北京人大附中八年级上学期期中考试数学试卷

人大附中2024-2025学年度第一学期期中初二年级数学练习2024年11月6日说明：本练习共三道大题，28道小题，共6页；满分100分，时间90分钟；请在密封线内填写个人信息，请将答案全部作答在答题纸相应的位置上。

一、选择题（每小题3分，共30分）1.若式子有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A. B. C. D.2.下列图形中，对称轴最多的图形是（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C.长方形D.正五边形3.在下列运算中，正确的是（ ）A. B.C. D.4.一个等腰三角形有一个角为30°，则它的底角的度数是（ ）A.30°B.75°C.30°或75°D.30°或65°5.如图，在中，，，点D 、E 分别在BC 、AC 的延长线上，且，则的度数是（ ）A.40°B.70°C.75°D.80°6.已知，那么代数式值是（ ）A.14B.15C.16D.177.如图，点D 为的边AB 上一点，点A 关于直线CD 对称的点E 恰好在线段BC 上，连接DE ，若，，，则的周长是（）()04x +4x ≠-4x =-4x ≠4x =235x x x x⋅⋅=23x x x +=()235x x =()2326416xy x y -=ABC △90B ∠=︒50A ∠=︒CD CE =CED∠230x x +-=()()2225x x x -+++ABC △10AB =4AC =9BC =BDE △A.13B.15C.17D.不能确定8.如右图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形，将余下部分剪开后拼成一个梯形，根据两个图形阴影面积的关系，可以得到一个关于a ，b 的恒等式为（ ）A. B.C. D.9.如图，AD 是的角平分线，且，，那么的度数是（ ）A.26°B.27°C.28°D.30°10.已知实数a ，b满足，则的值是（ ）A.65 B.105 C.115 D.2025二、填空题（每空2分，共18分）11.在平面直角坐标系中，点关于x 轴对称的点的坐标为________.12.已知等腰三角形有两条边的长度分别为5，8，则该三角形的周长为________.13.计算：________.14.如图，BD 是的角平分线，点D 是边AC 一点，且满足，若，，则________.()a b >()2222a b a ab b -=-+()2222a b a ab b +=++()()22a b a b a b -=+-()2a ab a a b +=+ABC △AB BD AC +=40BAC B ∠=∠+︒C ∠()()21222a b a b -+=-2234101220241a b a b ++-+()2,1A 20232024122⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭ABC △BE ED =40A ∠=︒110C ∠=︒EDB ∠=15.定义新运算：，则方程的解为_________.16.如图，，点P 在的平分线上，于点C ，点D 在边OB 上，且.则线段OC 的长度为_________.17.如图，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，且，则点C 的坐标为________.18.若，，则的值为________.19.如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和一三象限，点A 为x 轴正半轴上一点，点B 位于第一象限内且在直线上，，，过点B 作直线a 垂直于x 轴，点C ，D 在直线a 上（点D 在点C 上方），且，若线段CD 关于直线对称的线段EF 与坐标轴有交点，则点C 的纵坐标m 的取值范围是________.*a b ab b =-()21*8x x +=60AOB ∠=︒AOB ∠PC OA ⊥8OD DP ==()1,1A -()2,2B ABC △90B ∠=︒7x y -=2y z +=-()2x yz x z y -+-l l 2OB =30AOB ∠=︒1CD =l三、解答题（20-21题每小题4分，22-23题每题4分，24题5分，25题4分，26题5分，27-28题每题7分，共52分）20.计算：（1）；（2）.21.分解因式：（1）；（2）.22.先化简，再求值：，其中，.23.如图，在中，D 为BC 的中点，，，垂足分别为E ，F ，且，连接AD ，求证：AD 是的角平分线.24.小兵遇到一个作图问题：如图，在中，，如何用尺规作图把分成三个等腰三角形.下面是小兵设计的尺规作图过程.作法：①以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交线段BC 于另一点D ；②作线段CD 的垂直平分线，直线交线段AC 于点E ；③连接AD ，DE ，则，，即为所求的等腰三角形.根据小兵设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：由作图可知，①()()53212a a a a -+-÷()()()2332x y x y x y +-++22363ax axy ay -+()()2244a x b x -+-()()()()22223x x x x x y x y y ⎡⎤+--+-+÷⎣⎦3x =-2y =ABC △DE AB ⊥DF AC ⊥BE CF =ABC △ABC △3B C ∠=∠ABC △l l ABD △ADE △CDE △AB AD =∴________.∵，∴.∵直线为线段CD 的垂直平分线，∴（__________）（填推理的依据）.②∴.∴∵，∴.∴.∴（__________）（填推理的依据）.③由①②③得：，，均为等腰三角形.25.已知实数a 、b 满足，，（1）求代数式值；（2）求代数式的值.26.如图，在中，直线MN 是边AB 的垂直平分线，点D 是直线MN 上一点，连接AD ，CD ，满足，求证：CD 为的外角的角平分线.27.对于一个正整数n ，若存在正整数k ，使得n 能表示为k 和的平方差，那么称这个正整数n 为k 系平方差数.例如：，则20为6系平方差数.（1）直接写出10系平方差数.（2）已知为k 系平方差数，求M 的值.（3）已知a ，b 为正整数，，且为k 系平方差数.①直接写出a 与b 之间的数量关系；②若是m 系平方差数，请判断是否为平方差数.若是请直接写出是_______系平方差数（用含m 的代数式来表示）；若不是请写出理由；28.在中，，，D 点是边AB 上一点，E 为边AC 上一点，连接CD ，DE .（1）如图1，，点D 为AB 中点，，，直接写出EC 的长，（2）如图2，，，，连接BE 交CD 于点F ，延长FE 至P ，使得B ∠=∠3B C ∠=∠3ADB C ∠=∠l CE DE =C CDE ∠=∠2AED C CDE C∠=∠+∠=∠3ADB C CAD C ∠=∠+∠=∠2CAD ADB C C ∠=∠-∠=∠AED CAD ∠=∠AD DE =ABD △ADE △CDE △6a b +=4ab =22a b +()23a b a b ab -+ABC △2ACB ADM ∠=∠ABC △ACP ∠2k -222064=-()()()23234126M k k k k =+---+a b >()()222336a b b ab +-+-11a b ++20242022a b -ABC △AB AC =BAC α∠=60α=︒8AB =DE AC ⊥60α=︒3AB BD =DE AC ⊥，连接AP ，①依题意补全图形；②用等式表示线段AP ，BP ，CF 之间的数量关系，并证明，（3）如图3，点E 为定点，，连接BE ，点M 为线段BE 上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）.PF CF =CBE β∠=BM AD =AM CD +BDC ∠αβ。

八年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10 小题，共 30.0 分）1.京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这二者的联合无疑是最能代表中国特点的艺术形式之一，以下图京剧脸谱剪纸中不是轴对称图形的是（）A.．B.．C. D.2. 若分式 x-2x-3 存心义，那么x 的取值范围是（）A. x≠3B. x=3C. x≠2D. x≠13. 以下计算正确的选项是（）A. x+x2=x3B. x2?x3=x6C. (x3)2=x6D. x9÷x3=x34. 假如一个等腰三角形的两边分别是 3 和 6，则它的周长是（）A. 12B. 15C. 12或15D. 没法确立5.如图，点 D ，E 为△ABC 的边 BC 上的点，且知足 DA =DB，EA=EC，若∠B=30 °，∠C=40 °，则∠DAE 的度数为（）A. 36°B. 38°C. 40°D. 42°6. 已知 x+1x =3，则 x2+1x2 的值是（）A. 3B. 7C. 9D. 117. 如图，在边长为 a 的正方形中，剪去一个边长为 b 的小正方形（ a＞ b），将余下部分拼成一个梯形，依据两个图形暗影部分面积的关系，能够获得一个对于a、 b 的恒等式为（）A. (a-b)2=a2-2ab+b2B.C. a2-b2=(a+b)(a-b)D. (a+b)2=a2+2ab+b2 没法确立8. 如图，在暑期时期，某学校正其校内的高中楼（图中的点 A），临建楼（图中的点B）和图书室（图中的点 C）进行装饰，装饰工人小明需要搁置一批装饰物质，使得装饰物质到点A，点 B 和点 C 的距离相等，则装饰物质应当搁置在（）A.AC、 BC 两边高线的交点处B.在 AC、BC 两边中线的交点处C.在∠A、∠B两内角均分线的交点处D.在 AC、 BC 两边垂直均分线的交点处9.如图，在△ABC 中，∠C=90 °，∠A=30 °，BD 为△ABC的角均分线，若AC=12 ，则在△ABD 中 AB 边上的高为（）A. 3B. 4C. 5D. 62 210. 已知 2a-b=3 ，那么 12a -8ab+b -12a+3 的值为（）A. 9B. 12C. 15D. 18二、填空题（本大题共9 小题，共18.0 分）11.计算（ x2+2）0的结果是 ______ ．12.若分式 a-2a+3 值为 0，则 a 的值为 ______．13.点 P（ 2， 3）对于 x 轴的对称点的坐标为 ______．14.如图，点 D 为△ABC 的边 AB 上一点，若∠1=∠2，AB=7，AC=3，则△ACD 的周长为 ______．15.如图，△ABC 为等边三角形， DC∥AB，AD⊥CD 于 D ，若 CD =2，则 AB 的长度为 ______．16. 若 a2x2+4x+1 能够写成一个完整平方式，则常数 a 的值为 ______．17. 2 （x+4 ）用“★”定义一种新运算：对于随意实数 a 和 b，规定 a★b=ab -5ab+4 a，若 3★=3（x+1）（ x-3），则 x______．18. 如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上一点， AB=AC，AD =DE ，且∠BAD =36°，∠EDC=12°，则∠B 的度数为 ______．19.小为同学和小辰同学研究一个数学识题：尺规作图：作三角形的高线．已知：△ABC．尺规作图：作 BC 边上的高 AD ．他们的作法以下：① 分别以 B ，E 为圆心，大于 12 BE 长为半径画弧，两弧交于点 F ．② 连结 AF ，与 BC 交于点 D ，则线段 AD 即为所求．③ 以 A 为圈心， AB 为半径画弧，与BC 交于点 E ．老师说： “你们的作法思路正确，但作图次序不对． 请回答：此中次序正确的作图步骤是（填写序号） 判断线段 AD 为 BC 边上的高的作图依照是 ______．三、计算题（本大题共1 小题，共 6.0 分）20. 在平面直角坐标系中， 横纵坐标均为整数的点称为整点， 我们常常用整式乘法和因式分解来解决整数和整点问题．如图，在平面直角坐标系中， 正方形 OABC 的极点坐标分别是 O （ 0，0），A （20，0）， B （ 20， 20）， C （ 0， 20），点 P 为正方形内部（界限或许极点除外）的动点，设点 P 的坐标为（ x ， y ）（ 1）若整数 x ，y 知足 xy=10， x ＞ y ，请直接写出点 P 的坐标；（ 2）设 △POA 的三边长分别 a ，b ， c （此中 c 为 OA 的长度），整数a ，b 知足a 3+2a 2b+ab 2=2500，求 △POA 周长 ．（ 3）若整点 P 知足 S △POA ?S △PBC =S △PAB ?S △POC （此中 S △POA 表示 △POA 的面积）则称点 P 为 “快乐数学点 ”，请直接写出在正方形内部的快乐数学点的个数．四、解答题（本大题共 8 小题，共 46.0 分）______．”21.计算：（1） x5÷x3+（ x-2）（ x+3）（2）（ 2x+3y）2-（ 2x+y）（ 2x-y）22.分解因式：（1） 4x2y-9y（2） 3ax2-6axy+3ay223.先化简，再求值：（x+1）（ 2-4x） +2（ x-2）2+4，此中 x2+5x=3．24.为了弘扬长征精神传承红色经典，某学校初二年级于 10 月 19 日去红色快乐营进行拓展训练，如图，小瑞同学需要在田地 A 点挖红薯，而后走到田坎上（直线l）上喝水，最后走到田地 B 点挖红薯，为了节俭时间，挖到更多紅薯，需要走的行程最短，请你为小同学设计喝水的地方并写出结论．25.如图，点 D ，E 分别是三角形△ABC 边 BC 上的点，若AB=AC ，BE=CD，求证： AD=AE．26.小兵喜爱研究数学识题，他在计算两个两位数相乘的时候发现了一些风趣的数学现象现象 1（十位数同样，个位数和为10） 15×15=225 ，24×26=624 ， 72×78=5616现象 2（十位数和为 10，个位数同样） 15×95=1425，24×84=2016， 36×76=2736 （ 1）请依据以上现象规律直接写出下边两个计算结果48×42=______78 ×38=______（2）若此中一个两位数的十位数为 a，个位数为 b，请选择此中一个现象写出它的一般规律（用含有 a， b 等式表示），并运用整式的乘法证明这个等式．27.如图，在△ABC 中，AB =AC，点 D 为 AB 上一点，连结 CD，（ 1）作图：延伸 CD，在射线 CD 上取点 E 使得 AE=AC ，连结AE ，作∠EAB 的均分线 AF交 CE 于点 F （尺规作图，保存作图印迹，不写作法）；（ 2）在（ 1）条件下，连结 BF，求证：∠BFC =∠BAC．28.线段 AB 和 CD 交于点 E，连结 AD ， BC，知足 AD∥BC，∠A=∠AED ，（ 1）如图 1，若∠D =50°，请直接写出∠B 的度数．（ 2）如图 2，作△ADE 的高 DH ，延伸 DH 交 BC 的延伸线于点F，连结 AF，求证：EF=AF；（ 3）如图 3，在（ 2）的条件下，连结 AC，若 AB =AF ，请找出图中全部与 AC 相等的线段．并证明你的结论．答案和分析1.【答案】 B【分析】解：A 、是轴对称图形，故此选项错误 ；B 、不是轴对称图形，故此选项正确；C 、是轴对称图形，故此选项错误 ；D 、是轴对称图形，故此选项错误 ；应选：B ．依据轴对称图形的观点 进行判断．本题考察的是轴对称图形的观点．掌握轴对称图形的重点是找寻对称轴，图形两部分折叠后可重合是解 题的重点．2.【答案】 A【分析】解：∵分式存心义，∴x-3≠0， 解得：x ≠3．应选：A ．直接利用分式存心 义的条件剖析得出答案．本题主要考察了分式存心 义的条件，正确掌握分式的定义是解题重点．3.【答案】 C【分析】解：A 、原式不可以归并，错误；B 、原式=x 5，错误；C 、原式=x 6，正确；D 、原式=x 6，错误 ．应选：C ．A 、原式不可以归并，错误；B 、原式利用同底数幂的乘法法 则计算获得结果，即可做出判断；C、原式利用幂的乘方运算法则计算获得结果，即可做出判断；D、原式利用同底数幂的除法法则计算获得结果，即可做出判断．本题考察了同底数幂的除法，归并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，娴熟掌握运算法则是解本题的重点．4.【答案】B【分析】解：∵等腰三角形的两边分别是 3 和 6，∴应分为两种状况：① 3 为底，6 为腰，6+6+3=15；② 6 为底，3 为腰，则 3+3=6，则应舍去；∴它的周长是 15．应选：B．本题应分为两种状况：① 3 为底，6为腰，② 6为底，3 为腰．注意还要考虑三角形的三边关系．本题考察了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不可以盲目地将三边长相加起来，而应养成查验三边长可否构成三角形的好习惯，把不切合题意的舍去．5.【答案】C【分析】解：∵∠B=30°，∠C=40°，∴∠BAC=180°-30 °-40 °=110 °，∵DA=DB ，EA=EC ，∴∠B=∠DAB=30°，∠C=∠EAC=40°，∴∠DAE= ∠BAC- ∠BAD- ∠CAE=110°-30 °-40 °=40 °，应选：C．依据∠DAE= ∠BAC- ∠BAD- ∠CAE ，只需求出∠BAC ，∠DAB ，∠CAE即可解决问题．本题考察等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的重点是灵巧运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6.【答案】B【分析】解：∵x+ =3，2∴（x+ ）=9， 2 ∴x ++2=9， 2 ∴x +=7．应选：B ．直接利用完整平方公式睁开求出即可．题 查对应222本 考了 完整平方公式的用，注意：（a+b ）=a +2ab+b ．7.【答案】 C【分析】解：第一个图形的暗影部分的面 积=a 2-b 2；第二个图形是梯形，则面积是（2a+2b ）?（a-b ）=（a+b ）（a-b ）．则 a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）．应选：C ．分别计算这两个图形暗影部分面 积，依据面积相等即可获得．本题考察了平方差公式的几何背景，正确表示出两个 图形中暗影部分的面 积是重点．8.【答案】 D【分析】解：作AC 、BC 两边的垂直均分 线，它们的交点是 P ，由线段的垂直均分 线的性质，PA=PB=PC ，应选：D ．依据线段垂直均分 线的性质判断即可，本题考察了线段的垂直均分 线的性质，娴熟掌握线段垂直均分 线的性质是解题的重点．9.【答案】 B【分析】解：过 D 作 DE ⊥AB 于 E ，∵∠C=90°，∠A=30 °，∴∠CBA=60°， ∵BD 均分 ∠CBA ，∴∠DBA= ∠CBD=30°，∴AD=BD ，CD= BD= AD ，∵AD+CD=AC=12 ， ∴CD=4，∵DE ⊥AB ，∠C=90°，BD 均分 ∠ABC ， ∴DE=CD=4 ，应选：B ．过 D 作 DE ⊥AB 于 E ，依据角均分线性质得出 DE=CD ，求出∠A= ∠DBA= ∠CBD=30°，推出 AD=BD ，CD= BD ，求出 CD 即可．本题考察了含 30°角的直角三角形，角均分 线的性质的应用，注意：角均分线上的点到角两 边的距离相等．10.【答案】 B【分析】解：原式=4a 2-4ab+b 2+8a 2-4ab-12a+32=（2a-b ）+4a （2a-b-3）+3 因为 2a-b=3， ∴原式 =9+0+3 =12，应选：B ．依据完整平方公式即可求出答案．本题考察完整平方公式，解题的重点是娴熟运用分组分解法以及完整平方公式，本题属于基础题型．11.【答案】 1【分析】2解：（x +2）=1．故答案为：1．直接利用零指数 幂的性质得出答案．本题主要考察了零指数 幂的性质，正确掌握定义是解题重点．12.【答案】 2【分析】解：由题意得：a-2=0，且 a+3≠0，解得：a=2，故答案为：2．依据分式值为零的条件可得 a-2=0，且a+3≠0，再解可得答案．本题主要考察了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不可以少．13.【答案】（2，-3）【分析】解：∵点 P（2，3）∴对于 x 轴的对称点的坐标为：（2，-3）．故答案为：（2，-3）．依据对于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点 P（x，y）对于x 轴的对称点 P′的坐标是（x，-y）得出即可．本题主要考察了对于 x 轴、y 轴对称点的性质，正确记忆坐标规律是解题关键．14.【答案】10【分析】解：∵∠1=∠2，∴DB=DC ，∴△ADC 的周长=AD+DC+AC=AD+DB+AC=AB+AC=7+3=10．故答案为 10．证明△ADC 的周长=AB+AC ，即可解决问题．本题考察等腰三角形的性质，三角形的周长等知识，解题的重点是娴熟掌握基本知识，属于中考常考题型．15.【答案】4【分析】解：∵△ABC 为等边三角形，∴AC=AB ，∠BAC=60°，∵DC∥AB ，∴∠ACD= ∠BAC=60°，∵AD ⊥CD，∴∠CAD=90°-60 °=30 °，∴AB=AC=2CD=4故答案为：4．依据等边三角形的性 质求出 AC=AB ，∠BAC=60° ，再依据两直线平行，内错角相等可得 ∠ACD= ∠BAC ，而后依据直角三角形两 锐角互余求出 ∠CAD=30° ，再依据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半可得 AB=2CD ． 本题考察了直角三角形 30°角所 对的直角边等于斜边的一半的性 质，等边三 角形的性 质，熟记各性质是解题的重点．16.【答案】 ±2【分析】解：∵a 2x 2+4x+1 能够写成一个完整平方式，∴a 2=4，解得：a=±2，故答案为：±2利用完整平方公式的 构造特点判断即可求出 a 的值．本题考察了完整平方式，娴熟掌握完整平方公式是解本 题的重点．17.【答案】 =15【分析】解：∵a ★b=ab 2-5ab+4a ，∴3★（x+4 ）=3（x+1）（x-3），2 ∴3（x+4）-5 ×3（x+4）+4×3=3（x+1）（x-3），3（x 2+8x+16）-15x-60=3（x 2-2x-3），3x 2+9x-12=3x 2-6x-9，则 15x=3，解得：x= ．故答案为： ．直接利用已知将原式变形从而得出 x 的值．本题主要考察了实数运算，正确化简原式是解题重点．18.【答案】44°【分析】解：设∠B=x ．∵AB=AC ，∴∠B=∠C=x ，∵DE=DA ，∴∠DAE= ∠DEA=x+ ∠EDC=x+12 °，∵∠B+∠BAC+ ∠C=180 °，∴2x+36 °+x+12 °=180 °，∴x=44 °，故答案为 44°．设∠B=x．利用三角形内角和定理建立方程即可解决问题．本题考察等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的重点是学会利用参数建立方程解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】③①②到线段两点的距离相等的点在线段的垂直均分线上【分析】解：作法以下：先以A 为圈心，AB 为半径画弧，与 BC 交于点 E，再分别以 B，E 为圆心，大于BE 长为半径画弧，两弧交于点 F，而后连结 AF，与BC 交于点 D，因为依据到线段两点的距离相等的点在线段的垂直均分线上，因此线段 AD ⊥BC，即AD 为高．故答案为③①② ；到线段两点的距离相等的点在线段的垂直均分线上．利用基本作图（作已知线段的垂直均分线）可获得正确的作图步骤，而后依据线段垂直均分线的性质定理的逆定理可判断AD ⊥BC．本题考察了作图 -基本作图：娴熟掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直均分线；作已知角的角均分线；过一点作已知直线的垂线）．20.【答案】解：（1）∵x、y为整数，且xy=10∴x=1y=10或x=2y=5或x=5y=2或x=10y=1∴点 P 的坐标为（ 1， 10）或（ 2， 5）或（ 5， 2）或（ 10，1）（ 2） a 3+2a 2b+ab 2=a （ a 2+2 ab+b 2） =a （ a+b ）2=2500∵a 、 b 为整数，且 a+b ＞ c ， c=OA=20 22 ∴（ a+b ） ＞ 400 且，（ a+b ） 为整数2 ∴（ a+b ） =500 或 625 或 1250 或 2500∵a+b 为整数∴（ a+b ） 2=625 或 2500，即 a+b=25 或 502当 a+b=25 即（ a+b ） =625 时， a=4，b=21， a+c ＞ b ，能构成三角形2当 a+b=50 即（ a+b ） =2500 时， a=1， b=49 ， a+c ＜ b ，不可以构成三角形（ 3）过点 P 作 PE ⊥OA 于 E ， PF ⊥AB 于 F ， PG ⊥BC 于 G ， PH ⊥OC 于 H ，设 P （m ， n ），则 PH=m ， PE=n ，PF=20-m ， PG=20-n ，∵S △POA ?S △PBC =S △PAB ?S △POC∴ 12OA?PE?12BC?PG=12AB?PF?12OC?PH∴n （ 20-n ） =m （ 20-m ） 2 2整理得： m -n =20 （ m-n ）（ m+n ）（ m-n ） -20（ m-n ） =0（ m+n-20）（ m-n ） =0∴m+n-20=0 或 m-n=0，且 m 、 n 为整数当 m+n=20 时，知足的值 m=1 至 19，共 19 个当 m-n=0 时，知足的值 m=1 至 19，共 19 个，此中 m=n=10 重复一次，算 18 个∴在正方形内部的快乐数学点的个数为37 个．【分析】（1）把10 进行正整数因数分解， 10=1×10=2×5=5×2=10×1，因此有五个点 P ．2）把a 3 22 进 2（ +2a b+ab =2500 行因式分解，得 a （a+b ）=2500，2 2500=2×2×5×5×5×5，由 a 、b 为正整数且 a+b ＞20，确立（a+b ）=625 或 2500，即 a+b=25或 50，再清除 a+b=50 的状况，因此 a+b=25．（3）设 P 的坐标为（m，n），则四个三角形的面积都能用 m 或 n 表示，计算得n （20-n）=m（20-m），因式分解得（m+n-20）（m-n ）=0，因此m+n-20=0 或 m-n=0，再确立 m、n 在条件限制下能够取的值．本题考察了数的分解和因式分解的应用，解题重点是对式子进行因式分解后联合题意进行数的分解．21.【答案】解：（1）x5÷x3+（x-2）（x+3）2 2=x +x +x-62=2 x +x-6；（2）（ 2x+3 y）2-（ 2x+y）（ 2x-y）222 2=4 x +12xy+9 y -（ 4x -y ）2=12xy+10y ．【分析】（1）直接利用整式的除法运算法则以及多项式乘以多项式运算法则计算得出答案；（2）直接利用完整平方公式以及平方差公式计算得出答案．本题主要考察了整式的混淆运算，正确掌握有关运算法则是解题重点．22.【答案】解：（1）4x2y-9y=y（ 4x2-9）=y（ 2x+3）（ 2x-3）；（2） 3ax2-6axy+3ay22 2=3 a（ x -2xy+y）2=3 a（ x-y）．（1）直接提取公因式 y，从而分解因式即可；（2）直接提取公因式 3a，再利用完整平方公式分解因式即可．本题主要考察了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．223.【答案】解：（x+1）（2-4x）+2（x-2）+42 2=-4 x -2x+2+2 （ x -4x+4） +42=-2 x -10x+14 ，∴原式 =-2 （ x2+5x）+14=-2 ×3+14=8 ．【分析】直接利用多项式乘以多项式以及完整平方公式分别计算得出答案．本题主要考察了整式的混淆运算，正确归并同类项是解题重点．24.【答案】解：如图，作点A对于直线l的对称点C；连结BC，与直线l交于点D，连结AD，则AD =CD， AD +BD 的最小值即为BC 长，故点 D 即为喝水的地方．【分析】作点 A 对于直线 l 的对称点 C；连结 BC，直线 BC 与直线 l 的交点 D 即为喝水的地方．本题考察了轴对称--最短路径问题在生活中的应用，凡是波及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，联合轴对称变换来解决，多半状况要作点对于某直线的对称点．25.【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABE 和△ACD 中，AB=AC∠ B=∠ CBE=CD，∴△ABE≌△ACD（ SAS），∴AD =AE ．【分析】依据等边平等角可得∠B=∠C，而后利用“边角边”证明△ABE 和△ACD 全等，再依据全等三角形对应边相等证明即可．本题考察了全等三角形的判断与性质，利用等边平等角的性质求出∠B=∠C 是解题的重点．26.【答案】20162964【分析】解：（1）48×42=2016，78×38=2964．故答案为：2016；2964；（2）现象 1：规律：（10a+b）（10a+10-b）=100a（a+1）+b（10-b）．证明以下：若此中一个两位数的十位数为a，个位数为b，则另一个两位数的十位数为a，个位数为（10-b），10a+b）（10a+10-b）=100a 22（+100a-10ab+10ab+10b-b=100a（a+1）+b（10-b）．题结果即可；（1）依据意直接写出（2）依据题意表示出相应两个数，依据多项式乘多项式的法例求解即可．此题主要考查运算规律探究与运用，认真观察算式中存在的规结律，并合它们灵巧应用是解题的关键证则是基础．，在明中，整式的运算法27.【答案】解：（1）以下图，AE和AF即为所求．（2）∵AB=AC， AE=AC，∴AE=AB，∵AF 均分∠BAE，∴∠EAF=∠BAF ，在△EAF 和△BAF 中，∵AE=AB∠ EAF=∠BAFAF=AF，∴△EAF ≌△BAF（SAS），∴∠AEF=∠ABF ，∵AE=AC，∴∠AEF=∠ACF ，∴∠ABF=∠ACF ，∵∠BDF =∠CDA ，∴∠BFC=∠BAC ．【分析】（1）依据已知逐渐作图即可得，要求掌握作一线段等于已知线段和角均分线的尺规作图；（2）先证△EAF≌△BAF 得∠AEF=∠ABF ，再由AE=AC 知∠AEF=∠ACF ，据此得∠ABF= ∠ACF ，联合∠BDF= ∠CDA 即可得证．本题主要考察作图-复杂作图，解题的重点是掌握作一线段等于已知线段和角均分线的尺规作图及全等三角形的判断与性质．28.【答案】解：（1）∵∠D =50°，∠A=∠AED，∴∠A=65 °，∵AD ∥BC，∴∠A=∠B=65 °，（2）∵∠A=∠AED ，∴AD =DE ，且 DH ⊥AE∴DH 是 AE 的垂直均分线，∴EF=AF（3） AC=CF =DC ，原因以下：如图，连结 EF ，∵∠DAB=∠B，∠AED =∠BEC，∠DAB =∠DEA∴∠B=∠BEC∴BC=EC ，∵AF=EF， AB=AF∴AB=EF，∵AD =DE ， DH ⊥AE∴∠CDF =∠ADF ，设∠CDF =∠ADF =x°，∠DAB =∠B=y°，∴∠ADC=2x°∵AB=AF，∴∠B=∠AFB=y°，∵AD ∥BF∴∠ADF =∠DFB =∠CDF =x°，∠ADC =∠DCB=2x°∴CF=CD ，∵∠AFD =∠AFB -∠DFB∴∠AFD =（ y-x）°，∵AF=EF， FH ⊥AE∴∠AFE=2∠DFA =2∠DFE =2 （ y-x）°，∴∠EFC=∠AFB -∠AFE=（ 2x-y）°∵∠DCB=∠CEF +∠CFE∴2x°=（ 2x-y）°+∠CEF∴∠CEF=y°∴∠CEF=∠B，且 BC=EC， AB=EF ，∴△ABC≌△FEC（ SAS）∴CF=AC∴AC=CF =DC【分析】（1）依据三角形的内角和定理和平行线的性质可求∠B 的度数；（2）由∠A= ∠AED ，可证 AD=DE ，依据等腰三角形的性质，可得DH 是 AE 的垂直均分线，则 EF=AF；（3）依据等腰三角形的性质三角形外角的性质，可证∠B=∠CEF，即可证△ABC ≌△FEC，可得 CF=AC=CD ．本题是三角形综合题，考察了三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判断和性质，等腰三角形的性质，证△ABC ≌△FEC 是本题的重点．。

