质:1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).师:由上面折叠的过程获得启发,我们可以通过作出等腰三角形的对称轴,得到两个全等的三角形,从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程).[生甲]如右图,在△ABC中,AB=AC,作底边BC的中线AD,因为所以△BAD≌△CAD(SSS).所以∠B=∠C.[生乙]如右图,在△ABC中,AB=AC,作顶角∠BAC的角平分线AD,因为所以△BAD≌△CAD(SAS),所以BD=CD,∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°.师:很好,甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明,过程也写得很条理、很规范.下面我们来看例题.例:如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.师:同学们先思考一下,我们再来分析这个题.[生]根据等边对等角的性质,我们可以得到∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.再由三角形内角和为180°,就可求出△ABC的三个内角.师:这位同学分析得很好,对我们以前学过的定理也很熟悉.如果我们在解的过程中把∠A 设为x的话,那么∠ABC、∠C都可以用x来表示,这样过程就更简捷.解:因为AB=AC,BD=BC=AD,所以∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°.在△ABC中,∠A=35°,∠ABC=∠C=72°.师:下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识.三、随堂练习课本P56练习1、2、3题.四、课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.等腰三角形是轴对称图形,它的两个底角相等(等边对等角),等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线,并且它的顶角平分线既是底边上的中线,又是底边上的高.我们通过这节课的学习,首先就是要理解并掌握这些性质,并且能够灵活应用它们.五、课后作业课本77页练习.第2课时【教学目标】知识与技能探索等腰三角形的判定定理.过程与方法探索等腰三角形的判定定理,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念.情感、态度与价值观通过对等腰三角形的判定定理的探索,让学生体会探索学习的乐趣,并通过等腰三角形的判定定理的简单应用,加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力.【教学重难点】重点:等腰三角形的判定定理及其应用.难点:探索等腰三角形的判定定理.【教学过程】一、提出问题,创设情境师:上节课我们学习了等腰三角形的性质,现在大家来回忆一下,等腰三角形有些什么性质呢?[生甲]等腰三角形的两底角相等.[生乙]等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.师:同学们回答得很好,我们已经知道了等腰三角形的性质,那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢?这就是我们这节课要研究的问题.二、导入新课师:同学们看下面的问题并讨论、思考:如图,位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)?在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系?[生甲]应该能同时赶到出事地点.因为两艘救生船的速度相同,同时出发,在相同的时间内走过的路程应该相同,也就是OA=OB,所以两船能同时赶到出事地点.[生乙]我认为能同时赶到O点的位置很重要,也就是∠A如果不等于∠B,那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点.师:现在我们把这个问题一般化,在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系?[生丙]我想它们所对的边应该相等.师:为什么它们所对的边相等呢?同学们思考一下,给出一个简单的证明.[生丁]我是运用三角形全等来证明的.例1:已知:在△ABC中,∠B=∠C(如图).求证:AB=AC.证明:作∠BAC的平分线AD.在△BAD和△CAD中∴△BAD≌△CAD(AAS).∴AB=AC.师:太好了.从丁同学的证明结论来看,在一个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也相等,也就说这个三角形就是等腰三角形.这个结论也回答了我们一开始提出的问题.也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形.等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).师:下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用.例2:求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.【分析】这个题是文字叙述的证明题,我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言,再根据题意画出相应的几何图形.已知:∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC(如图).求证:AB=AC.师:同学们先思考,再分析.[生]要证明AB=AC,可先证明∠B=∠C.师:这位同学首先想到我们这节课的重点内容,很好![生]接下来,可以找∠B、∠C与∠1、∠2的关系.师:我们共同证明,注意每一步证明的理论根据.证明:∵AD∥BC,∴∠1=∠B(两直线平行,同位角相等),∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C,∴AB=AC(等角对等边).师:看小黑板,同学们试着完成这个题.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.求证:AB=AD.