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无穷级数P127-练习1判别下列级数的敛散性：1．312ln n nn∞=∑；【解】321454ln ln lim lim 01→∞→∞==n n nnnnn，而级数5141∞=∑n n收敛（54p =的p -级数），则由正项级数的极限形式的比较判别法知312ln n nn∞=∑收敛.2．21sin2n n n π∞=∑．【解】因为22sin 22ππ≤n n n n ，由于2112(1)12lim lim 122n n n n nnn un u p p ++®¥®¥+==<，故由正项级数的比值判别法知级数212π∞=∑n n n 收敛.再由正项级数的比较判别法知21sin2nn n π∞=∑收敛，且为绝对收敛.P128-练习2设常数0,a >试判别级数1(1)(1cos nn a n ∞=−−∑是条件收敛还是绝对收敛．（1992）【解】2111(1)(1cos )(1cos )2sin 2nn n n a a a n n n ∞∞∞===−−=−=∑∑∑，因为正项级数212n a n ∞=⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑收敛，而22sin 22a a n n ⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠，所以正项级数211(1cos 2sin 2n n a a n n ∞∞==−=∑∑收敛，从而级数1(1)(1cos )nn an ∞=−−∑绝对收敛.P129-练习3设正项级数1n n a ∞=∑收敛，且常数(0,)2πλ∈，则21(1)(tan )n n n n a n λ∞=−∑（）．（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）收敛性与λ有关【解】因正项级数1nn a∞=∑收敛，所以21nn a∞=∑也收敛.又22tan lim lim tan ,0nn n n n a n n a n ll l l ®¥®¥==>，故由正项级数的极限形式的比较判别法知21(1)(tan n n n n a n λ∞=−∑是绝对收敛的.选（A ）P130-练习4设级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，且n n n a c b ≤≤，证明：级数1nn c∞=∑收敛．【证明】由0n n n n n n n a c b c a b a ≤≤⇒≤−≤−,故级数11(),()nn nn n n ba ca ∞∞==−−∑∑均为正项级数.因为级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则1()nn n ba ∞=−∑收敛，由正项级数的比较判别法知1()n n n c a ∞=−∑收敛，又由于级数()11()n nn n n n c ac a ∞∞===+−∑∑，则由性质知级数1n n c ∞=∑收敛．P133-练习5求幂级数121(1)21n n n x n -¥=--å的收敛域及和函数．（2010）【解】易求得级数的收敛半径1R =，且在1x =±时级数均收敛，故收敛域为[1,1]−；当()1,1x ∈−时，设11221111(1)(1)()()2121n n n n n n S x x x x xS x n n --¥¥-==--===--åå，其中12111(1)()21n n n S x xn -¥-=-=-å，而1211221200011(1)1()(1)arctan 211n xx x n n n n n S x x dx x dx dx x n x -¥¥---==¢æöæö-÷÷çç÷==-==÷çç÷÷ç÷ç-+èøèøååòòò，故1()()arctan ,[1,1]S x xS x x x ==-。
第十二章 无穷级数练习1.判别下列级数的敛散性：212111111!21sin ;ln(1);;()32n n n n n n n n n n n n ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？211(1)[3n n n n ∞-=-+∑； 21cos 3nn n n ∞=∑；1(1)n n ∞-=-∑。
3.求幂级数0nn ∞=的收敛区间。
4.证明级数1!nnn n x n∞=∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。
注：数列nn nx )11(+=单调增加，且e x n n =∞→lim 。
5.在区间(1,1)-求幂级数 11n n x n +∞=∑ 的和函数。
6.求级数∑∞=-222)1(1n nn 的和。
7.设11112,()2n n na a a a +==+ （1,2,n =）证明1）lim n n a →∞存在； 2）级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛。
8.设40tan n n a xdx π=⎰，1） 求211()n n n a a n∞+=+∑的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1nn a nλ∞=∑收敛。
9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞=-1)1(n n na 发散，试问∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111n nn a 是否收敛？并说明理由。
10.已知222111358π+++=[参见教材246页]，计算1011ln 1x dx x x+-⎛⎜⎠。
无穷级数例题选解1.判别下列级数的敛散性：212111111!21sin ;ln(1);;()32n nn n n n n n n n n n ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑解：1）2211sin n n < ，而∑∞=121n n 收敛，由比较审敛法知 ∑∞=121sin n n 收敛。
2）)(1~)11ln(∞→+n n n ，而∑∞=11n n发散，由比较审敛法的极限形式知 ∑∞=+1)11ln(n n 发散。
第十二章无穷级数练习题含答案第十二章无穷级数练习1.判断下列数列的收敛性和发散性：n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n?);?n?1n!n?;n?n?1(2n?13n?2)2n?12.判断下列序列是绝对收敛、条件收敛还是发散？（？1）n？1n？1n1；[n？]3n2??n?1ncosn3n2?；N1（？1）n？11n？lnn3.求幂级数?n?0(x?1)nn?1的收敛区间。
4.证明系列？N1n！NNX何时|x |？当e是绝对收敛时，当| x |？E.1n）处的散度单调增加，而limxn？En??nn注：数列xn?(1?5.找出区间（？1,1）中的幂级数n?1xn?1n的和函数。
6.找到这个系列吗？N21（n？1）和22 n。
一7.设a1?2,an?1?12(an?1an)（n?1,2,?）证明1）利曼存在；2）连续剧？（n？Anan？1？1）收敛。
n?18.设定一个？？40? ntanxdx1）求?n?11n(an?an?2)的值；2）验证：对于任何常数？？0系列？N1安？汇聚19.设正项数列{an}单调减少，且?(?1)nan发散，试问a?1?是否收敛？并说明理N1.N1n拜拜。
1211??11?xlndx。
10.已知1?2?2[参见教材246页]，计算??1?x3580x。
二无穷级数例题选解1.判断下列数列的收敛性和发散性：n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n21n?);n?1n!n2?;n?n?1(2n?13n?2)2n?1解决方案：1）？sin1n2和N11n收敛，由比较审敛法知2）?ln(1?1n?n?1sin1n2收敛。
)~ 1n（n？？）和N1.1n散度，由比较审敛法的极限形式知联合国？1un？N1ln（1？1n）散度。
n3）??lim?nlim(n?1)!(n?1)n?1?n??1?nlim，NN1n！Ennn？？知识收敛比1n1n!n2收敛。
14）?? 林恩？？un4？2n？1.2n？1.N林N3n？29 3n？2.2n？1.2n？1.汇聚1.从根值收敛法，我们可以知道3n？2.N1.2.判断下列序列是绝对收敛、条件收敛还是发散？N1（？1）n？1n1；[n？]3n?n?12??n?1ncosn3n2?；N1（？1）n？11n？lnn解：1）对于级数?(?1)n?1n32n，N1人？？林？|联合国？1 | | un | n？1n13.知道进展情况吗？（？1）n？1.N32n绝对收敛，n1[n?]条件收敛。
第十二章 无穷级数单元测试题一、判断题1、。
收敛，则3)3(lim 21=+-∞→∞=∑n n n n n u u u 〔 〕 2、假设正项级数∑∞=1n nu 收敛，则∑∞=12n n u 也收敛。
〔 〕 3、假设正项级数∑∞=1n n u 发散，则。
1lim 1>=+∞→r u u nn n 〔 〕 4、假设∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 都收敛，则nn n v u ∑∞=1绝对收敛。
〔 〕 5、假设幂级数n n n x a )23(1-∑∞=在x=0处收敛，则在x=5处必收敛。