人大附中 2019-2020 学年度第一学期初一年级数学期中练习一、选择题（本大题共30分，每小题3分）1.壮丽七十载，奋进新时代. 2019 年10 月1 日上午庆祝中华人民共和国成立70 周年大会在北京天安门广场隆重举行，超20 万军民以盛大的阅兵仪式和群众游行欢庆共和国70 华诞，其中20 万用科学计数法表示为（）A. 20×104B. 2×105C. 2×104D. 0.2×106【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的较大数的表示方法表示即可．【详解】解：20万=200 000=2×105．故选B．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.二次三项式2x2﹣3x﹣1二次项系数，一次项系数，常数项分别是（）A. 2，﹣3，﹣1B. 2，3，1C. 2，3，﹣1D. 2，﹣3，1【答案】A【解析】【分析】根据单项式的系数定义和多项式项的概念得出即可．【详解】二次三项式2x2﹣3x﹣1二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，﹣3，﹣1，故选A．【点睛】本题考查了多项式的有关概念，能熟记多项式的项和单项式的次数和系数定义的内容是解此题的关键．3.下列计算正确的是（）A. 5a－a = 4B. 3a + 2b = 5abC. 3a2b－3ab2= 0D. a－(2－b)= a－2+b 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项运算法则计算，判断即可．【详解】解：A. 5a－a = 4a，故错误；B. 3a + 2b，不能合并，故错误；C. 3a2b－3ab2，不能合并，故错误；D. a－(2－b)= a－2+b，正确.故选D.【点睛】本题考查的是合并同类项，掌握运算法则是解题的关键．4.下表是某地未来四天天气预报表：根据图中的信息可知这四天中温差最大的是A. 星期一B. 星期二C. 星期三D. 星期四【答案】C【解析】【分析】用最高温度减去最低温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【详解】解：A. 星期一：8-0-=8℃；B. 星期二：6-（-1）=7℃；C. 星期三：7-（-2）=9℃；D. 星期四：6-（-2）=8℃.故这四天温差最大的是星期三故选C.【点睛】本题考查了有理数的减法，熟记运算法则是解题的关键．5.若x =－1是关于x 的方程3x + 6 = t 的解，则t 的值为（）A. 3B. －3C. 9D. －9【答案】A【解析】【分析】把x =－1代入3x + 6 = t求出t即可.【详解】解：把x =－1代入3x + 6 = t得t=3故选A.【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．6.实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. a＞－4B. bd＞0C. b + c＞0D. | a |＞|b|【答案】D【解析】【分析】观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．【详解】解：A. 根据数轴可知a＜-4，故错误；B. ∵b＜-1，d=4∴bd<0，故错误；C. ∵-2<b ＜-1，0<c<1∴b + c <0，故错误；D. 54,21a b -<<--<<-Qa b ∴>，故正确.故选D.【点睛】本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 7.历史上，数学家欧拉最先把关于 x 的多项式用记号 f (x )来表示，把 x 等于某数a 时的多项式的值用f (a )来表示，例如 x =－2 时，多项式 f (x )= x 2 +5x －6 的值记为 f (－2)，那么 f (－2)等于（ ）A. 8B. －12C. －20D. 0【答案】B【解析】【分析】把x=-2代入f （x ）计算即可确定出f （-2）的值．【详解】解：根据题意得：f （-2）= x 2 +5x －6=4-10-6=-12．故选B ．【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.初一年级 14 个班举行了篮球联赛，规则如下：（1）每一个班都要和其他 13 个班打一场比赛，且每一场比赛一定分出胜负；（2）胜一场积 2 分，负一场积,1 分；（3）比赛结束后按照班级总积分高低颁发奖项. 若一个班已经完成了所有的比赛，胜m 场，则该班总积分为（ ）A. 2mB. 13－mC. m +13D. m +14 【答案】C【解析】【分析】根据胜一场积2分，负一场积1分，以及胜m 场，进而列出式子求出答案．【详解】解：由题意得：()21313+m m m +-=【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意知道一共参加了13场比赛是解题的关键.9.已知当x =2 时，代数式ax3－bx +3的值为5，则当x =－2 时，ax3－bx +3的值为（）A. 5B. －5C. 1D. －1【答案】C【解析】【分析】把x=2代入代数式，使其值为5确定出8a-2b的值，再将x=-2 代入ax3－bx +3化简得-（8a-2b）+3，再代入计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：8a-2b+3=5，即8a-2b=2，则当x=-2时，原式=-（8a+2b）+3=-2+3=1，故选C.【点睛】本题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10.已知| a| + a = 0，则化简|a－1| +|2a－3| 的结果是（）A. 2B. －2C. 3a－4D. 4－3a【答案】D【解析】【分析】根据| a| + a = 0，可知a≤0，继而判断出a-1，2a-3的符号，后去绝对值求解．【详解】解：∵|a|=-a，∴a≤0．则|a－1| +|2a－3| =-（a-1）-（2a-3）=4－3a．故选D．【点睛】本题考查绝对值的化简：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对二、填空题（本大题共 16 分，每小题 2 分）11.3的相反数是__________．【答案】-3【解析】【分析】此题依据相反数的概念求值．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．【详解】解：相反数只是符号不同，故3的相反数为−3−3.【点睛】错因分析容易题.失分原因是：相反数与绝对值的概念混淆.12.比较大小：12-____13-（用“＞或=或＜”填空）．【答案】＜【解析】【分析】根据绝对值的性质即可求解.【详解】∵11 23＞∴12-＜13-故填：＜.【点睛】此题主要考查有理数的大小比较，解题的关键是熟知绝对值的性质.13.如果|m﹣3|+(n+2)2＝0，那么mn的值是_____．【答案】-6【解析】【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出m，n的值，进而得出答案．【详解】∵|m﹣3|+(n+2)2=0，∴m﹣3=0，n+2=0，解得：m=3，n=﹣2，故mn=﹣6，故答案为﹣6．【点睛】本题考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．14.请写出一个只含字母x 、y ，系数为3，次数为4 的单项式：_______________.【答案】3x3y【解析】【分析】根据单项式系数和次数的定义求解即可.【详解】解：根据单项式系数和次数的定义，一个含有字母x、y且系数为3，次数为4的单项式可以写为：3x3y．故答案为3x3y．【点睛】本题主要考查了单项式，要注意所写的单项式一定要符合单项式系数和次数的定义．15.测得一种树苗的高度与树苗生长的年数有关的数据如下表所示（树高原高100 cm）假设以后每年树苗的高度的变化规律与表中相同，请用含n（n 为正整数）的式子表示生长了n 年的树苗的高度为__________cm.【答案】100+5n【解析】【分析】从上表可以看出，树每年长高5厘米．所以生长了n 年的树苗的高度为100+5n.【详解】解：根据题意有：生长了n 年的树苗的高度为100+5n故答案为100+5n.【点睛】本题的关键是算出树每年长高多少厘米．通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．16.下面的框图表示解方程3x + 20 = 4x－25 的流程：请写出移项的依据：__________.【答案】等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍是等式【解析】【分析】根据等式的性质求解即可．【详解】解：解方程3x+20=4x-25的流程．移项的依据是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍是等式，故答案为等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍是等式【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．17.在数轴上，点O 为原点，点A、B分别表示数a 、2，将点A 向右平移1 个单位长度，得到点C，若CO=2BO，则a 的值为____________.【答案】-5或3【解析】【分析】根据CO=2BO可得点C表示的数为±4，据此即可求出a．【详解】解：∵CO=2BO，OB=2∴点C表示的数为±4，∴a=-4-1=-5或a=4-1=3．故答案为-5或3.【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．18.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量= 累计耗电量累计里程，剩余续航里程=剩余电量平均耗电量，表中数据可得，该车在两次记录时间段内行驶100 公里的耗电量约为__________度（结果精确到个位）【答案】16.6【解析】【分析】根据累计耗电量公式计算．【详解】解：4100×0.126-4000×0.125=516.6-500=16.6．故答案为16.6．【点睛】本题考查了函数模型的应用，属于基础题．三、解答题（本答题共54分，第19题16分，第20-23每题4分，第24-25题每题5分，第26-27题每题 6分）19.计算题：（1） (－8)－(－15)+(－9)－(－12)（2）－2.5×316(1)()53-÷-（3）－14 ÷[ (－4)2 ×311+3()22÷- （4）(3a －2b )+(4a －9b )【答案】（1）10；（2）3-4；（3）116；（4）711a b - 【解析】【分析】（1）减法转化为加法，再根据加减运算法则计算可得；（2）把小数化为分数然后除法转化为乘法然后去括号计算即可；（3）化除为乘然后先计算乘方与乘法，再根据加减法运算法则计算即可；（4）去括号然后合并同类项即可.【详解】解：（1）原式= =-8+15-9+12=-17+27=10； （2）原式=583---=2516⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3-4； （3）原式=()1-116-38=-1-16=2⎛⎫÷⨯⨯÷ ⎪⎝⎭116； （4）原式=3249=a b a b +－－711a b -故答案为（1）10；（2）3-4；（3）116；（4）711a b -. 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算与整式的加减运算，关键在于通过正确的去括号和合并同类项对整式进行化简，并熟练掌握有理数的混合运算顺序与运算法则．20.解方程： 3x +3 = 8－12x 【答案】x=13【解析】 【分析】原式移项，然后合并同类项再系数化为1即可. 【详解】解：3x +12x =8-3 解得：x=13 故答案x=13. 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键. 21.先化简，再求值： 5x 2 + 2x －(4x 2－1)+ 2(x －3)，其中 x =－12【答案】2+45x x -，11-4【解析】 【分析】先去括号再合并同类项，最后代入求出即可．【详解】解：原式=225 24+16 2=x x x x ++－－2+45x x -把x =－12代入原式得：原式=21+415=22⎛⎫ ⎪⎝⨯-⎭11-4 故答案为2+45x x -，11-4. 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力． 22.已知3x －y －2 = 0 ，求代数式5(3x －y )2－9x +3 y －13的值. 【答案】1【解析】【分析】根据3x－y－2 = 0得3x－y = 2，把3x－y = 2代入5(3x－y)2－9x +3 y－13化简求解即可. 【详解】解：Q3x－y－2 = 0∴3x－y = 2Q5(3x－y)2－9x +3 y－13=5(3x－y)2－3（3x-y）－135(3x－y)2－3（3x-y）－13=5×22-3×2-13=1故答案为1.【点睛】本题考查代数式化简求值计算，关键是根据已知式子进行解答．23.已知关于x 的方程(| k |－3)x2－(k－3)x + 2m+1= 0 是一元一次方程.（1）求k 的值；（2）若已知方程与方程3x = 4－5x 的解相同，求m 的值.【答案】（1）k=-3；（2）m=-2【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义进行解答；（2）先解方程3x=4-5x，再把方程的解代入原方程可得m的值．【详解】解：（1）由题意得|k|-3=0，k-3≠0，∴k=-3；（2）3x=4-5x，3x+5x=4，x=1 2原方程：6x+2m+1=0，把x=12代入：3+2m+1=0，m=-2．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式和解一元一次方程，明确一元一次方程只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．24.在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A 地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天航行路程记录如下：（单位：千米）14，－9，18，－7，3，－6，10，－5，－13（1）通过计算说明B 地在A 地的何位置；（2）已知冲锋舟每千米耗油0.5 升，油箱容量为50 升，若冲锋舟在救援前将油箱加满，请问该冲锋舟在救援过程中是否还需要补充油？【答案】（1）B地在A地东5千米；（2）不需要【解析】【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得答案；（2）根据行车的总路程以及每千米耗油，可得耗油量．【详解】解：（1）14-9+18-7+3-6+10-5-13=5，答：B地在A地东5千米；（2）不需要，（14+|-9|+18+|-7|+3+|-6|+10+|-5|+|-13|）×0.5=85×0.5=42.5（升），50-42.5=7.5（升），故途中不需要补充油．故答案为（1）B地在A地东5千米；（2）不需要.【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键．25.定义：任意两个数a 、b ，按规则c = a +b－ab 扩充得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”.（1）若a =2，b =－3，直接写出a 、b 的“如意数” c ；（2）若a =2，b = x2 +1，求a 、b 的“如意数” c ，并比较b 与c 的大小；（3）已知a=x2-1，且a 、b 的“如意数” c = x3 +3x2－1，则b = （用含x 的式子表示）【答案】（1）5；（2）b>c ；（3）x+2 【解析】 【分析】（1）根据“如意数”的定义即可判断； （2）根据“如意数”的定义即可判断；（3）根据“如意数”的定义，构建方程求出b 即可； 【详解】解：（1）根据题意有c=()2-3-2-3⨯=5； （2）根据题意有c=2+ x 2 +1-2×（x 2 +1）=- x 2 +1Q b = x 2 +1， x 2 ≥0∴b>c（3）由题意得x 3+3x 2-1=（x 2-1）b+（x 2-1）+b ， ∴x 2b=x 3+2x 2， ∵x ≠0， ∴b=x+2．故答案为（1）5；（2）b>c ；（3）x+2．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26.小明学习了《有理数》后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“△”规则如下：对于两个有理数m ， n ， m △ n =||2m n m n-++.（1）计算:1△（－2）= ；（2）判断这种新运算是否具有交换律，并说明理由；（3）若a 1 =| x －1| ， a 2 =| x －2|，求a 1△ a 2（用含 x 的式子表示）【答案】（1）1；（2）满足；（3）当x≥1.5时，a 1△ a 2= x-1；当x<1.5时，a 1△ a 2= 2-x. 【解析】【分析】（1）利用规定的运算方法代入求得数值即可；（2）把（1）中的数字位置调换，计算后进一步比较得出结论即可；（3）分情况讨论求出a1△a2即可.【详解】解：（1）1△（－2）=()()|1-2|1-22-++=1；（2）具有交换律，理由如下：把（1）中的数字位置调换有（－2）△1=()()|-2-1|-212++=1=1△（－2）∴满足交换律；（3）Q a1=| x－1| ，a2=| x－2|∴a1△ a2=|1-2|122x x x x--+-+-当x≥2时，a1△ a2=|1-2|122x x x x--+-+-=()|1-2|122x x x x--+-+-=x-1；当1≤x<2时，a1△a2=|1-2|122x x x x--+-+-=()|1-2|122x x x x--+-+-=|23|12-+x当1≤x<1.5时，a1△a2=|23|1321=222-+-+=-x xx当1.5≤x<2时，a1△a2=|23|1231=1 22-+-+=-x xx当x<1时，a1△a2=|1-2|122x x x x--+-+-=()|1-2|122x x x x--+-+-=2-x故答案为（1）1；（2）满足；（3）当x≥1.5时，a1△a2=x-1；当x<1.5时，a1△a2= 2-x.【点睛】本题考查了有理数的混合运算．定义新运算的题目要严格按照题中给出的计算法则计算．27.如图，设A 是由n×n 个有理数组成的n 行n 列的数表，其中a ij（i，j =1，2，3，，n ）表示位于第i 行第j 列的数，且a ij取值为1 或－1.a11a12a1na21a22a2na1na2n a nn对于数表A 给出如下定义：记x i 为数表A 的第i 行各数之积，y j为数表A 的第j 列各数之积.令S = (x1+x2++ xn )+(y1+ y2+ yn)，将S 称为数表A 的“积和”.（1）当n = 4 时，对如下数表A，求该数表的“积和” S 的值；11－1－1 1－111 1－1－11－1－111（2）是否存在一个3×3 的数表A，使得该数表的“积和” S =0 ？并说明理由；（3）当n =10 时，直接写出数表A 的“积和” S 的所有可能的取值.【答案】（1）0；（2）不存在；（3）16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20【解析】【分析】（1）根据已知条件直接求解即可；（2）不存A∈S（3，3），使得S =0．可用反证法证明假设存在，得出矛盾，从而证明结论；（3）根据已知条件求出l（A）关于A∈S（n，n），（k=0，1，2，…，n）的关系式然后代入求值即可.【详解】解：由题意得：（1）S4= (x1+ x2+x3+ x4)+(y1+ y2+y3+ y4)=（1-1+1+1）+（-1-1+1-1）=0（2）不存在A∈S（3，3），使得S=0．证明如下：假设存在A∈S（3，3），使得S=0．因为x i（A）∈{1，-1}，y j（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3），所以x1（A），…，x3（A）；y1（A），…，y3（A），这9个数中有3个1，3个-1．令M=x1（A）•…x3（A）y1（A）…y3（A）．一方面，由于这9个数中有3个1，3个-1，从而M=-1．①另一方面，x1（A）•…x3（A）表示数表中所有元素之积（记这9个实数之积为m）；y1（A）•…y9（A）也表示m，从而M=m2=1．②①、②相矛盾，从而不存在A∈S（3，3），使得S=l（A）=0．(3)（i）对数表A0：a ij（i，j=1，2，3，…，n），显然l（A0）=2n．将数表A0中的a11由1变为-1，得到数表A1，显然l（A1）=2n-4．将数表A1中的a22由1变为-1，得到数表A2，显然l（A2）=2n-8．依此类推，将数表A i-1中的a kk由1变为-1，得到数表A k．即数表A k满足：a11=a22=…=a kk=-1（1≤k≤n），其余a ij=1．∴r1（A）=r2（A）=…=r k（A）=-1，C1（A）=C2（A）=…=C k（A）=-1．∴l（A k）=2[（-1）×k+（n-k）]=2n-4k，其中k=1，2，…，n．当n =10 时，数表A 的“积和” S 的所有可能的取值为：16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20.故答案为（1）0；（2）不存在；（3）16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20.【点睛】本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，考查反证法的运用，难度较大．。