证明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC(两直线平行,内错角相等).又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD(等角对等边).师:下面来看另一个例题.例3:如图(1),标杆AB的高为5米,为了将它固定,需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子,使得D、B、E在一条直线上,量得DE=4米,绳子CD和CE要多长?(1)(2)【分析】这是一个与实际生活相关的问题,解决这类型问题,需要将实际问题抽象为数学模型.本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高,求腰长的问题.解:选取比例尺为1∶100(即为1 cm代表1 m).(1)作线段DE=4 cm;(2)作线段DE的垂直平分线MN,与DE交于点B;(3)在MN上截取BC=2.5 cm;(4)连接CD、CE,△CDE就是所求的等腰三角形,量出CD的长,就可以算出要求的绳长.师:同学们按以上步骤来做一做,看结果是多少.三、随堂练习课本79页第1、2、3题四、课时小结本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理,并对判定定理的简单应用作了一定的了解.在利用定理的过程中体会定理的重要性.在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力.五、课后作业课本91页第3、6题.六、活动与探究[探究1]等腰三角形两底角的平分线相等.过程:利用等腰三角形的性质即等边对等角、全等三角形的判定及性质.结果:已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的平分线.求证:BD=CE.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).∵∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,∴∠1=∠2.在△BDC和△CEB中,∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).[探究2]等腰三角形两腰上的高相等.过程:同探究1.结果:已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BE、CF分别是△ABC的高.求证:BE=CF.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).又∵BE、CF分别是△ABC的高,∴∠BFC=∠CEB=90°.在△BFC和△CEB中,∵∠ABC=∠ACB,∠BFC=∠CEB,BC=CB,∴△BFC≌△CEB(AAS).∴BE=CF.[探究3]等腰三角形两腰上的中线相等.过程:同探究1.结果:已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE分别是两腰上的中线.求证:BD=CE.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).又∵CD=AC,BE=AB,∴CD=BE.在△BEC和△CDB中,∵BE=CD,∠ABC=∠ACB,BC=CB,∴△BEC≌△CDB(SAS).∴BD=CE.13.3.2等边三角形第1课时【教学目标】知识与技能经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程.过程与方法1.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维.2.经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.情感、态度与价值观1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.【教学重难点】重点:等边三角形判定定理的发现与证明.难点:1.等边三角形判定定理的发现与证明.2.引导学生全面、周到地思考问题.【教学过程】一、提出问题,创设情境师:我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理,我们知道,在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形,叫等边三角形.回答下面的三个问题.1.把等腰三角形的性质用到等边三角形,能得到什么结论?2.一个三角形满足什么条件就是等边三角形?3.你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流.(教师应给学生自主探索、思考的时间)[生甲]由等边对等角的性质可知,等边三角形的三个角相等,又由三角形三内角和定理可知,等边三角形的三个角相等,并且都等于60°.[生乙]等腰三角形已有两边分别相等,所以我认为只要腰和底边相等,等腰三角形就是等边三角形了.[生丙]等边三角形的三个内角都相等,且分别都等于60°,我认为等腰三角形的三个内角都等于60°,也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了.(此时,部分同学同意上面的看法,部分同学不同意上面的看法,引起激烈的争论,教师可让同学代表发表自己的看法)[生丁]我不同意这个同学的看法,因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形.根据等角对等边,三个内角都是60°,所以它们所对的边一定相等,但这一问题中“已知是等腰三角形,满足什么条件时便是等边三角形”,我觉得他给的条件太多,浪费!师:给三个角都是60°,这个条件确实有点浪费,那么给什么条件不浪费呢?下面同学们可以在小组内交流自己的看法.二、导入新课探索等腰三角形成等边三角形的条件.[生]如果等腰三角形的顶角是60°,那么这个三角形是等边三角形.师:你能给大家陈述一下理由吗?[生]根据三角形的内角和定理,顶角是60°,等腰三角形的两个底角的和就是180°-60°=120°,再根据等腰三角形两个底角是相等的,所以每个底角分别是120°÷2=60°,则三个内角分别相等,根据等角对等边,则此时等腰三角形的三条边是相等的,即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形.[生]等腰三角形的底角是60°,那么这个三角形也是等边三角形,同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质.