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经典薛定谔方程

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-薛定谔方程

-薛定谔方程

§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。

报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。

几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。

薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。

一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。

一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。

2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。

3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。

将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。

定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。

在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。

薛定谔方程及其应用

薛定谔方程及其应用

x

y ( x, t ) Re[ Ae

]
1
2、量子力学波函数（复函数） 自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动 过程中作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和 动量保持不变。 E h , 对应的德布罗意波的频率和波长： h P 结论：自由粒子的物质波是单色平面波。
波函数为：
对三维空间，沿矢径 r 方向传播的自由粒子的
粒子在0到a/2区域内出现的概率
8
二、薛定谔方程
9
经典力学中，已知力 F 及 x0、 υ 0，可由牛顿方 程求质点任意时刻状态。 在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来 描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。
当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后 时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。
2
方程（1）的解为： f ( t ) ce
i Et
Et
（c为任一常数） 将 f ( t ) ce 代入 ( r , t ) ( r ) f ( t ) ， 并把常数包含在 ( r ) 中，这样 就得到薛定谔方程的特解为：
定态薛定谔方程
( r , t ) ( r )e
0 (0 x a ) U ( x) ( x 0 , x a )
U ( x )
d U E 2 2m dx
2 2
2 d 2 E 2 2m dx
须有

U(x)
0
( x) 0
0 a
边界条件：
(0) (a ) 0
13
若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场 中运动，则其薛定谔方程为：
2 2 2 2 ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) i [ ] 2 2 2 t 2m x y z U ( r , t ) ( r , t ) ⑥

爱因斯坦薛定谔方程

爱因斯坦薛定谔方程

爱因斯坦薛定谔方程
爱因斯坦-薛定谔方程（Einstein-Schrödinger equation）是一个量子力学中的方程，将爱因斯坦的相对论和薛定谔方程结合在一起，描述了物质和场相互作用的行为。

这个方程是在广义相对论和量子力学之间的理论框架下提出的。

具体而言，爱因斯坦-薛定谔方程描述了物质在引力场中的行为，以及粒子与电磁场的相互作用。

它是一个偏微分方程，通常被写成：iħ∂ψ/∂t = (c^2√(p^2c^2 + m^2c^4) + eφ)ψ。

其中，ψ是波函数，描述了量子态的演化；t是时间；ħ是约化普朗克常数；c是光速；p是动量算符；m是粒子的静质量；e是元电荷；φ是电磁场势。

爱因斯坦-薛定谔方程是一个非常复杂的方程，它描述了物质在引力场和电磁场中的量子行为。

这个方程在理论物理的研究中扮演着重要的角色，帮助我们理解微观世界的行为。

但是，由于其复杂性，解析解很难找到，通常需要使用数值方法进行求解。

大学物理薛定谔方程

大学物理薛定谔方程

若势能曲线 如图所示：
U
( x) U= U0
有一个有限 E 宽度的“势垒”。 U= 0
U= 0 x
Ⅰ区是波动解， Ⅱ区是指数解，
0a
Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区
Ⅲ区也是波动解，但是只有向+x方向的波； 没有向-x方向的反射波了。
可以想见，原来在Ⅰ区的粒子也可以在势垒 的另一边Ⅲ 区出现！这在经典物理是不可想象的！
即可得总波函数 (x, t )。
例.一维自由运动微观粒子的波函数。 电子枪
K
自由运动区
A
U=0
其定态薛定谔方程为
d2
d x2
2m 2
E
0
2 2m
d2
d x2
U
E
……二阶常系数
E 是能量（动能）
常微分方程
令 2mE p2 ，P 是动量。
d2
d x2
2m 2
E
0
得
d2
d x2
p2 2
0
它有两个特解:
量子物理： 粒子有波动性，遵从不确定关系，
粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。
只要势垒区宽度 x = a 不是无限大，
粒子能量就有不确定量E 。
p2
2pΔ p pΔ p
E ΔE
2m
2m
m
x = a 很小时，P 很大，使 E也很大 ， 以至
可以有： E U0 E E +E > U0
§2.4 一维谐振子
Ⅱ区：
d2
d x2
2m 2 (E
U0 )
0
令
k22
2m 2
E U0
2 C ek2x D ek2x
2 C ek2x Dek2x