〔 〕 6、已知nn n x a ∑∞=1的收敛半径为R ，则n n n x a 21∑∞=的收敛半径为R 。
〔 〕 7、n n n x a ∑∞=1和nn n x b ∑∞=1的收敛半径分别为b a R R ,，则n n n n x b a ∑∞=+1)(的收敛半径为 ),min(b a R R R =。
〔 〕8、函数f(x)在x=0处的泰勒级数...!2)0(!1)0()0(2+''+'+x f x f f 必收敛于f(x)。
〔 〕 9、f(x)的傅里叶级数，每次只能单独求0a ，但不能求出n a 后， 令n=0得0a 。
〔 〕10、f(x)是以π2为周期的函数，并满足狄利克雷条件，n a 〔n=0,1,2,...〕, n b 〔n=1,2,...)是f(x)的傅里叶系数，则必有)sin cos (2)(10nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=。
〔 〕 二、选择题1、以下级数中不收敛的是〔 〕 A ∑∞=+1)11ln(n n B ∑∞=131n n C ∑∞=+1)2(1n n n D ∑∞=-+14)1(3n n n n2、以下级数中，收敛的是〔 〕 A ∑∞=--11)1(n n n ； B ∑∞=+-1232)1(n n n n ； C ∑∞=+115n n ； D ∑∞=-+1231n n n ．3、判断∑∞=+1111n n n 的收敛性，以下说法正确的选项是〔 〕A 因为 011>+n ，所以此级数收敛B 因为01lim 11=+∞→n n n ，所以此级数收敛 C 因为nn n 1111>+，所以此级数发散。
1第十二章 无穷级数第一节 常数项级数的概念与性质1．填空： （1）1+1(-1)n n n -．（2）__0__．（3）111+-n ， _1_． （4）11+-n a a ，1a a -．（5） 收敛 ，12-s u ．（6） 发散_． 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和：（1）解：级数的部分和为...n s +++1-．因为lim 1)n n n s →∞→∞=-=+∞，即部分和数列不存在极限，所以原级数发散． （2）解：将级数的一般项进行分解得211111()(1)(1)2111n u n n n n n ===-+--+-， 所以，级数的部分和为111111111[()+()()...()]213243511n s n n =--+-++--+1111(1)221n n =+--+． 因为11113lim lim (1)2214n n n s n n →∞→∞=+--=+， 即部分和数列存在极限，且极限值为34，根据定义可得，原级数收敛，且收敛于34．（3）解： 因为lim lim sin 6n n n n u π→∞→∞=不存在，根据收敛级数的必要性条件可知，级数的一般项极限不为零，则原级数必定发散．3．判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和： （1）解：这是一个公比为34-的等比级数，因为314-<，所以收敛．其和为13343171()4u s q-===----． （2）解：这是公比为32-的等比级数，因为3>12-，所以发散．（3）解：因为1lim lim=0100+1100n n n n u n →∞→∞=≠，根据收敛级数的2必要性条件可知，原级数发散． （4）解：因为级数123nnn ∞=∑是公比为23的等比级数，所以收敛，而级数1131=3n n n n∞∞==∑∑是发散级数，根据收敛级数的性质可知，原级数发散．（5）解：原级数的一般项ln (1)-ln n u n n =+，所以原级数的部分和(ln 2-ln1)(ln 3-ln 2)...[(ln(1)-ln ]n s n n =++++ln(1)-ln1ln(1)n n =+=+，因为lim limln(1)n n n s n →∞→∞=+不存在，所以原级数发散．（6）解：原级数变形为111[()()]32n n n ∞=+∑，因为级数11()3nn ∞=∑和11()2n n ∞=∑均为公比1q <的等比级数，所以原级数收敛． 其和为113321121132s =+=--．（7）解：因为313lim =3lim()3lim011+(1+)(1+)n nn n n n nn n n e n n→∞→∞→∞==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．第二节 常数项级数的审敛法1．填空： （1） 收敛 ．（2） 发散 ； 收敛 ；可能收敛也可能发散 ． （3）1k <；1k >时，1k =．（4）1p >；1p ≤时．（5）发散 ． （6）可能发散也可能收敛 ． 2．选择：（1）D ．（2）C ．（3）B ．（4）C ．3．用比较审敛法及其极限形式判断下列级数的敛散性：（1）解：因为222+1++2lim lim 11+2n n n n n n n n→∞→∞==，而级数11n n∞=∑发散，根据比较审敛法的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定发散．（2）解：因为2211(1)(21)limlim 1(1)(21)2n n n n n n n n →∞→∞++==++，而3 级数211n n∞=∑收敛，根据比较审敛的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定收敛．（3）解：因为0sin 22n n ππ≤≤，而12n n π∞=∑是公比为12的等比级数，根据比较审敛法，原级数一定收敛．（4）解：当>1a 时，110<1n na a ≤+而11n n a∞=∑是公比为1<1a 的等比级数，根据比较审敛法，级数111nn a ∞=+∑一定收敛； 当0<1a <时，因为1lim=101nn a →∞≠+，根据级数收敛的必要性条件，级数111nn a ∞=+∑发散； 当=1a 时，原级数即112n ∞=∑，发散． （5*）解：因为ln (1+)(0,1)x x x x <≠-<<+∞，所以111ln =ln(1+)n n n n +<，即原级数为正项级数； 同时，111ln =ln ln(1)111n n n n n n +-=-->+++， 则：21111110<ln 1(1)n n n n n n n n+-<-=<++， 而211n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛． 4．用比值审敛法判断下列级数的敛散性：（1）解：2+122(1)1113lim lim(1)1333n n n nn n n →∞→∞+=+=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（2）解：135(2+1)2+1(+1)!limlim 2>1135(21)+1!n n n n n n n n →∞→∞⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅-，根据比值审敛法，原级数发散．4（3）解：+2+2+1+1(+1)tan+1122limlim 12tan 22n n n n n n n n n n ππππ→∞→∞=⋅=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（4）解：1+12(1)!12(+1)lim 2lim()2lim <1112!(1+)n n n n n n n nnn n n n e n n n +→∞→∞→∞+===+， 根据比值审敛法，原级数收敛．5．用根值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）解：1lim 12+12n n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛． （2）解：1lim 01ln(+1)n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛． （3）解：n b a， 当1ba<，即>a b 时，原级数收敛； 当>1ba ，即ab <时，原级数发散； 当1ba=，即=a b 时，原级数可能收敛也可能发散． 6．判别下列级数的敛散性： （1）解：10n n ==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．（2）解：原级数显然为正项级数，根据比较审敛法的极限形式，111lim =lim 1n n na b b aa n n→∞→∞+=+，所以原级数发散． （3）解：因为11lim 1>122nn n e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以原级数发散．7．判别级数的敛散性，若收敛，指出条件收敛还是绝对收敛： （1）解：因为11111(1)=33n n n n n n n ∞∞---==-∑∑，而1+11+113lim =lim <1333n n n n n n n n →∞→∞-=，所以级数113n n n ∞-=∑收敛，5因此原级数绝对收敛．