师:从同学们自主探索和讨论的结果可以发现:在等腰三角形中,不论底角是60°,还是顶角是60°,那么这个等腰三角形都是等边三角形.你能用更简洁的语言描述这个结论吗?[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.(这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点,难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况.这是一种分类讨论的思想,教师要关注学生得出证明思路的过程,引导学生全面、周到地思考问题,并有意识地向学生渗透分类的思想方法)师:你在与同伴的交流过程中,发现了什么或受到了何种启示?[生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”,在等腰三角形中有两种情况:(1)这个角是底角;(2)这个角是顶角.也就是说我们思考问题要全面、周到.师:我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况,我们鼓掌表示对他们的鼓励.今天,我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理;有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形,我们在证明这个定理的过程中,还得出了三角形为等边三角形的条件,是什么呢?[生]三个角都相等的三角形是等边三角形.师:下面就请同学们来证明这个结论.已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.求证:△ABC是等边三角形.证明:∵∠A=∠B,∴BC=AC(等角对等边).又∵∠A=∠C,∴BC=AB(等角对等边).∴AB=BC=AC,即△ABC是等边三角形.师:这样,我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到.等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°;三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.师:有了上述结论,我们来学习下面的例题,体会上述定理.例:如图,课外兴趣小组在一次测量活动中,测得∠APB=60°,AP=BP=200 m,他们便得出一个结论:A、B之间距离不少于200 m,他们的结论对吗?【分析】我们从该问题中抽象出△APB,由已知条件∠APB=60°且AP=BP,由本节课探究结论知△APB为等边三角形.解:在△APB中,AP=BP,∠APB=60°,所以∠PAB=∠PBA=(180°-∠APB)=(180°-60°)=60°.于是∠PAB=∠PBA=∠APB.从而△APB为等边三角形,AB的长是200 m,由此可以得出兴趣小组的结论是正确的.三、随堂练习(一)课本80页练习第1、2题.(二)补充练习如图,△ABC是等边三角形,∠B和∠C的平分线相交于D,BD、CD的垂直平分线分别交BC于E、F,求证:BE=CF.证明:连接DE、DF,则BE=DE,DF=CF.由△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,得∠1=30°,故∠2=30°,从而∠DEF=60°.同理∠DFE=60°,故△DEF是等边三角形.∴DE=DF,∴BE=CF.四、课时小结这节课,我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件,并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法.这节课我们学的定理非常重要,在我们今后的学习中起着非常重要的作用.五、课后作业课本83页第12、14题.六、活动与探究探究:如图,在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE.△ADE是等边三角形吗?试说明理由.过程:通过分析、讨论,让学生进一步了解等边三角形的性质及判定.结果:已知:三角形ABC为等边三角形.D、E为边AB、AC上两点,且AD=AE.判断△ADE是否是等边三角形,并说明理由.解:△ADE是等边三角形,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°.又∵AD=AE,∴△ADE是等腰三角形.∴△ADE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).第2课时【教学目标】知识与技能1.探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质.2.有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用.过程与方法1.经历“探索──发现──猜想──证明”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.情感、态度与价值观1.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲.2.体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性.【教学重难点】重点:含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.难点:1.含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.2.引导学生全面、周到地思考问题.【教学过程】一、提出问题,创设情境师:我们学习过直角三角形,今天我们先来看一个特殊的直角三角形,看它具有什么性质.大家可能已猜到,我让大家准备好的含30°角的直角三角形,它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢?问题:用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由.由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能证明你的结论吗?二、导入新课(让学生经历拼摆三角尺的活动,发现结论,同时引导学生意识到,通过实际操作探索出来的结论,还需要给予证明)[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形.