9-4薛定谔方程

9-4薛定谔方程

隧道效应
贯穿势垒的概率定义为在 x a处透射波的强度与
入射波的强度之比：
T
3(a) 2
2a
e
2m(U0 E )
A2
贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。
扫描隧道显微镜(STM)
原理： 利用电子的隧道效应。
金属样品外表面有一层 电子云，电子云的密度随着 与表面距离的增大呈指数形 式衰减，将原子线度的极细 的金属探针靠近样品，并在 它们之间加上微小的电压， 其间就存在隧道电流，隧道 电流对针尖与表面的距离及 其敏感，如果控制隧道电流 保持恒定，针尖的在垂直于 样品方向的变化，就反映出 样品表面情况。
z z 为 轴，角动量在 轴上的投影 Lz 只能取
Lz ml ml 0, 1, 2,..., l
ml 称为磁量子数。对于一定的角量子数l, ml 可以取 2(l 1) 个值。
B(z)
2 角动量的空间量子化 o 2
L 6
l2
三、电子的自旋
1925年，乌仑贝克 ( G.E.Uhlenbeck ) 和古兹密特(S.A.Goudsmit)提出电子自旋假说。把 电子绕自身轴线的转动称为自旋。
4 E1
n 1
0
a2
ax 0
a2
aEE1x0
四、一维势垒 隧道效应
一维方势垒如图
U
U
(x)

U0
0xa
0 x 0, x a
U0 E
粒子沿 x 方向运动,当
Ⅰ E U0
ⅡⅢ
粒子可以通过势垒。
oa x
当 E U0，实验证明粒子也能通过势垒,这只有 由量子力学的到解释。
设三个区域的波函数分别为 1, 2,3

薛定谔方程

薛定谔方程

薛定谔方程薛定谔方程(Schrödinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年[1]描述量子力学中波函数的运动方程，被认为是量子力学的奠基理论之一。

薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。

含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。

不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。

波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。

而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。

薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。

量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。

薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。

薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。

海森堡表述比较没有这么严重的问题;而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。

目录[隐藏], 1 含时薛定谔方程, 2 不含时薛定谔方程, 3 历史背景与发展, 4 含时薛定谔方程导引o 4.1 启发式导引, 4.1.1 假设, 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数o 4.2 薛定谔的导引, 5 特性o 5.1 线性方程, 5.1.1 证明o 5.2 实值的本征态o 5.3 幺正性, 5.3.1 证明o 5.4 完备基底, 6 相对论性薛定谔方程, 7 解析方法, 8 实例o 8.1 自由粒子o 8.2 一维谐振子o 8.3 球对称位势, 8.3.1 角部分解答, 8.3.2 径向部分解答, 9 参阅, 10 参考文献, 11 外部链接[编辑] 含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。

理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。

在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为;(1) 其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。

清华大学物理-量子物理.第27章.薛定谔方程

第二十七章薛定谔方程§27.1 薛定谔方程§27.2 无限深方势阱中的粒子§27.3 势垒穿透§27.4 一维谐振子*§27.5 力学量算符§27.1 薛定谔方程薛定谔方程是决定粒子波函数演化的方程。

薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，在量子力学中的地位如同牛顿方程在经典力学中的地位。

和牛顿方程一样，薛定谔方程不能由其它的基本原理推导得到，是量子力学的一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。

▲薛定谔方程是线性的，满足解的叠加原理。

▲薛定谔方程关于时间是一阶的，经典波动方程关于时间是二阶的。

▲薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”，是非相对论形式的方程。

若和是方程的解，),(1t r Ψ ),(2t r Ψ 则也是方程的解。

),(),(2211t r Ψc t r Ψc ▲方程含有虚数i ，其解是复函数，不可直接测量，是概率密度，可直接测量。

Ψ2||Ψ一. 一维无限深方势阱模型极限理想化U (x )U =U 0U =U 0E U =0x 0§27.2 无限深方势阱中的粒子表面电子运动限于区间aa金属无限深方势阱U =0EU →∞U (x )x 0U →∞-a /2a /2n 很大时，阱内粒子概率分布趋于均匀| n|2E n-a/2a/2玻尔对应原理：大量子数极限下，量子体系行为向经典过渡。