北京人大附中初二上期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．分式21a +有意义，则a 的取值范围是（ ）． A ．0a = B ．1a = C ．1a ≠- D ．0a ≠3．下列运算正确的是（ ）．A ．22a a a ⋅=B ．()326a a =C ．()33ab ab =D ．1025a a a ÷=4．点()2,1M -关于x 轴的对称点N 的坐标是（ ）． A ．(2,1)B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(2,1)-5．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）． A ．a b a ba b a b +-=-+ B ．11x x x y x y+--=-- C ．0.220.22a b a ba b a b++=++D ．122122x yx y x y x y --=++6．如图，在ABC △中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，点E 、F 、M 、N 是AD 上的四点，若ABC △的面积是16，则图中阴影部分的总面积是（ ）．A ．6B ．8C ．4D ．127．如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB =，CD AB ⊥与点D ，则BD =（ ）．A ．5B ．4C ．3D ．2DAN MFE DCBA8．如图，在ABC △中，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ∥交AC 于点E ，若7DE =，5CE =，则AC =（ ）．A ．11B ．12C ．13D ．149．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后再最后折叠的纸片沿虚线剪去右上方的小三角形，将纸片展开，得到的图形是（ ）．A． B．C． D．10．计算()()23ax b x +-的结果是323927x x x +--，则222a ab b ++的值是（ ）． A ．9 B ．16C ．25D ．36二、填空题（每空2分，共20分）11．若分式2x x-的值为零，那么x 的值为__________．12．比较大小：332__________223．13．已知5a b +=，2215a b -=，则a b -的值是__________．14．如图，从边长为1a +的正方形纸片中剪去一个边长为1a -的正方形()1a >，剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是__________．EDCBA15．现规定一种运算：2a b a ab*=-，则()1x x*+所表示的代数式是__________．16．计算()()232x k x-+的结果中不含x项，则k的值是__________．17．如图，已知三角形纸片ABC，AB AC=，50A∠=︒，将其折叠，使点A与点B重合，折痕为ED，点E、D分别在AB、AC上，则DBC∠的度数是__________．(A)EDCBACBA18．如图，在ABC△中，AB AC<，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，8AC=，ABE△的周长为14，则AB的长是__________．ED CBA19．如图，直角三角形纸片ABC中，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点1P；设1P D的中点为1D，第2次将纸片折叠，使点A与点1D重合，折痕与AD交于2P；设21P D的中点为2D，第3次将纸片折叠，使点A与点2D重合，折痕与AD交于点3P；…；设12n nP D--的中点为1nD-，第n次将纸片折叠，使点A与点1nD-重合，折痕与AD交于()2nP n>，若5AD=，则2AP的长为__________，nAP的长为__________．第3次折叠第2次折叠第1次折叠P1P3D2D1DCBAP2D1DCBADCBA三、解答题：（每小题4分，共28分）20．计算：（1）()()22x y x y xy x+-+÷；（2）()()233x y y x y-+-．21．分解因式：（1）39a b ab -；（2）221632x y xy y -+．22．画出ABC △关于直线MN 的对称的图形．M N CBA23．（1）已知2a b -=，求()24a b b -+的值；（2）先化简，再求值：()()()212111x x x --+++，其中234x x -=．四、解答题（每小题4分，共12分）24．如图，AB AC =，ABD ACE ∠=∠，BD 与CE 交于点O ． 求证：OB OC =．OEDCBA25．列方程解应用题：一个长方形鱼池的长比宽多2米，如果鱼池的长和宽分别增加3米，那么这个鱼池的面积将增加39平方米，问这个鱼池原来的宽是多少米？26．如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥与点D ，2ACD B ∠=∠，若8CD =，26AB =，求AC 的长．DCBA五、解答题：（每小题5分，共10分）27．阅读理解应用：选取二次三项式2x bx c ++中的二次项2x 和一次项bx ，再配上一个常数24b ，可以把2x bxc ++变形为2224b b x c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，这种变形的过程叫配方法．例如：()()()2222281812441415x x x x x x x -+=-+=-⋅⋅++=--；根据上述材料，解决下面问题：（1）若代数式2610xx ++可化为()2x a b++，则a b +的值是__________．（2）设()()22M x x =-+，()()211N x x =++，比较M 与N 的 ；（3）若236292m m -+是完全平方数，求正整数m 的值． 28．已知：在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=，点D 是线段AB 的垂直平分线上一点，连接AD 、BD 、CD ．（1）当60α=︒且D 在线段AB 上时，ACD ∠的大小为__________（直接写出结论）； （2）如图，当100α=︒，20ABD ∠=︒时，求ACD ∠的大小；（3）若点D 在ABC △内部，当ABD ∠的度数是__________时，ACD ∠的大小与（2）中的结果相同，请直接写出结论．DCBA北京人大附中初二上期中数学试卷答案一．选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AC B CD B C B A B二．填空题1112 13 14 15 16 17 18 192<3 4ax -4315︒ 6158；121532n n --⨯三．解答题20．（1）()()22x y x y xy x +-+÷2222x y y =-+ 22x y =+．（2）()()233x y y x y -+- 222963x y xy xy y =+-+- 293x xy =-．21．（1）39a b ab - 2(9)ab a =-(3)(3)ab a a =-+．（2）221632x y xy y -+ 22(816)y x x =-+22(4)y x =-．22．作图如下：23．（1）()24a b b -+224a b b =--()()4a b a b b =-+-∵2a b -=，∴原式2()4224a b b a b =+-=-=． （2）()()()212111x x x --+++ 22231121x x x x =-+++++33x x =-+．∵234x x -=， ∴原式437=+=．24．证明：连结BC ， ∵AB AC =， ∴ABC ACB ∠=∠． 又∵ABD ACE ∠=∠，1ABC ABD ∠=∠-∠， 2ACB ADE ∠=∠-∠，∴12∠=∠．∴OB OC =．25．解：设鱼池原来的宽为x 米，则原长为2x +米．由题意得， (3)(5)(2)39x x x x ++-+=，解方程得4x =．答：鱼池原来的宽为4米．26．解：如图，延长CD 交AB 于点E ． ∵AD 平分BAC ∠, ∴12∠=∠． ∵CD AD ⊥，∴90ADE ADC ∠=∠=︒． ∵在ADE △和ADC △中， 12AD ADADE ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ADE △≌ADC △（ASA ）． ∴8DE CD ==．AEC ACD ∠=∠．又∵2ACD B ∠=∠,AED B ECB ∠=∠+∠．∴B ECB ∠=∠． ∴16BE CE ==，∴10AC AE AB BE ==-=．27．解：（1）4 （2）N M >． N M -(21)(1)(2)(2)x x x x =++--+ 222314x x x =++-+ 235x x =++21O EDCB A21EDCBA2311()24x =++∵23()02x +≥，∴0N M ->． 故N M >．（3）236292m m -+ 2(18)32m =--．∵若236292m m -+是完全平方数， ∴2236292m m n -+=（n 为正整数）． ∴22(18)32m n --=． ∴(18)(18)32m n m n ---+=．由题意得1818m n p m n q --=⎧⎨-+=⎩，其中p ，q 奇偶性相同，且32p q ⋅=．∴182p qm +=+． 解得27m =，24，12，9． 28．（1）30︒． （2）30ACD ∠=︒．如图，作20EAD ∠=︒，并截取AE AB =． 在BAD △和EAD △中， AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BAD △≌EAD △． ∴ED BD =．∵D 在线段AB 的垂直平分线上， ∴AD BD =． ∴ED AD =．∵100BAC ∠=︒，∴100202060EAC ∠=︒-︒-︒=︒． 又AE AB AC ==， ∴EAC △是等边三角形． ∴EA EC =．在DAC △和DEC △中， AC EC AD ED CD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴DAC △≌DEC △． 故1302ACD ECD ACE ∠=∠==︒． （3）602α-︒．EDCBADA作DAE BAD ∠=∠，并截取AE AB =．同（2）证明，可得AE AB AC ==，DAC △≌DEC △． 假设30DAC ∠=︒，则260ACE DCA ∠=∠=︒． 可得EAC △为等边三角形． ∴60EAC ∠=︒． ∴602BAD DAE α-︒∠=∠=．北京人大附中初二上期中数学试卷部分解析一．选择题1．【答案】A【解析】由轴对称图形的定义知A 不是轴对称图形．故选A ．2．【答案】C【解析】1a ≠-时分式21a +有意义．故选C ．3．【答案】B【解析】()326a a =．故选B ．4．【答案】C【解析】点()2,1M -关于x 轴的对称点N 的坐标(2,1)--．故选C ．5．【答案】D 【解析】122122x yx yx y x y--=++正确．故选D ．6．【答案】B【解析】阴影部分的总面积是三角形面积的一半，故阴影部分的总面积是8．故选B ．7．【答案】C【解析】Rt ABC △中90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB =， ∴162BC AB ==．在Rt BDC △中，60B ∠=︒， ∴132BD BC ==． 故选C ．8．【答案】B【解析】AD 是BAC ∠的平分线，∴BAD CAD ∠=∠．∵DE AB ∥，∴BAD ADE ∠=∠．∴CAD ADE ∠=∠，∴7AE DE ==．∴12AC AE CE =+=．故选B ．9．【答案】A【解析】将图形展开后为A 图．故选A ．10．【答案】B【解析】另1x =，则原式2()(2)1392732a b =+⨯-=+--=-， ∴2()16a b +=．故选B ．二、填空题11．【答案】2【解析】x 的值为2时，分式2x x -的值为零．故答案为2．12．【答案】<【解析】333112(2)=，222113(3)=，∵3223<，∴332223<．故答案为<．13．【答案】3【解析】22()()5()15a b a b a b a b -=-+=-=，故3a b -=．故答案为3．14．【答案】4a【解析】矩形面积为22(1)(1)4a a a +--=．故答案为4a ．15．【答案】x -【解析】由题知()21(1)x x x x x x *+=-+=-．故答案为x -．16．【答案】43【解析】()()2223264326(43)2x k x x x kx k x k x k -+=+--=+--． ∵不含x 项，∴430k -=，解得43k =． 故答案为43．17．【答案】15︒【解析】AB AC =，50A ∠=︒，则18050652ABC ︒-︒∠==︒．由折叠的性质知50ABD A ∠=∠=︒，∴15DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒．故答案为15︒．18．【答案】6【解析】由垂直平分线的性质知BE CE =，∴8AE BE AE EC +=+=，∴1486AB =-=．故答案为6．19．【答案】158；534nn ⨯ 【解析】134AD AD =，2134AD AD =，……，134n n AD AD -=， ∴534nn n AD ⨯=． 又12125332n n n n AP AD --⨯==． ∴2158AP =,121532n n n AP --⨯=． 故答案为158，121532n n --⨯。

2019-2020学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图案属于轴对称图案的是()A. B. C. D.2.若分式1有意义，则a的取值范围是()a−1A. a≠1B. a≠0C. a≠1且a≠0D. 一切实数3.下列运算中正确的是()A. x2÷x8=x−6B. a⋅a2=a2C. (a2)3=a5D. (3a)3=9a34.如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD=2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为()A. 12B. 1C. √2D. 25.如图，AB=AC，BD=CD.若∠B=70°，则∠BAC=()A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°6.如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的对称点是G，点P关于ON的对称点是H，GH分别交OM，ON于点A，B.若∠MON=35°，则∠GOH的度数为()A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°7.如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是()A. a2+b2=(a+b)(a−b)B. a2−b2=(a+b)(a−b)C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. (a−b)2=a2−2ab+b28.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为O，CE交AB于E，则下列命题：①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO，④∠B=∠ECB.其中正确的是()A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④9.已知△ABC的三边长a、b、c满足等式a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，那么△ABC是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形10.点A(−2,1)关于x轴的对称点Aˈ的坐标是()A. (−2,−1)B. (2,1)C. (−2,1)D. (2,−1)二、填空题（本大题共9小题，共18.0分）11.当x=_________时，分式2x−3的值为0．2x+312.计算：3−2−(−3)0=______ ．13.计算0.25100×4100=______ ．14.若(x−a)(x−5)的展开式中不含有x的一次项，则a=______．15.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB=3，BC=5，则△ABD的周长是______．16.若m+n=6，mn=4，则m3n+2m2n2+mn3=__________．17.在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABD交AC于E，sinA=3，5BC=2√10.则AE=______．18.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=√3，则BC的长是______．19.如图，点D为等腰直角△ABC内一点，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上一点，且CE=CA，给出以下结论：①DE平分∠BDC；②△BCE是等边三角形；③∠AEB=45°；④DE=AD+CD；正确的结论有______.(请填序号)三、解答题（本大题共9小题，共52.0分）20.(1)分解因式：−4x2+24xy−36y2；(2)分解因式：(2x+y)2−(x+2y)2．(3)分解因式：(p−4)(p+1)+621.计算：(x+1)2+x(x−2)−(x+1)(x−1)．22.计算：(1)(−3a)2⋅(a2)3÷a3(2)(x−3)(x+2)−(x−2)2(3)先化简，再求值：(a+b)(a−b)−(4a3b−8a2b2)÷4ab其中a=−2，b=−1．23.如图，∠AOB=60°，点P为射线OA上的一动点．过点P作PC⊥OB于点C.点D在∠AOB内，且满足∠APD=∠OPC，DP+PC=10．(1)当PC=6时，求点D到OB的距离；(2)在射线OA上是否存在一定点M，使得MD=MC？若存在，请用直尺(不带刻度)和圆规作出点M(不必写作法，但要保留作图痕迹)，并求OM的长；若不存在，说明理由．24.已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB//CD．求证：AB=CD．25.你能求出(x−1)(x99+x98+x97+⋯+x+1)的值吗⋅遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手.先计算下列各式的值： ①(x−1)(x+1)=; ②(x−1)(x2+x+1)=; ③(x−1)(x3+x2+x+1)=;由此我们可以得到(x−1)(x99+x98+⋯+x+1)=;请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：(1)299+298+⋯+2+1;(2)(−3)50+(−3)49+⋯+(−3)+1．26.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC=2∠C.求证：AB+BD=AC．27.已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点(不与点C，点D重合)，连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．(1)如图1，若点M在线段BD上．①依据题意补全图1；②求∠MCE的度数．(2)如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关系．28.已知：在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为(3,0)，(0,4)，点C(t,0)是x轴上一动点，点M是BC的中点．(1)当点C和点A重合时，求OM的长；(2)若S△ACB=10，则t的值为______；(3)在(2)的条件下，直线AM交y轴于点N，求△ABN的面积．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：A．根据轴对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．2.答案：A解析：解：若分式1有意义，则a−1≠0，即a≠1，a−1故选：A．分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．3.答案：A解析：解：A、x2÷x8=x−6，故原题计算正确；B、a⋅a2=a3，故原题计算错误；C、(a2)3=a6，故原题计算错误；D、(3a)3=27a3，故原题计算错误；故选：A．根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．此题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方，关键是掌握各运算法则．4.答案：B解析：解：作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD=2，∵PE⊥OB，MN⊥OB，∴PE//MN，又M为OP的中点，PE=1，即点M到射线OB的距离为1，∴MN=12故选：B．作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，根据角平分线的性质求出PE，根据三角形中位线定理计算即可．本题考查的是角平分线的性质、三角形中位线定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．解析：解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=70°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=40°，故选C．根据等腰三角形的性质即可得到结论本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6.答案：B解析：【分析】本题考查了轴对称的性质，熟记性质并确定出相等的角是解题的关键．连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，然后求出∠GOH=2∠MON，代入数据计算即可得解．【解答】解：如图，连接OP，∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，∴∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，∴∠GOH=∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH=2∠MON，∵∠MON=35°，∴∠GOH=2×35°=70°．故选B．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．第一个图中的面积=a2−b2，第二个图中梯形的面积=(2a+2b)(a−b)÷2=(a+b)(a−b)，两图形阴影面积相等，据此即可解答．【解答】解：由题可得：第一个图中的面积=a2−b2，第二个图中梯形的面积=(2a+2b)(a−b)÷2=(a+b)(a−b)，∵两图形阴影面积相等，∴a2−b2=(a+b)(a−b)．故选B．8.答案：A解析：【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的根据角平分线的性质及CE⊥AD判断出△AEO≌△ACO即可解答．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠AOE=∠AOC，∵AO=AO，∴△AEO≌△ACO．∴①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO均正确，④无法判断．故选：A．9.答案：B解析：【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，是基础知识，较简单．a2+b2+c2+50=6a+8b+10c可变为(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，可知道a、b、c分别为3，4，5满足勾股定理，即可判断出三角形的形状．【解答】解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c变形为(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，解之得：a=3，b=4，c=5，符合勾股定理的逆定理，故选B．10.答案：A解析：【分析】本题考查了如下内容：关于x轴对称的两个点之间的坐标关系；关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．本题比较容易，可直接利用平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点求得答案．【解答】解：两点若关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数．点A(−2,1)关于x轴的对称点A′的坐标是(−2,−1)．故选A．11.答案：32解析：【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键.分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】的值为0，解：∵分式2x−32x+3∴2x−3=0且2x+3≠0，．解得：x=32故答案为32．12.答案：−89解析：解：原式=19−1=−89幂的负整数指数幂的运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算，任何非0数的0次幂等于1．本题是考查含有零指数幂和负整数指数幂的运算，属较简单题目．13.答案：1解析：解：原式=(0.25×4)100=1．故答案为：1．直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案．此题主要考查了积的乘方运算法则，正确将原式变形是解题关键．14.答案：−5解析：解：(x−a)(x−5)=x2−5x−ax+5a=x2+(−5−a)x+5a，∵(x−a)(x−5)的展开式中不含有x的一次项，∴−5−a=0，a=−5．故答案为：−5．根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，根据已知得出−5−a=0，求出即可．本题考查了多项式乘以多项式法则，解一元一次方程等知识点的应用．15.答案：8解析：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=8，故答案为：8．根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16.答案：144解析：【分析】本题考查知识点是因式分解，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用因式分解中的提取公因式法与公式法，掌握整体带入法，方可得出答案．题中m3n+2m2n2+mn3=mn(m2+2mn+n2)=mn(m+n)2，整体带入：mn、(m+n)的值即可得出答案．【解答】解：因为m3n+2m2n2+mn3=mn(m2+2mn+n2)=mn(m+n)2=4×62=144，所以答案为144．17.答案：5解析：【分析】根据已知条件设BD=3x，AB=5x，根据勾股定理得到AD=√AB2−BD2=4x，根据等腰三角形的性质得到AC=5x，求得CD=x，根据勾股定理列方程得到AD=8，设AE=m，则DE=8−m，过E作EF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到EF=DE=8−m，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【解答】解：∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=∠CDB=90°，∵sinA=35，∴设BD=3x，AB=5x，∴AD=√AB2−BD2=4x，∵AB=AC，∴AC=5x，∴CD=x，∵BD2+CD2=BC2，∴(3x)2+x2=(2√10)2，∴x=2，(负值舍去)，∴AD=8，设AE=m，则DE=8−m，过E作EF⊥AB于F，则∠AFE=90°，∵BE平分∠ABD，∴EF=DE=8−m，∵sinA=EFAE =35，∴8−mm =35，∴m=5，∴AE=5．故答案为：5．18.答案：√3解析：【分析】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明△BCE是等腰三角形是解题的关键．由折叠的性质可知AE=CE，再证明△BCE是等腰三角形即可得到BC=CE，问题得解．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，=72°，∴∠B=∠ACB=180°−36°2∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°，∴∠CEB=72°，∴BC=CE=AE=√3，故答案为√3．19.答案：①②③④解析：解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°−15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，∵∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC；所以①正确；②∵CA=CB，CA=CE，∴CB=CE，∵∠CAD=∠AEC=15°，∴∠ACE=180°−15°−15°=150°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=150°−90°=60°，∴△BCE是等边三角形；所以②正确；③∵△BCE是等边三角形，∴∠BEC=60°，∵∠AEC=15°，∴∠AEB=60°−15°=45°，所以③正确；④在DE上取一点G，使DC=DG，连接CG，∵∠EDC=60°，∴△DCG是等边三角形，∴DC=DG=CG，∠DCG=60°，∴∠GCE=150°−60°−45°=45°，∴∠ACD=∠GCE=45°，∵AC=CE，∴△ACD≌△ECG，∴EG=AD，∴DE=EG+DG=AD+DC，所以④正确；正确的结论有：①②③④；故答案为：：①②③④．①先根据等腰直角三角形的性质及已知条件得出∠DAB=∠DBA=30°，则AD=BD，再证明CD是边AB的垂直平分线，得出∠ACD=∠BCD=45°，然后根据三角形外角的性质求出∠CDE=∠BDE= 60°即可；②先利用等角对等边证BC=CE，再推得∠BCE=60°可得结论；③利用差可求得结论：∠AEB=∠BEC−∠AEC；④截取DG=DC，证明△DCG是等边三角形，再证明△ACD≌△ECG，利用线段的和与等量代换可得结论．本题考查了等腰三角形、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形、等边三角形等特殊三角形的性质和判定，熟练掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这一判定等边三角形的方法，在几何证明中经常运用，要熟练掌握．20.答案：解：(1)原式=−4(x2−6xy+9y2)=−4(x−3y)2；(2)原式=(2x+y+x+2y)(2x+y−x−2y)=3(x+y)(x−y)；(3)原式=p2−3p+2=(p−1)(p−2)．解析：(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；(2)原式利用平方差公式分解即可；(3)原式整理后，利用十字相乘法分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21.答案：解：(x+1)2+x(x−2)−(x+1)(x−1)=(x2+2x+1)+(x2−2x)−(x2−1)=x2+2x+1+x2−2x−x2+1=x2+2．解析：本题主要考查整式的混合运算.利用完全平方公式、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式的运算法则进行运算，再合并同类项即可．22.答案：解：(1)(−3a)2⋅(a2)3÷a3=9a2⋅a6÷a3=9a5；(2)(x−3)(x+2)−(x−2)2=x2−x−6−(x2−4x+4)=3x−10；(3)(a+b)(a−b)−(4a3b−8a2b2)÷4ab=a2−b2−(a2−2ab)=2ab−b2，把a=−2，b=−1代入上式可得：原式=2×(−2)(−1)−(−1)2=3．解析：(1)直接利用积的乘方运算以及结合同底数幂的乘除运算法则化简求出答案；(2)直接利用多项式乘以多项式运算法则求出答案；(3)直接利用多项式乘以多项式运算法则以及多项式除以单项式运算法则化简，进而代入已知数据求出答案．此题主要考查了整式的混合运算−化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．23.答案：解：(1)作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，∵DP+PC=10，PC=6，∴PD=4，∵∠AOB=60°，∴∠OPC=∠APD=30°，∴∠DPE=30°，PD=2，∴DE=12易得四边形PCHE为矩形，∴EH=PC=6，∴DH=DE+EH=2+6=8，即点D到OB的距离为8；(2)存在．如图2，延长CP到D′，使PD′=PD，则CD′=PC+PD=10，作CD′的垂直平分线交OA于M，则点M为所作；作MN⊥OB于N，如图2，则MN=12×10=5，在Rt△OMN中，ON=√33MN=5√33，∴OM=2ON=10√33．解析：本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点到直线的距离和含30度的直角三角形三边的关系．(1)作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，先计算出PD=4，利用含30度的直角三角形三边的关系得到DE=12PD=2，易得四边形PCHE为矩形，然后计算DH即可；(2)如图2，延长CP到D′，使PD′=PD，则CD′=PC+PD=10，作CD′的垂直平分线交OA于M，利用∠D′PA=∠DPA=30°可判断点D、D′关于OA对称，所以MD′=MD，而MD′=MC，所以点M 满足MD=MC，作MN⊥OB于N，如图2，易得MN=5，根据含30度的直角三角形三边的关系求出ON、OM即可．24.答案：证明：∵AB//CD，∴∠B=∠C，∠A=∠D，∵在△AOB和△DOC中，{∠B=∠C ∠A=∠DOA=OD,∴△AOB≌△DOC(AAS)，∴AB=CD．解析：此题主要考查了全等三角形的判定与性质的知识，解答本题的关键是熟练掌握判定定理以及平行线的性质，此题基础题，比较简单．首先根据AB//CD，可得∠B=∠C，∠A=∠D，结合OA=OD，可知证明出△AOB≌△DOC，即可得到AB=CD．25.答案：解： ①x2−1; ②x3−1; ③x4−1;x100−1．(1)299+298+⋯+2+1=(2−1)×(299+298+⋯+2+1)=2100−1．(2)(−3)50+(−3)49+⋯+(−3)+1=−14×(−3−1)×[(−3)50+(−3)49+⋯+(−3)+1] =−14×[(−3)51−1]=351+1．4解析：【分析】此题考查了多项式乘多项式，弄清题中的规律是解本题的关键.直接利用规律填空．(1)将式子乘以(2−1)，利用题中的规律计算即可得到结果；×(−3−1)，利用(1)的结论即可得到所求式子的值．(2)将所求式子乘以−1426.答案：证明：在边AC上截取AP=AB，连接PD．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠PAD．在△ABD和△APD中，∴△ABD≌△APD(SAS)．∴∠APD=∠B，PD=BD．∵∠B=2∠C，∴∠PDC=∠C．∴PD=PC．∴AB+BD=AP+PC=AC．解析：本题考查全等三角形的判定和性质，先在在边AC上截取AP=AB，连接PD.因为AD平分∠BAC 交BC于点D，利用角平分线的定义可知∠BAD=∠PAD，根据全等三角形的判定可知△ABD≌△APD，再根据全等三角形的性质得出对应角和对应边的相等关系，结合∠ABC=2∠C进一步可求证结果。

