《高等数学教程》习题答案第一章 习题1-1 <A>1.<1>),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞ <2>]1,0()0,1[⋃-<3>),1()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ <4>πk x ≠且),2,1,0(2±±=+≠k k x ππ <5>),2,1,0()352,32( ±±=++k k k ππππ<6>]3,1[- 2.202)(6,916,6h x +++ 3.0,22,22,21 5.<1>奇函数 <2>非奇非偶函数 <3>偶函数 <4>奇函数 <5>奇函数<6>当)(x f 为奇函数或偶函数时,该函数为偶函数；当)(x f 为非奇非偶函数时,该函数为非奇非偶函数. <7>偶函数 <8>奇函数6.<1>是周期函数,π2=T <2>是周期函数,4=T <3>是周期函数,4=T <4>不是周期函数7.<1>a cx b dx y -+-=<2>2arcsin 31xy = <3>21-=-x e y <4>xxy -=1log 2<5>2xx e e y --=8.<1>2,x a u u y -== <2>2,x u e y u == <3>cos ,lg ==u u y <4>x v tgv u u y 6,,2=== <5>21,,cos ,xw e v v u arctgu y w -==== <6>22,ln ,ln ,x w w v v u u y ====9.<1>]1,1[- <2> zk k k ∈+])12(,2[ππ <3>]1,[a a --<4>若210≤<a ,则]1,[a a D -=；若21>a ,则=D Ф. 10.4)]([x x =ϕϕ,xx 22)]([=ψψ,x x 22)]([=ψϕ,22)]([x x =ϕψ. 11.1,4-==b a12.⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)]([x x x x g f ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=-1,1,11,)]([1x e x x e x f g13.)20(,])2([22r h h r h V <<-=π14.πααπααππ20,4)2(242223<<--=r V 15.),2(,])[(32232+∞--=r r r h h r V π16.<1>⎪⎩⎪⎨⎧≥<<⋅--≤≤=1600,751600100,01.0)100(901000,90x x x x p<2>⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600,151600100,01.0311000,30)60(2x x x x x x x x p p<3>21000=p <元>习题1-1 <B>1.)(x f 为偶函数.2.41)1(,2)(222-+=--=x x x x f x x f 3.⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x g f ,⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x f g4.22123xx ++ 8.⎩⎨⎧-≤-<<--=-1,101,1)(x x e x f x9.]0,(,)1ln()(-∞-=x x g10.奇函数,偶函数,偶函数,偶函数. 12.1)2005(=f习题1-2 <A>1.<1>121+n ,0 <2>11)1(1+-+n n ,0 <3>2+n n,1 <4>1)1()1(+-⋅+n n ,没有极限<5>222)1(1)1(2)1(1+++++++n n n n ,21<6>2)2)(1()1(++-n n ,没有极限.2.<1>17; <2>24; <3>]3[ε3.0,]1[ε习题1-3 <A>3.0002.0=δ4.397≥Z6.1)(lim )(lim 00==+-→→x f x f x x ,1)(lim 0=→x f x1)(lim 0-=-→x x ϕ,1)(lim 0=+→x x ϕ,)(lim 0x x ϕ→不存在.习题1-4 <A>3.<1>0; <2>0; <3>04.0lim 1=-→y x ;∞=→y x 1lim习题1-4 <B>3.x x y cos =在),(+∞-∞上无界,但当+∞→x 时,此函数不是无穷大. 5.当1,0==b a 时,)(x f 是无穷小量； 当b a ,0≠为任意实数时,)(x f 是无穷大量.习题1-5 <A>1.<1>0; <2>1; <3>1; <4>103; <5>231aa -; <6>23x ; <7>34; <8>1-. 2.<1>43-; <2>0; <3>∞; <4>41-;<5>503020532⋅; <6>41-.3.<1>⎪⎩⎪⎨⎧>-=<<1,11,010,1a a a ; <2>3; <3>34; <4>21-4.<1>10; <2>2)(m n mn -; <3>n m; <4>0; <5>0; <6>21; <7>43; <8>21.习题1-5 <B>1.<1>2; <2>21-; <3>561-; <4>2)13(2-a<5>23; <6>⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>2,2,12,0k k k ; <7>2; <8>0 .2.1,1-==βα3.9=a4.1,1-==b a5.不一定.习题1-6 <A>1.<1>2; <2>3; <3>21; <4>-1; <5>a cos ； <6>2π; <7>1; <8>2; <9>1;<10>x .2.<1>1-e ; <2>2e ; <3>2-e ; <4>2-e ; <5>1-e ; <6>2e .习题1-6 <B>1.<1>21; <2>π2; <3>1; <4>0; <5>0; <6>1; <7>0; <8>1-e . 2.<4>3; <5>251+. 习题1-7 <A>1. 当0→x 时,34x x -比32x x +为高阶无穷小.2. <1>同阶,但不是等价； <2>同阶,且为等价.3.21=α 4.m =α6.<1>23; <2>⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<nm n m nm ,,1,0; <3>21;<4>21; <5>b a ; <6>41.