§27.3 势垒穿透一.粒子进入势垒⎩⎨⎧>≤=)0( , )0( ,0 )(0x U x x U 金属与半导体接触处，势能隆起形成势垒。

势垒的物理模型：xII 区I 区U 0U (x )1.一维势垒模型粒子从x = - 处以特定能量E (E < U 0) 入射，xII 区0I 区U 0U (x )2.问题经典图像：量子图像：粒子无法跃上台阶，只能反射。

粒子具有波动性，波不仅被反射，而且能透射进入势垒区，只要U 0有限。

薛定谔方程


6.薛定谔方程的地位：
相当于经典力学中的牛顿二定律。 薛定谔方程经受住了所有近代实验的验证。
7.对薛定谔方程的讨论 定域几率守恒和流方程
薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程， 而在低能非相对论时，粒子没有产生、湮灭， 所以粒子数是守恒量。
对于单粒子而言，几率之总和恒定，即
2 3 d | (r , t ) | d r 0 dt
薛定谔方程
ˆ r, t i r, t H t
(1887-1961)
引入薛定谔方程的基本思想：首先假 定自由粒子的波动是平面波，则微分方程 的最基本的形式可以由平面波引入，再由 有势能存在的情况下作相应的修正得出薛 定谔方程。它的正确性是由其结果能够解 释已知的实验事实，并且能够推断出尚未 发现的实验现象来验证的。
2
4.薛定谔方程的特点： 1)在薛定谔方程中h保留了下来，说明其描述 的是量子体系的波动方程。 2)对时间的一阶微分方程，而经典的波动方 程为时间的二阶微分方程。 3)在时间微商前有一个虚因子。 4)是一个线性方程，其解满足态叠加原理。 5)自由粒子波函数必须是复数形式。
5.薛定谔方程的意义：
给出了质量为m ,在力场 U(r, t) 中运动的微观粒子的 波函数所满足的动力学方程，也就是微观体系的 基本运动方程。 在求解过程中，自然得到粒子能量E等力学量是量子化 的。
A sin(t kx) Aei (t kx)
取：
( x, t ) Ae
i ( kxt )
光子：E hv 2 h p k p k 波函数反应出光子的性质： i k x i t


一般情况：
i k p i t ˆ i E ˆ i p t

薛定谔方程

薛定谔方程（Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。

它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

1定义薛定谔方程薛定谔方程（Schrodinger equation）又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation）在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。

力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。

这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。

薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来确定。

2方程概述量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。

薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。

薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。

当涉及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。

.薛定谔提出的量子力学基本方程。

建立于1926年。

它是一个非相对论的波动方程。

它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。

设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为。

量子物理第二章薛定谔方程(20211023)(有补充)

第27章薛定谔方程·德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告，报告后，德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。

几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。

·薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。

§1 薛定谔方程的建立(一种方法)一.薛定谔方程1.一维薛定谔方程·一维自由运动粒子无势场，不受力，动量不变。

· 一维自由运动粒子的波函数(前已讲)由此有· 再利用 可得此即 一维自由运动粒子(无势场)的薛定谔方程·推广到若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有 ∂ψ∂ x = ( )P ψi h∂2ψ ∂ x 2 P 2h 2= -( ) ψ P 22m E = P 22m E = +U (x , t )∂ t= i h ( ) ψ (x , t )h 22m - ( ) ψ (x , t ) ∂x 2∂ ∂2一维薛定谔方程 式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t ) 中运动的波函数·和经典关系相比较,只要把再作用到波函数 ψ (x , t ) 上，即可得到 上述方程。

P 22m E = +U (x , t )2.三维薛定谔方程式由一维方程推广可得三维薛定谔方程式· 拉普拉斯算符(三维薛定谔方程式在球坐标下的形式请见 教材B 版p332)·当 U (r , t) = 0时，方程的解， 即三维自由运动粒子的波函数∂2 ∂x 2 ∂2 ∂y 2 ∇2≡ + + ∂2 ∂z 2·波函数的叠加原理薛定谔方程是ψ的线性微分方程；若ψ1、ψ2是方程的解，则c1ψ1 + c2ψ2也是方程的解。

(c1、c2是常数)★E.Schrodinger & P.A.M.Dirac 荣获1933年Nobel Prize (for the discovery of new productive forms of atomic theory)薛定谔(1887-1961)奥地利人创立量子力学二.定态薛定谔方程 1.一维定态薛定谔方程 若粒子在恒定势场U = U (x ) 中运动(含常数势场U = U 0 )薛定谔方程式可用分离变量法求解。