（2）解：因为22(21)(21)cos 22n nn n n π++≤，又因为： 22+122(23)(23)12lim =lim 12(21)2(21)2n n n nn n n n →∞→∞++=<++，所以级数21(21)2nn n ∞=+∑收敛，因此原级数绝对收敛． （3）解：级数的一般项为：11(1)(1)10n n n u -=-+，因为1lim||lim(1)1010n n n n u →∞→∞=+=≠，所以原级数的一般项不趋近 于0，原级数发散． （4*）解：这是一个交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑，因为级数1n ∞=-∑发散（见第一节习题2（1）），所以原级数不是绝对收敛，又因为：0n n =，1n n u u +-=---==-，根据莱布尼兹定理可知，原级数收敛且是条件收敛．8*．解：先讨论0x >的情形． 当=1x 时，级数为112n ∞=∑，显然发散；当0<<1x 时，级数为正项级数，利用比值审敛法，1221+122221lim =lim lim 111n n n n n n n n n n nu x x x x x u x x x ++++→∞→∞→∞++⋅==<++， 所以此时级数211+n nn x x ∞=∑收敛且是绝对收敛； 当1x >时，同样利用比值审敛法，2121+12222111lim =lim lim1111n n n n n n n nn u x x x x u x x x +++→∞→∞→∞+++==<++，6 所以此时级数211+nnn x x∞=∑收敛且是绝对收敛； 再看<0x 的情形．当1x =-，级数为1(1)2nn ∞=-∑，显然发散；当10x -<<和1x <-时，级数为21()(1)1nn n n x x ∞=--+∑，这是一个交错级数，对其一般项取绝对值得到正项级数21()1nnn x x ∞=-+∑，按照同样的方法可知21()1nnn x x∞=-+∑收敛，也即原级数绝对收敛； 而当0x =时，级数显然收敛且绝对收敛；综合得，原级数在1x =±时发散，其他均为绝对收敛． 9*．证明：设111(1)n n n a S ∞-=-=∑，若∑∞=-112n n a 收敛，设2121n n aS ∞-==∑，则122121111(1)n n n n n n n a a a S S ∞∞∞--====--=-∑∑∑，即21nn a∞=∑收敛，所以22-111(+)nn n n n aa a ∞∞===∑∑收敛，与11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛矛盾，所以∑∞=-112n n a 发散．因为11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛，所以∑∞=1n n a 发散．10*证明：因为222||0nnn n a b a b +≥≥，所以∑∞=1n nnba 收敛；因为2220()2||n n n nn n a b a b a b ≤+≤++，所以∑∞=+12)(n n nb a收敛；令1n b n =，因为∑∞=12n n b 收敛，所以∑∞=1n n n b a 收敛，即∑∞=1n n na 收敛．第三节 幂级数1．填空：（1）绝对收敛 ； 绝对收敛 ．（2）1ρ；+∞；_0_．（3）_1_，7 (-1,1)．（4）12=R R ；(5) (),R R -．2．选择：（1）B ．（2）B ． （3）A ． （4）C ． （5*）B （提示：令=1y x -，则1111(1)n n n n n n na x na y ∞∞++==-=∑∑21211=()n n n n n n yna yy a y ∞∞-=='=∑∑）．（6）B ．（7）D ．3． 求下列幂级数的收敛域：（1）解：因为+11=lim lim 02(1)n n n na a n ρ→∞→∞==+，收敛半径为R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞．（2）解：因为12121(1)(1)limlim 11(1)n n n n n na n a nρ++→∞→∞-+===-， 所以收敛半径1R =，收敛区间为(1,1)-；当1x =时，级数为211(1)nn n ∞=-∑，这是一个绝对收敛级数； 当1x =-时，级数为211n n∞=∑，这是一个收敛的正项级数； 综合得原级数的收敛域为[1,1]-．（3）解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=， 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛，当1x =时，11(1)(1)12121n n n n n n ∞∞==--=--∑∑，级数发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，所以原级数的收敛域为(1,2]．（4）解：这是一个缺奇次项的幂级数，直接使用比值审敛法得：1()lim ()n n n nu x u x +→∞=2222n x x =⋅=，8 所以当22<1x，即x <<时，级数绝对收敛；当22>1x时，即x >或<x -时，原级数发散；当x =时，级数为1n ∞=∑，发散；当x =时，级数为21(1)nn ∞=--∑，发散（见第一节习题2（1））；所以，级数的收敛域为(-．（5*）解：因为+111111+231=limlim 111123n n n na n n a nρ→∞→∞+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+11lim(1)111123n n n→∞+=++++⋅⋅⋅+，因为正项级数11n n ∞=∑发散，因此111lim(1)23n n →∞+++⋅⋅⋅+=+∞，所以上述的=1ρ，即级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-．当1x =±时，级数为∑∞=+⋅⋅⋅+++1)131211(n n x n，因为 111=1()23n u n n+++⋅⋅⋅+→∞→∞， 所以发散，综合得原级数的收敛域为(1,1)-． 4．求下列幂级数的收敛域与和函数：（1）解：先求收敛域：利用比值审敛法可得454141()45lim lim =()41n n n n n nx u x n x u x x n +++→∞→∞+=+， 因此，当41x <，即||1x <时，级数收敛； 当1x =时，级数为141n n ∞=+∑，发散；当1x =-时，级数为1()41n n ∞=-+∑，发散，所以级数的收敛域为(1,1)-．9为求和函数，令410()=41n n x s x n +∞=+∑，两端同时求导得：4141440001()==,(1,1)41411-n n n n n n x x s x x x n n x ++∞∞∞===''⎛⎫⎛⎫'==∈- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑再两端同时积分得：400111+1()(0)=()==ln arctan 4121-xxx s x s s x dx dx x x x '-+-⎰⎰， 显然(0)=0s ，所以原级数的和函数为11+1()=ln arctan ,(1,1)412x s x x x x +∈--．（2）解：212121(22)lim lim 2n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞+==， 故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散． 当1x =-时，21112(1)2n n n n n ∞∞-==-=-∑∑发散，当1x =时，12n n ∞=∑发散，⇒ 收敛域为(1,1)-．令211()2(0)0n n S x nxS ∞-==⇒=∑2212211()21xxn nn n x S t dt ntdt xx ∞∞-==⇒===-∑∑⎰⎰22222()(||1)1(1)x x S x x xx '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭． （3）解：先求收敛域：因为1(+1)(+2)limlim 1(+1)n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞===， 所以收敛半径为1，明显当1x =±原级数发散，故级数的收敛域为(1,1)-；令1()(1)(0)0nn S x n n xS ∞==+⇒=∑，121111()(1)xx nn n n n n S t dt n n t dt nxxnx∞∞∞+-===⇒=+==∑∑∑⎰⎰222211(1)n n x x x x x x x ∞=''⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑ 2232()(||1)(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭．10（4）解：212121(21)lim lim (21)n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞-==+，故当211x x <⇒<时级数绝对收敛， 当||1x >时，级数发散．当1x =-时， 12111(1)(1)(1)2121n n n n n n n +∞∞-==---=--∑∑为收敛的交错级数，当1x =时， 11(1)21n n n +∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛域为[1,1]-．