2019-2020学年北京⼈⼤附中⼋年级（上）期中数学试卷-（含答案解析）2019-2020学年北京⼈⼤附中⼋年级（上）期中数学试卷⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，共30.0分）1.下列图案属于轴对称图案的是()A. B. C. D.2.若分式1有意义，则a的取值范围是()a?1A. a≠1B. a≠0C. a≠1且a≠0D. ⼀切实数3.下列运算中正确的是()A. x2÷x8=x?6B. a?a2=a2C. (a2)3=a5D. (3a)3=9a34.如图，点P是∠AOB的⾓平分线OC上⼀点，PD⊥OA，垂⾜为点D，PD=2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为()A. 12B. 1C. √2D. 25.如图，AB=AC，BD=CD.若∠B=70°，则∠BAC=()A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°6.如图，∠MON内有⼀点P，点P关于OM的对称点是G，点P关于ON的对称点是H，GH分别交OM，ON于点A，B.若∠MON=35°，则∠GOH的度数为()A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°7.如图1，在边长为a的正⽅形中剪去⼀个边长为b的⼩正⽅形(a>b)，把剩下部分拼成⼀个梯形(如图2)，利⽤这两幅图形⾯积，可以验证的公式是()A. a2+b2=(a+b)(a?b)B. a2?b2=(a+b)(a?b)C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. (a?b)2=a2?2ab+b28.如图，已知AD是△ABC的⾓平分线，CE⊥AD，垂⾜为O，CE交AB于E，则下列命题：①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO，④∠B=∠ECB.其中正确的是()A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④9.已知△ABC的三边长a、b、c满⾜等式a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，那么△ABC是()A. 等腰三⾓形B. 直⾓三⾓形C. 锐⾓三⾓形D. 钝⾓三⾓形10.点A(?2,1)关于x轴的对称点A?的坐标是()A. (?2,?1)B. (2,1)C. (?2,1)D. (2,?1)⼆、填空题（本⼤题共9⼩题，共18.0分）11.当x=_________时，分式2x?3的值为0．2x+312.计算：3?2?(?3)0=______ ．13.计算0.25100×4100=______ ．14.若(x?a)(x?5)的展开式中不含有x的⼀次项，则a=______．15.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB=3，BC=5，则△ABD的周长是______．16.若m+n=6，mn=4，则m3n+2m2n2+mn3=__________．17.在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABD交AC于E，sinA=3，5BC=2√10.则AE=______．18.如图所⽰，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=√3，则BC的长是______．19.如图，点D为等腰直⾓△ABC内⼀点，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上⼀点，且CE=CA，给出以下结论：①DE平分∠BDC；②△BCE是等边三⾓形；③∠AEB=45°；④DE=AD+CD；正确的结论有______.(请填序号)三、解答题（本⼤题共9⼩题，共52.0分）20.(1)分解因式：?4x2+24xy?36y2；(2)分解因式：(2x+y)2?(x+2y)2．(3)分解因式：(p?4)(p+1)+621.计算：(x+1)2+x(x?2)?(x+1)(x?1)．22.计算：(1)(?3a)2?(a2)3÷a3(2)(x?3)(x+2)?(x?2)2(3)先化简，再求值：(a+b)(a?b)?(4a3b?8a2b2)÷4ab其中a=?2，b=?1．23.如图，∠AOB=60°，点P为射线OA上的⼀动点．过点P作PC⊥OB于点C.点D在∠AOB内，且满⾜∠APD=∠OPC，DP+PC=10．(1)当PC=6时，求点D到OB的距离；(2)在射线OA上是否存在⼀定点M，使得MD=MC？若存在，请⽤直尺(不带刻度)和圆规作出点M(不必写作法，但要保留作图痕迹)，并求OM的长；若不存在，说明理由．24.已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB//CD．求证：AB=CD．25.你能求出(x?1)(x99+x98+x97+?+x+1)的值吗?遇到这样的问题，我们可以先思考⼀下，从简单的情形⼊⼿.先计算下列各式的值：①(x?1)(x+1)=;②(x?1)(x2+x+1)=;③(x?1)(x3+x2+x+1)=;由此我们可以得到(x?1)(x99+x98+?+x+1)=;请你利⽤上⾯的结论，完成下⾯两题的计算：(1)299+298+?+2+1;(2)(?3)50+(?3)49+?+(?3)+1．26.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC=2∠C.求证：AB+BD=AC．27.已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的⼀个动点(不与点C，点D重合)，连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．(1)如图1，若点M在线段BD上．①依据题意补全图1；②求∠MCE的度数．(2)如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接⽤等式表⽰线段AC、CE、CM之间的数量关系．28.已知：在平⾯直⾓坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为(3,0)，(0,4)，点C(t,0)是x轴上⼀动点，点M是BC的中点．(1)当点C和点A重合时，求OM的长；(2)若S△ACB=10，则t的值为______；(3)在(2)的条件下，直线AM交y轴于点N，求△ABN的⾯积．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：A．根据轴对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．2.答案：A解析：解：若分式1有意义，则a?1≠0，即a≠1，a?1故选：A．分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．3.答案：A解析：解：A、x2÷x8=x?6，故原题计算正确；B、a?a2=a3，故原题计算错误；C、(a2)3=a6，故原题计算错误；D、(3a)3=27a3，故原题计算错误；故选：A．根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘⽅法则：底数不变，指数相乘；积的乘⽅法则：把每⼀个因式分别乘⽅，再把所得的幂相乘进⾏计算即可．此题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘⽅和积的乘⽅，关键是掌握各运算法则．4.答案：B解析：解：作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD=2，∵PE⊥OB，MN⊥OB，∴PE//MN，⼜M为OP的中点，PE=1，即点M到射线OB的距离为1，∴MN=12故选：B．作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，根据⾓平分线的性质求出PE，根据三⾓形中位线定理计算即可．本题考查的是⾓平分线的性质、三⾓形中位线定理，掌握⾓的平分线上的点到⾓的两边的距离相等是解题的关键．解析：解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=70°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=40°，故选C．根据等腰三⾓形的性质即可得到结论本题考查了等腰三⾓形的性质，三⾓形的内⾓和，熟练掌握等腰三⾓形的性质是解题的关键．6.答案：B解析：【分析】本题考查了轴对称的性质，熟记性质并确定出相等的⾓是解题的关键．连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，然后求出∠GOH=2∠MON，代⼊数据计算即可得解．【解答】解：如图，连接OP，∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，∴∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，∴∠GOH=∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH=2∠MON，∵∠MON=35°，∴∠GOH=2×35°=70°．故选B．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查了平⽅差公式的⼏何表⽰，表⽰出图形阴影部分⾯积是解题的关键．第⼀个图中的⾯积=a2?b2，第⼆个图中梯形的⾯积=(2a+2b)(a?b)÷2=(a+b)(a?b)，两图形阴影⾯积相等，据此即可解答．【解答】解：由题可得：第⼀个图中的⾯积=a2?b2，第⼆个图中梯形的⾯积=(2a+2b)(a?b)÷2=(a+b)(a?b)，∵两图形阴影⾯积相等，∴a2?b2=(a+b)(a?b)．故选B．8.答案：A解析：【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等⼏何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的根据⾓平分线的性质及CE⊥AD判断出△AEO≌△ACO即可解答．【解答】解：∵AD是△ABC的⾓平分线，∴∠EAD=∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠AOE=∠AOC，∵AO=AO，∴△AEO≌△ACO．∴①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO均正确，④⽆法判断．故选：A．9.答案：B解析：【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应⽤，是基础知识，较简单．a2+b2+c2+50=6a+8b+10c可变为(a?3)2+(b?4)2+(c?5)2=0，可知道a、b、c分别为3，4，5满⾜勾股定理，即可判断出三⾓形的形状．【解答】解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c变形为(a?3)2+(b?4)2+(c?5)2=0，解之得：a=3，b=4，c=5，符合勾股定理的逆定理，故选B．10.答案：A解析：【分析】本题考查了如下内容：关于x轴对称的两个点之间的坐标关系；关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．本题⽐较容易，可直接利⽤平⾯直⾓坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点求得答案．【解答】解：两点若关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数．点A(?2,1)关于x轴的对称点A′的坐标是(?2,?1)．故选A．11.答案：32解析：【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键.分式值为零的条件是分⼦等于零且分母不等于零．【解答】的值为0，解：∵分式2x?32x+3∴2x?3=0且2x+3≠0，．解得：x=32故答案为32．12.答案：?89解析：解：原式=19?1=?89幂的负整数指数幂的运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进⾏计算，任何⾮0数的0次幂等于1．本题是考查含有零指数幂和负整数指数幂的运算，属较简单题⽬．13.答案：1解析：解：原式=(0.25×4)100=1．故答案为：1．直接利⽤积的乘⽅运算法则将原式变形求出答案．此题主要考查了积的乘⽅运算法则，正确将原式变形是解题关键．14.答案：?5解析：解：(x?a)(x?5)=x2?5x?ax+5a=x2+(?5?a)x+5a，∵(x?a)(x?5)的展开式中不含有x的⼀次项，∴?5?a=0，a=?5．故答案为：?5．根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，根据已知得出?5?a=0，求出即可．本题考查了多项式乘以多项式法则，解⼀元⼀次⽅程等知识点的应⽤．15.答案：8解析：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=8，故答案为：8．根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据三⾓形的周长公式计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16.答案：144解析：【分析】本题考查知识点是因式分解，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运⽤因式分解中的提取公因式法与公式法，掌握整体带⼊法，⽅可得出答案．题中m3n+2m2n2+mn3=mn(m2+2mn+n2)=mn(m+n)2，整体带⼊：mn、(m+n)的值即可得出答案．【解答】解：因为m3n+2m2n2+mn3=mn(m2+2mn+n2)=mn(m+n)2=4×62=144，所以答案为144．17.答案：5解析：【分析】根据已知条件设BD=3x，AB=5x，根据勾股定理得到AD=√AB2?BD2=4x，根据等腰三⾓形的性质得到AC=5x，求得CD=x，根据勾股定理列⽅程得到AD=8，设AE=m，则DE=8?m，过E作EF⊥AB于F，根据⾓平分线的性质得到EF=DE=8?m，根据三⾓函数的定义即可得到结论．本题考查了解直⾓三⾓形，等腰三⾓形的性质，⾓平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【解答】解：∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=∠CDB=90°，∵sinA=35，∴设BD=3x，AB=5x，∴AD=√AB2?BD2=4x，∵AB=AC，∴AC=5x，∴CD=x，∵BD2+CD2=BC2，∴(3x)2+x2=(2√10)2，∴x=2，(负值舍去)，∴AD=8，设AE=m，则DE=8?m，过E作EF⊥AB于F，则∠AFE=90°，∵BE平分∠ABD，∴EF=DE=8?m，∵sinA=EFAE =35，∴8?mm =35，∴m=5，∴AE=5．故答案为：5．18.答案：√3解析：【分析】本题考查了等腰三⾓形的判断和性质、折叠的性质以及三⾓形内⾓和定理的运⽤，证明△BCE是等腰三⾓形是解题的关键．由折叠的性质可知AE=CE，再证明△BCE是等腰三⾓形即可得到BC=CE，问题得解．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，=72°，∴∠B=∠ACB=180°?36°2∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°，∴∠CEB=72°，∴BC=CE=AE=√3，故答案为√3．19.答案：①②③④解析：解：①∵△ABC是等腰直⾓三⾓形，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°?15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，∵∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC；所以①正确；②∵CA=CB，CA=CE，∴CB=CE，∵∠CAD=∠AEC=15°，∴∠ACE=180°?15°?15°=150°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=150°?90°=60°，∴△BCE是等边三⾓形；所以②正确；③∵△BCE是等边三⾓形，∴∠BEC=60°，∵∠AEC=15°，∴∠AEB=60°?15°=45°，所以③正确；④在DE上取⼀点G，使DC=DG，连接CG，∵∠EDC=60°，∴△DCG是等边三⾓形，∴DC=DG=CG，∠DCG=60°，∴∠GCE=150°?60°?45°=45°，∴∠ACD=∠GCE=45°，∵AC=CE，∴△ACD≌△ECG，∴EG=AD，∴DE=EG+DG=AD+DC，所以④正确；正确的结论有：①②③④；故答案为：：①②③④．①先根据等腰直⾓三⾓形的性质及已知条件得出∠DAB=∠DBA=30°，则AD=BD，再证明CD是边AB的垂直平分线，得出∠ACD=∠BCD=45°，然后根据三⾓形外⾓的性质求出∠CDE=∠BDE= 60°即可；②先利⽤等⾓对等边证BC=CE，再推得∠BCE=60°可得结论；③利⽤差可求得结论：∠AEB=∠BEC?∠AEC；④截取DG=DC，证明△DCG是等边三⾓形，再证明△ACD≌△ECG，利⽤线段的和与等量代换可得结论．本题考查了等腰三⾓形、全等三⾓形的性质和判定、等腰直⾓三⾓形、等边三⾓形等特殊三⾓形的性质和判定，熟练掌握有⼀个⾓是60°的等腰三⾓形是等边三⾓形这⼀判定等边三⾓形的⽅法，在⼏何证明中经常运⽤，要熟练掌握．20.答案：解：(1)原式=?4(x2?6xy+9y2)=?4(x?3y)2；(2)原式=(2x+y+x+2y)(2x+y?x?2y)=3(x+y)(x?y)；(3)原式=p2?3p+2=(p?1)(p?2)．解析：(1)原式提取公因式，再利⽤完全平⽅公式分解即可；(2)原式利⽤平⽅差公式分解即可；(3)原式整理后，利⽤⼗字相乘法分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运⽤，熟练掌握因式分解的⽅法是解本题的关键．21.答案：解：(x+1)2+x(x?2)?(x+1)(x?1)=(x2+2x+1)+(x2?2x)?(x2?1)=x2+2x+1+x2?2x?x2+1=x2+2．解析：本题主要考查整式的混合运算.利⽤完全平⽅公式、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式的运算法则进⾏运算，再合并同类项即可．22.答案：解：(1)(?3a)2?(a2)3÷a3=9a2?a6÷a3=9a5；(2)(x?3)(x+2)?(x?2)2=x2?x?6?(x2?4x+4)=3x?10；(3)(a+b)(a?b)?(4a3b?8a2b2)÷4ab=a2?b2?(a2?2ab)=2ab?b2，把a=?2，b=?1代⼊上式可得：原式=2×(?2)(?1)?(?1)2=3．解析：(1)直接利⽤积的乘⽅运算以及结合同底数幂的乘除运算法则化简求出答案；(2)直接利⽤多项式乘以多项式运算法则求出答案；(3)直接利⽤多项式乘以多项式运算法则以及多项式除以单项式运算法则化简，进⽽代⼊已知数据求出答案．此题主要考查了整式的混合运算?化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．23.答案：解：(1)作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，∵DP+PC=10，PC=6，∴PD=4，∵∠AOB=60°，∴∠OPC=∠APD=30°，∴∠DPE=30°，∴DE=1PD=2，2易得四边形PCHE为矩形，∴EH=PC=6，∴DH=DE+EH=2+6=8，即点D到OB的距离为8；(2)存在．如图2，延长CP到D′，使PD′=PD，则CD′=PC+PD=10，作CD′的垂直平分线交OA于M，则点M为所作；作MN⊥OB于N，如图2，则MN=1 2×10=5，在Rt△OMN中，ON=√33MN=5√33，∴OM=2ON=10√33．解析：本题考查了作图?复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进⾏作图，⼀般是结合了⼏何图形的性质和基本作图⽅法．解决此类题⽬的关键是熟悉基本⼏何图形的性质，结合⼏何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点到直线的距离和含30度的直⾓三⾓形三边的关系．(1)作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，先计算出PD=4，利⽤含30度的直⾓三⾓形三边的关系得到DE=12PD=2，易得四边形PCHE为矩形，然后计算DH即可；(2)如图2，延长CP到D′，使PD′=PD，则CD′=PC+PD=10，作CD′的垂直平分线交OA于M，利⽤∠D′PA=∠DPA=30°可判断点D、D′关于OA对称，所以MD′=MD，⽽MD′=MC，所以点M 满⾜MD=MC，作MN⊥OB于N，如图2，易得MN=5，根据含30度的直⾓三⾓形三边的关系求出ON、OM即可．24.答案：证明：∵AB//CD，∴∠B=∠C，∠A=∠D，∵在△AOB和△DOC中，{∠B=∠C ∠A=∠DOA=OD,∴△AOB≌△DOC(AAS)，∴AB=CD．解析：此题主要考查了全等三⾓形的判定与性质的知识，解答本题的关键是熟练掌握判定定理以及平⾏线的性质，此题基础题，⽐较简单．⾸先根据AB//CD，可得∠B=∠C，∠A=∠D，结合OA=OD，可知证明出△AOB≌△DOC，即可得到AB=CD．25.答案：解：?①x2?1;?②x3?1;?③x4?1;x100?1．(1)299+298+?+2+1=(2?1)×(299+298+?+2+1)=2100?1．(2)(?3)50+(?3)49+?+(?3)+1=?14×(?3?1)×[(?3)50+(?3)49+?+(?3)+1] =?14×[(?3)51?1]=351+1．4解析：【分析】此题考查了多项式乘多项式，弄清题中的规律是解本题的关键.直接利⽤规律填空．(1)将式⼦乘以(2?1)，利⽤题中的规律计算即可得到结果；×(?3?1)，利⽤(1)的结论即可得到所求式⼦的值．(2)将所求式⼦乘以?1426.答案：证明：在边AC上截取AP=AB，连接PD．∵AD是△ABC的⾓平分线，∴∠BAD=∠PAD．在△ABD和△APD中，∴△ABD≌△APD(SAS)．∴∠APD=∠B，PD=BD．∵∠B=2∠C，∴∠PDC=∠C．∴PD=PC．∴AB+BD=AP+PC=AC．解析：本题考查全等三⾓形的判定和性质，先在在边AC上截取AP=AB，连接PD.因为AD平分∠BAC 交BC于点D，利⽤⾓平分线的定义可知∠BAD=∠PAD，根据全等三⾓形的判定可知△ABD≌△APD，再根据全等三⾓形的性质得出对应⾓和对应边的相等关系，结合∠ABC=2∠C进⼀步可求证结果。