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则称本征值
是
重简并的。称 为简并度
简并态的选择不是唯一的
矩阵代数中的厄米矩阵 矩阵代数中的本征矢 物理量算符 微观粒子的定态 与定态对应的 物理量的确定值
18
矩阵代数中的本征值
通常一个力学量 的本征值是简并的,这时必定存 在独立于 ,而又与它对易的其它力学量 。 力学量算符的对易关系
ˆ [ x, px ] i
的本征态。
4
自由粒子的 薛定谔方程 沿x方向运动的动能为E和动量为P 的自由粒子 的波函数
时间偏导
位置偏导
( x, t ) i E ( x, t ) t ( x, t ) i E ( x, t ) t
i p x
二阶偏导
2 2 p2 i (E ) 2 t 2m x 2m
8
The upside-down capital delta symbol also called "nabla" used to denote the gradient and other vector derivatives (From Wolfram MathWorld)
9
定义算符：
2 2 2 2 2 2 2 x y z
在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值，不一定有确定值 （因为不确定关系）。若其中某个力学量有确定的测量值，则该 波函数所描述的状态是该力学量的本征态。 量子体系的运动状态由波函数来描述, 力学量用力学量算符来描述。 下面简单介绍量子力学算符和经典力学中的力学量的对应关系
11
§3 力学量用算符表达和本征方程 力学量算符 从上面推导可知有如下对应关系
2 p2 2 2 x 2 2 p2 2 2m x 2m
5
2 2 p2 i (E ) 2 t 2m x 2m
为自由粒子的质量，因为势能为零，所以 所以得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程： 经动 典力 波学 动方 的程
是力学量A的一个本征值。
由本征值方程解出的全部本征值 就是相应力学量的可能取值。
16
ˆ 如能量算符 H的本征值方程
ˆ 如角动量平方算符 L2的本征值方程
ˆ 如角动量沿z 方向的分量算符 Lz 的本征值方程
ˆ 2的本征值方程 如自旋角动量算符 S
17
如果属于本征值 的本征态不是一个，而是 个，即力学量A的本征方程为：
p2 则得： 2 k (r , t ) 2 k (r , t )
考虑自由粒子的能量
p2 E 2m
2 2 k (r , t ) E k (r , t ) 2m
又因为
k (r , t ) 2 2 得出：i k (r , t ) t 2m
ˆ2 , L ] 0 [L ˆ z
ˆ ˆ ˆ [ Lx , Ly ] iLz ˆ ˆ ˆ [ L , L ] iL
y z
x
ˆ ˆ ˆ [ Lz , Lx ] iLy
19
力学量算符的平均值 力学量算符的本征值方程 体系的任一状态可用守恒量的完全集合展开
力学量 在该态中的平均值：
利用正交 归一性
测量 到An 的几率
20
结论 力学量 在某态
中的测量平均值：
例一：位置 的平均值
是粒子在 处出现的几率。
21
例二：势能U(r) 的平均值
例三：动量算符
的平均值
下面以动量本征方程、本征函数为例说明
22
例四：动量算符的本征值方程是
式中 是动量算符的本征值，在直角坐标系下 为 p x、p y、p z均为实数。动量本征值方程的解 在坐标表象中：
p 一个动能为E和动量为 p ，即波矢为k 的自由粒子，在坐标表象的波函数：
Et p r k ( r , t ) 0 e xp( i )
显然，波函数对时间求导，可得出
k ( r , t ) i E k ( r , t ) t
14
角动量算符的模方定义为：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L2 L L L2 L2 L2 , x y z
x r sin cos , y r sin sin ,
z r cos ,
z cos , r
y tan , x
z
球坐标