令1211(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞=-=⇒=-∑， 122211()(1)1n n n S x x x∞+-='⇒=-=+∑ 201()(0)arctan 1xS x S dt x t ⇒-==+⎰()arctan (11)S x x x ⇒=-≤≤．第四节 函数展开成幂级数1．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：（1）解：利用间接展开法．因为=0=,(,)!nxn x e x n ∞∈-∞+∞∑，所以ln ln 00(ln )(ln ),(,)!!xn n xa x ann n x a a a eex x n n ∞∞======∈-∞+∞∑∑．（2）解：利用间接展开法．因为1(1)ln(1)=,(1,1]1n n n x x x n ∞+=-+∈-+∑，所以 ln()=ln[(1)]ln ln(1)x xa x a a a a++=++110(1)ln ,(,](1)nn n n a x x a a n a∞++=-=+∈-+∑． （3*）解：利用间接展开法．因为2(1)(1)...(1)(1)1...,||12!!m nm m m m m n x mx x x x n ---++=++++<122(1)x x -=⋅+11357113135...,(1,1]224246x x x x x ⋅⋅⋅=-+-+∈-⋅⋅⋅． 注：当1=2m -时，在右端点处收敛．（4）解：利用间接展开法．因为20(1)cos =,(,)(2)!n nn t t x n ∞=-∈-∞+∞∑，所以22100000(1)(1)cos d =[]d d (2)!(2)!n nxxx n n n n t t t t t t t t n n ∞∞+==--=∑∑⎰⎰⎰ 212200(1)(1)=d ,(,)(2)!(2)!(22)n nxn n n n t t t x n n n ∞∞++==--=∈-∞+∞+∑∑⎰． 2． 解：111(1)=,(,)!nx x x x x e ee e e x n ∞-+-=-=⋅=∈-∞+∞∑．3．解：011111(2),(0,4)2422212n n n x x x x ∞==⋅=-∈---∑． 4．解：将sin x 变形为：1sin sin[()])cos()662626x x x x ππππ=-+=-+-， 利用sin x 和cos x 的展开式可得2-121211sin ()()...221!622!6(1))(),(,)622n!6n n n x x x x x x ππππ-=+---++⋅⋅--+-∈-∞+∞⋅．5．解：211=()34154x x x x x x ----+5(5)111=()531(5)414x x x +--⋅-+-+111005111=(1)(1)(5)(1)(1)(5)3344n n nn n n n n x x ∞∞+++==---+---∑∑， 其中第一个展开式的收敛域为|5|<1x -，第二个展开式的收敛域为|5|<14x -，所以原函数的展开式的收敛域为|5|<1x -，即46x <<．第五节 函数的幂级数展开式的应用1．利用函数的幂级数的展开式求下列各数的近似值： （1）解：根据ln (1+)x 的展开式可得：35111ln2(...)(11)135x x x x x x +=+++-<<-（见教材）12令1=51x x +-，解得2(1,1)3x =∈-，带入上述展开式可得 35793579212121212ln 52(...)335793333=+⋅+⋅+⋅+⋅，如果取前五项作为其近似值，则1113151751113151712121212||=2(...)111315173333r ⋅+⋅+⋅+⋅+1123112312114114114=2(1...)111391517399⋅⋅+⋅+⋅+⋅+1123112322444(1...)119399<⋅++++ 111111112212290.00384111153319<⋅⋅=⋅⋅≈-，符合误差要求，因此取前五项作为其近似值，即35793579212121212ln 52() 1.61335793333≈+⋅+⋅+⋅+⋅≈．（2）解：根据cos x 的幂级数展开式可得246111cos18cos1()()() (10)2!104!106!10ππππ==-+-+， 6-61() 1.335106!10π≈⨯，所以取前四项作为近似值，即 246111cos181()()()0.950992!104!106!10πππ=-+-≈．（3）解：根据cos x 的幂级数展开式可得2621cos 111...2!4!6!x x x x -=-++， 于是可得0.50.5262001cos 111d =(...)d 2!4!6!x x x x x x--++⎰⎰ 3511111111=()()...0.123272!24!326!52⋅-⋅⋅+⋅⋅+≈． 2．解：因为sin arctan x x 、的展开式分为可以写为：33sin ()3!x x x o x =-+，33arctan ()3x x x o x =-+，所以3333001()sin arctan 16lim lim 6x x x o x x x x x→→+-==．第七节 傅里叶级数1．填空：（1）其中的任何两个不同函数的乘积在区间[,]ππ-上的积分为130，相同函数的乘积在此区间上积分不为0 ． （2）1()d f x x πππ-⎰，1()cos d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰，1()sin d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰． （3）02=0,()sin d n n a b f x nx x ππ=⎰．（4）1+π．（5）在一个周期内连续或者只有有限个第一类间断点 ， 在一个周期内至多有有限个极值点 ， 收敛 ，()f x ， 左右极限均值．2．下列函数以π2为周期，且在[,)ππ-上取值如下，试将其展开成傅里叶级数：（1）解：先利用系数公式得出傅里叶级数．2220111()d d ()2x xx a f x x e x e e πππππππ---===-⎰⎰， 22212()(1)()cos ,( 1.2 (4)n e ea f x nxdx n n ππππππ----==⋅=+⎰， 2-2121(1)()sin ,(n=1,2...)4n n e e nb f x nxdx nππππππ+---==⋅+⎰， 所以，函数的傅里叶级数为2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---+-+∑． 再考虑其收敛性．易知函数满足收敛性定理的条件，其不连续点为(21)(0,1,2,...)x k k π=+=±±，在这些点处，上述的傅里叶级数收敛于左右极限的均值，即22(0)(0)22f x f x e e ππ-++-+=，在连续点处，傅里叶级数收敛于函数2()=xf x e ，因此2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---=+-+∑(,),(21)(0,1,2,...)x x k k π∈-∞+∞≠+=±±．（2）解：先根据系数公式求傅里叶级数．40113()d sin d 4a f x x x x ππππππ--===⎰⎰， 41131sin cos (2cos2cos4)cos 422n a x nxdx x x nxdx ππππππ--==-+⎰⎰， 根据三角函数系的正交性，仅当=2,=4n n 时，0n a ≠，易得142411,28a a =-=，由于4()sin f x x =是[,]ππ-的偶函数，故0n b =； 又因为函数4()sin f x x =是连续函数，所以可得：311()cos 2cos 4,<<828f x x x x =-+-∞∞．3．解：(1) ()()f x x x ππ=-<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得．当时，，，所以 11sin ()2(1)()n n nxf x x xππ∞+==--<<∑，为所求． （2）()(02)f x x x π=<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得．当时，011()d d 0a f x x x x ππππππ--===⎰⎰1n ≥11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰11sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰11sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππππ---==⎰⎰1112cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ+---=+=-⎰220011()d d 2a f x x x x πππππ===⎰⎰1n ≥22011cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππ==⎰⎰15 ，，所以1sin ()2(02)n nxf x x x ππ∞==-<<∑，为所求． 4．解：要展开为余弦级数，需对函数进行偶延拓，即定义函数1cos 02()cos ,02x x f x x x ππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，，并将1()f x 以2π周期延拓到整个数轴，得到偶函数()g x ． 