精品"正版〞资料系列,由本公司独创 .旨在将"人教版〞、〞苏教版"、〞北师大版"、〞华师大版"等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月,是当前最|新版本的教材资源 .包含本课对应内容,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最|正确选择 .2021 -2021学年北京市人大附中八年级| (上)期中数学试卷一、选择题(每题3分,共30分)1．以下四个图形中不是轴对称图形的是()A．B．C．D．2．假设分式的值为0 ,那么x的值为()A．﹣2 B．4 C．﹣2或4 D．无法确定3．在以下运算中,正确的选项是()A．a2 +a3 =2a5B．(a2 )3 =a6 C．a6÷a2 =a3 D．a2•a3 =a64．)在直角坐标系中,点M (1 ,2 )关于y轴对称的点的坐标为() A．(1 ,﹣2 ) B．(2 ,﹣1 ) C．(﹣1 ,2 ) D．(﹣1 ,﹣2 )5．如图,根据计算正方形ABCD的面积,可以说明以下哪个等式成立()A．(a +b )2 =a2 +2ab +b2B．(a﹣b )2 =a2﹣2ab +b2C．(a +b ) (a﹣b ) =a2﹣b2D．a (a﹣b ) =a2﹣ab6．假设x +n与x +2的乘积中不含x的一次项,那么n的值为() A．﹣2 B．2 C．0 D．17．如图,是屋架设计图的一局部,点D是斜梁AB的中点,立柱BC ,DE垂直于横梁AC ,AB =8m ,∠A =30° ,那么DE等于()A．1m B．2m C．3m D．4m8．如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC ,DE交AB于E ,假设AB =BC ,那么以下结论中错误的选项是()A．BD⊥AC B．∠A =∠EDA C．2AD =BC D．BE =ED9．将一等腰直角三角形纸片对折后再对折,得到如下图的图形,然后将阴影局部剪掉,把剩余局部展开后的平面图形是()A．B．C．D．10．如下图,在正五边形的对称轴直线l上找点P ,使得△PCD、△PDE均为等腰三角形,那么满足条件的点P有()A．4个B．5个C．6个D．7个二、填空题(19题后两空各1分,其余每空2分,共20分)11．计算(π﹣3 )0 =．12．如果分式有意义,那么的取值范围是．13．32021×2021 =．14．x +y =7 ,xy =7 ,那么x2 +y2的值是．15．如图,四边形ABCD沿直线AC对折后重合,假设AD =3 ,BC =2 ,那么四边形ABCD周长为．16．如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,△BCD和△ABC的周长分别为14和22 ,那么AE长为．17．如图,将正方形纸片对折,折痕为EF ,展开后继续折叠,使点A落在EF上,折痕为GB ,那么∠AGB的度数为．18．对于数a ,b ,c ,d ,规定一种运算=ad﹣bc ,如=1×(﹣2 )﹣0×2 =﹣2 ,那么当=27时,那么x =．19．平面直角坐标系中有一点A (1 ,1 ) ,对点A进行如下操作：第|一步,作点A关于x轴的对称点A1 ,延长线段AA1到点A2 ,使得2A1A2 =AA1；第二步,作点A2关于y轴的对称点A3 ,延长线段A2A3到点A4 ,使得2A3A4 =A2A3；第三步,作点A4关于x轴的对称点A5 ,延长线段A4A5到点A6 ,使得2A5A6 =A4A5；…那么点A2的坐标为,点A2021的坐标为．假设点A n的坐标恰好为(4m ,4n ) (m、n均为正整数) ,请写出m和n的关系式．三、解答题(每题8分,共28分)20．计算：(1 )x4÷x2 + (x +6 ) (x﹣3 )(2 ) (2x +y ) (2x﹣y ) + (3x +2y )2．21．分解因式：(1 )5ax2﹣5ay2(2 )9m2n﹣6mn +n．22．先化简,再求值：(1 ) (7a2b﹣2ab2﹣b3 )÷b﹣(a +b ) (3a +b ) ,其中a =1.5 ,b =﹣1(2 ) (2x +1 )2﹣x (x﹣1 ) + (x +2 ) (x﹣2 ) ,其中4x2 +5x﹣1 =0．23．尺规作图：请作出线段AB的垂直平分线CD ,并说明作图依据．结论：作图依据：．四、解答题(每题4分,共12分)24．如图,AD =BC ,AC与BD相交于点E ,且AC =BD ,求证：AE =BE．25．列方程解应用题：如果一个正方形的边长增加4厘米,那么它的面积就增加40平方厘米,那么这个正方形的边长是多少?26．如图,点E为AC的中点,点D为△ABC外一点,且满足射线BD为∠ABC的平分线,∠ABC +∠ADC =180° ,请判断DE和AC的位置关系,并证明．27．阅读理解应用待定系数法：设某一多项式的全部或局部系数为未知数、利用当两个多项式为值等式时,同类项系数相等的原理确定这些系数,从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中,例如问题：因式分解x3﹣1．因为x3﹣1为三次多项式,假设能因式分解,那么可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜测x3﹣1可以分解成x3﹣1 = (x﹣1 ) (x2+ax+b ) ,展开等式右边得：x3+ (a ﹣1 )x2 + (b﹣a )x﹣b ,根据待定系数法原理,等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a ﹣1 =0 ,b﹣a =0 ,﹣b =﹣1 ,可以求出a =1 ,b =1．所以x3﹣1 = (x﹣1 ) (x2 +x +1 )(1 )假设x取任意值,等式x2 +2x +3 =x2 + (3﹣a )x +s恒成立,那么a =；(2 )多项式x4 +x2 +1有因式x2 +x +1 ,请用待定系数法求出该多项式的另一因式．(3 )请判断多项式x4﹣x2 +1是否能分解成的两个整系数二次多项式的乘积,并说明理由．28．,点D是△ABC内一点,满足AD =AC(1 )∠CAD =2∠BAD ,∠ABD =30° ,如图1 ,假设∠BAC =60° ,∠ACB =80° ,请判断BD和CD的数量关系(直接写出答案)(2 )如图2 ,假设∠ACB =2∠ABC ,BD =CD ,试证明∠CAD =2∠BAD．2021 -2021学年北京市人大附中八年级| (上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每题3分,共30分)1．【解答】解：A、不是轴对称图形,正确；B、是轴对称图形,错误；C、是轴对称图形,错误；D、是轴对称图形,错误．应选A．2．【解答】解：由的值为0 ,得,解得x =4 ,应选：B．3．【解答】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变,故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘,故B正确；C、同底数幂的除法底数不变指数相减,故C错误；D、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故D错误；应选：B．4．【解答】解：点M (1 ,2 )关于y轴对称的点的坐标为(﹣1 ,2 ) ,应选：C．5．【解答】解：根据题意得：(a +b )2 =a2 +2ab +b2 ,应选：A．6．【解答】解：∵(x +n ) (x +2 ) =x2 +2x +nx +2n =x2 + (2 +n )x +2n , 又∵x +n与x +2的乘积中不含x的一次项,∴2 +n =0 ,∴n =﹣2；应选A．7．【解答】解：∵点D是斜梁AB的中点,立柱BC ,DE垂直于横梁AC , ∴点E是AC的中点,∴DE是直角三角形ABC的中位线,根据三角形的中位线定理得：DE =BC ,又∵在Rt△ABC中,∠A =30° ,∴BC =AB =×8 =4．故DE =BC =×4 =2m ,应选：B8．【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线,AB =BC ,∴BD⊥AC ,∠A =∠C ,∠EBD =∠DBC ,∵DE∥BC ,∴∠C =∠EDA ,∠EDB =∠DBC ,∴∠A =∠EDA ,∠EBD =∠EDB ,∴BE =ED．应选C．9．【解答】解：拿一张纸具体剪一剪,结果为A．应选A．10．【解答】解：∵P点在直线L上,∴此时PC =PD ,即△PCD是等腰三角形,分为三种情况：①作DE的垂直平分线,交直线l于一点P ,此时PE =PD；②以D为圆心,以DE为半径,交直线l于两点,此时DP =DE；③以E为圆心,以DE为半径,交直线l于两点,此时EP =DE；共1 +2 +2 =5点．应选B．二、填空题(19题后两空各1分,其余每空2分,共20分) 11．【解答】解：(π﹣3 )0 =1 ,故答案为：1．12．【解答】解：分式有意义,得x﹣5≠0．解得x≠5 ,故答案为：x≠5．13．【解答】解：32021×2021 =3×(3×)2021 =3．故答案为：3．14．【解答】解：∵x +y =7 ,xy =7 ,∴原式= (x +y )2﹣2xy =49﹣14 =35．故答案为：35．15．【解答】解：∵四边形ABCD沿直线AC对折后重合,∴△ADC≌△ABC ,∴AB =AD =3 ,BC =DC =2 ,∴四边形ABCD周长为：AB +BC +CD +AD =3 +2 +2 +3 =10 , 故答案为：10．16．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线,∴DA =DC ,由题意得,BD +DC +BC =14 ,AB +BC +AC =22 ,那么AC =8 ,∵DE是AC的垂直平分线,∴AE =4 ,故答案为：4．17．【解答】解：∵将正方形纸片对折,折痕为EF ,∴BF =AB ,∠GAB =90° ,∴∠BAF =30° ,∴ABF =60° ,∵展开后继续折叠,使点A落在EF上,折痕为GB ,∴∠ABG =×(90°﹣60° ) =15° ,∴∠AGB =90°﹣15° =75°．故答案为：75°．18．【解答】解：根据运算规那么：=27可化为：(x +1 ) (x﹣1 )﹣(x﹣1 ) (x +2 ) =27 ,去括号得：﹣1﹣x +2 =27 ,移项合并同类项得：x =﹣26．故填﹣26．19．【解答】解：由题意得,A1 (1 ,﹣1 ) ,A2 (1 ,﹣2 ) ,A3 (﹣1 ,﹣2 ) ,A4 (﹣2 ,﹣2 ) ,A5 (﹣2 ,2 ) ,A6 (﹣2 ,4 ) ,A7 (2 ,4 ) ,A8 (4 ,4 ) ,∵2021÷8 =251余7 ,∴点A2021为第252循环组的第|一象限的倒数第二个点,∴A2021 (2504 ,2505 ) ,点A n的坐标恰好为(4m ,4n ) (m、n均为正整数) ,请写出m和n的关系式m =n．故答案为：(1 ,﹣2 )；(2504 ,2505 ) ,m =n．三、解答题(每题8分,共28分)20．【解答】解：(1 )x4÷x2 + (x +6 ) (x﹣3 )=x2 +x2﹣3x +6x﹣18=2x2 +3x﹣18；(2 ) (2x +y ) (2x﹣y ) + (3x +2y )2=4x2﹣y2 +9x2 +12xy +4y2=13x2 +12xy +3y2．21．【解答】解：(1 )原式=5a (x2﹣y2 ) =5a (x +y ) (x﹣y )；(2 )原式=n (9m2﹣6m +1 ) =n (3m﹣1 )2．22．【解答】解：(1 ) (7a2b﹣2ab2﹣b3 )÷b﹣(a +b ) (3a +b )=7a2﹣2ab﹣b2﹣3a2﹣ab﹣3ab﹣b2=4a2﹣6ab﹣2b2 ,当a =1.5 ,b =﹣1时,原式=4×2﹣6××(﹣1 )﹣2×(﹣1 )2 =16；(2 ) (2x +1 )2﹣x (x﹣1 ) + (x +2 ) (x﹣2 )=4x2 +4x +1﹣x2 +x +x2﹣4=4x2 +5x﹣3 ,∵4x2 +5x﹣1 =0 ,∴4x2 +5x =1 ,∴原式=1﹣3 =﹣2．23．【解答】解：如图,CD为所作．故答案为CD为所作,垂直平分线的性质定理的逆定理．四、解答题(每题4分,共12分)24．【解答】解：在△ABC和△BAD中,∴△ABC≌△BAD (SSS ) ,∴∠CAB =∠DBA ,∴AE =BE．25．【解答】解：设这个正方形的边长为x , 根据题意得：(x +4 )2 =x2 +40 ,整理得：x2 +8x +16 =x2 +40 ,移项合并得：8x =24 ,解得：x =3．那么这个正方形的边长是3．26．【解答】解：∵∠ABC +∠ADC =180° , ∴∠BAC +∠BCD =180° ,∴A ,B ,C ,D四点共圆,∴∠ABD =∠ACD ,∠DBC =∠DAC ,∵射线BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD =∠CBD ,∴∠DAC =∠DCA ,∴△ADC为等腰三角形,∵点E为AC的中点,∴DE⊥AC (三线合一)．27．【解答】解：(1 )∵x2 +2x +3 =x2 + (3﹣a )x +s ,∴3﹣a =2 ,a =1；(2 )设x4 +x2 +1 = (x2 +ax +1 ) (x2 +x +1 ) =x4 + (a +1 )x3 + (a +2 )x2 + (a +1 )x +1 ,a +1 =0 ,a =﹣1 ,多项式的另一因式是x2﹣x +1；(3 )能,∵设x4﹣x2 +1 = (x2 +ax +1 ) (x2 +bx +1 ) =x4 + (a +b )x3 + (ab +2 )x2 + (a +b )x +1 , ∴a +b =0 ,ab +2 =﹣1 ,解得：a =或﹣,那么b =﹣或,∴x4﹣x2 +1 = (x2 +x +1 ) (x2﹣x +1 )．28．【解答】解：(1 )BD和CD的数量关系是BD =CD；理由：∵在△ABC中,∠BAC =60° ,∠ACB =80° ,∴∠ABC =40° ,∵∠CAD =2∠BAD ,∴∠CAD =40° ,∠BAD =20° ,又∵AD =AC ,∴∠ADC =∠ACD =70° ,∴∠DBC =∠ABC﹣∠ABD =40°﹣30° =10° ,∠DCB =∠ACB﹣∠ACD =80°﹣70° =10° , ∴∠DBC =∠DCB ,∴DB =DC；(2 )作∠EBC =∠ACB ,使EB =AC ,连接ED、EA ,那么四边形AEBC是等腰梯形,∴AE∥BC ,∴∠EAB =∠ABC ,∵BD =CD ,∴∠DBC =∠DCB ,∴∠EBD =∠ACD ,在△EBD和△ACD中∴△EBD≌△ACD (SAS ) ,∴ED =AD ,∵∠ACB =2∠ABC ,∠EBC =∠ACB ,∴∠EBC =2∠ABC ,∴∠ABE =∠ABC ,∴∠EAB =∠ABE ,∴BE =AE ,∵AD =AC =EB ,∴EA =ED =AD ,∴△AED是等边三角形,∴∠EAD =60° ,∴∠BAD =60°﹣∠EAB =60°﹣∠ABC ,∴2∠BAD =120°﹣2∠ABC =120°﹣∠ACB ,∵AE∥BC ,∴∠ACB +∠EAC =180° ,∴∠ACB =180°﹣∠EAC ,∵∠EAC =60° +∠DAC ,∴2∠BAD =120°﹣(180°﹣60°﹣∠DAC ) =∠DAC ,∴∠DAC =2∠BAD．教学反思1 、要主动学习、虚心请教,不得偷懒. 老老实实做"徒弟〞,认认真真学经验,扎扎实实搞教研.2 、要勤于记录,善于总结、扬长避短. 记录的过程是个学习积累的过程, 总结的过程就是一个自我提高的过程.通过总结, 要经常反思自己的优点与缺点,从而取长补短,不断进步、不断完善.3 、要突破创新、富有个性,倾心投入. 要多听课、多思考、多改良,要正确处理好模仿与开展的关系,对指导教师的工作不能照搬照抄,要学会扬弃,在原有的根底上,根据自身条件创造性实施教育教学,逐步形成自己的教学思路、教学特色和教学风格, 弘扬工匠精神, 努力追求自身教学的高品位.。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √-4D. √02. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，则b的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 103. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=x²B. y=2xC. y=2/xD. y=x+14. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于y轴的对称点坐标是（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（2，3）D.（-2，3）5. 若等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，则该三角形的周长为（）A. 26cmB. 24cmC. 22cmD. 28cm6. 下列各图中，面积最大的图形是（）A. 正方形B. 长方形C. 等腰三角形D. 梯形7. 若x²-5x+6=0，则x²-3x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 在一次函数y=kx+b（k≠0）中，若k>0，b<0，则该函数图象（）A. 在一、二、四象限B. 在一、二、三象限C. 在一、三、四象限D. 在一、二、三、四象限9. 若∠A=45°，∠B=90°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°10. 下列各数中，属于无理数的是（）A. √2B. √4C. √9D. √-1二、填空题（每题5分，共50分）11. 若（x-2）²=0，则x=______。

12. 已知等差数列的首项为3，公差为2，则第10项的值为______。

13. 若y=2x+1，则x=______时，y=7。

14. 在直角三角形中，若∠C=90°，c=10cm，a=6cm，则b=______cm。

15. 若∠A=30°，∠B=60°，则∠C=______°。

16. 若a=√3，b=√2，则a²+b²=______。

精品“正版”资料系列，由本公司独创。

旨在将“人教版”、”苏教版“、”北师大版“、”华师大版“等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友。

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包含本课对应内容，是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最佳选择。