(1)(2)其中,图(1)是等边三角形,因为△ABD≌△ACD,所以AB=AC,又因为Rt△ABD中,∠BAD=60°,所以∠ABD=60°,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.[生]图(1)中,∠B=∠C=60°,∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°,所以∠B=∠C=∠BAC=60°,即△ABC是等边三角形.师:同学们从不同的角度说明了自己拼成的图(1)是等边三角形.由此你能得出在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边的关系吗?[生]在直角三角形中,30°角所对直角边是斜边的一半.师:我们仅凭实际操作得出的结论还需证明,你能证明它吗?[生]可以,在图(1)中,我们已经知道它是等边三角形,所以AB=BC=AC.而∠ADB=90°,即AD⊥BC.根据等腰三角形“三线合一”的性质,可得BD=DC=BC.所以BD=AB,即在Rt△ABD中,∠BAD=30°,它所对的边BD是斜边AB的一半.[师生共析]这位同学能结合前后知识,把问题思路解释得如此清晰,很了不起.下面我们一同来完成这个定理的证明过程.定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知:如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.求证:BC=AB.①②分析:从三角尺的摆拼过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.证明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,则∠B=60°.延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图2)∵∠ACB=60°,∴∠ACD=90°.∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).∴BC=BD=AB.师:这个定理在我们实际生活中有广泛的应用,因为它由角的特殊性,揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系,下面我们就来看一个例题.例1:如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4 m,∠A=30°,立柱BC、DE要多长?【分析】观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中,由于∠A=30°,所以DE=AD,BC=AB,又由D是AB的中点,所以AD=AB.解:因为DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,由定理知BC=AB,DE=AD,所以BD=×7.4=3.7(m).又AD=AB,所以DE=AD=×3.7=1.85(m).答:立柱BC的长是3.7 m,DE的长是1.85 m.师:再看下面的例题.例2:等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高.已知:如图,在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高.求CD的长.【分析】观察图形可以发现,在Rt△ADC中,AC=2a,而∠DAC是△ABC的一个外角,则∠DAC=15°×2=30°,根据在直角三角形中,30°角所对的边是斜边的一半,可求出CD.解:∵∠ABC=∠ACB=15°,∴∠DAC=∠ABC+∠BCA=30°.∴CD=AC=a(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).师:下面我们来做练习.三、随堂练习(一)课本81页练习.(二)补充练习1.已知:△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°.求证:BD=AB.证明:在Rt△ABC中,∠A=30°,∴BC=AB.在Rt△BCD中,∠B=60°,∴∠BCD=30°.∴BD=BC.∴BD=AB.2.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍,这个角的平分线把对边分成两条线段.求证:其中一条是另一条的2倍.已知:在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,BD是∠ABC的平分线.求证:CD=2AD.证明:在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,∴∠ABC=60°,∠C=30°.又∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC=30°.∴AD=BD,BD=CD.∴CD=2AD.四、课时小结这节课,我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系.这个定理是个非常重要的定理,在今后的学习中起着非常重要的作用.五、课后作业课本82页第15题.六、活动与探究在三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°.过程:可以从证明“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”.从辅助线的作法中得到启示.结果:已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AB.求证:∠BAC=30°.证明:延长BC到D,使CD=BC,连接AD.∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°.又∵AC=AC,∴△ACB≌△ACD(SAS).∴AB=AD.∵CD=BC,∴BC=BD.又∵BC=AB,∴AB=BD.∴AB=AD=BD,即△ABD为等边三角形.∴∠B=60°.在Rt△ABC中,∠BAC=30°.参考例题已知,如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形.求证:AN=BM.证明:△ACM与△CBN是等边三角形.∴∠ACM=∠BCN.∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM,即∠ACN=∠MCB.在△ACN和△MCB中,∴△ACN≌△MCB(SAS).∴AN=BM.。