对()g x 进行傅里叶展开，显然有0n b =，且0024cos d 2x a x πππ==⎰，2024(1)cos cos d ()(=1,2,...)241nn x a nx x n n πππ-==--⎰，根据上述系数即可得到()g x 在整个数轴上的傅里叶展开式，由于()g x 连续，所以其傅里叶均收敛于()g x ，最后将展开式限制在[0,]π，既得()cos2xf x =的傅里叶展开式 2124(1)()cos ,[0,]41nn f x nx x n πππ∞=-=--∈-∑．4．解：将函数进行奇延拓，并求傅里叶系数：0(0,1,2,...)n a n ==，021sin [(1)1](1,2,...)42n n b nxdx n nπππ==---=⎰，因此函数()4f x π=的正弦级数展开式为11sin +sin 3sin 5...(0,)435x x x x ππ=++∈， 根据收敛性定理，在端点=0,=x x π处傅里叶级数收敛于零．令上式中的=2x π，即可得到1111 (4357)π=-+-+．第八节 一般周期函数的傅里叶级数1．填空：220011sin sin d 0|x nx nx x n n ππππ=-=⎰220011sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππ-==⎰⎰2200112cos cos d |x nx nx x n n n ππππ--=+=⎰16（1）-1()cos (0,1,2...)l n l n xa f x dx n l lπ==⎰-1()sin (1,2...)l n l n x b f x dx n l l π==⎰．（2）02()sin(n=1,2...)l n xf x dx l lπ⎰． 2．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 做奇延拓，其傅里叶系数为0(0,1,2,...)n a n ==；20222sin +(-)sin ll l n n x n xb x dx l x dx l l l lππ=⎰⎰224=sin2l n n ππ， 所以1()=sinn n n xf x b lπ∞=∑ 22224131517=(sin sin +sin sin +...)357l x x x xl l l l πππππ--， 由于()f x 连续，上述展开式对于任意的[0,]x l ∈均成立． 3．解：()2+||f x x =为偶函数，所以展为余弦级数，其系数为0(1,2,...)n b n ==，1002(2)d 5a x x =+=⎰，1222(cos 1)2(2)cos()(1,2,...)n n a x n x dx n n πππ-=+==⎰， 因为函数()2+||f x x =满足狄氏收敛定理，所以22152(cos 1)2||cos 2n n x n x n πππ∞=-+=+∑ 2225411(cos cos3cos5...)()235x x x x ππππ=-+++-∞≤≤∞． 令上式中的=0x ，可得2222111 (8135)π+++=，又2222222=11111111(...)(...)135246n n ∞=+++++++∑ 2222221111111(...)(...)4135123=+++++++所以22222=114111=(...)=36135n nπ∞+++∑．第十二章 自测题1．填空：17 （1）仍收敛于原来的和s ．（2） 均收敛 ； 均发散 ． （3）_1_；_2__．（4）34， 12， 34． 2．选择：（1）C ．（2）A （提示：使用阿贝尔定理）．（3）D （提示：ln ln ln 2ln ln 2ln 22()n n n e e n λλλλ--⋅--===）． （4）B ．（5）A ． （6）C ．3．判别下列级数的敛散性，若收敛指出绝对收敛或条件收敛： （1）解：根据正项级数的根值审敛法，有(!)lim n n n n →∞=+∞， 所以，原级数发散．（2）解：因为2211sin 4n n n π≤，而211n n∞=∑收敛， 所以原级数收敛且绝对收敛．（3）解：这是一个交错级数，由于(1)11=-ln -ln n n n n n n-≥，所以不是绝对收敛．因为111ln(1)ln n n n n-+-+-1ln(1)10(ln )[1ln(1)]n n n n n +-=<-+-+，且1lim=0ln n n n→∞-，根据莱布尼兹定理，级数收敛，即原级数条件收敛．（4*）解：根据比值审敛法，有1(1)lim ||lim ||1n pp n n n pa n n a a n a n +→∞→∞+⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 所以，当||<1a 时，即11a -<<时，级数绝对收敛； 当||1a >，根据罗比达法则可知212+++ln (ln )lim lim lim(1)x x x p p p x x x a a a a a x px p p x --→∞→∞→∞=-， 因为p 是常数，有限次使用罗比达法则，可求出上述极限为无穷，因此lim np n a n→∞=∞，所以原级数发散；当1a =时，级数既为11pn n∞=∑，此时若01p <≤时，原级数18 发散，若1p >原级数收敛且绝对收敛；当1a =-时，级数既为1(1)npn n∞=-∑，此时，若01p <≤时，根据莱布尼兹定理可知，原级数条件收敛，若1p >时，根据比较审敛法可知，原级数绝对收敛．4．解：因为11113+(2)[3+(2)]1lim lim 3+(2)(1)[3+(2)]n n n n n nn n n n n n n n++++→∞→∞--+=-+-12[1+()]3lim 3112(1)[1+()]33n n nn +→∞-==+⋅⋅-，所以，级数的收敛半径为13，收敛区间为42(,)33--；在端点4=3x -处，级数为12(1)+()3nnn n ∞=-∑，因为级数11(1)21,()3n n n n n n ∞∞==-⋅∑∑均收敛，所以在此点处，原级数收敛； 在端点2=3x -处，级数为121+()3nn n ∞=-∑，因为级数11,n n ∞=∑发散，而121()3nn n∞=-⋅∑收敛，所以在此端点处，原级数发散； 综合得，原级数的收敛域为42[,)33--． 5．解：先利用比值审敛法求幂级数的收敛域．因为2+222(2+2)!lim =lim (2+2)(2+1)(2)!n n n n x x n n n xn →∞→∞=+∞， 所以级数的收敛域为(,)-∞+∞；令22420()1......(2)!2!4!(2)!n nn x x x x s x n n ∞===+++++∑， 则3521()+......3!5!(21)!n x x x s x x n -'=++++-，所以 234()()1......2!3!4!!nx x x x x s x s x x e n '+=+++++++=，19 即()()x s x s x e '+=，这是一个一阶线性微分方程，解之得1()+2x x s x ce e -=．又因为(0)1s =，带入求得常数12c =，所以幂级数的和函数为11()(,)22x xs x e e x -=+∈-∞+∞，．6．解：因为2ln(12)ln(1)ln(12)x x x x +-=-++，而11(1)ln(1)(11)n nn x x x n -∞=-+=-<≤∑，所以，=1ln(1)(11)nn x x x n∞-=--≤<∑，1=1(1)211ln(12)()22n n n n x x x n -∞-+=-<≤∑，于是得出原函数的展开式为12=1(1)2111ln(12)=()22n n n n x x x x n -∞--+--<≤∑．7．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 在[,0)π-上做奇延拓,再延拓到整个数轴，并求傅里叶系数0(0,1,2...)n a n ==， 02()sin d n b f x nx x ππ=⎰202sin d x nx x ππ=⎰221sincos (1,2,...)22n n n n n πππ=-=， 因此可得函数()f x 在[0,)π的傅里叶级数2=121()(sincos )sin ([0,),)222n n n f x nx x x n n πππππ∞=-∈≠∑， 由于3=2x π-为函数的不连续点，根据狄氏收敛性定理，和函数在3=2x π-处的值3()2s π-为左右极限的均值，即31()=24s ππ-，而5=4x π是函数的连续点，在此点处，收敛于（延拓后的）函数()f x ，即5()=04s π．8．考研题练练看：（1）C ．解析：幂级数1(1)k kk ax ∞=-∑的收敛域中心为1x =，而20 =1(1,2,...)n n k k S a n ==∑无界表明1(1)k k k a x ∞=-∑在2x =发散，因此幂级数的收敛半径1R ≤，同时，根据莱布尼兹定理，数列{}n a 单减且收敛于0，表明1(1)kkk ax ∞=-∑在0x =收敛，因此幂级数的收敛半径1R ≥，综合得收敛半径为=1R ，因此选C ． （2）A ．解析：若1n n u ∞=∑收敛，则对其任意项加括号后仍收敛，其逆命题不一定成立，所以选A ． （3）D ．解析：=11(1)a n n ∞-∑绝对收敛，即1=121a n n∞-∑收敛，所以32α>，又由2=1(1)n a n n ∞--∑条件收敛可知12α≤<，所以选D ．（4）C ．