2015-2016学年北京市人大附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列四个图形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣2 B．4 C．﹣2或4 D．无法确定3．在下列运算中，正确的是（）A．a2+a3=2a5B．（a2）3=a6C．a6÷a2=a3D．a2•a3=a64．）在直角坐标系中，点M（1，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（1，﹣2）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）5．如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．a（a﹣b）=a2﹣ab6．若x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则n的值为（）A．﹣2 B．2 C．0 D．17．如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE等于（）A．1m B．2m C．3m D．4m8．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E，若AB=BC，则下列结论中错误的是（）A．BD⊥AC B．∠A=∠EDA C．2AD=BC D．BE=ED9．将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A．B．C．D．10．如图所示，在正五边形的对称轴直线l上找点P，使得△PCD、△PDE均为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A．4个B．5个C．6个D．7个二、填空题（19题后两空各1分，其余每空2分，共20分）11．计算（π﹣3）0=．12．如果分式有意义，那么的取值范围是．13．32016×2015=．14．已知x+y=7，xy=7，则x2+y2的值是．15．如图，四边形ABCD沿直线AC对折后重合，若AD=3，BC=2，则四边形ABCD周长为．16．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△BCD和△ABC的周长分别为14和22，则AE长为．17．如图，将正方形纸片对折，折痕为EF，展开后继续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB，则∠AGB的度数为．18．对于数a，b，c，d，规定一种运算=ad﹣bc，如=1×（﹣2）﹣0×2=﹣2，那么当=27时，则x=．19．平面直角坐标系中有一点A（1，1），对点A进行如下操作：第一步，作点A关于x轴的对称点A1，延长线段AA1到点A2，使得2A1A2=AA1；第二步，作点A2关于y轴的对称点A3，延长线段A2A3到点A4，使得2A3A4=A2A3；第三步，作点A4关于x轴的对称点A5，延长线段A4A5到点A6，使得2A5A6=A4A5；…则点A2的坐标为，点A2015的坐标为．若点A n的坐标恰好为（4m，4n）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式．三、解答题（每小题8分，共28分）20．计算：（1）x4÷x2+（x+6）（x﹣3）（2）（2x+y）（2x﹣y）+（3x+2y）2．21．分解因式：（1）5ax2﹣5ay2（2）9m2n﹣6mn+n．22．先化简，再求值：（1）（7a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（3a+b），其中a=1.5，b=﹣1（2）（2x+1）2﹣x（x﹣1）+（x+2）（x﹣2），其中4x2+5x﹣1=0．23．尺规作图：请作出线段AB的垂直平分线CD，并说明作图依据．结论：作图依据：．四、解答题（每小题4分，共12分）24．如图，AD=BC，AC与BD相交于点E，且AC=BD，求证：AE=BE．25．列方程解应用题：如果一个正方形的边长增加4厘米，那么它的面积就增加40平方厘米，则这个正方形的边长是多少？26．如图，点E为AC的中点，点D为△ABC外一点，且满足射线BD为∠ABC的平分线，∠ABC+∠ADC=180°，请判断DE和AC的位置关系，并证明．27．阅读理解应用待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为值等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解x3﹣1．因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成x3﹣1=（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a ﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a﹣1=0，b﹣a=0，﹣b=﹣1，可以求出a=1，b=1．所以x3﹣1=（x﹣1）（x2+x+1）（1）若x取任意值，等式x2+2x+3=x2+（3﹣a）x+s恒成立，则a=；（2）已知多项式x4+x2+1有因式x2+x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．（3）请判断多项式x4﹣x2+1是否能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．28．已知，点D是△ABC内一点，满足AD=AC（1）已知∠CAD=2∠BAD，∠ABD=30°，如图1，若∠BAC=60°，∠ACB=80°，请判断BD和CD的数量关系（直接写出答案）（2）如图2，若∠ACB=2∠ABC，BD=CD，试证明∠CAD=2∠BAD．2015-2016学年北京市人大附中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，正确；B、是轴对称图形，错误；C、是轴对称图形，错误；D、是轴对称图形，错误．故选A．2．【解答】解：由的值为0，得，解得x=4，故选：B．3．【解答】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B正确；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误；D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D错误；故选：B．4．【解答】解：点M（1，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，2），故选：C．5．【解答】解：根据题意得：（a+b）2=a2+2ab+b2，故选：A．6．【解答】解：∵（x+n）（x+2）=x2+2x+nx+2n=x2+（2+n）x+2n，又∵x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，∴2+n=0，∴n=﹣2；故选A．7．【解答】解：∵点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，∴点E是AC的中点，∴DE是直角三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得：DE=BC，又∵在Rt△ABC中，∠A=30°，∴BC=AB=×8=4．故DE=BC=×4=2m，故选：B8．【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，AB=BC，∴BD⊥AC，∠A=∠C，∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠C=∠EDA，∠EDB=∠DBC，∴∠A=∠EDA，∠EBD=∠EDB，∴BE=ED．故选C．9．【解答】解：拿一张纸具体剪一剪，结果为A．故选A．10．【解答】解：∵P点在直线L上，∴此时PC=PD，即△PCD是等腰三角形，分为三种情况：①作DE的垂直平分线，交直线l于一点P，此时PE=PD；②以D为圆心，以DE为半径，交直线l于两点，此时DP=DE；③以E为圆心，以DE为半径，交直线l于两点，此时EP=DE；共1+2+2=5点．故选B．二、填空题（19题后两空各1分，其余每空2分，共20分）11．【解答】解：（π﹣3）0=1，故答案为：1．12．【解答】解：分式有意义，得x﹣5≠0．解得x≠5，故答案为：x≠5．13．【解答】解：32016×2015=3×（3×）2015=3．故答案为：3．14．【解答】解：∵x+y=7，xy=7，∴原式=（x+y）2﹣2xy=49﹣14=35．故答案为：35．15．【解答】解：∵四边形ABCD沿直线AC对折后重合，∴△ADC≌△ABC，∴AB=AD=3，BC=DC=2，∴四边形ABCD周长为：AB+BC+CD+AD=3+2+2+3=10，故答案为：10．16．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，由题意得，BD+DC+BC=14，AB+BC+AC=22，则AC=8，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=4，故答案为：4．17．【解答】解：∵将正方形纸片对折，折痕为EF，∴BF=AB，∠GAB=90°，∴∠BAF=30°，∴ABF=60°，∵展开后继续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB，∴∠ABG=×（90°﹣60°）=15°，∴∠AGB=90°﹣15°=75°．故答案为：75°．18．【解答】解：根据运算规则：=27可化为：（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）（x+2）=27，去括号得：﹣1﹣x+2=27，移项合并同类项得：x=﹣26．故填﹣26．19．【解答】解：由题意得，A1（1，﹣1），A2（1，﹣2），A3（﹣1，﹣2），A4（﹣2，﹣2），A5（﹣2，2），A6（﹣2，4），A7（2，4），A8（4，4），∵2015÷8=251余7，∴点A2015为第252循环组的第一象限的倒数第二个点，∴A2015（2504，2505），点A n的坐标恰好为（4m，4n）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式m=n．故答案为：（1，﹣2）；（2504，2505），m=n．三、解答题（每小题8分，共28分）20．【解答】解：（1）x4÷x2+（x+6）（x﹣3）=x2+x2﹣3x+6x﹣18=2x2+3x﹣18；（2）（2x+y）（2x﹣y）+（3x+2y）2=4x2﹣y2+9x2+12xy+4y2=13x2+12xy+3y2．21．【解答】解：（1）原式=5a（x2﹣y2）=5a（x+y）（x﹣y）；（2）原式=n（9m2﹣6m+1）=n（3m﹣1）2．22．【解答】解：（1）（7a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（3a+b）=7a2﹣2ab﹣b2﹣3a2﹣ab﹣3ab﹣b2=4a2﹣6ab﹣2b2，当a=1.5，b=﹣1时，原式=4×1.52﹣6×1.5×（﹣1）﹣2×（﹣1）2=16；（2）（2x+1）2﹣x（x﹣1）+（x+2）（x﹣2）=4x2+4x+1﹣x2+x+x2﹣4=4x2+5x﹣3，∵4x2+5x﹣1=0，∴4x2+5x=1，∴原式=1﹣3=﹣2．23．【解答】解：如图，CD为所作．故答案为CD为所作，垂直平分线的性质定理的逆定理．四、解答题（每小题4分，共12分）24．【解答】解：在△ABC和△BAD中，∴△ABC≌△BAD（SSS），∴∠CAB=∠DBA，∴AE=BE．25．【解答】解：设这个正方形的边长为x，根据题意得：（x+4）2=x2+40，整理得：x2+8x+16=x2+40，移项合并得：8x=24，解得：x=3．则这个正方形的边长是3．26．【解答】解：∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAC+∠BCD=180°，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠ABD=∠ACD，∠DBC=∠DAC，∵射线BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴∠DAC=∠DCA，∴△ADC为等腰三角形，∵点E为AC的中点，∴DE⊥AC（三线合一）．27．【解答】解：（1）∵x2+2x+3=x2+（3﹣a）x+s，∴3﹣a=2，a=1；（2）设x4+x2+1=（x2+ax+1）（x2+x+1）=x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1，a+1=0，a=﹣1，多项式的另一因式是x2﹣x+1；（3）能，∵设x4﹣x2+1=（x2+ax+1）（x2+bx+1）=x4+（a+b）x3+（ab+2）x2+（a+b）x+1，∴a+b=0，ab+2=﹣1，解得：a=或﹣，则b=﹣或，∴x4﹣x2+1=（x2+x+1）（x2﹣x+1）．28．【解答】解：（1）BD和CD的数量关系是BD=CD；理由：∵在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=80°，∴∠ABC=40°，∵∠CAD=2∠BAD，∴∠CAD=40°，∠BAD=20°，又∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD=70°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=40°﹣30°=10°，∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=80°﹣70°=10°，∴∠DBC=∠DCB，∴DB=DC；（2）作∠EBC=∠ACB，使EB=AC，连接ED、EA，则四边形AEBC是等腰梯形，∴AE∥BC，∴∠EAB=∠ABC，∵BD=CD，∴∠DBC=∠DCB，∴∠EBD=∠ACD，在△EBD和△ACD中∴△EBD≌△ACD（SAS），∴ED=AD，∵∠ACB=2∠ABC，∠EBC=∠ACB，∴∠EBC=2∠ABC，∴∠ABE=∠ABC，∴∠EAB=∠ABE，∴BE=AE，∵AD=AC=EB，∴EA=ED=AD，∴△AED是等边三角形，∴∠EAD=60°，∴∠BAD=60°﹣∠EAB=60°﹣∠ABC，∴2∠BAD=120°﹣2∠ABC=120°﹣∠ACB，∵AE∥BC，∴∠ACB+∠EAC=180°，∴∠ACB=180°﹣∠EAC，∵∠EAC=60°+∠DAC，∴2∠BAD=120°﹣（180°﹣60°﹣∠DAC）=∠DAC，∴∠DAC=2∠BAD．教学反思1 、要主动学习、虚心请教，不得偷懒。

2022-2023学年北京市人大附中早培班八年级（上）期中数学试卷一、单项选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，仅有一项符合题目要求1.将抛物线21y x =+向右平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A.2(1)y x =-B.2(1)y x =+C.2(1)2y x =-+D.2(1)2y x =++【答案】A【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线21y x =+向右平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是：2(1)11y x =-+-，即2(1)y x =-．故选：A ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．2.如图，每个小正方形边长均为1，则图中四个阴影的三角形中与ABC 相似的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用勾股定理求得每个三角形的三边长，确认是否成比例，即可求解．【详解】解：由题意可得：ABC 的三边长为AC =，2BC =，AC =，A 、三角形的三边长为152≠≠，不符合题意；B，352≠≠C 、三角形的三边长为22≠≠，不符合题意；D 、三角形的三边长为122==ABC 相似，符合题意；故选D .【点睛】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，正确求出每个三角形的边长．3.为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm ），则该铁球的半径为（）A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm【答案】B【分析】连接AB 、OC ，根据题意可得8AB =，OC AB ⊥，再根据垂径定理得到4AH BH ==，设AO x =，利用勾股定理建立方程解出x 即可解决此题．【详解】解：连接AB 、OC ，OC 交AB 于点H ，由题可得，8AB =，OH AB ⊥，∴4AH BH ==，设AO x =，则2OH x =-，在Rt AOH 中，222AO AH OH =+，∴()22242x x =+-，解得5x =，即5AO =，故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是能构造直角三角形利用勾股定理解直角三角形．4.如图，已知AB 是O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O 相切于点D ，过点B 作BC PD ⊥于点C ，若4PA =，6BC =，则O 的半径的长为（）A.3B.23C.4D.33【答案】C【分析】利用已知条件证明OPD BPC ∽△△，推出OP ODBP BC=，设O 的半径的长为r ，将数值代入等式，解关于r 的一元二次方程即可．【详解】解： PD 与O 相切于点D ，∴OD PC ⊥，∴90ODP BCP ∠=∠=︒，又 OPD BPC ∠=∠，∴OPD BPC ∽△△，∴OP OD BP BC=，即PA OA ODPA AB BC +=+．设O 的半径的长为r ，则4426r rr +=+，整理得2120r r --=，解得14r =，23r =-（舍），∴O 的半径的长为4，故选C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、切线的性质、解一元二次方程等，解题的关键是通过相似得出OP ODBP BC=．5.抛物线2y ax c =+与直线y kx =交于()()3612A B --，，，两点，关于x 的不等式20ax kx c +>-的解集是（）A.3x <-或1x >B.6x <-或2x > C.31x -<< D.62x -<<【答案】C【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及一次函数图象的关系，写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：由题意得962a c a c +=-⎧⎨+=⎩，∴13a c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线开口向下，∵20ax kx c +>-，∴2ax c kx +>，∴关于x 的不等式20ax kx c +>-的解集即为二次函数2y ax c =+的图象在一次函数y kx =图象上方自变量的取值范围，∴关于x 的不等式20ax kx c +>-的解集是31x -<<，故选C ．【点睛】本题主要考查了根据两函数的交点求不等式的解集，正确判断出二次函数开口向下是解题的关键．6.魏时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为表目距”，GC 和EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（）A.×+表高表距表目距的差表高B.×-表高表距表目距的差表高C.×+表高表距表目距的差表距D.×-表高表距表目距的差表距【答案】A【分析】根据AB DE FG ∥∥，可得,ABH EDH CFG CBA ∽∽ ，从而得到,DE EH FG CGAB AH BA CA==，进而得到EH CG AH CA =，再由比例的性质可得EH CGAE EH AE EG GC=+++，从而得到()CG EH AE EH EG -⋅=⋅，进而得到EH EGAE CG EH⋅=-，再由AH AE EH =+，可得EH EGDE AH DE EH CG EH AB DE EH EH EH⋅⋅⋅-==⋅+，即可求解．【详解】解：根据题意得：AB DE FG ∥∥，∴,ABH EDH CFG CBA ∽∽ ，∴,DE EH FG CGAB AH BA CA ==，∴EH CGAH CA=，∴EH CGAE EH AE EG GC=+++，∴CG AE CG EH EH AE EH EG EH GC ⋅+⋅=⋅+⋅+⋅，∴()CG EH AE EH EG -⋅=⋅，∴EH EGAE CG EH⋅=-，∵AH AE EH =+，∴()DE AE EH DE AH AB EH EH+⋅==DE AE DE EH EH EH ⋅⋅=+EH EGDE DE EH CG EH EH EH⋅⋅⋅-=+EH EGDE EHCG EH DE EH EH ⋅⋅-=⋅+DE EGDECG EH⋅=+-×=+表高表距表目距的差表高．故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线上24y ax ax =-的两点，下列命题正确的是（）A.若1222x x ->-，则12y y >B.若12y y >，则1222x x ->-C.若12y y =，则12x x =D.若1222x x =--，则12y y =【答案】D【分析】根据抛物线解析式可以得到抛物线的对称轴，然后在分类讨论开口方向求解．【详解】解：24y ax ax=- ∴抛物线的对称轴为直线422ax a-=-=A 、当a<0抛物线开口向下，若1222x x ->-即1x 到对称轴的距离大于2x 到对称轴的距离，则21y y >，故此项错误B 、当a<0抛物线开口向下，若12y y >说明1P 更接近对称轴，则1P 到对称轴的距离更小即1222x x -<-，故此项错误C 、当12y y =，()111,P x y ，()222,P x y 关于y 轴对称或重合，故此项错误D 、若1222x x =--，说明()111,P x y ，()222,P x y 到对称轴的距离相等，则12y y =，故此项正确故选D ．【点睛】本题考查二次函数图像的对称性及二次函数开口方向，正确理解二次函数的对称性是解题的关键．8.将空间景物用单点透视法画在平面上时，需满足以下三点：（1）空间中的直线画在纸上仍然是一条直线；（2）空间直线上点的相关位置必须和纸上所画的点的相关位置一致；（3）空间直线上的任意四个相异点的K 值和纸上所画的四个点的K 值需相同，其中K 值的定义如下：直线上任给四个有顺序的相异点1P ，2P ，3P ，4P ，如图：图中四个点所对应的K 值定义如下：14231324PP P P K PP P P ⨯=⨯；某画家依照以上原则，将空间中一直线以及直线上四个相异点1Q ，2Q ，3Q ，4Q 描绘在纸上，其中122334==Q Q Q Q Q Q ，若将纸上所画的直线视为数轴，并将线上的点用数轴上的实数来表示，则以下选项中，可能是此四点在纸上数轴表示的实数是（）A.1，2，4，8B.3，4，6，9C.1，5，8，9D.1，7，9，10【答案】D【分析】先根据题意求出K 的值，再根据数轴上的数求出K ，即可判断．【详解】设122334Q Q Q Q Q Q a ===，则143Q Q a =，13242Q Q Q Q a ==，∴1423132433224Q Q Q Q a a K Q Q Q Q a a ⨯⨯===⨯⨯．因为(81)(42)7(41)(82)9K -⨯-=≠-⨯-，所以不符合题意；因为(93)(64)4(63)(94)5K -⨯-=≠-⨯-，所以不符合题意；因为(91)(85)6(81)(95)7K -⨯-=≠-⨯-，所以不符合题意；因为(101)(97)3(91)(107)4K -⨯-==-⨯-，所以符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了实数的运算，理解题意是解题的关键．二、多项选择题（本题共12分，每小题3分）第9-12题均有四个选项，有多项符合题目要求9.如图AD 是O 的直径，CD 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P ，以下说法正确的是（）A.AP CP= B.BP OP= C.2CD OP = D.45A ∠=︒【答案】ABC【分析】利用平行四边形的性质和圆的基本性质可证BOC 和COD △均为等边三角形，得到60COD ∠=︒，60BOC ∠=︒，进而可得1302A COD ∠=∠=︒，可证D 选项错误；再利用垂径定理可证A 选项正确；通过证明OP 是ACD 的中位线，可得12OP CD =，证明C 选项正确；利用等腰三角形三线合一的性质可得12BP OP OB ==，可证B 选项正确．【详解】解： AD 是O 的直径，∴=90ACD ∠︒，∴AC CD ⊥．如图，连接OC ．四边形OBCD 是平行四边形，∴OB CD =，BC OD =，OB OCOD ==，∴OB OC BC OD CD ====，∴BOC 和COD △均为等边三角形，∴60COD ∠=︒，60BOC ∠=︒，∴1302A COD ∠=∠=︒，故D 选项错误； 四边形OBCD 是平行四边形，∴OB CD ∥，AC CD ⊥，∴AC OB ⊥，∴AP CP =，故A 选项正确；OA OD =，∴OP 是ACD 的中位线，∴12OP CD =，即2CD OP =，故C 选项正确； BOC 为等边三角形，AC OB ⊥，∴12BP OP OB ==，故B 选项正确；故选ABC ．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线的性质等，难度一般，能够综合运用上述知识是解题的关键．10.已知抛物线2y ax bx c ++＝上部分点的横坐标x 纵坐标y 对应值如表：x……﹣1123……y ……0﹣3﹣4﹣3m ……以下说法不正确的是（）A.0m =B.1a =C.方程22ax bx c -=--两个实数根为12x x ，，且12x x <，则132x --＜＜D.函数2y ax bx c ++＝与函数y x n +＝恰有两个交点，则31n -＜＜【答案】D【分析】根据表中数据和抛物线的性质，可得抛物线开口向上，对称轴是1x =，利用待定系数法即可求出1a =，再根据抛物线的性质即可进行判断．【详解】由表中数据可知抛物线对称轴为：1x =，()1,0- 和()3,m 关于1x =对称，0m ∴=，故A 正确，不符合题意；设抛物线解析式为()214y a x =--，代入()0,3-得：34a -=-，解得：1a =，故B 正确，不符合题意；()221423y x x x ∴=--=--，方程22ax bx c -=--，即2+21x x =，解得1x =-±，12x x < ，11x ∴=-132x ∴-<<-，故C 正确，不符合题意；函数22=23y ax bx c x x ++=--，图象如图，当13x -≤≤时，函数关系式为223y x x =-++，令223x x x n -++=+，则当方程无解时有两个交点，整理得：230x x n --+=，()214130n =-⨯⨯-+< ，解得：134n >，∴由图象可知，13n -<<或134n >，故D 错误，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，数值二次函数的性质是解题的关键．11.如图，正方形ABCD 中，点F 是BC 边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG ，边FG 与正方形ABCD 的对角线AC 相交于点H ，连接DG ．以下说法正确的是（）A.EAB GAD ∠=∠B.FAC GAD∽ C.DG AC⊥ D.23FG AH AC=⋅【答案】ABC【分析】根据正方形的性质及各角之间的关系可证明A 选项正确；由勾股定理及相似三角形的判定可证明B 选项正确；由各角之间的关系及垂直的性质可证明C 选项正确；证明AFH ACF ∽，由相似三角形的性质可证明D 选项错误．【详解】解： 四边形ABCD ，四边形AEFG 都是正方形，∴90EAG BAD ∠=∠=︒，45FAG AFG DAC ACB ∠=∠=∠=∠=︒，∴EAG BAG BAD BAG ∠-∠=∠-∠，∴EAB DAG ∠=∠，故A 选项正确；AF ===，AC ==，∴AF ACAG AD==， 45FAG DAC ==︒∠∠，∴FAC DAG ∠=∠，∴FAC GAD ∽ ，故B 选项正确；∴45ADG ACB ∠=∠=︒，延长DG 交AC 于点N ，45CAD ∠=︒，45ADG ∠=︒，∴90AND ∠=︒，∴DG AC ⊥，故C 选项正确；FAC HAF ∠=∠，45AFHACF ==︒∠∠，∴AFH ACF ∽，∴AH AFAF AC=，∴2AF AH AC = ，∴22·GF AH AC =，故D 选项错误；故答案为：ABC ．【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．12.n 个正整数排成一列A ：a 1，a 2，a 3，……，a n ，，每次进行以下操作之一：操作一：将其中一个数删除；操作二：将其中一个数变为更小的正整数；操作三：将其中一个数变为两个正整数，且两个正整数之和小于原来的正整数；现甲乙两人对这些数按照甲—乙—甲—乙—……的顺序轮流进行操作，规定最后操作将所有数删除的人获胜．以下说法正确的是（）A.若A ：2，3，则甲第一次操作后可以产生6种不同的结果B.若A ：2，3，若甲乙两人经过k 次操作后将所有数都删除，且上述三种操作至少各进行了一次，则b ＝1或5C.若A ：1，2，2，则甲有必胜策略D.若A ：1，2，3，则乙有必胜策略【答案】C【分析】若要进行操作三，则最大项的数值必须大于等于3；若要进行操作二，则最大项的数值必须大于等于2；进行操作二不改变数列的项数．【详解】解：A 、当甲进行操作一时，会产生2种不同的结果，:2A 或:3A ；当甲进行操作二时，会产生2种不同的结果，:1,3A 或:2,3A ；当甲进行操作三时，会产生1种不同的结果，:2,1,1A ；因此甲第一次操作后可以产生5种不同的结果，A 故错误．B 、在数列A 中，只有2a 项能进行操作三，并要求三种操作至少各进行了一次，进行操作三后，项数为3，:2,1,1A ：①第二步先进行操作一时，只能删除为1的项，此时1k =（操作三）+1（操作二）+4（操作一）=6；②第二步先进行操作二时，此时1k =（操作三）+1（操作二）+3（操作一）=5；因此或6，故B 错误．C 、根据题意可知，若数列有奇数个项，甲、乙逐个消去，最终甲执行最后一次操作；有偶数个项逐个消去，最终乙执行最后一次操作；执行操作二、操作三不影响最终结果；:1,2,2A ，为奇数项且最多可执行2（偶数）次操作二，∴能确保甲最后将所有项消除，只需保证进行偶数次操作二即可，故C 正确．D 、:1,2,3A ，为奇数项且最多可执行3（奇数）次操作二，∴能确保乙最后将所有项消除，只需保证进行奇数次操作二即可，故D 错误．故选C【点睛】本题主要考查了数列的应用和逻辑推理，属于难题．三、填空题（本题共18分，每小题3分）13.已知23a b =，则22a b a b +=-_____．【答案】2-【分析】将22a b a b +-分号上下同时除以b ，再将23a b =整体代入，即可求解．【详解】解： 23a b =，∴22223222223a a b b a a b b+++===----，故答案为：2-．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用“整体代入法”．14.以坐标原点O 为圆心，作半径为1的O ，若直线y x b =+与O 相交，则b 的取值范围是_____．【答案】b <<【分析】分别求出直线y x b =+与圆相切，且直线经过一、二、三象限时的b 的值和直线y x b =+与圆相切，且直线经过一、三、四象限时b 的值，即可确定出b 的取值范围．【详解】解：当直线y x b =+与圆相切，且直线经过一、二、三象限时，切点为B ，连接OB，当0x =时，y b =，则(0,)C b ，OC b =，当0y =时，x b =-，则(,0)A b -，OA b =，∴OA OC =，AOC ∴ 为等腰直角三角形，45OCA ∴∠=︒．直线y x b =+与圆相切，OB AC ∴⊥，OBC ∴ 为等腰直角三角形，1OB BC ∴==，OC ∴==，b ∴=同理，当直线y x b =+与圆相切，且直线经过一、三、四象限时，b =，∴若直线y x b =+与O 相交，b 的取值范围是b <<故答案为：b <<【点睛】本题主要考查直线与圆的交点问题，求出相切时b 的值是解题的关键．15.如图所示，D ，E 分别是ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE AC ∥，若:1:2BDE ADE S S = ，:ODE OAC S S = _____．【答案】1:9##19【分析】由已知得出:1:3BD BA =，利用DE AC ∥证明BDE BAC ∽ ，推出::1:3DE AC BD BA ==，再证明ODE OCA ∽ ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：:1:2BDE ADE S S = ，:1:2BD DA ∴=，:1:3BD BA ∴=．DE AC ∥，BDE BAC ∴∠=∠，BED BCA ∠=∠，BDE BAC ∴∽ ，::1:3DE AC BD BA ∴==．DE AC ∥，ODE OCA ∴∠=∠，OED OAC ∠=∠，ODE OCA ∴∽ ，:ODE OAC S S ∴= 221:31:9=．故答案为：1:9【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及其性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16.已知函数223y x x =+-，当2x a -≤≤时，函数的最小值是4-，则实数a 的取值范围是_____．【答案】1a ≥-【分析】先求出当=1x -时，二次函数有最小值4-，由此求解即可．【详解】解：∵二次函数解析式为()222314y x x x =+-=+-，10a =>，∴当=1x -时，二次函数有最小值4-，∵函数223y x x =+-，当2x a -≤≤时，函数的最小值是4-，∴1a ≥-，故答案为：1a ≥-．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出当=1x -时，二次函数有最小值4-是解题的关键．17.如图，ABC 中，AB AC =，16BC =，AD BC ⊥于点D ．6AD =，P 是半径为4的A 上一动点，连接BP ，若E 是BP 的中点，连接DE ，DE 长的最大值为_____．【答案】7【分析】连接CP ，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得CD BD =，根据三角形中位线定理可得12DE CP =，则当CP 取最大值时DE 的长最大，因此求得CP 的最大值即可．【详解】解：如图，连接CP ，AB AC =，16BC =，AD BC ⊥，∴182BD DC BC ===， E 是BP 的中点，∴DE 是BPC △的中位线，∴12DE CP =，∴当CP 取最大值时DE 的长最大，P 是半径为4的A 上一动点，∴当CP 经过圆心A 时，CP 取最大值，6AD =，8CD =，AD BC ⊥，∴10AC ===，A 的半径是4，∴CP 的最大值为10414+=，∴DE 长的最大值为7．故答案为：7．【点睛】本题考查圆外一点到圆上动点距离的最值，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等，证明12DE CP =是解题的关键．18.如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 是AD 的中点，连接BE ，点A 关于BE 的对称点为F ，连接BF 交AC 于点G ，则CG =_______．【答案】327【分析】延长BF 交CD 于H ，连接HE ，作GM BC ⊥，⊥GN CD ，根据正方形的性质和角平分线的性质，得到GM GN =，CNG △和CMG V 是等腰直角三角形，再根据轴对称的性质，利用“HL ”证明Rt DEH Rt FEH ≌，DH FH =，设DH FH x ==，利用勾股定理得到14x =，进而得到34CH =，然后利用面积法求出37GM =，最后再利用勾股定理即可求出CG 的长．【详解】解：延长BF 交CD 于H ，连接HE ，过点G 作GM BC ⊥于M ，⊥GN CD 于N ，四边形ABCD 是正方形，45ACD ACB ∴∠=∠=︒，GM BC ⊥ ，⊥GN CD ，GM GN ∴=，CNG △和CMG V 是等腰直角三角形，E 为AD 中点，AE DE ∴=，点A 关于BE 的对称点为F ，AE EF ∴=，1AB BF ==，DE EF ∴=，在Rt DEH 和Rt FEH 中，DE EF EH EH =⎧⎨=⎩，()Rt DEH Rt FEH HL ∴ ≌，DH FH ∴=，设DH FH x ==，则1CH x =-，1BH BF FH x =+=+，在 Rt CHB 中，222BH BC CH =+，()()222111x x ∴+=+-，14x ∴=，13144CH ∴=-=，CBH CGH CGB S S S =+ ，111222BC CH BC GM CH GN ∴⋅=⋅+⋅，131131124224GM GN ∴⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，37GM ∴=，在等腰Rt CMG 中，327CG =，故答案为：327．【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，求出CH 的长是解题关键．四、解答题（本题共46分，第19-21题，每题6分，第22-25题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