习题1-7 <B>1.<1>32; <2>2e ; <3>21; <4>0; <5>1; <6>41-; <7>∞; <8>1. 5.x x x x p 32)(23++=. 6.a A ln .习题1-8 <A>1.1=a2.)(x f 在0=x 处连续3.<1>1=x 为可去间断点,补充2)1(-=f2=x 为第二类间断点<2>0=x 和2ππ+=k x 为可去间断点,补充0)2(,1)0(=+=ππk f f ；)0(≠=k k x π为第二类间断点.<3>1=x 为第一类间断点 <4>0=x 为第二类间断点.4.<1>1=x 为可去间断点,补充32)1(=f ;<2>0=x 为可去间断点,补充21)0(=f ；<3>1=x 为可去间断点,补充2)1(π-=f ；0=x 为第二类间断点；<4>2=x 为可去间断点,补充41)2(=f ；0=x 为第一类间断点；2-=x 为第二类间断点.<5>0=x 为第一类间断点； <6>a x =为第一类间断点;<7>1=x 为第一类间断点; <8>1-=x 为第二类间断点.习题1-8 <B>1.1±=x 为第一类间断点.2.1,0==b a3.25=a 4.),2,1,0(22 ±±=-=n n a ππ5.<1>当1,0≠=b a 时,有无穷间断点0=x ； <2>当e b a =≠,1时,有无穷间断点1=x .习题1-9 <A>1.连续区间为：),2(),2,3(),3,(+∞---∞21)(lim 0=→x f x ,58)(lim 3-=-→x f x ,∞=→)(lim 2x f x . 2.连续区间为：),0(),0,(+∞-∞.3.<1>-1; <2>1; <3>h ; <4>-1; <5>22-; <6>-2; <7>1; <8>1; <9>ab ; <10>5e ; <11>-1; <12>2. 4.1=a 5.1=a习题1-9 <B>1.<1>0=x 为第一类间断点； <2>1-=x 为第一类间断点； <3>0=x 为第一类间断点; <4>1±=x 为第一类间断点; <5>无间断点.2.1,0==b a3.<1>1-e ; <2>21-e ; <3>a e cot ; <4>0;<5>0; <6>-2; <7>21; <8>82π.4.21总复习题一一.1.D 2.D 3.D 4.B 5.C 6. D 7.D 8.C 9.D 10.D二.1.⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=-0,0,)(22x x x x x x f2.]2,2[,)1arcsin(2--x3.－14.必要,充分5.必要,充分6.充分必要7.21 8.b a = 9.5610.第二类,第一类 三.1.11)(-+=x x x ϕ 2.20051,20052004=-=βα 3.1lim =∞→n n x4. 45.4e6.－507.a ln 218.当0≤α时,)(x f 在0=x 处不连续；当1,0-=>βα时,)(x f 在0=x 处不连续； 当1,0-≠>βα时,)(x f 在0=x 处不连续. 9.82-部分习题选解 习题1-2 <B>1. 根据数列极限的定义证明：<1>)0(1lim 时>=∞→a a nn证明：<ⅰ>0>∀ε当1>a 时,令)0(1>+=n n n h h a∴取1][+=εaN ,当N n >时,有ε<<=-nah a n n 1,即1lim =∞→n n a <ⅱ>当1=a 时,显然成立. <ⅲ>当10<<a 时,令11>=ab 综合<ⅰ>,<ⅱ>,<ⅲ>,∴当0>a 时,有1lim =∞→nn a . 习题1-6 <B>3.设0,00>y x ,n n n y x x =+1,21nn n y x y +=+. 证明：n n n n y x ∞→∞→=lim lim证明：2nn n n y x y x +≤由此可知数列}{n x 单调增加,数列}{n y 单调减少, 又011110y y y y x x x x n n n n ≤≤≤≤≤≤≤≤≤++∴}{n x 与}{n y 都是有界的.由"单调有界数列必有极限〞准则,∴}{n x ,}{n y 都收敛.设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim由21n n n y x y +=+,2limlim nn n nn y x y +=∴∞→∞→ 即n n n n y x ∞→∞→=lim lim .习题1-10 <B>3.设函数)(x f 在]1,0[上非负连续,且0)1()0(==f f ,试证：对)1,0(∈∀l ,必存在一点]1,0[0l x -∈,使)()(00l x f x f +=. 证明：令)1,0(,)()()(∈∀+-=l l x f x f x F)(x f 在]1,0[上连续,)(l x f +在]1,[l l --上连续, )(x F ∴在]1,0[l -上连续.又)1()1()1()1(0)()()0()0(≥-=--=-≤-=-=l f f l f l F l f l f f F )0)((≥x f<ⅰ>若0)0(=F ,取00=x ,即)()0(l f f = <ⅱ>若0)1(=-l F ,取l x -=10,即)1()1(f l f =- <ⅲ>)01(,0)0(≠-≠l F F 0)1()0(<-⋅∴l F F 由零点存在定理,必存在一点]1,0[0l x -∈,使0)(0=x F , 即)()(00l x f x f +=.综合<ⅰ>,<ⅱ>,<ⅲ>,对)1,0(∈∀l ,必存在一点]1,0[0l x -∈,使)()(00l x f x f +=.总复习题一三.11.设)(x f 在],[b a 上连续,且)(x f 在],[b a 上无零点. 证明)(x f 在],[b a 上不变号..11 / 11 证明：<反证法> 假设)(x f 在],[b a 变号, 即],[,21b a x x ∈∃,使0)(,0)(21<>x f x f 即0)()(21<⋅x f x f )(x f 在],[b a 上连续,∴)(x f 在],[21x x 上连续. 由零点存在定理知,),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ,使0)(=ξf 即ξ是)(x f 在],[b a 上的一个零点. 这与)(x f 在],[b a 上无零点矛盾, )(x f ∴在],[b a 上不变号.。