解析：根据题意，将函数在[]1,1-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1,(0,1)2()1,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，其傅里叶级数以2为周期，则当()1,1x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()S x f x =，所以 91111()()()()44444S S S f -=-=-=-=-．（5）D ．解析：因为1P >时，=11P n n ∞∑收敛，且lim =lim 1Pn n n n Pa n a n →∞→∞存在，所以=1nn a∞∑收敛．（6）解：先求收敛域．222212(1)212+1lim lim 12+1(1)21n n n n n nxn n x x n x n +-→∞→∞--==<--，即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为1=1(1)21n n n -∞--∑，根据莱布尼兹定理，可知21此级数收敛，因此原级数的收敛域为[1,1]-．为求和函数，设112211=1(1)(1)()2121n n n n n n s x x x xn n --∞∞-=--==--∑∑， 令1211=1(1)()21n n n s x xn -∞--=-∑，则 1212112=1=1(1)1()=() (11)211n n n n n s x x x x n x -∞∞--'⎛⎫-'=-=-<< ⎪-+⎝⎭∑∑， 两端同时积分，得11201()(0)d arctan (11)1xs x s x x x x -==-<<+⎰，明显1(0)0s =，所以1()arctan (11)s x x x =-<<，既得()arctan (11)s x x x x =-<<，又因为=1x ±时，()arctan s x x x ，都有定义，且连续，所以()arctan (11)s x x x x =-≤≤．（7）B.（8）解：先求收敛域．22224(+1)4(+1)321lim 12(1)1443n n n n x x n n n →∞+++⋅⋅=<++++， 即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为2=044321n n n n ∞+++∑，发散，因此幂级数的收敛域为11x -<<．为求和函数，设2222=0=0443(21)2()==2121n nn n n n n S x x x n n ∞∞++++++∑∑，所以22=0=02()=(21)21nn n n S x n xx n ∞∞+++∑∑，令2212=0=02()=(21)()21nn n n S x n x S x x n ∞∞+=+∑∑，，对1()S x 两端积分得210=0()d =(21)d xx nn S x x n x x ∞+∑⎰⎰212=0= (11)1n n xx x x∞+=-<<-∑， 两端求导得212221()= (11)1(1)xx S x x xx '+⎛⎫=-<< ⎪--⎝⎭；22因为212=02()21n n xS x x n ∞+=+∑，两边求导得 222=02[()]2 (11)1n n xS x x x x ∞'==-<<-∑， 再对两端积分得22021()0(0) ln (11)11xxxS x S dx x xx +-⋅==-<<--⎰，所以211()ln((1,0)(0,1))1xS x x x x+=∈-⋃-， 又因为=0x 时，12(0) 1.(0)2S S ==，综合可得和函数为222111ln ,(1,0)(0,1)()1(1)3, 0x xx S x x xx x ⎧+++∈-⋃⎪=--⎨⎪=⎩． （9）(i)证明：由题意得1=1()n nn S x na x∞-'=∑，22=2=0()(1)(1)(2)n nn n n n S x n n a xn n a x ∞∞-+''=-=++∑∑，2(1)0n n a n n a ---=，2=(1)(2)(0,1,2...)n n a n n a n +∴++=， ()=()S x S x ''∴，即()()0S x S x ''-=．(ii) 解：()()0S x S x ''-=为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为210λ-=,从而特征根为1λ=±，于是其通解为12()x xS x C e C e -=+，由0(0)3S a ==，1(0)1S a '==得1212123121C C C C C C +=⎧⇒==⎨-+=⎩，,所以()2x x S x e e -=+． （10）解：（1）证明：由cos cos n n n a a b -=，及0,022n n a b ππ<<<<可得0cos cos 2n n n a a b π<=-<，所以02n n a b π<<<，由于级数1nn b∞=∑收敛，所以级数1nn a∞=∑也收敛，由收敛的必要条件可得lim 0n n a →∞=．（2）证明：由于0,022n n a b ππ<<<<，23 所以sin ,sin 2222n n n n n n n na b a b b a b a ++--≤≤2222sin sin cos cos 22222222n n nnn n n n n nn n n nn n n nn n n a b b a a a b b b b a b b a b a b b b b b +--==+--≤=<=由于级数1nn b∞=∑收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数1nn na b ∞=∑收敛． （11）解：由于1lim1n n na a +→∞=，所以得到收敛半径1R =． 当1x =±时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()1,1-．令和函数)(x S =0(1)(3)n n n n x ∞=++∑，则2111()(43)(2)(1)(1)nn n nn n S x n n x n n x n x ∞=∞∞===++=++++∑∑∑211123"'3"'11(1)n n n n x x x x x x x x ∞∞++==⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⎛⎫=+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑。
第十二章 无穷级数一. 常数级数的审敛，常数级数的性质收敛：12.3下列级数中收敛的是( )； A ．()∑∞=-+11n n n B ．∑∞=+111n nC ．nn n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+123 D ．∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211n n12(1)n =≥≥+，所以()∑∞=-+11n n n 发散；∑∞=+111n n 发散，因为11n ∞=∑发散，所以∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211n n 发散，因此选C 。
12.7 下列级数中收敛的是( ) A.∑∞=+1121n n B.∑∞=+113n n nC.)1|(|1001<∑∞=q q n nD.∑∞=-1132n n n 解：121n ≥+，∑∞=+1121n n 发散；1lim 313n n n →∞=+，∑∞=+113n n n 发散；||1q <时，100lim n n q →∞=∞，)1|(|1001<∑∞=q qn n发散；213n =<，∑∞=-1132n n n 收敛，所以选D 。
12.11 下列级数中收敛的是( )；A ．∑∞=-1121n n B ．∑∞=122n n n C ．11ln(1)n n ∞=+∑ D ．∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1311n n解：1121lim 12n n n →∞-=，∑∞=-1121n n 发散；212(1)12lim 122n n nn n +→∞+=<，∑∞=122n n n 收敛；1ln(1)lim 11n n n →∞+=，11ln(1)n n ∞=+∑发散；11n ∞=∑发散，∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1311n n 发散。
所以选B 。
12.15 下列正项级数中收敛的是( )；A ．∑∞=-112n n n B ．∑∞=12n n n C ．)11ln(1∑∞=+n n D ．∑∞=+1)1(2n n n n解：1lim 212n n n →∞=-，∑∞=-112n n n发散；112n =<，∑∞=12n n n 收敛；)11ln(1∑∞=+n n 发散；12(2)(1)lim 212(1)n n n n n n n +→∞++=>+；∑∞=+1)1(2n n n n 发散。