2015-2016学年北京市人大附中八年级上期中数学试卷一、选择题每小题3分;共30分1．下列四个图形中不是轴对称图形的是A．B．C．D．2．若分式的值为0;则x的值为A．﹣2 B．4 C．﹣2或4 D．无法确定3．在下列运算中;正确的是A．a2+a3=2a5B．a23=a6C．a6÷a2=a3D．a2 a3=a64．在直角坐标系中;点M1;2关于y轴对称的点的坐标为A．1;﹣2 B．2;﹣1 C．﹣1;2 D．﹣1;﹣25．如图;根据计算正方形ABCD的面积;可以说明下列哪个等式成立A．a+b2=a2+2ab+b2B．a﹣b2=a2﹣2ab+b2C．a+ba﹣b=a2﹣b2D．aa﹣b=a2﹣ab6．若x+n与x+2的乘积中不含x的一次项;则n的值为A．﹣2 B．2 C．0 D．17．如图;是屋架设计图的一部分;点D是斜梁AB的中点;立柱BC;DE垂直于横梁AC;AB=8m;∠A=30°;则DE等于A．1m B．2m C．3m D．4m8．如图;BD是△ABC的角平分线;DE∥BC;DE交AB于E;若AB=BC;则下列结论中错误的是A．BD⊥AC B．∠A=∠EDA C．2AD=BC D．BE=ED9．将一等腰直角三角形纸片对折后再对折;得到如图所示的图形;然后将阴影部分剪掉;把剩余部分展开后的平面图形是A．B．C．D．10．如图所示;在正五边形的对称轴直线l上找点P;使得△PCD、△PDE均为等腰三角形;则满足条件的点P有A．4个B．5个C．6个D．7个二、填空题19题后两空各1分;其余每空2分;共20分11．计算π﹣30=．12．如果分式有意义;那么的取值范围是．13．32016×2015=．14．已知x+y=7;xy=7;则x2+y2的值是．15．如图;四边形ABCD沿直线AC对折后重合;若AD=3;BC=2;则四边形ABCD周长为．16．如图;△ABC中;DE是AC的垂直平分线;△BCD和△ABC的周长分别为14和22;则AE 长为．17．如图;将正方形纸片对折;折痕为EF;展开后继续折叠;使点A落在EF上;折痕为GB;则∠AGB的度数为．18．对于数a;b;c;d;规定一种运算=ad﹣bc;如=1×﹣2﹣0×2=﹣2;那么当=27时;则x=．19．平面直角坐标系中有一点A1;1;对点A进行如下操作：第一步;作点A关于x轴的对称点A1;延长线段AA1到点A2;使得2A1A2=AA1；第二步;作点A2关于y轴的对称点A3;延长线段A2A3到点A4;使得2A3A4=A2A3；第三步;作点A4关于x轴的对称点A5;延长线段A4A5到点A6;使得2A5A6=A4A5；…则点A2的坐标为;点A2015的坐标为．若点A n的坐标恰好为4m;4n m、n均为正整数;请写出m和n的关系式．20．计算：1x4÷x2+x+6x﹣322x+y2x﹣y+3x+2y2．21．分解因式：15ax2﹣5ay229m2n﹣6mn+n．22．先化简;再求值：17a2b﹣2ab2﹣b3÷b﹣a+b3a+b;其中a=1.5;b=﹣122x+12﹣xx﹣1+x+2x﹣2;其中4x2+5x﹣1=0．23．尺规作图：请作出线段AB的垂直平分线CD;并说明作图依据．结论：作图依据：．四、解答题每小题4分;共12分24．如图;AD=BC;AC与BD相交于点E;且AC=BD;求证：AE=BE．25．列方程解应用题：如果一个正方形的边长增加4厘米;那么它的面积就增加40平方厘米;则这个正方形的边长是多少26．如图;点E为AC的中点;点D为△ABC外一点;且满足射线BD为∠ABC的平分线;∠ABC+∠ADC=180°;请判断DE和AC的位置关系;并证明．27．阅读理解应用待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为值等式时;同类项系数相等的原理确定这些系数;从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中;例如问题：因式分解x3﹣1．因为x3﹣1为三次多项式;若能因式分解;则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项故我们可以猜想x3﹣1可以分解成x3﹣1=x﹣1x2+ax+b;展开等式右边得：x3+a﹣1x2+b﹣ax﹣b;根据待定系数法原理;等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a﹣1=0;b﹣a=0;﹣b=﹣1;可以求出a=1;b=1．所以x3﹣1=x﹣1x2+x+11若x取任意值;等式x2+2x+3=x2+3﹣ax+s恒成立;则a=；2已知多项式x4+x2+1有因式x2+x+1;请用待定系数法求出该多项式的另一因式．3请判断多项式x4﹣x2+1是否能分解成的两个整系数二次多项式的乘积;并说明理由．28．已知;点D是△ABC内一点;满足AD=AC1已知∠CAD=2∠BAD;∠ABD=30°;如图1;若∠BAC=60°;∠ACB=80°;请判断BD和CD的数量关系直接写出答案2如图2;若∠ACB=2∠ABC;BD=CD;试证明∠CAD=2∠BAD．2015-2016学年北京市人大附中八年级上期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题每小题3分;共30分1．解答解：A、不是轴对称图形;正确；B、是轴对称图形;错误；C、是轴对称图形;错误；D、是轴对称图形;错误．故选A．2．解答解：由的值为0;得;解得x=4;3．解答解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变;故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘;故B正确；C、同底数幂的除法底数不变指数相减;故C错误；D、同底数幂的乘法底数不变指数相加;故D错误；故选：B．4．解答解：点M1;2关于y轴对称的点的坐标为﹣1;2;故选：C．5．解答解：根据题意得：a+b2=a2+2ab+b2;故选：A．6．解答解：∵x+nx+2=x2+2x+nx+2n=x2+2+nx+2n;又∵x+n与x+2的乘积中不含x的一次项;∴2+n=0;∴n=﹣2；故选A．7．解答解：∵点D是斜梁AB的中点;立柱BC;DE垂直于横梁AC; ∴点E是AC的中点;∴DE是直角三角形ABC的中位线;根据三角形的中位线定理得：DE=BC;又∵在Rt△ABC中;∠A=30°;故DE=BC=×4=2m;故选：B8．解答解：∵BD是△ABC的角平分线;AB=BC;∴BD⊥AC;∠A=∠C;∠EBD=∠DBC;∵DE∥BC;∴∠C=∠EDA;∠EDB=∠DBC;∴∠A=∠EDA;∠EBD=∠EDB;∴BE=ED．故选C．9．解答解：拿一张纸具体剪一剪;结果为A．故选A．10．解答解：∵P点在直线L上;∴此时PC=PD;即△PCD是等腰三角形;分为三种情况：①作DE的垂直平分线;交直线l于一点P;此时PE=PD；②以D为圆心;以DE为半径;交直线l于两点;此时DP=DE；③以E为圆心;以DE为半径;交直线l于两点;此时EP=DE；共1+2+2=5点．故选B．二、填空题19题后两空各1分;其余每空2分;共20分11．解答解：π﹣30=1;12．解答解：分式有意义;得x﹣5≠0．解得x≠5;故答案为：x≠5．13．解答解：32016×2015=3×3×2015=3．故答案为：3．14．解答解：∵x+y=7;xy=7;∴原式=x+y2﹣2xy=49﹣14=35．故答案为：35．15．解答解：∵四边形ABCD沿直线AC对折后重合;∴△ADC≌△ABC;∴AB=AD=3;BC=DC=2;∴四边形ABCD周长为：AB+BC+CD+AD=3+2+2+3=10; 故答案为：10．16．解答解：∵DE是AC的垂直平分线;∴DA=DC;由题意得;BD+DC+BC=14;AB+BC+AC=22;则AC=8;∵DE是AC的垂直平分线;∴AE=4;故答案为：4．解答解：∵将正方形纸片对折;折痕为EF;∴BF=AB;∠GAB=90°;∴∠BAF=30°;∴ABF=60°;∵展开后继续折叠;使点A落在EF上;折痕为GB;∴∠ABG=×90°﹣60°=15°;∴∠AGB=90°﹣15°=75°．故答案为：75°．18．解答解：根据运算规则：=27可化为：x+1x﹣1﹣x﹣1x+2=27;去括号得：﹣1﹣x+2=27;移项合并同类项得：x=﹣26．故填﹣26．19．解答解：由题意得;A11;﹣1;A21;﹣2;A3﹣1;﹣2;A4﹣2;﹣2;A5﹣2;2;A6﹣2;4;A72;4;A84;4;∵2015÷8=251余7;∴点A2015为第252循环组的第一象限的倒数第二个点;∴A20152504;2505;点A n的坐标恰好为4m;4n m、n均为正整数;请写出m和n的关系式m=n．故答案为：1;﹣2；2504;2505;m=n．三、解答题每小题8分;共28分解答解：1x4÷x2+x+6x﹣3=x2+x2﹣3x+6x﹣18=2x2+3x﹣18；22x+y2x﹣y+3x+2y2=4x2﹣y2+9x2+12xy+4y2=13x2+12xy+3y2．21．解答解：1原式=5ax2﹣y2=5ax+yx﹣y；2原式=n9m2﹣6m+1=n3m﹣12．22．解答解：17a2b﹣2ab2﹣b3÷b﹣a+b3a+b=7a2﹣2ab﹣b2﹣3a2﹣ab﹣3ab﹣b2=4a2﹣6ab﹣2b2;当a=1.5;b=﹣1时;原式=4×1.52﹣6×1.5×﹣1﹣2×﹣12=16；22x+12﹣xx﹣1+x+2x﹣2=4x2+4x+1﹣x2+x+x2﹣4=4x2+5x﹣3;∵4x2+5x﹣1=0;∴4x2+5x=1;∴原式=1﹣3=﹣2．23．解答解：如图;CD为所作．故答案为CD为所作;垂直平分线的性质定理的逆定理．四、解答题每小题4分;共12分解答解：在△ABC和△BAD中;∴△ABC≌△BADSSS;∴∠CAB=∠DBA;∴AE=BE．25．解答解：设这个正方形的边长为x; 根据题意得：x+42=x2+40;整理得：x2+8x+16=x2+40;移项合并得：8x=24;解得：x=3．则这个正方形的边长是3．26．解答解：∵∠ABC+∠ADC=180°; ∴∠BAC+∠BCD=180°;∴A;B;C;D四点共圆;∴∠ABD=∠ACD;∠DBC=∠DAC; ∵射线BD为∠ABC的平分线;∴∠ABD=∠CBD;∴∠DAC=∠DCA;∴△ADC为等腰三角形;∵点E为AC的中点;∴DE⊥AC三线合一．27．解答解：1∵x2+2x+3=x2+3﹣ax+s;2设x4+x2+1=x2+ax+1x2+x+1=x4+a+1x3+a+2x2+a+1x+1;a+1=0;a=﹣1;多项式的另一因式是x2﹣x+1；3能;∵设x4﹣x2+1=x2+ax+1x2+bx+1=x4+a+bx3+ab+2x2+a+bx+1;∴a+b=0;ab+2=﹣1;解得：a=或﹣;则b=﹣或;∴x4﹣x2+1=x2+x+1x2﹣x+1．28．解答解：1BD和CD的数量关系是BD=CD；理由：∵在△ABC中;∠BAC=60°;∠ACB=80°;∴∠ABC=40°;∵∠CAD=2∠BAD;∴∠CAD=40°;∠BAD=20°;又∵AD=AC;∴∠ADC=∠ACD=70°;∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=40°﹣30°=10°;∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=80°﹣70°=10°; ∴∠DBC=∠DCB;∴DB=DC；2作∠EBC=∠ACB;使EB=AC;连接ED、EA;则四边形AEBC是等腰梯形;∴AE∥BC;∴∠EAB=∠ABC;∵BD=CD;∴∠DBC=∠DCB;∴∠EBD=∠ACD;在△EBD和△ACD中∴△EBD≌△ACDSAS;∴ED=AD;∵∠ACB=2∠ABC;∠EBC=∠ACB;∴∠EBC=2∠ABC;∴∠ABE=∠ABC;∴∠EAB=∠ABE;∴BE=AE;∵AD=AC=EB;∴EA=ED=AD;∴△AED是等边三角形;∴∠EAD=60°;∴∠BAD=60°﹣∠EAB=60°﹣∠ABC;∴2∠BAD=120°﹣2∠ABC=120°﹣∠ACB;∵AE∥BC;∴∠ACB+∠EAC=180°;∴∠ACB=180°﹣∠EAC;∵∠EAC=60°+∠DAC;∴2∠BAD=120°﹣180°﹣60°﹣∠DAC=∠DAC; ∴∠DAC=2∠BAD．。

2023北京人大附中初二（上）期中数学一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．北京中轴线是指位于北京老城中心，贯穿北京老城南北，并始终决定整个北京老城城市格局的庞大建筑群体．它既是城市核心建筑群的杰出范例，也是中华文明的独特见证．下面是2021北京中轴线文化遗产传承与创新大赛“北京中轴线标志设计赛道”中的几件入选设计方案，其中主体图案（不包含文字内容）不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°3．已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．72°B．60°C．58°D．50°4．在平面直角坐标系中，点（52x轴对称的点的坐标为（）A．（5，﹣2）B．（﹣5，2）C．（2，5）D．（2，﹣5）5．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（）A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD6．等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（）A．70°B．40°C．70°或40°D．70°或55°7．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．△ABC的重心处B．AD的中点处C．A点处D．D点处8．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC与∠ABC的平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，记△ABC的周长为p，PD＝r，给出下面三个结论：①∠APB＝135°；②CD＝r；③AC•BC＝pr．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共20分，每题2分）9．（2分）下列图形中，所有具有稳定性的图形序号是．10．（2分）已知三角形的两边长分别为2和5，第三边长为x，则x的取值范围是．11．（2分）一个多边形的每一个内角都是140°，则这个多边形是边形．12．（2分）根据图中给定的条件，下列各图中可以判断∠1与∠2一定相等的是（填序号）．13．（2分）如图，已知∠ABC＝∠BCD，请你再添加一个条件，使得△ABC≌△DCB，这个条件可以是，判定全等的依据是．14．（2分）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），若再只涂黑一个小三角形，使这4个涂黑的三角形可以构成一个轴对称图形．请画出一种涂色方式并画出此时的对称轴（用虚线表示）．15．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，∠B＝2∠C，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，若AC＝8，AB＝5，则BD的长为．16．（2分）如图，AB＝AD＝DC，∠BAC＝75°，则∠ABD的度数为．17．（2分）如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，则OC的长为．18．（2分）在课堂的学习中，我们知道：在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，要在x轴上找一点P，使△AOP是等腰三角形．当点A确定时，符合题意的点P的位置及其个数m也会随之确定．那么对于所有第一象限的点A，m的所有可能值为．三、解答题（本题共56分，第19-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26-27题，每题6分，第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.19．（5分）已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组，求这个等腰三角形的周长．20．（5分）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是角平分线，AE是高，AE＝CE，∠DAE＝10°，求∠CAE 和∠B的度数．21．（5分）如图，B，C，E，F在同一条直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，BE＝CF．求证：AC＝DF．22．（5分）下面是“过直线上一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程：已知：如图，点P在直线l上．求作：直线PQ，使PQ⊥l．作法：①以点P为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于A，B两点，②分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧在直线l上方交于点Q，③作直线PQ．直线PQ即为所求的垂线．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AQ，BQ，∵根据作法，有AQ＝BQ，AP＝BP，∴PQ⊥AB，即PQ⊥l．（）（填推理的依据）23．（5分）小宇在研究“三线合一”这个结论时，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？他画出图形分析后，找到了两种解决问题的方法，请任选其中一种，帮助他完成证明．已知，如图，在△ABC 中，AD 平方∠BAC ，且点D 是BC 的中点．求证：AB ＝AC ．方法一：证明：过点D 分别作AB ，AC 的垂线，垂足分别为E ，F ．方法二：证明：延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．温馨提示：只选一种方法证明即可，如两种方法都选用的，只按方法一的证明给分．24．（6分）小宇和小明一起进行数学游戏：已知∠MON ＝90°，将等腰直角三角板△ABC 摆放在平面内，使点A 在∠MON 的内部，且两个底角顶点B ，C 分别放在边OM ，ON 上．（1）如图1，小明摆放△ABC ，恰好使得AB ⊥OM ，AC ⊥ON ，又由于△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，从而直接可以判断出点A 在∠MON 的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是 ．（2）如图2，小宇调整了△ABC 的位置，请判断OA 平分∠MON 是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为（4，3），连接AO ，点P 为x 轴上一点，且△AOP 是以AO 为底边的等腰三角形．（1）利用圆规和无刻度的直尺，作出点P ．（保留作图痕迹）（2）已知点Q 的坐标为（3，0），请判断：点P 与点Q 在位置上满足 （填序号），并证明这个判断．①点P在点Q左侧；②点P在点Q右侧；③点P与点Q重合．26．（6分）已知：点A为直线MN上一定点，点B为直线MN外一定点，∠BAN＝30°，将点B关于直线MN对称，得到点C，连接BC交直线MN于点P．点D为直线MN上一动点（不与点A重合），以BD 为边，作等边△BDE（B，D，E三点按顺时针方向排列），直线CE交直线MN于点F．（1）如图1，求证：AD＝CE，并求∠BCE的度数；（2）当点D在直线MN上运动的过程中，①下列结论：（A）AD＝CE始终成立，（B）∠BCE的度数不变，（C）点F的位置不变，（D）CF+DF＝EF始终成立．其中所有正确结论的序号是．②若线段PE长的最小值为2，则线段AB的长为．27．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），给出如下定义：若b≥0，则将点P关于y轴对称得到点Q；若b＜0，则将点P向上平移3个单位，得到点Q．称点Q为点P的“对应点”．（1）点P（3，1）的对应点Q的坐标为；（2）已知点A（m，0），B（m﹣1，3），C（m+3，﹣3），连接AB，AC，得到折线段B﹣A﹣C，①当时，如图1，请判断是否存在这样的点Q，使得点Q同时是折线段B﹣A﹣C上不同的两个点P1，P2的对应点？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（注：本问的求解过程或理由，只需图形+简要思路即可）②若折线段B﹣A﹣C上任意两点P1，P2的对应点都不相同，直接写出m的取值范围．28．（8分）已知在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB为锐角，AD是BC边上的高，在射线DA上取一点E，使DE＝DC，在平面内取一点F，使CF⊥CA，CF＝CA，且点E，F在直线BC的异侧，连接EF交BC 于点M．（1）如图1，当∠ACB＜45°时，补全图形，并证明∠FCB＝∠CAD；（2）在图1中用等式表示线段AD，AE，CM之间的数量关系，并证明；（3）设AD＝1，当∠ACB的大小变化时，若，直接写出线段CD长的取值范围．参考答案一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