y
代入
ˆ ˆ ˆ ˆ L r p ir ,
提纲
§4 薛定谔方程 自由粒子的 薛定谔方程 §3 力学量用算符表达和本征方程
力学量算符
本征值和本征函数 力学量算符的平均值 例题：动量算符的本征值方程
作业：2-3 (2)、(3)、(4)
1
1925年薛定谔在介绍德布罗意波的报告后,
德拜指出：“对于波，应该有一个波动方程。” 几周后薛定谔找到（提出）了波函数满足的 微分方程 — 薛定谔方程，从而建立了描述 微观粒子运动规律的学科 —量子力学。 薛定谔方程是描述微观粒子的基本方程，同牛顿 定律一样，它是不能够由其它基本原理推导出来 的，它最初只是一个假定，后来通过实验检验了 它的正确性，薛定谔因此获得了1933年的诺贝尔 物4将简单介绍量子体系的运动状态如何用 波函数来描述；力学量如何用力学量算符来描述。
建立薛定谔方程的主要依据和思路： * 要研究的微观客体具有波粒二象性，应该满足 德布罗意关系式 质量为m，动量为P的粒子：
* 满足非相对论的能量关系式，对于一个能量为E， *若
是方程的解，则 也是它的解； 若波函数 与 是某粒子的可能态，则 也是该粒子的可能态。
x
角动量的投影算符
ˆ L2 2 2 z ˆ 得出L (s i n ) si n si n2
15
本征值和本征函数
ˆ 当力学量算符 A作用在波函数 上，其结果是 同一个函数乘以一个常量时：
ˆ 称上式为算符 A 的本征值方程。
是力学量A 取确定值 时的本征态
利用上述对应关系可得出
12
力学量用算符表达 经验告诉我们，与经典力学量对应的量子力学 中的算符形式
ˆ r r
ˆ p p i
第一类:以坐标为函数的力学量，其量 子力学所对应的算符形式不变。 如势能 U (r ) 和作用力 f (r ) 。 另一类经典力学量是与动量有关，其量子力学 所对应的算符可用与动量的对应关系得出，例如 动能算符的表达式： 2 2 2 2 2 ˆ 2 ( ), T 2m 2m x 2 y 2 z 2
它就是 的单色平面波，在量子力 学中，平面波代表粒子有确定的动量、在 空间各处出现的几率相同的状态。
23
因此，任一态
可用动量本征函数系展开
展开系数
给出在该态中测量到动量为
的几率
是任意态
在动量表象中的表述
24
书P338（ 2.7 ）式 上两式称为傅里叶变换
在动量表象中动量算符的平均值
25
自由粒子的 薛定谔方程
许多单色平面波线性叠加的态仍是上述方程的解。 所以，可不写角码k。 10
前面从经典自由粒子 的波函数得出了它应 满足的方程，从中可 得到些启示
该方程是一个线性方程，所以叠加原理成立。 它是时间的一阶微分方程，因此其解（几率幅）将作因果变化， 即t = 0 的值唯一地决定随后任何时刻的值。
i E t
i i E t p x x
动量 算符
动能 算符
i px x
i p
2
i p
ˆ ˆ ˆ 定 义 i j k x y z
ˆ T 2 2m
2 2 ( r , t ) E ( r , t ) 2m ( r , t ) 2 2 i (r , t ) t 2m
ˆ ˆ ˆ [ x, px ] xpx px x i
[ y, p y ] i ˆ [ z , pz ] i
i px x
ˆ [ x, p y ] [ x, pz ] 0
ˆ ˆ [ y, pz ] [ y, px ] 0
ˆ ˆ [ z , p y ] [ z , px ] 0
2 2 i t 2 m x 2



奥地利人 Erwin Schrodinger 1887-1961 创立量子力学
2y 1 2y 2 2 x u t 2
6
一维自由粒子的薛定谔方程： 同样推广到三维
2 2 i t 2 m x 2
13
角动量算符的表达式
ˆ ˆ ˆ ˆ L r p ir ,
ˆ yp zp i( y z ) ˆz ˆy Lx z y
ˆ zp xp i( z x ) ˆx ˆz Ly x z
ˆ xp yp i( x y ) ˆy ˆx Lz y x
7
波函数对空间求导可得出：
k ( r , t ) i p x k ( r , t ); x
2 k (r , t ) px 2 k (r , t ) 2 x
2
k ( r , t ) i p y k ( r , t ); y
*
因此，波函数应遵从线性方程。 自由粒子的外势场应为零。
3
自由粒子的波函数 一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布 罗意波具有频率和波长： E h h p 或者用角频率和波矢量表示： p k 单色平面波的实数形式
单色平面波的复数形式为：
称它为在坐标表象中动量为 p
k ( r , t ) i pz k ( r , t ); z