第十一章练习题一、 填空题1．级数)21)1(1(1nn n n -+∑∞=的和为（ ）． 2．若∑∞=1n n u 为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则∑∞=1n n u 收敛的充要条件是（ ）．3.级数∑∞=122sin2n nn π的敛散性为（ ）．4.幂级数n n x n )32(11-∑∞=的收敛区间为（）．5.幂级数∑∞=-122)1(n nnnx的收敛域为（ ）．6.将函数2)1(1x +展开成x 的幂级数为（ ）．7．)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f (x )在x=0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0x f S f x +→=-=则=（ ）． 8．设)(x f 是周期为２π的函数，在一个周期上可积．当)(x f 是奇函数时，它的傅里叶系数为 =n a （ ），=n b （ ）．二、 单项选择题1. 若级数∑∞=1n n a 条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）.A. 交换律成立；B.结合律成立；C.分配律成立；D.以上都不成立。
2．在下面级数中，绝对收敛的级数是（ ）．A.∑∞=+1121n n ； Ｂ．nn n)23()1(1∑∞=-；Ｃ．311)1(nn n∑∞=-； Ｄ．nn n n1)1(1--∑∞=．3. 在下列级数中，条件收敛的级数是（ ）.A. ∑∞=+-11)1(n nn n ；Ｂ．∑∞=-11)1(n nn；Ｃ．∑∞=-121)1(n nn；Ｄ．∑∞=+-1)1(1)1(n nn n4. 已知级数∑∑∞=∞=--==-111215,2)1(n n n n n aa ，则级数∑∞==1n n a （ ）A. 3 ； Ｂ． 7 ； Ｃ． 8 ； Ｄ． 95．幂级数nxnn ∑∞=1的和函数是（ ）．Ａ．)1ln(x --； Ｂ． )1ln(x -； Ｃ．)1ln(x +; Ｄ． )1ln(x +- 6. 函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ）.A. ∑∞=02!n nn xＢ．∑∞=⋅-02!)1(n n n n xＣ．∑∞=0!n n n xＤ．∑∞=⋅-0!)1(n nn n x7. 若∑∞=-1)1(n nn x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（ ）.A.条件收敛；Ｂ．绝对收敛；Ｃ．发散；Ｄ．收敛性不能确定。
第十二章 无穷级数单元测试题答案一、判断题1、对；2、对；3、错；4、对；5、对；6、对；7、对；8、错；9、错；10、错 二、选择题1、A2、A3、D4、C5、D6、C7、C8、B 三、填空题1、2ln2、收敛3、54、π33--，ππ1248+-，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±±=--±±==,...3,1,21,...4,2,0,21)(k k k S ππ四、计算题1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞=--1131arcsin)1(n n n解：这是一个交错级数，1arcsin31arcsin13lim13n n u n n n→∞==，所以n u 发散。
又由莱布尼茨判别法得 111arcsinarcsin 33(1)n n u u n n +=>=+ 并且1lim lim arcsin 03n n n u n→∞→∞==，满足交错级数收敛条件， 故该交错级数条件收敛。
（2）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+11n nn n解：lim lim()[lim()]1011n nn n n n n n u n n→∞→∞→∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。
(3))0,(,31211>++++++b a ba b a b a 解：另设级数1()n v n a b =+ 1111111(1)()23n n n v n a b a b n ∞∞====+++++++∑∑上式为1a b+与一个调和级数相乘，故发散 又11()n n u v na b n a b =>=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。
(4) ++++++nn 134232 解：1lim lim10n n n n u n→∞→∞+==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数（1） ++++753753x x x x解：设357()357x x x f x x =++++ （补充条件1x <，或求出R ）逐项求导，得24621()11f x x x x x '=++++=- （这是公比21q x =<的几何级数）积分，得201()()1xxf x f x dx dx x '==-⎰⎰=0111()211x dx x x +-+⎰=11ln 21xx+-即 ++++753753x x x x =11ln 21x x +-（2）+⋅+⋅+⋅433221432x x x 解：设234()122334x x x f x =+++⋅⋅⋅ （补充条件1x <，或求出R ） 逐项求导，得23()123nx x x x f x n'=+++++再逐项求导，得21()1n f x x x x -''=++++ 积分一次，得001()()ln(1)1xxf x f x dx dx x x'''===---⎰⎰ 再积分一次，得00()()ln(1)(1)x xf x f x dx x d x '==---⎰⎰= 0(1)ln(1)(1)ln(1)x x x x d x -----⎰ = 0(1)ln(1)(1)xx x d x ----⎰ = (1)ln(1)x x x --+即+⋅+⋅+⋅433221432x x x =(1)ln(1)x x x --+ （3） +++13951392x x x 解：设5913()5913x x x f x =+++ （补充条件1x <，或求出R ）逐项求导，得448124()1x f x x x x x '=+++=-（这是公比41q x =<的几何级数）积分，得401()()(1)1xxf x f x dx dx x '==---⎰⎰ = 220111()211x x dx x x -++-+⎰= 111ln arctan 412x x x x ++--即59135913x x x +++ =111lnarctan 412x x x x ++-- 3、将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛半径 （1）⎰+xt dt41 解：411t +是级数481441(1)n n t t t ---+-+-+ 之和 所以481444001(1(1))1x x n n dt t t t dt t--=-+-+-++⎰⎰ =1591343111(1)591343n n x x x x x n ----+-+++- 收敛半径141limlim 143n n n n a n R a n →∞→∞++===- （2）)1ln(2x x ++ 解：2222121[ln(1)](1)1211x x x x xxx'++=+=++++所以122221ln(1)(1)1xxx x dx x dx x-++==++⎰⎰=2222011111(1)(1)(1)122222[1()()]22!!x n n x x x dx n --------+-++++⎰ =357212131352(2)!(1)()232452467(!)(21)2n n x x x n x x n n +⋅⋅⋅-+-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 收敛半径为1R =（3）x arcsin 解：1222arcsin (1)1xxdx x x dx x -==--⎰⎰=242011111(1)(1)(1)122222[1()]22!!x n n x x x dx n --------+++++-+⎰=357212131352(2)!()232452467(!)(21)2n x x x n x x n n +⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+收敛半径为1R = （arcsin ,1y x x =≤） （4） x e x -3 解：因为 21112!!x n e x x x n =+++++ ， 所以2111()()()2!!x n e x x x n -=+-+-++-+=2111()2!!n x x x n -+++-+因此3()x f x x e -==3211(1())2!!n x x x x n -+++-+=345311()2!!n x x x x n +-+++-+=3(1)!n n n x n ∞+=-∑ (,)x ∈-∞+∞4．将函数)0()(ππ≤≤-=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数. 解：（1）先求正弦级数，，将()f x 奇周期延拓 0n a =，只有n b ， 02()sin n b f x nxdx ππ=⎰=2()sin x nxdx πππ-⎰=22sin sin nxdx x nxdx πππππ-⎰⎰=0022cos (cos )nx xd nx n n πππ-+⎰=0022(cos 1)[cos cos ]nx x nx nxdx n n πππ--+-⎰=222[(1)1](1)n n n n n---+-=所以()f x 展开成正弦级数为 111()sin 2sin n n n f x b nx nx n∞∞====∑∑在端点0x =时，级数之和不能代表原函数，x π=时，级数之和能够代表原函数，所以(0,]x π∈（2）再求余弦函数，将()f x 偶周期延拓 0n b =，只有0a ，n a 2000221()[]2a x dx x x ππππππ=-=-⎰=π 02()cos n a f x nxdx ππ=⎰=2()cos x nxdx πππ-⎰=22cos cos nxdx x nxdx πππππ-⎰⎰=00221sin (sin )nx xd nx n n πππ-⎰ =22(cos 1)n n ππ--=22[1(1)]n nπ--=20,24,21(21)n mn m m π=⎧⎪⎨=-⎪-⎩所以()f x 展开成余弦级数为01()cos 2n n a f x a nx ∞==+=∑2141cos(21)2(21)n m x m ππ∞=+--∑，[0,]x π∈。