2020-2021学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（3分）若式子（x﹣2）0有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＝2C．x≠0D．x＝02．（3分）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a6÷a3＝a2C．（a3）2＝a6D．（ab）3＝ab3 3．（3分）正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°4．（3分）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A+∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 5．（3分）2020年5月1日起，《北京市生活垃圾管理条例》实施，规定产生生活垃圾的单位和个人是生活垃圾分类投放的责任主体，应当按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．下列四个图案分别是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的标识．这四个图案中，是轴对称图形的是（）A．①②③④B．①③④C．①③D．只有①是6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为（）A．1B．2C．3D．47．（3分）已知a2﹣5＝2a，代数式（a﹣2）2+2（a+1）的值为（）A．﹣11B．﹣1C．1D．118．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则P A+PB的最小值是（）A．6B．8C．10D．149．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数为（）A．2B．3C．4D．510．（3分）已知点A是直线l外的一个点，点B，C，D，E是直线l上不重合的四个点，再添加①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）如图中四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：．12．（2分）计算：（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝．13．（2分）等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长是．14．（2分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做到一个测量工件内槽宽的工具（长钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测就可以了．15．（2分）如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a的长方体形状无盖纸盒，如果纸盒的容积为6a2b，底面长方形的一边长为b，则底面长方形的另一边长为．16．（2分）已知x+y＝5，xy＝2，则x2+y2的值为．17．（2分）如图，四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为cm．18．（2分）给出如下定义：点P是△ABC内部一点，如果存在过点P的直线可以将△ABC 分成面积相等的两部分，则称该点为△ABC的“中立点”，下列四个结论中：①当点P在△ABC的一条中线上时，该点为△ABC的“中立点”；②△ABC的“中立点”的个数为有限个；③△ABC的“中立点”有无数个，但不是△ABC内部所有的点；④△ABC内部所有的点都是△ABC的“中立点”．所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共49分，第19题6分，每小题6分，第20-24题，每小题6分，第25题5分，第26-28题，每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程19．（6分）计算：（1）（﹣2a）2•a3b2．（2）（x+y）（x﹣3y）+2x（y﹣x）．20．（4分）先化简，再求值：4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5），其中x＝﹣．21．（4分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，BC＝EF，AC∥DF，AC＝DF．求证：∠A＝∠D．22．（4分）下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．已知：△ABC求作：△ABC的边BC上的高AD．作法：（1）分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E；（2）作直线AE交BC边于点D．所以线段AD就是所求作的高．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接BE，CE∵BA＝．∴点B在线段AE的垂直平分线上（），（填推理的依据）同理可证，点C也在线段AE的垂直平分线上．∴BC垂直平分AE．（），（填推理的依据）∴AD是△ABC的高．23．（4分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2020年11月份的日历，我们任意用一个2×2的方框框出4个数，将其中4个位置上的数交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？（1）图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规则，结果为．（2）换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．24．（4分）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，AD为中线，求中线AD的取值范围．25．（5分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高，E是AB上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交AC于点F，连接EF，交AD于点G．（1）若AB＝6，AE＝2，求线段AF的长；（2）求证：∠AGF＝∠AED．26．（6分）已知多项式x+2与另一个多项式A的乘积为多项式B．（1）若A为关于x的一次多项式x+a，B中x的一次项系数为0，直接写出a的值；（2）若B为x3+px2+qx+2，求2p﹣q的值．（3）若A为关于x的二次多项式x2+bx+c，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，c的值；如果不可能，请说明理由．27．（6分）阅读以下材料，并解决问题：小明遇到一个问题：在平面直角坐标系xOy中，点A（1，4），B（5，2），求△OAB的面积．小明用割补法解决了此问题，如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则S△OAB＝S△OAM+S梯形AMNB﹣S△OBN＝×1×4+（2+4）（5﹣1）﹣×5×2＝9．解决问题后小明又思考，如果将问题一般化是否会有好的结论．于是它首先研究了点A，B在第一象限内的一种情形：如图，点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，y1＞y2．（1）请你帮助小明求出这种情形下△OAB的面积．（用含x1，x2，y1，y2的式子表示）（2）小明继续研究发现，只要将（1）中求得的式子再取绝对值就可以得到第一象限内任意两点A，B（点O，A，B不共线）与坐标原点O构成的三角形△OAB的面积公式，请利用此公式解决问题：已知点A（a，a+2），B（x，y）在第一象限内，探究是否存在点B，使得对于任意的a＞0，都有S△OAB＝2？若存在，求出点B的坐标；若不存在，说明理由．28．（6分）已知，线段AB及过点A的直线l，如图．线段AC与线段AB关于直线l对称，连接BC交直线l于点D，以AC为边作等边△ACE，使点E与点B在直线l同侧，连接BE并延长交直线l于点F．（1）根据题意将如图补全；（2）设∠BAD＝α（30°＜α＜60°）．①求∠ABE的度数．（用含α的式子表示）②用等式表示线段F A，FE与FD的数量关系，并证明．参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（3分）若式子（x﹣2）0有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＝2C．x≠0D．x＝0【分析】直接利用零指数幂的定义分析得出答案．【解答】解：∵式子（x﹣2）0有意义，∴实数x的取值范围是：x﹣2≠0，解得：x≠2．故选：A．【点评】此题主要考查了零指数幂的定义，正确把握相关定义是解题关键．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a6÷a3＝a2C．（a3）2＝a6D．（ab）3＝ab3【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：A．a3•a2＝a5，故本选项不合题意；B．a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；C．（a3）2＝a6，故本选项符合题意；D．（ab）3＝a3b3，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．3．（3分）正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°即可解决问题．【解答】解：多边形的内角和为（n﹣2）•180°＝（5﹣2）×180°＝540°．故选：C．【点评】本题利用多边形的内角和公式即可解决问题．4．（3分）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A+∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【分析】利用三角形内角和定理证明∠B＝∠D，再利用三角形的外角的性质判定B，C 正确即可．【解答】解：∵∠A+∠AOD+∠D＝180°，∠C+∠COB+∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD ＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A+∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选：D．【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．5．（3分）2020年5月1日起，《北京市生活垃圾管理条例》实施，规定产生生活垃圾的单位和个人是生活垃圾分类投放的责任主体，应当按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．下列四个图案分别是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的标识．这四个图案中，是轴对称图形的是（）A．①②③④B．①③④C．①③D．只有①是【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：①是轴对称图形；②不是轴对称图形；③是轴对称图形；④是轴对称图形．所以是轴对称图形的是①③④．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由BD⊥BC，推出∠CBD＝90°，所以∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，由AB＝BC，∠ABC＝120°，推出∠A＝∠C＝30°，所以∠A＝∠ABD，DB＝AD＝1，在Rt△CBD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，进而得出CD＝2BD ＝2．【解答】解：∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴DB＝AD＝1，在Rt△CBD中，∵∠C＝30°，∴CD＝2BD＝2．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形与含30度角直角三角形的性质，正确理解在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．7．（3分）已知a2﹣5＝2a，代数式（a﹣2）2+2（a+1）的值为（）A．﹣11B．﹣1C．1D．11【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a2﹣2a＝5，原式＝a2﹣4a+4+2a+2＝a2﹣2a+6＝5+6＝11故选：D．【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则P A+PB的最小值是（）A．6B．8C．10D．14【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得BE＝EC，根据两点之间线段最短即可求解．【解答】解：如图，连接BE，∵EF是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，根据两点之间线段最短，P A+PB＝P A+PC＝AC，最小，此时点P与点E重合．所以P A+PB的最小值即为AC的长，为8．所以P A+PB的最小值为8．故选：B．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质．9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】以O为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有2个交点，再以A为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有1个交点，然后再作AO的垂直平分线可得与x轴有1个交点．【解答】解：如图所示：点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数共4个，故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．10．（3分）已知点A是直线l外的一个点，点B，C，D，E是直线l上不重合的四个点，再添加①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】写出所组成的三个命题，然后根据等腰三角形的判断与性质对各命题进行判断．【解答】解：命题1：若AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE，此命题为真命题；命题2：若AB＝AC，BD＝CE，则AD＝AE，此命题为假命题；命题3：若AD＝AE，BD＝CE，则AB＝AC，此命题为假命题．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）如图中四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：am+bm+cm＝m （a+b+c）．【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式即可．【解答】解：由题意可得：am+bm+cm＝m（a+b+c）．故答案为：am+bm+cm＝m（a+b+c）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确利用矩形面积求出是解题关键．12．（2分）计算：（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝4a2﹣2a+1．【分析】根据多项式除单项式的法则，先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，直接计算即可．【解答】解：（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝4a2﹣2a+1．故填：4a2﹣2a+1．【点评】本题主要考查多项式除单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．13．（2分）等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长是18或21．【分析】分5是腰长和底边长两种情况讨论求解．【解答】解：5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、8，能组成三角形，周长＝5+5+8＝18，5是底边长时，三角形的三边分别为5、8、8，能组成三角形，周长＝5+8+8＝21，综上所述，这个等腰三角形的周长是18或21．故答案为：18或21．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．14．（2分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做到一个测量工件内槽宽的工具（长钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测A'B'就可以了．【分析】让我们了解测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一SAS，只需要测量易测量的边A'B'上．测量方案的操作性强．【解答】解：答：只要测量A'B'．理由：连接AB，A'B'，如图，∵点O分别是AC、BB'的中点，∴OA＝OA'，OB＝OB'．在△AOB和△A'OB'中，OA＝OA'，∠AOB＝∠A'OB'（对顶角相等），OB＝OB'，∴△AOB≌△A'OB'（SAS）．∴A'B'＝AB．答：需要测量A'B'的长度，即为工件内槽宽AB，故答案为：A'B'【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．15．（2分）如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a的长方体形状无盖纸盒，如果纸盒的容积为6a2b，底面长方形的一边长为b，则底面长方形的另一边长为6a．【分析】用容积除以高得到底面长方形的面积，再除以底面长方形的一边长为b，可得底面长方形的另一边长．【解答】解：6a26÷a÷b＝6a．则底面长方形的另一边长为6a．故答案为：6a．【点评】本题主要考查了整式的除法的应用，正确使用长方体的体积公式是解题的关键．16．（2分）已知x+y＝5，xy＝2，则x2+y2的值为21．【分析】将x2+y2变形为（x+y）2﹣2xy，然后将x+y＝5，xy＝2代入求解即可．【解答】解：∵x+y＝5，xy＝2，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×2＝25﹣4＝21．故答案为：21．【点评】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．17．（2分）如图，四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为13cm．【分析】过C作CE⊥AD的延长线于点E，由条件可证△AEC≌△AMC，得到AE＝AM．证明△ECD≌△MBC，由全等的性质可得DE＝MB，BC＝CD，则问题可得解．【解答】解：过C作CE⊥AD的延长线于点E，∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠MAC，∵CE⊥AD，CM⊥AB，∴∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，在Rt△AEC和Rt△AMC中，，∴Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），∴AE＝AM＝4cm，∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠MBC，在△EDC和△MBC中，，∴△EDC≌△MBC（AAS），∴ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，∴四边形ABCD的周长为AB+AD+BC+CD＝AM+BM+AE﹣DE+2BC＝2AM+2BC＝8+5＝13（cm）．故答案为：13．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握常用的判定方法为：SAS，SSS，AAS，ASA是解决问题的关键．18．（2分）给出如下定义：点P是△ABC内部一点，如果存在过点P的直线可以将△ABC 分成面积相等的两部分，则称该点为△ABC的“中立点”，下列四个结论中：①当点P在△ABC的一条中线上时，该点为△ABC的“中立点”；②△ABC的“中立点”的个数为有限个；③△ABC的“中立点”有无数个，但不是△ABC内部所有的点；④△ABC内部所有的点都是△ABC的“中立点”．所有正确结论的序号是①④．【分析】对于结论①②，根据三角形的中线平分三角形的面积可判断；对于结论③④，根据△ABC的“中立点”的定义可判断．【解答】解：①∵三角形的中线平分三角形的面积，∴当点P在△ABC的一条中线上时，该点为△ABC的“中立点”；故结论①正确；②由①可知：三角形三条中线上的点（除顶点外）都是△ABC的“中立点”，所以△ABC的“中立点”的个数为无限个；故结论②错误；③根据②可知：△ABC的“中立点”有无数个，是△ABC内部所有的点；故结论③错误；④△ABC内部所有的点都是△ABC的“中立点”．故结论④正确．综上所述，正确的结论是：①④．故答案为：①④．【点评】本题考查三角形面积的运用和△ABC的“中立点”的理解和运用，需仔细分析题意，利用所给结论，结合三角形中线平分三角形面积即可解决问题．三、解答题（本大题共49分，第19题6分，每小题6分，第20-24题，每小题6分，第25题5分，第26-28题，每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程19．（6分）计算：（1）（﹣2a）2•a3b2．（2）（x+y）（x﹣3y）+2x（y﹣x）．【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法即可；（2）先利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝4a2•a3b2＝4a5b2；（2）原式＝x2﹣3xy+xy﹣3y2+2xy﹣2x2＝﹣x2﹣3y2．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．20．（4分）先化简，再求值：4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5），其中x＝﹣．【分析】直接利用整式的混合运算法则计算进而把已知代入得出答案．【解答】解：原式＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣25）＝4x2+8x+4﹣4x2+25＝8x+29，当x＝﹣时，原式＝8×（﹣）+29＝22．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．21．（4分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，BC＝EF，AC∥DF，AC＝DF．求证：∠A＝∠D．【分析】由平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，根据SAS可得出结论．【解答】证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠A＝∠D．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．22．（4分）下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．已知：△ABC求作：△ABC的边BC上的高AD．作法：（1）分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E；（2）作直线AE交BC边于点D．所以线段AD就是所求作的高．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接BE，CE∵BA＝BE．∴点B在线段AE的垂直平分线上（与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），（填推理的依据）同理可证，点C也在线段AE的垂直平分线上．∴BC垂直平分AE．（两点确定一条直线），（填推理的依据）∴AD是△ABC的高．【分析】（1）利用几何语言画出对应的几何图形；（2）利用作法得到BA＝BE，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理得到点B、点C也在线段AE的垂直平分线上，从而得到BC垂直平分AE．【解答】解：（1）如图，AD为所作；（2）连接BE，CE，如图，∵BA＝BE，∴点B在线段AE的垂直平分线上（与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），同理可证，点C也在线段AE的垂直平分线上．∴BC垂直平分AE（两点确定一条直线），∴AD是△ABC的高．故答案为BE；与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．23．（4分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2020年11月份的日历，我们任意用一个2×2的方框框出4个数，将其中4个位置上的数交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？（1）图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规则，结果为7．（2）换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．【分析】（1）根据题意列出算式10×4﹣3×11，再进一步计算即可；（2）设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，列出算式（a+1）（a+7）﹣a（a+8），再进一步计算即可得．【解答】解：（1）10×4﹣3×11＝40﹣33＝7，故答案为：7；（2）设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，则（a+1）（a+7）﹣a（a+8）＝a2+8a+7﹣a2﹣8a＝7．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．24．（4分）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，AD为中线，求中线AD的取值范围．【分析】延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，证明△ABD≌△CDE（SAS），得出AB ＝EC＝4，由三角形三边关系可得出答案．【解答】解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，∵AD是中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝EC＝4，在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，∴4﹣3＜2AD＜4+3，∴1＜2AD＜7，∴．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．25．（5分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高，E是AB上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交AC于点F，连接EF，交AD于点G．（1）若AB＝6，AE＝2，求线段AF的长；（2）求证：∠AGF＝∠AED．【分析】（1）证△ADE≌△CDF（ASA），得AE＝CF＝2，即可得出答案；（2）由全等三角形的性质得DE＝DF，则△DEF是等腰直角三角形，得∠DEF＝∠DFE＝45°，再由三角形的外角性质即可得出结论．【解答】（1）解：∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高，∴BD＝CD＝AD＝BC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF＝2，∵AC＝AB＝6，∴AF＝AC﹣CF＝6﹣2＝4；（2）证明：由（1）得：△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，又∵∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∵∠AGF＝∠DAE+∠AEG＝45°+∠AEG，∠AED＝∠DEF+∠AEG＝45°+∠AEG，∴∠AGF＝∠AED．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．26．（6分）已知多项式x+2与另一个多项式A的乘积为多项式B．（1）若A为关于x的一次多项式x+a，B中x的一次项系数为0，直接写出a的值；（2）若B为x3+px2+qx+2，求2p﹣q的值．（3）若A为关于x的二次多项式x2+bx+c，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，c的值；如果不可能，请说明理由．【分析】（1）根据题意列出B＝（x+2）（x+a）＝x2+（a+2）x+2a，根据B中x的一次项系数为0，进而可得a的值；（2）根据B为x3+px2+qx+2，可以设A为x2+tx+1，根据多项式x+2与另一个多项式A的乘积为多项式B，即可用含t的式子表示出p和q，进而可得2p﹣q的值；（3）根据A为关于x的二次多项式x2+bx+c，可得b，c不能同时为0，分两种情况：当c＝0时，B＝x3+（b+2）x2+2bx，当c≠0时，B＝x3+（b+2）x2+（2b+c）x+2c．可得b 和c的值．【解答】解：（1）根据题意可知：B＝（x+2）（x+a）＝x2+（a+2）x+2a，∵B中x的一次项系数为0，∴a+2＝0，解得a＝﹣2．（2）设A为x2+tx+1，则（x+2）（x2+tx+1）＝x3+px2+qx+2，∴，∴2p﹣q＝2（t+2）﹣（2t+1）＝3；（3）B可能为关于x的三次二项式，理由如下：∵A为关于x的二次多项式x2+bx+c，∴b，c不能同时为0，∵B＝（x+2）（x2+bx+c）＝x3+（b+2）x2+（2b+c）x+2c．当c＝0时，B＝x3+（b+2）x2+2bx，∵b不能为0，∴只能当b+2＝0，即b＝﹣2时，B为三次二项式，为x3﹣4x；当c≠0时，B＝x3+（b+2）x2+（2b+c）x+2c．只有当，即时，B为三次二项式，为x3+8．综上所述：当或时，B为三次二项式．【点评】本题考查了多项式乘多项式、整式的加减，解决本题的关键是掌握整式的加减．27．（6分）阅读以下材料，并解决问题：小明遇到一个问题：在平面直角坐标系xOy中，点A（1，4），B（5，2），求△OAB的面积．小明用割补法解决了此问题，如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则S△OAB＝S△OAM+S梯形AMNB﹣S△OBN＝×1×4+（2+4）（5﹣1）﹣×5×2＝9．解决问题后小明又思考，如果将问题一般化是否会有好的结论．于是它首先研究了点A，B在第一象限内的一种情形：如图，点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，y1＞y2．（1）请你帮助小明求出这种情形下△OAB的面积．（用含x1，x2，y1，y2的式子表示）（2）小明继续研究发现，只要将（1）中求得的式子再取绝对值就可以得到第一象限内任意两点A，B（点O，A，B不共线）与坐标原点O构成的三角形△OAB的面积公式，请利用此公式解决问题：已知点A（a，a+2），B（x，y）在第一象限内，探究是否存在点B，使得对于任意的a＞0，都有S△OAB＝2？若存在，求出点B的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由S△OAB＝S△AOM+S梯形AMNBA﹣S△OBN即可求解；（2）由（1）知，S△OAB＝|x2y1﹣x1y2|，而对于任意的a＞0都有S△OAB＝2，则|x（a+2）﹣ay|＝2，即可求解．【解答】解：（1）S△OAB＝S△AOM+S梯形AMNBA﹣S△OBN＝x1y1+（y2+y1）（x2﹣x1）﹣x2y2＝（x2y1﹣x1y2）；（2）存在，理由：由（1）知，S△OAB＝|x2y1﹣x1y2|，∵对于任意的a＞0都有S△OAB＝2，其中A（a，a+2），B（x，y）（x＞0，y＞0），即|x（a+2）﹣ay|＝2，即（x﹣y）a＝4﹣2x或﹣4﹣2x，∴，解得，∵点B在第一象限，故点B（2，2）．【点评】本题为四边形综合题，主要考查的是用割补法求面积，这种阅读型题目，通常按照题设的顺序求解，一般容易解答．28．（6分）已知，线段AB及过点A的直线l，如图．线段AC与线段AB关于直线l对称，连接BC交直线l于点D，以AC为边作等边△ACE，使点E与点B在直线l同侧，连接BE并延长交直线l于点F．（1）根据题意将如图补全；（2）设∠BAD＝α（30°＜α＜60°）．①求∠ABE的度数．（用含α的式子表示）②用等式表示线段F A，FE与FD的数量关系，并证明．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）①利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．②结论：F A＝EF+2DF．在F A上截取FG，使得FG＝EF，连接EG，FC．证明△AEG≌△CEF（SAS），推出AG＝CF，推出F A＝FG+AG＝FG+CF，再证明∠DCF＝30°，推出CF＝2DF，可得结论．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）①∵线段AC与线段AB关于直线l对称，∴AC＝AB，AD垂直平分线段BC，∴∠CAD＝∠BAD＝α，∵△ACE是等边三角形，∴AC＝AE＝CE，∠EAC＝∠AEC＝60°，∴AB＝AE，∠BAE＝2α﹣60°，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣2α+60°）＝120°﹣α．②结论：F A＝EF+2DF．理由：在F A上截取FG，使得FG＝EF，连接EG，FC．∵∠ABE＝120°﹣α，∠BAD＝α，∴∠AFB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAD＝60°，∵FG＝EF，∴△EFG是等边三角形，∴EG＝EF＝FG，∠GEF＝60°，∴∠AEC＝∠GEF，∴∠AEG＝∠CEF，在△AEG和△CEF中，，∴△AEG≌△CEF（SAS），∴AG＝CF，∴F A＝FG+AG＝FG+CF，∵AD垂直平分BC，∴FC＝FB，∠CDF＝90°，∴∠CFB＝∠ADB＝60°，∴∠FCD＝30°，∴FC＝2FD，∴F A＝EF+2FD．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。