第十二章 无穷级数第一节 常数项级数的概念和性质1．写出下列级数的一般项：(1)⋅⋅⋅++++6141211； 解：2n1u n =(2)⋅⋅⋅+⋅++533x x x x ； 解：()!!12n xu 2n n +=2．求下列级数的和：*(1) 1n ∞=∑解：111nn k S ===-=+-∑故2- 1lim =∞→n n S(2)23111555+++ 解：5151-151-1n⎪⎭⎫ ⎝⎛=n S 故41lim =∞→nn S3．判定下列级数的敛散性： (1)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+ 解：()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+--=+-=∑∑==15115151)151451(1545111n k k k k S nk nk n51lim =∞→n n S 故原级数收敛.(2) ()23133222213333nn n--+-++- 解： ()1-n 11-32nn ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛为公比为32-=q 的等比级数,且1<q , 故原级数收敛.第二节 常数项级数的审敛法1．用比较审敛法判别下列级数的敛散性． (1)1πsin3n n ∞=∑；解： sin3lim 13n n nππ→∞= ， 而13n n π∞=∑收敛，故原级数收敛.(2)n ∞=；解： n 321u n<，而∑∞=1231n n收敛，故原级数收敛.(3)()1121nn ∞=-∑解：1nln21-2lim n 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n 而∑∞=1nln2n 发散，故原级数发散。
2．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1) ∑∞=132n nn ；解：2n n u 3n =，∞=∞→n n u lim ，故原级数发散。
(2)1!31nn n ∞=+∑； 解：()()()3113131lim lim 1n n 1=+++=+∞→+∞→n u u n nn n ，故厡级数收敛.3．用根值判别法判别级数的敛散性： 1531nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑；解：()5n 5lim>13n 13n n →∞==+，故厡级数发散.4．判定级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？()11111123nn n n ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑ ； 解：n 1111u 12n n n⎛⎫=++> ⎪⎝⎭ ， 而()()n 1n 2211111111u -u 1--<02n n 1n n 1n n 1n 1+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<+ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭++ 又()0dxx 11n 1lim n 1n 1211lim u lim n 1n =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰∞→∞→∞→n n n故厡级数条件收敛第六节 傅里叶级数1. 填空题（1）⎩⎨⎧<≤<≤--=.0,,0,)(2)(πππx a x a x f x f 周期函数，且是以设 则其傅里叶级数在处收敛于 0（2）)(,)(2)(2ππππ<<-+=x x x x f x f 周期函数，且是以设若)(x f 的傅里叶级数具有的形式，∑∞=++10)sin cos (21n n n nx b nx a a.______32________,32_320ππ==b a 则傅里叶系数2. 写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f(x)在[-π, π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx xn n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π)（2）()()cosππ2=-≤≤xf x x解：因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时，处处连续， 故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()ππ-π0π0π1212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x xa nx x nx xn x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π]*3.将函数f(x)展开为傅里叶级数：()()πππ42x f x x =--<<解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰[]()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n∞==+-∑ (-π<x <π)。
一、填空题（每小题2分，共10分）(5) 幂级数∑∞=1n nnx 的收敛半径为 ．Key ： 11lim n n n a R a →∞+=11lim lim 111n n n n n n →∞→∞+===+二、选择题（每小题2分，共10分） (5) 下列级数中，条件收敛的是(A) 1(1)nn n ∞=-∑.(B) 1n n ∞= (C) 21(1)nn n ∞=-∑. (D)1(1)1n n nn ∞=-+∑. B五、综合题（每小题11分，共22分）(2) 求幂级数211(1)21n n n xn ∞-=--∑在区间)1,1(-内的和函数)(x S ，并求级数1(1)(21)3nnn n ∞=--∑的和. 解：设12112)1()(-∞=∑--=n n n x n x S ，)1,1(-∈x ，则(0)0S =，211(1)()21n n n S x x n ∞-=-=-∑两边求导得 222111)1()(x x x S n n n +-=-='-∞=∑。
x dx x S x S xarctan 11)0()(02-=+-=⎰令21(1)()21n n n xS x x n ∞=-=-∑21(1)()21n nn x n ∞=-=-∑，令213x =，x =代入上式，得1(1)113)(a r c ).(21)318nnn n ∞=-=-=--∑一、填空题（每小题2分，共10分） (5) 幂级数∑∞=12n nnx n 的收敛半径为 . Key ： 21lim n n n a R a →∞+=122lim lim 2112n n n n n nn n →∞→∞+===++二、选择题（每小题2分，共10分） (4) 下列级数中，条件收敛的是(A) ∑∞=--121)1(n nn n . (B)∑∞=-12)1(n n n . (C) ∑∞=-1)1(n n n . (D)∑∞=-12)1(n n n .C(5) 若幂级数∑∞=0n n n x a 在2=x 点收敛，则它在2-=x 点(A) 发散. (B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 不能确定. D解：当2x =时，∑∞=0n nn xa ，所以当2x <时，nn n a t∞=∑绝对收敛. 即幂级数0n n n a x ∞=∑在区间(2,2)-内绝对收敛；而2x =-不是区间(2,2)-内的点，故幂级数0n n n a x ∞=∑在2x =-处的收敛性不能确定.三、计算题（每小题8分，共40分）(5) 判定级数∑∞=+-1)11ln()1(n n n 的敛散性,并指出是绝对收敛还是条件收敛?解：设 1=(1)ln(1)n n u n -+，当n →∞时，11ln(1)~n u n n +＝，即1ln(1)lim 1.1n n n→∞+=而11n n∞=∑发散，所以1nn u∞=∑发散.由于11ln(1)ln(1)1n n +>++，且1lim ln(1)0,n n →∞+=则由莱布尼茨定理可知∑∞=1n n u 收敛，从而∑∞=+-1)11ln()1(n nn条件收敛。
